上海高考数学函数压轴题解析详解
上海高考数学函数压轴题解析详解
，
化简得 ．
当 时，上式恒成立．
因此，在 轴上存在定点 ，使 ．（12分）
9．(本小题满分14分)
已知数列 各项均不为0，其前 项和为 ，且对任意 都有 （ 为大于1的常数），记 ．
(1)求 ；
(2)试比较 与 的大小（ ）；
(3)求证： ，（ ）．
解：(1)∵ ，①
∴ ．②
②－①，得
，
即 ．（3分）
∴ ．（当且仅当 时取等号）．
综上所述， ，（ ）．（14分）
在①中令 ，可得 ．
∴ 是首项为 ，公比为 的等比数列， ．（4分）
(2)由(1)可得 ．
．
∴ ，（5分）
．
而 ，且 ，
∴ ， ．
∴ ，（ ）．（8分）
(3)由(2)知 ， ，（ ）．
∴当 时， ．
∴
，（10分）
（当且仅当 时取等号）．
另一方面，当 ， 时，
．
∵ ，∴ ．
∴ ，（当且仅当 时取等号）．（13分）
又MN⊥MQ， 所以
直线QN的方程为 ，又直线PT的方程为 ……10分
从而得 所以
代入（1）可得 此即为所求的轨迹方程.………………13分
6．（本小题满分12分）
过抛物线 上不同两点A、B分别作抛物线的切线相交于P点，
（1）求点P的轨迹方程；
（2）已知点F（0，1），是否存在实数 使得 若存在，求出 的值，若不存在，请说明理由.
40若u[0，1]，v[–1，0],同理可证满足题设条件.
综合上述得g(x)满足条件.
3. (本小题满分14分)
已知点P( t , y )在函数f ( x ) = (x –1)的图象上，且有t2– c2at + 4c2= 0 ( c 0 ).
上海中学2025届高三压轴卷数学试卷含解析
上海中学2025届高三压轴卷数学试卷注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知抛物线()220y px p =>经过点(M ，焦点为F ，则直线MF 的斜率为（ ）A ．B ．4C ．2D ．-2．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且282,10a a =-=，则9S =（ ） A ．45B ．42C ．25D ．363．已知双曲线的中心在原点且一个焦点为F ，直线1y x =-与其相交于M ，N 两点，若MN 中点的横坐标为23-，则此双曲线的方程是 A ．22134x y -= B ．22143x y -= C ．22152x y -=D ．22125x y -=4．已知(),A A A x y 是圆心为坐标原点O ，半径为1的圆上的任意一点，将射线OA 绕点O 逆时针旋转23π到OB 交圆于点(),B B B x y ，则2AB yy +的最大值为（ ）A ．3B ．2CD5．从装有除颜色外完全相同的3个白球和m 个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回的摸取5次，设摸得白球数为X ，已知()3E X =，则()(D X = )A ．85B ．65C ．45D ．256．已知集合(){}*,|4,M x y x y x y N =+<∈、，则集合M 的非空子集个数是（ ）A ．2B ．3C ．7D ．87．已知点(2,0)M ，点P 在曲线24y x =上运动，点F 为抛物线的焦点，则2||PM 的最小值为（ ）A ．3B ．2(51)-C ．45D ．48．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A ．32B ．323C ．16D ．1639．如图所示，三国时代数学家赵爽在《周髀算经》中利用弦图，给出了勾股定理的绝妙证明.图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形（阴影），设直角三角形有一内角为30，若向弦图内随机抛掷500颗米粒（米粒大小忽略不计，取3 1.732≈），则落在小正方形（阴影）内的米粒数大约为（ ）A ．134B ．67C ．182D ．10810．已知函数()2ln 2xx f x ex a x=-+-（其中e 为自然对数的底数）有两个零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．21,e e⎛⎤-∞+ ⎥⎝⎦B ．21,e e ⎛⎫-∞+⎪⎝⎭ C ．21,e e⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭D ．21,e e⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭11．已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2474S S =，则公比q 的值为（ ） A ．1B ．1或12C ．32D ．32±12．设实数满足条件则的最大值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．413．抛物线2112y x =的焦点坐标为______. 14．如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，P 是侧棱1CC 上一点，且12C P PC =.设三棱锥1P D DB -的体积为1V ，正四棱柱1111ABCD A B C D -的体积为V ，则1V V的值为________.15．已知双曲线22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程为20x y -=，则该双曲线的离心率为_______．16．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，其导函数为()f x '．若0x >时，()2f x x '<，则不等式2(2)(1)321f x f x x x -->+-的解集是___________．三、解答题：共70分。
上海高考压轴卷数学Word版含答案解析
绝密★启封前上海高考压轴卷数学一、选择题（本大题共4小题，共20.0分）已知A，B是椭圆E：的左、右顶点，M是E上不同于A，B的任意一点，若直线AM，BM的斜率之积为，则E的离心率为A. B. C. D.2.已知a∈R，则“a＞1”是“＜1”的（）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件已知三棱锥SABC，△ABC是直角三角形，其斜边AB=8，SC⊥平面ABC，SC=6，则三棱锥的外接球的表面积为（）A. B. C. D.4.定义：若整数满足：，称为离实数最近的整数，记作．给出函数的四个命题：①函数的定义域为，值域为；②函数是周期函数，最小正周期为；③函数在上是增函数；④函数的图象关于直线对称.其中所有的正确命题的序号为（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共12小题，共60.0分）5.若=0，则x=．6.已知双曲线=1的离心率为，则m=．7.（）6的展开式中常数项为．8.函数f（x）=4x2x+2（1≤x≤2）的最小值为．9.已知复数z=（1+i）（1+2i），其中i是虚数单位，则z的模是．10.若数列{a n}满足a11=，=5（n∈N*），则a1= ．11.已知是R上的增函数，则a的取值范围是．已知圆的方程为（x1）2+（y1）2=9，P（2，2）是该圆内一点，过点P的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积是．口袋中有形状和大小完全相同的4个球，球的编号分别为1，2，3，4，若从袋中一次随机摸出2个球，则摸出的2个球的编号之和大于4的概率为．14.已知各项为正的等比数列{a n}中，a2a3=16，则数列{log2a n}的前四项和等于．15.已知，函数若关于的方程恰有2个互异的实数解，则的取值范围是函数f（x）=lg（x≠0，x∈R），有下列命题：①f（x）的图象关于y轴对称；。
[精品]上海数学高考压轴题研究(解析几何)
![[精品]上海数学高考压轴题研究(解析几何)](https://img.taocdn.com/s3/m/0552260b102de2bd9705884b.png)
上海市数学高考压轴题研究——解析几何撰文/大罕上海市高考系独立命题，试题有别于全国卷。
大罕现身居上海市，与上海教育息息相关，有必要研究其高考题。
压轴题，作为高端的数学问题，它的特点、深度、广度及走向等，是本文研究的重点。
我们的视野，放在2002年至今的历届高考题上。
一、命题范围比全国卷狭窄，容易做到“火力”集中。
上海教材中对圆锥曲线的性质作了简化处理，省去了一些概念，例如统一定义（第二定义）、离心率和有心曲线的准线，内容少了，出题的范围集中了----曲线方程的求出，基本性质，及直线与曲线的位置关系，例如弦长，交点个数的讨论，等。
这一特点，让应试的师生容易捕捉到题型，同时，势必让命题者不得不十分慎重地把握问题的难度。
例1.(03年理科第21题)在以O为原点的直角坐标系中，点A(4,-3)为△OAB的直角顶点，已知|AB|=2|OA|，且点B的纵坐标大于零.⑴求向量AB的坐标；⑵求圆关于直线OB对称的圆的方程；⑶是否存在实数a，使抛物线上总有关于直线OB对称的两个点？若不存在，说明理由：若存在，求a的取值范围.二、试题一般采用三问制，第一问重在基础，第二问重在灵活，第三问重在发散思维。
这样的制式，四平八稳，从专家到应试师生均无可挑剔。
压轴题设计成阶梯式，这也告诉我们，摆在学生面前的并非一座不可愈越的突兀的山峰，而是一个诱你渐入佳境的连环套。
例2.(05年文科第21题) 已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4、且位于x轴上方的点，A到抛物线准线的距离等于5。
过A作AB垂直于y轴，垂足为B，OB的中点为M。
⑴求抛物线方程；⑵过M作MN⊥FA，垂足为N，求点N的坐标；⑶以M为圆心，MB为半径作圆M，当K(m,0)是x轴上一动点时，讨论直线AK与圆M的位置关系。
三、上海“十一五”国民经济发展规划的清晰主线是提高城市的国际竞争力，其根本途径是科学创新，这一战略思想在数学高考题中也得到了体现。
历届高考数学压轴题汇总及答案
历届高考数学压轴题汇总及答案1.2019年高考数学上海卷：已知等差数列$\{a_n\}$的公差$d\in(0,\pi]$，数列$\{b_n\}$满足$b_n=\sin(a_n)$，集合$S=\{x|x=b_n,n\in N^*\}$。
1) 若$a_1=0,d=\frac{\pi}{6}$，求集合$S$的元素个数；2) 若$a_1=\frac{2\pi}{3}$，求集合$S$；3) 若集合$S$有三个元素$b_{n+T}=b_n$，其中$T$是不超过$7$的正整数，求$T$的所有可能值。
2.2019年高考数学浙江卷：已知实数$a\neq0$，函数$f(x)=a\ln x+x+1$，$x>0$。
1) 当$a=-1$时，求函数$f(x)$的单调区间；2) 对任意$x\in[\frac{3}{4},+\infty)$，有$f(x)\leq\frac{1}{2}e^{2a}$，求$a$的取值范围。
3.2019年高考数学江苏卷：设$(1+x)=a+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_nx^n$，$n^2,n\in N^*$，已知$a_3=2a_2a_4$。
1) 求$n$的值；2) 设$(1+3x)=a+b\sqrt{3}$，其中$a,b\in N^*$，求$a^2-3b^2$的值。
4.2018年高考数学上海卷：给定无穷数列$\{a_n\}$，若无穷数列$\{b_n\}$满足对任意$n\in N^*$，都有$b_n-a_n\leq1$，则称$\{b_n\}$与$\{a_n\}$“接近”。
