图形变换的研究与应用综述
几何变换的性质与应用
几何变换的性质与应用几何变换是数学中一个重要的概念，它描述了平面上的图形在空间中的移动、旋转、翻转和缩放等操作。
几何变换不仅在数学中有着重要的地位，而且在实际生活中也有着广泛的应用。
本文将从几何变换的性质和应用两个方面进行论述，以帮助中学生和他们的父母更好地理解和应用几何变换。
一、几何变换的性质1. 平移变换平移变换是指将图形沿着某个方向移动一定的距离，而不改变其形状和大小。
平移变换具有以下性质：（1）平移变换保持图形的对称性。
例如，一个正方形经过平移变换后仍然是一个正方形，只是位置发生了改变。
（2）平移变换保持图形的长度、角度和面积不变。
这是因为平移变换只是将图形整体移动，不改变其内部结构。
2. 旋转变换旋转变换是指将图形围绕某个点旋转一定的角度，而不改变其形状和大小。
旋转变换具有以下性质：（1）旋转变换保持图形的对称性。
例如，一个等边三角形经过旋转变换后仍然是一个等边三角形，只是方向发生了改变。
（2）旋转变换保持图形的长度、角度和面积不变。
这是因为旋转变换只是改变了图形的方向，不改变其内部结构。
3. 翻转变换翻转变换是指将图形关于某条直线对称，使得图形的每个点与直线上的对应点距离相等。
翻转变换具有以下性质：（1）翻转变换保持图形的对称性。
例如，一个长方形经过翻转变换后仍然是一个长方形，只是关于直线对称。
（2）翻转变换保持图形的长度、角度和面积不变。
这是因为翻转变换只是改变了图形的方向，不改变其内部结构。
二、几何变换的应用几何变换在实际生活中有着广泛的应用，下面将介绍几个常见的应用场景。
1. 地图导航地图导航是几何变换的典型应用之一。
通过将地图上的道路网络进行平移、旋转和缩放等变换，可以实现实时导航功能。
例如，当我们需要找到某个地点时，导航系统会根据我们的位置和目的地进行几何变换，将最佳路径显示在地图上。
2. 图像处理图像处理中的几何变换可以改变图像的大小、旋转角度和镜像等。
例如，当我们需要将一张图像进行放大或缩小时，就可以利用缩放变换实现。
计算机图形学第4章图形变换
反射变换
总结词
反射变换是将图形关于某一平面进行镜像反射的变换。
详细描述
反射变换可以通过指定一个法向量和反射平面来实现。法向量垂直于反射平面，指向反射方向。在二 维空间中，反射变换可以将图形关于x轴或y轴进行镜像反射；在三维空间中，反射变换可以将图形关 于某一平面进行镜像反射。
03
复合图形变换
组合变换
01
02
03
04
组合变换是指将多个基本图形 变换组合在一起，形成一个复
杂的变换过程。
组合变换可以通过将多个变换 矩阵相乘来实现，最终得到一
个复合变换矩阵。
组合变换可以应用于各种图形 变换场景，如旋转、缩放、平
移、倾斜等。
组合变换需要注意变换的顺序 和矩阵的乘法顺序，不同的顺 序可能导致不同的变换结果。
矩阵变换
矩阵变换是指通过矩阵运算对图形进 行变换的方法。
常见的矩阵变换包括平移矩阵、旋转 矩阵、缩放矩阵和倾斜矩阵等。
矩阵变换可以通过将变换矩阵与图形 顶点坐标相乘来实现，得到变换后的 新坐标。
矩阵变换具有数学表达式的简洁性和 可操作性，是计算机图形学中常用的 图形变换方法之一。
仿射变换
仿射变换是指保持图形中点与 点之间的线性关系不变的变换。
05
应用实例
游戏中的图形变换
角色动画
通过图形变换技术，游戏中的角 色可以完成各种复杂的动作，如
跑、跳、攻击等。
场景变换
游戏中的场景可以通过图形变换 技术实现动态的缩放、旋转和平 移，为玩家提供更加丰富的视觉
体验。
特效制作
图形变换技术还可以用于制作游 戏中的特效，如爆炸、火焰、水
流等，提升游戏的视觉效果。
THANKS
计算机图形学之图形变换
