数学分析第二曲面积分解析
(
si
同时也代表
zSi
ni
vi
(i ,i , i )
•
法向量为
ni
.
o
y
x
vi
v(i ,i , i
)
P(i ,i , i )i Q(i ,i , i ) j R(i ,i , i )k ,
该ni0点处co曲s面iiΣ的co单s 位i j法向co量s
i
k
,
2、近似
通过 si 流向指定侧的流量的近似值为
莫比乌斯带
(单侧曲面的典型)
曲面分左侧和 右侧
曲面分上侧和 下侧
曲面的分类: 1.双侧曲面; 2.单侧曲面.
典
型 双 侧
n
曲
面
典型单侧曲面: 莫比乌斯带
播放
设连通曲面 S 上处处有连续
ML
变动的切平面（或法线）
M0
设 M0 为曲面 S 上一点，确定
曲面在M0 点的一个法线
S
方向为正方向，另一个方向为负方向.
f (x, y, z) dS g(x, y, z) dS;
(3) 若可分为分片光滑的曲面 1及2 , 则
f (x, y, z) dS f (x, y, z) dS g(x, y, z) dS.
1
2
特别， 当 f ( x, y, z) 1时， dS 的面积。
计算法
1. 若曲面 : z z( x, y); 则
注意：这里曲面方程均是单值函数。
一、对坐标的曲面积分的概念与性质
观察以下曲面的侧 (假设曲面是光滑的)
上侧
内侧
外侧
下侧
曲面分上侧和下侧
曲面分内侧和外侧
曲面法向量的指向决定曲面的侧.
决定了侧的曲面称为有向曲面.
z
上侧
下侧 o x
z
左侧
y
o
x
z
右侧
后侧
y
o
y
x 前侧
双侧曲面 • 曲面分类
单侧曲面
曲面分内侧和 外侧
或
常简记为
若令
则第二类曲面积分也记作向量形式： 由第二类曲面积分的定义，流体以速度 从曲面 的一侧流向另一侧的总流量
称为P 在有向曲面Σ上对坐标 y, z 的曲面积分;
称为Q 在有向曲面Σ上对坐标 z, x 的曲面积分;
1. 若曲面 : y y(x, z); 则
f ( x, y, z)dS f [ x, y( x, z), z] 1 yx2 yz2 dxdz;
Dxz
一投： 二换： 三代：
将曲面 向 xoz 面投影，得 Dxz . dS 1 y2x ( x, z) yz2( x, z) dxdz; f ( x, y, z) : y y( x, z) f ( x, y( x, z), z);
L 为 S 上任一经过点 M0 且不超出 S 边界的闭曲线.
设点 M 从 M0 出发，沿 L 连续移动， M 在 M0 点与M0
有相同的法线方向，当点 M 连续移动时，其法线方向
也连续变动，最后当 M 沿 L 回到M0 时，若这时 M 的 法线方向仍与 M0 点的法线方向一致，则称此曲面 S 为
双侧曲面；若与 面
三、第二类曲面积分的定义
向量函数v=(P,Q,R) 设 P , Q , R 为定义在双侧曲面 Σ 上的函数，在 Σ 所 指定的一侧作分割 T ，把 Σ分为 n 个小曲面 S1 , S2 . . . , Sn , 记
分别表示 Si 在三个坐标轴上的投影区域的面积, 在 Si
上任取一点
若
存在，则称此极限为向量函数v=(P,Q,R) 在曲面 Σ 所指定一侧上的第二类曲面积分， 也称为对坐标的曲面积分 记作
二、概念的引入
实例: 流向曲面一侧的流量.
(1)
流速场为常向量
v
,有向平面区域
A,求单位
时间流过 A 的流体的质量 (假 定密度为 1). v
A
n
0
流量
Av cos
Av
n 0
v
A
(2) 设稳定流动的不可压缩流体(假定密度为 1)
的速度场由
v( x, y, z) P( x, y, z)i Q( x, y, z) j R( x, y, z)k
vi niSi (i 1,2,, n).
