灰色模型介绍及应用
时序预测中的灰色模型介绍(六)
时序预测中的灰色模型介绍时序预测是一种对未来趋势进行预测的方法，它在许多领域都有着重要的应用。
而在时序预测中，灰色模型是一种比较常用的方法之一。
本文将介绍灰色模型的原理、应用和优缺点。
灰色模型是由中国科学家陈纳新教授于1982年提出的，它是一种用于处理少量、不完整或不规则数据的预测方法。
与其他传统的预测模型相比，灰色模型在数据缺乏和不完整的情况下有着较好的适用性。
灰色模型的基本原理是将原始数据集分为发展模型序列和残差序列，通过建立发展模型来对未来的趋势进行预测。
其中，发展模型可以是一次累加生成模型、二次累加生成模型、GM(1,1)模型等。
而残差序列则是通过对发展模型进行修正得到的，用于检验模型的精度和完备性。
在实际应用中，灰色模型常常用于对短期趋势进行预测，尤其在经济、环境、科技等领域有着广泛的应用。
例如，对于某一产品的销售量、某一城市的空气质量指数、某一技术指标的变化趋势等，都可以利用灰色模型进行预测。
与其他预测模型相比，灰色模型的优点在于对少量数据的适用性较强，同时不需要对数据进行平稳化处理和参数识别。
此外，灰色模型还能够较好地处理不规则的、非线性的数据，因此在实际应用中有着一定的优势。
然而，灰色模型也存在一些缺点。
首先，灰色模型对数据质量的要求较高，对于缺乏规律性的数据预测效果可能不理想。
其次，灰色模型在长期预测方面效果不如传统的时间序列模型，因此在某些情况下可能存在局限性。
总的来说，灰色模型是一种适用于少量、不完整或不规则数据的时序预测方法。
它在很多领域都有着广泛的应用，并且在一定的条件下有着较好的预测效果。
然而，使用灰色模型时也需要注意数据的质量和模型的局限性，以便得到更准确、可靠的预测结果。
在实际应用中，我们可以根据具体的情况选择合适的预测模型，综合考虑灰色模型的优缺点，以帮助我们更好地预测未来的趋势。
同时，我们也可以结合其他预测方法和技术，以提高预测的准确性和可靠性。
因此，灰色模型是时序预测中的一种重要方法，值得我们深入了解和研究。
灰色模型介绍及应用
建模机理灰色理论模型应用——污染物浓度问题GM（1，1）残差模型的应用——油菜发病率问题GM模型在复杂问题中的应用——SARS 疫情问题GM（1，n）模型的应用——因素相关问题本章小结思考题推荐阅读书目第十章灰色模型介绍及应用灰色理论基本知识客观世界的很多实际问题，其内部的结构、参数以及特征并未全部被人们了解，人们不可能象研究白箱问题那样将其内部机理研究清楚，只能依据某种思维逻辑与推断来构造模型。
对这类部分信息已知而部分信息未知的系统，我们称之为灰色系统。
本章介绍的方法是从灰色系统的本征灰色出发，研究在信息大量缺乏或紊乱的情况下，如何对实际问题进行分析和解决。
灰色系统的研究对象是“部分信息已知、部分信息未知”的“小样本”、“贫信息”不确定性系统，它通过对“部分”已知信息的生成、开发实现对现实世界的确切描述和认识。
信息不完全是“灰”的基本含义。
灰色系统理论建模的主要任务是根据具体灰色系统的行为特征数据，充分开发并利用不多的数据中的显信息和隐信息，寻找因素间或因素本身的数学关系。
通常的办法是采用离散模型，建立一个按时间作逐段分析的模型。
但是，离散模型只能对客观系统的发展做短期分析，适应不了从现在起做较长远的分析、规划、决策的要求。
尽管连续系统的离散近似模型对许多工程应用来讲是有用的，但在某些研究领域中，人们却常常希望使用微分方程模型。
事实上，微分方程的系统描述了我们所希望辨识的系统内部的物理或化学过程的本质。
目前，灰色系统理论已成功地应用于工程控制、经济管理、未来学研究、生态系统及复杂多变的农业系统中，并取得了可喜的成就。
灰色系统理论有可能对社会、经济等抽象系统进行分析、建模、预测、决策和控制，它有可能成为人们认识客观系统改造客观系统的一个新型的理论工具。
灰数：一个信息不完全的数，称为灰数。
灰元：信息不完全或内容难以穷尽的元素，称为灰元。
