最新人教版八年级数学上册《整式的乘法与因式分解》全章教学设计(精品教案)
人教版八年级数学上册整式的乘法和因式分解《整式的乘法(第7课时)》示范教学设计
整式的乘法（第7课时）教学目标1．根据乘、除互逆的运算关系，探索并掌握同底数幂的除法运算法则．2．探索并掌握单项式除以单项式的运算法则．3．探索并掌握多项式除以单项式的运算法则．4．准确熟练地运用法则进行整式的除法运算．教学重点整式的除法运算法则．教学难点整式的除法运算法则的探究和应用．教学过程知识回顾1．一般地，多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．2．用一个多项式的每一项乘遍另一个多项式的每一项，不要漏乘；在没有合并同类项之前，两个多项式相乘展开后的项数应是原来两个多项式的项数之积．3．多项式是单项式的和，每一项都包括它前面的符号，在计算时一定要注意确定积中各项的符号．4．展开后有同类项要合并，需化成最简形式．5．当已知中没有直接给出字母的值时，一般按如下步骤解题：（1）把待求的代数式用已知的代数式表示出来；（2）用整体代入的方法求解．新知探究一、探究学习【问题】1．计算：（1）()·28＝216；（2）()·53＝55；（3）()·105＝107；（4）()·a3＝a6．2．计算：（1）216÷28＝()；（2）55÷53＝()；（3）107÷105＝()；（4）a6÷a3＝()．【师生活动】学生作答，教师给出正确答案．【答案】1．（1）28（2）52（3）102（4）a32．（1）28（2）52（3）102（4）a3【设计意图】通过乘、除互逆的运算关系，让学生对同底数幂的除法运算有初步的了解和猜想．【问题】通过运算，你能否发现商与除数、被除数之间的关系？【师生活动】教师引导，学生作答，然后教师讲解新知．【答案】同底数幂相除，底数没有改变，商的指数应该等于被除数的指数减去除数的指数．【新知】一般地，我们有a m÷a n＝m na （a≠0，m，n都是正整数，并且m＞n）．即同底数幂相除，底数不变，指数相减．同底数幂相除，如果被除式的指数等于除式的指数，即m＝n，那么它们的商等于1．于是规定a0＝1（a≠0）．这就是说，任何不等于0的数的0次幂都等于1．【设计意图】通过比较商、除数、被除数的指数关系，指出同底数幂相除的运算法则．说明被除式的指数等于除式的指数时的特殊情况，让学生理解和掌握0次幂的知识．【思考】你能用同样的方法探究单项式除以单项式的运算法则吗？试一试：3a2·()＝12a5c2；()·x2y3＝－7x3y7z．利用乘法和除法互为逆运算的关系，可得12a5c2÷3a2＝()；－7x3y7z÷x2y3＝()．【师生活动】学生作答，教师给出正确答案．【答案】4a3c2－7xy4z4a3c2－7xy4z【设计意图】在学习了单项式的乘法运算的基础上，让学生根据乘、除互逆的运算关系填空，使其对单项式的除法有一个初步的理解．【问题】观察结果中的系数、字母及字母的指数，它们有什么规律？【师生活动】教师引导，学生作答，然后教师给出正确答案并讲解新知．【答案】通过观察发现：单项式除以单项式，其结果（商式）仍是一个 单项式 ；商式的系数＝ 被除式的系数 ÷ 除式的系数 ；（同底数幂）商的指数＝ 被除式的指数 － 除式的指数 ；被除式里单独有的幂， 写在商式里作为因式 ．【新知】单项式除以单项式法则：一般地，单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．【设计意图】通过一步步引导，归纳得出单项式除以单项式的运算法则．【思考】如果是多项式除以单项式，该怎样计算？想一想：(2m 2n ＋mn )÷m ＝？(36x 4y 3－24x 3y 2＋3x 2y 2)÷(－6x 2y )＝？填空：m ·(2mn ＋n )＝____________．22216642x y x y xy y ⎛⎫--+- ⎪⎝⎭＝_____________________． 【师生活动】学生作答，教师给出正确答案．【答案】2m 2n ＋mn 36x 4y 3－24x 3y 2＋3x 2y 2由除法是乘法的逆运算可知，(2m 2n ＋mn )÷m ＝2mn ＋n ，(36x 4y 3－24x 3y 2＋3x 2y 2)÷(－6x 2y )＝－6x 2y 2＋4xy －12y ． 【设计意图】通过填空、比较“想一想”中的式子，让学生对多项式除以单项式形成自己的猜想．【问题】你能总结出多项式除以单项式的运算法则吗？