数学分析课后习题答案20.00

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数学分析十讲习题册、课后习题答案_

数学分析十讲习题册、课后习题答案_数学分析十讲习题册、课后习题答案习题1-1 1．计算下列极限（1）, 解：原式= == （2）；解：原式（3）解：原式（4），解：原式（5）解：原式= （6），为正整数；解：原式2．设在处二阶可导，计算. 解：原式3．设，，存在，计算. 解：习题1-2 1.求下列极限（1）; 解：原式，其中在与之间（2）; 解：原式===，其中在与之间（3）解：原式，其中在与之间（4）解：原式，其中其中在与之间2．设在处可导，，计算. 解：原式习题1-3 1．求下列极限（1）, 解：原式（2）; 解：（3）; 解：原式（4）; 解：原式2. 求下列极限（1）; 解：原式（2）; 解：原式习题1-4 1．求下列极限（1）；解：原式（2）求；解：原式（3）；解：原式（4）；解：原式此题已换3．设在处可导，，.若在时是比高阶的无穷小，试确定的值. 解：因为，所以从而解得：3．设在处二阶可导，用泰勒公式求解：原式4. 设在处可导，且求和. 解因为所以,即所以习题1-5 1. 计算下列极限(1) ; ; 解：原式(2) 解：原式2．设，求(1) ；解：原式(2) ，解：由于，所以3．设，求和. 解：因为，所以且从而有stolz定理，且所以，4．设，其中，并且，证明：. 证明：因，所以，所以，用数学归纳法易证，。

又，从而单调递减，由单调有界原理，存在，记在两边令，可得所以习题1-6 1. 设在内可导，且存在. 证明: 证明：2. 设在上可微，和存在. 证明:. 证明：记（有限），（有限），则从而所以 3. 设在上可导，对任意的, ，证明:. 证明：因为，所以，由广义罗必达法则得4．设在上存在有界的导函数，证明:. 证明：，有界，，所以习题2-1 （此题已换）1. 若自然数不是完全平方数，证明是无理数. 1.证明是无理数证明：反证法. 假若且互质，于是由可知,是的因子，从而得即,这与假设矛盾2. 求下列数集的上、下确界. （1）解：（2）解：（3）解：（4）. 解：3．设，验证. 证明：由得是的一个下界. 另一方面，设也是的下界，由有理数集在实数系中的稠密性，在区间中必有有理数，则且不是的下界.按下确界定义， . 4．用定义证明上（下）确界的唯一性. 证明：设为数集的上确界，即.按定义，有.若也是的上确界且 .不妨设，则对有即矛盾. 下确界的唯一性类似可证习题2-2 1．用区间套定理证明：有下界的数集必有下确界. 证明：设是的一个下界，不是的下界，则. 令，若是的下界，则取；若不是的下界，则取. 令，若是的下界，则取；若不是的下界，则取；……，按此方式继续作下去，得一区间套，且满足：是的下界，不是的下界. 由区间套定理，且. 下证：都有，而，即是的下界. 由于，从而当充分大以后，有.而不是的下界不是的下界，即是最大下界2. 设在上无界.证明：存在, 使得在的任意邻域内无界. 证明：由条件知，在上或上无界，记使在其上无界的区间为；再二等分，记使在其上无界的区间为，……，继续作下去，得一区间套，满足在上无界. 根据区间套定理，，且. 因为对任意的，存在，当时，有，从而可知在上无界3.设,在上满足,,若在上连续, 在上单调递增. 证明：存在,使. 证明：记且二等分.若，则记若则记. 类似地,对已取得的二等分,若，则记；若，则记按此方式继续下去，得一区间套，其中根据区间套定理可知，且有 . 因为在上连续，所以注意到可得，再由可知， . 习题2-3 1. 证明下列数列发散. (1), 证因为，所以发散.(2), 证明：因为所以发散. 2．证明:单调数列收敛的充要条件是其存在一个收敛子列. 证明：由收敛数列与子列的关系，结论显然不妨假设数列单调递增，且存在收敛子列，由极限定义对任意给定的，总存在正整数，当时，，从而有；由于，对任意，存在正整数，当时，，取，则任意时，所以，即3. 设极限存在,证明：. 证明：记由海茵定理，取，得取，得取，得，解得（此题取消）4. 数列收敛于的充要条件是：其偶数项子列和奇数项子列皆收敛于（此题改为4）5. 已知有界数列发散，证明:存在两个子列和收敛于不同的极限. 证明：因为有界，由致密性定理，必有收敛的子列，设. 又因为不收敛，所以存在，在以外，有的无穷多项，记这无穷多项所成的子列为，显然有界.由致密性定理，必有收敛子列，设，显然 . 习题2-5 1. 用柯西收敛准则判定下列数列的收敛性(1) 解：所以，对，即为柯西列(2) . 解：所以，对，即为柯西列2. 满足下列条件的数列是不是柯西列? (1) 对任意自然数,都有解：不是柯西列，如，对任意的自然数，但数列不收敛。

