高数中的重要定理与公式及其证明一
高数重要定理(高数上下)
4.如果欲证等式，则再应用介值定理即可证明；如果欲证不等式，
则继续取绝对值放大、缩小即可证明.
1．水平渐近线
若 xli→m∞ f (x)= A ( 或 xl→im+∞ f (x)= A或 xl→im−∞ f (x)= A),则 y = A是曲线
y= f (x)的一条水平渐近线．
2．垂直（竖直、铅直）渐近线
g(x) (3) 已知lim f (x)g(x)= A，lim f (x)=∞，
则limg(x)=0.
1.连续函数的和，差，积，商（分母不为零）及复合仍连续. 2.初等函数在其定义区间内处处连续. 3.闭区间上连续函数的性质
(1)最值性:若 f (x)在[a,b]上连续, 则 f (x)在[a,b]上必有最大值
（1）高阶：若lim α ( x) = 0，记为α ( x) = ο[β ( x)]; β ( x)
（2）低阶：若lim α ( x) = ∞，记为β ( x) = ο[α ( x)]; β ( x)
（3）同阶： 若lim α ( x) = C ≠ 0,记为α ( x) = O[β ( x)]; β ( x)
(ln
x).
(4) ∫ f (
x)
dx x
=
2∫
f
(
x)d(
x ).
(5) ∫ f (cos x)sin xdx = −∫ f (cos x) d (cos x).
(6)
∫
f
⎛ ⎜⎝
1 x
⎞ ⎟⎠
dx x2
=
−∫
f
⎛ ⎜⎝
1 x
⎞⎟⎠d
⎛ ⎜⎝
1 x
⎞⎟⎠.
定积分的性质：
(1)
a
高数中的重要定理与公式及其证明
高数中的重要定理与公式及其证明（一）考研数学中最让考生头疼的当属证明题，而征服证明题的第一关就是教材上种类繁多的定理证明。
如果本着严谨的对待数学的态度，一切定理的推导过程都是应该掌握的。
但考研数学毕竟不是数学系的考试，很多时候要求没有那么高。
而有些定理的证明又过于复杂，硬要要求自己掌握的话很多时候可能是又费时又费力，最后还弄得自己一头雾水。
因此，在这方面可以有所取舍。
现将高数中需要掌握证明过程的公式定理总结如下。
这些证明过程，或是直接的考点，或是蕴含了重要的解题思想方法，在复习的初期，先掌握这些证明过程是必要的。
1）常用的极限0ln(1)lim 1x x x →+=，01lim 1x x e x →-=，01lim ln x x a a x →-=，0(1)1lim a x x a x →+-=，201cos 1lim 2x x x →-= 【点评】：这几个公式大家在计算极限的过程中都再熟悉不过了，但有没有人想过它们的由来呢？事实上，这几个公式都是两个重要极限1lim(1)xx x e →+=与0sin lim1x xx→=的推论，它们的推导过程中也蕴含了计算极限中一些很基本的方法技巧。
证明：0ln(1)lim 1x x x →+=：由极限10lim(1)x x x e →+=两边同时取对数即得0ln(1)lim 1x x x→+=。
01lim 1x x e x →-=：在等式0ln(1)lim 1x x x →+=中，令ln(1)x t +=，则1t x e =-。
由于极限过程是0x →，此时也有0t →，因此有0lim11t t te →=-。
极限的值与取极限的符号是无关的，因此我们可以吧式中的t 换成x ，再取倒数即得01lim1x x e x→-=。
01lim ln x x a a x →-=：利用对数恒等式得ln 0011lim lim x x a x x a e x x →→--=，再利用第二个极限可得ln ln 0011limln lim ln ln x a x a x x e e a a x x a →→--==。
高数里边的常规理论
高数里边的常规理论
高数马勒戈壁定理指的是费马定理、泰勒公式、拉格朗日定理、罗必达法则。
费马定理：当整数n >2时，关于x, y, z的方程 x^n + y^n = z^n 没有正整数解。
泰勒公式：可以用若干项连加式来表示一个函数，这些相加的项由函数在某一点的导数求得。
拉格朗日定理：存在于多个学科领域中，分别为：微积分中的拉格朗日中值定理；数论中的四平方和定理；群论中的拉格朗日定理(群论)。
洛必达法则：是在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法。
