共焦点的双曲线和椭圆问题
专题17 椭圆与双曲线共焦点问题 微点4 椭圆与双曲线共焦点综合训练
24．已知椭圆 ，双曲线 与椭圆 共焦点，且与椭圆 在四个象限的交点分别为 ，则四边形 面积的最大值是___________.
（2022·吉林·希望高中高二期末）
25．椭圆 与双曲线 有公共焦点 ，设椭圆 与双曲线 在第一象限内交于点 ，椭圆 与双曲线 的离心率分别为 为坐标原点， ，则 的取值范围是___________.
（2022·陕西·交大附中模拟预测）
22．如图， ， 是椭圆 与双曲线 的公共焦点， ， 分别是 ， 在第二、四象限的公共点，若 ，且 ，则 与 的离心率之积为_____.
（2022·吉林长春·模拟预测）
23．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1与双曲线C2共焦点，双曲线C2实轴的两顶点将椭圆C1的长轴三等分，两曲线的交点与两焦点共圆，则双曲线C2的离心率为__________．
18．已知椭圆 和双曲线 有相同的焦点 ，P为椭圆与双曲线的一个公共点，椭圆与双曲线的离心率分别为 ，且 ，则 的取值范围为_________．
（2022·安徽省临泉第一中学高二月考）
19．已知椭圆 与双曲线 有相同的焦点 ，椭圆 的离心率为 ，双曲线 的离心率为 ，点 为椭圆 与双曲线 的第一象限的交点，且 ，则 的取值范围是___________.
26．已知 ， 分别是具有公共焦点 ， 的椭圆和双曲线的离心率，点 是两曲线的一个公共点， 是 的中点，且 ，则 ______．
A． B． C． D．
（2022·浙江·舟山中学高三月考）
6．设 、 分别为具有公共焦点 与 的椭圆和双曲线的离心率， 为两曲线的一个公共点，且满足 ，则 的值为（）
A． B． C． D．
二、多选题
（2022江苏·高二单元测试）
双曲线例题
2.3 双曲线
例1 已知双曲线与椭圆136
272
2=+y x 有共同的焦点，且过点（15，4），求双曲线的方程。
例 2 求双曲线14491622-=-y x 的半实轴长和半虚轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标、渐近线方程。
例3 双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的2倍，且一个顶点的坐标为（0,2），则双曲线的标准方程为_______。
例4 根据下列条件，求双曲线的标准方程：
（1）已知双曲线的渐近线方程为x y 2
1±=，焦距为10； （2）已知双曲线的渐近线方程为x y 3
2±=，且过点M （29，-1）； （3）求与椭圆14922=+y x 有公共焦点，且离心率2
5=e 的双曲线方程。
例5 求适合下列条件的双曲线的离心率：
（1）双曲线的渐近线方程为x y 2
3±=； （2）过焦点且垂直于实轴的弦的两个端点与另一个焦点的连线所成的角为90°；
例6 已知21,F F 是双曲线14
22
=-y x 的两个焦点，P 是双曲线上的一点，且21PF F ∠=90°，则21PF F ∆的面积是_______。
例7 设双曲线与椭圆136
272
2=+y x 有相同的焦点，且与椭圆相交，一个交点A 的纵坐标为4，求此双曲线的方程。
例8 双曲线112
42
2=-y x 的焦点到渐近线的距离为_________。
例9 已知双曲线122
22=-b
y a x （a>0,b>0）的一条渐近线为y=kx （k>0），离心率k e 5=，则双曲线的方程为______________。
高考数学解答题双曲线与椭圆共焦点 Word版含答案
5. 双曲线与椭圆共焦点一．基本原理结论：已知具有公共焦点21,F F 的椭圆与双曲线的离心率分别为P e e ,,21是它们的一个交点，且θ221=∠PF F ，则有1)cos ()sin (2221=+e e θθ. 证明： 依题意，在21PF F ∆中，由余弦定理得 θ2cos 2212221221⋅⋅-+=PF PF PF PF F F)sin (cos 222212221θθ-⋅⋅-+=PF PF PF PF()()22122212cos sin PF PF PF PF -++=θθ， 所以1)(cos )(sin 221212221212=-⋅++⋅F F PF PF F F PF PF θθ，即1)cos ()sin (2221=+e e θθ. 二．典例分析例1．已知椭圆()221112211:10x y C a b a b +=>>与双曲线()222222222:10,0x y C a b a b -=>>有相同的焦点1F 、2F ，椭圆1C 的离心率为1e ，双曲线2C 的离心率为2e ，点P 为椭圆1C 与双曲线2C 的交点，且123F PF π∠=，则当1213e e +取最大值时12e e +的值为（ ）A 3B 43C ．22D 26+解析：设P 为第一象限的交点，1||PF m =、2||PF n =，则12m n a +=、22m n a -=，解得12m a a =+、12n a a =-，在12PF F 中，由余弦定理得：2221241cos 22m n mn F c F P +-∠==， ∴2224m n mn c +-=，∴22212121212()()()()4a a a a a a a a c ++--+-=，∴2221234a a c +=，∴22122234a a c c +=，∴2221314e e +=（亦可直接用上述结论）222121228113e e e ∴⎛⎛⎫≤= ⎪ ⎝+⎭⎝⎭，即121e ≤当且仅当121e =即1e =2e =时等号成立，此时12e e += D 例2．（2014年湖北卷）已知12,F F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是他们的一个公共点，且123F PF π∠=,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（ ）ABC ．3D ．2解析：设椭圆的长半轴为a ，双曲线的实半轴为()11,a a a ＞，半焦距为c ，由椭圆和双曲线的定义可知，设1122122PF r PF r F F c ===，，，，椭圆和双曲线的离心率分别为12e e ，12,3F PF π∠=∴由余弦定理可得2221212423c r r r r cos π=+-（）（），①在椭圆中，①化简为即2212443c a r r =-，即122213114r r c e -＝，② 在双曲线中，①化简为即221244c a r r =+，即12222114r r c e -+＝，③ 联立②③得，2212431e e +=，由柯西不等式得22212121111331e e e ⎛⎛⎫⎛⎫++≥⨯ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即（21211443e e ⎛⎫+≤⨯ ⎪⎝⎭，即1211e e +≤=12e e A 例3．设1e 、2e 分别为具有公共焦点1F 与2F 的椭圆和双曲线的离心率，P 为两曲线的一个公共点，且满足120PF PF ⋅=，则221211e e +的值为（ ） A ．2 B ．32 C ．4 D ．52 解析：设椭圆的长半轴长为1a ，双曲线的实半轴长为2a ，不妨设12PF PF >， 由椭圆和双曲线的定义可得12112222PF PF a PF PF a ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，所以，112212PF a a PF a a ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩， 设c F F 2||21=，因为120PF PF ⋅=，则12PF PF ⊥，由勾股定理得2221212PF PF F F +=，即()()22212124a a a a c ++-=，整理得222122a a c +=，故2212112e e +=. 故选：A.。
椭圆和双曲线公式
椭圆和双曲线公式
椭圆的标准方程共分两种情况：
当焦点在x轴时，椭圆的标准方程是：x^2/a^2+y^2/b^2=1，(a>b>0)；当焦点在y轴时，椭圆的标准方程是：y^2/a^2+x^2/b^2=1，(a>b>0)；其中a^2-c^2=b^2。
推导:PF1+PF2>F1F2(P为椭圆上的点F为焦点)。
双曲线的标准方程分两种情况：
焦点在X轴上时为：x^2/a^2-y^2/b^2=1，（a>0，b>0）。
焦点在Y轴上时为：y^2/a^2-x^2/b^2=1，（a>0，b>0）。
双曲线的离心率为：e=c/a
双曲线的焦点在y轴上的双曲线的渐近线为：y=+-（a/b）*x。
扩展资料
设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，它们之间的距离为2c，椭圆上任意一点到F1，F2的距离和为2a（2a>2c）。
以F1，F2所在直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系xOy，则F1,F2的坐标分别为（-c,0)，（c,0)。
等轴双曲线：一双曲线的实轴与虚轴长相等即：2a=2b且e=√2、这时渐近线方程为：y=±x（无论焦点在x轴还是y轴）。
几类常见双曲线方程的求法
几类常见双曲线方程的求法邮编：745000 甘肃省庆阳一中 李树信求双曲线的方程是一类重要题型，在许多情况下，若恪守常规，不但过程繁琐，运算量大，对于有些问题甚至还可能陷入困境，若能根据题目的特点，采用相应的设法，则可达到避繁就简之目的。