《数学分析论》习题解答

《数学分析选论》习题解答第四章积分学１．设∈f R ],[b a ，f g 与仅在有限个点取值不同．试用可积定义证明∈g R ],[b a ，且=⎰bax x g d )(⎰bax x f d )(．证显然，只要对g 与f 只有一点处取值不同的情形作出证明即可．为叙述方便起见，不妨设)()(b f b g ≠，而当),[b a x ∈时)()(x f x g =．因∈f R ],[b a ，故11||||,0,0δ<>δ∃>ε∀T 当时，对一切{}ni 1ξ，恒有,2)(1ε<-∆ξ∑=ni i i J x f 其中 x x f J b a⎰=d )(．令⎭⎬⎫⎩⎨⎧-εδ=δ|)()(|2,m in 1b f b g ，则当δ<||||T 时，有,2)()()()()()(1111ε+∆ξ-ξ<-∆ξ+∆ξ-∆ξ≤-∆ξ∑∑∑∑====n n n ni i i n i ni i i i i ni i i x f g Jx f x f x g Jx g而上式最末第二项又为⎪⎩⎪⎨⎧=ξε<-≤≠ξ=∆ξ-ξ..b T b f b g b x f g n n n n n ,2||||)()(,,0)()(所以，无论b n =ξ或b n ≠ξ，只要δ<||||T ，便有ε=ε+ε<-∆ξ∑=22)(1ni i i J x g ．这就证得∈g R ],[b a ，且x x f J x x g bab a⎰⎰==d d )()(． □２．通过化为定积分求下列极限：（１）∑-=∞→+1222limn k n kn n ；（２）nn n n n n)12()1(1lim-+∞→Λ．解（１）由于∑∑-=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=1210221122n k n k n n n k k n n I .，因此2arctan 212lim 01102π==+=⎰∞→xx x I n n d ．（２）记nnn n n n n n n nJ ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=-+=11111)12()1(1ΛΛ.，∑-=⎪⎭⎫⎝⎛+==111n k n n n k nJ I n l n l ．则有122)()lim 12211-=-==+=⎰⎰∞→n l n l d n l d 1n(l x x x x x x x I n n ，ee e4lim 12ln 2lim ===-∞→∞→nn I n n J ． □ ３．证明：若∈f R ],[b a ，则],[],[b a ⊂βα∀，∈f R ],[βα．证由条件，],[,0b a T ∃>ε∀，使ε<∆ω∑)(T ii x ．T 中添加βα,两点作为新的分点后，得到新的分割],[b a T '，并记T '落在],[βα上的部分为T ''],[βα．则对上述],[,0βα''∃>εT ，使得ε<∆ω≤∆ω≤∆ω∑∑∑''''''''')()()(T ii T i i T i i x x x ，所以证得∈f R ],[βα． □ *４．用可积第二充要条件重新证明第１题中的∈g R ],[b a ．证设g 与f 仅有一点处的值不同，记此点为],[b a ∈τ．由条件，],[,0b a T ∃>ε∀，使得2)(ε<∆ω∑T i i fx ．若τ落在T 的第k 个小区间中，则有k k gk k gT i ki ifT i i g x x x x ∆ω+ε<∆ω+∆ω=∆ω∑∑≠2)()(．由于∈f R ],[b a ，因此f 在],[b a 上有界，而g 与f 仅有)()(τ≠τf g ，故g 在],[b a 上亦有界，设∈≤x M x g ,|)(|],[b a ．于是，只要MT 4||||ε<，便能使 2||||2ε<≤∆ωT M x k k g．这样就可证得 ε=ε+ε<∆ω∑22)(T i igx ，即∈g R ],[βα．（注：如果原来的分割T 尚不能满足MT 4||||ε<的要求，那么只需将此分割足够加细，直到能满足如上要求．） □５．设f 在],[b a 上有界，{}],[b a a n ⊂，且有c a n n =∞→lim ．证明：若f 在],[b a 上只有),2,1(Λ=n a n 为其间断点，则∈f R ],[b a ．证设∈≤x M x f ,|)(|],[b a ．为叙述方便起见，不妨设a c =．于是，0>ε∀，0>∃N ，当Ma a a N n n 4,ε+<≤>时．由于f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡ε+b M a ,4上至多只有N 个间断点，因此可积．故对上述0>ε，存在1T ⎥⎦⎤⎢⎣⎡ε+b M a ,4，使得2)(1ε<∆ω∑T i i x ．而f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡ε+M a a 4,上的振幅M 20≤ω，所以把1T 与⎥⎦⎤⎢⎣⎡ε+M a a 4,合并成],[b a T 后，必使ε=ε+ε<∆ω+εω≤∆ω∑∑224)(0)(1T i i T i i x M x .．故证得∈f R ],[b a ． □*６．设∈g f ,R ],[b a ．证明：],[b a T ∀，若在T 所属的每个小区间i ∆上任取两点),,2,1(,n i i i Λ=ηξ，则有=∆ηξ∑=→ni i i i T x g f 10||||)()(limx x g x f ba⎰d )()(．证由条件易知∈)(g f .R ],[b a ，记x x g x f I ba⎰=d )()(．故0,01>δ∃>ε∀，当1||||δ<T 时，对一切{}ni 1ξ，有2)()(1ε<-∆ξξ∑=ni i i i I x g f ．因∈f R ],[b a ，故f 有界，设∈≤x M x f ,|)(|],[b a ．又由∈g R ],[b a ，22||||,0δ<>δ∃T 当时，有Mx T i ig2)(ε<∆ω∑．记{}21,m in δδ=δ，则当δ<||||T 时，有...22|)()(||)(|)()()()()()()()(ε=ε<∆ω≤∆ξ-ηξ≤∆ξξ-∆ηξ∑∑∑∑MM x M x g g f x g f x g f T i i gT ii i i T i i i T i i i所以证得δ<||||T 时满足.ε=ε+ε<-∆ξξ+∆ξξ-∆ηξ≤-∆ηξ∑∑∑∑==22)()()()()()()()(1)()(1ni i i i T ii i T i i i ni i i i I x g f x g f x g f I x g f此即==∆ηξ∑=→I x g f ni i i i T 10||||)()(limx x g x f ba⎰d )()( 成立． □７．证明：若∈f R ],[b a ，且0)(≥x f ，则必有∈f R ],[b a ．证根据复合可积性命题（教材p.99例５）,外函数u 在),0[∞+上连续，内函数)(x f u =在],[b a 上可积，则复合函数)(x f 在],[b a 上可积． □８．设∈f R ],[b a ．证明：若任给∈g R ],[b a ，总有0)()(=⎰x x g x f b ad ，则f在其连续点处的值恒为零．证由g 的任意性，特别当取f g =时，同样有0)()()(2==⎰⎰x x f x x g x f babad d ．把教材 p.103 例１（３）中的)(x f 换成)(2x f ，则得)(2x f 在其连续点处恒为零，亦即)(x f 在其连续点处恒为零． □*９．证明：若f 在],[b a 上连续，且0)()(==⎰⎰x x f x x x f babad d ，则至少存在两点),(,21b a x x ∈，使得0)()(21==x f x f ．证若在),(b a 内0)(≠x f ，则由f 连续，恒使0)(0)(<>x f x f 或．于是又使)0(0)(<>⎰或x x f bad ，这与)(=⎰x x f ba d 相矛盾．所以),(1b a x ∈∃，使得0)(1=x f ．倘若f 在),(b a 内只有一个零点1x ，不妨设⎩⎨⎧∈<∈>.),(,0,),(,0)(11a x x x a x x f（若除1x 外)(x f 恒正或恒负，则将导致与上面相同的矛盾．）现令],[,)()()(1b a x x f x x x g ∈-=．易知)(x g 在),(b a 内除1x 外处处为负，从而>00)()()(1=-=⎰⎰⎰x x f x x x f x x x g bababad d d ，又得矛盾．所以f 在),(b a 内除1x 外至少另有一个零点2x ． □１０．证明以下不等式：（１）π+π<⎰π22sin 0x x x d ；（２）144sin 20320π<-π<⎰πx x x d ；（３）6ln 3<<⎰e4ed e x xx ．证（１）设⎪⎩⎪⎨⎧π∈==,],0(,sin ,0,1)(x xxx x f它在],0[π上连续．由于],0(π∈x 时⎪⎭⎫⎝⎛=-='22)()sin cos (1)(x x g x x x x x f ， x x x x g sin cos )(-=在],0[π上连续，且0sin )sin cos ()(<-='-='x x x x x x g ，因此)(0)(,0)0()(x f x f g x g ⇒<'=< 递减．于是.π+π≤ξ+π=ξ+<⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ∈ξ∃+=⎰⎰⎰⎰⎰πππππππ2212sin 1,2sin sin sin 220220x x x x xx x x xx xxd d d d d（２）由（１）已知2sin 20π<⎰πx x x d ，于是 0sin 220>-π⎰πx x xd ；再由⎥⎦⎤⎢⎣⎡π∈-≥2,0,!31sin 3x x x x ，又可推得 144261sin 320220π-π=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛->⎰⎰ππx x x xxd d ．（３）设]4e ,e [,ln )(∈=x xxx f ．由于)4e ,e e 2(02ln 2)(∈=⇒=-='x xx x x f ，且e1e)ee ]4e ,e 2]4e ,e ====∈∈()(min ,2)()(max [[f x f f x f x x ，因此有62ln 13=<<=⎰⎰⎰e4ee4ee4ed ed d ee x x xx x ． □ １１．设f 在]1,0[上连续可微，1)0()1(=-f f ．证明：1)(102≥'⎰x x f d ．证应用施瓦茨不等式，容易证得[]1)0()1()()(221012=-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡'≥'⎰⎰f f x x f x x f d d ． □ １２．设f 在],[b a 上连续，且0)(>x f ．证明：⎪⎪⎭⎫⎝⎛-≤-⎰⎰x x f ab x x f ab babad d )(1ln )(ln 1．证应用复合平均不等式（参见教材 p .105 例3及其注（ⅱ），（ⅳ）），注意到这里的外函数u ln 是个可微的凹函数（01)ln (2<-=''uu ），立即可得本题结论． □１３．借助定积分证明：（１）n nn ln 11211)1ln(+<+++<+Λ；（２）11211ln 1lim=⎪⎭⎫⎝⎛+++∞→n n n Λ．证（１）利用x1的递减性，有 kk kkx xxk x k k kk kk k ln )1ln(||1111111-+=<<+=+⎰⎰⎰+++.d d d依此对),(1,,2,1n n k -=Λ所得)(1n n -个不等式进行相加，即得本题所要证明的不等式．（２）由以上不等式（１），当∞→n 时，有11ln 1ln ln 11211ln 1ln )1ln(1→+=+<⎪⎭⎫ ⎝⎛+++<+←nn n n n n n Λ，于是结论11211ln 1lim=⎪⎭⎫⎝⎛+++∞→n nn Λ 成立．□ １４．设f 在],[b a 上有0)(≥''x f ．证明：2)()()(12b f a f x x f a b b a f ba+≤-≤⎪⎭⎫⎝⎛+⎰d ．（Ｆ）证因0)(≥''x f ，故f 为一凸函数．取切点为⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫⎝⎛++2,2ba fb a 则必有 ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+'+⎪⎭⎫ ⎝⎛+≥222)(b a x b a f b a f x f ．对上式两边各取],[b a 上的定积分，利用积分不等式性质即得.0)(222)(2)(+-⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+'+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+≥⎰⎰a b b a f xb a x b a f a b b a f x x f b a bad d这时证得（Ｆ）的左部不等式成立．再由凸函数的一般充要条件，有.;;)(2)()()()()())(()(],[,)()()()()(],(,)()()()(a b b f a f xa x ab a f b f a b a f x x f b a x a x ab a f b f a f x f b a x ab a f b f a x a f x f ba ba-+=---+-≤⇒∈---+≤⇒∈--≤--⎰⎰d d这时证得（Ｆ）的右部不等式也成立．后者还可由凸函数的性质与分部积分而得：;;;x x f a b b f a b a f xa x x f ab a f x x f b a x a x x f a f x f b a x x a x f x f a f b ab aba⎰⎰⎰--+-=-'+-≤⇒∈-'+≤⇒∈-'+≥d d d )())(())(()()())(()(],[,))(()()(],[,))(()()(这就得到)]()()([)(2a b b f a f x x f b a-+≤⎰d ． □１５．应用施瓦茨不等式证明: （１）若∈f R ],[b a ，则x x f a b x x f b a b a ⎰⎰-≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡d d )()()(22；（２）若∈f R ],[b a ，0)(>≥m x f ，则2)()(1)(a b x x f x x f b aba-≥⎰⎰d d ；（３）若∈g f ,R ],[b a ，则[]x x g x x f x x g x f b a b a ba ⎰⎰⎰+≤+d d d )()()()(222；（４）若f 在],[b a 上非负、连续，且1)(=⎰x x f b ad ，则1sin )(cos )(22≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰⎰x kx x f x kx x f b a b a d d ．证（１）x x f a b x x f xx x f b abababa ⎰⎰⎰⎰-=≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡d d d d )()()(1)(2222．（２）条件∈f R ],[b a ，0)(>≥m x f ，保证了∈f1R ],[b a ，于是有 ()..2222)()(1)()(1)()(1)(a b x x f x f x x f x x f x x f xx f b a bab ababa-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎰⎰⎰⎰⎰d d d d d（３）[]..2222222222)()()()(2)()()()(2)()()()(⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=++≤++=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰x x g x x f xx g x x f x x g x x f xx g x f x x g x x f x x g x f babababababab ab a b a ba d d d d d d d d d d （４）由于,cos )()(cos )()(cos )(222x kx x f x x f x kx x f x f x kx x f b ababab a ⎰⎰⎰⎰≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡d d d d .和1)(=⎰x x f bad ，便得x kx x f x kx x f bab a ⎰⎰≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡d d 22cos )(cos )(，同理又有x kx x f x kx x f bab a ⎰⎰≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡d d 22sin )(sin )(，因此两式相加后得到1)(sin )(cos )(22=≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰⎰⎰x x f x kx x f x kx x f bab a b a d d d ． □１６．