新浙教版初二下数学第二章《一元二次方程》各节知识点及典型例题
2.1 一元二次方程 浙教版八年级数学下册同步练习(含解析)
第2章一元二次方程2.1一元二次方程基础过关全练知识点1一元二次方程的相关概念1.(2022浙江诸暨浣纱中学月考)下列方程是一元二次方程的是()A.x2-y=1B.x2+2x-3=0C.x2+1=3 D.x-5y=6x2.已知关于x的方程x2+kx-10=0的一个根是2,则k=.3.若方程(a-2)x2-3ax=5是关于x的一元二次方程,则a的取值范围是.知识点2一元二次方程的一般形式4.下列方程是一元二次方程的一般形式的是()A.2x2-3x=0B.x2=1C.2x2-3x=-1D.2x2=-3x5.【新独家原创】四位同学一起做游戏,分别出一个一元二次方程,甲:x2-2x+3=0,乙:x2-2x=3,丙:3(x2-2x+1)=3,丁:3x2-x=3,当这四个方程化为一般形式时,常数项为0的赢,则这次游戏谁赢了()A.甲B.乙C.丙D.丁6.关于x的一元二次方程(m-2)x2+5x+m2-4=0的常数项为0,则m等于() A.2 B.-2 C.2或-2 D.07.将方程5x2+1=4x化成ax2+bx+c=0的形式,则a,b,c的值分别为.知识点3列一元二次方程8.某班学生毕业时,都将自己的照片向本班其他同学送一张留念,全班一共送了1 260张,如果全班有x名同学,根据题意,列出方程为() A.x(x+1)=1 260 B.2x(x+1)=1 260C.x(x-1)=1 260D.x(x-1)=1 260×29.【教材变式·P26合作学习(1)变式】把面积为16 m2的大长方形铁皮割成如图所示的正方形和长方形两个部分,已知长方形的一边长为 6 m,求其邻边长(只需列出方程).10.根据下列问题列一元二次方程,并将方程化为一般形式.(1)三个连续奇数的平方和是251,求这三个数;(2)一个长方形花坛,长20 m,宽8 m,在它的四周有等宽的鹅卵石路,形成一个大长方形,其面积是花坛面积的1.8倍,求路的宽度;(3)用一根长30 cm的铁丝折成一个斜边长13 cm的直角三角形,求这个三角形的直角边长.能力提升全练11.(2022浙江温州外国语学校期中,6,)关于x的一元二次方程(m-3)x2+m2x=9x+5化为一般形式后不含一次项,则m的值为()A.0B.±3C.3D.-312.若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一个根为x=-1,则下列等式成立的是() A.a+b+c=0 B.a-b+c=0C.-a-b+c=0D.-a+b+c=013.若(1-m)x m2+1+3mx-2=0是关于x的一元二次方程,则该方程的一次项系数是() A.-1 B.±1 C.-3 D.±314.方程5x2-1=4x化成一般形式后,二次项系数为正,其中一次项系数,常数项分别是()A.4,-1B.4,1C.-4,-1D.-4,115.已知x1=1,x2=-3是一元二次方程ax2+bx-3=0(a≠0)的两个根,求a,b 的值.16.已知关于x的方程(k-2)x2-kx=x2-1.(1)当k为何值时,方程为一元二次方程?(2)当k为何值时,方程为一元一次方程?17.有一个三角形,面积为30 cm2,其中一边比这边上的高的4倍少1 cm,若设这边上的高为x cm,请你列出关于x的方程,并判断它是什么方程,若是一元二次方程,把它化为一般形式,并指出二次项系数、一次项系数和常数项.素养探究全练18.【代数推理】【运算能力】已知实数a是一元二次方程x2-2 022x+1=0的值.的解,求代数式a2-2 021a-a2+12 022答案全解全析基础过关全练1.B x2-y=1中含有2个未知数,不是一元二次方程,所以A不符合题意;x2+2x-3=0符合一元二次方程的定义,是一元二次方程,所以B符合题意;x2+1x =3中1x不是整式,不是一元二次方程,所以C不符合题意;x-5y=6中含有2个未知数,不是一元二次方程,所以D不符合题意.