1) 设$\{a_n\}$是首项为$1$，公比为$\frac{1}{2}$的等比数列，构造一个与$\{a_n\}$接近的数列$\{b_n\}$，并说明理由；2) 设数列$\{a_n\}$的前四项为：$a_1=1,a_2=2,a_3=4,a_4=8$，$\{b_n\}$是一个与$\{a_n\}$接近的数列，记集合$M=\{x|x=b_i,i=1,2,3,4\}$，求$M$中元素的个数$m$；3) 已知$\{a_n\}$是公差为$d$的等差数列，若存在数列$\{b_n\}$满足：$\{b_n\}$与$\{a_n\}$接近，且在$1$的等比数列，$b_n=a_{n+1}+1$，$n\in N^*$，判断数列$\{b_n\}$是否满足$b_2-b_1,b_3-b_2,\cdots,b_{201}-b_{200}$中至少有$100$个为正数，求$d$的取值范围。
2024届高考数学专项练习压轴题型03 函数与导数经典常考压轴小题(解析版)
压轴题型03 函数与导数经典常考压轴小题命题预测有关函数与导数常见经典压轴小题的高考试题，考查重点是零点、不等式、恒成立等问题，通常与函数性质、解析式、图像等均相关，需要考生具有逻辑推理、直观想象和数学运算核心素养. 同时，对于实际问题，需要考生具有数据分析、数学建模核心素养.预计预测2024年高考，多以小题形式出现，也有可能会将其渗透在解答题的表达之中，相对独立．具体估计为：（1）导数的计算和几何意义是高考命题的热点，多以选择题、填空题形式考查，难度较小．（2）应用导数研究函数的单调性、极值、最值多在选择题、填空题靠后的位置考查，难度中等偏上，属综合性问题． 高频考法（1）函数嵌套、零点嵌套问题 （2）零点问题（3）导数的同构思想 （4）双重最值问题 （5）构造函数解不等式01函数嵌套、零点嵌套问题解决嵌套函数零点个数的一般步骤(1)换元解套,转化为()t g x =与()y f t =的零点.(2)依次解方程,令()0f t =,求t ,代入()t g x =求出x 的值或判断图象交点个数.【典例1-1】（上海市浦东新区上海市实验学校2024届高三学期第三次月考数学试题）已知函数()f x 是2024届高考数学专项练习定义在R 的偶函数，当0x ≥时，()()3πcos 1,012211,12xx x f x x ⎧⎡⎤−≤≤⎪⎢⎥⎣⎦⎪=⎨⎛⎫⎪+> ⎪⎪⎝⎭⎩，若函数()()()()()25566g x f x a f x a a ⎡⎤=−++∈⎣⎦R 有且仅有6个不同的零点，则实数a 取值范围 .【答案】(]30,12⎧⎫⎨⎬⎩⎭【解析】因为()()()()()()25566560g x f x a f x a f x f x a =−++=−⋅−=⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 由()0g x =，可得()65f x =或()f x a =， 由函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，()3πsin ,012211,12xx x f x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎛⎫⎪+> ⎪⎪⎝⎭⎩， 当01x ≤≤时，ππ022x ≤≤，如下图所示：因为1112x⎛⎫+> ⎪⎝⎭，由图可知，直线65y =与函数()f x 的图象有4个交点，所以，直线y a =与函数()f x 的图象有2个交点，由图可得(]30,12a ⎧⎫∈⋃⎨⎬⎩⎭.综上所述，实数a 的取值范围是(]30,12⎧⎫⎨⎬⎩⎭.故答案为：(]30,12⎧⎫⎨⎬⎩⎭.【典例1-2】（安徽省合肥市六校联盟2023-2024学年高三学期期中联考数学试题）已知函数()42,13,1x x f x x x ⎧−<⎪=⎨−≥⎪⎩，()22g x x ax =++，若函数()()y g f x =有6个零点，则实数a 的取值范围为 .【答案】(3,2−−【解析】画出()42,13,1x x f x x x ⎧−<⎪=⎨−≥⎪⎩的图象如下：因为()22g x x ax =++最多两个零点，即当280a ∆=−>，2a >22a <−时，()22g x x ax =++有两个不等零点12,t t ，要想()()y g f x =有六个零点，结合函数图象，要()1f x t =和()2f x t =分别有3个零点， 则()12,0,2t t ∈且12t t ≠，即()22g x x ax =++的两个不等零点()12,0,2t t ∈，则要满足()()2Δ800222000a a g g ⎧=−>⎪⎪<−<⎪⎨⎪>⎪>⎪⎩，解得322a −<<− 故实数a 的取值范围为(3,2−− 故答案为：(3,22−−【变式1-1】（海南省琼中黎族苗族自治县琼中中学2024届高三高考全真模拟卷（二）数学试题）已知函数()23,369,3x x f x x x x ⎧−≤=⎨−+−>⎩，若函数()()()22g x f x af x ⎡⎤=−+⎣⎦有6个零点，则a 的值可能为（ ） A ．1− B ．2−C ．3−D ．4−【答案】C【解析】由题可得，()()330f f =−=，()f x 在()(),0,3,−∞+∞上单调递减，在()0,3上单调递增，则据此可作出函数()f x 大致图象如图所示，令()f x t =，则由题意可得220t at −+=有2个不同的实数解1t ，2t ，且()12,3,0t t ∈−，则()()2121212Δ80601122203331130a t t a a t t t t a ⎧=−>⎪−<+=<⎪⇒−<<−⎨=>⎪⎪++=+>⎩3a =−满足题意. 故选：C ．【变式1-2】（河南省部分重点高中2023-2024学年高三阶段性考试（四）数学试题）已知函数()2ln ,0,43,0,x x f x x x x ⎧>=⎨++≤⎩若函数()()()241g x f x f x m =−++⎡⎤⎣⎦恰有8个零点，则m 的最小值是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】B【解析】设()f x t =，因为()g x 有8个零点，所以方程()f x t =有4个不同的实根，结合()f x 的图像可得2410t t m −++=在(]0,3内有4个不同的实根，即214m t t +=−+在(]0,3内有2个不同的实根，可知314m ≤+<，即可求得结果．画出函数()2ln ,043,0x x f x x x x ⎧>=⎨++≤⎩，，的图像如图所示，设()f x t =，由()()()2410g x f x f x m =−++=⎡⎤⎣⎦，得2410t t m −++=.因为()g x 有8个零点，所以方程()f x t =有4个不同的实根，结合()f x 的图像可得在(]03t ∈,内有4个不同的实根.所以方程2410t t m −++=必有两个不等的实数根，即214m t t +=−+在(]03t ∈,内有2个不同的实根，结合图像由图可知，314m ≤+<，故23m ≤<，即m 的最小值是2. 故选：B02 零点问题（1）直接法：直接根据题设条件构造关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成球函数值域的问题加以解决；（3）数形结合法：先将解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解． 【典例2-1】（2024·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知函数()()()lg ,011,022,2x x f x x x f x x ⎧−<⎪=−−≤<⎨⎪−≥⎩的图象在区间(),(0)t t t −>内恰好有5对关于y 轴对称的点，则t 的值可以是（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】C【解析】令()()11,022,2x x g x g x x ⎧−−≤<⎪=⎨−≥⎪⎩，()lg m x x =，因为()lg m x x =与()lg y x =−的图象关于y 轴对称，因为函数()()()lg ,011,022,2x x f x x x f x x ⎧−<⎪=−−≤<⎨⎪−≥⎩的图象在区间(),(0)t t t −>内恰好有5对关于y 轴对称的点，所以问题转化为()lg m x x =与()()11,022,2x x g x g x x ⎧−−≤<⎪=⎨−≥⎪⎩的图象在()0,(0)t t >内有5个不同的交点，在同一平面直角坐标系中画出()lg m x x =与()()11,022,2x x g x g x x ⎧−−≤<⎪=⎨−≥⎪⎩的图象如下所示：因为()10lg101m ==，当10x >时()1m x >，()()()()()()13579111g g g g g g ======， 结合图象及选项可得t 的值可以是6，其他值均不符合要求,. 故选：C【典例2-2】（2024·四川成都·三模）若函数()2e xf x kx =−大于0的零点有且只有一个，则实数k 的值为（ ） A ．4 B ．2e C ．e 2D ．2e 4【答案】D【解析】函数()f x 有且仅有一个正零点，即方程2ex k x=有且仅有一个正根，令()2e xg x x =，则()()3e 2x x g x x ='−，当0x <时，()0g x '>，当02x <<时，()0g x '<，当2x >时，()0g x '>，即函数()g x 在(),0∞−和()2,∞+上单调递增，在()0,2上单调递减，且()2e24g =，0x →时，()g x ∞→+，x →−∞时，()0g x →，x →+∞时，()g x ∞→+，可作出图象如下，方程2e x k x =有且仅有一个正根，所以2e 4k =.故选：D.【变式2-1】（2024·北京海淀·一模）已知()()3,0lg 1,0x x f x x x ⎧≤⎪=⎨+>⎪⎩，函数()f x 的零点个数为m ，过点(0,2)与曲线()y f x =相切的直线的条数为n ，则,m n 的值分别为（ ） A ．1,1 B ．1,2 C ．2,1 D ．2,2【答案】B【解析】令()0f x =，即0x ≤时，30x =，解得0x =， 0x >时，()lg 10x +=，无解，故1m =，设过点(0,2)与曲线()y f x =相切的直线的切点为()00,x y ，当0x <时，()23f x x '=，则有()320003y x x x x −=−，有()3200023x x x −=−，整理可得301x =−，即01x =−，即当00x <时，有一条切线，当0x >时，()lg e1f x x '=+，则有()()000lg 1e lg 1y x x x x −=−++， 有()()000l 2g elg 11x x x −+=−+，整理可得()()()000221lg 10lg e x x x ++−++=， 令()()()()()2l 0g 2l 1e 1g g x x x x x =++−++>， 则()()2lg 1g x x '=−+， 令()0g x '=，可得99x =，故当()0,99x ∈时，()0g x '>，即()g x 在()0,99上单调递增， 当()99,x ∈+∞时，()0g x '<，即()g x 在()99,∞+上单调递减， 由()()992lg e 99220099lg e 0g =+⨯+−=>，()02020g =−=>，故()g x 在()0,99x ∈上没有零点， 又()()9992lg e 999210003999lg e 10000g =+⨯+−⨯=−<， 故()g x 在()99,999上必有唯一零点， 即当00x >时，亦可有一条切线符合要求， 故2n =.故选：B.【变式2-2】（2024·甘肃武威·模拟预测）已知函数()4ln 12f x ax a x ⎛⎫=−−+ ⎪⎝⎭有3个零点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．()1,+∞B ．()2,+∞C ．(),1−∞−D ．(),2−∞−【答案】C【解析】将()y f x =的图象向左平移2个单位长度，可得函数()()22ln 2xg x f x ax x−=+=−+的图象， 所以原题转化为“函数()2ln2xg x ax x−=−+有3个零点”， 即研究直线y ax =与函数()2ln2xh x x−=+图象交点的个数问题． 因为()h x 的定义域为()2,2−，且()()22ln ln ln1022x xh x h x x x+−−+=+==−+， 所以()h x 为奇函数．因为()22222440222(2)4x x x h x x x x x x '+−+−⎛⎫=⋅=⨯=< ⎪−+−+−⎝⎭'， 所以()h x 在区间()2,2−上为减函数，且曲线()y h x =在点()0,0处的切线方程为y x =−． 当0x =时，2112xx x−+⨯=−+； 当02x <<时，2ln2xx x−<−+； 当20x −<<的，2ln2xx x−>−+， 作出()h x 的图象．如图：由图知：当1a <−时，直线y ax =与函数()2ln2xh x x−=+的图象有3个交点．故实数a 的取值范围是(),1∞−−． 故选：C.03 导数的同构思想同构式的应用：（1）在方程中的应用：如果方程()0f a =和()0f b =呈现同构特征，则,a b 可视为方程()0f x =的两个根（2）在不等式中的应用：如果不等式的两侧呈现同构特征，则可将相同的结构构造为一个函数，进而和函数的单调性找到联系。