用积分中值定理证明：若f 为]1,0[上的递减函数，则)1,0(∈∀a ，恒有x x f x x f a a⎰⎰≤010)()(d d ；（Ｆ１）并说明其几何意义．证把欲证的不等式（Ｆ１）改写为)2()(1)(11)()()()(011010F .x x f ax x f axx f x x f a x x f a x x f a aaaaa ⎰⎰⎰⎰⎰⎰≤-⇔≤+=d d d d d d由积分中值定理，))0()((11f a f ≤μ≤μ∃，使1101)(1μ=μ=⎰a ax x f aa.d ；又))()1((22a f f ≤μ≤μ∃，使221)1(11)(11μ=-μ-=-⎰a ax x f aa.d ．由于12)(μ≤≤μa f ，因此（Ｆ２）成立，（Ｆ１）亦随之成立．此结论的几何意义是：如图所示，当f 为]1,0[上的递减函数时，（Ｆ２）表示)(x f 在区间],0[a 上的平均值)(1μ必定大于或等于它在]1,[a 上的平均值)(2μ；而（Ｆ１）又表示上述1μ亦必大于或等于)(x f 在整个区间]1,0[上的平均值 (x x f ⎰=μ10)(d )． □*１７．设f 在]1,0[上为严格递减函数．证明（并说明其几何意义）：（１）)1,0(∈ξ∃，使)1()1()0()(1f f x x f ξ-+ξ=⎰d ；（２）)1,0(,)0(∈η∃>∀f c ，使)1()1()(1f c x x f η-+η=⎰d ．证（１）直接利用积分第二中值定理，当f 为单调函数时，)1,0(∈ξ∃，使)1()1()0()1()0()(11f f x f x f x x f ξ-+ξ=+=⎰⎰⎰ξξd d d ．（２）设⎩⎨⎧∈==.]1,0(,)(,0,)(x x f x c x gg 在]1,0[上亦为严格递减函数，类似于题（１），)1,0(∈η∃，使 .)1()1()1()1()0()1()0()()(111f cg g xg x g x x g x x f η-+η=η-+η=+==⎰⎰⎰⎰ηηd d d d本题结论的几何意义如以上二图所示：表现为每图中两个阴影部分的面积相等． □*１８．设f 在],[ππ-上为递减函数．证明：（１）02sin )(≥⎰ππ-xnx x f d ；（２）0)12sin()(≤+⎰ππ-xx n x f d ．x 1 Oy)0(f c η )2(O y )0(f x 1 ξ )1( )1(f)1(f证令)()()(π-=f x f x g ，则g 在],[ππ-上为非负、递减函数．利用积分第二中值定理，∈ξ∃],[ππ-，使.0)2cos 1(2)(02sin )(2sin )(2sin )(2sin )(≥ξ-π-=+π-=π+=⎰⎰⎰⎰ξπ-ππ-ππ-ππ-n n g x nx g xnx f x nx x g x nx x f d d d d又∈η∃],[ππ-，使.0])12cos(1[12)(0)12sin()()12sin()()12sin()()12sin()(≤η+--+π-=++π-=+π++=+⎰⎰⎰⎰ηπ-ππ-ππ-ππ-n n g x nx g xx n f x x n x g x x n x f d d d d□１９．设f 在],[ππ-上为可微的凸函数，且有界．证明：0)12cos()(≤+⎰ππ-xx n x f d ．证利用分部积分法得到x x n x f n x x n x f ⎰⎰ππ-ππ-+'+-=+d d )12sin()(121)12cos()(．由于f 为凸函数，因此f '为递增函数．用f '代替上题（２）中的f ，即证得结论成立．（注意上题中的f 为递减函数，当改为递增函数时，不等号反向．） □*２０．设f 是]1,0[上的连续函数，且满足)1,,1,0(0)(,1)(1010-===⎰⎰n k x x f xx x f x knΛd d ．证明：)1(2|)(|max 10+≥≤≤n x f nx ．证由于)1(212121211212101+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-⎰⎰⎰n x x x x x x nn nnd d d ，因此由条件可得,)10()1(21)(21)()(21)(211101010≤ξ≤+ξ=-ξ=-≤⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎰⎰⎰n f x x f x x f x x x f x nnnn ...d d d)1(2|)(|+≥ξ⇒n f n ，)1(2|)(||)(|max 10+≥ξ≥⇒≤≤n f x f n x ． □２１．设f 在],[b a 上有连续的二阶导函数，0)()(==b f a f ．证明：（１）若41)()(,1)(2222≥'=⎰⎰⎰x x f x x x f x x f bababad d d .则；（２）x x f b x a x x x f ba ba ⎰⎰''--=d d )()()(21)(；*（３）)(max )(121)(],[3x f a b x x f b a x ba''-≤∈⎰.d ．证（１）利用施瓦茨不等式和分部积分可得()..41)()(41)(21)()()()(222222222=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡'≥'⎰⎰⎰⎰⎰x x f x f x x f x x x f x f x x x f x x x f ba b ab a bab a bad d d d d（２）多次应用分部积分及已知条件可得[][],)()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()(x x f x x f b x a x xx f b x x x f b x a x x x f a x x f b x b x x f a x xx f a x x f a x a x x f x x f bab abababababab aba ba⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰-''--='-+''--=''-+'-=-'--='---=-=d d d d d d d d d移项后便有x x f b x a x x x f ba ba⎰⎰''--=d d )()()(21)(．（３）设M x f b a x =''∈)(max],[．利用（２）可得.3)(12)()(2)()()(21)())((21)(a b Mx x b a x M xx f x b a x x x f b x a x x x f ba ba baba-=--≤''--≤''--=⎰⎰⎰⎰d d d d□*２２．设f 在),(B A 上连续，⊂],[b a ),(B A ．证明：)()()()(lima fb f x hx f h x f bah -=-+⎰→d ．证设t t f x F xa⎰=d )()(．由于)()()(,0)(a F b F x x f a F ba-==⎰d ，,)()()()()()(h a F h b F tt f t t f t t f x h x f h a ahb ah b ha ba+-+=-==+⎰⎰⎰⎰++++d d d d因此有[])()()()(1lim )()(lim00a Fb F h a F h b F h x hx f h x f h bah +-+-+=-+→→⎰d ．再由f 连续，从而F 可导，便可证得.)()()()()()(lim)()(lim )()(lim000a fb f a F b F ha F h a F hb F h b F x h x f h x f h h bah -='-'=-+--+=-+→→→⎰d□ ２３．设f 在],[b a 上连续、递增．证明：x x f b a x x f x baba⎰⎰+≥d d )(2)(．证作辅助函数x x f t a x x f x t F tata⎰⎰+-=d d )(2)()(．由于0)(=a F ，因此若能证明)(t F 递增，则0)()(=≥a F b F 即为需证之不等式．为此证明0)(≥'t F 如下：.0)(2)(2)()(2)(21)()(2)(21)()(=+---=+--≥+--='⎰⎰t f ta t f a t t f t t f ta x t f t f t t f ta x x f t f t t F t a t a d d □２４．设f 在),0[∞+上为递增函数．证明：t t f xx F x⎰=0)(1)(d 在),0(∞+上亦为递增函数．证 x x x x ''<'∞+∈'''∀,),0(,，考察,0)()()(11)(1)(11)(1)(1)()(1)(1)(1)()(000000=''''-''-''''-''='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛''-'-'''≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛''-'-''='-⎪⎭⎫ ⎝⎛+''='-''='-''⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰''''''''''''''''x f xx x x f x x x t x f x x t x f x t t f x x t t f x tt f x t t f t t f x t t f x t t f x x F x F x x x x x x x x x x x x d d d d d d d d d故)(x F 在),0(∞+上为递增函数． □*２５．设f 在],[b a 上为递增函数．证明：),(b a c ∈∀，t t f x g xc⎰=d )()(在],[b a 上为凸函数．分析如果f 在],[b a 上更为连续函数，则由)()(x f x g ='为递增函数，立即推知g 为凸函数．但因本题条件只假设f 为递增函数，不能保证g 的可导性，所以只能用凸函数的定义或凸函数的基本充要条件来证明本题结论．证 321321,],[,,x x x b a x x x <<∈∀，由条件)()()(321x f x f x f ≤≤．考察)())((1)(1)()(21221212121221x f x x x f x x t t f x x x x x g x g x x =--≤-=--⎰d ，)())((1)(1)()(22322323232332x f x x x f x x t t f x x x x x g x g x x =--≥-=--⎰d ，232321212)()()()()(x x x g x g x f x x x g x g --≤≤--⇒．所以满足g 为凸函数的充要条件． □２６．设f 在),(∞+∞-上为连续函数．证明：f 是周期函数（周期为π2）的充要条件为积分⎰π+20)(x y x f d 与y 无关．．证令u y x =+，得⎰⎰⎰⎰-==+=+π+ππyy y yu f u f u f x y x f y F 020220)()()()()(du du du d ，)()2()(y f y f y F -+π='⇒．)(y F 与y 无关，即C y F ≡)(，当F 可导时其充要条件为0)(≡'y F ，亦即)()2(y f y f =+π，故f 是以π2为周期的周期函数． □２７．证明：若f 在),[∞+a 上可导，且x x f a⎰∞+d )(与x x f a⎰∞+'d )(都收敛，则必有0)(lim=∞+→x f x ．证因x x f a⎰∞+'d )(收敛，故极限)()(lim )(lima f u f x x f u uau -='∞+→∞+→⎰d存在．再由x x f a⎰∞+d )(收敛，根据 p.119 例１（５），知道0)(lim =∞+→x f x ． □２８．证明：设x x f a⎰∞+d )(为条件收敛．证明：（１）[][]x x f x f x x f x f a a ⎰⎰∞+∞+-+d d )()()()(与都发散；（２）[][]1)()()()(lim=-+⎰⎰∞+→uu f u f u u f u f xa xa x d d ．证（１）倘若[]x x f x f a ⎰∞+±d )()(收敛，则 []{}x x f x x f x f x f aa ⎰⎰∞+∞+=+d d )()()()(μ也收敛，这与x x f a⎰∞+d )(为条件收敛的假设相矛盾．（２）由于[][][]uu f u f uu f uu f u f u u f u f xa xax a xa ⎰⎰⎰⎰-+=-+d d d d )()()(21)()()()(，（Ｆ）而由（１）知[]∞+=-⎰∞+→u u f u f xax d )()(lim，又由条件知A u u f xax =⎰∞+→d )(lim，因此当∞+→x 时，式（Ｆ）右边第二项的极限等于０，故左边的极限等于１． □２9．设h g f ,,在任何有限区间⊂],[b a ),[∞+a 上都可积，且满足)()()(x h x g x f ≤≤．证明：（１）若x x f a⎰∞+d )(与x x h a⎰∞+d )(都收敛，则x x g a⎰∞+d )(也收敛；（２）又若=⎰∞+x x f ad )(J x x h a=⎰∞+d )(，则J x x g a=⎰∞+d )(．证（１）由条件知)()()()(0x f x h x f x g -≤-≤，并[]x x f x h a ⎰∞+-d )()(收敛，故由比较法则推知[]xx f x g a⎰∞+-d )()(收敛．再由x x f a⎰∞+d )(收敛，证得x x g a⎰∞+d )([]{}x x f x f x g a ⎰∞++-=d )()()(也收敛．（２）又因xx h x x g x x f ua uaua⎰⎰⎰≤≤d d d )()()(，J x x h x x f ua u uau ==⎰⎰∞+→∞+→d d )(lim)(lim，所以由极限的迫敛性，证得J x x g x x g uau a==⎰⎰∞+→∞+d d )(lim)(． □30．证明：若f 在),0[∞+上为单调有界的连续可微函数，则x x x f ⎰∞+'0sin )(d 必定绝对收敛；证因f 单调（不妨设为递增），故0)(≥'x f ；又f 有界，故A x f x =∞+→)(lim 存在．由比较法则，因),0[,)(sin )(∞+∈'≤'x x f x x f ，而f '连续，故)0()0()(lim )(0f A f x f x x f x -=-='∞+→∞+⎰d （收敛），所以x x x f ⎰∞+'0sin )(d 绝对收敛． □３１．讨论下列反常积分的敛、散性：（１）x xx x⎰∞++022cos 1d ；（２）x xxx ⎰∞++0100cos d ；（３）⎰1ln xx xd ；（４）x xx ⎰121cos d 1．解（１）由于2221cos 1x xx x x +≥+，而∞+=+=+∞+→∞+→⎰)1(ln lim 211lim202u x x x u uu d ，故由比较法则推知x xx x⎰∞++022cos 1d 发散．（２）由于),0[,2cos 0∞+∈≤⎰u x x ud ，而当∞+→x 时xx+100单调趋于０，因此根据狄利克雷判别法推知x xxx ⎰∞++0100cos d 收敛．又因100,2cos 1412cos 100cos 2≥⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=≥+x x xxx x x xxx ，而x x⎰∞+1001d 发散，x xx⎰∞+1002cos d 收敛，故x x x x ⎰∞+⎪⎪⎭⎫⎝⎛+1002cos 141d 发散，于是导致x xxx ⎰∞++0100cos d 也发散．所以，x xxx ⎰∞++0100cos d 为条件收敛．（３）因为∞==-→+→xx xx x x ln 1limln 1lim 10，所以有1,0=x 两个瑕点．为此需化为两个瑕积分：J I xx xx x xx x x+=+=⎰⎰⎰1012121ln ln ln d d d ．对于I ，由于)0,121(0ln 1lim0=λ<==+→p xx x x .，因此为收敛；对于J ，则因)1,1(1ln 1)1(lim 1=λ==--→p xx x x .，故为发散．所以瑕积分⎰1ln xx xd 为发散．（４）作变换21xu =，把瑕积分化为无穷积分：u u u x xx d ⎰⎰∞+=112cos 211cos d 1，此前已知它是一个条件收敛的反常积分． □３２．证明下列不等式：（１）212214π<-<π⎰x x d ；（２）ee e 211)11(2102+<<-⎰∞+-x x d ．证（１）由于)1,0[∈x 时，有2421111121xxx-≤-≤-，而20arcsin arcsin lim 1112π=-=--→⎰x x x x d ，因此所证不等式 212214π<-<π⎰x xd 成立．（２）由于,1111011222222x x x x x x x x x x x x x x ⎰⎰⎰⎰⎰⎰∞+-∞+--∞+---+<+=<≤d d d d d d ee e e e e而eee e21,)11(211122=-=⎰⎰∞+--x x x x x x d d ，因此所证不等式ee e 211)11(2102+<<-⎰∞+-x x d 成立． □。