故选B.2.3解析因为关于x的方程x2+kx-10=0的一个根是2,所以22+2k-10=0,解得k=3.3.a≠2解析因为方程(a-2)x2-3ax=5是关于x的一元二次方程,所以a-2≠0,解得a≠2.4.A形如ax2+bx+c=0(a,b,c是常数,且a≠0)是一元二次方程的一般形式.只有A符合题意,故选A.5.C x2-2x+3=0的常数项为3,所以甲输了;x2-2x=3化为一般形式为x2-2x-3=0,常数项为-3,所以乙输了;3(x2-2x+1)=3化为一般形式为x2-2x=0,常数项为0,所以丙赢了;3x2-x=3化为一般形式为3x2-x-3=0,常数项为-3,所以丁输了.故选C.6.B因为常数项为0,所以m2-4=0,解得m=2或-2,当m=2时,方程(m-2)x2+5x+m2-4=0变为5x=0,不是一元二次方程,所以m=2要舍去,故m=-2.7.5,-4,1解析5x2+1=4x移项,得5x2-4x+1=0,所以将方程5x2+1=4x化成ax2+bx+c=0的形式,则a,b,c的值分别为5,-4,1.8.C全班有x名同学,根据“都将自己的照片向本班其他同学送一张留念”可知全班一共送了x(x-1)张照片,又全班一共送了1 260张照片,所以x(x-1)=1 260.9.解析设其邻边长为x m,则可列方程为x(x+6)=16.10.解析(1)设中间的奇数为x,则(x-2)2+x2+(x+2)2=251,化为一般形式:3x2-243=0.(2)设路的宽度为x m,则(20+2x)(8+2x)=1.8×20×8,化为一般形式:4x2+56x-128=0.(3)设一条直角边长为x cm,则另一条直角边长为(17-x)cm,则x2+(17-x)2=132,化为一般形式:2x2-34x+120=0.能力提升全练11.D将(m-3)x2+m2x=9x+5整理得(m-3)x2+(m2-9)x-5=0,由题意得m-3≠0,m2-9=0,解得m=-3,故选D.12.B把x=-1代入方程ax2+bx+c=0得a-b+c=0.13.C由题意得1-m≠0且m2+1=2,解得m=-1.∴该方程的一次项系数为3m=-3.14.C5x2-1=4x化成一般形式是5x2-4x-1=0,它的一次项系数是-4,常数项是-1.故选C.15.解析 把x 1=1,x 2=-3分别代入一元二次方程ax 2+bx -3=0(a ≠0),得{a +b −3=0,9a −3b −3=0,解得{a =1,b =2.16.解析 原方程可化为(k -3)x 2-kx +1=0.(1)当k -3≠0,即k ≠3时,方程(k -2)x 2-kx =x 2-1是一元二次方程.(2)当k -3=0,-k ≠0,即k =3时,方程(k -2)x 2-kx =x 2-1是一元一次方程.17.解析 根据题意可得关于x 的方程为12x (4x -1)=30,它是一元二次方程,整理为一般形式为2x 2-12x -30=0,二次项系数为2,一次项系数为-12,常数项为-30.素养探究全练18.解析 因为实数a 是一元二次方程x 2-2 022x +1=0的解,所以a 2- 2 022a +1=0,所以a 2-2 022a =-1,a 2+1=2 022a , 所以原式=a 2-2 021a -2 022a 2 022=a 2-2 022a =-1.。
第2章 一元二次方程 知识讲解-浙教版八年级数学下册
一元二次方程一、一元二次方程的概念1.定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程.2.一般形式：）（0a 0c bx ax 2≠=++，其中2ax 是二次项，a 是二次项系数，bx 是一次项，b 是一次项系数，c 是常数项.3.一元二次方程的解：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，也叫作一元二次方程的根.二、一元二次方程的解法1.直接开平方法：如果方程能化成p x 2=或p n mx 2=+）（的形式，那么可得p x ±=或p n mx ±=+.2.配方法：通过配成完全平方式来解一元二次方程的方法，叫做配方法.配方的目的是为了降次，把一个一元二次方程转化成两个一元一次方程来解.3.