则单位时间内流经小曲面 Si的流量近似地等于
其中 ΔSi 为小曲面Si 的面积. 记
它们是 Si 的一侧分别在坐标面 yz , zx 和 xy 上投影区域 面积的近似值，于是单位时间 内流经小曲面 Si 的流量
也近似地等于
3、求和 单位时间内由曲面 Σ 的一侧流向另一侧的 总流量
M0
的法线方向相反，则称
S
为单侧曲
曲面法向量的指向决定曲面的侧.
决定了侧的曲面称为有向曲面.
曲面的投影问题: 在有向曲面Σ上取一小块
曲面 S , S在xoy面上的投影(S)xy为
( )xy 当cos 0 时
(S)xy ( )xy 当cos 0 时.
0
当cos 0 时
其中( )xy 表示投影区域的面积.
第二类曲面积分
一、基本概念 二、概念的引入 三、概念及性质 四、计算法 五、两类曲面积分之间的联系
复习
对面积的曲面积分的定义
n
f
( x,
y, z)dS
lim
0 i1
f
(i ,i ,
i
)Si
性质
(1) kf ( x, y, z) dS k f ( x, y, z) dS;
(2) [ f ( x, y, z) g( x, y, z)]dS
给出,Σ是速度场中的一片有向曲面,函数
P( x, y, z), Q( x, y, z), R( x, y, z) z
都在Σ上连续, 求在单位
时间内流向Σ指定侧的流
体的质量.
o
y
x
1. 分割 把曲面Σ分成
第i 小块曲面的面积),
在 si 上任取一点
(i ,i , i ),
则该点流速为
vi
.
n小块
si
f ( x, y, z) dS f [ x, y, z( x, y)] 1 zx2 zy2 dxdy;
Dxy
一投： 将曲面 向 xoy 面投影，得 Dxy .
二换：
dS
1
z
2 x
(
x,
y)
z2y (
x,
y)
dxdy;
三代： f ( x, y, z) : z z( x, y) f ( x, y, z( x, y));
3. 若曲面 ： x x( y, z) 则
f ( x, y, z)dS f [ x( y, z), y, z] 1 xy2 xz2 dydz.
D yz
一投：
将曲面 向 yoz 面投影，得 Dyz .
二换：
dS 1 x2y ( y, z) xz2( y, z) dydz;
三代：
f ( x, y, z) : x x( y, z) f ( x( y, z), y, z);
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数学分析22-2222 第二型曲面积分
R( i
,i
,
i
)( Si
) xy
我们就抽象出如下对坐标的曲面积分的概念
定义 设Σ为光滑的有向曲面,函数在Σ上有界,
把Σ分成n块小曲面Si (Si 同时又表示第
i 块小曲面的面积),Si 在 xoy面上的投影为
(Si )xy,(i ,i , i )是Si 上任意取定的一点,
如果当各小块曲面的直径的最大值 0时,
n
lim
0
i 1
给出,Σ 是速度场中的一片有向曲面,函数
P( x, y, z), Q( x, y, z), R( x, y, z) z
都在Σ 上连续, 求在单位
时间内流向Σ 指定侧的流
体的质量.
o
y
x
v
A
n
0
如果流体流过平面上面积为 A 的一个闭区域 且流体在这闭区域上各点处的流速为(常向量)v 又 设 n 为该平面的单位法向量 那么在单位时间内流 过这闭区域的流体组成一个底面积为 A、斜高为|v| 的斜柱体
该ni0点 处co曲s面i iΣ
的单位法向量
cos i j cos
i
k
,
通过si 流向指定侧的流量的近似值为
vi niSi (i 1,2,, n).
