八年级专题培优讲义：等腰三角形的性质的综合运用

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等腰三角形的性质及应用讲义

初二数学讲义等腰三角形的性质及应用等腰三角形的性质：性质1▲等腰三角形的两个底角相等。

（简写成: 等边对等角. ）性质2▲等腰三角形的、底边上的、底边上的互相重合。

（简写成:等腰三角形的“三线合一”）性质3▲ 等腰三角形是轴对称图形，底边的垂直平分线是它的对称轴．用几何符号语言表达：性质1性质2注意：△ABC 中，如果AB ＝AC ，D 在BC 上，那么由条件①∠1＝∠2，②AD ⊥AC ，③BD ＝CD 中的任意一个都可以推出另外两个.（为了方便记忆可以说成“知一求二” ）等腰三角形的三边的关系，三个内角的关系1.某等腰三角形的两条边长分别为3cm 和6cm ，则它的周长为( )A ．9cm Ｂ．12cm Ｃ．15cm Ｄ．12cm 或15cm2.已知等腰三角形的周长为24cm ，一腰长是底边长的2倍，则腰长是( )A ．4.8cmB ．9.6cmC ．2.4cmD ．1.2cm3.若等腰三角形中有一个角等于50︒，则这个等腰三角形的顶角的度数为( )A ．50︒ Ｂ．80︒ Ｃ．65︒或50︒ Ｄ．50︒或80︒∵AB ＝AC∴∠B ＝∠C （等边对等角）∵AB ＝AC ，AD ⊥BC ，∴∠1＝∠____，BD ＝_____；（等腰三角形的“三线合一”）∵AB ＝AC ，∠1＝∠2， ∴AD ⊥_____，BD ＝______；（等腰三角形的“三线合一”） ∵AB ＝AC ，BD ＝CD ， ∴∠1＝∠___，AD ⊥_____.（等腰三角形的“三线合一”）【例1】如图，等腰三角形ABC中，已知AB=AC，∠A=30°，AB的垂直平分线交AC于D，求∠CBD的度数．【例2】在ABC∆中，AB AC=，BC BD ED EA===．求A∠的度数．【例3】已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为60︒，求三角形三个内角的度数．【例4】如图所示，已知ABC∆中，D、E为BC边上的点，且AD AE=，BD EC=，求证：AB AC=．AB CD E例题精讲【例5】ABC ∆中，22.5B ∠=︒，边AB 的垂直平分线交BC 于D ，DF AC ⊥于F ，交BC 边上的高于G ．求证：EG EC =．1.已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为50︒，求三角形三个内角的度数．2. 如图，ABC △中，AB AC =，36A ∠=，DE 垂直平分AC ，求BCD ∠的度数.3. 如图，点D 、E 在△ABC 的边BC 上，AB ＝AC ，AD ＝AE ，求证：BD ＝CE 。

培优专题等腰三角形(含答案)

9、等腰三角形【知识精读】（－）等腰三角形的性质1. 有关定理及其推论定理：等腰三角形有两边相等；定理：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。

推论1：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，这就是说，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。

推论2：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°。

等腰三角形是以底边的垂直平分线为对称轴的轴对称图形；2. 定理及其推论的作用等腰三角形的性质定理揭示了三角形中边相等与角相等之间的关系，由两边相等推出两角相等，是今后证明两角相等常用的依据之一。

等腰三角形底边上的中线、底边上的高、顶角的平分线“三线合一”的性质是今后证明两条线段相等，两个角相等以及两条直线互相垂直的重要依据。

（二）等腰三角形的判定1. 有关的定理及其推论定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”。

）推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形。

推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。

推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

2. 定理及其推论的作用。

等腰三角形的判定定理揭示了三角形中角与边的转化关系，它是证明线段相等的重要定理，也是把三角形中角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据，是本节的重点。

3. 等腰三角形中常用的辅助线等腰三角形顶角平分线、底边上的高、底边上的中线常常作为解决有关等腰三角形问题的辅助线，由于这条线可以把顶角和底边折半，所以常通过它来证明线段或角的倍分问题，在等腰三角形中，虽然顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合，添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时需要作顶角的平分线，有时则需要作高或中线，这要视具体情况来定。

【分类解读】例1. 如图，已知在等边三角形ABC 中，D 是AC 的中点，E 为BC 延长线上一点，且CE ＝CD ，DM ⊥BC ，垂足为M 。

人教版八年级数学上册等腰三角形的性质讲义

等腰三角形的性质知识点一、等腰三角形的概念与性质顾名思义，至少有两边相等的三角形叫等腰三角形，这两条边就是等腰三角形的“腰”，另一边叫做“底边”腰和底边的夹角叫做“底角”，两腰的夹角叫做“顶角”如图，过等腰三角形ABC的顶点A，作垂线AD⊥BC于D，则△ADB与△ADC有什么关系？为什么？等腰三角形性质总结：1、两腰相等2、两底角相等3、等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。

