全等三角形常见的几何模型

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《全等三角形》知识清单

《全等三角形》知识清单一、全等三角形的定义能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。

两个三角形全等时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角。

例如，在三角形 ABC 和三角形 A'B'C' 中，如果经过平移、旋转、翻转等变换后，它们能够完全重合，那么这两个三角形就是全等三角形，点 A 与点 A' 是对应顶点，边 AB 与边 A'B' 是对应边，角 A 与角A' 是对应角。

二、全等三角形的性质1、全等三角形的对应边相等如果三角形 ABC 全等于三角形 A'B'C'，那么 AB ＝ A'B'，BC ＝B'C'，AC ＝ A'C'。

2、全等三角形的对应角相等同样地，如果三角形 ABC 全等于三角形 A'B'C'，那么角 A ＝角 A'，角 B ＝角 B'，角 C ＝角 C'。

3、全等三角形的周长相等、面积相等因为全等三角形的对应边相等，所以它们的周长也相等。

而由于对应边和对应高都相等，所以面积也相等。

三、全等三角形的判定1、 SSS（边边边）三边对应相等的两个三角形全等。

例如，如果在三角形 ABC 和三角形 A'B'C' 中，AB ＝ A'B'，BC ＝B'C'，AC ＝ A'C'，那么就可以判定三角形 ABC 全等于三角形 A'B'C'。

2、 SAS（边角边）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。

假设在三角形 ABC 和三角形 A'B'C' 中，AB ＝ A'B'，角 B ＝角 B'，BC ＝ B'C'，则三角形 ABC 全等于三角形 A'B'C'。

全等三角形常见模型

全等三角形常见模型1 什么是等边三角形等边三角形，又称直角三角形，是一种有色形状，三条边的长度相等，且所有的夹角相等的三角形。

它是一种三角形的特殊情况，是由三条等长线段组成的。

这三条边的长度为a，三个内角的度数为60°。

由于它具有三条边相等的特点，所以又称为等边三角形，它在几何学中广泛应用，可用于解决很多问题，例如概率和测量计算等。

2 等边三角形的特征等边三角形是一种特殊的三角形类型，它有三个边，长度都是相等的，并且三个内角的度数均为60°。

此外，它的最大角落一般是朝向上和向右的，如果将其旋转，那么角的位置就可能有所不同。

等边三角形的特点在于，它是不可细分的，哪怕它看起来只有三个内角，但是它的特性决定可以构成整体的特性。

3 全等三角形模型全等三角形模型是对等边三角形的一个进一步分类，它具有三角形的基本特征，但是每个角落均一样，而且每个角落夹角均为60°，可比较常见的模型有：30-60-90三角形、45-45-90三角形、以及平行四边形等。