上海市2021年高考数学压轴卷含解析
上海市2021年高考数学压轴卷（含解析）第I 卷（选择题）一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1．若集合{|13}A x x =-<<，{1,2,3,4}B =，则AB =____.2．若复数z 满足(34)|(2)(12)|i z i i -=+-(其中i 为虚数单位)，则z 的虚部是___________.3．行列式123456789中，6的代数余子式的值是______． 4．已知球的体积为36π，则该球大圆的面积等于______.5．在262()x x+的二项展开式中，常数项等于____.6．已知向量||||||1a b c ===，若12a b ⋅=，且c xa yb =+，则x y +的最大值为____. 7．若1sin 3α=，则cos(2)πα-=____. 8．函数()2log 1y x m =-+的反函数的图象经过点()1,3，则实数m =______.9．设F 为双曲线()222:10y x b bΓ-=>的右焦点，O 为坐标原点，P ､Q 是以OF 为直径的圆与双曲线Γ渐近线的两个交点.若PQ OF =，则b =___________. 10．从以下七个函数：221,,,2,log ,sin ,cos x y x y y x y y x y x y x x=======中选取两个函数记为()f x 和()g x ，构成函数()()()F x f x g x =+，若()F x 的图像如图所示，则()F x =____.11．小王同学有4本不同的数学书，3本不同的物理书和3本不同的化学书，从中任取2本，则这2本书属于不同学科的概率为______________（结果用分数表示）． 12．已知1a ､2a 与1b ､2b 是4个不同的实数，若关于x 的方程121||||||+x a x a x b -+-=-2||x b -的解集A 不是无限集，则集合A 中元素的个数构成的集合为___________.二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13．设(0,),(0,)a b ∞∞∈+∈+，则a b <“”是“11a b -<-”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件14．在圆锥PO 中，已知高2PO =，底面圆的半径为4，M 为母线PB 的中点；根据圆锥曲线的定义，下列四个图中的截面边界曲线分别为圆、椭圆、双曲线及抛物线，下面四个命题，正确的个数为①圆的面积为4π； 37；③双曲线两渐近线的夹角正切值为34-④抛物线中焦点到准线的距离为455. A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个15．在ABC 中，若2sin A =，则cos 2cos B C +的取值范围是（ ） A ．(0,1] B ．(0,1](2,5]C ．3(0,1](2,5]2D ．以上答案都不对16．已知定义在R 上的函数()f x 是奇函数，且满足()()3f x f x +=，()13f =-，数列{}n a 满足2n n S a n =+（其中n S 为{}n a 的前n 项和），则()()56f a f a +=（ ） A ．3-B ．2-C ．3D ．2三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤． 17．将边长为1的正方形11AAO O （及其内部）绕1OO 旋转一周形成圆柱，如图，AC 长为23π，11A B 长为3π，其中1B 与C 在平面11AAO O 的同侧.(1)求三棱锥111C O A B -的体积；(2)求异面直线1B C 与1AA 所成的角的大小. 18．已知函数1()lg()f x a x=+（1）设1()f x -是()f x 的反函数，当1a =时，解不等式11()2f x -<； （2）若关于x 的方程2()lg()0f x x +=的解集中恰好有一个元素，求实数a 的值；（3）设0a ＞，若对任意1[,1]2t ∈，函数()f x 在区间[,1]t t +上的最大值与最小值的差不超过lg 2，求a 的取值范围.19．对于函数()()f x x D ∈，若存在正常数T ，使得对任意的x D ∈，都有()()f x T f x +≥成立，我们称函数()f x 为“T 同比不减函数”．（1）求证：对任意正常数T ，()2f x x =都不是“T 同比不减函数”；（2）若函数()sin f x kx x =+是“2π同比不减函数”，求k 的取值范围； （3）是否存在正常数T ，使得函数()11f x x x x =+--+为“T 同比不减函数”，若存在，求T 的取值范围；若不存在，请说明理由．20．设A 是单位圆221x y +=上的任意一点，l 是过点A 与x 轴垂直的直线，D 是直线l 与x轴的交点，点M 在直线l 上，且满足||||(0,1)DM m DA m m =>≠.当点A 在圆上运动时，记点M 的轨迹为曲线C .（1）求曲线C 的方程，判断曲线C 为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标；（2）过原点且斜率为k 的直线交曲线C 于P ，Q 两点，其中P 在第一象限，它在y 轴上的射影为点N ，直线QN 交曲线C 于另一点H .是否存在m ，使得对任意的0k >，都有PQ PH ⊥？若存在，求m 的值；若不存在，请说明理由.21．若数列{}n a 满足11n na a λλ+≤≤(1λ>，且λ为实常数)，*n ∈N ，则称数列{}n a 为()B λ数列.（1）若数列{}n a 的前三项依次为12a =，2a x =，39a =，且{}n a 为(3)B 数列，求实数x 的取值范围；（2）已知{}n a 是公比为(1)≠q q 的等比数列，且10a >，记21321||||||n n n T a a a a a a +=-+-++-.若存在数列{}n a 为(4)B 数列，使得1lim0n nn nT tT T +→∞-≤成立，求实数t 的取值范围；（3）记无穷等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，证明：“110da λ≤≤-”是“{}n a 为()B λ数列”的充要条件.2021上海市高考压轴卷数学参考答案1．【答案】{1,2} 【解析】解：{}|13A x x =-<<，{}1,2,3,4B =，∴{1,2}AB =．故答案为：{1,2}． 【点睛】集合基本运算的方法技巧：（1）当集合是用列举法表示的数集时，可以通过列举集合的元素进行运算，也可借助Venn 图运算；（2）当集合是用不等式表示时，可运用数轴求解．对于端点处的取舍，可以单独检验. 2．【答案】45【解析】由题意，复数z 满足(34)|(2)(12)|i z i i -=+-， 可得()()()43534|(2)(12)|343434343455i i i i z i i i i i -⨯++-====+---+，所以复数z 的虚部为45. 故答案为：45. 3．【答案】6【解析】由题意，可得6的代数余子式2312(1827)678A =-=-⨯-⨯=．故答案为6． 【点睛】本题主要考查了三阶行列式的代数余子式的定义，考查行列式的展开，属于基础题． 4．【答案】9π【解析】因为球的体积为36π，设球的半径为r ，则34363r ππ=，解得：3r =， 因为球的大圆即是过球心的截面圆， 因此大圆的面积为29S r ππ==. 故答案为：9π. 【点睛】本题主要考查球的相关计算，熟记球的体积公式，以及圆的面积公式即可，属于基础题型. 5．【答案】240【解析】解：在622 x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中，通项公式为 123162r r r r T C x -+=⋅⋅， 令1230r -=，求得4r =，可得展开式的常数项为 4462240C ⋅=，故答案为：240． 【点睛】方法点睛：求二项展开式的某一项，一般利用二项展开式的通项研究求解.6．【解析】解：∵||||a b =，且12a b ⋅=， ∴a 与b 的夹角为60︒， 设(1,0)a =，则13(,2b =， ∵c xa yb =+，∴12c x y y ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭，又||1c =，∴221122x y y ⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，化简得221x xy y ++=，∴22()()14x y x y xy ++-=，当且仅当x y ==时，等号成立，∴233x y+．故答案为：3． 7．【答案】79-【解析】因为1sin 3α=， 所以()2227cos(2)cos 212sin 12sin 199παααα-=-=--=-+=-+=-． 故答案为： 79- 8．【答案】2 【分析】由反函数的图象经过点()1,3，得原函数的图象经过点()3,1，代入解出答案即可. 【详解】解：因为函数()2log 1y x m =-+的反函数的图象经过点()1,3 所以函数()2log 1y x m =-+的图象经过点()3,1 所以()21log 31m =-+，解得2m = 故答案为2. 【点睛】本题考查了函数与反函数图像的关系，属于基础题. 9．【答案】1【解析】由已知PQ OF =可得(,)22c cp ，又点p 在渐近线b y x a = 上，22c b ca b a ∴=⋅⇒= 又1a = ，1b ∴= 10．【答案】2sin x x +【解析】由图象可知，函数()F x 的定义域为R ，故排除1y x=，2log y x =， 又由()F x 的图象过定点(0,1)，由函数()F x 图象，可得当0x >时，()1F x >且为增函数， 当0x <时， ()F x 大于0与小于0交替出现，若()2F x x x =+时，此时函数()F x 的图象不过定点(0,1)，因为2xy =过(0,1)，且当0x >时，1y >，当0x <时，01y <<，若包含cos y x =，当0x =时，1y =，2cos xy x =+不满足过点(0,1)，若包含y x =，此时函数()2xF x x =+不满足0x <时，()F x 大于0与小于0交替出现，若包含2yx ，此时函数()22x F x x =+不满足0x <时，()F x 大于0与小于0交替出现，所以只有()2sin xF x x =+满足条件． 故答案为：2sin x x +． 11．【答案】1115【解析】共43310++=本不同的数，任取2本包含21045C =种方法，若从中任取两本，这2本书属于不同学科的情况有11111143433333C C C C C C ⋅+⋅+⋅=，所以这2本书属于不同学科的概率33114515P ==. 