灰关系：信息不完全或机制不明确的关系，称为灰关系。
具有灰关系的因素是灰因素，灰因素之间的量化作用，称为灰关联。
灰色预测模型
灰色系统模型（Grey Model,GM）一：解决的关键问题 （所谓灰色系统是指部分信息已知而部分信息未知的系统，灰色系统所要考察和研究的是对信息不完备的系统，通过已知信息来研究和预测未知领域从而达到了解整个系统的目的）灰色系统模型作为一种预测方法广泛应用于工程控制，经济管理，社会系统等众多领域。
二：ＧＭ（１，１）模型（一）：对原始序列累加处理一次累加生产序列②(即1－AGO序列)，表示为其中，一次累加序列(1)X 的第k 项由原序列的前k 项和产生，即： 由(1)X 的相邻项平均得到(1)X 的紧邻均值生成序列(1)z ，表示为:根据上述序列，有灰色系统模型GM(1，1)的基本形式:(二)构造GM(1，1)模型方程组的矩阵形式，并求解参数 GM(1，1)模型的微分方程基本形式:(三)求的时间响应序列，累减得到原序列的预测值(四)模型检验残差的均值、方差分别为:21S C S 称为均方差比值，对于给定的00C ，当0C C 时，称模型为均方差比合格模型;1(()0.6745)p p k S 称为小误差概率，对于给定的00P ，当0P P 时，称模型为小误差概率合格模型。
一般均方差比值C 越小越好(因为C 小说明S 小，1S 大，即残差方差小，原始数据方差大，说明残差比较集中，摆动幅度小，原始数据比较分散，摆动幅度大，所以模拟效果好，要求2S 与1S 相比尽可能小)，以及小误差概率p 越大越好，给定000,,,C p 的一组取值，就确定了检验模型模拟精度的一个等级，常用的精度等级见表1。
软件DPS 的分析结果也提供了C 、p 的检验结果。
(五)残差修正模型(六)建立新陈代谢GM(1，1)进行动态预测在实际建模过程中，原始数据序列的数据不一定全部用来建模。
我们在原始数据序列中取出一部分数据，就可以建立一个模型。
一般说来，取不同的数据，建立的模型也不一样，即使都建立同类的GM(1，1)模型，选择不同的数据，参数a，b的值也不一样。
灰色预测模型的研究及应用
灰色预测模型的研究及应用
灰色预测模型是一种用于预测问题的数学模型，广泛应用于各个领域。
它在1982年由中国科学家GM灰所提出，因此得名为“灰色预测模型”。
灰色预测模型基于灰色系统理论，它假设事物的发展具有一定的规律性和趋势性，但也存在不确定性的因素。
它通过对已知数据的分析和处理，来预测未来的发展趋势。
灰色预测模型的核心思想是将已知数据序列分解为两个部分：灰色部分和白色部分。
灰色部分是由数据的数量级和函数形式决定的，因此可以用来预测未来的趋势。
白色部分则是由不确定的随机因素引起的，往往被视为噪声，不具备预测能力。
灰色预测模型有多种形式，其中最常用的是GM(1,1)模型。
该模型通过建立一阶线性微分方程来描述数据的变化趋势，然后利用指数累减生成灰色模型。
基于灰色模型，可以进一步进行累加、累减、累乘等操作，来实现更复杂的预测。
灰色预测模型在各个领域都有广泛的应用。
其中最典型的应用是经济预测领域，包括国民经济、金融市场等。
此外，它还可以应用于工业生产、环境保护、农业发展、医疗卫生等方面的预测。
灰色预测模型的优点是简单易懂、计算量小、适用范围广。
它可以对数据的趋势进行较为准确的预测，尤其适用于数据量较小或者不完整的情况下。
缺点是对数据的要求较高，数据的采
样点要均匀分布，并且在建立模型时需要进行一些参数的选择，可能存在主观性和不确定性。
总之，灰色预测模型是一种有效的预测方法，具有广泛的应用前景。
在实际应用中，需要对具体问题进行合理的建模和参数选择，以提高预测的准确性。
灰色预测模型原理
灰色预测模型原理灰色预测模型（Grey Prediction Model）是一种基于灰色系统理论和数学建模方法的预测模型。
灰色系统理论是我国学者黄金云教授于1982年提出的一种系统理论，它是研究非确定性和不完备信息系统的一种新方法，可用于研究多变量、小样本和非线性系统。