下面我们谈谈几类常见的双曲线的方程求法，供大家参考。
类型一﹒已知双曲线经过两个已知点，可设方程为122=+ny mx 。
例1， 求过),(372-A 和),(267--B 两点，且中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线的标准方程。
解：设双曲线方程为122=+ny mx ，由于双曲线过两点（27﹒－3），（－7﹒－62）, 故有⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=-+126713722222)()()()(n m n m 解得 .,751251-==n m 故双曲线的标准方程为1752522=-y x . 类型二﹒与椭圆12222=+by a x 共焦点的双曲线方程，可设方程为 2222221a b b y a x <<=-+-λλλ(,）. 例2.设双曲线与椭圆1362722=+b x 有公共焦点，且与椭圆相交，一个交点的坐标为(415，).求此双曲线的方程。
解：设双曲线的方程为1362722=-+-λλy x )(3627<<λ， 由于曲线过点（),415, 故136162715=-+-λλ， 解之得 ：03221==λλ,(舍去).故所求双曲线方程为: 15422=-x y . 类型三，与12222=-by a x 共渐近线的双曲线方程可设方程为)(02222≠=-λλb y a x 例3，求与双曲线116922=-y x 有公共渐近线，且过），（－623P 的双曲线方程。
解：设所求双曲线方程为：)(016922≠=-λλy x 点),(623-P 在双曲线上, ∴λ=--16629322)()( 解得: 21-=λ.所以, 双曲线方程为192822=-x y . 类型四.渐近线方程为0=±b y a x 或x ab y ±=的双曲线方程可设为λ=-2222b y a x )(0≠λ.例4.已知双曲线的渐近线方程为：x y 21±=且它的一条切线为0865=--y x ，求此双曲线的方程。
共焦点的椭圆与双曲线方程的设法
共焦点的椭圆与双曲线方程的设法1. 概述共焦点的椭圆与双曲线方程是数学中一个重要且常见的问题。
通过研究共焦点椭圆与双曲线的方程，可以深入理解数学中椭圆和双曲线的性质，对于解决实际问题具有重要的理论和实际意义。
本文将探讨共焦点的椭圆与双曲线方程的推导及其相关性质。
2. 共焦点椭圆与双曲线的定义共焦点椭圆与双曲线是指在同一平面上，有两个不同的集合（椭圆和双曲线），它们的焦点相同。
椭圆是指平面上到两定点的距离之和等于常数的动点轨迹，而双曲线是指平面上到一对定点的距离之差等于常数的动点轨迹。
共焦点椭圆与双曲线即是这样两种集合的焦点相同，并且这两种集合存在一定关系的情况。
3. 共焦点椭圆与双曲线的方程共焦点椭圆与双曲线的方程可以通过公式推导得到。
对于椭圆而言，其标准方程为：\[ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \]对于双曲线而言，其标准方程为：\[ \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 \]当两者具有相同焦点时，在同一坐标系中，椭圆的焦点坐标为F(ae, 0)和F'(-ae, 0)，双曲线的焦点坐标为F(ae, 0)和F'(-ae, 0)。
根据这一特性，可以得到共焦点椭圆与双曲线的方程。
4. 共焦点椭圆与双曲线的性质共焦点椭圆与双曲线有许多重要的性质，这些性质对于理解椭圆和双曲线的特点具有重要意义。
4.1 共焦点椭圆与双曲线的焦点性质：由于共焦点椭圆与双曲线具有相同的焦点，因此它们的焦点性质是相似的。
椭圆的焦点性质是指动点到两焦点的距离之和是常数，而双曲线的焦点性质是指动点到两焦点的距离之差是常数。
在共焦点曲线中，这一性质是相互关联的，体现了它们具有共同的焦点。
4.2 共焦点椭圆与双曲线的几何性质：共焦点椭圆与双曲线在几何性质上也有一些相似之处。
它们都可以通过离心率、焦距和半长轴等参数进行描述，而这些参数与焦点密切相关，从而展现出共焦点曲线的特殊性质。
专题17 椭圆与双曲线共焦点问题 微点1 椭圆与双曲线共焦点常用结论及其应用(一)
专题17 椭圆与双曲线共焦点问题 微点1 椭圆与双曲线共焦点常用结论及其应用（一）专题17 椭圆与双曲线共焦点问题微点1 椭圆与双曲线共焦点常用结论及其应用（一） 【微点综述】圆锥曲线是高中数学的重要研究对象，其中具有相同焦点的椭圆与双曲线更是引人瞩目，耐人寻味．在近年高考及全国各地模拟考试中，频繁出现以共焦点的椭圆与双曲线为背景的两离心率之积与两离心率倒数之和的最值与范围问题，此类问题因涉及知识的交汇、体现综合运用能力，学生面对此类问题往往束手无策，本文介绍与此类问题有关的结论，通过具体例子说明结论的应用，供同学们复习时参考． 一、常用结论【结论1】已知点()()()12,0,,00F c F c c ->是椭圆()22122:10x y C a b a b +=>>与双曲线()22222:10,0x y C m n m n-=>>共同的焦点，12,e e 分别为12,C C 的离心率，点()00,P x y 是1C 与2C 的一个公共点，则0000,,y am bn bnx y c c x am===． 证明：由已知得222222221,1,x y a b x y m n ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩消去y 得()22222222222222221111,a m b n x x a n b m b n a n b m +⎛⎫+=+∴= ⎪+⎝⎭， 又()()()2222222222222a n mbc b n c n b b n c +=++-=+，因此22202,a m amx x c c=∴=．又222222222200000022222201,11,,x y x y a m b n bn bn y b b y a b a c a c c x am ⎛⎫⎛⎫+=∴=-=-=∴=∴= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【结论2】已知点()()()12,0,,00F c F c c ->是椭圆()22122:10x y C a b a b +=>>与双曲线()22222:10,0x y C m n m n-=>>共同的焦点，12,e e 分别为12,C C 的离心率，点()00,P x y 是1C 与2C 的一个公共点，12F PF θ∠=，则1222221212,,PF F PF PF a m PF PF b n S bn ∆⋅=-⋅=-=．证明：由椭圆与双曲线的定义得12122,2,PF PF a PF PF m ⎧+=⎪⎨-=±⎪⎩两式分别平方再相减得2212PF PF a m ⋅=-．()()()222212121221cos 4,421cos 4PF PF PF PF c a PF PF c θθ∴+-⋅+=∴-⋅+=，()2121cos 2PF PF b θ∴⋅+=，同理可得()2121cos 2PF PF n θ⋅-+=-，()()()22221212121cos 1cos 2,cos PF PF PF PF b n PF PF b n θθθ∴⋅++⋅-+=-∴⋅=-，2212PF PF b n ∴⋅=-．由椭圆与双曲线的焦点三角形面积公式得 1212222222tan ,tan ,22tan 2PF F PF F n n nS b S b bnb bθθθ∆∆==∴=∴=⋅=． 【结论3】已知点()()()12,0,,00F c F c c ->是椭圆()22122:10x y C a b a b +=>>与双曲线()22222:10,0x y C m n m n -=>>共同的焦点，12,e e 分别为12,C C 的离心率，点()00,P x y 是1C 与2C 的一个公共点，12F PF θ∠=，则2222tan ,cos 2n b n b a m θθ-==-．证明：由结论2得222tan 2n bθ=，又tan 0,tan 22n b θθ>∴=． 注意到221212221212cos ,cos PF PF PF PF b n a mPF PF PF PF θθ⋅⋅-=∴==-⋅⋅．【结论4】已知点()()()12,0,,00F c F c c ->是椭圆()22122:10x y C a b a b +=>>与双曲线()22222:10,0x y C m n m n -=>>共同的焦点，12,e e 分别为12,C C 的离心率，点()00,P x y 是1C 与2C 的一个公共点，则222212n b b n e e ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．证明：222222222222222222221212111,1,a b c b m c n n n b b n e c c c e c c c e e ⎛⎫⎛⎫+-===+===-∴+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 【评注】结论4反映1212,,,e e b b 之间的等量关系式，等式左边是两分式之和，分母分别是2211,e e ，分子分别是2221,b b ，等式右边是1b 与2b 的平方和．