4 T
3
2 p
1
0
012 34 567 8
线段和多边形的平移可以通过顶点的
平移来实现。同样线段和多边形的其它几 何变换也可以通过对顶点的几何变换来实 现。
2. 旋转变换(Rotation) 二维旋转有两个参数：
旋转中心： 旋转角：
？
6 P’
5
4
3
P
2
1
0
012 34 567 8
设OP与x轴的夹角为 则：
由于采用齐次坐标矩阵表示几何变换， 多个变换的序列相应地可以用矩阵链乘来表 示。
需要注意：先作用的变换其矩阵在右边， 后作用的变换其矩阵在左边。
变换函数
平移变换 void glTanslate{fd}(TYPE x, TYPE y, TYPE z);
旋转变换 void glRotate{fd}(TYPE angle, TYPE x, TYPE y, TYPE z); 绕矢量v=(x,y,z)T逆时针方向旋转angle指定的角度。 旋转角度的范围是0~360度。当angle=0时， glRotate()不起作用。
二维旋转有两个参数： 旋转中心： 旋转角：
上述变换可以分解为三个基本变换：
•平移：
•旋转：
•平移： 回原位。
使旋转中心移到坐标原点； 使旋转中心再移
二维旋转有两个参数： 旋转中心： 旋转角：
因此上述变换可以写成矩阵乘积形式：
4. 5 基本三维几何变换(Basic three-dimensional geometric transformation)
1. 矩阵表示(Matrix representation) 前面三种变换都可以表示为如下的矩
阵形式
图形的投影与变换
图形的投影与变换在我们的日常生活中，图形无处不在。
无论是建筑物的外观，还是艺术作品的构图，图形都扮演着重要的角色。
而对于图形的投影与变换，我们或许并不陌生。
在本文中，我们将探讨图形的投影与变换的概念、应用以及相关的数学原理。
一、图形的投影图形的投影是指将三维物体在二维平面上的映射。
在现实生活中，我们经常会观察到物体在光线照射下产生的投影。
例如，太阳光照射在建筑物上，形成了建筑物在地面上的投影。
在数学中，我们可以通过投影矩阵来描述图形的投影过程。
图形的投影可以分为平行投影和透视投影两种形式。
平行投影是指在投影过程中，光线是平行于投影平面的。
透视投影则是指在投影过程中，光线是从一个点出发的，即观察者的位置。
图形的投影不仅在建筑设计中有着重要的应用，还在计算机图形学中扮演着关键的角色。
在计算机图形学中，我们可以通过投影矩阵将三维物体投影到二维屏幕上，从而实现虚拟现实、游戏等领域的应用。
二、图形的变换除了投影之外，图形的变换也是图形学中的重要概念。
图形的变换包括平移、旋转、缩放等操作，可以改变图形的位置、方向和大小。
平移是指将图形沿着平移向量的方向移动一定的距离。
旋转是指将图形绕着旋转中心旋转一定的角度。
缩放则是指改变图形的大小，可以放大或缩小图形。
图形的变换在计算机图形学中也有着广泛的应用。
例如，在三维建模中，我们可以通过平移、旋转和缩放来改变模型的位置和形状。
在计算机动画中，图形的变换可以实现物体的运动和变形。
三、图形的投影与变换的数学原理图形的投影与变换涉及到一些数学原理。
投影矩阵是描述图形投影的数学工具，可以将三维物体投影到二维平面上。
在计算机图形学中，投影矩阵可以通过矩阵乘法来实现。
图形的变换也可以通过矩阵来描述。
平移、旋转和缩放操作可以分别表示为平移矩阵、旋转矩阵和缩放矩阵。
通过矩阵乘法，我们可以将图形的变换表示为一个矩阵乘法的组合。
除了矩阵乘法之外，还有一些其他的数学原理与图形的投影与变换密切相关。
二维图形相似性变换模型的研究及应用的开题报告