故答案为：111512．【答案】{1}【解析】转化为12()||||f x x a x a =-+-和12()||||g x x b x b =-+-图像交点， 为了简化问题，我们可以研究|||1|||||x x x a x b +-=-+-，21,0()11,0121,1x x f x x x x x x -+<⎧⎪=+-=≤≤⎨⎪->⎩，设a b <，2,(),2,x a b x a g x x a x b b a a x b x a b x b -++<⎧⎪=-+-=-≤≤⎨⎪-->⎩，设(0,1)A ，(1,1)B ，(,)C a b a -，(,)D b b a -， ①由图像易知，1个交点容易得到， 如1,22a b ==时，可求得唯一一个交点为53(,)42而0个交点和2个交点都是不可能的. ②假设有0个交点，由题意|1|||2||AC b a k a --=>，|1|||2|1|BD b a k b --=>-，∴||1|1|2a b a <--，|1|1|1|2b b a -<--，∴|||1|1|1||1|a b b a b a -+<----，而由三角不等式，|||1||1|1|1||1||1|a b b a b a b a b a ---+≥=------，故矛盾，∴不可能有0个交点； ③假设有2个交点，1(2,0)AC b a k a --=∈-，1(0,2)1BD b a k b --=∈-， ∴112a b a ->--，1112b b a ->--，∴111b a b a -->--，明显矛盾，∴不可能有2个交点.其他0个交点和2个交点的情况均可化归为以上两类.综上所述，解集A 不是无限集时，集合A 的元素个数只有1个. 故答案为：{}1. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是将方程的解的个数转化为两个函数图像的交点个数，其中两个分段函数可以用特值法固定一个，再讨论另一个函数的情况. 13．【答案】C【解析】若a b <“”，则根据不等式性质，两边同时减去1，不等式符号不变，所以， a b <“”成立，则“11a b -<-”成立，充分性成立； “11a b -<-”成立，根据不等式性质，两边同时加上1，不等式符号不变，所以，“11a b -<-”成立，则a b <“”成立，必要性成立； 所以，a b <“”是“11a b -<-”的充要条件 故选C 14．【答案】B 【解析】①点M 是母线的中点， ∴截面的半径2r，因此面积224ππ=⨯=，故①正确；②由勾股定理可得椭圆的长轴为==，故②正确；③在与底面、平面PAB 的垂直且过点M 的平面内建立直角坐标系，不妨设双曲线的标准方程为()22221,0x y a b a b-=>，则()1,0M ，即1a =，把点(2,代入可得21241b -=，解得2,2b b a =∴=，设双曲线两渐近线的夹角为2θ，2224tan 2123θ⨯∴==--，4sin 25θ∴=，因比双曲线两渐近线的夹角为4arcsin 5，③不正确；④建立直角坐标系，不彷设抛物线的标准方程为22y px =,把点)4代入可得242p =，解得p =∴抛物线中焦点到准线的距离p ，④不正确， 故选B . 【点睛】本题通过对多个命题真假的判断，综合考查圆锥的性质、椭圆的性质、双曲线的性质，抛物线的方程与性质，属于难题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题. 15．【答案】B【解析】由题意，在ABC 中，若sin A = 因为(0,)A π∈，可得4A π=或34A π=， 当4A π=时，可得34B C π+=，则34B C π=-，可得3cos cos()sin()4224B C C C C C C ππ+=-=+=+， 因为3(0,)4C π∈，所以(,)44C πππ+∈，所以sin()(0,1]4C π+∈； 当34A π=时，可得4B C π+=，则4B C π=-，可得cos cos())422B C C C C C C πϕ+=-=+=+， 其中tan 3ϕ=，设())g x x ϕ=+在区间[0,]2πϕ-上单调递增，在[,]24ππϕ-上单调递减，又由()02()24g g π=>=，()2g πϕ-=，所以()g x ∈)C ϕ+∈，综上可得，cos B C +的取值范围是(0,1](2,5].故选：B. 【点睛】解答与三角函数有关的范围问题的求解策略：1、根据已知条件化简得出三角函数的解析式为sin()y A wx ϕ=+的形式；2、熟练应用三角函数的图象与性质，结合数形结合法的思想研究函数的性质（如：单调性、奇偶性、对称性、周期性与最值等），进而加深理解函数的极值点、最值点、零点及有界性等概念与性质，但解答中主要角的范围的判定，防止错解. 16．【答案】C【解析】对任意的n *∈N ，2n n S a n =+. 当1n =时，11121a S a ==+，解得11a =-； 当2n ≥时，由2n n S a n =+可得1121n n S a n --=+-，上述两式作差得1221n n n a a a -=-+，即121n n a a -=-，所以，()1121n n a a --=-， 所以，数列{}1n a -是首项为112a -=-为首项，以2为公比的等比数列，所以，11222n n n a --=-⋅=-，即12nn a =-，531a ∴=-，663a =-，因为函数()f x 是定义在R 上的奇函数，则()00f =， 函数()f x 满足()()3f x f x +=，()13f =-，所以，()()()()5313113f a f f f =-=-=-=，()()()66300f a f f =-==， 因此，()()563f a f a +=. 故选：C 【点睛】方法点睛：函数的三个性质：单调性、奇偶性和周期性，在高考中一般不会单独命题，而是常将它们综合在一起考查，其中单调性与奇偶性结合、周期性与抽象函数相结合，并结合奇偶性求函数值，多以选择题、填空题的形式呈现，且主要有以下几种命题角度；（1）函数的单调性与奇偶性相结合，注意函数的单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性．（2）周期性与奇偶性相结合，此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解；（3）周期性、奇偶性与单调性相结合，解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解.17．【答案】4π.【解析】（1）由题意可知，圆柱的高1h =，底面半径1r =． 由11A B 的长为π3，可知1113π∠A O B =．11111111111sin 2SA O AB =O A ⋅O B ⋅∠O B =，1111111V 312C O A B Sh -O A B =⋅=（2）设过点1B 的母线与下底面交于点B ，则11//BB AA ， 所以1C ∠B B 或其补角为直线1C B 与1AA 所成的角．由AC 长为2π3，可知2π3C ∠AO =， 又111π3∠AOB =∠A O B =，所以π3C ∠OB =，从而C OB 为等边三角形，得1C B =． 因为1B B ⊥平面C AO ，所以1C B B ⊥B ．在1C B B 中，因为1π2C ∠B B =，1C B =，11B B =，所以1π4C ∠B B =， 从而直线1C B 与1AA 所成的角的大小为π4．【考点】几何体的体积、空间角【名师点睛】此类题目是立体几何中的常见问题.解答本题时，关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的相互转化，将空间问题转化成平面问题.立体几何中的角与距离的计算问题，往往可以利用几何法、空间向量方法求解，应根据题目条件，灵活选择方法.本题能较好地考查考生的空间想象能力、逻辑推理能力、转化与化归思想及基本运算能力等.18．【答案】（1）(,0)(lg3,)-∞+∞；（2）0a =或14a =-；（3）23a ≥.【解析】（1）因为()1()lg y f x x a -==+，所以110y x a -+=，所以101y x a=-，所以11()10x f x a-=-，当1a =时，11011()12xf x -=-＜，故解集为(,0)(lg3,)-∞+∞； （2）方程2()lg()0f x x +=即()2lg 0ax x +=，即21ax x +=的解集中恰好有一个元素，当0a =时，1x =，符合题意， 当0a ≠时，140a ∆=+=，解得14a =-， 综上所述，0a =或14a =-； （3）当0a ＞时，设120x x <<，则1211a a x x +>+，1211lg lg a a x x ⎛⎫⎛⎫+>+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以()f x 在(0,)+∞上单调递减，所以函数()f x 在区间[,1]t t +上的最大值与最小值为(),(1)f t f t +， 所以11()(1)lg lg lg 21f t f t a a t t ⎛⎫⎛⎫-+=+-+ ⎪⎪+⎝⎭⎝⎭， 所以1211(1)ta t t t t -≥-=++设1t r -=，则102r ≤≤，21(1)(1)(2)32t r r t t r r r r -==+---+，当0r =时，2032rr r =-+，当102r <≤时，212323r r r r r=-++-， 因为2y r r =+在上递减，所以219422r r +≥+=，所以211229323332r r r r r =≤=-++--， 所以实数a 的取值范围是23a ≥. 【点睛】关键点睛：（1）解题关键在于利用反函数定义，得到11011()12x f x -=-＜，进而用单调性解不等式；（2）解题关键在于利用二次函数性质进行求解；（3）解题关键在于得出()f x 的单调性后，分类讨论，并利用均值不等式求解；本题难度属于中档题 19．【答案】（1）证明见解析 （2）k ≥（3）存在，4T ≥【解析】证明：（1）任取正常数T ，存在0x T =-，所以00x T +=， 因为()()()()2000f x f T T f f x T =-=>=+，即()()f x f x T ≤+不恒成立，所以()2f x x =不是“T 同比不减函数”.（2）因为函数()sin f x kx x =+是“2π同比不减函数”， 所以()2f x f x π⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭恒成立，即sin sin 22k x x kx x ππ⎛⎫⎛⎫+++≥+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭恒成立，()2sin cos 4x x x k πππ⎛⎫- ⎪-⎝⎭≥=对一切x ∈R 成立.所以max4x k πππ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪≥= ⎪⎪⎝⎭.（3）设函数()11f x x x x =+--+是“T 同比不减函数”，()()()()211121x x f x x x x x ⎧-≥⎪=--<<⎨⎪+≤-⎩，当1x =-时，因为()()()1113f T f f -+≥-==成立， 所以13T -+≥，所以4T ≥， 而另一方面，若4T ≥， （Ⅰ）当(],1x ∈-∞-时，()()()112f x T f x x T x T x T x +-=+++--++-+ 112T x T x T =++--++-因为()()1111x T x T x T x T +--++≥-+--++2=-， 所以()()220f x T f x T +-≥--≥，所以有()()f x T f x +≥成立.