因式分解法：通过因式分解，使一元二次方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次.4.求根公式法：当0ac 4-b 2≥=△时，方程）（0a 0c bx ax 2≠=++的实数根可写成a2ac 4-b b -x 2±=的形式，这个式子叫做一元二次方程）（0a 0c bx ax 2≠=++的求根公式，把各系数直接代入公式，求出方程的根，这种解法叫做公式法.【用公式法解一元二次方程的步骤】把方程化为一般式→确定a ，b ，c 的值→计算ac 4-b 2的值→如果非负，则代入求解，如果为负数，则方程无实数根.三、一元二次方程根的判别式和根与系数的关系1.根的判别式：一般地，式子ac 4-b 2叫做一元二次方程）（0a 0c bx ax 2≠=++根的判别式，通常用“△”表示，即ac 4-b 2=△.知识梳理⎪⎩⎪⎨⎧⇔⇔⇔=方程没有实数根△＜方程有两个相等实数根△＝根方程有两个不相等实数△＞△00 0ac 4-b 2【注】①使用时，要先将一元二次方程化为一般形式，才能确定a ，b ，c ，求出△；②当0ac 4-b 2≥=△时，方程有实数根.2.根与系数的关系（1）韦达定理：若一元二次方程）（0a 0c bx ax 2≠=++有实数根，设这两个实数根分别为1x 、2x ，可得a b -x x 21=+，ac x x 21=. （2）拓展①212212221x x 2-x x x x ）（+=+； ②212121x x x x x 1x 1+=+； ③2212121a x x a x x a x a x +++=++）（））（（. 四、一元二次方程的应用1.增长率问题（1）增长量=原产量×增长率；（2）增产后的产量=原产量×（1+增长率）.2.数字问题例：一个两位数等于其个位数字的平方，个位数字比十位数字大3，求这个两位数.3.利润问题题型：售价每上升/下降a 元，销量减少/增加b 件.问应把售价上升/下降多少元能使利润达到c 元？ 解决方法：此类题型一般设售价上升/下降x 元，利用单件利润×销量=总利润为等量关系列方程解决问题.4.面积问题5.动点问题（1）求动点运动时间转化为求动点运动路程，即线段长度；（2）利用图形面积或勾股定理构造方程.。
浙教版八年级数学下册第二章《一元二次方程解法》优课件
X=
∴x=
=
= 即 x1= - 3 x2=
③
(a≠0, b2-4ac≥0)
4、写出方程的解： x1=?, x2=?
④
例2 用公式法解方程： x2 – x - =0
例3 用公式法解方程： x2 +3 = 2 x
解：移项，得
解：方程两边同乘以 3
( x + )2 =
∴当b2-4ac≥0时,
x + =±
解得 x= - ±
即
x=
用求根公式解一元二次方程的方法叫做 公式法。学.科.网zxxk.
一般地,对于一元二次方程 ax2 bx c 0(a 0), 如果 b2 4ac 0 ,那么方程的两个根为 x b b2 4ac
2a 这个公式叫做一元二次方程的求根公式.利用求根公式,
义务教育课程标准实验教科书 浙江版《数学》八年级下册
2.2一元二次方程的解 法(3) (公式法)
等腰
知识回顾“配：方法”解方程的基本步骤：
1.化1:把二次项系数化为1; 2.移项:把常数项移到方程的右边; 3.配方:方程两边同加一次项系数
一半的平方;
4.变形:化成(x m )2 a
5.开平方，求解
得 2 x2 -3x-2=0 a=2，b= -3，c= -2.
x2 -2 x+3 = 0 a=1，b=-2 ，c=3 b2-4ac=(-2 )2-4×1×3=0
∴b2-4ac=(-3) 2-4×2×(-2)=25. ∴x=
==
∴x=
= 即 x1=2,
= x2= -
x1 = x2 =
当 b2-4ac=0 时，一元二次
浙教版数学八年级下册《一元二次方程》课件
3
≠
时，是一元二次方程．
2.关于 x 的方程(k2－1)x2 ＋ 2 (k－1) x ＋ 2k ＋ 2＝0,
且
当k ≠±1
时，是一元二次方程．,
当k ＝－1
时，是一元一次方程．
同时满足
联立：联合建立
.
k2－1 = 0
2 (k－1) ≠ 0
.
3.