（简称：三线合一）例1、等腰三角形的一个外角等于100°，则这个三角形的三个内角分别为（）A、50°，50°，80°B、80°，80°，20°C、100°，100°，20°D、50°，50°，80°或80°，80°，20°例2、等腰三角形中的一个角等于100°，则另两个内角的度数分别为（）A 、40°，40°B 、100°，20°C 、50°，50°D 、40°，40°或100°，20°例3、一个等腰三角形的一边是6，周长是12，则它的三边长分别为_____________1、已知等腰三角形的一个内角为70°，则另外两个内角的度数是（）A 、55°，55°B 、70°，40°C 、55°，55°或70°，40°D 、以上都不对2、在下列命题中，正确的是（）A 、等腰三角形是锐角三角形B 、等腰三角形两腰上的高相等C 、两个等腰直角三角形全等D 、等腰三角形的角平分线是中线3、已知等腰三角形的一边长为5cm ，另一边长为6cm ，则它的周长为（）A 、11cmB 、17cmC 、16cmD 、16cm 或17cm4、在ABC ∆中，x BC AC AB ==,，若ABC ∆的周长为24，则x 的取值范围是（）A 、121≤≤xB 、120≤<xC 、120<<xD 、126<<x5、三角形一边上的高和这边上的中线重合，则这个三角形一定是（）A 、锐角三角形B 、钝角三角形C 、等腰三角形D 、等边三角形6、若△ABC三条边的长度分别为m,n,p,且()02=-+-pnnm，则这个三角形为（）A．等腰三角形 B.等边三角形C．直角三角形 D.等腰直角三角形7、有一个内角为40°的等腰三角形的另外两个内角的度数为______.8、有一个内角为140°的等腰三角形的另外两个内角的度数为________.9、如果△ABC中，AB=AC，它的两边长为2cm和4cm，那么它的周长为________.10、如果等腰三角形的三边均为整数且它的周长为cm10，那么它的三边长为______.11、如果等腰三角形的周长为cm18，那么它的底边x的取值范围是_______.12、已知等腰三角形的一个顶角与一个底角的和为︒110，则其顶角的度数为______.13、等边三角形的周长为cm15，则它的边长为________14、在等腰三角形中，如果顶角是一个底角的2倍，那么顶角等于_____度；如果一个底角是顶角的2倍，那么顶角等于_______度.15、如图，AB=AC，AD⊥BC交BC于点D，BD=5cm，那么BC的长为_________.16、如图，D是等腰三角形ABC的腰AC上一点，DE⊥AC于E，EF⊥AB于F，若∠BDE=158°，则∠DEF=_____.17、如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，BD是△ABC的角平分线，求∠ADB的度数。

专题08 等腰三角形(考点串讲)(解析版)