二维图形相似性变换模型的研究及应用的开题报告题目：二维图形相似性变换模型的研究及应用一、选题背景与意义在我们的日常生活和工作中，我们经常会发现一些二维图形在形状、大小、位置上有所不同，然而它们之间又存在着某种规律，其中，有一部分二维图形是通过相似性变换得到的，也就是说，它们具有相同的形状但是大小、位置或者给定转动角度可能不同。
因此，研究和掌握二维图形相似性变换模型及其应用，对于在计算机图形处理、计算机视觉、计算机辅助设计、建模与仿真等领域具有非常重要的理论与实际意义。
二、研究内容本文主要从以下三个方面进行研究：1. 二维图形相似性变换模型的概述和分类，包括平移、旋转、缩放变换以及它们的组合变换；2. 二维图形相似性变换模型的数学表示方法和算法，围绕二维坐标系的变换、点集的变换、向量的变换、矩阵的变换等方面展开；3. 二维图形相似性变换模型的应用，主要包括在图形处理、计算机视觉和计算机辅助设计、建模与仿真等领域中的应用。
三、研究方法和步骤1. 收集阅读相关文献，对二维图形相似性变换模型进行概述和分类；2. 掌握二维图形相似性变换模型的数学表示方法和算法，进行实验验证，确定适合的算法模型；3. 通过实际应用案例的分析和解决，来验证二维图形相似性变换模型的应用效果。
四、预期成果与创新点本文期望实现以下成果：1. 对二维图形相似性变换模型进行了全面的研究和概述，包括模型的基本概念、分类、数学表示方法和算法；2. 验证了二维图形相似性变换模型的应用效果，分析了应用案例的优缺点，为后续的优化改进提供了参考依据；3. 创新性的集成了图像处理、计算机视觉、计算机辅助设计、建模与仿真等多个领域的应用自然组织现象，提高了研究成果的应用价值。
五、论文大纲开题报告中暂不提供。
专题：初等几何变换综述
（三）轴对称变换 例：在河流 l 边建水泵站，分别向A、 B两村送水，怎样使所用水管最短? 试想：如果A、B两点处在 l 异侧，
A
B
l
P Q
A’ห้องสมุดไป่ตู้
比如A’，那就简单了。连结A‘B与 l 交于P点， 则P点就是所求位置。受此启发可得如下作法： 作A关于 l 的对称点A’，连接A’B与 l 交于P， 则P点就是建水泵站位置。为了证明结论，在 l 上任取一点Q，通过比较容易得证。 这是古老的饮马问题，在光学上有一定的应用。
本专题内容涉及初等几何方面的方法（变换）、技巧，新 概念、新定理，证明题、作图题、轨迹题，以便拓展几何知识、 开阔视野、与初等数学的教学联系、涉足研究等。
初等几何变换概述
把一个图形按照某种法则或规律变 成另一个图形的过程，可称作几何变换。 在几何变换中，图形的某些数量关系和几何 性质未发生变化，则称其为几何变换下的不变 量和不变性。 一、合同变换 定义 把图形F的点一一对应到图形F’，称为从F到F’的变 换。若该变换还具有保距性，则称为 从F到F’的合同变换。
例 在锐角三角形的所有内接三角形中， 垂足三角形的周长最短。(法格勒洛问题p165) 这里只介绍证法2（施瓦尔兹证法，1843-1921） 先给出一个引理：已知⊿ABC的垂足三角形是 ⊿PQR，求证∠A=∠1=∠2.（见p166，证法不同） A 证明：∵AQ⊥BC,CP⊥AB, P ∴A,P,Q,C四点共圆。 R 由圆内接四边形内角互补可知, 1 2 Q ∠1=∠A，同理∠2=∠A . B C
当A、B处于l同侧时, （1）AB⊥l, 有两解；
(教材上未讨论此情形，其作法不同上述)
A
O B l r O r l
（2）AB不垂直于l 一般情形下有两解. （3）AB∥l, 有一解。
几何图形的变形及应用
几何图形的变形及应用几何图形的变形及应用几何图形的变形是指通过对原始图形进行各种操作，如旋转、平移、缩放等，使得原始图形在空间中发生一系列的变化。