2. 求和 通过Σ 流向指定侧的流量
n
vi niSi
i 1 n
[P(i ,i , i ) cosi Q(i ,i , i ) cos i
〖提示〗把Si 看成是一小块平面 其法线向量为 ni 则通过Si 流向指定侧的流量近似地等于一 个斜柱体的体积
此斜柱体的斜高为|vi| 高为|vi|cos(vi^ni)vi·ni 体积为 vi·niSi
第二类曲面积分
i
S i , yz , S i , zx , S i , xy
Si
v ( i , i , i ) n i S i
0
Σ 在该点的单位法向量为 n i
0
[ P ( i , i , i ) cos i Q ( i , i , i ) cos i R ( i , i , i ) cos i ] S i
第五节 对坐标的曲面积分
第五节 对坐标的曲面积分
一.对坐标的曲面积分的概念与性质
曲面的方向 双侧曲面有两个侧面，任意规定一个 侧面为正侧，另一个侧面便是负侧
为封闭曲面: 一般外侧为正侧,内侧为负侧. 为非封闭曲面: 由曲面上法向量的方向来确定正负侧. 例如:曲面x=x(y,z),如果法向量指向前,则确定前侧为正 侧,后侧为负侧 这种取定了法向量也就确定了侧的曲面叫有向曲面 -
x ) cos ( 2 f y ) cos ( f z ) cos ]dS
1 3
1 3
[( f
D
x ) ( 2 f y ) ( f z )] d
y z )d
( x
D
1 2
三 高斯公式
定理 (高斯定理)
空间闭区域上的三重积分与其边 界曲面上的曲面积分之间的关系
R ( x , y , z ) dxdy
(2)如果f(x,y,z)在曲面∑上连续，则曲面积分存在
(3) 常见组合积分 (例如流量Φ)
Pdydz Qdzdx Rdxdy
(4) 基本性质与第一类曲面积分类似,两类积分的最主要 的区别为
S i , yz , S i , zx , S i , xy
Si
v ( i , i , i ) n i S i
0
Σ 在该点的单位法向量为 n i
0
[ P ( i , i , i ) cos i Q ( i , i , i ) cos i R ( i , i , i ) cos i ] S i
第五节 对坐标的曲面积分
第五节 对坐标的曲面积分
一.对坐标的曲面积分的概念与性质
曲面的方向 双侧曲面有两个侧面，任意规定一个 侧面为正侧，另一个侧面便是负侧
为封闭曲面: 一般外侧为正侧,内侧为负侧. 为非封闭曲面: 由曲面上法向量的方向来确定正负侧. 例如:曲面x=x(y,z),如果法向量指向前,则确定前侧为正 侧,后侧为负侧 这种取定了法向量也就确定了侧的曲面叫有向曲面 -
x ) cos ( 2 f y ) cos ( f z ) cos ]dS
1 3
1 3
[( f
D
x ) ( 2 f y ) ( f z )] d
y z )d
( x
D
1 2
三 高斯公式
定理 (高斯定理)
空间闭区域上的三重积分与其边 界曲面上的曲面积分之间的关系
R ( x , y , z ) dxdy
(2)如果f(x,y,z)在曲面∑上连续，则曲面积分存在
(3) 常见组合积分 (例如流量Φ)
Pdydz Qdzdx Rdxdy
(4) 基本性质与第一类曲面积分类似,两类积分的最主要 的区别为
11.5第二类曲面积分
v
A
A
0 n
流量 v A cos 0 v n A v A
(2) 设稳定流动的不可压缩流体(假定密度为 1) 的速度场由
v ( x , y, z ) P ( x , y, z )i Q( x , y, z ) j R( x , y, z )k
2 2 2 2 x dydz x dydz x dydz a dydz 0dydz 3 4
D yz D yz
例 1 计算曲面积分 x2dydz y 2dzdx z 2dxdy 其中 是长
方体的整个表面的外侧 {(x y z)|0xa 0yb 0zc} 解 把的上下面分别记为1和2 前后面分别记为3和 4 左右面分别记为5和6 除3、4外 其余四片曲面在yOz 面上的投影为零 因此
要注意到,这里的dydz ,dzdx , dxdy可能为正也可能
为负, 甚至为零, 而且当 n改变方向时,它们都要改
变符号, 与二重积分的面积微分元 dxdy 总取正值 是有区别的.
（1）、存在条件:
当 P ( x , y , z ), Q ( x , y , z ), R ( x , y , z ) 在有向光滑曲 面Σ 上连续时,对坐标的曲面积分存在.
（2）、物理意义:
P ( x , y , z )dydz Q( x , y , z )dzdx R( x , y , z )dxdy
（3）第二类曲面积分与有向曲面 的法向量的指向有
关。 如果改变曲面 的法向量的指向, 则积分要改
变符号, 即 A ndS A ndS .