灰色预测模型主要基于灰色数学建模方法，通过对已知的部分序列数据进行建模和预测，来推测未知的序列数据趋势。
它适用于研究数据量小、信息不完备、非线性关系复杂的系统。
下面将简要介绍灰色预测模型的原理、模型建立过程以及一些应用案例。
1. 灰色预测模型的原理灰色预测模型的核心思想是通过对已知数据进行灰色关联度的度量，从而建立出合适的数学模型，进行未来数据的预测。
其基本原理可以概括为以下五个步骤：（1）建立灰色微分方程：根据原始数据的特点，确定合适的灰色微分方程，通常使用一阶或高阶灰色微分方程。
（2）求解灰色微分方程：根据所选择的灰色微分方程，求解其参数，得到模型的特征参数。
（3）模型检验：检验所建立的灰色预测模型的拟合程度和误差是否符合要求。
（4）进行灰色关联度分析：根据已知数据的变化规律，计算各个因素的灰色关联度，确定相关因素的重要性。
（5）进行预测：利用建立好的灰色预测模型，对未来的数据进行预测和分析，得出预测值。
2. 模型建立过程灰色预测模型的建立过程中，通常包括以下几个步骤：（1）数据的建立与处理：对原始数据进行筛选、预处理和归一化处理，以满足模型的要求。
（2）建立灰色微分方程：从已知数据中提取主要特征，并根据数据的特点选择合适的灰色微分方程。
（3）求解灰色微分方程：根据所选的灰色微分方程，通过累加生成序列、求解参数等方法，得到模型的特征参数。
（4）模型的检验：根据已知数据的拟合程度和误差范围，评估所建立的灰色预测模型的准确性和可靠性。
（5）模型的应用与预测：利用已建立的模型进行未来数据的预测和分析，得出预测结果。
3. 应用案例灰色预测模型在实际应用中具有广泛的应用范围，以下是一些常见的应用案例：（1）经济领域：用于对经济指标、市场需求、价格变动等进行预测，为经济决策提供参考。
灰色理论与灰色预测模型研究与应用
灰色理论与灰色预测模型研究与应用灰色理论是一种基于不完全信息的数学方法，由中国科学家陈纳德于1982年提出。
它主要用于解决样本数据有限、不完整、不确定的问题，适用于各种领域的预测和决策。
灰色预测模型是灰色理论的核心内容之一，通过对数据序列进行建模和预测，可以在一定程度上弥补数据不完整性带来的问题。
灰色理论的核心思想是通过构建灰色模型，对数据进行预测和分析。
灰色模型是一种基于时间序列的预测模型，它主要包括GM(1,1)模型和GM(2,1)模型。
GM(1,1)模型适用于一阶动态系统，通过建立灰微分方程和灰累加方程，可以对数据进行预测和分析。
GM(2,1)模型是GM(1,1)模型的扩展，适用于二阶动态系统，通过引入二次累加生成序列，可以提高预测的准确性。
灰色预测模型的应用非常广泛，可以用于经济、环境、医疗、交通等领域的预测和决策。
以经济领域为例，灰色预测模型可以用于宏观经济指标的预测，如国内生产总值、物价指数等。
通过对历史数据的分析和建模，可以预测未来一段时间内的经济走势，为政府和企业的决策提供参考。
在环境领域，灰色预测模型可以用于空气质量、水质监测等方面的预测和评估。
通过对历史数据的分析，可以预测未来一段时间内的环境状况，为环境保护和治理提供科学依据。
灰色预测模型的优势在于能够处理数据不完整、不确定的问题。
在实际应用中，往往会遇到数据缺失、数据质量差等问题，传统的预测模型很难处理这些问题。
而灰色预测模型通过对数据序列的分析和建模，可以在一定程度上弥补数据不完整性带来的问题，提高预测的准确性。
此外，灰色预测模型还具有模型简单、计算快速等特点，适用于大规模数据的处理和分析。
然而，灰色预测模型也存在一些不足之处。
首先，灰色预测模型对数据的要求较高，需要满足一定的前提条件，如数据序列的稳定性、线性关系等。
如果数据不满足这些条件，就无法进行有效的预测和分析。
其次，灰色预测模型对参数的选择较为敏感，不同的参数选择可能会导致不同的预测结果。
灰色模型白化方程