30-60-90三角形指的是三条边的角为30°，60°，90°的三角形，它的三个边长为对等数值的关系，例如a：b：c=1:√3:2。

45-45-90三角形指的是三个角为45°，45°，90°的三角形，它的三条边关系为a：b：c=1:1:√2。

平行四边形指的是两个平行边既垂直也等长的四边形，它的内角为90°，边长比例为1：2。

4 等边三角形在日常生活中的应用等边三角形在日常生活中非常普遍，其特殊的几何形状可以应用于许多场景。

其中最常见的应用是几何结构，它可以被用于建造公共工程和住宅式建筑，例如屋顶、床垫等；此外，等边三角形也可以被用于制作精美的装饰品，例如吊坠、耳环、脚链等。

甚至在日常生活中还可以看到一些以等边三角形为特色的食品，例如三角包、三角饼等等。

人教版八年级数学全等三角形的常见模型总结

人教版八年级数学全等三角形的常见模型总结全等三角形的常见模型总结全等三角形是数学中的一个重要概念，它代表着两个三角形的所有对应部分完全相等。

在八年级数学教材中，全等三角形的学习是一个重要的内容。

本文将对人教版八年级数学中常见的全等三角形模型进行总结。

一、三个已知条件1. SAS（边角边）判定法SAS判定法是指如果两个三角形的两边和夹角分别相等，则这两个三角形全等。

这个模型通常用于根据已知条件构造全等三角形。

例如，已知△ABC和△DEF，已知AB=DE，BC=EF，∠B=∠E，要求证明△ABC≌△DEF。

2. ASA（角边角）判定法ASA判定法是指如果两个三角形的两角和一边分别相等，则这两个三角形全等。

这个模型常用于证明两个三角形全等。

例如，已知△ABC和△DEF，已知∠A=∠D，∠B=∠E，AB=DE，要求证明△ABC≌△DEF。

3. SSS（边边边）判定法SSS判定法是指如果两个三角形的三边分别相等，则这两个三角形全等。

这个模型常用于证明两个三角形全等。

例如，已知△ABC和△PQR，已知AB=PQ，BC=QR，AC=PR，要求证明△ABC≌△PQR。

二、全等三角形的性质1. 对应部分相等对应的顶点、边和夹角都相等。

2. 全等三角形的性质相等全等三角形的各个角、边的性质都相等，比如角平分线和中线相等、高和中线相等等。

三、应用实例1. 建筑几何模型全等三角形在建筑几何中有着广泛的应用。

例如，在建造房屋的过程中，根据所给定的尺寸，可以通过构造全等三角形来确定某些未知尺寸，确保建筑物的稳定性和均衡性。

2. 测量和导航全等三角形在测量和导航中也有着重要的应用。

例如，在测量高楼大厦时，可以通过测量一些已知长度和角度，利用全等三角形模型来计算难以测量的高度。

在导航中，利用全等三角形的性质可以确定船只或飞机的位置和方向。

3. 几何证明全等三角形的模型在几何证明中也是常见的。

许多几何定理的证明需要利用全等三角形构造相等的边或角来推导。

全等模型-手拉手模型--常见几何模型归纳(学生版)

全等模型-手拉手模型全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就全等三角形中的重要模型(手拉手(旋转)模型)进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

模型1.手拉手模型(三角形)【模型解读】将两个三角形绕着公共顶点(即头)旋转某一角度后能完全重合，则这两个三角形构成手拉手全等，也叫旋转型全等，常用“边角边”判定定理证明全等。

公共顶点A记为“头”，每个三角形另两个顶点逆时针顺序数的第一个顶点记为“左手”，第二个顶点记为“右手”。

对应操作：左手拉左手(即连结BD)，右手拉右手(即连结CE)，得△ABD≅△ACE。

【常见模型及证法】(等边)(等腰直角)(等腰)1(2022·北京东城·九年级期末)如图，在等边三角形ABC中，点P为△ABC内一点，连接AP，BP，CP，将线段AP绕点A顺时针旋转60°得到AP ，连接PP ，BP ．(1)用等式表示BP 与CP的数量关系，并证明；(2)当∠BPC=120°时， ①直接写出∠P BP的度数为；②若M为BC的中点，连接PM，请用等式表示PM与AP的数量关系，并证明．2(2022·黑龙江·中考真题)△ABC和△ADE都是等边三角形．(1)将△ADE绕点A旋转到图①的位置时，连接BD，CE并延长相交于点P(点P与点A重合)，有PA+ PB=PC(或PA+PC=PB)成立；请证明．(2)将△ADE绕点A旋转到图②的位置时，连接BD，CE相交于点P，连接PA，猜想线段PA、PB、PC之间有怎样的数量关系？并加以证明；(3)将△ADE绕点A 旋转到图③的位置时，连接BD，CE相交于点P，连接PA，猜想线段PA、PB、PC之间有怎样的数量关系？直接写出结论，不需要证明．3(2023·黑龙江哈尔滨·九年级校考期中)如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，将△ABC绕点A顺时针方向旋转60°到△AB′C′的位置，连接C′B，则∠C′BA的度数为()A.15°B.20°C.30°D.45°4(2022·青海·中考真题)两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形.(1)问题发现：如图1，若△ABC和△ADE是顶角相等的等腰三角形，BC，DE分别是底边.求证：BD= CE；(2)解决问题：如图2，若△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A，D，E在同一条直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系并说明理由.图1 图25(2022秋·江苏·八年级期中)点D为△ABC外一点，∠ACB=90°，AC=BC．(1)如图1，∠DCE=90°，CD=CE，求证：∠ADC=∠BEC；(2)如图2，若∠CDB=45°，AE∥BD，CE⊥CD，求证：AE=BD；模型2.手拉手模型(正多边形型)【模型解读】将两个多边形绕着公共顶点(即头)旋转某一角度后能完全重合，则这两个多边形构成手拉手全等，也叫旋转型全等，常用“边角边”判定定理证明全等。