将一元二次方程（x- 5）（x+ 5）+(2x-1)2=0化为一般形式，
距离为 8m. 如果梯子的顶端下滑 1m，那么梯子的底端滑动多少米？
A
1m
D
设梯子底端滑动 x m，可列出方程
7m
( x + 6 )2 + 72 = 102.
B
6m
C xE
分析：由勾股定理可知，滑动前梯子底端
距墙
6
m. 如果设梯子底端滑动 x m，
那么滑动后梯子底端距墙 x+6 m.
整理得 x2 +12x-15 ＝0.
4=0
x2 +12x-15 ＝0.
5x2
+10x-2.2＝0.
x2-x-56=0
像这样，两边都是整式,只含有一个未知数且未知数的最高次数是2次的方程
叫做一元二次方程.
学以致用：
判断下列方程是否为一元二次方程：
① 10x2=9
(√ )
③2x2-3x-1=0
(√ )
②2(x-1)=3x ( × )
④
1
2
梯子底端滑动的距离 x (m) 满足方程 ( x + 6 )2 + 72 = 102，
也就是 x2 + 12x - 15 = 0.
浙教版八年级数学下册第二章《一元二次方程的解法》精品课件
把一元二次方程的左边配成一 个完全平方式,然后用开平方法 求解,这种解一元二次方程的方 法叫做配方法.
例题2
(1)y2 6y 4 0 (2)x2 65x
课内练习P30 T4
2.2 一元二次方程的解法(2)
解下列方程:
(1) 2 x 2 1 8 0 (2)(3 x 1)2 4 (3)2(x 1)2 8
x a 一般地，对于形如 2
（a≥0）的
方程，根据平方根的意义，可解得
x a,x a
1
2
这种解一元二次方程的方法叫做开平 （square root extraction）法
1 (1)5(t 1)2 0
5 (2)(2x 3)2 5
１、方程 x2 0.25的根是
２、方程 2x2 18 的根是
3、 方程(2x 1)2 9 的根是
； ； ；
课内练习P30 T3
x2 10x 25 9 变形为 (x 5)2 9
x2 6x 7 0
变 形 为
这种方 程怎样
解？
•• • • 2 a 的形式．（ａ为非将开发文化宝库的钥匙，尽我们知道的交给学生。 •2、一个人的知识如果只限于学校学习到的那一些，这个人的知识必然是十分贫乏的2021/10/152021/10/152021/10/1510/15/2021 3:07:23 PM •3、意志教育不是发扬个人盲目的意志，而是培养合于社会历史发展的意志。 •4、智力教育就是要扩大人的求知范围 •5、最有价值的知识是关于方法的知识。 •6、我们要提出两条教育的诫律，一、“不要教过多的学科”；二、“凡是你所教的东西，要教得透彻”2021年10月2021/10/152021/10/152021/10/1510/15/2021 •7、能培养独创性和唤起对知识愉悦的，是教师的最高本领2021/10/152021/10/15October 15, 2021 •8、先生不应该专教书，他的责任是教人做人；学生不应该专读书，他的责任是学习人生之道。2021/10/152021/10/152021/10/152021/10/15
一元二次方程--浙教版
课时训练
1. 如果代数式4y2-2y+5的值为7，那么代数式 2y2-y+1的值等于 (A ) A.2 B.3 C.-2 D.4
2. 若a的值使得x2+4x+a=(x+2)2-1成立， 则a的值为 ( C ) A.5 B.4 C.3 D.2
3.已知m是方程x2-x-2=0的一个根，则 代数式m2-m的值等于 2 。
第二章第二课时：
一元二次方程
Wjl321 制作
要点、考点聚焦
.一元二次方程及其解法 (1)一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0). (2)一元二次方程的四种解法： ①直接开平方法：形如 x2=k(k≥0) 的形式均可用此法求 解. ②配方法：要先化二次项系数为 1 ，然后方程两边同加 上一次项系数的一半的平方，配成左边是完全平方，右 边是常数的形式，然后用直接开平方法求解. ③公式法：这是解一元二次方程通用的方法，只要化成 2 2 b b 4ac ax +bx+c=0(a≠0)利用求根公式：x= 2a ④因式分解法. （b2-4ac≥0
课前热身
4.解方程x2+3x=10 解：x2+3x-10=0 (x+5)(x-2)=0 x=-5或x=2
典型例题解析
【例1】 若3是关于(4/3)x2-2a+1=0的一个解， 则2a的值是 ( C ) A.11 B.12 C.13 D.14
例2。若方程y2-3y+m=0的一个根是1，则它的另一个根是 2 ，m的值是 . 2
典型例题解析
【例3】选用适当的方法解下列方程： （1）x2 - 4=0 （2） （3x+ 1）2=4（x- 1）2
初二数学下册《第二章一元二次方程的解法》课件1浙教版
项系数化为正.