D yz
(前正后负)
第二类曲面积分的计算方法-第二类曲面积分
第二类曲面积分的计算方法赵海林 张纬纬摘要 利用定义法,参数法，单一坐标平面投影法,分项投影法，高斯公式，Stokes 公式，积分区间对称性,向量计算形式以及利用两类曲面积分之间的联系等方法进行求解. 关键词 第二类曲面积分 定义法 参数法 投影法 高斯公式 Stokes 公式 向量计算形 式1 引言曲面积分是多元函数积分学的重要组成部分，在曲面积分的计算中，综合运用着一元积分与重积分计算思路、方法与技巧，在第二型曲面积分的学习过程中,必须在理解概念和性质的同时，掌握求第二型曲面积分的方法和技巧。
由于第二型曲面积分的概念抽象费解，计算方法灵活多变，而且涉及的数学知识面广，掌握起来有一定的难度，而且是数学分析学习中的难点，许多学生在求解这一类题型时感到相当困难，因此本文给出了第二型曲面积分计算的几种方法,并举例说明了这几种方法的应用，力图使学生能计算第二型曲面积分，并能进一步了解第一型曲面积分与第二型曲面积分,曲面积分、曲线积分与重积分之间的密切联系，让各种计算方法更加直观的呈现在读者面前，体现了第二型曲面积分计算方法的应用。
2 预备知识2．1第二型曲面积分的概念 2。
1.1 流量问题(物理背景)设稳定流动的不可压缩流体（假定密度为1)的速度为(,,)(,,)(,,)(,,)v x y z P x y z i Q x y z j R x y z k =++,∑是一光滑的有向曲面，求单位时间内从曲面∑一侧流向另一侧的流量Φ. 若∑为平面上面积为S 的区域，而流速v 是常向量，∑指定侧的单位法向量cos cos cos n i j k αβ=++则cos .S v S v n θΦ==⋅⋅若∑为曲面，流速v 不是常向量，则用下面的方法计算流量Φ.(1) 分割将∑任意分成小块(1,2i i S i n S ∆=∆…,),同时代表其面积。
(2) 近似(,,)i i i i i M S ξηζ∀∈∆，以点i M 处的流速()i i v v M =和单位法向量i n 分别代替i S ∆上其他各点处的流速和单位法向量,得到流过i S ∆指定侧的流量的近似值:∆Φ(1,2,i i i S v n i n ≈∆⋅⋅=…,).（3) 求和Φ≈1niiii v n S=⋅⋅∆∑(4） 取极限101max{},=.limniii niiT i T S v n S ≤≤→==∆Φ⋅⋅∆∑设的直径则这种与曲面的侧有关的和式极限就是所要讨论的第二型曲面积分.2。
数学分析22-222.2 第二型曲面积分
(S)xy ( )xy 当cos 0 时.
0
当cos 0 时
其中cos0也就是()xy0的情形
类似地可以定义S在yOz面及在zOx面上的投 影(S)yz及(S)zx
实例 流向曲面一侧的流量. 设稳定流动的不可压缩流体(假定密度为 1)
的速度场由
D
前者可正可负,是 (Si )xy 的象征,后者恒正,是 i 的
象征.
一个规定：如果是分片光滑的有向曲面 我们规 定函数在上对坐标的曲面积分等于函数在各片 光滑曲面上对坐标的曲面积分之和
对坐标的曲面积分的性质:
1（. 曲面可加性）
Hale Waihona Puke Pdydz Qdzdx Rdxdy
1 2
i 1
R(i ,i , i ) cos i ]Si
n
[P(i ,i , i )(Si ) yz Q(i ,i , i )(Si )xz
i 1
R(i ,i , i )(Si )xy
3.取极限 0 取极限得到流量的精确值.
这样的极限还会在其它问题中遇到 抽去它们 的具体意义 就得出下列对坐标的曲面积分的概念
Pdydz Qdzdx Rdxdy Pdydz Qdzdx Rdxdy
1
2
2（. 方向性）设是有向曲面，－表示与取相反侧的 有向曲面，则
Pdydz Qdzdx Rdxdy Pdydz Qdzdx Rdxdy
对坐标的曲面积分的性质:
y, z)dzdx
lim
0
Q(i ,i , i )(Si )zx
i1
定义 设 是空间内一个光滑的曲面 n(cos cos cos)是其
数学分析 第二型曲面积分
Σ
Σ
记 dσ = (dy ∧ dz, dz ∧ dx, dx ∧ dy), 这三个分量分别是有向面积元在 yz 平面, zx 平面, xy 平面上的投影.