专题四全等三角形常见模型

第十二章全等三角形
专题四全等三角形常见模型
建议用时：30分钟
类型一 “平移”模型
利用平行找“等角”，利用公共线段找“等边”.
1. 如图，已知 C 是线段 AB 的中点， CD ∥ BE ，且 CD ＝ BE ，求证：∠ D ＝∠ E .
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2. 如图，在△ ABC 和△ DEF 中，∠ A ＝∠ D ，点 B ， E ， C ， F 在同一条直线上，
有如下三个关系式：① AB ∥ DE ；② BE ＝ CF ；③ AC ＝ DF .
(1)请用其中两个关系式作为条件，另一个作为结论，写出你认为正确的所有命题 (用序号写出命题形式：“如果……，那么……”)；
解：(1)如果①②，那么③；如果①③，那么②.
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(2)选择(1)中你写出的一个命题，说明它正确的理由.
4. 如图，要测量河两岸上 A ， B 两点的距离，在点 B 所在河岸一侧平地上取一点 C ，使 A ， B ， C 在一条直线上，另取点 D ，使 CD ＝ BC ，测得∠ DCB ＝100°， ∠ ADC ＝65°，在 CD 的延长线上取点 E ，使∠ E ＝15°.这时测得 DE 的长就是 A ， B 两点的距离，为什么？
解：(3) AB ＝8.
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类型四 “一线三等角”模型
利用“三等角”找“对应角相等”，再结合对应边相等选择适当的判定方法.
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全等三角形中的常见五种基本模型(原卷版)-2023年中考数学重难点解题大招复习讲义-几何模型篇

模型介绍全等三角形的模型种类多，其中有关中点的模型与垂直模型在前面的专题已经很详细的讲解，这里就不在重复.模型一、截长补短模型①截长：在较长的线段上截取另外两条较短的线段。

如图所示，在BF上截取BM=DF，易证△BMC≌△DFC（SAS），则MC=FC=FG，∠BCM=∠DCF，可得△MCF为等腰直角三角形，又可证∠CFE=45°，∠CFG=90°，∠CFG=∠MCF，FG∥CM，可得四边形CGFM为平行四边形，则CG=MF，于是BF=BM+MF=DF+CG.②补短：选取两条较短线段中的一条进行延长，使得较短的两条线段共线并寻求解题突破。