【结论5】已知点()()()12,0,,00F c F c c ->是椭圆()22122:10x y C a b a b +=>>与双曲线()22222:10,0x y C m n m n-=>>共同的焦点，12,e e 分别为12,C C 的离心率，点()00,P x y 是1C 与2C 的一个公共点，12F PF θ∠=，则2212sin cos 221e e θθ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即22121cos 1cos 2e e θθ-++=． 证明：证法1：在12PF F ∆中，由余弦定理得22212122cos 4PF PF PF PF c θ+-⋅=，即2222212122cos sin 422PF PF PF PF c θθ⎛⎫+-⋅-= ⎪⎝⎭，()()22221212222221212sin cos 4,sin cos 1222222PF PF PF PF PF PF PF PF c c c θθθθ⎛⎫⎛⎫+-∴++-=∴+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即2212sin cos 221e e θθ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，亦即22121cos 1cos 2e e θθ-++=． 证法2：借助焦点三角形面积公式运用面积公式，设椭圆的短半轴长为1b ，双曲线的虚半轴长为2b ，则121tan 2PF F S b θ=△，1222tan2PF F b S θ=△，所以2221tan 2tan 2b b θθ=，2221b a c =-，2222b c m =-， ()()22222tan 2a c c m θ-=-，整理得：222212sin cos 221e e θθ+=，即22121cos 1cos 2e e θθ-++=．【结论6】已知点()()()12,0,,00F c F c c ->是椭圆()22122:10x y C a b a b +=>>与双曲线()22222:10,0x y C m n m n-=>>共同的焦点，点()00,P x y 是椭圆1C 与双曲线2C 的一个公共点，则椭圆1C 与双曲线2C 在点()00,P x y 处的切线相互垂直．证明：椭圆1C 在点()00,P x y 处的切线方程为00221x x y ya b+=，该切线的斜率为20120x b k y a =-， 双曲线2C 在点()00,P x y 处的切线00221x x y ym n-=，该切线的斜率为20220x n k y m =，222220001222222000x b x n x b nk k y a y m y a m∴=-⋅=-；又由结论1得222222222000122220,,1y b n y a m x b n k k x a m=∴=∴=-， 则椭圆1C 与双曲线2C 在点()00,P x y 处的切线相互垂直．【结论7】若点()00,P x y 是椭圆()22122:10x y C a b a b+=>>与双曲线()22222:10,0x y C m n m n-=>>的一个公共点，且它们在点()00,P x y 处的切线相互垂直，则椭圆1C 与双曲线2C 有共同的焦点．证明：由已知得222222221,1,x y a b x y m n ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩消去y 得()22222222222222221111,a m b n x x a n b m b n a n b m +⎛⎫+=+∴= ⎪+⎝⎭， 因此()2222222222000222222222222222222211,11m b n x y x b n a m a m a n b m b n n a n a n b m a n b m ⎡⎤+⎛⎫+-⎢⎥==-=-= ⎪+++⎢⎥⎝⎭⎣⎦． 由已知得222222222220000012222222222222222220001,,x b x n x b n x y b n a m k k y a y m y a m a m b n a n b m a n b m+-=-⋅=-=-∴=∴=++，22222222,,a m b n a b m n ∴-=+∴-=+∴椭圆1C 与双曲线2C 有共同的焦点．二、应用举例共焦点的椭圆与双曲线问题一般有如下八类题型： （一）公共点问题； （二）公共焦点三角形问题； （三）角度问题；（四）公共点处切线有关问题； （五）求离心率的值（或取值范围）；（六）求椭圆、双曲线离心率之积的取值范围或最值问题； （七）求12u ve e +（,u v 为正常数）型最值问题； （八）求2212ke le +（,k l 为正常数）型最值问题.下面我们举例说明题型（一）至（三）及其解题方法． （一）公共点问题1．已知点1F ，2F 分别为椭圆221:110xC y +=的左、右焦点，椭圆1C 与双曲线222:18x C y -=的一个交点为P ，O 为坐标原点，直线OP 的斜率为k ，则k =___________． （二）公共焦点三角形问题2．已知椭圆()2212:11x C y m m +=>与双曲线()2222:10x C y m n-=>有公共焦点12,F F ，P是它们的一个公共点，则12PF F △的面积为_________，12PF F △的形状是_________．例3．（2022·上海·高三专题练习）3．已知1(2,0)F -､2(2,0)F ，设P 是椭圆2228x y +=与双曲线222x y -=的交点之一，则12PF PF ⋅=___________.4．椭图221:116x y C m +=与双曲线222:18x y C n-=有相同的焦点1F ，2F ，P 为两曲线的一个公共点，则12PF F △面积的最大值为（ ）A ．4B ．C ．2D ．（三）角度问题5．设椭圆2211128x y C +=：与双曲线2221(0):C mx y m -=>有公共的焦点1F ，2F ，点P 是1C 与2C 的一个公共点，则12cos F PF ∠的值为（ ） A ．79B ．29C ．14D ．19例6．（2022浙江嘉兴市·高二月考）6．设椭圆22162x y += 与双曲线2213x y -= 有公共焦点1F ，2F ，P 是两条曲线的一个公共点，则12cos F PF ∠ 等于__________． 【强化训练】 一、单选题（2023·全国·高三专题练习）7．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>满足b a =，且与椭圆221123x y +=有公共焦点，则双曲线C 的方程为（ ） A ．22145x y -=B ．221810x y -=C ．22154x y -=D ．22143x y -=（2022·广东·惠来县第一中学高二月考）8．已知椭圆2219x y +=与双曲线22221x y a b -=共焦点12,F F ，设它们在第一象限的交点为P ，且120PF PF ⋅=，则双曲线的渐近线方程为（ ）A ．7y x =B ．y =C ．y =D ．y = 9．若椭圆()22211x y m m+=>和双曲线()22210x y n n -=>有相同的焦点1F 、2F ，P 是两条曲线的一个交点，则12PF F △的面积是A ．4B ．2C ．1D 1 （2022·全国·高三专题练习（文））10．已知双曲线()221:10y C x m m+=≠与222:122x y C -=共焦点，则1C 的渐近线方程为（ ）A ．0x y ±=B 0y ±=C ．0x ±=D 0y ±=（2022·四川·阆中中学高二月考（文））11．设椭圆2214924x y +=和双曲线22124y x -=的公共焦点为1F ，2F ，P 是两曲线的一个交点，则12F PF ∠的值为（ ）A ．6π B ．4π C ．3πD ．2π（2022·福建省同安第一中学高二月考）12．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的一条渐近线方程为y =，且与椭圆221123x y +=有公共焦点.则C 的方程为（ ） A ．221810x y -=B ．22145x y -=C ．22154x y -=D ．22143x y -=（2022河北·沧州市一中高二月考）13．若()1F ，)2F 是椭圆1C ：2218x y m+=与双曲线2C ：2214x y n -=的公共焦点，且P 是1C 与2C 一个交点，则12F PF ∠=（ ） A ．6πB ．3π C ．2π D ．23π （2022广东·石门中学高二月考）14．已知双曲线C ：2222x y a b -=1(a >0，b >0)的离心率为32，且与椭圆22110x y +=有公共焦点，则双曲线C 的方程为（ ） A ．22810x y -=1B ．2245x y -=1C ．2254x y -=1D ．22108x y -=1二、多选题（2022江苏·高二专题练习）15．若双曲线()2212:102x y C b b -=>与椭圆222:184x y C +=有相同的左右焦点1F ，2F ，且1C ，2C 在第一象限相交于点P ，则（ ）A ．1PF =B ．1C 的渐近线方程为y x =±C ．直线2y x =+与1C 有两个公共点D ．12PF F △的面积为（2022·全国·高三专题练习）16．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>与双曲线22221(0,0)x y m n m n-=>>有相同的焦点12,F F ，点P 为椭圆与双曲线的一个公共点，椭圆与双曲线的离心率分别为12,e e ，下列说法中正确的有（ ）A ．