这样 Φ 又常表示为 Σ P dy ∧ dz + Q dz ∧ dx + R dx ∧ dy .
第二型曲面积分
设 F = (P, Q, R) 是 Σ 上的连续向量值函数, 它沿 Σ 的第二型曲面积分 定义为
曲面的方向
为了考虑第二型曲面积分, 我们先介绍曲面的定向(方向).
如果在曲面上存在连续的单位法向量场, 则称该曲面可定向, 否则就称该曲面不 可定向.
本节所涉及的曲面都假定是可定向的. 对于可定向曲面, 其定向(方向) 是指一个 给定的连续单位法向量场 n.
记 n = (cos α, cos β, cos γ), 其中 α, β, γ 分别是 n 与三个坐标轴的夹角. 当 cos γ ≥ 0 时, n 所决定的方向称为曲面的上侧方向; 反之, n 所决定的方向称为 曲面的下侧方向.
ϕ(u, v ) = x(u, v ), y(u, v ), z(u, v ) , (u, v ) ∈ D. 记 N = ϕu × ϕv , 则 N 为曲面的法向量. 如果 N/ N = n, 则称 ϕ 是与给定定向相容的参数表示. 我们总是选取与给定 定向相容的参数表示. 在参数表示下, 我们知道 dσ = N dudv , 因此有向面积元可以表示为 dσ = Ndudv .
=
∂(x, y ) ∂(u, v )
du dv .
此时 Φ 可以写为
∂(y, z) ∂(z, x) ∂(x, y)
Φ=
F · Ndudv =
D
D
P
12-5 第二类曲面积分
i =1 n
. .
按对面积的曲面积分的定义, 按对面积的曲面积分的定义,
= ∫∫ {P( x, y, z ) cos α + Q( x, y, z ) cos β + R( x, y, z ) cos γ }dS = ∫∫ V indS
∑ ∑
我们就抽象出如下对坐标的曲面积分的概念. 我们就抽象出如下对坐标的曲面积分的概念.
给出,∑是速度场中的一片有向曲面,函数 给出, 是速度场中的一片有向曲面,
P ( x , y , z ), Q( x , y , z ), R( x , y , z )
都在∑上连续, 都在∑上连续, 求在单位 时间内流向∑ 时间内流向∑指定侧的流 体的质量 Φ .
x
z
∑
o
y
E-mail: xuxin@
E-mail: xuxin@
为光滑的有向曲面, 函数在∑上有界, 定义 设∑为光滑的有向曲面, 函数在∑上有界, 把∑分成 n块小曲面 Si ( Si 同时又表示第 i 块小曲面的面积), Si 在 xoy面上的投影为 块小曲面的面积), (Si )xy , (ξi ,ηi ,ζ i )是 Si 上任意取定的一点, 上任意取定的一点, 如果当各小块曲面的直径的最大值 λ → 0时,
E-mail: xuxin@
存在条件: 存在条件
当 P ( x , y , z ), Q( x , y , z ), R( x , y , z ) 在 有 向 光 滑 曲面∑上连续时,对坐标的曲面积分存在. 曲面∑上连续时,对坐标的曲面积分存在.
(σ )xy 当cosγ > 0 时 (S)xy = (σ )xy 当cosγ < 0 时. 0 当cosγ = 0 时
. .
按对面积的曲面积分的定义, 按对面积的曲面积分的定义,
= ∫∫ {P( x, y, z ) cos α + Q( x, y, z ) cos β + R( x, y, z ) cos γ }dS = ∫∫ V indS
∑ ∑
我们就抽象出如下对坐标的曲面积分的概念. 我们就抽象出如下对坐标的曲面积分的概念.