专题08 等腰三角形【考点剖析】1.等腰三角形的性质（1）等腰三角形性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）（2）等腰三角形性质2：文字：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简称：等腰三角的三线合一）图形：如下所示；21DCBA符号：在ABC ∆中，AB ＝AC ，1212,,;,,;,12.BD CD AD BC AD B BD CD AD BC C BD CD ∠=∠⎧⎪=⊥∠=∠⊥∠=∠⎨⎪⊥⎩==若则若则若，则2.等腰三角形的判定（1）等腰三角形的判定方法1：（定义法）有两条边相等的三角形是等腰三角形；（2）等腰三角形的判定方法2：有两个角相等的三角形是等腰三角形；(简称：等角对等边)3.等边三角形的性质（1）等边三角形性质1：等边三角形的三条边都相等；（2）等边三角形性质2：等边三角形的每个内角等于60︒；（3）等边三角形性质3：等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴.4.等边三角形的判定（1）等边三角形的判定方法1：（定义法：从边看）有三条边相等的三角形是等边三角形；（2）等边三角形的判定方法2：（从角看）三个内角都相等的三角形是等边三角形；（3）等边三角形的判定方法3：（从边、角看）有一个内角等于60︒的等腰三角形是等边三角形. 【典例分析】例1 （杨浦2019期末14）在ABC ∆中，AB=AC ，把ABC ∆折叠，使点B 与点A 重合，折痕交AB 于点M ，交BC 于点N. 如果CAN ∆是等腰三角形，则B ∠的度数为 . 【答案】4536︒︒或；【解析】因为把ABC ∆折叠，使点B 与点A 重合，折痕交AB 于点M ，交BC 于点N.所以MN 是AB 的中垂线，∴NB=BA ，B BAN ∴∠=∠，AB AC B C =∴∠=∠Q ，设B x ∠=，则C BAN x ∠=∠=. （1）当AN=NC 时，CAN C x ∠=∠=，在ABC ∆中，根据三角形内角和定理得4180x =︒，得45x =︒，故45B ∠=︒；（2）当AN=AC 时，ANC C x ∠=∠=，而ANC B BAN ∠=∠+∠，故此时不成立；（3）当CA=CN 时，1802x NAC ANC ︒-∠=∠=，于是得1801802xx x x ︒-+++=︒，解得36x =︒. 综上所述：4536B ∠=︒︒或.NM CBA例2 （浦东2018期末18）如图，在ABC ∆中，A=120,=40B ∠︒∠︒，如果过点A 的一条直线把ABC ∆分割成两个等腰三角形，直线l 与BC 交于点D ，那么ADC ∠的度数是 .CBA【答案】14080︒︒或；【解析】如图所示，把BAC ∠分为1000︒︒和2或者4080︒︒和，可得ADC=14080∠︒︒或.ABCDC BA20°80°80°40°40°20°20°40°40°100°例3 （闵行2018期末17）有下列三个等式①AB ＝DC ；②BE ＝CE ；②∠B ＝∠C ．如果从这三个等式中选出两个作为条件，能推出Rt △AED 是等腰三角形，你认为这两个条件可以是（写出一种即可）EDCBA【答案】①②或①③或②③．（答案不唯一）【解析】解：当AB ＝DC ，BE ＝CE ，∠AEB ＝∠DEC 时，Rt △ABE ≌Rt △DCE （HL ），故AE ＝DE ，即Rt △AED 是等腰三角形；当AB ＝DC ，∠B ＝∠C ，∠AEB ＝∠DEC 时，△ABE ≌△DCE （AAS ），故AE ＝DE ，即Rt △AED 是等腰三角形；当BE ＝CE ，∠B ＝∠C ，∠AEB ＝∠DEC 时，△ABE ≌△DCE （ASA ），故AE ＝DE ，即Rt △AED 是等腰三角形．故答案为：①②或①③或②③．（答案不唯一）例4 （黄浦2018期末27）如图，在ABC ∆中，AD BC ⊥,垂足为点D ，AD 平分BAC ∠，点O 是线段AD 上一点，线段的延长线交边AC 于点F ，线段CO 的延长线交边AB 于点E ．（1）说明ABC ∆是等腰三角形的理由；（2）说明BF=CE 的理由.O FE DC BA【答案与解析】（1）AD BC ADB=ADC ⊥∴∠∠Q ，Q AD 平分BAC ∠，BAD=CAD ∴∠∠.ADB=DAC+ACD ADC=BAD+ABD ∠∠∠∠∠∠Q ，，ABD=ACD ∴∠∠，AB=AC ∴即ABC ∆是等腰三角形；（2）ABC ∆Q 是等腰三角形，AD BC ⊥,BD=CD ∴.在BDO CDO ∆∆与中，DO DO ADB ADC BD CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，BDO CDO ∴∆∆≌OBD OCD ∴∠=∠.在BEC CFB ∆∆与中ECB FBCBC CBABC ACB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩BEC CFB ∴∆∆≌，BF CE ∴=. 【真题训练】一、选择题1.（宝山2018期末18）如图7，在ABC ∆中，AB=AC ，30A ∠=︒，以B 为圆心，BC 的长为半径作弧，交AC 于点D ，联结BD ，则ABD ∠等于（）A. 45︒；B. 50︒；C. 60︒；D. 75︒.DABC【答案】A ；【解析】因为在ABC ∆中，AB=AC ，30A ∠=︒，所以18030752ABC ACB ︒-︒∠=∠==︒，又因为以B为圆心，BC 的长为半径作弧，交AC 于点D ，所以,75BD BC BCA BDC =∴∠=∠=︒，30CBD ∴∠=︒，故753045ABD ABC CBD ∠=∠-∠=︒-︒=︒. 故答案选A.2．（长宁2019期末20）在平面直角坐标系，O 为坐标原点，点A的坐标为，M 为坐标轴上一点，且使得MOA ∆为等腰三角形，那么满足条件的点M 的个数为（） A. 4； B.5； C.6； D.8 【答案】C ；【解析】分三种情况：（1）当OA=OM 时，可得M 点坐标可以为：（0，2）、（0，-2）、（2，0）、（-2，0）；当AO=AM 时，M 点坐标可以为（2，0）、(0,；当MO=MA 时，（2，0）、(0,3；故一共有6个不同的点. 故选C. 二、填空题3.（浦东2018期末13）已知一个等腰三角形两边长分别为2和4，那么这个等腰三角形的周长是 . 【答案】10；【解析】依题，（1）若腰长为2、底为4，不可能构成等腰三角形，舍去；（2）若腰长为4、底为2，符合题意，周长为4+4+2=10；由上可知，这个等腰三角形的周长为10. 4.（宝山2018期末7）已知实数x 、y满足|3|0x -=，那么以x 、y 的值为两边长的等腰三角形的周长是 . 【答案】15；【解析】因为实数x 、y满足|3|0x -=，所以x=3，y=6，故符合题意的等腰三角形三边长分别为6、6、3，故此等腰三角形的周长为6+6+3=15.5．（闵行2018期末15）如图，直线l 1∥l 2∥l 3，等边△ABC 的顶点B 、C 分别在直线l 2、l 3上，若边BC 与直线l 3的夹角∠1＝25°，则边AB 与直线l 1的夹角∠2＝．l 3l 2l 1【答案】35°．【解析】解：∵直线l 1∥l 2∥l 3，∠1＝25°，∴∠1＝∠3＝25°．∵△ABC 是等边三角形， ∴∠ABC ＝60°，∴∠4＝60°﹣25°＝35°，∴∠2＝∠4＝35°．故答案为：35°．1l 2l 36．（普陀2018期末17）如图，已知△ABC 中，∠ABC 的角平分线BE 交AC 于点E ，DE ∥BC ，如果点D 是边AB 的中点，AB=8，那么DE 的长是．E D CBA【答案】4；【解析】解：连接BE ，∵BE 平分∠ABC ，∴∠ABE=∠CBE ，∵DE ∥BC ，∴∠DEB=∠ABE ， ∴∠ABE=∠DEB ，∴BD=DE ，∵D 是AB 的中点，∴AB=BD ，∴DE=12AB=4，故答案为：4 AD BCE7.（宝山2018期末13）如图，已知Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，AC=AE ，BC=BD ，则ACD BCE ∠+∠= ______-︒.ECBA【答案】45；【解析】过点C 作CH AB ⊥于点H ，因为AC ＝AE ，所以ACE AEC ∠=∠，因为CH AB ⊥，所以90AEC HCE ∠+∠=︒，又90ACE BCE ∠+∠=︒，所以=BCE HCE ∠∠；同理可得：ACD HCD ∠=∠；故+=+BCE ACD HCE HCD ∠∠∠∠即+=45BCE ACD ∠∠︒．HED CBA8.（黄浦2018期末19）已知等腰三角形的一个内角为50度，则这个等腰三角形的顶角为 ︒. 【答案】50︒或80︒；【解析】（1）当顶角为50︒时，这个等腰三角形的顶角为50︒；（2）当底角为50︒时，则顶角为180-250=80︒⨯︒︒；综上述，这个等腰三角形的顶角为50︒或80︒.9.（长宁2018期末14）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40︒，那么这个等腰三角形的顶角为____度.【答案】50130︒︒或.【解析】（1）如下图1，4050ABD A ∠=︒∴∠=︒，（2）如图2，40130ABD BAC ∠=︒∴∠=︒，故这个等腰三角形的顶角为50130︒︒或（图2）(图1）10.（黄浦2018期末14）等腰三角形底边上的中线垂直于底边且平分顶角，用符号来表示为：如图，如果在ABC ∆中，AB=AC ，且，那么AD BC ⊥且 .DCBA【答案】BD=CD ；BAD CAD ∠=∠；【解析】等腰三角形底边上的中线垂直于底边且平分顶角，用符号来表示为：如图，如果在ABC ∆中，AB=AC ，且BD=CD ，那么AD BC ⊥且BAD CAD ∠=∠.故答案为：BD=CD ；BAD CAD ∠=∠. 11.（杨浦2019期末13）如图，已知在ABC ∆中，AB=AC ，点D 在边BC 上，要使BD=CD ，还需添加一个条件，这个条件是 .（只需填上一个正确的条件）D B A【答案】BAD CAD ∠=∠或者AD BC ⊥（只填一个）【解析】解：在ABC ∆中，AB=AC ，BAD CAD ∠=∠，BD CD ∴=；或者在ABC ∆中，AB=AC ，AD BC ⊥，BD CD ∴=；故答案为：BAD CAD ∠=∠或者AD BC ⊥. 考查等腰三角形的三线合一。