灰色模型白化方程一、引言灰色模型理论是一种非线性灰色系统建模分析工具，可以对非线性系统进行建模和预测。
而灰色模型白化方程是在灰色模型理论的基础上，针对模型的白化进行了研究。
本文将详细介绍灰色模型白化方程的基本原理、方法和应用。
二、灰色模型概述灰色模型是一种基于少量、不完整数据进行分析预测的方法。
相比于传统的统计模型，它具有数据要求低、计算简单、适用范围广的特点。
灰色模型的基本思想是通过建立灰色微分方程来描述和预测系统的行为。
灰色模型包括GM(1,1)模型、GM(0,N)模型等。
三、灰色模型白化方程的基本原理灰色模型白化方程是针对灰色模型中存在的高次方程的问题进行研究的。
在传统的灰色模型中，常常只考虑一阶微分方程，而实际问题中往往需要考虑更高次的方程。
这时，就需要对原始的高次方程进行白化处理，使其转化为一阶方程，从而简化模型的建立和求解。
四、灰色模型白化方程的方法4.1 高阶累加生成白化方程通过对高阶累加灰色模型进行白化处理，将高阶方程转化为一阶方程，从而简化原始模型的求解过程。
具体方法是对累加发展系数进行递推运算，直至得到一阶方程为止。
4.2 指数生成白化方程指数生成白化方程是另一种常用的白化方法。
它通过引入指数项，将高阶方程转化为一阶方程。
具体方法是将原始模型进行指数运算，使高阶方程转化为新的一阶方程。
4.3 灰色关联度生成白化方程灰色关联度是灰色模型中常用的一种分析方法。
通过计算数据序列之间的相似度，可以确定白化方程的形式和参数。
具体方法是计算数据序列的关联系数，并将其转化为白化方程。
4.4 灰色累积生成白化方程灰色累积生成白化方程是对累加生成白化方程的改进和扩展。
它引入累积项，考虑了灰色模型中动态变化的特性。
具体方法是在累加生成白化方程的基础上，加入累积项进行修正。
五、灰色模型白化方程的应用灰色模型白化方程在实际问题中有着广泛的应用。
主要包括以下几个方面： 1. 经济预测：通过灰色模型白化方程可以对经济发展进行预测和分析，提供决策支持。
数学建模——灰色预测模型
数学建模——灰色预测模型灰色预测模型（Grey Forecasting Model）是一种用于预测不确定性数据的数学模型。
它适用于那些缺乏充分历史数据、不具备明显的规律性趋势或周期性的情况。
灰色预测模型基于灰色系统理论，通过分析数据的变化趋势和规律，来进行预测。
该模型在处理少量数据、缺乏趋势规律的情况下，具有一定的优势。
灰色预测模型的基本思想：灰色预测模型基于“白化（Whitening）”和“黑化（Blackening）”的思想，将不确定性数据分为“白色”和“黑色”两部分。
其中，“白色”代表已知数据，具有规律性和趋势，可以进行预测；而“黑色”代表未知数据，缺乏规律，需要进行预测。
通过建立数学模型，将“白色”和“黑色”数据进行融合，得出预测结果。
灰色预测模型的基本步骤：1.建立灰色数列：将原始数据分成“白色”和“黑色”两部分，构建灰色数列。
2.建立灰色微分方程：对“白色”数列进行微分，得到一阶或高阶微分方程。
3.求解微分方程：求解微分方程，得到预测模型的参数。
4.进行预测：利用已知的模型参数，对“黑色”数据进行预测，得出未来的趋势。
示例：用灰色预测模型预测销售量假设你是一家新开设的小型餐厅的经营者，你希望预测未来三个月的月销售量。
然而，你的餐厅刚刚开业不久，历史销售数据有限，且不具备明显的趋势。
这种情况下，你可以考虑使用灰色预测模型来预测销售量。
步骤：1.建立灰色数列：将已知的销售数据分为“白色”（已知数据）和“黑色”（未知数据）两部分。
2.建立灰色微分方程：对“白色”销售数据进行一阶微分，得到灰色微分方程。
3.求解微分方程：根据灰色微分方程的形式，求解微分方程，得到模型的参数。
4.进行预测：利用求解得到的模型参数，对“黑色”销售数据进行预测，得到未来三个月的销售量趋势。
这个例子中，灰色预测模型可以帮助你基于有限的历史销售数据，预测未来的销售趋势。