众所周知，两个无穷小之比或两个无穷大之比的极限可能存在，也可能不存在。
德国人沃尔夫斯凯尔曾宣布以10万马克作为奖金奖给在他逝世后一百年内，第一个证明该定理的人，吸引了不少人尝试并递交他们的“证明”。
费马大定理被提出后，经历多人猜想辩证，历经三百多年的历史，最终在1995年，英国数学家安德鲁·怀尔斯宣布自己证明了费马大定理。
费马大定理与黎曼猜想已经成为广义相对论和量子力学融合的m 理论几何拓扑载体。
高数中物理应用常见公式
高数中物理应用常见公式高等数学中物理应用的常见公式非常多，下面列举了一些常见的公式及其应用：1. 牛顿第二定律：F = ma这是质点运动学的基本定律，描述了一个质点受到的力与它的加速度和质量的关系。
2.圆周运动的速度和加速度：速度公式：v=ωr加速度公式：a=ω²r这些公式用于描述物体在圆周运动中的速度和加速度与角速度、半径的关系。
3.牛顿万有引力定律：F=Gm₁m₂/r²这个公式描述了两个物体之间的引力与它们的质量和距离的关系，是解释行星运动、万有重力等现象的基础。
4.动能定理：ΔK=W这个公式描述了物体动能变化与外力所做的功之间的关系。
5. 阻力公式：F = kv这个公式描述了一个物体受到的空气阻力与它的速度的关系，其中k 为阻力系数。
6.万有引力势能：U=-Gm₁m₂/r这个公式描述了两个物体之间的引力势能与它们的质量和距离的关系。
7.能量守恒定律：E=K+U这个公式描述了一个系统的总能量，其中E为系统的总能量，K为动能，U为势能。
8.简谐振动的周期和频率：周期公式：T=2π√(m/k)频率公式：f=1/T这些公式用于描述质点在简谐振动中的周期和频率与质量和弹性系数的关系。
9.热传导定律：q=kAΔt/Δx这个公式描述了传热过程中热量的传导与温度差、传导系数、传导路径的关系。
10.雷诺数：Re=ρvL/η这个公式描述了流体流动中惯性力与黏性力的关系，其中ρ为流体密度，v为流速，L为特征长度，η为动力黏度。
这只是部分高等数学中物理应用的常见公式，还有很多其他的公式和应用。
在物理学中，公式只是数学描述实际规律的工具，更重要的是理解其背后的物理原理和概念。
高等数学十大定理公式
高等数学十大定理公式高等数学十大定理公式有有界性、最值定理、零点定理、费马定理、罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理、泰勒定理（泰勒公式）、积分中值定理（平均值定理）。
1、有界性|f(x)|≤K2、最值定理m≤f(x)≤M3、介值定理若m≤μ≤M，∃ξ∈[a,b]，使f(ξ)=μ4、零点定理若f(a)⋅f(b)<0∃ξ∈(a,b) ，使f(ξ)=05、费马定理设f(x)在x0处：1，可导2，取极值，则f′(x0)=06、罗尔定理若f(x)在[a,b] 连续，在(a,b) 可导，且f(a)=f(b) ，则∃ξ∈(a,b) ，使得f′(ξ)=07、拉格朗日中值定理若f(x)在[a,b] 连续，在(a,b) 可导，则∃ξ∈(a,b) ，使得f(b)−f(a)=f′(ξ)(b−a)8、柯西中值定理若f(x)、g(x)在[a,b] 连续，在(a,b) 可导，且g′(x)≠0 ，则∃ξ∈(a,b) ，使得f(b)−f(a)g(b)−g(a)=f′(ξ)g′(ξ)9、泰勒定理（泰勒公式）n阶带皮亚诺余项：条件为在$x_0$处n阶可导$f(x)=f(x_0)f'(x_0)(x-x_0)+\dfrac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+...+\dfra c{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+o((x-x_0)^n)\ ,x\xrightarrow{} x_0$ n阶带拉格朗日余项：条件为n+1阶可导$f(x)=f(x_0)f'(x_0)(x-x_0)+\dfrac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+...+\dfra c{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+\dfrac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0 )^{n+1}\ ,x\xrightarrow{} x_0$10、积分中值定理（平均值定理）若f(x)在[a,b] 连续，则∃ξ∈(a,b)，使得∫baf(x)dx=f(ξ)(b−a)。