如图所示，延长GC至N，使CN=DF，易证△CDF≌△BCN（SAS），可得CF=FG=BN，∠DFC=∠BNC=135°，又知∠FGC=45°，可证BN∥FG，于是四边形BFGN为平行四边形，得BF=NG，所以BF=NG=NC+CG=DF+CG.模型二、平移全等模型模型三、对称全等模型模型四、旋转全等模型模型五、手拉手全等模型例题精讲模型一、截长补短模型【例1】.如图，AD⊥BC，AB+BD＝DC，∠B＝54°，则∠C＝．变式训练【变式1-1】．如图，点P是△ABC三个内角的角平分线的交点，连接AP、BP、CP，∠ACB ＝60°，且CA+AP＝BC，则∠CAB的度数为（）A．60°B．70°C．80°D．90°【变式1-2】．如图，在四边形ABCD中，BC＞BA，AD＝CD，BD平分∠ABC，求证：∠A+∠C＝180°．【变式1-3】．如图，△ABC为等腰直角三角形，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D在线段AB 上，连接CD，∠ADC＝60°，AD＝2，过C作CE⊥CD，且CE＝CD，连接DE，交BC 于F．（1）求△CDE的面积；（2）证明：DF+CF＝EF．模型二、平移全等模型【例2】．如图，在四边形ABCD中，E是AB的中点，AD∥EC，∠AED＝∠B．（1）求证：△AED≌△EBC．（2）当AB＝6时，求CD的长．变式训练【变式2-1】．如图1，A，B，C，D在同一直线上，AB＝CD，DE∥AF，且DE＝AF，求证：△AFC≌△DEB．如果将BD沿着AD边的方向平行移动，如图2，3时，其余条件不变，结论是否成立？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由．【变式2-2】．如图，AD，BF相交于点O，AB∥DF，AB＝DF，点E与点C在BF上，且BE＝CF．（1）求证：△ABC≌△DFE；（2）求证：点O为BF的中点．【变式2-3】．如图，△AOB和△COD均为等腰直角三角形，∠AOB＝∠COD＝90°，D在AB上．（1）求证：△AOC≌△BOD；（2）若AD＝1，∠ADC＝60°，求CD的长．模型三、对称全等模型【例3】．如图，AD∥BC，∠D＝90°，∠CPB＝30°，∠DAB的角平分线与∠CBA的角平分线相交于点P，且D，P，C在同一条直线上．（1）求∠PAD的度数；（2）求证：P是线段CD的中点．变式训练【变式3-1】．如图，AB＝AC，D、E分别是AB、AC的中点，AM⊥CD于M，AN⊥BE干N．求证：AM＝AN．【变式3-2】．如图，已知点E、F分别是正方形ABCD中边AB、BC上的点，且AB＝12，AE＝6，将正方形分别沿DE、DF向内折叠，此时DA与DC重合为DG，求CF的长度．【变式3-3】．如图，∠AOB＝90°，OM平分∠AOB，将直角三角板的顶点P在射线OM上移动，两直角边分别与OA、OB相交于点C、D，问PC与PD相等吗？试说明理由．模型四、旋转全等模型【例4】．如图，已知：AD＝AB，AE＝AC，AD⊥AB，AE⊥AC．猜想线段CD与BE之间的数量关系与位置关系，并证明你的猜想．变式训练【变式4-1】．已知△ABC和△ADE均为等腰三角形，且∠BAC＝∠DAE，AB＝AC，AD＝AE．（1）如图1，点E在BC上，求证：BC＝BD+BE；（2）如图2，点E在CB的延长线上，求证：BC＝BD﹣BE．【变式4-2】．如图所示，已知P是正方形ABCD外一点，且PA＝3，PB＝4，则PC的最大值是3+4．模型五、手拉手全等模型【例5】．如图，△ABC与△ADE是以点A为公共顶点的两个三角形，且AD＝AE，AB＝AC，∠DAE＝∠CAB＝90°，且线段BD、CE交于F．（1）求证：△AEC≌△ADB．（2）猜想CE与DB之间的关系，并说明理由．变式训练【变式5-1】．如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE、AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．以下五个结论：①AD＝BE；②AP＝BQ；③DE＝DP；④∠AOB＝60°．恒成立的结论有几个（）A．1个B．2个C．3个D．4个【变式5-2】．如图，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AE＝AC，AF⊥CB，垂足为F．（1）求证：△ABC≌△ADE；（2）求∠FAE的度数；（3）求证：CD＝2BF+DE．【变式5-3】．（1）如图1，等腰△ABC 与等腰△DEC 有公共点C ，且∠BCA ＝∠ECD ，连接BE 、AD ，若BC ＝AC ，EC ＝DC ，求证：BE ＝AD ．（2）若将△DEC 绕点C 旋转至图2、图3、图4情形时，其余条件不变，BE 与AD 还相等吗？为什么？实战演练1.如图，已知AB AD =，BC DE =，且10CAD ∠=︒，25B D ∠=∠=︒，120EAB ∠=︒，则EGF ∠的度数为（）A ．120︒B ．135︒C ．115︒D ．125︒2．如图，在△AOB和△COD中，OA＝OB，OC＝OD，OA＜OC，∠AOB＝∠COD＝36°．连接AC，BD交于点M，连接OM．下列结论：①∠AMB＝36°，②AC＝BD，③OM平分∠AOD，④MO平分∠AMD．其中正确的结论个数有（）个．A．4B．3C．2D．13．如图，在△ABC中，∠BAC＝30°，且AB＝AC，P是△ABC内一点，若AP+BP+CP的最小值为4，则BC2＝．4．正方形ABCD中，AB＝6，点E在边CD上，CE＝2DE，将△ADE沿AE折叠至△AFE，＝6；延长EF交BC于点G，连接AG，CF．下列结论：①△ABG≌△AFG；②S△FGC③EG＝DE+BG；④BG＝GC．其中正确的有（填序号）．5．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，将矩形沿对角线AC折叠，点D落在D′处．（1）求证：AF＝CF（2）求AF的长度．6．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，延长AB至点D，使DB＝AB，连接CD，以CD为直角边作等腰三角形CDE，其中∠DCE＝90°，连接BE．（1）求证：△ACD≌△BCE；（2）若AB＝3cm，则BE＝cm．（3）BE与AD有何位置关系？请说明理由．7．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是AB的中点，连接CD，过B作BE⊥CD交CD的延长线于点E，连接AE，过A作AF⊥AE交CD于点F．（1）求证：AE＝AF；（2）求证：CD＝2BE+DE．8．如图：在等腰直角三角形中，AB＝AC，点D是斜边BC上的中点，点E、F分别为AB，AC上的点，且DE⊥DF．（1）若设BE＝a，CF＝b，满足+|b﹣5|＝+，求BE及CF的长．（2）求证：BE2+CF2＝EF2．（3）在（1）的条件下，求△DEF的面积．9．如图1，点C为线段AB上任意一点（不与点A、B重合），分别以AC、BC为一腰在AB 的同侧作等腰△ACD和△BCE，CA＝CD，CB＝CE，∠ACD＝∠BCE＝30°，连接AE 交CD于点M，连接BD交CE于点N，AE与BD交于点P，连接CP．（1）线段AE与DB的数量关系为；请直接写出∠APD＝；（2）将△BCE绕点C旋转到如图2所示的位置，其他条件不变，探究线段AE与DB的数量关系，并说明理由；求出此时∠APD的度数；（3）在（2）的条件下求证：∠APC＝∠BPC．10．阅读与理解：折纸，常常能为证明一个命题提供思路和方法．例如，在△ABC中，AB＞AC（如图），怎样证明∠C＞∠B呢？分析：把AC沿∠A的角平分线AD翻折，因为AB＞AC，所以点C落在AB上的点C'处，即AC＝AC'，据以上操作，易证明△ACD≌△AC'D，所以∠AC'D＝∠C，又因为∠AC'D ＞∠B，所以∠C＞∠B．感悟与应用：（1）如图（a），在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD平分∠ACB，试判断AC 和AD、BC之间的数量关系，并说明理由；（2）如图（b），在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，AC＝16，AD＝8，DC＝BC＝12，①求证：∠B+∠D＝180°；②求AB的长．11．如图甲，在等边三角形ABC内有一点P，且PA＝2，PB＝，PC＝1，求∠BPC的度数和等边三角形ABC的边长．（1）李明同学作了如图乙的辅助线，将△BPC绕点B逆时针旋转60°，如图乙所示，连接PP'，可说明△APP'是直角三角形从而问题得到解决．请你说明其中理由并完成问题解答．（2）如图丙，在正方形ABCD内有一点P，且AP＝，BP＝，PC＝1：类比第一小题的方法求∠BPC的度数，并直接写出正方形ABCD的面积．12．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，以CA为边在∠ACB的另一侧作∠ACM＝∠ACB，点D为射线BC上任意一点，在射线CM上截取CE＝BD，连接AD、DE、AE．（1）如图1，当点D落在线段BC的延长线上时，∠ADE的度数为．（2）如图2，当点D落在线段BC（不含边界）上时，AC与DE交于点F，请问（1）中的结论是否仍成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由；（3）在（2）的条件下，若AB＝12，求CF的最大值．。