13.3等腰三角形培优讲义华东师大版数学八年级上册

华师培优第10课等腰三角形知识点一、等腰三角形的性质性质：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）推论：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边。

即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合（简称：三线合一）。

【例1】一位工人师傅测量一个等腰三角形工件的腰，底及底边上的高，并按顺序记录下数据，量完后，不小心与其他记录的数据记混了，请你帮助这位师傅从下列数据中找出等腰三角形工件的数据（）A．13，10，10B．13，10，12C．13，12，12D．13，10，11【变式】在等腰ABC中，AB＝AC，一边上的中线BD将这个三角形的周长分为15和12两个部分，则这个等腰三角形的底边长为（）A.7B.11C.7或11 D．7或10【例2】如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC边上的点，且∠1=∠2，CD=BE．CD 与BE相交于点O．求证：（1）AB=AC；（2）OB=OC．【变式】（1）如图，△ABC中BA=BC，点D是AB延长线上一点，DF⊥AC于F交BC 于E，求证：△DBE是等腰三角形．（2）已知，如图，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD和BE交于H，且BE＝AE.求证：AH＝2BD.知识点二、等腰三角形的判定判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）。

推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形。

推论2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。

推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

【例3】已知：如图，BE 和CF 是ABC 的高线，BE=CF ，H 是CF 、BE 的交点．求证：HB=HC【例4】如图，△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=120°，AD ⊥AC 交BC 于点D ，求证：BC=3AD.【变式】（1）如图，△ABC 中，∠C=2∠B ，∠1=∠2，试说明：AB=AC+CD ．（2）已知:如图，△BDE 是等边三角形，A 在BE 延长线上，C 在BD 的延长线上，且AD=AC 。