给出,∑是速度场中的一片有向曲面,函数 给出, 是速度场中的一片有向曲面,
P ( x , y , z ), Q( x , y , z ), R( x , y , z )
都在∑上连续, 都在∑上连续, 求在单位 时间内流向∑ 时间内流向∑指定侧的流 体的质量 Φ .
x
z
∑
o
y
E-mail: xuxin@
E-mail: xuxin@
为光滑的有向曲面, 函数在∑上有界, 定义 设∑为光滑的有向曲面, 函数在∑上有界, 把∑分成 n块小曲面 Si ( Si 同时又表示第 i 块小曲面的面积), Si 在 xoy面上的投影为 块小曲面的面积), (Si )xy , (ξi ,ηi ,ζ i )是 Si 上任意取定的一点, 上任意取定的一点, 如果当各小块曲面的直径的最大值 λ → 0时,
E-mail: xuxin@
存在条件: 存在条件
当 P ( x , y , z ), Q( x , y , z ), R( x , y , z ) 在 有 向 光 滑 曲面∑上连续时,对坐标的曲面积分存在. 曲面∑上连续时,对坐标的曲面积分存在.
(σ )xy 当cosγ > 0 时 (S)xy = (σ )xy 当cosγ < 0 时. 0 当cosγ = 0 时
课件：第二型曲面积分
将 任意分成n 小块Si (i 1,2,,n) ，其面积亦记为Si ，
设 d max{Si的直径} 。M i (i , i , i )Si ， 在点M i
1in
处的单位法向量
为
ni
，作和式
n
A(i , i , i ) ni Si
，如果
i1
当 d 0时 ， 对 的任意分法及点 M i的任意选取 ，上述和
Dxy
a3
dxdy Dxy
a3
dxdy
2
3 a Dxy
a2
x2
y2 dxdy
2 a3
2 a3 4 。
3
3
xdy dz
4
类似地
I
3 [ ( x2 y2 z2 )2 前
]=
后
3
ydz dx
4
I
3 [ ( x2 y2 z2 )2 右
]=
左
3
I
xdy dz
R( x, y, z)d x d y Dxy R(x, y, z( x, y))d x d y
•若
则有
P(
x,
y,
z)d
y
dz
Dyz
P(
x(
y,
z)
,
y, z) d y d z
(前正后负)
•若
则有
Q( x, y, z)d z d x Dzx Q (x, y(z, x) , z ) d z d x
4 a
6
：
z
0
(0
x
a,
0
y
a)
x
的下侧；
2 3
ay
6
I y(x z)dydz x2dzdx( y2 xz)dxdy
第二型曲面积分
作为正侧,下侧作为负侧;又把封闭曲面的外侧作为
正侧, 内侧作为负侧.
数学分析 第二十二章 曲面积分
高等教育出版社
§2 第二型曲面积分 曲面的侧
概念
计算
两类曲面积分的联系
第二型曲面积分的概念
先考察一r 个计算流量的问题. 设某流体以流速 v P( x, y, z) i +Q( x, y, z) j +R( x, y, z) k
S : y y(z, x), (z, x) D(zx) 上连续时, 有
Q( x, y, z)dzdx Q( x, y(z, x), z)dzdx. (4)
S
Dzx
这里 S 是取法线方向与 y 轴的正向成锐角的那一
侧为正侧.
数学分析 第二十二章 曲面积分
高等教育出版社
§2 第二型曲面积分 曲面的侧
Pdydz Qdzdx Rdxdy
S
k
Pdydz Qdzdx Rdxdy . i 1 Si
数学分析 第二十二章 曲面积分
高等教育出版社
§2 第二型曲面积分 曲面的侧
概念
计算
两类曲面积分的联系
第二型曲面积分的 计 算
定理22.2
设 R( x, y, z)是定义在光滑曲面 S : z z( x, y),( x, y) D( xy).
H P( x, y, z)dydz Q( x, y, z)dzdx R( x, y, z)dxdy .
S
数学分析 第二十二章 曲面积分
高等教育出版社
§2 第二型曲面积分 曲面的侧
概念
计算
两类曲面积分的联系
若以 S 表示曲面 S 的另一侧, 由定义易知
Pdydz Qdzdx Rdxdy
正侧, 内侧作为负侧.
数学分析 第二十二章 曲面积分
高等教育出版社
§2 第二型曲面积分 曲面的侧
概念
计算
两类曲面积分的联系
第二型曲面积分的概念
先考察一r 个计算流量的问题. 设某流体以流速 v P( x, y, z) i +Q( x, y, z) j +R( x, y, z) k
S : y y(z, x), (z, x) D(zx) 上连续时, 有
Q( x, y, z)dzdx Q( x, y(z, x), z)dzdx. (4)
S
Dzx
这里 S 是取法线方向与 y 轴的正向成锐角的那一
侧为正侧.