数学分析课本（华师大三版）-习题及答案第十二章

第十二章数项级数证明题1．证明下列级数的收敛性,并求其和:(1); ++-+++1)4)(5n (5n 111.1616.1111.61(2) ;+⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫⎝⎛+n n 22312131213121(3);∑++2)1)(n n(n 1(4) ;∑++-+)n 1n 22n ((5).∑-n 212n 2. 证明:若级数发散,则也发散(c ≠0).∑nu∑nCu3. 证明:若数列{a n }收敛于a,则级数.a -a )a (a11n n=+∑+4．证明: 若数列{b n }有,则+∞=∞→n n b lim (1)级数发散;)b (bn 1n ∑-+(2)当b n ≠0时,级数∑=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+11n b1b 1n 15. 证明级数收敛的充要条件是:任给正数ε,有某自然数∑nuN,对一切n>N 总有|u N +u n+1+…+u n |<ε6.　设为正项级数,且存在正数N 0,对一切n>N 0,有∑∑nnv、u n1n n 1n v v u u ++≤7. 设正项级数收敛,证明级数也收敛;试问反之是∑na∑2na否成立?8. 设a n ≥0,且数列{na n }有界，证明级数收敛.∑2n a 9. 设正项级数收敛,证明级数也收敛.∑nu∑+1n n u u 10. 证明下列极限:(1) ;0)(n!n lim 2nn =∞→(2) .1)0(a a )(2n!limn!n >=∞→11. 设{a n }为递减正项数列,证明:级数与同时∑∞=1n na∑∞=0m 2m ma 2收敛或同时发散.12. 设a n >0, b n >0, C n =b nb n+1,证明:1n na a +(1)若存在某自然数N 0及常数K,当n>N 0时,有C n ≥k>0,则级数收敛;∑∞=1n na(2)若n>N 0时有C n ≤0,且,则级数∑=∞→+∞=n1k kn b 1lim发散.∑∞=1n na13. 设级数收敛,证明级数也收敛.∑2na∑>0)(an a nn14. 设a n >0,证明数列{(1+a 1)(1+a 2)…(1+a n )}与级数同时∑na收敛或同时发散.15. 应用阿贝耳判别法或狄利克雷判别法判断下列级数的收敛性:(1) ;∑>+-0)(x ,x 1x n 1)(nnn(2);∑>∈0)(α(0,2π0,x ,n sinnxα(3) .∑-nncos 1)(2n16. 设a n >0,a n >a n+1(n=1,2,…)且a n =0,证明级数∞→n lim ∑+++--na a a 1)(n211n 是收敛的.17. 设,证明:若条件收敛,则2u |u |g ,2u |u |p nn n n n n -=+=∑n u 级数与都是发散的.∑np∑nq二、计算题1. 试讨论几何级数(也称为等比级数)a+r+ar 2+…+ar n +…(a ≠0)的敛散性.2.设级数与都发散,试问一定发散∑nu∑nv)v (un n∑+吗?又若u n 与v n (n=1,2,…)都是非负数,则能得出什么结论?3.求下列级数的和:(1);∑+-+n)1)(a n (a 1(2);∑++-+1)n(n 12n 1)(1n (3).∑++++1]1)1)[(n (n 12n 224. 应用柯西准则判别下列级数的敛散性:(1) ; (2) ;∑n n2sin2∑+12n n (-1)221-n (3) ; (4) .∑n (-1)n∑+2nn 15. 应用比较原则判别下列级数的敛散性.(1) ; (2) ;∑+22a n 1∑nn3πsin 2(3);∑+2n11(4);∑∞=2n n(lnn)1(5);∑⎪⎭⎫⎝⎛-n 1cos 1(6);∑nnn1(7);∑>⎪⎭⎫⎝⎛-+0)(a ,2n 1a n 1a (8).∑∞=2n lnn(lnn)16. 用积分判别法讨论下列级数的敛散性:(1); (2) ;∑+1n 12∑+1n n 2(3);∑∞=3n )nlnnln(lnn 1(4).∑∞=3n qp (lnlnn)n(lnn)17. 判别下列级数的敛散性:(1) ;∑n n nn!3(2);∑++2n 2n n2(3);∑∞=2n lnn 1(4) ;∑≥-1)(a 1),a (n(5)∑+⋅-⋅12n 12n 421)(2n 31 ;(6).∑>++0)(x ,n)(x 1)(x n!8. 求下列极限(其中P>1):(1) ;⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++++∞→p p p n (2n)12)(n 11)(n 1lim (2) .⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++++∞→2n 2n 1n n p 1p 1p 1lim 9. 下列级数哪些是绝对收敛,条件收敛或发散的:(1) ;∑n!sinnx(2) ;∑+-1n n 1)(n (3);∑+-n1p n n1)((4);∑-n2sin1)(n (5) ;∑+-)n 1n1)((n (6) ;∑++-1n 1)(n l 1)(n n (7) ;∑++-nn )13n 1002n (1)((8);∑nn x(n!(9);∑∞=<<1n )2x (0lnn sinnxπ(10).∑-nn 11)(10. 写出下列级数的乘积:(1);()()∑∑----1n 1n 1n nx 1)(nx (2) ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑∞=∞=0n n 0n n!1)(n!1三、考研复习题1. 证明:若正项级数收敛,且数列{u n }单调,则.∑nu0u lim n n =∞→2. 若级数与都收敛,且成立不等式∑na∑nCa n ≤b n ≤C n (n=1,2,…)证明级数也收敛.若级数,都发散,试问∑nb∑na ∑nC一定发散吗?∑nb3. 若,且级数收敛,证明级数也收0k b a limnnn ≠=∞→∑n b ∑n a 敛.若上述条件中只知道收敛,能推得收敛吗?∑nb∑na4. (1) 设为正项级数,且<1,能否断定级数收∑n u n1n u u +∑n u 敛?(2) 对于级数有||≥1,能否断定级数不绝∑n u n1n u u +∑n u 对收敛,但可能条件收敛.(3) 设为收敛的正项级数,能否存在一个正数ε,使∑nu得0C n 1u limε1nn >=+∞→5. 证明: 若级数收敛,绝对收敛,则级数∑na∑-+)b (bn 1n 也收敛.nnba ∑6. 证明级数是发散的.∑+bn a 17. 讨论级数,(p>0)∑∞=2n pn(lnn)1的敛散性.8. 设a n >0,证明级数∑+++)a (1)a )(1a (1a n21n是收敛的.9. 证明:若级数与收敛,则级数和∑2na∑2nb∑nnba 也收敛,且∑+2n n)b (a()∑∑∑⋅≤+2n2n 2n n b a b a()()()()212n212n212n nb a b a∑∑∑+≤+10. 证明:(1)设为正项级数,若∑na0,a a u u lim 1n n 1n n n >⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++∞→则正项级数收敛,∑n u (2)若级数发散,且∑n a 1,0a a u u lim 1n n 1n n n <⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++∞→则正项级数发散.∑n u。