这些变形操作有着广泛的应用，不仅在数学中有重要意义，还被广泛应用于工程、建筑、计算机图形学等领域。
下面我将详细介绍几何图形的变形及其应用。
一、旋转变形旋转变形是指围绕某一点或某一轴进行旋转操作，使得图形在平面或空间中绕着旋转中心旋转一定角度。
旋转变形在数学中有着重要的意义，可以帮助我们理解角度的概念。
此外，旋转变形还广泛应用于建筑设计中，如设计建筑物的楼梯、扶梯等。
在计算机图形学中，旋转变形是实现三维模型的旋转和动画效果的重要手段。
二、平移变形平移变形是指将图形在平面或空间中沿着某一方向平行移动一定的距离。
平移变形是几何学中最基本的变形之一，也是最常见的变形操作之一。
平移变形在工程和建筑领域有着广泛的应用，如设计桥梁、道路等。
在计算机图形学中，平移变形是实现图像的平移和平面的变换的重要手段。
三、缩放变形缩放变形是指根据一定的比例因子来改变图形的大小。
缩放变形可以使图形变大或变小，可以使图形在平面或空间中保持比例不变或改变比例。
缩放变形在数学中有着重要的意义，可以帮助我们理解比例和相似性的概念。
此外，缩放变形还广泛应用于制图、地图的绘制以及工程设计中。
四、扭曲变形扭曲变形是指通过对图形的形状进行非线性变换，使得图形在平面或空间中呈现出曲线、弯曲或拉伸的效果。
扭曲变形在建筑和设计领域有广泛的应用，如设计柔性建筑结构、造型艺术品等。
在计算机图形学中，扭曲变形是实现特殊效果和形变动画的重要手段。
五、投影变形投影变形是指通过将三维空间中的物体映射到二维平面上，改变其形状和大小。
投影变形常用于绘画、摄影以及计算机图形学中。
常见的投影变形有平行投影、透视投影等。
在建筑和室内设计中，透视投影被广泛应用于模型的展示和效果图的制作中。
六、镜像变形镜像变形是指通过对图形进行对称操作，使得图形相对于某一轴或平面对称。
图形异变总结
图形异变总结概述图形异变指的是图形在形状、大小、位置等方面发生变化的现象。
图形异变在图像处理、计算机图形学、人工智能等领域中有着重要的应用。
本文将总结常见的图形异变方法和应用。
图形异变方法1. 形状变换形状变换是指通过改变图形的顶点位置或形态，实现图形的变形。
常见的形状变换方法有：•平移：将图形沿水平或垂直方向移动一定距离。
•缩放：按比例增大或缩小图形的尺寸。
•旋转：围绕一个中心点将图形旋转一定角度。
•扭曲：通过调整图形内部的点的位置，实现图形的弯曲或拉伸。
形状变换可以应用于图像处理、计算机游戏中的角色变形和动画制作等领域。
2. 颜色变换颜色变换是指改变图形的颜色以达到不同的视觉效果。
常见的颜色变换方法有：•色彩空间变换：将图形在不同的色彩空间之间转换，如RGB、CMYK、HSV等。
•色调调整：改变图形的整体色调，例如增加饱和度或改变色相。
•对比度调整：调整图形中亮度级别之间的差异，增加图形的清晰度和对比度。
颜色变换在图像处理、艺术设计、广告制作等领域具有重要的应用。
3. 变换矩阵变换矩阵是一种数学工具，通过矩阵运算可以对图形进行复杂的变换。
常见的变换矩阵包括平移矩阵、缩放矩阵、旋转矩阵等。
变换矩阵在计算机图形学、三维游戏开发等领域中被广泛应用，可以实现图形的复杂变换和动画效果。
图形异变应用1. 图像处理图像处理是指对数字图像进行各种操作和处理的技术。
图形异变方法在图像处理中有着广泛的应用，例如图像修复、特效添加、图像合成等。
通过图形异变方法，可以对图像进行形状、颜色、纹理等方面的变换，从而得到不同的图像效果。
2. 计算机图形学计算机图形学是研究如何使用计算机生成和操作图形的学科。
图形异变方法是计算机图形学中的基础技术之一。
在计算机图形学中，通过图形异变方法可以实现三维模型的变形、光照模拟、纹理映射等功能，从而生成逼真的计算机图形。