【师生活动】学生作答，教师补充．【新知】一般地，多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加．多项式除以单项式，实际上是转化为单项式除以单项式来进行计算的．【设计意图】总结多项式除以单项式的运算法则，点明将多项式除以单项式转化为单项式除以单项式的实质，加深学生的理解和掌握．二、典例精讲【例1】若(2a－1)0＝1，则（）．A．a＝0.5B．a＝0C．a≠0.5D．a≠0【答案】C【解析】因为a0＝1成立的条件是a≠0，所以2a－1≠0，即a≠0.5．【归纳】判断0次幂成立的条件是底数不等于0，进而转化为求解不等式即可．【设计意图】检验学生对0次幂知识的掌握情况．【例2】计算：（1）x8÷x2；（2）(ab)5÷(ab)2；（3）(a＋b)4÷(a＋b)2．【答案】解：（1）x8÷x2＝82x-＝x6；（2）(ab)5÷(ab)2＝52ab-＝(ab)3＝a3b3；()+＝(a＋b)2．（3）(a＋b)4÷(a＋b)2＝42()a b-【归纳】同底数幂的除法，找准底数再运算只有两个幂的底数相同时，才能运用此运算法则；如果底数是一个多项式，可以把这个多项式看成一个整体．【设计意图】检验学生对同底数幂除法的运算法则的理解和掌握情况；指出当底数是多项式时，同底数幂的除法法则同样适用．【例3】计算：（1）28x4y2÷7x3y；（2）－5a5b3c÷15a4b；（3）(12a3－6a2＋3a)÷3a．【答案】解：（1）28x4y2÷7x3y＝(28÷7)·43x-·21y-＝4xy；（2）－5a5b3c÷15a4b＝[(－5)÷15]·5431a b c--＝－13ab2c；（3）(12a3－6a2＋3a)÷3a＝12a3÷3a－6a2÷3a＋3a÷3a＝4a2－2a＋1．【归纳】依次计算不漏项，符号变化记心间将多项式除以单项式转化为单项式除以单项式时，应注意逐项计算，不要漏项；并且要注意符号的变化，最后的计算结果按某一字母升幂或降幂的顺序排列．【设计意图】检验学生对单项式除以单项式和多项式除以单项式的理解和掌握情况，让学生注意不要漏项和忽略符号，避免不必要的错误．课堂小结板书设计一、同底数幂的除法二、单项式除以单项式三、多项式除以单项式课后任务完成教材第104页练习题．。
最新人教版八年级数学上册《整式的乘法与因式分解》复习课教学设计(精品教案)
第十四章整式的乘法与因式分解复习教案复习目标：1.熟练掌握整式乘除的计算法则；平方差公式和完全平方公式；掌握因式分解的方法和则.2.灵活运用法则进行整式的乘除运算，会对一个多项式分解因式.复习重点、难点：灵活会运用法则进行整式乘除运算及因式分解一、知识结构图：乘法公式1、相反变形幂的运算性质：2、1、特殊形式相反变形因式分解：2、整式的乘法1、3、 互逆运算 2、4、 整式的除法二、回顾与思考:1、幂的4个运算性质（1）、同底数幂的乘法： （2）、同底数幂的除法（3）、幂的乘方: （4）、积的乘方:2、整式的加、减、乘、除法则3、乘法公式4、因式分解三、例题讲解1、ab b a b a 4)58(223÷-2、（a ＋2b-c ）2．3、)(3)(2x y b y x a ---4、1222-+-b ab a5．先化简，再求值:(a+b)(a-2b)-(a+2b)(a-b)，其中a=2，b=-1 四、小结：本节课你复习了哪些知识？五、课后达标一、选择题（每题2分，共30分）1.下列式子中，正确的是.( )A.3x+5y=8xyB.3y 2-y 2=3C.15ab-15ab=0D.29x 3-28x 3=x2.当a=-1时，代数式2(a+1) + a(a+3)的值等于…( )A.-4B.4C.-2D.23.若-4x 2y 和-2x m y n 是同类项，则m ，n 的值分别是……( )A.m=2,n=1B.m=2,n=0C.m=4,n=1D.m=4，n=04.化简(-x)3·(-x)2的结果正确的是……………( )A.-x 6B.x 6C.x 5D.-x 55.若x 2+2(m-3)x+16是完全平方式，则m 的值等于…………………( )A.3B.-5C.7.D.7或-1 6.下列各式是完全平方式的是（ ）A 、x 2-x+14B 、1+4x 2C 、a 2+ab+b 2D 、x 2+2x-1 7.下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（ ）（A ）22)(b a -+ （B ）mn m 2052- （C ）22y x -- （D ）92+-x8.