初二数学下册《第二章一元 二次方程的解法》课件1浙
教版
【温故而知新】
练一练复习题
[1] [2] [3] [4] [5]
我们先来看看例题。 解下列方程：
下面我们再学习下怎么用开方法解一元二次方程 ：
想一下，能否用因式分解法或者用开平方法解这
个方程？
Байду номын сангаас
你能将这个方程转化成
的形式
么？
大家小组讨论这个方程的解法。
概念
把一元二次方程 的左边配成一个 完全
平方式,右边为一 个非负常数,然后 用
开平方法求解,这
移项:把常数项移到方程的右边; 配方:方程两边都加上一次项系数
一半的平方; 开方:根据平方根意义,方程两边开
平方; 求解:解一元一次方程; 定解:写出原方程的解.
练一练：
注意:解第(2)题时要先移项,变形成X2+5X=6的
浙教版八年级数学下册第二章《一元二次方程的解法(1)》课件
You made my day!
我们，还在路上……
2 x 3 2 x 3 0
例1：解下列方程：
1x23x0
225x216
因式分解法的基本步骤： （1）将方程变形，使方程的右边为零； （2）将方程的左边因式分解；
（3）根据若A·B=0，则A=0或B=0，将解一元二次方程转
化为解两个一元一次方程；
做一做：解下列一元二次方程
（1） ( x5 ) ( 23 )0 x （2） 7 x2 2 1 x
（3）
x2 4
9
0
注意：当方程的一边为0，另一边容易分解成两个一次因式的积 时，则用因式分解法解方程比较方便.
因式分解法的基本步骤： （1）将方程变形，使方程的右边为零； （2）将方程的左边因式分解；
（3）根据若A·B=0，则A=0或B=0，将解一元二次方程转
化为解两个一元一次方程；
例2 解下列一元二次方程
（1）( x5 ) ( 23 )1 x0（2） (34 x2)(43 x2)
例2 解下列一元二次方程
（1）( x5 ) ( 23 )1 x0（2）(34 x2)(43 x2)
解：（1）化简方程，得
(2)移项，得
32x1 7x0
( 3 4x 2 ) ( 4 3x 2 )0
方程左边因式分解，得
方程左边2）( x 22)2 x 4
（3）4 ( 3x 2 )x ( 3x ) 0
（4） ( 7x12)4 x2
注意：当方程的一边为0时，另一边容易分解成两个一 次因式的积时，则用因式分解法解方程比较方便.