专题02 全等三角形中的六种模型梳理

专题02 全等三角形中的六种模型梳理一、概述全等三角形是初中数学中一个重要且常见的概念，对于几何学的学习具有重要的意义。

在全等三角形的学习中，有六种基本模型，它们是解决全等三角形问题的重要工具。

本文将对全等三角形中的六种模型进行深入探讨和梳理，帮助读者更加全面地理解和掌握这一知识点。

二、模型一：SSS全等模型在全等三角形中，如果两个三角形的三条边分别相等，则可以确定它们是全等三角形，这就是SSS全等模型。

如果已知两个三角形的三边分别相等，那么这两个三角形一定是全等的。

模型二：SAS全等模型SAS全等模型是指如果两个三角形的一条边和夹角以及另一边的长度分别相等，则可以确定它们是全等三角形。

如果已知两个三角形的一个角和两边分别相等，那么可以确定这两个三角形是全等的。

模型三：ASA全等模型在全等三角形中，如果两个三角形的一个角和两个角边相等，则可以确定它们是全等三角形，这就是ASA全等模型。

如果已知两个三角形的一个角和两个角边分别相等，那么可以确认这两个三角形是全等的。

模型四：HL全等模型HL全等模型是指如果两个直角三角形的斜边和一个直角边的长度分别相等，则可以确定它们是全等三角形。

如果已知两个直角三角形的斜边和一个直角边的长度分别相等，那么可以确定这两个三角形是全等的。

模型五：LL全等模型LL全等模型是指如果两个三角形的两个角和一个边分别相等，则可以确定它们是全等三角形。

如果已知两个三角形的两个角和一个边分别相等，那么可以确定这两个三角形是全等的。

模型六：对顶全等模型对顶全等模型是指如果两个三角形的两个对顶角和一个边分别相等，则可以确定它们是全等三角形。

如果已知两个三角形的两个对顶角和一个边分别相等，那么可以确定这两个三角形是全等的。

三、总结与回顾通过上述对全等三角形中六种模型的梳理，我们可以发现几何学中的相似和全等的概念是非常重要的。

在实际问题中，我们可以通过判断形状的相似或全等，推断出一些未知的信息，帮助我们解决问题。