如(x+m)与(x+3)的乘积中不含x 的一次项，则m 的值为（ ）A. –3B. 3C. 0D. 19.一个正方形的边长增加了2cm ，面积相增加了32cm 2，则这个正方形的边长为（ ）A 、6cmB 、5cmC 、8cmD 、7cm10.下列运算中，正确的是( )A.x 2·x 3=x 6B.(ab)3=a 3b 3C.3a+2a=5a 2D.（x³）²= x 5二、填空11.化简：a 3·a 2b=____________12.计算：（x ＋5）（x －1）＝________．13. 在实数范围内分解因式=-62a ___14.()()4352a a -⋅-=_______。
部编版人教数学八年级上册《第十四章(整式的乘法与因式分解)全章每课备课资料教案》精品
最新精品部编版人教初中八年级数学上册第十四章整式的乘法与因式分解优秀备课资料教案（全章完整版）前言：该备课资料教案由多位一线国家特级教师根据最新课程标准的要求和教学对象的特点结合教材实际精心编辑而成。
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（最新精品备课资料教案）第十四章 14.1.1同底数幂的乘法知识点：同底数幂的乘法法则同底数幂相乘,底数不变,指数相加,即a m·a n=a m+n(m,n都是正整数).关键提醒:(1)同底数幂是指相同的底数,如23与24,(ab)2与(ab)5,(x-y)5,(x-y)3与(x-y)2.底数可以是任意的有理数,也可以是单项式、多项式.(2)运用同底数幂的乘法法则计算的关键是:①底数相同,可直接运用公式计算;②若底数不同又可化为相同的底数,必须先变异底为同底,再用此法则运算;③三个或三个以上同底数幂相乘时,也是有同一性质,如a m·a n·a p=a m+n+p(m,n,p都是正整数);④逆用这个性质,可以把一个幂分解成两个同底数幂的积,其中它们的底数与原来的底数相同.它们的指数之和等于原来的幂的指数,如35=32·33,a3=a·a2.考点1：逆用同底数幂的乘法法则解决问题【例1】已知x a=5,x b=7,求x a+b的值.解:x a+b=x a·x b=5×7=35.点拨：因为a m·a n=a m+n,所以a m+n=a m·a n,本题逆用同底数幂的乘法法则求解.考点2：底数为多项式的同底数幂相乘【例2】计算:(1)(a+b)3(a+b)4;(2)(m-n)2(n-m)3.解:(1)(a+b)3(a+b)4=(a+b)7.(2)(m-n)2(n-m)3=(n-m)2(n-m)3=(n-m)5.点拨：当底数为多项式时,我们可将其看作一个整体,利用同底数幂的乘法法则求解.第十四章 14.1.2幂的乘方知识点：幂的乘方幂的乘方,底数不变,指数相乘,即(a m)n=a mn(m,n为正整数).关键提醒:(1)幂的乘方法则是根据乘方的定义及同底数幂的乘法法则得到的结论:(a m)n= ==a mn.(2)不要把幂的乘方性质与同底数幂的乘法性质混淆.幂的乘方运算,转化为指数乘方运算(底数不变);同底数幂的乘法,是转化成指数的加法运算(底数不变).(3)公式的逆运用:a mn=(a m)n=(a n)m.考点1：逆用幂的乘方法则解决问题【例1】(1)若=a9,求n;(2)已知5m=8,求25m.解:(1)因为(a n)3=a3n,所以由3n=9得n=3;(2)25m=(52)m=(5m)2=82=64.点拨：对于“5的几次方等于8”的问题,我们将在高中阶段学习,本题利用数学中的整体思想,将5m看作整体进行代换.考点2：幂的乘方与同底数幂相乘的混合运算【例2】计算:(1)y··;(2)2m3·m5-(m2)4.解:(1)y··=y·y6·y6=y13;(2)2m3·m5-=2m8-m8=m8.点拨：本题运算顺序是先乘方,再乘法,最后加减.第十四章 14.1.3积的乘方知识点：积的乘方积的乘方,等于把积的每一个因式分别乘方,再把所得的幂相乘,即(ab)n=a n b n(n为正整数).关键提醒:(1)积的乘方法则是用乘方的意义推理得到的.如:(ab)n= =·=a n b n.(2)此性质可以逆运用a n b n=(ab)n.(3)三个或三个以上因式的积的乘方,也有这一性质,如(abc)n=a n b n c n.考点1：逆用积的乘方巧解题【例1】计算:(1) 0.125299×(-8)299;(2)×.。