3. 人工智能图形异变方法在人工智能领域也有着重要的应用。
例如，在图像识别中，可以通过形状变换来实现对不同尺寸和姿态的目标物体的识别。
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（5.8） （5.6）
x ' x Tx 和 y ' y Ty
可利用矩阵形式表示为
( x ', y ') ( x, y ) (Tx, Ty )
(5.7)
歼击为 P'=P+T,T=[Tx
Ty]是平移变换矩阵（行矢量）。
（2）比例变换：图像比例缩放是指将给定的图像在 x 轴方向按比例缩放 fx 倍， 在 y 轴方向按比例缩放 fy 倍，从而获得一幅新的图像。如图 5.13(b) 所示，它改变显示图形的比例。新图形 P'的每个图元点的坐标值是原图形 P 中 每个图元点的坐标值分别乘以比例常数 Sx 和 Sy，所以对应点之间的坐标值满足
一、图形变换的概念
图形变换一般是指对图形的几何信息经过几何变换后产生新图形。 对于线框 图的变换，通常以点变换作为基础，把图形的一系列顶点作几何变换后，连接新 的顶点系列即可产生新的图形。 一般来说， 图形从输入到输出贯串着各种变换。被描述的对象所处的环境和 显示屏幕的环境是不同的，不仅位置不同，大多是情况下，尺寸也是不同的。这 要求协调二者的关系。 此外，三维的图形要在二维的图纸或屏幕上表示出来要通 过投影变换。为了从不同的方向去观察对象，要求 能对对象做旋转变换，放大 缩小和平移变换更是经常要用的。绘图过程中还要用窗口来规定要显示的内容， 用视区来规定在屏幕上或图纸上显示的位置。本章学习实现上述功能的算法。 计算机产生图形的过程大致可分为三步： 图形输入 图形处理 图形输出
点沿 直线 ax+by=0 逐渐走向无穷远处的过程。 2、二维图形的几何变换 二维几何变换包括平移、 比例和旋转变换。我们假设变换前和变换后的图 形坐标分别用（x,y）和（x',y'）表示。 （1）平移、比例和旋转变换 平移变换：如图 5.13（a）所示，它使图形移动位置。新图 P'的每一图元点 是原图形 P 中每个图元点在 x 和 y 方向分别移动 Tx 和 Ty 产生， 所以对应点之间 的坐标值满足 x ' xS x 和
2）俯视图
3）侧视图
三视图 4、斜平行投影 投影方向不垂直于投影平面的平行投影被称为斜平行投影，现在让 我们来推导斜平行投影的变换矩阵。 下图中的 Z=0 的坐标平面为观察平面， 点 （x， y）为点（x，y，z）在观察平面上的正平行投影坐标，点（x´，y´）为斜投影坐 标。（x，y）与（x´，y´）的距离为 L。 透视投影 透视投影的视线（投影线）是从视点（观察点）出发，视线是不平 行的。 不平行于投影平面的视线汇聚的一点称为灭点，在坐标轴上的灭点叫做主 灭点。主灭点数和投影平面切割坐标轴的数量相对应。按照主灭点的个数，透视 投影可分为一点透视、二点透视和三点透视。
3）绕坐标轴的旋转变换 三维空间的旋转相对要复杂些， 考虑右手坐标系下相对坐标原点绕坐标 轴旋转 q 角的变换： A.绕 x 轴旋转
B.绕 y 轴旋转
C.绕 z 轴旋转
三维空间的平移、旋转及缩放示意图 4）绕任意轴的旋转变换 设旋转轴 AB 由任意一点 A（xa，ya，za）及其方向数(a，b，c)定义，
下面我们来推导简单的一点透视的投影公式。
从上图 P 点在观察平面上的投影我们可以得到描述 P´点的参数方程：
用齐次坐标表示为：
三、图形变换的应用及发展前沿 1.智能 CAD