数学分析课后习题答案--高教第二版(陈纪修)--5章

.k
hd
π π
4
(3) 令 f ( x) = 2 arctan x + arcsin
2x ，注意到 x 2 − 1 > 0, ∀x > 1 ，所以 2 1+ x
由于 f ( x) 在 [1, +∞ ) 连续，所以 f ( x) ≡ f (1) = 2 +
案网
至多有限个点有 f ′( x ) = 0 之外，都有 f ′( x ) > 0 ，则 f ( x ) 在 [ a , b ] 上严格单调增加；同时举例说明，其逆命题不成立。证设 a = x0 < x1 < " < xn −1 < xn = b ，其中 x1 , x2 ," , xn −1 是 f '( x) 全部的零点。则 f ( x) 在 [ xi , xi +1 ] (i = 0,1," , n − 1) 上严格单调增加。从而，f ( x) 在 [a, b] 上严格单调增加。构造函数
(ξ , f (ξ )) 不在 ( a, f ( a )), (b, f (b)) 的连线上。
假设 (ξ , f (ξ )) 在 (a, f (a )), (b, f (b)) 的连线的上方，则
f (ξ ) − f (a ) f (b) − f (a ) f (b) − f (ξ ) > > ， ξ −a b−a b −ξ
的两倍。
5．设函数 f ( x ) 和 g ( x ) 在 [ a , b ] 上连续，在 ( a , b ) 上可导, 证明 ( a , b ) 内存
课
在一点 ξ ，使得
后答
案网
针排列，则ψ ( x) 就是三角形面积的两倍，否则－ψ ( x) 就是三角形面积

数学分析第二版上下册课后答案陈纪修

7
但在[ 0, 1 ] 的任一子区间上都不是单调函数。
解
f
(
x)
=
⎧x
⎨ ⎩1
−
x
x为有理数。
x为无理数
8
第二章数列极限
习题 2.1 实数系的连续性
1. (1) 证明 6 不是有理数；
(2) 3 + 2 是不是有理数? 证（1）反证法。若 6 是有理数，则可写成既约分数 6 = m 。由 m2 = 6n2 ，
3
习题 1.2 映射与函数
1. 设 S = {α , β ,γ }, T = {a,b,c} ，问有多少种可能的映射 f ：S → T ? 其中
哪些是双射?
解有 33 = 27 种可能的映射，其中有 3!= 6 种是双射，它们是
⎧α a
⎧α a
⎧α b
⎧α b
⎧α c
⎧α c
f : ⎪⎨β b ， f : ⎪⎨β c ， f : ⎪⎨β c ， f : ⎪⎨β a ， f : ⎪⎨β a ， f : ⎪⎨β b 。
(3) f (x) = sin2 x + cos2 x , g(x) = 1。
解（1）函数 f 和 g 不等同；
5
（2）函数 f 和 g 不等同；
（3）函数 f 和 g 等同。
7. (1) 设 f (x + 3) = 2x3 − 3x2 + 5x − 1,求 f (x) ；
(2)
设
f
⎜⎛ ⎝
x
x −
(4)
y = f (u) =
u
,u
=
g(x)
=
x x
−1。
+1
( ) ( ) 解（1） y = loga (x2 − 3) ，定义域： − ∞,− 3 ∪ 3,+∞ ，值域： (−∞,+∞) ；

数学分析课后习题答案

习题1．验证下列等式（1）C x f dx x f +='⎰)()( （2）⎰+=C x f x df )()(证明（1）因为)(x f 是)(x f '的一个原函数，所以⎰+='C x f dx x f )()(.（2）因为C u du +=⎰, 所以⎰+=C x f x df )()(.2．求一曲线)(x f y =, 使得在曲线上每一点),(y x 处的切线斜率为x 2, 且通过点)5,2(.解由导数的几何意义, 知x x f 2)(=', 所以C x xdx dx x f x f +=='=⎰⎰22)()(.于是知曲线为C x y +=2, 再由条件“曲线通过点)5,2(”知，当2=x 时，5=y , 所以有 C +=225, 解得1=C , 从而所求曲线为12+=x y3．验证x x y sgn 22=是||x 在),(∞+-∞上的一个原函数. 证明当0>x 时, 22x y =, x y ='; 当0<x 时, 22x y -=, x y -='; 当0=x 时,y 的导数为02sgn lim 0sgn )2(lim020==-→→x x x x x x x , 所以⎪⎩⎪⎨⎧=<-=>='||0000x x xx x xy 4．据理说明为什么每一个含有第一类间断点的函数都没有原函数解由推论3的证明过程可知：在区间I 上的导函数f '，它在I 上的每一点，要么是连续点，要么是第二类间断点，也就是说导函数不可能出现第一类间断点。