人教版数学八年级上册第14章整式的乘法与因式分解教学设计
1.设计不同难度的练习题，包括基础题、提高题和拓展题，让学生在课堂上独立完成。
2.练习题涵盖整式乘法、平方差公式、完全平方公式和因式分解等知识点，让学生在练习中巩固所学。
3.及时反馈学生的答题情况，针对共性问题进行讲解，帮助学生纠正错误，提高解题能力。
（五）总结归纳，500字
作业布置原则：注重作业的质量，而非数量；关注学生的个体差异，分层布置作业；鼓励学生积极参与，培养他们的学习兴趣。通过作业的布置与完成，让学生真正掌握整式乘法与因式分解的知识，提高数学素养。
2.平方差公式和完全平方公式：引导学生观察特定的整式乘法算式，如(a+b)(a-b)、(a+b)²，让他们发现平方差公式和完全平方公式的规律，并加以证明。通过实际例题，让学生学会运用这两个公式简化计算过程。
3.因式分解：介绍因式分解的概念，让学生理解其含义。通过具体的例子，讲解提公因式法、平方差公式和完全平方公式在因式分解中的应用，让学生掌握因式分解的方法。
五、作业布置
为了巩固本节课所学的整式乘法与因式分解知识，培养学生的数学思维能力，特布置以下作业：
1.基础巩固题：完成课本第14章的相关练习题，包括整式的乘法运算、平方差公式、完全平方公式的应用以及因式分解的基本方法。
要求：学生在完成作业时，要注重运算的准确性，熟练掌握乘法法则和因式分解的方法，提高解题速度。
1.让学生回顾本节课所学的内容，总结整式乘法法则、平方差公式、完全平方公式和因式分解的方法。
2.教师进行课堂小结，强调重点和难点，对学生的学习情况进行评价。
3.鼓励学生课后继续练习，提高整式乘法与因式分解的运算技巧，培养数学思维能力。
4.激发学生学习数学的兴趣，增强他们的自信心，为下一节课的学习打下良好基础。
八上数学整式的乘除与因式分解教案
八上数学整式的乘除与因式分解教案第一章：整式的乘法1.1 教学目标了解整式乘法的基本概念和运算法则。
能够运用分配律进行整式的乘法运算。
能够解决简单的实际问题，应用整式乘法。
1.2 教学内容整式乘法的概念和基本运算法则。
分配律的应用和整式乘法的计算方法。
实际问题中的应用示例。
1.3 教学步骤引入整式乘法的概念，通过示例介绍整式乘法的基本运算法则。
讲解分配律的概念和运用方法，演示整式乘法的计算过程。
提供练习题，让学生运用分配律进行整式乘法的计算。
通过实际问题，让学生应用整式乘法解决问题。
1.4 教学评价通过课堂练习题和实际问题的解决，评价学生对整式乘法的理解和运用能力。
第二章：整式的除法2.1 教学目标了解整式除法的基本概念和运算法则。
能够运用除法法则进行整式的除法运算。
能够解决简单的实际问题，应用整式除法。
2.2 教学内容整式除法的概念和基本运算法则。
除法法则的应用和整式除法的计算方法。
实际问题中的应用示例。
2.3 教学步骤引入整式除法的概念，通过示例介绍整式除法的基本运算法则。
讲解除法法则的概念和运用方法，演示整式除法的计算过程。
提供练习题，让学生运用除法法则进行整式除法的计算。
通过实际问题，让学生应用整式除法解决问题。
2.4 教学评价通过课堂练习题和实际问题的解决，评价学生对整式除法的理解和运用能力。
第三章：因式分解3.1 教学目标理解因式分解的概念和意义。
学会运用提公因式法、公式法等方法进行因式分解。
能够解决一些实际问题，运用因式分解简化计算过程。
3.2 教学内容因式分解的概念和意义。
提公因式法、公式法等因式分解方法的介绍。
实际问题中的应用示例。
3.3 教学步骤引入因式分解的概念，解释其意义和作用。
讲解提公因式法的方法和步骤，通过示例进行演示。
介绍公式法，讲解平方差公式和完全平方公式的运用方法。
提供练习题，让学生运用提公因式法和公式法进行因式分解。
通过实际问题，让学生应用因式分解解决问题。
3.4 教学评价通过课堂练习题和实际问题的解决，评价学生对因式分解的理解和运用能力。
最新人教版初中八年级数学上册第十四章《整式的乘法与因式分解》精品教案(小结复习课)
解：(1) (x-y)2-8(x2-y2)+16(x+y)2 = (x-y)2-8(x-y)(x+y)+[4(x+y)]2 = (x-y)2-2(x-y)∙4(x+y)+[4(x+y)]2 = [(x-y)-4(x+y)]2 = (-3x-5y)2 = (3x+5y)2 ;
解：(2) (x+2)(x-8)+25 =x2-8x+2x-16+25 =x2-6x+9 =x2-2∙x∙3+32 =(x-3)2 .