（Ⅱ）当()1,x ∈-+∞时，()()()211f x T f x x T x x x +-=+--+--+211T x x =---++因为()()11112x x x x +--≥-+--=-， 所以()()220f x T f x T +-≥--≥， 即()()f x T f x +≥成立.综上，恒有有()()f x T f x +≥成立， 所以T 的取值范围是[)4,+∞. 【点睛】本题考查新定义的理解和应用，考查等价转化思想，考查从特殊到一般的解决问题方法，属于较难题.20．【答案】（1）答案见解析；（2）存在，m =.【解析】（1）如图1，设(,)M x y ，00(,)A x y ，则由DM m DA =，(0m >且1)m ≠ 可得0x x =，0y m y =，所以0x x =，01y y m=① ， 因为A 点在单位圆上运动，所以22001x y +=② ，将①式代入②式即得所求曲线C 的方程为2221y x m+=(0m >且1)m ≠，因为(0,1)(1,)m ∈+∞，所以当01m <<时，201m <<，曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆，两焦点坐标分别为(，； 当1m 时，21m >，曲线C 是焦点在y 轴上的椭圆，两焦点坐标分别为(0,. （2）存在，理由如下：如图2､3，1(0,1)x ∀∈，设11(,)P x y ，22(,)H x y ，则11(,)Q x y --，1(0,)N y ，因为P ，H 两点在椭圆C 上，所以222211222222,,m x y m m x y m ⎧+=⎨+=⎩两式相减可得 222221212()()0m x x y y -+-=，③依题意，由点P 在第一象限可知，点H 也在第一象限，且P ，H 不重合， 故1212()()0x x x x -+≠，于是由③式可得212121212()()()()y y y y m x x x x -+=--+，④又Q ，N ，H 三点共线，所以QN QH k k =，即1121122y y y x x x +=+， 于是由④式可得211212121121212()()12()()2PQ PHy y y y y y y m k k x x x x x x x --+⋅=⋅=⋅=---+， 而PQ PH ⊥等价于1PQ PHk k ⋅=-，即212m -=-，又0m >，得2m =， 故存在2m =，使得在其对应的椭圆2212y x +=上，对任意的0k >，都有PQ PH ⊥.【点睛】本题考查椭圆的标准方程，直线与圆锥曲线的位置关系；考查分类讨论的数学思想以及运算求解的能力.本题是一个椭圆模型，求解标准方程时注意对焦点的位置分类讨论，不要漏解；对于探讨性问题一直是高考考查的热点，一般先假设结论成立，再逆推所需要求解的条件，对运算求解能力和逻辑推理能力有较高的要求.21．【答案】（1）[3,6]；（2）(1,)+∞；（3）证明见解析.【解析】（1）因为{}n a 为B （3）数列，所以1133n na a +， 则13321933xx⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，解得36x ， 即x 的取值范围是[3，6]；（2）由数列{}n a 为B （4）数列，可得1114n na q a +=<或14q <， 当114q <时，由10a >，111(1)0n n n a a a q q -+-=-<，所以11||n n n n a a a a ++-=-． 则12231111(1)n n n n n T a a a a a a a a a q ++=-+-+⋯+-=-=-，所以11()lim lim 101nn n nn n n T tT t q t q t T q +→∞→∞----==--，即1t ； 当14q <时，由10a >，111(1)0n n n a a a q q -+-=->，所以11||n n n n a a a a ++-=-．则21321111(1)n n n n n T a a a a a a a a a q ++=-+-+⋯+-=-=-，所以11()1lim lim lim 0111nnn n n n n n n ntq t T tT q t q tq q t T q q+→∞→∞→∞------+===---，即t q ，所以1t >， 则t 的取值范围是(1,)+∞； （3）先证充分性．因为11da λ-，所以10a ≠，{}n a 为等差数列， 所以当0d =时，10n a a =≠，此时11n na a +=， 由1λ>，所以111n na a λλ+=成立，所以{}n a 为()B λ数列； 当0d ≠时，1111111(1)111(1)(1)(1)1n n a a nd a n d d d a a a n d a n d a n dn d+++-+===+=++-+-+-+-， 因为101d a λ-，所以111a dλ-，所以1110(1)(1)11a n n dλλ---++-， 即有1(1)11(1)(1)1n na n a n λλ+-+--+，因为1λ>，所以(1)1(1)(1)(1)1(1)(1)1(1)(1)1n n n n λλλλλ-+--+-+=--+--+11111111(1)(1)1111n n λλλλλ-=+=++=--+-+--， 所以111n na a λλ+恒成立，所以{}n a 为()B λ数列， 综上可得，{}n a 为()B λ数列；再证必要性．因为{}n a 为()B λ数列，所以11n na a λλ+恒成立，所以10a ≠， 当0d =时，11da λ-显然成立； 当0d ≠时，因为110n n a a λ+>，所以{}n a 的每一项同号，所以1a 与d 也同号， 所以10da ，因为11n n a a λλ+恒成立，所以1n =时，211a a λλ成立， 因为{}n a 为等差数列，21a a d =+，211111a a d d a a a +==+， 所以111d a λλ+，即为111da λλ--，101d a λ-， 综上可得，“101da λ-”是“{}n a 为B ()λ数列”的充要条件． 【点睛】关键点睛：解答本题的关键是第3小问，证明“101da λ-”是“{}n a 为B ()λ数列”的充要条件，先证明充分性，利用不等式证明111n na a λλ+恒成立，所以{}n a 为()B λ数列；再证明必要性，证明11da λ-成立.。
上海市第一中学2023届高考压轴卷数学试卷含解析
2023年高考数学模拟试卷 注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别是,,,a b c 且444222222a b c a b ca b +++=+，若c 为最大边，则a b c +的取值范围是（ ）A．1⎛ ⎝⎭ B．( C．1⎛ ⎝⎦ D． 2．设曲线(1)ln y a x x =--在点()1,0处的切线方程为33y x =-，则a =（ ）A ．1B ．2C ．3D ．43．已知非零向量a ，b 满足||a b |=|，则“22a b a b+=-”是“a b ⊥”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解:4．已知命题:p 若1a <，则21a <，则下列说法正确的是（ ）A ．命题p 是真命题B ．命题p 的逆命题是真命题C ．命题p 的否命题是“若1a <，则21a ≥” D ．命题p 的逆否命题是“若21a ≥，则1a <”5．我国古代有着辉煌的数学研究成果，其中的《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、《缉古算经》，有丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献．这5部专著中有3部产生于汉、魏、晋、南北朝时期．某中学拟从这5部专著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，则所选2部专著中至少有一部是汉、魏、晋、南北朝时期专著的概率为（ ）A ．35B ．710C ．45D ．9106．已知函数()()()2ln 14f x ax x ax =-+-，若0x >时，()0f x ≥恒成立，则实数a 的值为（ ）A ．2e B ．4e CD7．已知R 为实数集，{}2|10A x x =-≤，1|1B x x ⎧⎫=≥⎨⎬⎩⎭，则()A B =R（ ）A ．{|10}x x -<≤B ．{|01}x x <≤C ．{|10}x x -≤≤D ．{|101}x x x -≤≤=或8．已知圆1C ：22(1)(1)1x y -++=，圆2C ：22(4)(5)9x y -+-=，点M 、N 分别是圆1C、圆2C 上的动点，P为x 轴上的动点，则PN PM-的最大值是（ ）A ．254+B ．9C ．7D ．252+9．若不等式32ln(1)20a x x x +-+>在区间(0,)+∞内的解集中有且仅有三个整数，则实数a 的取值范围是( ) A ．932,2ln 2ln 5⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．932,2ln 2ln 5⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．932,2ln 2ln 5⎛⎤ ⎥⎝⎦ D ．9,2ln 2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ 10．若5(1)(1)ax x ++的展开式中23,x x 的系数之和为10-，则实数a 的值为（ ）A ．3-B ．2-C ．1-D ．111．设点(,0)A t ，P 为曲线xy e =上动点，若点A ，P 间距离的最小值为6，则实数t 的值为（ ）A ．5B ．52C ．ln 222+ D ．ln 322+12．如图所示点F 是抛物线28y x =的焦点，点A 、B 分别在抛物线28y x =及圆224120x y x +--=的实线部分上运动， 且AB 总是平行于x 轴， 则FAB ∆的周长的取值范围是（ ）A ．(6,10)B ．(8,12)C ．[6,8]D ．[8,12]二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
上海高考数学（函数）经典压轴题解析详解
上海高考数学压轴题系列训练含答案及解析详解1. (本小题满分12分) 已知常数a > 0, n 为正整数，f n ( x ) = x n – ( x + a)n ( x > 0 )是关于x 的函数. (1) 判定函数f n ( x )的单调性，并证明你的结论. (2) 对任意n ³ a , 证明证明f `n + 1 ( n + 1 ) < ( n + 1 )f n `(n) 解: (1) f n `( x ) = nx n – 1 – n ( x + a)n – 1 = n [x n – 1 – ( x + a)n – 1 ] , ∵a > 0 , x > 0, ∴ f n `( x ) < 0 , ∴ f n ( x )在（0，+∞）单调递减. 4分（2）由上知：当x > a>0时, f n ( x ) = xn – ( x + a)n是关于x 的减函数, ∴ 当n ³ a 时, 有：(n + 1 )n – ( n + 1 + a)n £ n n– ( n + a)n. 2分 又 ∴f `n + 1 (x ) = ( n + 1 ) [x n –( x+ a )n ] , ∴f `n + 1 ( n + 1 ) = ( n + 1 ) [(n + 1 )n –( n + 1 + a )n ] < ( n + 1 )[ n n – ( n + a)n ] = ( n + 1 )[ n n– ( n + a )( n + a)n – 1 ] 2分 ( n + 1 )f n `(n) = ( n + 1 )n[n n – 1 – ( n + a)n – 1 ] = ( n + 1 )[n n – n( n + a)n – 1 ], 2分 ∵( n + a ) > n , ∴f `n + 1 ( n + 1 ) < ( n + 1 )f n `(n) . 