若a ＝2，b12PF PF ⊥，则1232PF F S =△ B ．若a ＝2，b212PF F F ⊥，则22e =C ．若a ＝5，m ，则b n +∈D ．若123F PF π∠=，且2e ∈，则1e ∈⎣⎦三、填空题（2022·辽宁·鞍山一中模拟预测）17．与椭圆2212449x y +=有公共焦点，且离心率54e =的双曲线方程为______．18．已知椭圆2214x y m+=与双曲线221y x n -=有公共的焦点1F ，2F ，若P 为两曲线的一个交点，则12PF PF ⋅=______.19．已知有相同焦点1F 、2F 的椭圆()2211x y m m+=>和双曲线()2210xy n n-=>，点P 是它们的一个交点，则12F PF ∆面积的大小是________． （2016·上海市延安中学三模（文））20．已知椭圆2212:1(1)x C y a a+=>与双曲线2222:1(0)x C y m m -=>有公共焦点12,F F ，两曲线在第一象限交于点P ，PI 是12F PF ∠的角平分线，O 为坐标原点，1F G 垂直射线PI 于H 点，若1OH =，则=a _________．21．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>与双曲线22221(0,0)x y m n m n-=>>有公共焦点12,F F ，点P 是两曲线的一个交点，若122PF PF ⋅=，则22b n +的值为_____________. （2022宁夏中卫·三模（理））22．已知椭圆()222:103x y C b b+=>与双曲线221:1C x y -=共焦点，过椭圆C 上一点P 的切线l 与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点（1F 、2F 为椭圆C 的两个焦点）．又O 为坐标原点，当ABO 的面积最小时，下列说法所有正确的序号是__________． ①1b =；①当点P 在第一象限时坐标为⎭； ①直线OP 的斜率与切线l 的斜率之积为定值12-；①12F PF ∠的角平分线PH （点H 在12F F ．参考答案：1【分析】设点()00,P x y ，根据直线的斜率公式得到0y k x =；联立两方程解出0x ，0y ，即可代入得出答案.【详解】设点()00,P x y ，根据直线的斜率公式得到0y k x =， 联立方程22110x y +=与2218x y -=消去y ，得：222108x x +=，解得x =0x =，代入22110x y +=解得：13y =±，即013y =±，00001y y k x x ∴====2． 1 直角三角形【分析】根据椭圆和双曲线的定义可得12,PF m n PF m n =+=-，进而根据勾股定理可判断直角三角形，进而可求面积.【详解】不妨设P 在第一象限，12,F F 为左右焦点，焦距为2c ，由椭圆和双曲线的定义可得：12122,2PF PF m PF PF n +=-=，故12,PF m n PF m n =+=-，又22211m n c -=+=，故可得22122PF PF m n =-=且()()2222222212122,42PF PF m n F F c m n +=+==+，故 2221212PF PF F F +=，因此12PF F △形状是直角三角形，以P 为直角， 1212112122PF F SPF PF ==⨯=， 故答案为：1；直角三角形. 3．6【分析】由于椭圆与双曲线共焦点，利用两者的定义列出等式求出112||,||PF PF 即可得到答案.【详解】椭圆和双曲线分别化为标准方程为22184x y +=、22122x y -=，可知两曲线共焦点， 设1122||,||PF r PF r ==，由定义有：121122r r r r r r ⎧⎧+==⎪⎪⎨⎨-==⎪⎪⎩⎩11226r r r r ⎧=⎪⨯=⎨=⎪⎩. 故答案为：6.4．A【分析】由两曲线有相同焦点可得,m n 的关系，由椭圆与双曲线的定义可求得点P 到两焦点的距离，为确定值，因此当12PF PF ⊥时，12PF F △面积最大，同时求出,m n 验证正确性． 【详解】由题意168m n -=+，即8m n +=，0,0m n >>．不妨设P在第一象限，则12128PF PF PF PF ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩1244PF PF ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩易知当12PF PF ⊥时，1212142PF F S PF PF ∆==． 此时22212448c PF PF =+=，212c =，4m n ==，满足题意． 故选：A.【点睛】本题考查椭圆与双曲线的焦点问题，考查椭圆与双曲线的定义．在三角形两边确定情况下，这两边垂直时三角形面积最大．掌握椭圆与双曲线的定义是解本题的关键． 5．A【分析】根据焦点坐标得出双曲线方程，根据椭圆定义和双曲线定义求出12PF F △的边长，利用余弦定理计算12cos F PF ∠的值即可．【详解】由椭圆方程可知：()12,0F -，()22,0F ，由双曲线性质可得：114m +=，故13m =，则222:13x C y -=，不妨设P 在第一象限，由椭圆定义可知：12PF PF +=由双曲线的定义可知：12PF PF -=1PF ∴=2PF 124F F =，22212121212||||7cos 29PF PF F F F PF PF PF +-∴∠==． 故选：A ．【点睛】本题考查了椭圆与双曲线的定义与性质，余弦定理的应用，注意仔细审题，认真计算，属中档题． 6．13【详解】试题分析：，，，则，，考点：1.椭圆定义；2.双曲线定义；3.余弦定理； 7．A【分析】根据题意，结合椭圆与双曲线的几何性质，列出方程，求得,a b 的值，即可求解. 【详解】由椭圆的标准方程为221123x y +=，可得21239c =-=，即3c =， 因为双曲线C 的焦点与椭圆221123x y +=的焦点相同，所以双曲线C 中，半焦距3c =， 又因为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>满足b a =，即b =，又由222+=a b c，即229a ⎫⎪⎪⎝⎭+=，解得24a =，可得25b =，所以双曲线C 的方程为22145x y -=.故选：A ． 8．A【分析】根据椭圆的方程求出双曲线焦点坐标，点P 是在原点为圆心，半径为焦半径的圆上， 求出P 点的坐标，代入双曲线方程求解实半轴和虚半轴即可.【详解】对于椭圆2219x y += ，易得椭圆的半焦距的平方28c = ，即双曲线的半焦距的平方=8；对于双曲线22221x y a b-= ，有2228a b c +== …①，12120,PF PF PF PF =∴⊥ ，即P 点是在以原点为圆心，半径为c 的圆上，设()00,P x y ，则有22002200198x y x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩ ，解得2200631,88x y == ， 代入双曲线方程并与①联立：22226318818a b a b ⎧⎪⎪-=⎨⎪+=⎪⎩，化简后得：4216630a a -+= ，()()22790aa --= ，解得27a = 或9，由①可知：28a ＜ ，227,1ab ∴== ，双曲线的方程为：2217x y -=，渐近线方程为y = ；故选：A. 9．C【分析】由已知条件求得2211m n -=+，进而得出222m n -=，联立椭圆和双曲线的标准方程，可求得点P 的纵坐标，并求得12F F ，由此可计算得出12PF F △的面积.【详解】由于椭圆()22211x y m m+=>和双曲线()22210x y n n -=>有相同的焦点1F 、2F ，则2211m n -=+，可得222m n -=，联立22222211x y m x y n ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得2222222222m n x m n y m n ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，12F F =因此，12PF F △的面积是121211122PF F S F F ==⨯=△. 故选：C.【点睛】本题考查椭圆和双曲线焦点三角形面积的计算，联立两曲线方程，求出交点坐标是解题的关键，考查计算能力，属于中等题. 10．D【分析】首先求出2C 的焦点坐标，从而求出m 的值，即可得到1C 的方程，即可求出渐近线方程；【详解】解：双曲线222:122x y C -=中22a =、22b =，所以2224c a b =+=，即2C 焦点坐标为()2,0±，因为双曲线()221:10y C x m m --=≠与222:122x y C -=共焦点，所以()14m +-=， 解得3m =-，所以双曲线221:13y C x -=，则1C0y ±=； 故选：D 11．D【分析】根据给定方程求出焦距，再结合椭圆、双曲线定义建立1||PF 与2||PF 的关系即可计算作答.【详解】依题意，焦距12||10F F =，由椭圆、双曲线定义得：1212142PF PF PF PF ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，两式平方相加得：2221212||||100||PF PF F F +==，于是有122F PF π∠=，所以12F PF ∠的值为2π. 