虽然该模型的精确度可能不如其他更复杂的方法，但在缺乏充足数据时，它可以提供一种有用的预测工具。
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第十章灰色模型介绍及应用（徐利艳天津农学院2.4万字）10.1灰色理论基本知识10.1.3GM建模机理10.2灰色理论模型应用——污染物浓度问题10.2.2 GM（1，1）残差模型的应用——油菜发病率问题10.2.3GM模型在复杂问题中的应用——SARS 疫情问题10.2.4 GM（1，n）模型的应用——因素相关问题本章小结思考题推荐阅读书目第十章灰色模型介绍及应用10.1灰色理论基本知识客观世界的很多实际问题，其内部的结构、参数以及特征并未全部被人们了解，人们不可能象研究白箱问题那样将其内部机理研究清楚，只能依据某种思维逻辑与推断来构造模型。
对这类部分信息已知而部分信息未知的系统，我们称之为灰色系统。
本章介绍的方法是从灰色系统的本征灰色出发，研究在信息大量缺乏或紊乱的情况下，如何对实际问题进行分析和解决。
灰色系统的研究对象是“部分信息已知、部分信息未知”的“小样本”、“贫信息”不确定性系统，它通过对“部分”已知信息的生成、开发实现对现实世界的确切描述和认识。
信息不完全是“灰”的基本含义。
灰色系统理论建模的主要任务是根据具体灰色系统的行为特征数据，充分开发并利用不多的数据中的显信息和隐信息，寻找因素间或因素本身的数学关系。
通常的办法是采用离散模型，建立一个按时间作逐段分析的模型。
但是，离散模型只能对客观系统的发展做短期分析，适应不了从现在起做较长远的分析、规划、决策的要求。
尽管连续系统的离散近似模型对许多工程应用来讲是有用的，但在某些研究领域中，人们却常常希望使用微分方程模型。
事实上，微分方程的系统描述了我们所希望辨识的系统内部的物理或化学过程的本质。
目前，灰色系统理论已成功地应用于工程控制、经济管理、未来学研究、生态系统及复杂多变的农业系统中，并取得了可喜的成就。
灰色系统理论有可能对社会、经济等抽象系统进行分析、建模、预测、决策和控制，它有可能成为人们认识客观系统改造客观系统的一个新型的理论工具。
灰数：一个信息不完全的数，称为灰数。
灰元：信息不完全或内容难以穷尽的元素，称为灰元。
灰关系：信息不完全或机制不明确的关系，称为灰关系。
具有灰关系的因素是灰因素，灰因素之间的量化作用，称为灰关联。
灰色系统:含灰数、灰元或灰关系的系统称为信息不完全系统。
如果按照灰色理论去研究它。
则称此系统为灰色系统。
累加生成：由于灰系统对一切随机量都可看作是在一定范围内变化的灰色量，因此，为适应灰系统建模需要，提出“生成”的概念，“生成”即指对原始数据做累加（或累减）处理。
累加生成一般可写成AGO 。
若计(0)x为原始数列，()r x为r 次累加生成后数列，即则r 次累加生成算式为()(1)(1)(1)(1)1(1)(1)(1)(1)()(1)()(1)(2)()()[(1)(2)(1)]()(1)()kr r r r r i r r r r r r x k xxxk x i x x x k x k x k x k ----=-----=++==++-+=-+∑一般常用的是一次累加生成，即10.1.3GM 建模机理建立GM 模型，实际就是将原始数列经过累加生成后，建立具有微分、差分近似指数规律兼容的方程，成为灰色建模，所建模型称为灰色模型，简记为GM （Grey Model ）。
如GM （m,n ）称为m 阶n 个变量的灰色模型，其中GM （1，1）模型是GM （1，n ）模型的特例，是灰色系统最基本的模型，也是常用的预测模型，因此本章重点介绍几种GM （1，1）模型的建模过程和计算方法，并简单介绍GM （1，n ）建模过程。
GM （1，1）的建模机理GM （1，1）模型是GM （1，N ）模型的特例，其简单的微分方程形式（白化形式的微分方程）是 利用常数变易法解得，通解为若初始条件为00,()==t x t x ，则可得到微分方程的特解为或时间响应函数其中白化微分方程中的ax 项中的x 为dxdt的背景值，也称为初始值; ,a u 为常数（有时也将u 写成b ）。