因式分解法解一元二次方程的基本步骤 （1）将方程变形，使方程的右边为零； （2）将方程的左边因式分解；
浙教版八下第二章一元二次方程及解法复习
解一元二次方程时，我们先考虑用开平方法和
因式分解法，然后再考虑用公式法和配方法
☆对于（ax+m）2=n(n≥0) 的形式，我们通常选择开平方法。
☆对于右边化成零后左边可以因式分解的一元二次方程，我们
通常选择因式分解法。 ☆对于ax2+bx+c=0(a≠0)一般形式 ，a,b,c≠0时的方程以及 用上面两种方法解方程比较困难时选择公式法。 ☆配方法通常只用于x２＋px＋q＝０形式的方程。
一元二次方程及 解法复习
准备好了吗？
明辨是非
判断下列方程是不是一元二次方程，若不是一元二 次方程，请说明理由？ 1、(x－1)２＝４ √ × √ ２、x2－2x=8 ４、x２＝y+１ ６、x３－２x２＝１ √ × ×
1 3、x2+ ＝１ x
５、x２＝x
７、３x２－５x＝２ √
８、x（x－２）＝１+x2 ×
火眼金睛
选择适当的方法解下列方程：
1、(x+1)2=4 2、４x２－９＝x(２x－３) 3、(x+1)(2x－1)=5 4、（y+1）2+2（y+1）+1=0
勇攀高峰
如图，在 ABCD中，对角线AC⊥BC，AC=BC=2，动 点P从点A出发沿AC向终点C移动，过点P分别作 PM∥AB交BC于M。PN∥AD交DC于N，连接AM，设 AP=x。 （1）四边形PMCN的形状有可能是菱形吗？请说明理由。 （2）当x为何值时，四边形PMCN的面积与⊿ABM的面 积相等？ A
D P NBຫໍສະໝຸດ MC课堂小结：
通过今天的学习你 有什么收获？
已知：如图， ABCD中，AB=4，AD=6，BC边上的高 AE=2，动点P从点A出发，在线段AD上以每秒1个单位 的速度向点D运动，同时动点Q也从点C出发，在线段 BC上以每秒2个单位长度的速度向点B运动，当点Q运动 到点B时，点P随之停止运动。连接AQ、PQ、PC。设 运动时间为t（秒）。 (1)当运动时间为1.5秒时，求出⊿ABM的面积。 (2)用含t的代数式来表示⊿PCQ的面积。 (3)当t为何值时，P、Q两点间的距离为 13 ？
浙教版初中数学八年级下册第二章第2节《一元二次方程的解法(4)》1课件
用公式法解下列一元二次方程：
解（1）原方程即为
，
用公式法解一元二次方程： 例9
解 去括号，得
化简，得
， ，
即
1、小结一下解一元二次方程的几种方法？
解一元二次方程一般有以下四种方法：直接开 平方法、因式分解法、配方法、求根公式法。
2、这节课我们学习的解法，你会了吗？
公式
求解步骤
1、用公式法解方程
，得到（ A）
A
B
C
D
2、用公式法解下列方程：
3、选择恰当的方法解下列方程：
4、 关于x的一元二次方程 当a，b，c 满足什么条件时，方程的两根为互 为相反数？
探索发现
X1=
X2=
1、从两根的代数式结构上有什么特点？
2、根据这种结构可以进行什么运算？ 你发现了什么？
智力挑战
1、 m取什么值时，方程 x2+(2m+1)x+m2-4=0有 两个相等的实数解
2、关于x的一元二次方程x²-mx-5=0。 当m 满足什么条件时，方程的两根 为互为相反数？
练习
用适当的方法解下列一元二次方程
1、x（2x-7）=2x 3、x²-5x=-4
2、x²+4x=3 4、2x²-3x-1=0
的值代入一元二次方程的求根
公式，求出方程的根；若
，
此时方程无实数解。
用公式法解下列一元二次方程： 例8
下列一元二次方程根的个数：
方程有两个不相等的根 方程有两个相等的根 方程没有实数根
方程根的情况：
1、当 时，方程有两个不相等 的实数根；
2、当 时，方程有两个相等的 实数根；
整理
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第二章 一元二次方程 第一节 一元二次方程 第二节 一元二次方程的解法 第三节 一元二次方程的应用 第四节 一元二次方程根与系数的关系 五大知识点： 1、一元二次方程的定义、一元二次方程的一般形式、一元二次方程的解的概念及应用 2、一元二次方程的四种解法（因式分解法、开平方法和配方法、配方法的拓展运用、公式法） 3、根的判别式 4、一元二次方程的应用（销售问题和增长率问题、面积问题和动态问题） 5、一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）
【课本相关知识点】 1、一元二次方程：只含有 未知数，并且未和数的 是2，这样的整式方程叫做一元二次方程。 2、能使一元二次方程 的未知数的值叫做一元二次方程的解（或根） 3、一元二次方程的一般形式：任何一个一元二次方程经过化简、整理都可以转化为 的形式，这个形式叫做一元二次方程的一般形式。其中ax2是 ，a是 ，bx是 ，b是 ，c是常数项
【典型例题】 【题型一】应用一元二次方程的定义，求字母的值 例1、当a为何值时，关于x的方程（a-1）x|a|+1+2x-7=0是一元二次方程？