故选：D 12．B【分析】根据已知和渐近线方程可得b a =，双曲线焦距26c =，结合a b c 、、的关系，即可求出结论.【详解】因为双曲线的一条渐近线方程为y x =，则b a =①. 又因为椭圆221123x y +=与双曲线有公共焦点， 双曲线的焦距26c =，即c ＝3，则a 2＋b 2＝c 2＝9①.由①①解得a ＝2，b C 的方程为22145x y -=.故选：B. 13．B【分析】根据题意，求得参数,m n ，再利用椭圆和双曲线定义，求得12,F P F P ，利用余弦定理，即可求得12F PF ∠.【详解】由题可知：85m =+，54n =+，解得3,1m n ==， 不妨设P 为12,C C 在第一象限的交点，12,F P x F P y ==，由椭圆和双曲线定义可得：4,x y x y -=+=22x y =+=，则2224,4x y xy +==，又12F F =在①12F PF 中，由余弦定理可得：(2221224201cos ?282x y F PF xy+--∠===，则123F PF π∠=. 故选：B. 14．B【分析】根据椭圆与双曲线的概念和性质，结合题意即可求解.【详解】椭圆22110x y +=的焦点坐标为()3,0±，则双曲线的焦点坐标为()3,0±，可得c =3，又双曲线C ：2222x y a b-=1的离心率为32，所以32c a =，即a =2，所以b故所求的双曲线方程为2245x y -=1. 故选：B. 15．BD【解析】先由两曲线的焦点相同，求出2b ，可判断BC 选项；再将两曲线联立，求出点P 的坐标，可判断AD 选项，【详解】因为双曲线()2212:102x y C b b -=>与椭圆222:184x y C +=有相同的左右焦点1F ，2F ， 所以2284b +=-，解得22b =，即221:122x y C -=，所以其渐近线方程为y x =±，焦点坐标为()12,0F -，()22,0F ，即B 正确； 因为2y x =+与双曲线1C 的一条渐近线平行，且2y x =+过右焦点()22,0F ，所以直线2y x =+与1C 只有一个交点，即C 错；由2222122184x y x y ⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得2242x y ⎧=⎨=⎩，又1C ，2C 在第一象限相交于点P，所以(P ， 因此1PF ==A 错，12PF F △的面积为121212PF F P SF F y =⋅=D 正确. 故选：BD.【点睛】关键点点睛：求解本题的关键在于根据椭圆与双曲线共焦点，先求出双曲线的方程；再结合双曲线的性质，即可求解. 16．BD【分析】对于A ，求出12PF F S 即可判断，对于B ，可求出2232b PF a ==，152PF =，然后由双曲线的定义可得12m =，即可判断，对于C ，可得2218b n+=，然后设,,0,2b n πθθθ⎛⎫==∈ ⎪⎝⎭，利用三角函数的知识可判断，对于D ，利用椭圆、双曲线的定义和余弦定理可得2212134e e +=，然后可判断.【详解】对于A ，若a ＝2，b 12PF PF ⊥则1222tantan 452PF F Sb θ=⋅=⋅︒A 错误对于B ：若a ＝2，b ①c ＝1212PF F F ⊥ ，2232b PF a ∴==，1224PF PF a +== 152PF ∴=所以1253122PF PF -=-= 12m ∴=， 22ce m == ，故 B 正确 对于C ，若a ＝5，m 因为椭圆与双曲线共焦点 2222a b m n ∴-+= 2218b n ∴+=设,,0,2b n πθθθ⎛⎫==∈ ⎪⎝⎭，则(6sin 4b n πθθθ⎛⎫⎤+=+=+∈ ⎪⎦⎝⎭，故C 错误 对于D ，设1||PF s =，2||PF t =，由椭圆和双曲线的定义可得2s t a +=，2s t m -=， 解得s a m =+，t a m =-， 在三角形12F PF 中，123F PF π∠=，可得22222222242cos 22()3c s t st a m am a m am a m π=+-=++++---，即有22234a m c +=，可得222234a m c c+=，即2212134e e +=，当2e ∈时可得1e ∈⎣⎦，故D 正确故选：BD17．221169y x -=【分析】求出椭圆的焦点，则可得双曲线的焦点，然后设双曲线方程为22221(0,0)y x a b a b -=>>，由离心率求出a ，再由222b c a =-求出2b ，从而可求出双曲线的方程 【详解】由2212449x y +=可得焦点坐标为(0,5),(0,5)-， 由题意设双曲线方程为22221(0,0)y x a b a b-=>>，则554c c a =⎧⎪⎨=⎪⎩，得54c a =⎧⎨=⎩， 所以22225169b c a =-=-=，所以双曲线方程为221169y x -=，故答案为：221169y x -=18．3【分析】由题意可得，12124,2PF PF PF PF +=-=，两式平方相减可得12PF PF ⋅的值. 【详解】解：因为椭圆2214x y m+=与双曲线221y x n -=有公共的焦点1F ，2F ，且P 为两曲线的一个交点，所以121242PF PF PF PF ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，所以22112222112221624PF PF PF PF PF PF PF PF ⎧+⋅+=⎪⎨-⋅+=⎪⎩, 两式相减得，12412PF PF ⋅=，所以 123PF PF ⋅= 故答案为：3【点睛】此题考查了椭圆和双曲线的概念和性质，属于基础题. 19．1【解析】设1PF s =，2PF t =，由椭圆和双曲线的定义整理得2222 s t m n st m n⎧+=+⎨=-⎩，由焦点相同可得2m n -=，结合余弦定理可证明1290F PF ∠=︒，从而可求出面积.【详解】如图所示，不妨设两曲线的交点P 位于双曲线的右支上，设1PF s =，2PF t =．由双曲线和椭圆的定义可得 s t s t ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩2222 s t m n st m n ⎧+=+⎨=-⎩，在12PF F △中，()2221222414cos 222m n m s t c F PF st m n+--+-∠==-，①11m n -=+，①2m n -=，①12cos 0F PF ∠=，①1290F PF ∠=︒． ①12F PF △面积为112st =，故答案为:1.【点睛】本题考查了椭圆的定义，考查了双曲线的定义，考查了余弦定理，属于中档题.20【分析】由题意可得2OH GF 且212OH GF =,再结合双曲线的定义可得1m =，然后结合椭圆与双曲线有公共焦点求解即可.【详解】解：由PI 是12F PF ∠的角平分线，1F G 垂直射线PI 于H 点，则点H 为线段1F G 的中点，且1PG PF =,又O 为线段12F F 的中点，则2OH GF 且212OH GF =, 又1OH =,则22GF =,由双曲线的定义可得21222m PF PF GF =-==, 则1m =，又椭圆与双曲线有公共焦点， 则2211a m -=+， 则23a =，即a =【点睛】本题考查了双曲线的定义，重点考查了椭圆与双曲线共焦点的问题，属中档题. 21．2【分析】不妨设P 在第一象限，故2222a b m n -=+，且122PF PF a +=，122PF PF m -=，故()()22221212448PF PF PFPF a m +--=-=，解得答案.【详解】椭圆22221(0)x y a b a b +=>>与双曲线22221(0,0)x y m n m n-=>>有公共焦点12,F F ，不妨设P 在第一象限，故2222a b m n -=+，且122PF PF a +=，122PF PF m -=.()()22221212124448PFPF PFPF a m PF PF +--=-=⋅=，即222a m -=，即222b n +=. 故答案为：2.【点睛】本题考查了椭圆和双曲线共焦点问题，意在考查学生的计算能力和转化能力. 22．①①【分析】求出b 的值，可判断①的正误；设点()00,P x y 在第一象限内，利用基本不等式求得ABO 面积的最小值，利用等号成立可求得a 的值，可判断①的正误；利用斜率公式可判断①的正误；利用等面积法可求出PH 的长，可判断①的正误.【详解】对于①，双曲线1C的焦点坐标为()，所以，232b -=，0b >，1b ∴=，①正确；对于①，由于椭圆的对称性，设点P 为第一象限内的点，设点()00,P x y ，则220013x y +=，先证明椭圆C 在其上一点()00,P x y 处的切线方程为0013x xy y +=. 联立00221313x xy y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，可得22002330x x x y -+-=，即220020x x x x -+=，解得0x x =.所以，椭圆C 在其上一点()00,P x y 处的切线方程为0013x xy y +=. 所以点03,0A x ⎛⎫ ⎪⎝⎭、010,B y ⎛⎫⎪⎝⎭，由基本不等式可得22000013x y y +=，可得00x y ≤000013133222ABOSx y x y =⋅⋅=≥0y ==0x =0y =①错误； 对于①，00OP y k x =，003l x k y =-，所以，13OP l k k =-，①错误；对于①，以12F F 为直径的圆的方程为222x y +=，22622⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则点P 在圆222x y +=上，则12PF PF ⊥， PH m =，由等面积法可得()1212116sin 45222F PF S PF PF m =⨯=⨯+⋅=△，解得m =故答案为：①①.【点睛】结论点睛：在利用椭圆的切线方程时，一般利用以下方法进行直线： （1）设切线方程为y kx m =+与椭圆方程联立，由0∆=进行求解；（2）椭圆22221x y a b+=在其上一点()00,x y 的切线方程为00221x x y y a b +=，再应用此方程时，首先应证明直线00221x x y y a b +=与椭圆22221x y a b+=相切.。