本题源自《教材帮》深化Fra bibliotek习 3计算：整数x，y满足方程 2xy+x+y=83，则 x+y 的值为多少？ 解析：利用因式分解将等式变形为左边是两个整式的乘积，右边是一个整 数的形式，再求出x，y的值，进而求出x+y的值.
本题的难点是如何将2xy+x+y=83进行变形并因式分解.
本题源自《教材帮》
深化练习 3
本题源自《教材帮》
深化练习 1
若：4x2+mxy+9y2是完全平方式，则m的值为多少？
解：完全平方公式是形如 a2+2ab+b2，a2-2ab+b2 的式子， 将条件中的式子进行变形. ∵4x2+mxy+9y2=(2x)2+mxy+(3y)2，且原式是完全平方式， ∴±mxy=2∙2x∙3y. ∴m=±12.
因式分解： (1) a4-16a2 ;
解：(1) a4-16a2 = a2(a2-16) = a2(a+4)(a-4) ;
(2) -2a2b2+a3b+ab3 ;
人教版八年级数学上册第十五章整式的乘除与因式分解(教案)
举例：计算（a+b）（c+d），重点强调如何正确处理符号和合并同类项。
（2）多项式乘以单项式的法则：理解和运用单项式乘以多项式的法则，注意乘法分配律的应用。
举例：计算3x（2x^2+4x-1），重点在于如何将单项式3x分别与多项式中的每一项相乘。
（3）平方差公式和完全平方公式的应用：掌握平方差公式（a^2-b^2）和完全平方公式（a^2±2ab+b^2），并能灵活运用到实际计算中。
举例：化简表达式a^2-4，重点在于应用平方差公式得到（a+2）（a-2）。
（4）因式分解的方法：掌握提公因式法、平方差公式法和完全平方公式法，能够将多项式分解为整式的乘积。
3.平方差公式：掌握平方差公式的结构特点，能够灵活运用平方差公式进行乘法运算。
4.完全平方公式：理解并掌握完全平方公式的结构，学会运用完全平方公式进行乘法运算。
5.因式分解：掌握提公因式法、平方差公式法和完全平方公式法等因式分解方法，解决实际问题。
本节课将结合实际例题，帮助学生巩固所学知识，提高解题能力。
在学生小组讨论环节，我注意到有些学生在分享成果时表达不够清晰，可能是因为他们在讨论过程中没有充分整理自己的思路。针对这个问题，我需要在今后的教学中加强学生的语言表达训练，让他们学会如何条理清楚地表达自己的观点。
最后，总结回顾环节，我发现在这个阶段，部分学生仍然存在疑问。这说明我在课堂上的讲解和引导可能还不够到位，需要进一步关注学生的学习反馈，及时调整教学方法，提高教学效果。
五、教学反思
今天我们在课堂上学习了整式的乘除与因式分解，回顾整个教学过程，我觉得有几个地方值得反思。首先，我在导入新课环节提出了与日常生活相关的问题，希望通过这种方式激发学生的兴趣，但从学生的反应来看，可能问题设置得还不够贴近他们的实际经验，导致部分学生的参与度不高。在今后的教学中，我需要更加注意问题的设计，使其更具有针对性和吸引力。
人教八年级数学上册--第十四章整式的乘法与因式分解全章复习-教学设计剖析精选全文
教学设计文本10分钟三、知识拓展探究：分解因式：652++xx观察这个代数式发现，提公因式法和公式法都不能将其分解因式，下面一起来探究，某些二次项系数为1的二次三项式如何分解因式.利用整式乘法可以得到：()()()mnxnmxnxmx+++=++2，因式分解与整式乘法是方向相反的变形，()()()nxmxmnxnmx++=+++2，某些二次项系数为1的二次三项式可以分解为两个一次二项式乘积的形式，关键确定m，n的值，下面以652++xx为例：()()32652++=++xxxx拆：凑：71161=⨯+⨯52131=⨯+⨯()()71161−=−⨯+−⨯()()53121−=−⨯+−⨯像这种分解因式的方法叫做十字相乘法.能使用十字相乘法分解因式的式子的特征：（1）三项；（2）二次；（3）二次项系数为1；（4）常数项mn，一次项系数m+n.注意：1.竖拆二次项系数和常数项；2.横写分解因式结果.小结5：()mnxnmx+++2型式子因式分解的步骤：1 -21 -11 21 11.拆常数项；2.凑一次项；3.横写结果.当然我们在拆凑的过程中，可以先观察常数项与一次项系数的符号.常数项6>0，有四种拆法，分为两类，同正，同负，而一次项系数为5>0，分得的两数的和为正，那么只拆凑同正的情况就可以了.这样可以减少尝试的次数，提高做题的速度. 例4.分解因式：322−+y y 解：()()31322+−=−+y y y y拆：凑：()21131=−⨯+⨯小结6：先观察符号，再进行拆凑，多次尝试，不断积累经验，会比较迅速地找到正确的结果.巩固练习：分解因式822−−x x解：()()42822−+=−−x x x x拆：凑：()71181−=⨯+−⨯ ()22141−=⨯+−⨯十字相乘法也可以分解某些二次项系数不为1的二次三项式， 同学们课下可以尝试一下.1 分 钟四、 归纳 总结 1.复习因式分解的定义与方法，并利用因式分解解决有关问题； 2.了解()mn x n m x +++2型式子因式分解的方法. 五、1.分解因式：1 21 -41 11 -8 1 -11 3。