【题型二】一元二次方程解的应用 例1、关于x的一元二次方程（a-1）x2+x+|a|-1=0的一个根是0，则实数a的值为（ ） A．-1 B．0 C．-1 D．-1或1 例2、已知多项式ax2-bx+c，当x=1时，它的值是0；当x=-2时，它的值是1 （1）试求a+b的值 （2）直接写出关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根
【题型三】一元二次方程拓展开放型题 例1、已知关于x的方程（k2-1）x2-（k+1）x-2=0 （1）当k取何值时，此方程为一元一次方程？并求出此方程的根 （2）当k取何值时，此方程为一元二次方程？并写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项。
巩 固 练 习 1、下列方程中，是一元二次方程的为（ ）
A. x2= -1 B. 2x（x-1）+1=2x2 C. x2+3x=2x D. ax2+bx+c-0 2、已知关于x的方程mx2+(m-1)x-1=2x2-x，当m取什么值时，这个方程是一元二次方程？ 3、若关于x的一元二次方程（a-2）x2+ ax=3是一元二次方程，则a 的取值范围是 4、把方程 (x-1)2-3x（x-2）=2（x+2）+1化成一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项
5、若a是方程x2-3x+1=0的一个根，求2a2-5a-2+231a的值 6、若关于x的方程ax2+bx+c=0（a≠0）中，abc满足a+b+c=0和a-b+c=0，则方程的根是（ ） A. 1，0 B. -1，0 C. 1，-1 D. 1，2
7、已知x=1是一元二次方程ax2+bx-40=0的一个解，且a≠b，求2222abab的值
【课本相关知识点】 （一） 1、利用因式分解的方法实现“降次”，把解一元二次方程转化为解 一元一次方程的方法，叫做因式分解法。 2、因式分解法的理论依据是：若ab=0，则 或 3、利用因式分解法解一元二次方程的步骤是： （1）将方程的 化为0； （2）把方程的另一边分解成 的乘积 （3）令每个因式 ，得到两个一元一次方程； （4）分别解这两个一元一次方程，即可得到原一元二次方程的解。 【在温州中考题中，若题中要求你用因式分解法解一元二次方程，只需要掌握两种分解因式的方法：① 提公因式法分解因式；② 用完全平方公式或平方差公式来分解因式】 （二） 4、开平方法：一般地，对于形如x2=a（a≥0）的方程，根据 的定义，解得x1= ,x2= ,这种解一元二次方程的方法叫做开平方法。 5、① 形如x2=a（a≥0）或(x-a)2=b（b≥0）的一元二次方程，都可以用直接开平方法求得方程的解 ② 用直接开平方法解方程(x-a)2=b（b≥0）得x1= ，x2= （三） 6、配方法：把一元二次方程的左边配成一个 式，右边为一个非负常数，然后用开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫做配方法。 7、利用配方法解一元二次方程的步骤： （1）将方程化为一般形式 （2）方程两边同除以二次项系数，把二次项系数化为1 （3）移项：把常数项移到方程右边，使方程的左边为二次项和一次项，右边为常数项 （4）配方：在方程的两边同时加上一次项系数一半的平方，使左边配成完全平方式 （5）求解：若方程的右边是非负数，就用开平方法求解；如果右边是个负数，就可以直接拉出原方程无实数解 （四） 8、一元二次方程的求根公式：一般地，对于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠O），如果b2-4ac≥0，那么方程的两个根是 ，这个公式叫做一元二次方程的求根公式。 9、公式法：利用求根公式，我们可以由一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠O）的 值，直接求得方程的根，这种解一元二次方程的方法叫做公式法。 10、利用公式法解一元二次方程的一般步骤： （1）把方程化成 （2）确定 的值（可以在大脑中确定，也可以在做题时写在题目中） （3）求出 的值
（4）若b2-4ac＜0，则方程无实数解；若 ，则将a,b,c和b2-4ac代入公式x=242bbaca，求出方程和解。 （五）
11、在一元二次方程的求根公式x=242bbaca中，把 叫做一元二次方程的判别式。 12、b2-4ac的值与一元二次方程的根的关系： 若b2-4ac＞0，则一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠O）有两个 实数解（或实数根） 若b2-4ac=0，则一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠O）有两个 实数解（或实数根） 若b2-4ac＜0，则一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠O） 实数解（或实数根）
