(完整版)八年级数学经典难题

经典难题（一）
1、已知：如图，O 是半圆的圆心，C、E 是圆上的两点，CD⊥AB，EF⊥AB，EG⊥CO．
求证：CD＝GF．（初二）
2、已知：如图，P 是正方形 ABCD 内点，∠PAD＝∠PDA＝15 度
求证：△PBC是正三角形．（初二）
3、如图，已知四边形 ABCD、A1B1C1D1 都是正方形，A2、B2、C2、D2 分别是 AA 1、BB1、CC1、DD1 的中点．
求证：四边形 A2B2C2D2 是正方形．（初二）
4、已知：如图，在四边形 ABCD 中，AD＝BC，M、N 分别是 AB、CD 的中点，AD
、BC 的延长线交 MN 于E、
F．求证：∠DEN＝∠F．
经典难题（二）
1、已知：△ABC 中，H 为垂心（各边高线的交点），O 为外心，且OM⊥BC 于 M
．
（1）求证：AH＝2OM；
（2）若∠BAC＝600，求证：AH＝AO．（初二）
2、设 MN 是圆 O 外一直线，过 O 作OA⊥MN 于 A，自 A 引圆的两条直线，交圆于
B、C 及D、E，直线 EB 及CD 分别交 MN 于P、
Q．求证：AP＝AQ．（初二）
3、如果上题把直线 MN 由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题：
设 MN 是圆 O 的弦，过 MN 的中点 A 任作两弦 BC、DE，设 CD、EB 分别交 MN 于 P 、Q．
求证：AP＝AQ．（初二）
4、如图，分别以△ABC的AC 和BC 为一边，在△ABC的外侧作正方形 ACDE 和正
方形 CBFG，点P 是EF 的中点．
求证：点 P 到边 AB 的距离等于 AB 的一半．（初二）
经典难题（三）
1、如图，四边形 ABCD 为正方形，DE∥AC，AE＝AC，AE 与 CD 相交于 F．
求证：CE＝CF．（初二）
2、如图，四边形 ABCD 为正方形，DE∥AC，且 CE＝CA，直线 EC 交 DA 延长线于F．
求证：AE＝AF．（初二）
3、设 P 是正方形 ABCD 一边BC 上的任一点，PF⊥AP，CF 平分
∠DCE．求证：PA＝PF．（初二）
4、如图，PC 切圆 O 于 C，AC 为圆的直径，PEF 为圆的割线，AE、AF 与直线 PO 相交于 B、D．求证：AB＝DC，BC＝AD．（初三）
经典难题（四）
1、已知：△ABC是正三角形，P 是三角形内一点，PA＝3，PB＝4，PC＝5．求：∠APB的度数．（初二）
2、设 P 是平行四边形 ABCD 内部的一点，且∠PBA＝
∠PDA．求证：∠PAB＝∠PCB．（初二）
3、设 ABCD 为圆内接凸四边形，求证：AB·CD＋AD·BC＝AC·BD．
（初三）
4、平行四边形 ABCD 中，设 E、F 分别是 BC、AB 上的一点，AE 与CF 相交于 P，且
AE＝CF．求证：∠DPA＝∠DPC．（初二）
经典难题（五）
1、设 P 是边长为 1 的正△ABC 内任一点，L＝PA＋PB＋PC，求证：
√3≤L＜2．
2、已知：P 是边长为 1 的正方形 ABCD 内的一点，求 PA＋PB＋PC 的最小值．
3、P 为正方形 ABCD 内的一点，并且 PA＝a，PB＝2a，PC＝3a，求正方形的边长．
4、如图，△ABC 中，∠ABC＝∠ACB＝80 度，D、E 分别是 AB、AC 上的点，∠DC A＝30 度，∠EBA＝20 度，求∠BED 的度数．
答案
经典难题（一）
4.如下图连接 AC 并取其中点 Q，连接 QN 和QM，所以可得∠QMF=∠F，∠QNM=∠ DEN 和∠QMN=∠QNM，从而得出∠DEN＝∠F。

经典难题（二）
1.(1)延长 AD 到F 连BF，做OG⊥AF,
又∠F=∠ACB=∠BHD，
可得 BH=BF,从而可得 HD=DF，
又 AH=GF+HG=GH+HD+DF+HG=2(GH+HD)=2OM
(2)连接 OB，OC,既得∠BOC=1200，
从而可得∠BOM=600,
所以可得 OB=2OM=AH=AO,得证。

经典难题（三）
4.
证明：作CQ⊥PD于Q，连接 EO，EQ，EC，OF，QF，CF，所以 PC2=PQ*PO（射影定理），
又 PC2=PE*PF，
所以 EFOQ 四点共圆，
∠EQF=∠EOF=2∠BAD，
又∠PQE=∠OFE=∠OEF=∠OQF，
而CQ⊥PD，所以∠EQC=∠FQC，因为∠AEC=∠PQC=90°，故 B、E、C、Q 四点共圆，
所以∠EBC=∠EQC=1/2∠EQF=1/2∠EQF=∠BAD.
∴CB∥AD，
所以 BO=DO，即四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AB=DC，BC=AD．
经典难题（四）
2.作过 P 点平行于 AD 的直线，并选一点 E，使AE∥DC，BE∥PC. 可以得出∠ABP=∠ADP=∠AEP，可得：
AEBP 共圆（一边所对两角相等）。

可得∠BAP=∠BEP=∠BCP，得证。

经典难题（五）
2.顺时针旋转△BPC 60度，可得△PBE为等边三角形。

既得 PA+PB+PC=AP+PE+EF 要使最小只要 AP，PE，EF 在一条直线上，即如下图：可得最小 PA+PB+PC=AF。

3.顺时针旋转△ABP 90度，可得如下图：。