数学分析 第二十二章 曲面积分
高等教育出版社
§2 第二型曲面积分 曲面的侧
Pdydz Qdzdx Rdxdy
S
k
Pdydz Qdzdx Rdxdy . i 1 Si
数学分析 第二十二章 曲面积分
高等教育出版社
§2 第二型曲面积分 曲面的侧
概念
计算
两类曲面积分的联系
第二型曲面积分的 计 算
定理22.2
设 R( x, y, z)是定义在光滑曲面 S : z z( x, y),( x, y) D( xy).
H P( x, y, z)dydz Q( x, y, z)dzdx R( x, y, z)dxdy .
S
数学分析 第二十二章 曲面积分
高等教育出版社
§2 第二型曲面积分 曲面的侧
概念
计算
两类曲面积分的联系
若以 S 表示曲面 S 的另一侧, 由定义易知
Pdydz Qdzdx Rdxdy
第二型曲面积分
D( xy )
类似地, 类似地,当 P ( x , y , z ) 在光滑曲面
S : x = x ( y , z ) , ( y , z ) ∈ D( yz )
上连续时, 上连续时,有
∫∫ P ( x , y , z )dydz = ∫∫ P ( x( y, z ), y, z )dydz .
S D( yz )
S Dzx
(4)
这里 S 是取法线方向与 y 轴的正向成锐角的那一 侧为正侧. 侧为正侧.
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例1 计算 ∫∫ xyzdxdy ,
S
z
其中 S 是球 面 x 2 + y 2 + z 2 = 1 在 x ≥ 0 , y ≥ 0 部分并取球 面 的外侧( 的外侧(图 22-6). ) 在第一、 解 曲面 S 在第一、五卦限部 分的方程分别为
i =1 ||T ||→0 i =1
n
n
+Q(ξ i ,η i , ζ i )Si ( zx ) + R(ξ i ,ηi , ζ i )S i ( xy ) .
这种与曲面的侧有关的和式极限就是所要讨论的第
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二型曲面积分. 二型曲面积分 定义1 上的函数. 定义 设 P, Q, R 为定义在双侧曲面 S 上的函数 对 S 作分割 T , 它把 S 分为 S1 , S 2 , L , S n , 分割 T 的细度为
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≥ 0, Si ( yz ) ≤ 0, ≥ 0, Si ( zx ) ≤ 0,
I = lim
n
Si 取前侧 , Si 取后侧; Si 取右侧 , Si 取左侧 .
)S i ( yz )
(ξ i ,η i , ζ i ) ∈ S i , i = 1, 2, L , n . 若
类似地, 类似地,当 P ( x , y , z ) 在光滑曲面
S : x = x ( y , z ) , ( y , z ) ∈ D( yz )
上连续时, 上连续时,有
∫∫ P ( x , y , z )dydz = ∫∫ P ( x( y, z ), y, z )dydz .
S D( yz )
S Dzx
(4)
这里 S 是取法线方向与 y 轴的正向成锐角的那一 侧为正侧. 侧为正侧.
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例1 计算 ∫∫ xyzdxdy ,
S
z
其中 S 是球 面 x 2 + y 2 + z 2 = 1 在 x ≥ 0 , y ≥ 0 部分并取球 面 的外侧( 的外侧(图 22-6). ) 在第一、 解 曲面 S 在第一、五卦限部 分的方程分别为
i =1 ||T ||→0 i =1
n
n
+Q(ξ i ,η i , ζ i )Si ( zx ) + R(ξ i ,ηi , ζ i )S i ( xy ) .
这种与曲面的侧有关的和式极限就是所要讨论的第
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二型曲面积分. 二型曲面积分 定义1 上的函数. 定义 设 P, Q, R 为定义在双侧曲面 S 上的函数 对 S 作分割 T , 它把 S 分为 S1 , S 2 , L , S n , 分割 T 的细度为
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≥ 0, Si ( yz ) ≤ 0, ≥ 0, Si ( zx ) ≤ 0,
I = lim
n
Si 取前侧 , Si 取后侧; Si 取右侧 , Si 取左侧 .
)S i ( yz )
(ξ i ,η i , ζ i ) ∈ S i , i = 1, 2, L , n . 若