双曲线知识点总结例题
（二）双曲线知识点及巩固复习1.双曲线的定义如果平面内一个动点到两定点距离之差的绝对值等于正的常数（小于两定点间的距离），那么动点的轨迹是双曲线若一个动点到两定点距离之差等于一个常数，常数的绝对值小于两定点间的距离，那么动点的轨迹是双曲线的一支F 1，F2为两定点，P为一动点，(1)若||PF1|-|PF2||=2a①0<2a<|F1F2|则动点P的轨迹是②2a=|F1F2|则动点P的轨迹是③2a=0则动点P的轨迹是(2) 若|P F1|-|PF2|=2a①0<2a<|F1F2|则动点P的轨迹是②2a=|F1F2|则动点P的轨迹是③2a=0则动点P的轨迹是2.双曲线的标准方程3.双曲线的性质（1）焦点在x轴上的双曲线标准方程x,y的范围顶点焦点对称轴对称中心实半轴的长虚半轴的长焦距离心率e= 范围 e越大双曲线的开口越 e越小双曲线的开口越准线渐近线焦半径公式|PF1|=|PF2|= (F1，F2分别为双曲线的左右两焦点，P为椭圆上的一点)（1）焦点在y轴上的双曲线标准方程x,y的范围顶点焦点对称轴对称中心实半轴的长虚半轴的长焦距离心率e= 范围 e越大双曲线的开口越 e越小双曲线的开口越准线渐近线焦半径公式|PF1|=|PF2|= (F1，F2分别为双曲线的下上两焦点，P为椭圆上的一点)1.等轴双曲线：特点①实轴与虚轴长相等②渐近线互相垂直③离心率为2.共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫原双曲线的共轭双曲线特点①有共同的渐近线②四焦点共圆双曲线的共轭双曲线是6.双曲线系（1）共焦点的双曲线的方程为(0<k<c2,c为半焦距)（2）共渐近线的双曲线的方程为例题在运用双曲线的定义时，应特别注意定义中的条件“差的绝对值”，弄清是指整条双曲线，还是双曲线的哪一支考点1、双曲线定义例1、已知动圆M与圆C1：(x＋4)2＋y2＝2外切，与圆C2：(x－4)2＋y2＝2内切，求动圆圆心M的轨迹方程【例2】若椭圆与双曲线有相同的焦点F1，F2，P是两条曲线的一个交点，则|PF1|·|PF2|的值是（）A. B. C. D.【例3】已知双曲线与点M （5，3），F 为右焦点，若双曲线上有一点P ，使最小，则P 点的坐标为考点2、求双曲线的方程求双曲线标准方程的方法1．定义法，根据题目的条件，若满足定义，求出相应a 、b 、c 即可求得方程． 2．待定系数法(2)待定系数法求双曲线方程的常用方法①与双曲线a2x2－b2y2＝1有共同渐近线的双曲线方程可表示为a2x2－b2y2＝t (t ≠0)；②若双曲线的渐近线方程是y ＝±a bx ，则双曲线的方程可表示为a2x2－b2y2＝t (t ≠0)；③与双曲线a2x2－b2y2＝1共焦点的方程可表示为a2－k x2－b2＋k y2＝1(－b 2＜k ＜a 2)； ④过两个已知点的双曲线的标准方程可表示为m x2＋n y2＝1(mn ＜0)；⑤与椭圆a2x2＋b2y2＝1(a ＞b ＞0)有共同焦点的双曲线方程可表示为a2－λx2＋b2－λy2＝1(b 2＜λ＜a 2)．例4、求下列条件下的双曲线的标准方程．(1)与双曲线9x2－16y2＝1有共同的渐近线，且过点(－3，2)； (2)与双曲线16x2－4y2＝1有公共焦点，且过点(3，2)．1.在双曲线的标准方程中，若x 2的系数是正的，那么焦点在x 轴上；如果y 2的系数是正的，那么焦点在y 轴上，且对于双曲线，a 不一定大于b .2．若不能确定双曲线的焦点在哪条坐标轴上，可设双曲线方程为：mx 2＋ny 2＝1(mn ＜0)，以避免分类讨论．考点3、双曲线的几何性质双曲线的几何性质与代数中的方程、平面几何的知识联系密切，解题时要深刻理解确定双曲线的形状、大小的几个主要特征量，如a 、b 、c 、e 的几何意义及它们的相互关系，充分利用双曲线的渐近线方程，简化解题过程例5、(12分)双曲线C ：a2x2－b2y2＝1(a ＞0，b ＞0)的右顶点为A ，x 轴上有一点Q (2a,0)，若C 上存在一点P ，使→AP ·→PQ ＝0，求此双曲线离心率的取值范围．例6、【活学活用】 3.(2012北京期末检测)若双曲线a2x2－b2y2＝1(a ＞0，b ＞0)的两个焦点分别为F 1、F 2，P 为双曲线上一点，且|PF 1|＝3|PF 2|，则该双曲线的离心率e 的取值范围是________．【例7】直线过双曲线的右焦点，斜率k =2.若与双曲线的两个交点分别在左右两支上，则双曲线的离心率e 的范围是 （ ）A .e >B.1<e <C.1<e <D.e >【例8】设为双曲线上的一点，是该双曲线的两个焦点，若，则的面积为（ ）A ．B． C. D．【评注】解题中发现△PF1F2是直角三角形，是事前不曾想到的吧？可是，这一美妙的结果不是每个考生都能临场发现的.将最美的结果隐藏在解题过程之中以鉴别考生的思维能力，这正是命题人的高明之处.渐近线——双曲线与直线相约天涯对于二次曲线，渐近线为双曲线所独有. 双曲线的许多特性围绕着渐近线而展开.双曲线的左、右两支都无限接近其渐近线而又不能与其相交，这一特有的几何性质不仅很好地界定了双曲线的范围.由于处理直线问题比处理曲线问题容易得多，所以这一性质被广泛应用于有关解题之中.【例9】过点（1，3）且渐近线为的双曲线方程是【评注】在双曲线中，令即为其渐近线.根据这一点，可以简洁地设待求双曲线为，而无须考虑其实、虚轴的位置.共轭双曲线——虚、实易位的孪生弟兄将双曲线的实、虚轴互易，所得双曲线方程为：.这两个双曲线就是互相共轭的双曲线.它们有相同的焦距而焦点的位置不同；它们又有共同的渐近线而为渐近线所界定的范围不一样；它们的许多奇妙性质在解题中都有广泛的应用.【例10】两共轭双曲线的离心率分别为，证明：=1.设而不求——与借舟弃舟同理减少解析几何计算量的有效方法之一便是设而不求.请看下例： 【例11】双曲线的一弦中点为（2，1），则此弦所在的直线方程为 （ ）A.B.C.D.“设而不求”具体含义是：在解题中我们希望得到某种结果而必须经过某个步骤，只要有可能，可以用虚设代替而不必真地去求它.但是，“设而不求”的手段应当慎用.不问条件是否成熟就滥用，也会出漏子.请看：【例12】在双曲线上，是否存在被点M （1，1）平分的弦？如果存在，求弦所在的直线方程；如不存在，请说明理由.如果不问情由地利用“设而不求”的手段，会有如下解法：练习1．(2011安徽高考)双曲线2x 2－y 2＝8的实轴长是( ) A ．2 B ．2 C ．4 D ．42．(2011山东高考)已知双曲线a2x2－b2y2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线均和圆C ：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C 的圆心，则该双曲线的方程为( )A.5x2－4y2＝1B.4x2－5y2＝1C.3x2－6y2＝1D.6x2－3y2＝13.(2012嘉兴测试)如图，P 是双曲线4x2－y 2＝1右支(在第一象限内)上的任意一点，A 1，A 2分别是左、右顶点，O 是坐标原点，直线PA 1，PO ，PA 2的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则斜率之积k 1k 2k 3的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(0，81)C ．(0，41)D ．(0，21)4．(金榜预测)在平面直角坐标系xOy 中，已知△ABC 的顶点A (－5,0)和C (5,0)，顶点B 在双曲线16x2－9y2＝1上，则|sin A －sin C|sin B为( )A.23B.32C.45D.545．P 为双曲线9x2－16y2＝1的右支上一点，M 、N 分别是圆(x ＋5)2＋y 2＝4和(x －5)2＋y 2＝1上的点，则|PM |－|PN |的最大值为( )A ．6B ．7C ．8D ．96．(2012南宁模拟)已知点F 1，F 2分别是双曲线的两个焦点，P 为该曲线上一点，若△PF 1F 2为等腰直角三角形，则该双曲线的离心率为( )A.＋1B.＋1 C ．2 D ．27．方程2－m x2＋|m|－3y2＝1表示双曲线．那么m 的取值范围是________．8．(2012大连测试)在双曲线4x 2－y 2＝1的两条渐近线上分别取点A 和B ，使得|OA |·|OB |＝15，其中O 为双曲线的中心，则AB 中点的轨迹方程是________．9．双曲线a2x2－b2y2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率是2，则3a b2＋1的最小值是________．10(2012肇庆模拟)已知中心在原点的双曲线C 的一个焦点是F 1(－3,0)，一条渐近线的方程是 x －2y ＝0.(1)求双曲线C 的方程；(2)若以k (k ≠0)为斜率的直线l 与双曲线C 相交于两个不同的点M ，N ，且线段MN 的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为281，求k 的取值范围．11．(文用)已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(2,0)，右顶点为(，0)． (1)求双曲线C 的方程；(2)若直线：y ＝kx ＋m (k ≠0，m ≠0)与双曲线C 交于不同的两点M 、N ，且线段MN 的垂直平分线过点A(0，－1)，求实数m的取值范围．12已知中心在原点，顶点A1、A2在x轴上，离心率e=的双曲线过点P(6，6) (1)求双曲线方程 (2)动直线l经过△A1PA2的重心G，与双曲线交于不同的两点M、N，问是否存在直线l,使G平分线段MN，证明你的结论13．已知双曲线,问过点A（1，1）能否作直线,使与双曲线交于P、Q两点，并且A为线段PQ的中点？若存在，求出直线的方程，若不存在，说明理由。