人教版数学八年级上册教研专题讲义：等腰三角形的一条重要性质及应用

人教版数学八年级上册等腰三角形的一条重要性质及其应用等腰三角形是一种特殊的三角形，独特的性质是其特殊性的明显变现.下面的这条性质就是一个重要佐证.性质：平行于等腰三角形的一边，截三角形的两边或两边的延长线，所得三角形是等腰三角形. 推论：平行于等边三角形的一边，截三角形的两边或两边的延长线，所得三角形是等边三角形. 下面给出性质的证明：已知：如图1，△ABC中，AB=AC，DE∥AB，交AC边于点D，交BC边于点E.求证：△DEC是等腰三角形.分析：只要证明三角形中有两条边相等即可.证明:因为AB=AC，所以∠B=∠C.因为DE∥AB，所以∠B=∠DEC，所以∠DEC=∠C，所以DE=DC，所以△DEC是等腰三角形.当截延长线时，如图2，请你自己给出证明吧.比较容易的.推论的证明在这里不详细给出了.下面我们重要的是谈谈性质在解题中的应用.注意，构造平行线将是应用的主要辅助线.1.证明线段的相等例1 已知：如图3，△ABC中，AB=AC，点D是边AB上一点，点F是底边BC上一点，DF 的延长线于AC的延长线交于点E，若DF=EF.求证：BD=CE.分析：△ABC是等腰三角形，根据性质，我们有两种构造辅助线的方法：一是过点F作平行线，一是过点D作平行线，通过与已知条件的对接，发现方式1效果不明显，于是我们采用第二种方式，这样再利用三角形的全等，我们就可以顺利实现目标.证明：过点D作 DG∥AC，交BC于点G，因为AB=AC，所以∠B=∠ACB.因为DG∥AB，所以∠ACB=∠DGB，所以∠DGB=∠B，所以DB=DG.因为DG∥AB，所以∠GDF=∠CEF，∠DGF=∠ECF，在△DGF和△ECF中因为GDF CEFDGF ECFDF EF∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，所以△DGF≌△ECF，所以CE=GD，因为GD=DB，所以DB=CE.例2 已知，如图4，点D在等边三角形ABC的边AB上，点F在边AC上，连接DF并延长交BC的延长线于点E，EF=FD．求证：AD=CE．分析：作DG∥BC交AC于G，先证明△DFG≌△EFC，得出GD=CE，再证明△ADG是等边三角形，得出AD=GD，即可得出结论．证明：作DG∥BC交AC于G，如图4所示：则∠ADG=∠B，∠AGD=∠ACB，因为△ABC是等边三角形，所以△ADG是等边三角形,所以DG=AD.因为DG∥BC，所以∠GDF=∠CEF，∠DGF=∠ECF，在△DGF和△ECF中因为GDF CEFDGF ECFDF EF∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，所以△DGF≌△ECF，所以CE=GD，因为GD=AD，所以AD=CE.当平行线截三角形的两边延长线时，可以得到如下证明方法：证明：作E G∥AB交AC的延长线于G，如图5所示：则∠A=∠G，∠ACB=∠ECG，因为△ABC 是等边三角形，所以△ECG是等边三角形，所以EG=CE.因为EG∥AB，所以∠G=∠A，∠ADF=∠GEF，在△ADF和△GEF中因为G AGEF ADFEF DF∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，所以△ADF≌△GEF，所以GE=AD，因为GE=CE，所以AD=CE.当我们学习了三角形的中位线定理后，还可以用如下的方法：证明：作E G∥AC交BA的延长线于G，如图6所示：则∠G=∠BAC，∠BEG=∠BCA，因为△ABC 是等边三角形，所以△BEG是等边三角形，所以BG=BE，所以BE-BC=BG-BC=BG-BA，所以CE=AG. 因为EG∥AC，DF=EF,所以AD=AG，因为AG=CE，所以AD=CE.此题也给我们还多的启示：保持其它条件不变，两组相等的线段互换一下，鄂伦当条件，条件当结论，能成立吗？不妨试一下：变式题：已知，如图4，点D在等边三角形ABC的边AB上，点F在边AC上，连接DF并延长交BC的延长线于点E，AD=CE．求证：EF=FD．分析：作DG∥BC交AC于G，先证明△ADG是等边三角形，得出AD=GD，得出GD=CE，再证明△DFG≌△EFC，即可得出结论．证明：作DG∥BC交AC于G，如图4所示：则∠ADG=∠B，∠AGD=∠ACB，因为△ABC是等边三角形，所以△ADG是等边三角形,所以DG=AD.因为AD=CE，所以GD=CE.因为DG∥BC，所以∠GDF=∠CEF，∠DGF=∠ECF，在△DGF和△ECF中因为GDF CEFDGF ECFDG CE∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，所以△DGF≌△ECF，所以DF=EF.你还有更好的变式题吗？想一想.2.证明三角形全等，判定三角形的形状例3 已知，如图7，点D在等边三角形ABC的边AB上，将线段DB顺时针旋转60°，得到线段DE，延长ED交AC于点F.（1）连接AE,CD，求证：△ADE≌△DFC；（2）作EH∥DC交AB于G点,交BC于点H，判定△AEH的形状．分析：旋转60°，就是说∠EDG=∠ADF=∠B=60°，从而得到EF∥BC，可以利用性质了. 证明：（1）因为段DB顺时针旋转60°，得到线段DE，△ABC是等边三角形，所以∠EDG=∠ADF=∠B=60°，所以EF∥BC，所以△ADF是等边三角形，所以AD=DF.所以AB-AD=AC-AF，所以DB=CF，所以DE=CF.因为∠ADF=∠AFD=60°，所以∠ADE=∠DFC=120°.在△ADE和△DFC中因为AD DFADE DFCDE CF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，所以△ADE≌△DFC.(2) △AEH是等边三角形.理由可能要用到平行四边形的性质，可以先试着理解.因为EF∥BC，EH∥DC，所以四边形EHCD是平行四边形，所以EH=CD，∠DEH=∠DCH.所以EH=AE, ∠AEH=∠AED+∠DEH=∠DCH+∠DCF=∠ACB=60°，所以△AEH是等边三角形.3.求三角形的周长例4 已知，如图8，△ABC中，BD平分∠ABC，且BD⊥AC，DE∥BC与AB交于点，BC=5,AC=4.求△ADE的周长.分析：条件：BD平分∠ABC，且BD⊥AC，可以断定三角形ABC是等腰三角形，结合条件DE∥BC可以判定三角形AED是等腰三角形，BED是等腰三角形，这样问题就解决了.解：因为BD平分∠ABC，且BD⊥AC，所以AB=BC，AD=CD.因为DE∥BC，所以AE=ED=EB，所以△ADE的周长为：AE+ED+AD=AE+EB=AD=AB+AD=BC+AD=BC+12AC=5+2=7.通过应用足以见证性质的重要性，请同学们要努力学习并熟练掌握.。