2分 2. (本小题满分12分) 已知：y = f (x) 定义域为［–1，1］，且满足：f (–1) = f (1) = 0 ，对任意u ,v Î[–1，1］，都有|f (u) – f (v) | ≤ | u –v | . (1) 判断函数p ( x ) = x 2 – 1 是否满足题设条件？是否满足题设条件？(2) 判断函数g(x)=1,[1,0]1,[0,1]x x x x +Î-ìí-Îî，是否满足题设条件？，是否满足题设条件？解：解： (1) 若u ,v Î [–1，1]， |p(u) – p (v)| = | u 2 – v 2 |=| (u + v )(u – v) |，取u = 43Î[–1，1]，v = 21Î[–1，1], 则 |p (u) – p (v)| = | (u + v )(u – v) | = 45| u – v | > | u – v |，所以p( x)不满足题设条件. （2）分三种情况讨论：）分三种情况讨论：10. 若u ,v Î [–1，0]，则|g(u) – g (v)| = |(1+u) – (1 + v)|=|u – v |，满足题设条件；，满足题设条件； 20. 若u ,v Î [0，1]， 则|g(u) – g(v)| = |(1 – u) – (1 – v)|= |v –u|，满足题设条件；，满足题设条件； 30. 若u Î[–1，0]，v Î[0，1]，则：，则：|g (u) –g(v)|=|(1 – u) – (1 + v)| = | –u – v| = |v + u | ≤| v – u| = | u –v|，满足题设条件; 40 若u Î[0，1]，v Î[–1，0], 同理可证满足题设条件. 综合上述得g(x)满足条件. 3. (本小题满分14分) 已知点P ( t , y )在函数f ( x ) = 1x x +(x ¹ –1)的图象上，且有t 2 – c 2at + 4c 2 = 0 ( c ¹ 0 ). (1) 求证：| ac | ³ 4; (2) 求证：在(–1，+∞）上f ( x )单调递增. (3) (仅理科做)求证：f ( | a | ) + f ( | c | ) > 1. 证：(1) ∵ t ÎR, t ¹–1, ∴ ⊿ = (–c 22a)22– 16c 22 = c 44a 22– 16c 22³ 0 ， ∵ c ¹ 0, ∴c 2a 2 ³ 16 , ∴| ac | ³ 4. (2) 由 f ( x ) = 1 – 1x 1+, 法1. 设–1 < x 1 < x 2, 则f (x 2) – f ( x 1) = 1– 1x 12+–1 + 1x 11+= )1x )(1x (x x 1221++-. ∵ –1 < x 1 < x 2, ∴ x 1 – x 2 < 0, x 1 + 1 > 0, x 2 + 1 > 0 , ∴f (x 2) – f ( x 1) < 0 , 即f (x 2) < f ( x 1) , ∴x ³ 0时，f ( x )单调递增. 法2. 由f ` ( x ) = 2)1x (1+> 0 得x ¹–1, ∴x > –1时，f ( x )单调递增. （3）（仅理科做）∵f ( x )在x > –1时单调递增，| c | ³|a |4> 0 , ∴f (| c | ) ³ f (|a |4) = 1|a |4|a |4+= 4|a |4+ f ( | a | ) + f ( | c | ) = 1|a ||a |++ 4|a |4+> 4|a ||a |++4|a |4+=1. 即f ( | a | ) + f ( | c | ) > 1. 4．（本小题满分15分）分）设定义在R 上的函数43201234()f x a x a x a x a x a =++++（其中i a ∈R ，i=0,1,2,3,4），当x= －1时，f (x)取得极大值23，并且函数y=f (x+1)的图象关于点（－1，0）对称．）对称． （1） 求f (x)的表达式；的表达式；（2） 试在函数f f (x)(x)的图象上求两点，使这两点为切点的切线互相垂直，且切点的横坐标都在区间2,2éù-ëû上；上；（3） 若+212(13),(N )23nnn n n nx y n --==Î，求证：4()().3n n f x f y -< 解：（1）31().3f x x x =-…………………………5分（2）()20,0,2,3æö-ç÷ç÷èø或()20,0,2,.3æö-ç÷ç÷èø…………10分 （3）用导数求最值，可证得4()()(1)(1).3n n f x f y f f -<--<……15分5．（本小题满分13分）分）设M 是椭圆22:1124x y C +=上的一点，P 、Q 、T 分别为M 关于y 轴、原点、x 轴的对称点，N 为椭圆C 上异于M 的另一点，且MN ⊥MQ ，QN 与PT 的交点为E ，当M 沿椭圆C 运动时，求动点E 的轨迹方程．的轨迹方程．解：设点的坐标112211(,),(,)(0),(,),M x y N x y x y E x y ¹则111111(,),(,),(,),P x y Q x y T x y ----……1分221122221,(1)124 1.(2)124x y x y ì+=ïïíï+=ïî ………………………………………………………3分由（1）－（2）可得1.3MN QN k k ·=-………………………………6分 又MN ⊥MQ ，111,,MN MQ MN x k k k y ×=-=-所以11.3QN y k x =直线QN 的方程为1111()3yy x x y x =+-，又直线PT 的方程为11.xy x y =- (10)分从而得1111,.22x x y y ==-所以112,2.x x y y ==- 代入（1）可得221(0),3x y xy +=¹此即为所求的轨迹方程.………………13分6．（本小题满分12分）分）过抛物线y x 42=上不同两点A 、B 分别作抛物线的切线相交于P 点，.0=×PB PA（1）求点P 的轨迹方程；的轨迹方程；（2）已知点F （0，1），是否存在实数l 使得0)(2=+×FP FB FA l 若存在，？若存在，求出求出l 的值，若不存在，请说明理由. 解法（一）：（1）设)(),4,(),4,(21222211x x x x B x x A ¹由,42y x =得：2'x y =2,221x k x k PB PA ==\ 4,,021-=\^\=×x x PB PA PB PA ………………………………3分直线P A 的方程是：)(241121x x x x y -=-即42211x x x y -= ①同理，直线PB 的方程是：42222x xx y -=②由①②得：ïîïíìÎ-==+=),(,142212121R x x x x y x x x∴点P 的轨迹方程是).(1R x y Î-=……………………………………6分 （2）由（1）得：),14,(211-=x x FA ),14,(222-=x x FB )1,2(21-+xx P4),2,2(2121-=-+=x x xx FP 42)14)(14(2221222121x x x x x x FB FA +--=--+=× …………………………10分2444)()(22212212++=++=x x x x FP所以0)(2=+×FP FB FA故存在l =1使得0)(2=+×FP FB FA l …………………………………………12分 解法（二）：（1）∵直线P A 、PB 与抛物线相切，且,0=×PB PA ∴直线P A 、PB 的斜率均存在且不为0，且,PB PA ^ 设P A 的直线方程是)0,,(¹Î+=k R m k m kx y由îíì=+=y x m k x y 42得：0442=--m kx x016162=+=D \m k 即2k m -=…………………………3分即直线P A 的方程是：2k k x y -= 同理可得直线PB 的方程是：211kx k y --= 由ïîïíì--=-=2211k x k y k k x y 得：ïîïíì-=Î-=11y R k k x 故点P 的轨迹方程是).(1R x y Î-=……………………………………6分 （2）由（1）得：)1,1(),1,2(),,2(22---kk P k k B k k A )11,2(),1,2(22--=-=kk FB k k FA )2,1(--=kk FP)1(2)11)(1(42222kk k k FB FA +--=--+-=×………………………………10分)1(24)1()(2222kk k k FP ++=+-=故存在l =1使得0)(2=+×FP FB FA l …………………………………………12分 7．（本小题满分14分）分）设函数x axxx f ln 1)(+-=在),1[+¥上是增函数. （1） 求正实数a 的取值范围；的取值范围；（2） 设1,0>>a b ，求证：.ln 1bb a b b a b a +<+<+ 解：（1）01)(2'³-=axax x f 对),1[+¥Îx 恒成立，恒成立， xa 1³\对),1[+¥Îx 恒成立恒成立又11£x1³\a 为所求.…………………………4分 （2）取b ba x +=，1,0,1>+\>>b b a b a ，一方面，由（1）知x axxx f ln 1)(+-=在),1[+¥上是增函数，上是增函数，0)1()(=>+\f b b a f0ln 1>+++×+-\bb a bb a a bb a 即ba b ba +>+1ln ……………………………………8分 另一方面，设函数)1(ln )(>-=x x x x G)1(0111)('>>-=-=x xx x x G∴)(x G 在),1(+¥上是增函数且在0x x =处连续，又01)1(>=G∴当1>x 时，0)1()(>>G x G∴x x ln > 即b b a b ba +>+ln综上所述，.ln 1b b a b b a b a +<+<+………………………………………………14分8．(本小题满分12分) 如图，直角坐标系xOy 中，一直角三角形ABC ，90C Ð= ，B 、C 在x 轴上且关于原点O 对称，D 在边BC 上，3BD DC =，ABC !的周长为12．若一双曲线E 以B 、C 为焦点，且经过A 、D 两点．两点．(1) 求双曲线E 的方程；的方程；(2) 若一过点(,0)P m （m 为非零常数）的直线l 与双曲线E相交于不同于双曲线顶点的两点M 、N ，且MP PN l=，问在x 轴上是否存在定xyDO CAB点G ，使()BC GM GN l^- ？若存在，求出所有这样定点G 的坐标；若不存在，请说明理由．请说明理由．解：(1) 设双曲线E 的方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，则(,0),(,0),(,0)B c D a C c -．由3BD DC =，得3()c a c a +=-，即2c a =． ∴222||||16,||||124,||||2.AB AC a AB AC a AB AC a ì-=ï+=-íï-=î（3分）解之得1a =，∴2,3c b ==． ∴双曲线E 的方程为2213y x -=． （5分）分）(2) 设在x 轴上存在定点(,0)G t ，使()BC GM GN l ^-．设直线l 的方程为x m ky -=，1122(,),(,)M x y N x y ． 由MP PN l = ，得120y y l +=．即12y y l =-① （6分）分）∵(4,0)BC =，1212(,)GM GN x t x t y y l l l l -=--+-， ∴()BC GM GN l^- 12()x t x t l Û-=-． 即12()ky m t ky m t l +-=+-． ② （8分）分）把①代入②，得把①代入②，得12122()()0ky y m t y y +-+= ③（9分）分）把x m ky -=代入2213y x -=并整理得并整理得222(31)63(1)0k y kmy m -++-=其中2310k -¹且0D >，即213k ¹且2231k m +>． 212122263(1),3131km m y y y y k k --+==--． （10xyDO CAB NBCOyxGMP(m 1C C C n n n nn a a a ++++11p p ++1211n n p p 1p +)())êú222(1)(1)2(1)2(1)k n kk k n k n kp p p p ---++×--…212(1)12(1)(1)nnkn k p p p p --+--222(1)121n nnkn k p p p p -+--+n n…。