高等数学必背公式大全
高等数学必背公式大全1、勾股定理：a2+b2=c22、椭圆方程：(x-x0)2/a2+(y-y0)2/b2=13、两点公式：，P1P2，=√((x2-x1)2+(y2-y1)2)4、双曲线方程：a2（x2/b2）-(y2/c2)=15、圆的方程：(x-x0)2+(y-y0)2=r26、三角形公式：a2+b2=c27、直线方程：y = kx + b （斜率k和截距b）8、斜率定理：m1*m2=-1/K29、余弦定理：a2 = b2 + c2 - 2bc*cosA10、正弦定理：a * sinA = b * sinB = c * sinC11、贝塞尔曲线方程：(x-x0)4+(y-y0)4=r412、三角函数公式：sin2A + cos2A = 113、极坐标方程：r = a * e(acosθ + bsinθ)14、反正弦定理：y = arcsin(x/a) + c15、偏微分公式：dy/dx = (dy/du) * (du/dx)16、平面四边形公式：a2+b2=c2+d217、反余弦定理：y = arccos(x/a) + c18、三角形面积公式：S = 1/2 * a * b * sinC19、多边形内角和公式：(n-2)*π=∑(内角弧度)20、抛物线公式：y=ax2+bx+c21、多项式求导公式：f'(x) = an-1 * xn-1 + an-2 * xn-2 + …… + a1 * x + a022、函数变换公式：f(x+h) = f(x) + hf'(x)23、矩阵乘法公式：(AB)ij = ∑k=1n(Aik*Bkj)24、求和公式：∑(a1+an)*n/225、模除法：a / b = a mod b + b * (a div b)26、几何平均数公式：(a1*a2*a3*……*an)^(1/n)27、距离公式：L=(x2-x1)^2+(y2-y1)^228、几何中点公式：(x1+x2)/2,(y1+y2)/229、坐标转换公式：x = x0 + (x-x0)cosα - (y-y0)sinα。
高等数学常用公式与定理总结
高等数学常用公式与定理总结作为一门基础学科，高等数学在各个领域中发挥着重要的作用。
学习高等数学，掌握一些常用的公式与定理是非常必要的。
本文将对高等数学常用的公式与定理进行总结，以供读者参考和下载使用。
一、常用公式总结1. 三角函数公式- 正弦定理：在三角形ABC中，边长分别为a、b、c，对应的角为A、B、C，那么有：a/sinA = b/sinB = c/sinC- 余弦定理：在三角形ABC中，边长分别为a、b、c，对应的角为A、B、C，那么有：c^2 = a^2 + b^2 - 2abcosC- 正切公式：tan(A+B) = (tanA + tanB) / (1 - tanA*tanB)2. 导数与微分公式- 导数的链式法则：若y = f(u)和u = g(x)都可导，则复合函数y = f(g(x))的导数为：dy/dx = f'(g(x)) * g'(x)- 微分的乘法法则：若z = u * v，则dz = u * dv + v * du- 微分的复合法则：若z = f(u)且u = g(x)都可导，则复合函数z = f(g(x))的微分为：dz = f'(g(x)) * g'(x) * dx3. 级数公式- 幂级数：若幂级数∑(n=0,∞)an(x-a)^n的收敛半径为R，则在收敛区间内函数f(x)的表达式为：f(x) = ∑(n=0,∞)an(x-a)^n- 等比数列的和：如果|q| < 1，则等比数列∑(n=0,∞)aq^n的和为：S = a / (1 - q)二、常用定理总结1. 一元函数极值定理设函数f(x)在[a, b]上连续，在(a, b)内可导，且在(a, b)内具有极值，那么它的极值点必定在(a, b)内的某个驻点或者两个端点上。