八年级数学培优竞赛专题17 等腰三角形的判定

专题17 等腰三角形的判定阅读与思考在学习了等腰三角形性质与判定后，我们可以对等腰三角形的判定、证明线段相等的方法作出归纳总结．1．等腰三角形的判定：⑴从定义入手，证明一个三角形的两条边相等； ⑵从角入手，证明一个三角形的两个角相等． 2．证明线段相等的方法：⑴当所证的两条线段位于两个三角形，通过全等三角形证明； ⑵当所证的两条线段位于同一个三角形，通过等角对等边证明； ⑶寻找某条线段，证明所证的两条线段都与它相等．善于发现、构造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质为解题服务，是解几何题的一个常用技巧．常见的构造方法有：平分线+平行线、平分线+垂线、中线+垂线．如图所示：例题与求解【例1】如图，在△ABC 中，AB =7，AC =11，点M 是BC 的中点，AD 是∠BAC 的平分线，MF ∥AD ，则CF 的长为____________．（全国初中数学竞赛试题）解题思路：角平分线+平行线易构造等腰三角形，解题的关键是利用条件“中点M ”．【例2】如图，在△ABC 中，∠B =2∠C ，则AC 与2AB 之间的关系是（） A ．AC ＞2AB B ．AC ＝2AB C ．AC ≤2AB D ．AC ＜2AB(山东省竞赛试题)解题思路：如何条件∠B =2∠C ，如何得到2AB ，这是解本题的关键．ABCABDM FC【例3】两个全等的含300，600角的三角板ADE 和三角板ABC ，如图所示放置，E 、A 、C 三点在一条直线上，连结BD ，取BD 中点M ，连结ME ，MC ，试判断△EMC 的形状，并说明理由．（山东省中考试题）解题思路：从△ADE ≌△BAC 出发，先确定△ADB 的形状，为判断△EMC 的形状奠定基础．【例4】如图，已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE =AC ，延长BE 交AC 于F ，求证：AF =EF ．（天津市竞赛试题）解题思路：只需证明∠F AE =∠AEF ，利用中线倍长，构造全等三角形、等腰三角形．【例5】如图，在等腰△ABC 中，AB =AC ，∠A =200，在边AB 上取点D ，使AD =BC ，求∠BDC 度数．（“祖冲之杯”竞赛试题）解题思路：由条件知底角为300，这些角并不是特殊角，但它们的差却为600，600使我们联想到等边三角形，由此找到切入口．如图1，以BC 为边在△ABC 内作等边△BCO ；如图②，以AC 为边作等边△ACE ．ABCMD EEA BDCF能力训练A 级1．已知△ABC 为等腰三角形，由顶点A 所引BC 边的高线恰等于BC 边长的一半，则 ∠BAC =__________．2．如图，在Rt △ABC 中，∠C =900，∠ABC =660，△ABC 以点C 为中点旋转到△A ′B ′C 的位置，顶点B 在斜边A ′B ′上，A ′C 与AB 相交于D ，则∠BDC =_________．3．如图，△ABC 是边长为6的等边三角形，DE ⊥BC 于E ，EF ⊥AC 于F ，FD ⊥AB 于D ，则AD =_______．（天津市竞赛试题）4．如图，一个六边形的六个内角都是1200，其连续四边的长依次是1cm ，9cm ，9cm ，5cm ，那么这个六边形的周长是____________cm ．（“祖冲之杯”邀请赛试题）5．如图，△ABC 中，AB =AC ，∠B =360，D 、E 是BC 上两点，使∠ADE =∠AED =2∠BAD ，则图中等腰三角形共有（）A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个6．若△ABC 的三边长是a ，b ，c ，且满足44422a b c b c =+-，44422b ac a c =+-，44422c a b a b =+-，则△ABC （）A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形（“希望杯”邀请赛试题）BCA D图2B CA D图1O ADBB ′A ′(第2题)AB CDEF (第3题)(第4题)9915BCAD7．等腰三角形一腰上的高等于该三角形某一条边的长度的一半，则其顶角等于（） A ．300 B ．300或1500 C ．1200或1500 D ．300或1200或1500（“希望杯”邀请赛试题）8．如图，已知Rt △ABC 中，∠C =900，∠A =300，在直线BC 或AC 上取一点P ，使得△P AB 是等腰三角形，则符合条件的P 点有（）A ．2个B ．4个C ．6个D ．8个（江苏省竞赛试题）第5题图第8题图第9题图9．如图在等腰Rt △ABC 中，∠ACB =900，D 为BC 中点，DE ⊥AB ，垂足为E ，过点B 作BF ∥AC 交DE 的延长线于点F ，连接CF 交AD 于G ．⑴ 求证：AD ⊥CF ；⑵ 连结AF ，度判断△ACF 的形状，并说明理由．10．如图，△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，∠B =2∠C ，求证：AB +BD =CD ．（天津市竞赛试题）11．如图，已知△ABC 是等边三角形，E 是AC 延长线上一点，选择一点D ，使得△CDE 是等边三角形，如果M 是线段AD 的中点，N 是线段BE 的中点，求证：△CMN 是等边三角形．（江苏省竞赛试题）B ACDBACBCABCADFG E12．如图1，Rt △ABC 中，∠ACB =900，CD ⊥AB ，垂足为D ，AF 平分∠CAB ，交CD 于点E ，交CB 于点F ．⑴ 求证：CE =CF ；⑵ 将图1中的△ADE 沿AB 向右平移到△A ′D ′E 的位置，使点E ′落在BC 边上，其他条件不变，如图2所示，试猜想：BE ′与CF 有怎样的数量关系？请证明你的结论．（山西省中考试题）B 级1．如图，△ABC 中，AD 平分∠BAC ，AB +BD =AC ，则∠B ：∠C 的值=__________．2．如图，△ABC 的两边AB 、AC 的垂直平分线分别交BC 于D 、E ，若∠BAC +∠DAE =1500，则∠BAC 的度数是____________．3．在等边△ABC 所在平面内求一点P ，使△P AB 、△PBC 、△P AC 都是等腰三角形，具有这样性质的点P 有_________个．4．如图，在△ABC 中，∠ABC =600，∠ACB =450，AD 、CF 都是高，相交于P ，角平分线BE 分别交AD 、CF 于Q 、S ，则图中的等腰三角形的个数是（）A ．2B ．3C ．4D ．5A BDFE C图1A B D FE C图2A ′E ′D ′ABC(第1题)(第2题)ABD E CENMBD5．如图，在五边形ABCDE中，∠A=∠B=1200，EA=AB=BC=12DC=12DE，则∠D=（）A．300 B．450 C．600 D．67.50（“希望杯”竞赛试题）6．如图，∠MAN=160，A1点在AM上，在AN上取一点A2，使A2A1=AA1，再在AM上取一点A3，使A3A2=A2A1，如此一直作下去，到不能再作为止，那么作出的最后一点是（）A．A5B．A6C．A7D．A87．若P为△ABC所在平面内一点，且∠APB=∠BPC=∠CP A=1200，则点P叫作△ABC的费尔马点，如图1．⑴若点P为锐角△ABC的费尔马点，且∠ABC=600，P A=3，PC=4，则PB的值为_____．⑵如图2，在锐角△ABC外侧作等边△ACB′，连结BB′．求证：BB′过△ABC的费尔马点P，且BB′=P A+PB+PC．（湖州市中考试题）8．如图，△ABC中，∠BAC=600，∠ACB=400，P、Q分别在BC、AC上，并且AP、BQ分别是∠BAC、∠ABC的角平分线，求证：BQ+AQ=AB+BP．（全国初中数学联赛试题）AB P QCABPACBB′图1 图2AB D CEF PQS(第4题) A BCED第5题AA1NMA2A3(第6题)9．如图，在△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，M 是BC 的中点，过M 作ME ∥AD 交BA 延长线于E ，交AC 于F ，求证：BE =CF =12(AB +AC )．（重庆市竞赛试题）10．在等边△ABC 的边BC 上任取一点D ，作∠DAE =600，DE 交∠C 的外角平分线于E ，那么△ADE 是什么三角形？证明你的结论．（《学习报》公开赛试题）11．如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，直线l ：12y x m =-+与x 轴、y 轴的正半轴分别相交于点A 、B ，过点C (－4，－4)作平行于y 轴的直线交AB 于点D ，CD =10．⑴求直线l 的解析式；⑵求证：△ABC 是等腰直角三角形；⑶将直线l 沿y 轴负方向平移，当平移恰当的距离时，直线与x ，y 轴分别相交于点A ′、B ′，在直线CD 上存在点P ，使得△A ′B ′P 是等腰直角三角形，请直接写出所有符合条件的点P 的坐标．（宁波市江东区模拟题）ABD CFE12．如图1，在平面直角坐标系中，△AOB为等腰直角三角形，A(4，4)．⑴求B点坐标；⑵如图2，若C为x轴正半轴上一动点，以AC为直角边作等腰直角△ACD，∠ACD=900，连接OD，求∠AOD度数；⑶如图3，过点A作y轴于E，F为x轴负半轴上一点，G在EF的延长线上，以EG为直角边作等腰Rt△EGH，过A作x轴垂线交EH于点M，连接FM，等式AM FMOF=1是否成立？若成立，请证明；若不成立，说明理由．图1 图2 图3八年级数学培优竞赛专题。