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第十四章整式的乘法与因式分解14．1 整式的乘法14．1.1 同底数幂的乘法1．理解同底数幂的乘法法则．2．运用同底数幂的乘法法则解决一些实际问题．重点正确理解同底数幂的乘法法则．难点正确理解和应用同底数幂的乘法法则．一、提出问题，创设情境复习a n的意义：a n表示n个a相乘，我们把这种运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂；a叫做底数，n是指数．(出示投影片)提出问题：(出示投影片)问题：一种电子计算机每秒可进行1千万亿(1015)次运算，它工作103秒可进行多少次运算？[师]能否用我们学过的知识来解决这个问题呢？[生]运算次数＝运算速度×工作时间，所以计算机工作103秒可进行的运算次数为：1015×103.[师]1015×103如何计算呢？[生]根据乘方的意义可知1015×103＝(10×10×…×10)15个10×(10×10×10)＝(10×10×…×10)18个10＝1018.[师]很好，通过观察大家可以发现1015、103这两个因数是同底数幂的形式，所以我们把像1015，103的运算叫做同底数幂的乘法．根据实际需要，我们有必要研究和学习这样的运算——同底数幂的乘法．二、探究新知1．做一做(出示投影片)计算下列各式：(1)25×22；(2)a3·a2；(3)5m·5n.(m，n都是正整数)你发现了什么？注意观察计算前后底数和指数的关系，并能用自己的语言描述．[师]根据乘方的意义，同学们可以独立解决上述问题．[生](1)25×22＝(2×2×2×2×2)×(2×2)＝27＝25＋2.因为25表示5个2相乘，22表示2个2相乘，根据乘方的意义，同样道理可得a3·a2＝(a·a·a)(a·a)＝a5＝a3＋2.5m·5n＝(5×5·…·5),\s\do4(m个5))×(5×5·…·5),\s\do4(n个5))＝5m＋n.[生]我们可以发现下列规律：a m·a n等于什么(m，n都是正整数)？为什么？(1)这三个式子都是底数相同的幂相乘；(2)相乘结果的底数与原来底数相同，指数是原来两个幂的指数的和．2．议一议(出示投影片)[师生共析]a m·a n表示同底数幂的乘法．根据幂的意义可得：a m·a n＝(a×a·…·a)m个a·(a×a·…·a)n个a＝a·a·…·a(m ＋n)个a＝a m＋n于是有a m·a n＝a m＋n(m，n都是正整数)，用语言来描述此法则即为：“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”．[师]请同学们用自己的语言解释“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”的道理，深刻理解同底数幂的乘法法则．[生]a m表示m个a相乘，a n表示n个a相乘，a m·a n表示m 个a相乘再乘以n个a相乘，也就是说有(m＋n)个a相乘，根据乘方的意义可得a m·a n＝a m＋n.[师]也就是说同底数幂相乘，底数不变，指数要降一级运算，变为相加．3．例题讲解出示投影片[例1]计算：(1)x2·x5; (2)a·a6；(3)2×24×23; (4)x m·x3m＋1.[例2]计算a m·a n·a p后，能找到什么规律？[师]我们先来看例1，是不是可以用同底数幂的乘法法则呢？[生1](1)，(2)，(4)可以直接用“ 同底数幂相乘，底数不变，指数相加”的法则．[生2](3)也可以，先算两个同底数幂相乘，将其结果再与第三个幂相乘，仍是同底数幂相乘，再用法则运算就可以了．[师]同学们分析得很好．请自己做一遍．每组出一名同学板演，看谁算得又准又快．