上海高考数学(函数)经典压轴习题解析详解
欢迎阅读上海高考数学压轴题系列训练含答案及解析详解1.(本小题满分12分)已知常数a>0,n 为正整数，f n (x)=x n –(x+a)n (x>0)是关于x 的函数. (1)判定函数f n (x)的单调性，并证明你的结论. (2)对任意n ?a,证明f`n+1(n+1)<(n+1)f n `(n) n –1n –1n –1n –1解：(1)若u,v ?[–1，1]，|p(u)–p(v)|=|u 2–v 2|=|(u+v)(u –v)|，取u=43?[–1，1]，v=21?[–1，1],则|p(u)–p(v)|=|(u+v)(u –v)|=45|u –v|>|u –v|， 所以p(x)不满足题设条件. （2）分三种情况讨论：10.若u,v ?[–1，0]，则|g(u)–g(v)|=|(1+u)–(1+v)|=|u –v|，满足题设条件； 20.若u,v ?[0，1]，则|g(u)–g(v)|=|(1–u)–(1–v)|=|v –u|，满足题设条件； 30.若u ?[–1，0]，v ?[0，1]，则：|g(u)–g(v)|=|(1–u)–(1+v)|=|–u –v|=|v+u|≤|v –u|=|u –v|，满足题设条件; 40若u ?[0，1]，v ?[–1，0],同理可证满足题设条件.综合上述得g(x)满足条件. 3.(本小题满分14分)（3）（仅理科做）∵f(x)在x>–1时单调递增，|c|?|a |>0, ∴f(|c|)?f(|a |4)=1|a |4|a |4+=4|a |4+f(|a|)+f(|c|)=1|a ||a |++4|a |4+>4|a ||a |++4|a |4+=1. 即f(|a|)+f(|c|)>1.4．（本小题满分15分）设定义在R 上的函数43201234()f x a x a x a x a x a =++++（其中i a ∈R ，i=0,1,2,3,4），当x=－1时，f(x)取得极大值23，并且函数y=f(x+1)的图象关于点（－1，0）对称．（1） 求f(x)的表达式；221122221,(1)124 1.(2)124x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩………………………………………………………3分由（1）－（2）可得1.3MN QN k k ∙=-………………………………6分又MN ⊥MQ ，111,,MN MQ MN x k k k y ⋅=-=-所以11.3QN y k x =直线QN 的方程为1111()3y y x x y x =+-，又直线PT 的方程为11.x y x y =-……10分从而得1111,.22x x y y ==-所以112,2.x x y y ==- 代入（1）可得221(0),3x y xy +=≠此即为所求的轨迹方程.………………13分由①②得：⎪⎩⎨∈-==),(,142121R x x x x y ∴点P 的轨迹方程是).(1R x y ∈-=……………………………………6分（2）由（1）得：),14,(211-=x x ),14,(222-=x x )1,2(21-+xx P42)14)(14(2221222121x x x x x x FB FA +--=--+=⋅…………………………10分所以0)(2=+⋅故存在λ=1使得0)(2=+⋅FP FB FA λ…………………………………………12分 解法（二）：（1）∵直线PA 、PB 与抛物线相切，且,0=⋅PB PA ∴直线PA 、PB 的斜率均存在且不为0，且,PB PA ⊥ 设PA 的直线方程是)0,,(≠∈+=k R m k m kx y（1） 求正实数a 的取值范围； （2） 设1,0>>a b ，求证：.ln 1bba b b a b a +<+<+ 解：（1）01)(2'≥-=axax x f 对),1[+∞∈x 恒成立， xa 1≥∴对),1[+∞∈x 恒成立 又11≤x1≥∴a 为所求.…………………………4分（2）取b b a x +=，1,0,1>+∴>>bba b a ， 一方面，由（1）知x axxx f ln 1)(+-=在),1[+∞上是增函数，即b a b b a +>+1ln ……………………………………8分 另一方面，设函数)1(ln )(>-=x x x x G∴)(x G 在),1(+∞上是增函数且在0x x =处连续，又01)1(>=G求出所有这样定点的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)设双曲线E 的方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，则(,0),(,0),(,0)B c D a C c -．由3BD DC =，得3()c a c a +=-，即2c a =．∴222||||16,||||124,||||2.AB AC a AB AC a AB AC a ⎧-=⎪+=-⎨⎪-=⎩（3分）xx解之得1a =，∴2,c b ==∴双曲线E 的方程为2213y x -=．（5分）(2)设在x 轴上存在定点(,0)G t ，使()BC GM GN λ⊥-．1y λ=-GM GN λ-(BC GM GN λ⊥-12(ky m t ky m λ+-=+-2226(1)6()03131k m km m t k k ---=--，化简得kmt k =． 当1t m=时，上式恒成立． 因此，在x 轴上存在定点1(,0)G m，使()BC GM GN λ⊥-．（12分）9．(本小题满分14分)已知数列{}n a 各项均不为0，其前n 项和为n S ，且对任意*n ∈N 都有(1)n n p S p pa -=-（p 为大于1的常数），记12121C C C ()2n n n n nn na a a f n S ++++=．(1)求n a ； (2)试比较(1)f n +与1()2p f n p+的大小（*n ∈N ）； 2C na a ++(1)np +(1)f n +1111(1)2(1)n n n p p p p +++-+=⋅-． 而1()2p f n p+1111(1)2()n n n p p p p p +++-+=⋅-，且1p >， ∴1110n n p p p ++->->，10p ->．∴(1)f n +<1()2p f n p+，（*n ∈N ）．（8分） (3)由(2)知1(1)2p f p +=，(1)f n +<1()2p f n p+，（*n ∈N ）． ∴当2n …时，211111()(1)()(2)()(1)(2222n np p p p f n f n f n f p pp p-++++<-<-<<=． 111(21)222p p p f n p p p ⎛⎫⎛⎫+++++-+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭…2,,21n -时，1)n+⎣⎦分）。
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上海高考数学函数压轴题解析详解Revised by Jack on December 14,2020上海高考数学压轴题系列训练含答案及解析详解1. (本小题满分12分)已知常数a > 0, n为正整数，f n ( x ) = x n– ( x + a)n ( x > 0 )是关于x的函数.(1) 判定函数f n ( x )的单调性，并证明你的结论.(2) 对任意n a , 证明f`n + 1 ( n + 1 ) < ( n + 1 )f n`(n)解: (1) f n `( x ) = nx n – 1 – n ( x + a)n – 1 = n [x n – 1 – ( x + a)n – 1 ] ,∵a > 0 , x > 0, ∴ f n `( x ) < 0 , ∴ f n ( x )在（0，+∞）单调递减. 4分（2）由上知：当x > a>0时, f n ( x ) = x n– ( x + a)n是关于x的减函数,∴当n a时, 有：(n + 1 )n– ( n + 1 + a)n n n– ( n + a)n. 2分又∴f`n + 1 (x ) = ( n + 1 ) [x n –( x+ a )n ] ,∴f`n + 1 ( n + 1 ) = ( n + 1 ) [(n + 1 )n –( n + 1 + a )n ] < ( n + 1 )[ n n– ( n + a)n] = ( n + 1 )[ n n– ( n + a )( n + a)n – 1 ] 2分( n + 1 )f n`(n) = ( n + 1 )n[n n – 1 – ( n + a)n – 1 ] = ( n + 1 )[n n – n( n + a)n – 1 ], 2分∵( n + a ) > n ,∴f`n + 1 ( n + 1 ) < ( n + 1 )f n`(n) . 2分2. (本小题满分12分)已知：y = f (x) 定义域为［–1，1］，且满足：f (–1) = f (1) = 0 ，对任意u ,v[–1，1］，都有|f (u) – f (v) | ≤ | u –v | .(1) 判断函数p ( x ) = x2– 1 是否满足题设条件(2) 判断函数g(x)=1,[1,0]1,[0,1]x xx x+∈-⎧⎨-∈⎩，是否满足题设条件解： (1) 若u ,v [–1，1]， |p(u) – p (v)| = | u 2 – v 2 |=| (u + v )(u – v) |，取u = 43[–1，1]，v = 21[–1，1],则 |p (u) – p (v)| = | (u + v )(u – v) | = 45| u – v | > | u – v |， 所以p( x)不满足题设条件. （2）分三种情况讨论：10. 若u ,v [–1，0]，则|g(u) – g (v)| = |(1+u) – (1 + v)|=|u – v |，满足题设条件； 20. 若u ,v [0，1]， 则|g(u) – g(v)| = |(1 – u) – (1 – v)|= |v –u|，满足题设条件； 30. 若u[–1，0]，v[0，1]，则：|g (u) –g(v)|=|(1 – u) – (1 + v)| = | –u – v| = |v + u | ≤| v – u| = | u –v|，满足题设条件;40 若u[0，1]，v[–1，0], 同理可证满足题设条件.综合上述得g(x)满足条件. 3. (本小题满分14分)已知点P ( t , y )在函数f ( x ) = 1x x+(x –1)的图象上，且有t 2 – c 2at + 4c 2 = 0 ( c 0 ).(1) 求证：| ac | 4;(2) 求证：在(–1，+∞）上f ( x )单调递增. (3) (仅理科做)求证：f ( | a | ) + f ( | c | ) > 1. 证：(1) ∵ tR, t –1,∴ ⊿ = (–c 2a)2 – 16c 2 = c 4a 2 – 16c 2 0 ， ∵ c 0, ∴c 2a 2 16 , ∴| ac | 4. (2) 由 f ( x ) = 1 –1x 1+,法1. 设–1 < x 1 < x 2, 则f (x 2) – f ( x 1) = 1–1x 12+–1 + 1x 11+= )1x )(1x (x x 1221++-. ∵ –1 < x 1 < x 2, ∴ x 1 – x 2 < 0, x 1 + 1 > 0, x 2 + 1 > 0 ,∴f (x 2) – f ( x 1) < 0 , 即f (x 2) < f ( x 1) , ∴x 0时，f ( x )单调递增. 