【典型例题】 1.（2004年浙江温州5分）方程(x－1)(x+2)(x－3)=0的根是 。
2、如果A2-B2=0，则下列结论中正确的是（ ） A. A=B B. A=-B C. A=B=0 D. A=B或A=-B 3、一元二次方程x2-4x+4=0的根是__________ 4、当a=_________，代数式(a-2)2 与4-2a的值相等 5、用因式分解法解方程
（1）216100xx （2）2(25)(1)(25)xxxx
★★★★6、（拓展）已知(a2+b2)(a2+b2+1)= a2+b2+1，求a2+b2的值
1、下列方程能用直接开平方法求解的是（ ） A. 5x2+2=0 B. 4x2-2x-1=0 C. 12(x-2)2=4 D. 3x2+4=2 2、若关于x的一元二次方程5x2-k=0有实数根，则k的取值范围是_________ 3、已知(a2+b2-1)2=9，则a2+b2=_________
4、已知一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根是1，且a，b满足等式b=11aa-4，求方程13y2-2c=0的根 5、用开平方法解下列方程 （1）2 9(x1)25 （2）26x181 （3）(x-1)2=(3x-4)2
1、（1）x2-23x+____=(x-____)2 （2）3x2+12x+____=3(x+____)2 （3）12x2-5x+____=12(x-____)2 2、若x2+ax+9是关于x的完全平方式，则常数a的值是__________ 3、多项式4x2+1加上一个单项式后，成为一个整式的完全平方，那么加上的这个单项式可以是 4、一元二次方程x2-px+1=0配方后为(x-q)2=15，那么一元二次方程x2-px-1=0配方后为（ ） A. (x-4)2=17 B. (x+4)2=15 C. (x+4)2=17 D. (x-4)2=17或(x+4)2=17 5、若x为任意实数，则x2+4x+7的最小值为__________ ★★★★当x=_______时，代数式3x2-2x+1有最_______（填大或小）值为_______ 6、用配方法证明：关于x的方程(m2-12m+37)x2+3mx+1=0，无论m为何值，此方程都是一元二次方程。
7、不论x、y是什么实数，代数式x2+y2+2x-4y+7的值（ ） A. 总不小于2 B. 总不小于7 C. 可以为任何实数 D. 可能为负数 8、a，b，c是△ABC的三边长，且满足a2+b2+c2-ab-ac-bc=0，则△ABC是（ ） A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等腰直角三角形 D.等边三角形 9、若实数a，b，c满足a2+6b= -17，b2+8c= -23,，c2+2a=14，求a+b+c的值
10、已知A=a+2，B=a2-a+5，C=a2+5a-19，其中a＞2 （1）求证：B-A＞0 （2）比较A与C的大小，并说明理由
11、用配方法解方程 （1）232xx （2）23410xx （5）2(1)2(1)8xx 1、（2013年浙江温州5分） 方程0122xx的根是__________ 2、若方程2x2+mx+1=0，且b2-4ac的值是16，则m=__________ 3、已知方程2x2+4x+c=0，且b2-4ac=0，则方程的根为 4、已知关于x的一元二次方程(ax+1)(x-a)=a-2的各项系数之和等于3，求方程的解。
5、用求根公式法解方程 （1）22x5x30 （2) 22x13x
1、（2013•珠海）已知一元二次方程：①x2+2x+3=0，②x2﹣2x﹣3=0．下列说法正确的是（ ） A．①②都有实数解 B．①无实数解，②有实数解 C．①有实数解，②无实数解 D．①②都无实数解 2、（2013•咸宁）关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+3=0有实数根，则整数a的最大值是（ ）
A．2 B．1 C．0 D．﹣1
3、（2013兰州）若，且一元二次方程kx2+ax+b=0有两个实数根，则k的取值范围是
★★★★★已知关于x的一元二次方程(1-2k)x2-2kx-1=0有实数根，求k的取值范围。
4、已知关于x的一元二次方程04222kxx有两个不相等的实数根 （1）求k的取值范围； （2）若k为正整数，且该方程的根都是整数，求k的值。
5、已知关于x的方程x2-(2k+1)x+4(k-12)=0 （1）求证：这个方程总有两个实数根 （2）若等腰△ABC的一边长a=4，另两边长b，c恰好是这个方程的两个实数根，求△ABC的周长。