生板演：(1)解：x2·x5＝x2＋5＝x7；(2)解：a·a 6＝a 1·a 6＝a 1＋6＝a 7；(3)解：2×24×23＝21＋4·23＝25·23＝25＋3＝28；(4)解：x m ·x 3m ＋1＝x m ＋(3m ＋1)＝x 4m ＋1.[师]接下来我们来看例2.受(3)的启发，能自己解决吗？与同伴交流一下解题方法．解法一：a m ·a n ·a p ＝(a m ·a n )·a p＝a m ＋n ·a p ＝a m ＋n ＋p ；解法二：：a m ·a n ·a p ＝a m ·(a n ·a p )＝a m ·a n ＋p ＝a m ＋n ＋p ； 解法三：a m ·a n ·a p ＝(a·a…a)m 个a ·(a·a…a)n 个a ·(a·a…a)p 个a ＝a m ＋n ＋p归纳：解法一与解法二都直接应用了运算法则，同时还运用了乘法的结合律；解法三是直接应用乘方的意义．三种解法得出了同一结果．我们需要这种开拓思维的创新精神．[生]那我们就可以推断，不管是多少个幂相乘，只要是同底数幂相乘，就一定是底数不变，指数相加．[师]是的，能不能用符号表示出来呢？[生]am 1·am 2·am 3·…am n ＝am 1＋m 2＋m 3＋…m n .[师]鼓励学生．那么例1中的第(3)题我们就可以直接应用法则运算了．2×24×23＝21＋4＋3＝28.三、随堂练习1．m 14可以写成( )A．m7＋m7B．m7·m7C．m2·m7D．m·m142．若x m＝2，x n＝5，则x m＋n的值为( )A．7 B．10 C．25D．523．计算：－22×(－2)2＝________；(－x)(－x2)(－x3)(－x4)＝________．4．计算：(1)(－3)2×(－3)5；(2)106·105·10；(3)x2·(－x)5；(4)(a＋b)2·(a＋b)6.四、课堂小结[师]这节课我们学习了同底数幂的乘法的运算性质，请同学们谈一下有何新的收获和体会呢？[生]在探索同底数幂乘法的性质时，进一步体会了幂的意义，了解了同底数幂乘法的运算性质．[生]同底数幂的乘法的运算性质是底数不变，指数相加．应用这个性质时，我觉得应注意两点：一是必须是同底数幂的乘法才能运用这个性质；二是运用这个性质计算时一定是底数不变，指数相加，即a m·a n＝a m＋n(m，n是正整数)．五、课后作业教材第96页练习．本课的主要教学任务是“同底数幂乘法的运算性质”：同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 在课堂教学时，通过幂的意义引导学生得出这一性质，接着再引导学生深入探讨同底数幂运算，幂的底数可以是“任意有理数、单项式、多项式”，训练学生的整体思想．14．1.2 幂的乘方1．知道幂的乘方的意义．2．会进行幂的乘方计算．重点会进行幂的乘方的运算．难点幂的乘方法则的总结及运用．一、复习引入(1)叙述同底数幂乘法法则，并用字母表示：(2)计算：①a2·a5·a n；②a4·a4·a4.二、自主探究1．思考：根据乘方的意义及同底数幂的乘法填空，看看计算结果有什么规律：(1)(32)3＝32×32×32＝3( )；(2)(a2)3＝a2·a2·a2＝a( )；(3)(a m)3＝a m·a m·a m＝a( )．(m是正整数)2．小组讨论对正整数n，你认识(a m)n等于什么？能对你的猜想给出验证过程吗？幂的乘方(a m)n＝a m·a m·a m…a m n个＝am＋m＋m＋…m,\s\up6(n个m))＝a mn字母表示：(a m)n＝a mn(m，n都是正整数)语言叙述：幂的乘方，底数不变，指数相乘．注意：幂的乘方不能和同底数幂的乘法相混淆，例如不能把(a5)2的结果错误地写成a7，也不能把a5·a2的计算结果写成a10.三、巩固练习1．下列各式的计算中，正确的是( )A．(x3)2＝x5B．(x3)2＝x6C．(x n＋1)2＝x2n＋1D．x3·x2＝x62．计算：(1)(103)5; (2)(a4)4；(3)(a m)2; (4)－(x4)3.四、归纳小结幂的乘方的意义：(a m)n＝a mn.(m，n都是正整数)五、布置作业教材第97页练习．运用类比方法，得到了幂的乘方法则．这样的设计起点低，学生学起来更自然，对新知识更容易接受．类比是一种重要的数学思想方法，值得引起注意．14．1.3 积的乘方1．经历探索积的乘方和运算法则的过程，进一步体会幂的意义．2．理解积的乘方运算法则，能解决一些实际问题．重点积的乘方运算法则及其应用．难点幂的运算法则的灵活运用．