按白化导数定义有差分形式的微分方程，即 显然，当时间密化值定义为1，即当1∆→t 时，上式可记为记为离散形式这显然表明dxdt是一次累计生成，因此上述方程可改写为 这实际也表明，模型是以生成数(1)x（(1)x 是以(0)x 的一次累加）为基础的。
当∆t 足够小时，()x t 到()+∆x t t 不会发生突变，因此可取()x t 与()+∆x t t 的平均值作为0∆→t 时的背景值，因此，背景值便可记为或于是白化的微分方程(1)(1)+=dx ax u dt可改写为 或 即因此，上述方程可以改写为矩阵方程形式，即引入下列符号，设 于是便有 令 则 解得将求解得到的代入微分方程的解式（也称时间响应函数），则 由于(0)(1)(1)(1)=xx ，因此求导还原得上述两式便为GM （1，1）的时间响应式，及灰色系统预测模型的基本算式，当然上述两式计算结果只是近似计算值。
为简记，一般可以将GM （1，1）的建模过程记为10.2灰色理论模型应用10.2.1GM （1，1）模型的应用——污染物浓度问题GM （1，1）模型是灰色系统最基本的模型，下面以污染物浓度问题说明GM （1，1）模型的建立及求解过程。
例10.1 某污染源中某种污染物质量浓度测量值如表10.1，试建立GM （1，1）模型表10.1 某污染物质量浓度测量值 （mg/L ）解：第一步，设原始数据为(0)(0)(0)(0)((1),(2),,(6))(3.936,4.575,4.968,5.063,5.968,5.507)==x x x x第二步，对原始数据进行累加生成，即(1)(0)=x AGOx因此累加生成数据为第三步，构造矩阵,N B Y(0)(0)(0)[(2),(3),,(6)][4.575 4.968 5.063 5.968 5.507]==T TN Y x x x第四步，计算1ˆ()-=TT NaB B B Y 。
先求1()-TB B ，即根据逆矩阵的求解方法，得再求TN B Y 的值，即进而求得ˆa的值为 计算GM1_1的程序如下function 10toliti01(X0) [m,n]=size(X0); X1=cumsum(X0); X2=[]; for i=1:n-1X2(i,:)=X1(i)+X1(i+1); endB=-0.5.*X2; t=ones(n-1,1); B=[B,t]; YN=X0(2:end);P_t=YN./X1(1:(length(X0)-1)) A=inv(B.'*B)*B.'*YN.'; a=A(1) u=A(2) B b1=B.'*B b2=inv(B.'*B) b3=B.'*YN.' b4=u/a b5=X1(1)-b4 b6=-a*b5第五步，将,a u 的值代入微分方程的时间响应函数，令(1)(1)ˆ(1)(0) 3.936==xx ，得第六步，求导还原得第七步，对上述模型进行精度检验。
常用的方法是回代检验，即分别用(1)(1)ˆ(1),(0)x x 模型求出各时刻值，然后求相对误差。
先利用时间响应函数模型(1)0.0539ˆ(1)84.326480.3904+=-k xk e 求各时刻值（1,2,,5=k ），并计算相对误差，结果如表10.2所示.表10.2 精度检验实测值、残差值表 1,2,,5=k再利用时间响应函数模型(0)0.0539ˆ(1) 4.5443+=k xk e 求各时刻值（1,2,,5=k ），并计算相对误差，结果如表10.3所示.表10.3 计算值与实验原始数据值对照表 1,2,,5=k从残差检验结果看，累计生成数列曲线拟合较好，相对误差在0.01即1%左右；而还原数列的相对误差较大，其原因是累加生成数据将原始数据的随机性弱化，正负误差有抵消的，当数据再被还原回来时便表现出来。