专题训练(三) 等腰三角形的性质和判定的综合

解：(1)PD＝PE.连接 CP，则 CP⊥AB，CP 平分∠ACB，∴∠BPC＝90°， ∠PCD＝∠PCB＝∠B＝45°，∴PC＝PB，又∠DPE＝90°，易证∠DPC ＝∠EPB，∴△PCD≌△PBE(ASA)，∴PD＝PE (2)能，当点 E 在 CB 上时，分三种情况：①若 PB＝PE，则∠PEB＝∠ABC＝45°，此时，∠BPE ＝90°，点 D 与点 A 重合，点 E 与点 C 重合；②若 PE＝BE，则∠EPB 1 ＝∠ABC＝45°，∠PEB＝90°；③若 BE＝PB，则∠PEB＝∠BPE＝ × 2 (180°－∠ABC)＝67.5°；当点 E 在 CB 的延长线上时，∠PBE＝135°，是钝角，只能做顶角，故只有一种情况，即 BE＝PB，则∠PEB＝∠BPE 1 ＝ ×(180°－135°)＝22.5°.综上可知，∠PEB 为 45°，90°，67.5°， 2 22.5°时，△PBE 能构成等腰三角形
6．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝2，将一块三角板的直角顶点放在斜边AB的中点P处，将此三角板绕点P旋转，三角板的两直角边分别交射线AC，CB于点D，E，图①，②，③是旋转得到的三种图形． (1)观察图①，②，③中线段PD和PE之间有怎样的大小关系，并以图②为例，加以说明； (2)△PBE是否能构成等腰三角形？若能，求出∠PEB的度数；若不能，请说明理由．
解：(1)∵∠ABC＝45°，CD⊥AB，∴∠BCD＝∠ABC＝45°，∴BD ＝CD，又∠BDF＝∠CDA＝90°， BE⊥AC， ∴∠DBF＋∠A＝∠ACD ＋∠ A＝ 90 ° ，∴∠ DBF ＝∠ ACD ， ∴△ BDF ≌△ CDA(ASA) ， ∴ BF ＝AC (2)∵在△ABC 中，BE⊥AC，BE 平分∠ABC，∴∠BCE＝∠ 1 1 BAE，∴BA＝BC，∴CE＝ AC，又 AC＝BF，∴CE＝ BF (3)BG＞ 2 2 CE.证明：连接 CG，∵BD＝CD，H 为 BC 的中点，∴DH⊥BC，即 DH 为 BC 的垂直平分线，∴BG＝CG.在 Rt△CEG 中，CG＞CE，∴ BG＞CE