一、问题导入[师] 提出的问题：若已知一个正方体的棱长为1.1×103 cm，你能计算出它的体积是多少吗？[生] 它的体积应是V＝(1.1×103)3 cm3.[师] 这个结果是幂的乘方形式吗？[生] 不是，底数是1.1与103的乘积，虽然103是幂，但总体来看，我认为应是积的乘方才有道理．[师] 积的乘方如何运算呢？能不能找到一个运算法则？用前两节课的探究经验，请同学们自己探索，发现其中的奥妙．二、探索新知老师列出自学提纲，引导学生自主探究、讨论、尝试、归纳．(出示投影片)1．填空，看看运算过程用到哪些运算律，从运算结果看能发现什么规律？(1)(ab)2＝(ab)·(ab)＝(a·a)·(b·b)＝a( )b( )；(2)(ab)3＝________＝________＝a( )b( )；(3)(ab)n＝________＝________＝a( )b( )．(n是正整数)2．把你发现的规律先用文字语言表述，再用符号语言表达．3．解决前面提到的正方体体积计算问题．4．积的乘方的运算法则能否进行逆运算呢？请验证你的想法．5．完成教材第97页例3.学生探究的经过：1．(1)(ab)2＝(ab)·(ab)＝(a·a)·(b·b)＝a2b2，其中第①步是用乘方的意义；第②步是用乘法的交换律和结合律；第③步是用同底数幂的乘法法则．同样的方法可以算出(2)，(3)题；(2)(ab)3＝(ab)·(ab)·(ab)＝(a·a·a)·(b·b·b)＝a3b3；(3)(ab)n＝(ab)·(ab)·…·(ab)n个ab＝a·a·…·an个a·b·b·…·bn个b＝a n b n.2．积的乘方的结果是把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，也就是说积的乘方等于幂的乘积．用符号语言叙述便是：(ab)n＝a n·b n.(n是正整数)3．正方体的V＝(1.1×103)3它不是最简形式，根据发现的规律可作如下运算：V＝(1.1×103)3＝1.13×(103)3＝1.13×103×3＝1.13×109＝1.331×109(cm3)．通过上述探究，我们可以发现积的乘方的运算法则：(ab)n＝a n·b n.(n为正整数)积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．再考虑如下问题：(abc)n如何计算？是不是也有类似的规律？3个以上的因式呢？学生讨论后得出结论：三个或三个以上因式的积的乘方也具有这一性质，即(abc)n＝a n·b n·c n.(n为正整数)4．积的乘方法则可以进行逆运算．即a n·b n＝(ab)n.(n为正整数)分析这个等式：左边是幂的乘积，而且幂指数相同，右边是积的乘方，且指数与左边指数相等，那么可以总结为：同指数幂相乘，底数相乘，指数不变．看来这也是降级运算了，即将幂的乘积转化为底数的乘法运算．对于a n·b n＝(a·b)n(n为正整数)的证明如下：a n·b n＝(a×a×…×a)n个a(b×b×…×b)n个b——幂的意义＝(ab)(ab)(ab)(ab)…(ab)n个(ab)——乘法交换律、结合律＝(a·b)n——乘方的意义5．[例3](1)(2a)3＝23·a3＝8a3；(2)(－5b)3＝(－5)3·b3＝－125b3；(3)(xy2)2＝x2·(y2)2＝x2·y2×2＝x2·y4＝x2y4；(4)(－2x3)4＝(－2)4·(x3)4＝16·x3×4＝16x12.(学生活动时，老师深入到学生中，发现问题，及时启发引导，使各个层面的学生都能学有所获)[师] 通过自己的努力，发现了积的乘方的运算法则，并能做简单的应用．可以作如下归纳总结：(1)积的乘方法则：积的乘方等于每一个因式乘方的积．即(ab)n＝a n·b n.(n为正整数)(2)三个或三个以上的因式的积的乘方也是具有这一性质．如(abc)n＝a n·b n·c n；(n为正整数)(3)积的乘方法则也可以逆用．即a n·b n＝(ab)n，a n·b n·c n ＝(abc)n.(n为正整数)三、随堂练习1．教材第98页练习．(由学生板演或口答)四、课堂小结(1)通过本节课的学习，你有什么新的体会和收获？(2)在应用积的运算性质计算时，你觉得应该注意哪些问题？五、布置作业(1)(－2xy)3；(2)(5x3y)2；(3)[(x＋y)2]3；(4)(0.5am3n4)2.本节课属于典型的公式法则课，从实际问题猜想——主动推导探究——理解公式——应用公式——公式拓展，整堂课体现以学生为本的思想。