因此每一个含有第一类间断点的函数都没有原函数。

5．求下列不定积分⑴C x x x x dx x dx x xdx dx dx x x x +-+-=-+-=-+-⎰⎰⎰⎰⎰-31423233233421)11(⑵C x x x dx x x x dx xx ++-=+-=-⎰⎰||ln 343)12()1(2332122⑶C gxC x gdx x ggxdx +=+⋅==⎰⎰-22212122121 ⑷ ⎰⎰⎰+⋅+=+⋅+=+dx dx dx x x x x x x x x )9624()3)32(22()32(222C x x x ++⋅+=9ln 96ln 624ln 4 ⑸C x dx x dx x +=-=-⎰⎰arcsin 23112344322⑹ C x dx x dx x x dx x x +-=+-=+-+=+⎰⎰⎰)arctan 1(31)111(31)1(311)1(322222 ⑺ C x x dx x xdx +-=-=⎰⎰tan )1(sec tan 22⑻ C x x dx x dx x xdx +-=-=-=⎰⎰⎰)2sin 21(21)2cos 1(2122cos 1sin 2⑼ C x x dx x x dx xx xx dx x x x +-=+=--=-⎰⎰⎰cos sin )sin (cos sin cos sin cos sin cos 2cos 22 ⑽C x x dx x x dx x x x x dx x x x +--=-=⋅-=⋅⎰⎰⎰tan cot )cos 1sin 1(sin cos sin cos sin cos 2cos 22222222 ⑾ C C dt dt tt ttt+=+⋅⋅=⋅=⋅⎰⎰90ln 90)910ln()910()910(3102 ⑿C x dx x dx x x x +==⎰⎰81587158⒀ C x dx xdx x x x x dx x x x x +=-=--+-+=+-+-+⎰⎰⎰arcsin 212)1111()1111(222⒁ C x x xdx dx dx x dx x x +-=+=+=+⎰⎰⎰⎰2cos 212sin 1)2sin 1()sin (cos 2⒂ C x x dx x x xdx x ++=+=⎰⎰)sin 3sin 31(21)cos 3(cos 212cos cos ⒃ C e e e e dx e e e e dx e e x xx x x x x x x x ++--=-+-=------⎰⎰33333313331)33()(习题1．应用换元积分法求下列不定积分：⑴ C x x d x dx x ++=++=+⎰⎰)43sin(31)43()43cos(31)43cos( ⑵ C e x d e dx xe x x x +==⎰⎰222222241)2(41⑶ C x x x d x dx ++=++=+⎰⎰|12|ln 2112)12(2112⑷ C x n x d x dx x n nn +++=++=++⎰⎰1)1(11)1()1()1(⑸Cx x xd xdx x dx xx++=-+-=-+-⎰⎰⎰3arcsin 313arcsin 3)3113131)31131(2222⑹ C C x d dx x x x x +=+=+=++++⎰⎰2ln 22ln 22)32(221222323232⑺C x C x x d x dx x +--=+-⋅-=---=-⎰⎰232321)38(92)38(3231)38()38(3138 ⑻C x C x x d x xdx+--=+-⋅-=---=-⎰⎰-3232313)57(103)57(2351)57()57(5157 ⑼ C x dx x dx x x +-==⎰⎰2222cos 21sin 21sin ⑽ C x x x d x dx++-=++=+⎰⎰)42cot(21)42(sin )42(21)42(sin 22ππππ⑾ 解法一：C xxx d x dxx dx+===+⎰⎰⎰2tan2cos 22cos 2cos 122解法二： ⎰⎰⎰⎰-=--=+xxdxx dx x dx x x dx 222sin cos sin cos 1)cos 1(cos 1 C x x xx d x ++-=--=⎰sin 1cot sin sin cot 2⑿解法一：利用上一题的结果，有C x C x x x d x dx +--=+--=-+--=+⎰⎰)24tan()2(21tan )2cos(1)2(sin 1ππππ 解法二： C x x xx d x dx x dx x x dx +-=+=--=+⎰⎰⎰⎰cos 1tan cos cos cos sin 1)sin 1(sin 1222 解法三：⎰⎰⎰+⋅=+=+222)12(tan 2cos )2cos 2(sin sin 1x x dxx x dx x dxC x x x d ++-=+=⎰12tan 2)12(tan 2tan 22⒀ 解法一：⎰⎰⎰---=-=)2()2sec()2sec(csc x d x dx x xdx πππC x x C x x ++-=+-+--=|cot csc |ln |)2tan()2sec(|ln ππ解法二：C x x x x d dx x x dx x xdx ++-=-===⎰⎰⎰⎰1cos 1cos ln 211cos cos sin sin sin 1csc 22C x x +-=|cot csc |ln解法三：⎰⎰++=dx x x x x x xdx cot csc )cot (csc csc cscC x x C xx x x d ++-=+++-=⎰|cot csc |ln cot csc )cot (csc解法四：⎰⎰⎰==dx x x xdx x x xdx 2cos2sin 22sin2cos 2sin 21csc 2C xC x x d x +=+-=-=⎰|2tan |ln |2cot |ln 2cot 2cot 1⒁C x x d x dx x x +--=---=-⎰⎰22221)1(11211 ⒂ C x dx x dx x x +=+=+⎰⎰2arctan 41)(4121422224⒃C x x x d x x dx +==⎰⎰|ln |ln ln ln ln⒄ C x x d x dx x x +-=---=-⎰⎰25535354)1(1101)1()1(151)1( ⒅ C x x C x x dx x dx x x ++-=++-⋅=-=-⎰⎰|22|ln 281|22|ln 221412)(1412444442483⒆C xx C x x dx x x x x dx ++=++-=+-=+⎰⎰|1|ln |1|ln ||ln )111()1( ⒇ C x dx x xxdx +==⎰⎰|sin |ln sin cos cot(21) ⎰⎰⎰-==x d x xdx x xdx sin )sin 1(cos cos cos 2245C x x x x d x x ++-=+-=⎰5342sin 51sin 32sin sin )sin sin 21((22) 解法一：C x x x x d x x dx +-==⎰⎰|2cot 2csc |ln 2sin )2(cos sin解法二：C x x xd x x xdx x x dx +===⎰⎰⎰|tan |ln tan tan cos sin cos cos sin 2 解法三：⎰⎰+=xx dxx x x x dx cos sin )cos (sin cos sin 22C x x dx xxx x +-=+=⎰|cos |ln |sin |ln )sin cos cos sin ((23) C e e de e dx e e e dx xx x x x x x+=+=+=+⎰⎰⎰-arctan 1122 (24) C x x x x x x d dx x x x ++-=+-+-=+--⎰⎰|83|ln 83)83(83322222(25) C x x x dx x x x dx x x x dx x x ++-+++=+++-+=+++-+=++⎰⎰⎰2323232)1(2312|1|ln ))1(3)1(211()1(3)1(2)1()1(2(26)⎰+22ax dx解令t a x tan =, 则C a x x C t t t a tdt a a x dx+++=++==+⎰⎰||ln |tan sec |ln sec sec 221222(27)C a x x a a x x d a a x dx ++=+=+⎰⎰21222212222322)(1)(1)(解法2 令t a x tan =, 则C ax a x C t a tdt a t a tdt a a x dx ++=+===+⎰⎰⎰222223322322sin 1cos 1sec sec )( (28)⎰-dx xx 251解令t x sin =, 则Cx x x C t t t td t tdt dt t t t dx x x +---+--=+-+-=--===-⎰⎰⎰⎰25223221253225525)1(51)1(32)1(cos 51cos 32cos cos )cos 1(sin cos cos sin 1(29)⎰-dx xx31解令t x =61, 则6t x =, 56t dx =C t t t t t t dt tt t t dt tt t t t dt t t t dt t t dx x x++--+++-=-++++-=-++++-=-+-=-⋅=-⎰⎰⎰⎰⎰|11|ln 26)357(6)11)1((611)1)(1(6111)(61613572246224622422533其中61x t = (30)⎰++-+dx x x 1111解令t x =+1, 则21t x =+, tdt dx 2=,Cx x x C x x x C t t t dt t t dt t t t tdt t tdt t t dx x x +++++-=+++++-+=+++-=++-=+-=+-=+-=++-+⎰⎰⎰⎰⎰|11|ln 414|11|ln 4141|1|ln 44)1442()142(2)121(21111111122．应用分部积分法求下列不定积分： ⑴ C x x x dx x x x x xdx +-+=--=⎰⎰221arcsin 1arcsin arcsin⑵ C x x x dx xx x x xdx +-=⋅-=⎰⎰ln 1ln ln ⑶Cx x x x x xdx x x x x x xd x x xdx x x x x d x xdx x +-+=-+=+=-==⎰⎰⎰⎰⎰sin 2cos 2sin cos 2cos 2sin cos 2sin sin 2sin sin cos 222222 ⑷C x x x dx x x x x xd dx x x +--=+-=-=⎰⎰⎰223223412ln 121ln 211ln 21ln ⑸ C x x x x x xdx x x dx x ++-=-=⎰⎰2ln 2)(ln ln 2)(ln )(ln 222⑹ ⎰⎰⎰+-==dx xx x x xdx xdx x 2222121arctan 21arctan 21arctan C x x x x dx x x x +--=+--=⎰)arctan (21arctan 21)111(21arctan 21222 C x x x +-+=21arctan )1(212⑺ ⎰⎰⎰+=+dx x dx x dx x x ln 1)ln(ln ]ln 1)[ln(ln C x x dx xdx x x x x x +=+⋅-=⎰⎰)ln(ln ln 1ln 1)ln(ln⑻ ⎰⎰--=dx xx x x x dx x 2221arcsin 2)(arcsin )(arcsin⎰-+=221arcsin 2)(arcsin x xd x x ⎰----+=dx xx x x x x 22221112arcsin 12)(arcsinC x x x x x +--+=2arcsin 12)(arcsin 22⑼ ⎰⎰⎰-==xdx x x x x xd xdx 23tan sec tan sec tan sec sec⎰⎰⎰+-=--=xdx xdx x x dx x x x x sec sec tan sec )1(sec sec tan sec 32 |tan sec |ln sec tan sec 3x x xdx x x ++-=⎰所以 C x x x x xdx +++=⎰|)tan sec |ln tan sec 21sec 3⑽⎰⎰+⋅-+=+dx ax x x a x x dx a x 222222⎰+-+-+=dx ax a a x a x x )(2222222⎰⎰+++-+=dx ax a dx a x a x x 2222222)ln(2222222a x x a dx a x a x x ++++-+=⎰所以C a x x a a x x dx a x +++++=+⎰))ln((212222222 类似地可得C a x x a a x x dx a x +-+--=-⎰))ln((212222222 3．求下列不定积分：⑴ C x f a x df x f dx x f x f a aa++=='+⎰⎰1)]([11)()]([)()]([ ⑵C x f x df x f dx x f x f +=+=+'⎰⎰)(arctan )()]([11)]([1)(22⑶C x f x f x df dx x f x f +=='⎰⎰|)(|ln )()()()( ⑷ C e x df e dx x f e x f x f x f +=='⎰⎰)()()()()(4．证明：⑴ 若⎰=dx x I n n tan ， ,3,2=n ，则21tan 11----=n n n I x n I 证 ⎰⎰⎰----=-=dx x dx x x dx x x I n n n n 22222tan sec tan )1(sec tan22tan tan ---=⎰n n I x d x .因为⎰⎰-----=x d x n x x d x n n n tan tan )2(tan tan tan 212，所以x n x d x n n 12tan 11tan tan ---=⎰. 