10.2.2 GM （1，1）残差模型的应用——油菜发病率问题当ＧＭ（１，１）模型的精度不符合要求时，可用残差序列建立ＧＭ（１，１）模型，对原来的模型进行修正，以提高精度，即建立残差ＧＭ（１，１）模型，步骤如下第一步，利用原始数据建立GM （1，1）模型，得时间响应式 其中第二个式子也成为导数还原值。
鉴于导数还原值与原始数据（累减还原值）不一致，为减少往返运算造成的误差，往往用原始数据与导数还原值的残差修正的(0)x模拟值(0)x。
第二步，利用残差数列建立新的GM （1，1）模型。
建立残差模型的过程和计算方法同于GM （1，1）建模过程，只不过建立残差模型所用的原始数列采用的是残差数据。
令(0)()g k 为残差，则即 或利用残差序列(0)g建立新的GM （1，1）模型，求解得时间响应式第三步，结合上两步的GM （1，1）模型，建立残差GM （1，1）模型 结合上两步的GM （1，1）模型，则相应的残差修正时间响应式为 称为导数还原式的残差修正模型。
例10.2 某县油菜发病率数据如表10.4所示，试建立残差GM 模型并进行求解。
表10.4 某县油菜发病率数据 （%）解：第一步，建立原始数据的GM （1，1）模型 设原始数据为建立GM （1，1）模型，利用GM （1，1）的求解程序得时间响应式为第二步，误差检验 利用时间响应函数模型()(0)0.0648610.368-+=k x k e 计算各时刻值（1,2,,12=k ），并计算相对误差，程序如下function 10toliti02(X0) %format long ;%X0=0.01*[6 20 40 25 40 45 35 21 14 18 15.5 17 15]; [m,n]=size(X0); s(1)=1; for i=1:12y(i+1)=0.368*exp(-0.06486*i); z(i+1)=X0(i+1)-y(i+1); w(i+1)=z(i+1)/X0(i+1); s(i+1)=i+1; end y' X0' z' w' z*z'sum(abs(w))/12计算结果如表10.5所示表10.5 计算值与实验原始数据值对照表 1,2,,12=k由表可以看出，最大误差高达72.44%，最低的也达到6.06%，模拟误差较大，进一步计算平均相对误差平均相对误差很较大，相对精度约70%。
因此为了提高远原点（即现时）精度，即将最后一个误差减小，需采用残差模型进行修正。
第三步，以部分残差数据为原始数据建立新的GM （1，1）模型取09k =得残差尾端，即取最后5个数据的残差：-0.0790,-0.0253,-0.0374,-0.0103,-0.0190, 用此尾段可建立残差尾段模型，取绝对值，得残差数列以上述的残差数列为原始数据建立新的GM （1，1）模型，得残差的时间响应式第四步，将原始数据和部分残差数据的两个GM （1，1）模型即 和结合，得到修正后的残差GM （1，1）模型第五步，用修正后的模型对8,9,,12=k 的模拟值进行修正，结果为：第六步，精度检验 建立如下程序：function 10toliti021(X0) %format long ;%X0=0.01*[6 20 40 25 40 45 35 21 14 18 15.5 17 15]; [m,n]=size(X0); s(1)=1; for i=8:12y(i+1)=0.368*exp(-0.06486*i)-0.0328*exp(-0.1894*i); z(i+1)=X0(i+1)-y(i+1); w(i+1)=z(i+1)/X0(i+1); s(i+1)=i+1; end y' X0' z' w' z*z'sum(abs(w))/5计算结果如表10.6所示表10.6 修正后计算值与实验原始数据值检验结果 8,9,,12=k按此模型，可对9,10,11,12,13=k 五个模拟值进行修正，修正后的平均相对误差13(0)91()19.4%5=∆==∑k q k ，精度有明显的提高。