法2. 由f ` ( x ) =2)1x (1+> 0 得x –1, ∴x > –1时，f ( x )单调递增.（3）（仅理科做）∵f ( x )在x > –1时单调递增，| c ||a |4> 0 , ∴f (| c | ) f (|a |4) = 1|a |4|a |4+= 4|a |4+f ( | a | ) + f ( | c | ) =1|a ||a |++ 4|a |4+> 4|a ||a |++4|a |4+=1. 即f ( | a | ) + f ( | c | ) > 1. 4．（本小题满分15分）设定义在R 上的函数43201234()f x a x a x a x a x a =++++（其中i a ∈R ，i=0,1,2,3,4），当x= －1时，f (x)取得极大值23，并且函数y=f (x+1)的图象关于点（－1，0）对称． （1） 求f (x)的表达式；（2） 试在函数f (x)的图象上求两点，使这两点为切点的切线互相垂直，且切点的横坐标都在区间⎡⎣上；（3） 若+213),(N )23n n n n n nx y n --==∈，求证：4()().3n n f x f y -< 解：（1）31().3f x x x =-…………………………5分（2）()0,0,3-⎭或()0,0,.3⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭…………10分（3）用导数求最值，可证得4()()(1)(1).3n n f x f y f f -<--<……15分5．（本小题满分13分）设M 是椭圆22:1124x y C +=上的一点，P 、Q 、T 分别为M 关于y 轴、原点、x 轴的对称点，N 为椭圆C 上异于M 的另一点，且MN ⊥MQ ，QN 与PT 的交点为E ，当M 沿椭圆C 运动时，求动点E 的轨迹方程．解：设点的坐标112211(,),(,)(0),(,),M x y N x y x y E x y ≠则111111(,),(,),(,),P x y Q x y T x y ----……1分221122221,(1)124 1.(2)124x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩………………………………………………………3分由（1）－（2）可得1.3MN QN k k •=-………………………………6分又MN ⊥MQ ，111,,MN MQ MN x k k k y ⋅=-=-所以11.3QN y k x = 直线QN 的方程为1111()3y y x x y x =+-，又直线PT 的方程为11.xy x y =-……10分 从而得1111,.22x x y y ==-所以112,2.x x y y ==- 代入（1）可得221(0),3x y xy +=≠此即为所求的轨迹方程.………………13分6．（本小题满分12分）过抛物线y x 42=上不同两点A 、B 分别作抛物线的切线相交于P 点，.0=⋅PB PA （1）求点P 的轨迹方程；（2）已知点F （0，1），是否存在实数λ使得0)(2=+⋅λ若存在，求出λ的值，若不存在，请说明理由.解法（一）：（1）设)(),4,(),4,(21222211x x x x B x x A ≠由,42y x =得：2'x y =4,,021-=∴⊥∴=⋅x x PB PA ………………………………3分直线PA 的方程是：)(241121x x x x y -=-即42211x x x y -= ① 同理，直线PB 的方程是：42222x x x y -= ② 由①②得：⎪⎩⎪⎨⎧∈-==+=),(,142212121R x x x x y x x x ∴点P 的轨迹方程是).(1R x y ∈-=……………………………………6分（2）由（1）得：),14,(211-=x x ),14,(222-=x x )1,2(21-+xx P42)14)(14(2221222121x x x x x x +--=--+=⋅ …………………………10分所以0)(2=+⋅故存在λ=1使得0)(2=+⋅FP FB FA λ…………………………………………12分 解法（二）：（1）∵直线PA 、PB 与抛物线相切，且,0=⋅PB PA ∴直线PA 、PB 的斜率均存在且不为0，且,PB PA ⊥ 设PA 的直线方程是)0,,(≠∈+=k R m k m kx y由⎩⎨⎧=+=yx mkx y 42得：0442=--m kx x 016162=+=∆∴m k 即2k m -=…………………………3分即直线PA 的方程是：2k kx y -=同理可得直线PB 的方程是：211kx k y --=由⎪⎩⎪⎨⎧--=-=2211k x k y k kx y 得：⎪⎩⎪⎨⎧-=∈-=11y R k k x 故点P 的轨迹方程是).(1R x y ∈-=……………………………………6分（2）由（1）得：)1,1(),1,2(),,2(22---kk P k k B k k A)1(2)11)(1(42222k k k k FB FA +--=--+-=⋅………………………………10分故存在λ=1使得0)(2=+⋅λ…………………………………………12分 7．（本小题满分14分）设函数x axxx f ln 1)(+-=在),1[+∞上是增函数. （1） 求正实数a 的取值范围； （2） 设1,0>>a b ，求证：.ln 1bba b b a b a +<+<+ 解：（1）01)(2'≥-=axax x f 对),1[+∞∈x 恒成立， xa 1≥∴对),1[+∞∈x 恒成立 又11≤x1≥∴a 为所求.…………………………4分 （2）取b b a x +=，1,0,1>+∴>>bba b a ，一方面，由（1）知x axxx f ln 1)(+-=在),1[+∞上是增函数，即ba b b a +>+1ln ……………………………………8分 另一方面，设函数)1(ln )(>-=x x x x G∴)(x G 在),1(+∞上是增函数且在0x x =处连续，又01)1(>=G ∴当1>x 时，0)1()(>>G x G∴x x ln > 即b ba b b a +>+ln 综上所述，.ln 1b ba b b a b a +<+<+………………………………………………14分8．(本小题满分12分)如图，直角坐标系xOy 中，一直角三角形ABC ，90C ∠=，B 、C 在x 轴上且关于原点O 对称，D 在边BC 上，3BD DC =，ABC 的周长为12．若一双曲线E以B 、C 为焦点，且经过A 、D 两点．(1) 求双曲线E 的方程；(2) 若一过点(,0)P m （m 为非零常数）的直线l 与双曲线E 相交于不同于双曲线顶点的两点M 、N ，且MP PN λ=，问在x 轴上是否存在定点G ，使()BC GM GN λ⊥-若存在，求出所有这样定点G 的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1) 设双曲线E 的方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，则(,0),(,0),(,0)B c D a C c -．由3BD DC =，得3()c a c a +=-，即2c a =．∴222||||16,||||124,||||2.AB AC a AB AC a AB AC a ⎧-=⎪+=-⎨⎪-=⎩（3分）解之得1a =，∴2,c b ==∴双曲线E 的方程为2213y x -=．（5分）(2) 设在x 轴上存在定点(,0)G t ，使()BC GM GN λ⊥-．设直线l 的方程为x m ky -=，1122(,),(,)M x y N x y ． 由MP PN λ=，得120y y λ+=．xxx即12y y λ=-① （6分）∵(4,0)BC =，1212(,)GM GN x t x t y y λλλλ-=--+-，∴()BC GM GN λ⊥-12()x t x t λ⇔-=-． 即12()ky m t ky m t λ+-=+-． ② （8分）把①代入②，得12122()()0ky y m t y y +-+=③ （9分）把x m ky -=代入2213y x -=并整理得其中2310k -≠且0∆>，即213k ≠且2231k m +>．212122263(1),3131km m y y y y k k --+==--．（10分）代入③，得2226(1)6()03131k m km m t k k ---=--， 化简得 kmt k =． 当1t m=时，上式恒成立． 因此，在x 轴上存在定点1(,0)G m，使()BC GM GN λ⊥-．（12分）9．(本小题满分14分)已知数列{}n a 各项均不为0，其前n 项和为n S ，且对任意*n ∈N 都有(1)n np S p pa -=-（p 为大于1的常数），记12121C C C ()2n n n n nn na a a f n S ++++=．(1) 求n a ； (2) 试比较(1)f n +与1()2p f n p+的大小（*n ∈N ）；(3) 求证：2111(21)()(1)(2)(21)112n p p n f n f f f n p p -⎡⎤⎛⎫++-+++--⎢⎥ ⎪-⎢⎥⎝⎭⎣⎦，（*n ∈N ）． 解：(1) ∵(1)n n p S p pa -=-，① ∴11(1)n n p S p pa ++-=-．②②－①，得11(1)n n n p a pa pa ++-=-+，即1n n a pa +=．（3分）在①中令1n =，可得1a p =．∴{}n a 是首项为1a p =，公比为p 的等比数列，n n a p =． （4分）(2) 由(1)可得(1)(1)11n n n p p p p S p p --==--． 12121C C C n n n n n a a a ++++1221C C C (1)(1)n nn n n n n p p p p p =++++=+=+．∴12121C C C ()2n n n n nn na a a f n S ++++=1(1)2(1)nn n p p p p -+=⋅-， （5分）(1)f n +1111(1)2(1)n n n p p p p +++-+=⋅-． 而1()2p f n p+1111(1)2()n n n p p p p p +++-+=⋅-，且1p >， ∴1110n n p p p ++->->，10p ->． ∴(1)f n +<1()2p f n p+，（*n ∈N ）．（8分）(3) 由(2)知 1(1)2p f p +=，(1)f n +<1()2p f n p+，（*n ∈N ）． ∴当2n 时，211111()(1)()(2)()(1)()2222n np p p p f n f n f n f p pp p-++++<-<-<<=． ∴221111(1)(2)(21)222n p p p f f f n p p p -⎛⎫⎛⎫++++++-+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2111112n p p p p -⎡⎤⎛⎫++=-⎢⎥ ⎪-⎢⎥⎝⎭⎣⎦， （10分）（当且仅当1n =时取等号）．另一方面，当2n ，1,2,,21k n =-时，1p p -=． ∵22k n k n p p p -+，∴2222121(1)n k n k n n n p p p p p p ---+-+=-． ∴12(1)()(2)2()2(1)n n n p p f k f n k f n p p -++-⋅=-，（当且仅当k n =时取等号）．（13分）∴2121211111()[()(2)]()(21)()2n n n k k k f k f k f n k f n n f n ---====+-=-∑∑∑．（当且仅当1n =时取等号）．综上所述，2121111(21)()()112n n k p p n f n f k p p --=⎡⎤⎛⎫++--⎢⎥∑ ⎪-⎢⎥⎝⎭⎣⎦，（*n ∈N ）．（14分）。