CAD 的发展也显现出智能化的趋势，就目前流行的大多数 CAD 软件来看， 主要功能是支持产品的后续阶段一一工程图的绘制和输出， 产品设计功能相对薄 弱， 利用 AutoCAD 最常用的功能还是交互式绘图， 如果要想进行产品设计， 最 基本的是要用其中的 AutoLisp 语言编写程序，有时还要用其他高级语言协助编 写，很不方便。而新一代的智能 CAD 系统可以实现从概念设计到结构设计的全 过程。 2.计算机辅助设计与制造 CAD/CAU 是计算机图形学在工业界最广泛、最活跃的应用领域。计算机图形 学被用来进行土建工程、机械结构和产品的设计,包括设计飞机、汽车、船舶的 外形和发电厂、化工厂等的布局以及电子线路、电子器件等。在电子工业中,计 算机图形学应用到集成电路、 印刷电路板、电子线路和网络分析等方面的优势是 十分明显的。 3.计算机动画艺术 计算机动画技术的发展是和许多其它学科的发展密切相关的。 计算机图形学、 计算机绘画、计算机音乐、计算机辅助设计、电影技术、电视技术、计算机软件 和硬件技术等众多学科的最新成果都对计算机动画技术的研究和发展起着十分 重要的推动作用。 计算机动画的一个重要应用就是制作电影特技 可以说电影特技的发展和计 算机动画的发展是相互促进的。计算机动画的应用领域十分宽广 除了用来制作 影视作品外， 在科学研究、视觉模拟、电子游戏、工业设计、教学训练、写真 仿真、过程控制、平面绘画、建筑设计等许多方面都有重要应用。 4.科学计算可视化 科学技术的迅猛发展,数据量的与日俱增使得人们对数据的分析和处理变得 越来越难,人们无法从数据海洋中得到最有用的数据,找到数据的变化规律,提取 最本质的特征。 但是如果能将这些数据用图形的形式表示出来,情况就不一样了, 事物的发展趋势和本质特征将会很清楚地呈现在人们面前。 5.虚拟现实 “虚拟现实”(Virbual ReMity)- 词是由美国喷气推动实验室(VPL)的创始 人拉尼尔(Jaron Lanier)首先提出的，在克鲁格(Myren Kruege070 年代中早期 实验里．被称为人工现实”(Afitifi Cial realioy)；而在吉布森(WiUian
Sx ( x ', y ') ( x, y ) 0 0 Sx
（5.9）
简记成 P’=P.S，其中 S 是比例变换矩阵。 (1). 图像的比例缩小变换 从数码技术的角度来说， 图像的缩小是将通过减少像素个数来实现的， 因此， 需要根据所期望缩小的尺寸数据，从原图像中选择合适的像素点，使图像缩小之 后可以尽可能保持原有图像的概貌特征不丢失。 (2) 图像的比例放大变换
可以通过下列步骤来实现 P 点的旋转： A. 将 A 点移到坐标原点。 B. 使 AB 分别绕 X 轴、Y 轴旋转适当角度与 Z 轴重合。
D.作上述变换的逆操作，使 AB 回到原来位置。
是 AB 在 YOZ 平面与 XOZ 平面的投影与 Z 轴的夹角。
3 图形的投影变换
1、投影变换分类 把三维物体变为二维图形表示的过程称为投影变换。 投影变换的分类情况如下表所示：
实数。 显然一个向量的齐次表示是不唯一的，齐次坐标的 h 取不同的值都表示的 是同一个点，比如齐次坐标[8,4,2]、[4,2,1]表示的都是二维点[2,1]。 那么引进齐次坐标有什么必要，它有什么优点呢？ 它提供了用矩阵运算把二维、 三维甚至高维空间中的一个点集从一个坐标系 变换到另一个坐标系的有效方法。 它可以表示无穷远的点。n+1 维的齐次坐标中如果 h=0，实际上就表示了 n 维空间的一个无穷远点。对于齐次坐标[a,b,h]，保持 a,b 不变，
计算机对图形数据进行处理，就是图形处理。 图形变换 --- 就是要变换图形的几何关系(即改变顶点坐标),同时保持图 形的原拓扑关系不变.图形变换的主要方法主要包括以下几种：