专题08+椭圆双曲线共焦点,双曲线共渐近线的几种设法高考数学二轮复习之重难点微专题突破训练含解析
一、共焦点的设法1、与椭圆22221x ya b+=共焦点的椭圆方程可设为或；2、与双曲线22221x ya b-=共焦点的双曲线方程可设为或。
例：过点且与有相同焦点的椭圆的方程是________．【答案】【掌握练习】1、过点且与椭圆有相同焦点的椭圆的标准方程为________．【答案】【解析】因为椭圆中，，所以设所求椭圆方程为，把代入得，解得或（舍），所以所求椭圆方程为2、在直线任取一点M,过M且以的焦点为焦点作椭圆,则所作椭圆的长轴长的最小值为__________．【答案】3、与双曲线有公共焦点，且过点的双曲线的标准方程为________．【答案】【解析】可设方程为，将点代入得，解得12m=或30（舍去），故所求方程为。
二、共渐近线的设法：1、与双曲线22221x ya b-=共焦点的双曲线方程可设为，0λ>表示焦点在x轴上的双曲线；λ<表示焦点在y轴上的双曲线。
2、已知双曲线的渐近线方程为ny xm=±，可设方程为。
例：若双曲线C经过点(2，2)，且与双曲线具有相同渐近线，则双曲线C的标准方程为________．【答案】【解析】由题意设双曲线C的标准方程为，又过点(2，2)，所以则所求的双曲线方程为．【掌握练习】1、焦点为，且与双曲线有相同渐近线的双曲线的标准方程为________．【答案】2、已知双曲线过点,且渐近线方程为,则该双曲线的标准方程为________．【答案】【解析】根据双曲线的渐近线方程,可设双曲线方程为, 将点的坐标代入得,所以双曲线方程.3、焦点在轴上，焦距为，且与双曲线有相同渐近线的双曲线的标准方程是________．【答案】【解析】设所求双曲线的标准方程为，即，则有，解得，所以所求双曲线的标准方程为.4、已知双曲线的渐近线方程为,点在双曲线上,则双曲线的标准方程是________．【答案】【解析】∵双曲线的渐近线方程为,∴可设双曲线的方程为,∵双曲线经过点,∴,∴,∴双曲线的方程为,可化为,故答案为.5、已知双曲线的渐近线方程为,焦点坐标为,则双曲线的方程为________．【答案】三、离心率相同的设法1、与椭圆22221x ya b+=离心率相同的椭圆方程可设为2222x yka b+=或2222y xka b+=。
共焦点的椭圆与双曲线离心率问题
共焦点的椭圆与双曲线离心率问题引题1 （2013年浙江高考题）设12,F F 是椭圆221:14x C y +=与双曲线2C 的公共焦点，A,B 分别是12,C C 在第四象限的公共点，若12AF BF 为矩形，求2C 的离心率.练习1（2014年湖北高考题）已知点是12,F F 椭圆1C 与双曲线2C 的公共左右焦点，12,e e 是12C C ，的离心率，若P 为12C C ，的交点，12=3F PF π∠，求1211e e +的最大值.练习2（2016年杭州一模）已知点是12,F F 椭圆1C 与双曲线2C 的公共左右焦点，12,e e 是12C C ，的离心率，若P 为12C C ，的交点，12213cos =,25F PF e e ∠=，求1e 的值.练习3（2016年四川竞赛题）已知点是12,F F 椭圆1C 与双曲线2C 的公共左右焦点，12,e e 是12C C ，的离心率，若P 为12C C ，的交点，12=3F PF π∠，求12e e 的最小值.练习4（2016年浙江）已知椭圆2211(1)x C y m m+=>：与双曲线2221(0)x C y n n-=>：的焦点重合，12,e e 是12C C ，的离心率，则（ ） A.12,1m n e e >> B.12,1m n e e >< C.12,1m n e e <> D.12,1m n e e <<规律总结：______________________________________________________________.。
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共焦点的双曲线和椭圆问题目录一、解题知识 (2)（一）基础知识 (2)（二）共焦点的常用结论 (3)二、分类解析 (4)（一）用焦半径 (4)（二）面积公式 (5)（三）离心率关系 (7)1．求值 (7)2．均值不等式 (9)3．范围 (12)（四）其他题目 (13)一、解题知识（一）基础知识一、已知椭圆方程为),0(12222>>=+b a b y a x 两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形21F PF 中,21θ=∠PF F 则2tan221θb S PF F =∆。
θcos 2)2(2122212212PF PF PF PF F F c -+== )cos 1(2)(21221θ+-+=PF PF PF PF θθθcos 12)cos 1(244)cos 1(24)(222222121+=+-=+-+=∴b c a c PF PF PF PF 1222121sin sin tan 21cos 2F PF b S PF PF b θθθθ∆∴===+二、已知双曲线方程为22221,x y a b -=两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形21F PF 中,21θ=∠PF F 则122tan 2F PF b S θ∆=。
三、已知椭圆方程为),0(12222>>=+b a b y a x 两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形21F PF 中12,,F P m PF n ==则0∆==||S c y 。
四、已知双曲线方程为22221,x y a b-=两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形21F PF 中12,,F P m PF n ==则0∆==||S c y 。
（二）共焦点的常用结论椭圆与双曲线共焦点1F ，2F ，它们的交点P 对两公共焦点1F ，2F 的张角为122F PF θ∠=，椭圆与双曲线的离心率分别为1e ，2e ，则()A ．222212cos sin 1e e θθ+=B ．222212sin cos 1e e θθ+=C ．2212221cos sin e e θθ+=D ．2212221sin cos e e θθ+=解：设椭圆的长轴长为12a ，双曲线的实轴长为22a ，P 到两焦点的距离分别为m ，(0)n m n >>，焦距为2c ，由椭圆的定义可得12m n a +=，由双曲线的定义可得22m n a -=，解得12m a a =+，12n a a =-，【记住结论，焦半径是两个a 之和，和两个a 之差】由余弦定理可得2222cos 24m n mn c θ+-=，则22212121212()()2()()cos 24a a a a a a a a c θ++--+-=，化为22212(1cos 2)(1cos 2)2a a c θθ-++=，可得222212221a sin a cos c c θθ+=，由11c e a =，22c e a =，可得2222121sin cos e e θθ+=．故选：B ．记住结论椭圆与双曲线共焦点1F ，2F ，它们的交点P 对两公共焦点1F ，2F 的张角为12F PF θ∠=，椭圆与双曲线的离心率分别为1e ，2e ，则有______________二、分类解析（一）焦半径1.设椭圆22162x y +=和双曲线2213x y -=的公共焦点为1F ，2F ，A 是两曲线的一个公共点，则12||||AF AF 的值等于()【A 】A ．3B ．4C ．5D ．6解：设椭圆的长轴长为12a ，双曲线的实轴长为22a ，P 到两焦点的距离分别为m ，(0)n m n >>，焦距为2c ，由椭圆的定义可得，由双曲线的定义可得，解得，，2.如图，1F 、2F 是椭圆1C 与双曲线2C 的公共焦点，A 、B 分别是1C ，2C 在第二四象限的交点，若11AF BF ⊥，且13AF O π∠=，则1C 与2C 离心率之积为()A ．2B ．23C ．5D ．