从而21tan 11----=n n n I x n I . ⑵ 若⎰=dx x x n m I n m sin cos ),(，则当0≠+n m 时，),2(1sin cos ),(11n m I nm m n m x x n m I n m -+-++=+-)2,(1sin cos 11-+-++-=-+n m I nm n n m x x n m ， ,3,2,=m n证 ⎰⎰+-+==x d x n dx x x n m I n m nm 11sin cos 11sin cos ),( ]sin cos )1(sin [cos 112211⎰+-+--++=dx x x m x x n n m n m ])cos 1(sin cos )1(sin [cos 112211⎰--++=-+-dx x x x m x x n n m n m ))],(),2()(1(sin [cos 1111n m I n m I m x x n n m ---++=+-所以),2(1sin cos ),(11n m I n m m n m x x n m I n m -+-++=+-，同理可得)2,(1sin cos ),(11-+-++-=-+n m I nm n n m x x n m I n m习题1．求下列不定积分：⑴ ⎰⎰⎰-+++=-+-=-dx x x x dx x x dx x x )111(1111233 C x x x x +-+++=|1|ln 2323 ⑵ 解法一：C x x dx x x dx x x x +--=---=+--⎰⎰|3|)4(ln )3142(127222解法二：⎰⎰⎰+-++--=+--dx x x dx x x x dx x x x 12732112772211272222 ⎰⎰---++-+-=)27(41)27(123127)127(21222x d x x x x x dC x x x x +--++-=34ln 23|127|ln 212 ⑶ 解22311)1)(1(111xx CBx x A x x x x +-+++=+-+=+ 去分母得 )1)(()1(12x C Bx x x A ++++-=令1-=x ，得31=A . 再令0=x ，得1=+C A ，于是32=C . 比较上式两端二次幂的系数得 0=+B A ，从而1-=B ，因此⎰⎰⎰+---+=+dxx x x x dx x dx 2312311311⎰⎰+-++---+=dx x x dx x x x x 22112111261|1|ln 31⎰+-++--+=dx x x x x 43)21(121)1ln(61|1|ln 3122C x x x x +-++-+=312arctan 311)1(ln 6122 ⑷ 解 ⎰⎰⎰⎰+--++=+--+=+dx xx dx x x dx x x x x dx 42424224112111211)1()1(211 ⎰⎰⎰⎰++-+-=+--++=22222222221)1(211)1(211112111121x x x x d x x x x d dx x x x dx x x x⎰⎰-++-+--=2)1()1(212)1()1(2122xx x x d x x x x d C xx x x x x +++-+--=2121ln 24121arctan221C x x x x x x ++++---=1212ln 8221arctan 42222 ⑸⎰+-22)1)(1(x x dx解令22222)1(11)1)(1(1++++++-=+-x EDx x C Bx x A x x , 解得41=A , 41-==CB , 21-==E D , 于是 ⎰⎰⎰⎰++-++--=+-dx x x dx x x x dx x x dx 22222)1(1211141141)1)(1(C x x x x x x x +++-++-+--=)1(arctan 411141arctan 41)1ln(81|1|ln 41222 C x x x x x ++-+-+-=)11arctan 21|1|(ln 4122⑹⎰⎰⎰++-+++=++-dx x x dx x x x dx x x x 222222)122(125)122(2441)122(2 其中1221)122()122()122(24222222++-=++++=+++⎰⎰x x x x x x d dx x x x ⎰⎰⎰+++=++=++)12(]1)12[(12]1)12[(4)122(1222222x d x dx x dx x x )12arctan(1)12(122+++++=x x x 参见教材例9或关于k I 的递推公式⑺. 于是，有C x x x x x dx x x x ++-+++-++-=++-⎰)12arctan(251)12(1225122141)122(22222 C x x x x ++-+++=)12arctan(25)122(23522．求下列不定积分⑴⎰-x dx cos 35解令2tan xt =，则C t t t d tdt t dt t t dx x dx+=+=+=++--=-⎰⎰⎰⎰2arctan 21)2(1)2(2141121135cos 3522222 C x+=)2tan 2arctan(21 ⑵⎰⎰⎰⎰+=+=+=+)tan 32(tan cos )tan 32(sin 3cos 2sin 2222222x xd x x dx x x dx x dxC x x x d +=+=⎰)tan 23arctan(61)tan 231()tan 23(612 ⑶ ⎰⎰⎰++-+=+=+dx xx xx x x x x xdx x dx sin cos cos sin sin cos 21sin cos cos tan 1 )sin cos )cos (sin (21)sin cos cos sin 1(21⎰⎰⎰+++=++-+=x x x x d dx dx x x x x C x x x +++=|)sin cos |ln (21另解：设⎰+=x x xdx I sin cos cos 1，⎰+=x x xdxI sin cos sin 2，则C x dx x x xx I I +=++=+⎰sin cos sin cos 21，C x x x x x x d dx x x x x I I ++=++=+-=-⎰⎰|sin cos |ln sin cos )sin (cos sin cos sin cos 21所以C x x x I x dx +++==+⎰|)sin cos |ln (21tan 11⑷⎰⎰⎰-+++-+-=-+22221)1(11xx dx x dx x x dx xx x⎰⎰⎰-++-++---+-=2221231)12(211x x dxx x dx x dx x x其中（利用教材例7的结果）]1)21(512arcsin 45[21)21(451222x x x x dx x dx x x -+-+-=--=-+⎰⎰ 2222121)1(1)12(x x x x x x d x x dx x -+=-+-+=-++-⎰⎰512arcsin)21(45122-=--=-+⎰⎰x x dxxx dx所以有⎰-+dx xx x 221C x x x x x x x +-+-+--+-+--=512arcsin 231221]1)21(512arcsin 45[2122C x x x x +-++--=21432512arcsin 87 ⑸C x x x x x d xx dx ++++=-++=+⎰⎰|21|ln 41)21()21(222⑹⎰+-dx xxx 1112 解令 x x t +-=11，则2211tt x +-=，22)1(4t tdtdx +-=，代入原式得 ⎰⎰⎰⎰---=--=+-⋅⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=+-dt t t dt t t dt t t t t t dx x xx 222222222222)1(114)1(4)1(411111⎰⎰⎰⎰-+-++--=---=dt t t t dt t dt t dt t ]12)1(1)1(1[114)1(141142222222C t t t t dt t t dt t +++---+=-++--=⎰⎰1111|11|ln ])1(1)1(1[112222 C xx x x +---+=221|11|ln总练习题求下列不定积分： ⑴C x x x dx x xx dx xx x +--=--=--⎰⎰-4312134541121414334132454)2(12⑵ ]11arcsin [21arcsin 21arcsin 2222⎰⎰⎰--==dx x x x x dx x dx x x 其中)2sin 21(2122cos 1cos cos sin 1222t t dt t dt t t t dx x x -=-==-⎰⎰⎰)1(arcsin 212x x x --=所以]11arcsin [21arcsin 222⎰⎰--=dx xx x x dx x xC x x x x x +---=)]1(arcsin 21arcsin [2122 C x x x x x +-+-=22141arcsin 41arcsin 21 ⑶⎰+xdx 1解令u x =，则udu dx 2=C u u du uu udu xdx ++-=+-=+=+⎰⎰⎰|)1|ln (2)111(2121 C x x ++-=|)1|ln (2⑷ ⎰⎰⎰⎰===x x x x de x x d x e dx x x e dx x e sin sin sin sin sin 2sin sin 2cos sin 22sinC x e C e x e x d e x e x x x x x +-=+-=-=⎰)1(sin 2)sin (2)sin sin (2sin sin sin sin sin⑸ C x e C e u e du u e u x dx ex u u u x+-=+-==⎰⎰)1(2)(22)(令 ⑹C x x d x x x dx x xdx +-=--=-=-⎰⎰⎰1arcsin )1(1111112222 解法二：令t x sec =，C xC t dt t t t t x xdx +=+==-⎰⎰1arccos tan sec tan sec 12⑺⎰⎰⎰++=+-=+-x x x x d dx x x x x dx x x sin cos )sin (cos sin cos sin cos tan 1tan 1C x x ++=|sin cos |lnC x dx x dx x x +-=-=+-⎰⎰|)4cos(|ln )4tan(tan 1tan 1ππ ⑻ C x x x dx x x x dx x x x +-----=-+-+-=--⎰⎰23232)2(123|2|ln )2(2)2(3)2()2( ⑼C x x x d x xdx x x dx ++=+==⎰⎰⎰32224tan 31tan tan )tan 1(cos sec cos ⑽ ⎰⎰⎰-==dx x dx x dx x 2224)22cos 1()(sin sin⎰⎰++-=+-=dx x x dx x x )24cos 12cos 21(41)2cos 2cos 21(412 C x x x C x x x x ++-=+++-=4sin 3212sin 4183)84sin 22sin (41 ⑾ ⎰+--dx x x x 43523 解⎰⎰-+-=+--dx x x x dx x x x 223)2)(1(5435令22)2(21)2)(1(5-+-++=-+-x C x B x A x x x 去分母得：)1()2)(1()2(52++-++-=-x C x x B x A x 解得：32-=A ，32=B ，1-=C 所以⎰⎰⎰⎰---++-=+--dx x dx x dx x dx x x x 223)2(121321132435 C x x x +-++-=21|12|ln 32 ⑿ ⎰+dx x )1arctan(解令u x =+1，du u dx )1(2-=⎰⎰⎰⎰-⋅=-⋅=+du u du u u du u u dx x arctan 2arctan 2)1(2arctan )1arctan(122)1ln(arctan 2]arctan )1[(C u u u u u u +++--+= C x x x x x ++++-+=)22ln()1arctan(⒀ ⎰⎰⎰+-=+-+=+dx x x x dx x x x x dx x x )22(2222433433747 C x x ++-=)2ln(214144 另解：C x x dx x dx x x x dx x x ++-=+-=+⋅=+⎰⎰⎰)2ln(2141)221(4122444443447 ⒁⎰++dx x x x2tan tan 1tan 解令u x =tan⎰⎰⎰⎰++-+=+++=++du u u du u du u u u u dx x x x 222221111111tan tan 1tanC x x C u u ++-=++-=31tan 2arctan32312arctan32arctan⒂ ⎰⎰-+---=-dx x x x dx x x 10021002)1(1)1(2)1()1( C x x x +-+---=979899)1(971)1(491)1(991 ⒃⎰⎰⎰-+-=-=dx x x xx x d x dx x x 2211arcsin 1arcsin arcsin C xx x x +-+--=|11|ln arcsin 2⒄ ⎰⎰⎰--+=--+=-+2)]1ln()1[ln(21)]1ln()1[ln(11lndx x x dx x x x dx x x x C x xxx dx x x x x x x ++-+-=-++---+=⎰11ln 21)1111(21)]1ln()1[ln(21222⒅⎰⎰⎰+==x d xx dx xx dx xx tan tan tan 1cos tan 1cos sin 1247C x x ++=)tan 511(tan 22⒆ ⎰⎰⎰⎰+-++=+-+=+-dx x x e dx x e dx x x x e dx x x e xx x x22222222)1(21)1(21)11( C xe dx x e x e dx x e x d e dx x e x x x x x x ++=+-+++=+++=⎰⎰⎰⎰2222221111111 ⒇ ⎰=dx uv I n n ，x b a u 11+=，x b a v 22+=解 ][221211⎰⎰⎰--===dx v b u n u v b u d v b dx uv I n nn n n ])([2][21122111121⎰⎰---+-=-=dx uv b a b a v b n u v b dx u uv b n u v b n nn n ])([21122111----=n n nI b a b a n I nb u v b 所以])([)12(2112211---+=n n n I b a b a n u v b n I。