2. 泰勒公式设函数f(x)在点a附近有直到n阶的连续导数，那么函数在点a处的泰勒展开式为：f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)^2/2! + ... + f^n(a)(x-a)^n/n! + Rn(x)3. 全微分定理设函数z = f(x, y)在点(x0, y0)的某一邻域内偏导数存在且连续，那么在点(x0, y0)处可微分，且有：δz = ∂f/∂x * δx + ∂f/∂y * δy三、总结与下载通过本文的总结，我们对高等数学的常用公式与定理进行了梳理。
(整理)高等数学概念定理推论公式
高等数学概念、定理、推论、公式※ 函数及图形·和的绝对值不大于各项绝对值的和； ·差的绝对值不小于各项绝对值的差； ·乘积的绝对值等于各项绝对值的乘积；·商的绝对值等于被除数及除数的绝对值的商。
·若自变量x 在定义域X 内每取得一确定值时，函数只有一个确定值与之对应，这种函数叫单值函数；否则就是多值函数。
·若函数y=f(x)当x 改变符号时函数值也只改变符号，即F(-x)=-f(x)，此函数叫奇函数，奇函数对称于原点；若x 改变符号，函数值不变，即f(-x)=f(x)，即为偶函数，偶函数对称于y 轴。
·反函数的图形与直接函数(原函数)的图形对称于直线y=x※ 数列的极限及函数的极限·如果数列收敛，一定是有界的； ·有界的数列不一定都是收敛的； ·无界数列一定是发散的。
·如果0lim ()x x f x A →=，而且A >0(或A <0)，那么就存在着点x 0的某一邻域，当x 在该领域内，但x ≠x 0时，f(x)>0(或f(x )<0)。
·如果f(x)≥0(或f(x)≥0)，而且0lim ()x x f x A →=，那么A ≥0(或A ≤0)。
·函数f(x)当x →x0时极限存在的充分必要条件是左右极限都存在且相等。
·如果函数()f x 为无穷大，则1()f x 为无穷小；反之亦然(()f x ≠0)。
·具有极限的函数可表示为等于其极限的一个常数及无穷小的和；反之，如果函数可表示为常数及无穷小，则该常数就是函数的极限。
·有限个无穷小的和(代数和)也是窥小。
·有界函数与无穷小的乘积是无穷小，(常数乘以无穷小为无穷小，有限个无穷小的积是无穷小)。
·以极限不为零的函数除无穷小所得的商是无穷小。
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高数中的重要定理与公式及其证明(一)
考研数学中最让考生头疼的当属证明题,而征服证明题的第一关就就是教材上种类繁多的定理证明。
如果本着严谨的对待数学的态度,一切定理的推导过程都就是应该掌握的。
但考研数学毕竟不就是数学系的考试,很多时候要求没有那么高。
而有些定理的证明又过于复杂,硬要要求自己掌握的话很多时候可能就是又费时又费力,最后还弄得自己一头雾水。
因此,在这方面可以有所取舍。
现将高数中需要掌握证明过程的公式定理总结如下。
这些证明过程,或就是直接的考点,或就是蕴含了重要的解题思想方法,在复习的初期,先掌握这些证明过程就是必要的。
1)常用的极限
0ln(1)lim 1x x x →+=,01lim 1x x e x →-=,01lim ln x x a a x →-=,0(1)1lim a x x a x →+-=,201cos 1lim 2
x x x →-= 【点评】:这几个公式大家在计算极限的过程中都再熟悉不过了,但有没有人想过它们的由来呢？事实上,这几个公式都就是两个重要极限10lim(1)x
x x e →+=与0sin lim 1x x x
→=的推论,它们的推导过程中也蕴含了计算极限中一些很基本的方法技巧。
证明:
0ln(1)lim 1x x x →+=:由极限10lim(1)x x x e →+=两边同时取对数即得0ln(1)lim 1x x x
→+=。
01lim 1x x e x →-=:在等式0ln(1)lim 1x x x
→+=中,令ln(1)x t +=,则1t x e =-。
由于极限过程就是0x →,此时也有0t →,因此有0lim 11
t t t e →=-。
极限的值与取极限的符号就是无关的,因此我们可以吧式中的t 换成x ,再取倒数即得01lim 1x x e x
→-=。
01lim ln x x a a x →-=:利用对数恒等式得ln 0011lim lim x x a x x a e x x