6【解答】解：转化成焦点三角形：连接2AF ，2BF ，11AF BF ⊥ ，13AF O π∠=，21126AF F BF F π∴∠=∠=，则1AF c =，23AF c =，132c c a +=，即椭圆的离心率1131c e a ==+232c c a -=，即双曲线的离心率22231c e a ==-，则1C 与2C 4423123131===-+- ，故选：A ．（二）面积公式3.点P是椭圆221122111(0)x y a b a b +=>>和双曲线22222221(0x y a a b -=>，20)b >的一个交点，1F ，2F 是椭圆和双曲线的公共焦点，123F PF π∠=，则12b b 的值是3．解：设12F PF θ∠=，设椭圆的短半轴长为1b ，长半轴长为1a ，双曲线的实半轴长为2a ，虚半轴长为2b ，由焦点三角形的面积公式可得2221tan 2tan 2b b θθ=，则22123b b =，可得123b b =．故答案为：3．4.已知椭圆222116x y a +=与双曲线22215x ym -=有公共焦点1F ，2F ，且两条曲线在第一象限的交点为P 点，则△12PF F 的面积为()A ．112B ．212C ．45D ．85解：设12F PF θ∠=，设椭圆的短半轴长为1b ，长半轴长为1a ，双曲线的实半轴长为2a ，虚半轴长为2b ，由焦点三角形的面积公式可得2221tan 2tan 2b b θθ=，∴△12PF F 的面积为2221tan 2tan 2b b θθ=5=故选：C ．5.设椭圆221:1128x y C +=与双曲线222:1(0)C mx y m -=>有公共的焦点1F ，2F ，点P 是1C 与2C 的一个公共点，则12cos F PF ∠的值为()A ．79B ．29C ．14D ．19解：设12F PF θ∠=，设椭圆的短半轴长为1b ，长半轴长为1a ，双曲线的实半轴长为2a ，虚半轴长为2b ，127cos 9F PF ∴∠=．故选：A ．（三）离心率关系1．求值6.有公共焦点1F ，2F 的椭圆和双曲线的离心率分别为1e ，2e ，点A 为两曲线的一个公共点，且满足1290F AF ∠=︒，则221211e e +的值为2．【解答】2212112e e +=．故答案为：2．7.已知圆锥曲线()()222212:10:10,0C mx ny n m C px qy p q +=>>-=>>与的公共焦点为1F ，2F ．点M 为1C ，2C 的一个公共点，且满足1290F MF ∠=︒，若圆锥曲线1C 的离心率为34，则2C 的离心率为()A ．92B ．322C ．32D ．54【解答】由离心率的公式可得，2212112e e +=， 134e =，∴2292e =，则2322e =．故选：B ．8.如图，1F ，2F 是椭圆22122:1(0)x y C m n m n +=>>与双曲线22222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的公共焦点，1C ，2C 的离心率分别记为1e ，2e ．A 是1C ，2C 在第一象限的公共点，若2C 的一条渐近线是线段1AF 的中垂线，则2212212(()e e e e +=)A ．2B ．52C ．72D ．4【解答】22122122()e e e e +=．故选：A ．9.已知椭圆和双曲线有共同的焦点1F ，2F ，P 是它们的一个交点，且1223F PF π∠=，记椭圆和双曲线的离心率分别为1e ，2e ．则221231(e e +=)A ．4B ．23C ．2D ．32212314e e +=．故选：A ．10.已知1F 、2F 是双曲线22122:1(0,0)x y C a b a b -=>>与椭圆222:1259x y C +=的公共焦点，点P 是曲线1C 、2C 在第一象限的交点，若△12PF F 的面积为36，则双曲线1C 的离心率为()A ．2105B ．103C ．355D ．52【解答】解：根据题意，设(,)P m n ，椭圆2C 的方程为：221259x y +=，则其焦点为(4,0)和(4,0)-，则双曲线的焦点1F 、2F 分别为(4,0)和(4,0)-，则有212||8c F F ==，若△12PF F 的面积为36，则可以求∠→根据离心率关系→e则双曲线1C 的离心率4210510c e a ===；故选：A ．11.已知1F ，2F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，1e ，2e 分别为椭圆和双曲线的离心221223234e e -++=，则∠12PF F 是30°12.若椭圆221122111(0)x y a b a b +=>>与双曲线22222221(0x y a a b -=>，20)b >有公共的焦点1F ，2F ，点P 是两条曲线的交点，123F PF π∠=，椭圆的离心率为1e ，双曲线的离心率为2e ，且121e e =，则1(e =)A ．13B ．33C ．12D ．22【解答】∴2212134e e =+，由121e e =，即211e e =，得：2121134e e +=，解得：211e =（舍)，或2113e =，即133e =．故选：B ．2．均值不等式13.已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>与双曲线22221(0,0)x y m n m n-=>>有共同的焦点1F ，2F ，且在第一象限内相交于点P ，椭圆与双曲线的离心率分别为1e ，2e ．若123F PF π∠=，则12e e 的最小值是()A ．12B ．22C ．32D ．32【解答】即为2212134e e +=，由222212121332e e e e + ，可得1232e e ，当且仅当213e e =时，取得最小值32，故选：C ．14.已知椭圆2212:1(1)x C y m m +=>与双曲线2222:1(0)x C y n n-=>的焦点重合，1e ，2e 分别为1C ，2C 的离心率，则()A ．m n >且121e e >B ．m n >且121e e <C ．m n <且121e e >D ．m n <且121e e <【解答】解：由a,b,c 关系,可得2211m n -=+，即222m n =+，又1m >，0n >，则m n >，解：设12F PF θ∠=，设椭圆的短半轴长为1b ，长半轴长为1a ，双曲线的实半轴长为2a ，虚半轴长为2b ，由焦点三角形的面积公式可得2221tan 2tan 2b b θθ=，2212112e e +=，则121e e > ．故选：A ．15.已知椭圆和双曲线有共同焦点1F ，2F ，P 是它们的一个交点，1260F PF ∠=︒，记椭圆和双曲线的离心率分别1e ，2e ，则2212e e +的最小值是()A ．312+B ．32C ．233D ．3【解答】∴2212134e e +=，222222211212222212123113113()()(4)(423)14442e e e e e e e e e e +=++=+++=+ ，当且仅当213e e =时，取等号．则2212e e +的最小值是：312+．故选：A ．16.已知1F ，2F 是椭圆和双曲线的公共焦点，点P 是它们的一个公共点，且1260F PF ∠=︒，设椭圆和双曲线的离心率分别为1e 、2e ，则1211e e +的最大值为()A ．34B ．43C ．334D ．433【本题推导一下离心率关系:】解：设椭圆方程是2222111x y a b +=，双曲线方程是2222221x y a b -=，由定义可得121||||2PF PF a +=，122||||2PF PF a -=，112||PF a a ∴=+，212||PF a a =-，在△12F PF 中由余弦定理可得，22212121212(2)()()2()()cos60c a a a a a a a a =++-++-︒，即2221243c a a =+，2212134e e ∴=+，由柯西不等式得2222121212113111(1)((1()3e e e e e ++⨯+=+ ，即21211416()433e e +⨯=，即12113e e +，当且仅当13e =，2e =故选：D ．3．范围17.已知点1F ，2F 分别是椭圆1C 和双曲线2C 的公共焦点，1e ，2e 分别是1C 和2C 的离心率，点P 为1C 和2C 的一个公共点，且1223F PF π∠=，若2(2,7)e ∈，则1e 的取值范围是()A ．52(,)53B ．225(,)35C ．57(,)53D ．725(,)35【解答】由11c e a =，22c e a =，得2212314e e +=，∴2212314e e =-， 2(2,7)e ∈，∴22111(,)74e ∈，则21315(4e ∈，27)7，∴2115(4e ∈，9)7，217(9e ∈，4)5，又1(0,1)e ∈，17(3e ∴∈，25)5．故选：D ．18.已知1F ，2F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且1223F PF π∠=，则椭圆和双曲线的离心率之积的范围是()A ．(1,)+∞B ．(0,1)C ．(0,2)D ．(2，)+∞【解答】有结论2212314e e +=，则221212313142e e e e =+ ，所以1232e e ，等号在22212212313e e e e →==因为椭圆离心率小于双曲线的离心率，所以22213e e >，所以它的最小值不能取到。