数学分析课本-习题及答案第四章

数学分析课本-习题及答案第四章第四章函数的连续性一、填空题1．设>+=<=0 11sin 0 0sin 1)(x x x x k x x x x f ，若函数)(x f 在定义域内连续，则=k ；2．函数??≤>-=0sin 01)(x x x x x f 的间断点是；3．函数x x f =)(的连续区间是； 4．函数321)(2--=x x x f 的连续区间是；5．函数)3(9)(2--=x x x x f 的间断点是；6．函数)4)(1(2)(+++=x x x x f 的间断点是；7．函数)2)(1(1)(-+=x x x f 的连续区间是；8．设=≠-=-00 )(x k x xe e xf x x 在0=x 点连续，则 =k ；9．函数??≤≤+-<≤+-<≤-+=3x 1 31x 0101 1)(x x x x x f 的间断点是； 10．函数0b a 0)(0)(2≠+??<++≥+=x x x b a x b ax x f .则)(x f 处处连续的充要条件是 =b ；11．函数=≠=-0 0 )(21x a x e x f x，则=→)(lim 0x f x ，若)(x f 无间断点，则=a ；12．如果-=-≠+-=11 11)(2x a x xx x f ，当=a 时，函数)(x f 连续二、选择填空1．设)(x f 和)(x ?在()+∞∞-,内有定义，)(x f 为连续函数，且0)(≠x f ，)(x ?有间断点，则( )A.[])(x f ?必有间断点。

B.[]2)(x ?必有间断点C.[])(x f ?必有间断点D.)()(x f x ?必有间断点 2．设函数bx ea xx f +=)(，在()∞∞-,内连续，且)(lim x f x -∞→0=，则常数b a ,满足( ) A.0,0<>b a C.0,0>≤b a D.0,0<≥b a3．设xx e e x f 1111)(-+=，当,1)(;0-=≠x f x 当0=x ，则A 有可去间断点。

数学分析第三版答案 (2)

数学分析第三版答案简介《数学分析第三版》是一本经典的数学教材，对于数学分析的基本概念、定理和方法进行了系统而全面的介绍。

本文档整理了《数学分析第三版》中的一部分习题答案，希望能够对读者巩固和检验所学知识提供帮助。

目录1.函数、极限与连续2.导数与微分3.一元函数的积分4.多元函数的积分5.级数与广义积分函数、极限与连续习题1.1-1证明下列函数的极限不存在：1.$f(x) = \\sin{\\left(\\frac{1}{x}\\right)}$2.$f(x) = \\frac{\\sin{x}}{x}$解答1.当x趋于0时，$\\frac{1}{x}$趋于无穷大。

由于正弦函数的周期是$2\\pi$，所以当x趋于无穷大时，$\\frac{1}{x}$趋于0。

因此，当x趋于0时，$f(x) =\\sin{\\left(\\frac{1}{x}\\right)}$不收敛。

2.当x趋于无穷大时，$\\sin{x}$在$[-\\pi, \\pi]$上做无限多次振荡。

而x也趋于无穷大，所以$\\frac{\\sin{x}}{x}$在无限多个点上振荡。

因此，当x趋于无穷大时，$f(x) = \\frac{\\sin{x}}{x}$不收敛。

习题1.1-2计算下列极限：1.$\\lim\\limits_{x \\to 0}{\\frac{\\sin{x}}{x}}$2.$\\lim\\limits_{x \\to \\infty}{\\frac{x^2 - 3x +2}{2x^2 + 5}}$3.$\\lim\\limits_{x \\to 1}{\\frac{x^2 - 1}{x - 1}}$解答1.根据拉’Hospital法则，$\\lim\\limits_{x \\to0}{\\frac{\\sin{x}}{x}} = \\lim\\limits_{x \\to0}{\\frac{\\cos{x}}{1}} = 1$。

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1. 计算下列曲线积分:
(1)∫L yds ,其中L 是由x y =2和2=+y x 所围的闭曲线; (2)
∫L ds y ,其中L 为双纽线)()(222222y x a y x −=+; (3) ∫L
zds ,其中L 为圆锥螺线 ];,0[,,sin ,cos 0t t t z t t y t t x ∈===
(4)∫−L L ydx x dy xy ,22为以a 为半径,圆心在原点的右半圆周从最上面一点A 到
最下面一点B; (5)∫−−L y
x dx dy ,L 是抛物线42−=x y ，从)4,0(−A 到)0,2(B 的一段； )6(∫++L dz x dy z dx y 222，L 是维维安尼曲线=+=++222222,y x a z y x
),0,0(>≥a z ax 若从x 轴正向看去，L 是沿逆时针方向进行的。

解（1）联立
=+=22y x x y ，得 == −==..1,1,2,42211y x y x 将L 分为
),12(:2
1≤≤−=y y x L
)12(2:2≤≤−−=y y x L （如图20~2）。

故 ∫∫∫+=2
1L L L yds yds yds =
dy y dy y y ∫∫−−−+++122122)1(1)2(1 =∫∫−−+++1221222)41(418
1ydy y d y =122
1232|2
2|)41(121−−++y y =
223)171755(121−−
(2) 双纽线的极坐标方程为ϕ2cos 22a r =,弧长的微分为,2cos '22ϕϕϕd a d r r ds =
+=于是 ).22(2|)cos (42cos sin 2cos 4||240240−=−==∫∫a a d a a ds y C ππϕϕϕϕϕ
(3) ∫L zds =dt t t t t t t t t ∫+++−002221)cos (sin )sin (cos =dt t t t ∫+0
22 =)2(22120
20++∫t d t t t =].22)2[(3
1|)2(322123
200320−+=+⋅t t t (4)如图20-3，L 为)0(222≥=+x a y x 的一段故 ∫−L ydx x dy xy 22 =dy y a y y y a y a y a
a )22)((2222222−−⋅
−−−−∫− =dy y a y a a 2222
−−∫− =tdt t a 222
24cos sin 2∫−−π
π
=dt t a ∫−−2224
2sin 2
ππ =-dt t a ∫−−−224
24cos 12π
π
=.4|)4sin 8121(24224ππ
πa t t a −=−−− （5）如图20-4
∫−−L y x dx dy =dx x x x ∫−−−202)4(12=dx x x x ∫−−−−202412=)4(4122202−−−−−−∫x x d x x x
=202|)4ln(−−−x x =.2ln )4ln 2(ln =−−
（6）令),cos 1(2
θ+=a x 则 []).2,0(2
sin ,sin 2πθθθ∈==a z a y 从而
∫
++L dz x dy z dx y 222 =θθθθθθθπd a a a a a a ]cos 2
cos cos 22sin )sin 2(sin 4[24222204⋅+⋅+−⋅∫ =]2
sin )2sin 1(cos 41cos 41cos )sin 81([
220202202203θθθθθθθθππππd d d d a ∫∫∫∫−+−+− =]|)2
sin 512sin 322(sin |)2sin (81|sin 41|)cos 241cos 81[(205220202033ππππθθθθθθθθ+−++−+−a =334
)0028100(a a ππ−=+−⋅−+⋅. 2. 设),(y x f 为连续函数，试就如下曲线:
(1) L:连接),(),,(a b C a a A 的直线段;
(2) L:连接),(),,(),,(b b B a b C a a A 三点的三角形(逆时针方向),计算下列曲线积分: ∫∫∫L
L L dy y x f dx y x f ds y x f .),(,),(,),( 解(1))(,:b x a a y AC L ≤≤=.从而
∫
∫=L b a dx a x f ds y x f .),(),( ∫
∫∫==L b
a AC dx a x f dx y x f dx y x f .),(),(),( ∫∫==L
b a
d x f dy y x f .00)0,(),( (2)如图20-5,∆:L ACB 可分为
),(:b x a a y AC ≤≤=
),(:b y a b x CB ≤≤=
),(:b x a x y AB ≤≤=
∫∫∫∫++=L AC CB BA
ds y x f ds y x f ds y x f ds y x f ),(),(),(),(
=
∫∫∫+++b a b a b a dt t t f dy y b f dx a x f 11),(),(),( =∫∫∫++b a
b a b a dt t t f dy y b f dx a x f 2),(),(),( ∫
∫∫∫++=L AC CB BA dx y x f dx y x f dx y x f dx y x f ),(),(),(),( =
∫∫++a b b a dt t t f dx a x f ),(0),( =∫∫+a b
b a dt t t f dx a x f ),(),( ∫∫∫∫++=L AC CB BA
dy y x f dy y x f dy y x f dy y x f ),(),(),(),( =∫∫++
a b b a dt t t f dy y b f ),(),(0 =∫∫+a
b b a dt t t f dy y b f ),(),(
3. 设),(y x f 为定义在平面曲线弧段B A 上的非负连续函数，且在B A 恒大于零。

（1）试证明∫>B A ds y x f 0),(；
（2）试问在相同条件下，第二型曲线积分∫>B A dx y x f 0),(是否成立？
证（1）因),(y x f 为B A 上的非负连续函数，
且)),((0),(B A y x y x f ∈∀>，所以任取B A 上一点),(00y x ，则0),(00>y x f ，且对B A D C y x f ⊂∃=,2),(000ε，使得 000),(),(ε<−y x f y x f ，从而.02
),(),(00>>
y x f y x f 由此 ds y x f ds y x f ds y x f ds y x f B
D D C C A B A ∫∫∫∫++= ),(),(),(),( 02
),(000++≥∫ds y x f D C 02
),(00>=s y x f （其中s 为D C 长）。

（2）相同条件下， 0),(>=dx y x f 不一定成立，因第二型曲线积分与方向有关。