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专题讲义等腰三角形的性质运用
夯实基础
1．已知等腰三角形的一个内角为40°，则这个等腰三角形的顶角为( ) A ．40° B ．100° C ．40°或70° D ．40°或100°
2. 一个等腰三角形两边长分别为20和10，则周长为（） A ．40 B ．50 C ．40或50 D ．不能确定
3．如图，在△ABC 中，BC ＝8，AB 的中垂线交BC 于D ，AC 的中垂线交BC 于E ，则△ADE 的周长等于（） A ．8 B ．4 C ．12 D ．16
4.如图，折叠长方形纸片ABCD ，沿对角线BD 折叠，使DC 落在DC′处，交AB 于G ，（1）求证：DG=GB （2）图中全等的三角形共有______ 对。

例题剖析
遇直角△可构“一线三垂直”模型，证全等
【例1】在平面直角坐标系中，点A (4，0)、B (0，8)，以AB 为斜边作等腰直角△ABC ，则点C 坐标为__________
【例2】如图，在等腰△ABC 中，AB ＝AC ，射线BC 上有一动点G ，GE ⊥AC 于E ，
GF ⊥AB 于F ，AB 上的高为CD 。

（1）当G 在BC 间运动时，求证：GE+GF=CD 。

（2）当G 运动到BC 外时，试判断出GE 、GF 、CD 间关系，并加以证明。

G
F E D
C
B
A
C '
G D C B A
【例3】如图，△ABC 中，AB ＝AC ，且BD ＝CE ，连结DE 交BC 于G ，
试判断线段DG 与EG 的长度有怎样的关系，证明你的结论。

【例4】如图，等腰Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CA=CB ，点D 在AB 上，AD=AC ，BE ⊥直线CD 于E
（1）求∠BCD 的度数；（2）求证：CD=2BE ；
（3）若点O 是AB 的中点，请直接写出三条线段CB 、BD 、CO 之间的数量关系．
【例5】已知如图，AB ⊥BC ，CD ⊥BC ，∠AMB=75°，∠DMC=45°，AM=MD ，求证：AB=BC 。

【例6】如图，△ABC 为等边三角形，D 、E 为两动点，两动点分别从C 点和A 点出发，沿CB 和AC 方向以相同的速度运动，AD 与BE 交于F 点，试判断∠AFE 的度数是否变化，若不变，求出其值，若变化，求出其范围。

【例7】如图，已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上的一点，且BE ＝AC ，延长BE 交AC 于F ，求证：AF ＝EF 。

G E
D C
B A M
C
B
D
A
F
B
E
D
A F
E D
C
B
A
课后练习：
1.如图，在∠ABA 1中，∠B ＝52°，AB ＝A 1B ，在A 1B 上取一点C ，延长AA 1到A 2，使得A 1A 2＝A 1C ，在A 2C 上取一点D ，延长A 1A 2到A 3，使得A 2A 3＝A 2D ，……，按此做法进行下去，A 7的度数为____________度
2.在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠CAB ＝36°，在直线AC 或BC 上取点M ，使得△MAB 为等腰三角形，符合条件的M 点有___________个
3. 如图，在等腰△ABC 中，AB ＝AC ，顶角∠A ＝20°，在AB 上取点D ，使AD ＝BC ，则∠BDC______。

4.如图所示DE 是三角形ABC 的BC 边上的两点，并且BD=DE=EC=AD=AE ，则∠BAC 的度数为________ 。

第1题图第3题图第4题图
5.如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，EF 为过点A 的任一直线， CF ⊥BC ，BE ⊥BC ，求证：AE ＝AF 。

6.如图，△ABC 中，AB ＝AC ，在
BA 的延长线上取AE ＝AF ，求证：EF ⊥BC 。

7.如图，在△ABC 中，D 在AC 上，E 在AB 上，且AB ＝AC ，BC ＝BD ，AD ＝DE ＝BE ，求∠A 的度数
F
E
C
B
A
F E C B A D C
B A
E
D C B A
8．已知，如图，三角形ABC 是正三角形，D 是AC 的中点，E 是BC 延长线上的一点，且CE=2
1
BC ，你能找出图中所有的等腰三角形吗？试试看，并说明理由。

9．我们知道：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．类似地，我们定义：至少有一组对边相等的四边形叫做等对边四边形．（1）如图，在ABC △中，点D E ，分别在AB AC ，上，设
CD BE ，相交于点O ，若60A ∠=°，1
2
DCB EBC A ∠=∠=∠．请
你写出图中一个与A ∠相等的角，并猜想图中哪个四边形是等对边四边形；
（2）在ABC △中，如果A ∠是不等于60°的锐角，点D E ，分别在AB AC ，上，且
1
2
DCB EBC A ∠=∠=∠．探究：满足上述条件的图形中是否存在等对边四边形，并证明你的结论．
E D
B A
B
A
D
E
C O。