在数字化过程中， 由于地图的定向，即数字化仪坐标系与地图投影坐标系不 一致所 产 生 的 误 差 ， 可 以 通 过 坐 标 旋 转 得 到 校 正 也 就 是 用 户 根 据 获 得 或 设 计 的 原 始图像，按照需要产生大小、形状和位置的变化。对于输入 计算机中的图形数据，有时因为比例尺不符，或为了实现地图的合成与排版，需 要 对这些图形数据进行几何变换（线性变换），以满足地理信息系统应用的要求。 此外，地理信息系统所要表达、管 理及 分析的 对象 是空间实 体 ， 为了 能在二 维空 间 （屏 幕 或 绘 图 仪 ） 上 表示三维物体，就需进行三维空间到二维空间的变换，这种变换称为图形变换。 在遥感影像处理中影像预处理是最基础的工作但同时也是最重要的工作。 其 中影像的几何纠正更是重中之重。 影像配准是一向很繁重的工作且经验和技巧也 很重要。
x ' x cos y sin 和 y ' x sin y cos (5.10) cos 用矩阵形式表示为 ( x ', y ') ( x, y ) sin sin cos
（5.11）
简记为 P'=P.R，其中 R 是旋转变换矩阵。 （3）变换的组合 在齐次坐标中三种基本变换都用矩阵乘法表示， 从而可以通过基本变换矩阵 的连乘来实现变换组合， 以达到特殊变换的目的。 例如， 将图形绕任意点 A ( xr , yr ) 进行旋转变换。该变换可分为三个步骤来实现：利用平移变换 T 1( Xr , Yr ) 移动 图形，使点 ( xr , yr ) 移至坐标原点；利用旋转变换 R ( ) 产生绕在坐标原点的 A 点 的旋转； 再利用平移变换 T 2( Xr , Yr ) )移动旋转后的图形， 使 A 点回到 （ ( xr , yr ) 处。 任意矩阵的乘法满足结合律不满足交换律， 在进行连续变换时一定要按变换 次序对变换矩阵求积后才得总的变换矩阵。 这和在图形变换中不同次序的变换会 产生不同的变换结果一致。
课程设计（论文）
题目：图形变换的研究与应用综述
2013 年 12 月
摘要
计算机图形学(Computer Graphics， 简称 CG)是一种使用数学算法将二维或 三维图形转化为计算机显示器的栅格形式的科学。简单地说，计算机图形学的主 要研究内容就是研究如何在计算机中表示图形、 以及利用计算机进行图形的计算、 处理和显示的相关原理与算法。 计算机图形学作为计算机科学与技术学科的一个 独立分支已经历了近 40 年的发展历程。一方面,作为一个学科,计算机图形学在 图形基础算法、图形软件与图形硬件三方面取得了长足的进步,成为当代几乎所 有科学和工程技术领域用来加强信息理解和传递的技术和工具。 图形变换是计算机图形学的基础内容之一。 图形在计算机上的显示可以比喻 为用假想的照相机对物体进行拍照， 并将产生的照片贴在显示屏上的指定位置进 行观察的过程。三维物体要在屏幕上显示首先要做的就是投影变换。此外，还要 求能够对物体进行旋转、缩放、平移变换。绘图过程还要用窗口规定显示物体的 哪个部分，用视区来规定将窗口中的内容显示在屏幕上的什么位置。因此，通过 图形变换，可由简单图形生成复杂图形，可用二维图形表示三维形体，甚至可以 对静态图形经过快速变换而获得图形的动态显示效果， 可见图形变换在计算机图 形学中的重要之处。 图形变换的方法主要包括：齐次坐标技术，二、三维图形几何变换；平行投 影、透视投影变换；线段的 Cohen-Sutherland 裁剪、Liang-Basky 裁剪算法、 多边形的逐边裁剪、 双边裁剪算法。本文主要详细介绍了图形变换的齐次坐标技 术，二、三维的几何变换包括平移、比例和旋转变换，投影变换的理论知识。并 介绍了图形变换在现代科技中的应用及 其发展方向。 关键词：计算机图形学、图形变换、几何变换、投影变换、