→→--=,再利用第二个极限可得ln ln 0011lim ln lim ln ln x a x a x x e e a a x x a →→--==。
因此有01lim ln x x a a x
→-=。
0(1)1lim a x x a x
→+-=:利用对数恒等式得 ln(1)ln(1)ln(1)00000(1)111ln(1)1ln(1)lim lim lim lim lim ln(1)ln(1)a a x a x a x x x x x x x e e x e x a a a x x a x x a x x +++→→→→→+---+-+====++上式中同时用到了第一个与第二个极限。
201cos 1lim 2
x x x →-=:利用倍角公式得2
2220002sin sin 1cos 1122lim lim lim 222x x x x x x x x x →→→⎛⎫ ⎪-=== ⎪ ⎪⎝⎭。
2)导数与微分的四则运算法则
'''''''''22(), d()(), d()(), d()(0)u v u v u v du dv
uv u v uv uv vdu udv
u vu uv u vdu udv v v v v v ±=±±=±=+=+--==≠
【点评】:这几个求导公式大家用得也很多,它们的证明需要用到导数的定义。
而导数的证明也恰恰就是很多考生的薄弱点,通过这几个公式可以强化相关的概念,避免到复习后期成为自己的知识漏洞。
具体的证明过程教材上有,这里就不赘述了。
3)链式法则
设(),()y f u u x ϕ==,如果()x ϕ在x 处可导,且()f u 在对应的()u x ϕ=处可导,则复合函数(())y f x ϕ=在x 处可导可导,且有:
[]'''(())()()dy dy du f x f u x dx du dx
ϕϕ==或
【点评】:同上。
4)反函数求导法则 设函数()y f x =在点x 的某领域内连续,在点0x 处可导且'()0f x ≠,并令其反函数为()x g y =,且0x 所对应的y 的值为0y ,则有:
'0''00111()()(())dx g y dy f x f g y dy dx
=
==或 【点评】:同上。
5)常见函数的导数
()'1x x ααα-=,
()
'sin cos x x =,()'cos sin x x =-, ()
'1ln x x =,()'1log ln a x x a =, ()'x x e e =,()'ln x x a e a =
【点评】:这些求导公式大家都很熟悉,但很少有人想过它们的由来。
实际上,掌握这几个公式的证明过程,不但可以帮助我们强化导数的定义这个薄弱点,对极限的计算也就是很好的练习。
现选取其中典型予以证明。
证明:
()'1x x ααα-=:导数的定义就是'0()()()lim x f x x f x f x x
∆→+∆-=∆,代入该公式得 ()'
1100(1)1(1)1()lim lim x x x x x x x x x x x x x x x x
x
ααααααααα--∆→∆→∆∆+-+-+∆
-====∆∆∆。
最后一步用到了极限0(1)1lim a x x a x
→+-=。
注意,这里的推导过程仅适用于0x ≠的情形。
0x =的情形需要另行推导,这种情况很简单,留给大家。
()
'sin cos x x =:利用导数定义()'0sin()sin sin lim x x x x x x ∆→+∆-=∆,由与差化积公式得002cos()sin sin()sin 22lim lim cos x x x x x x x x x x
x
∆→∆→∆∆++∆-==∆∆。
()'cos sin x x =-的证明类似。
()'1ln x x =
:利用导数定义()'00ln(1)ln()ln 1ln lim lim x x x x x x x x x x x ∆→∆→∆++∆-===∆∆。
()
'1log ln a x x a =的证明类似(利用换底公式ln log ln a x x a =)。
()'x x e e =:利用导数定义()()'001lim lim x x x x x x x x x e e e e e e x x
+∆∆∆→∆→--===∆∆。
()'ln x x a e a =的
证明类似(利用对数恒等式ln x x a a e )。