第十模块()

第十模块空间几何体名师检测(A)时间：120分钟分值：150分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．)1．(2010·山东济南模拟)(能力题，中)如图所示，在正三棱锥S—ABC中，M、N分别是SC、BC的中点，且MN⊥AM，若侧棱SA＝23，则正三棱锥S—ABC外接球的表面积是()A．12πB．32πC．36πD．48π解析：在正三棱锥S—ABC中，易证SB⊥AC，又MN//12BS，∴MN⊥AC.∵MN⊥AM，∴MN⊥平面ACM，∴MN⊥SC.∴∠CSB＝∠CMN＝90°，即侧面为直角三角形，底面边长为2 6.此棱锥的高为2，设外接球半径为R，则(2－R)2＋(26×32×23)2＝R2，∴R＝3，∴外接球的表面积是36π.答案：C2．(2010·辽宁大连2月)(基础题，易)如图，正四面体ABCD 的棱长为a ，点E 、F 分别是棱BD 、BC 的中点，则平面AEF 截该正四面体的内切球所得截面的面积为( )A .πa 224B .πa 288C .πa 248D .πa 233解析：正四面体内切球半径大小等于正四面体高的14， 即R ＝14h ＝14·63a ＝612a ， 即可求得截面面积． 答案：D3.(基础题，易)侧面都是直角三角形的正棱锥，底面边长为a ，则此棱锥的全面积是( )A .3＋34a 2 B .3＋32a 2C .6＋34a 2D ．都不对解析：由于侧面是直角三角形，且棱锥为正三棱锥，由于底面边长为a ，则斜高h ′＝12a ，从而S 全＝S 侧＋S 底＝12·3a·12a ＋34a 2＝3＋34a 2.答案：A4.(基础题，易)棱长为a 的正方体中，连结相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为( )A .13a 3B .14a 3C .16a 3D .112a 3解析：正八面体可以看做两个正棱锥拼接而成，其中正四棱锥的棱长为22a ，高为12a.则V ＝2·13·(22a)2·12a ＝16a 3. 答案：C5．(山东高考题)(能力题，中)如图，在等腰梯形ABCD 中，AB ＝2DC ＝2BC ＝2，∠DAB ＝60°，E 为AB 的中点，将△ADE 与△BEC 分别沿ED 、EC 向上折起，使A 、B 重合于点P ，则三棱锥P —DCE 的外接球的体积为( )A .43π27B .6π2C .6π8D .6π24解析：由已知条件知，平面图形中AE ＝EB ＝BC ＝CD ＝DA ＝DE ＝EC ＝1，∴折叠后得到一个正四面体．方法1：作AF ⊥面DEC ，垂足为F ，F 即为△DEC 的中心． 取EC 中点G ，连接DG 、AG ， 过球心O 作OH ⊥面AEC ， 则垂足H 为△AEC 中心．∴外接球半径可利用△OHA ∽△AFG 求得． ∵AG ＝32，AF ＝1－(33)2＝63，AH ＝33.∴OA ＝AG·AH AF ＝32·3363＝64.∴外接球的体积为43π×OA 3＝43·π·6643＝68π.故选C .方法2：如图，把正四面体放在正方体中， 显然，正四面体的外接球就是正方体的外接球．∵正方体棱长为22，∴外接球直径2R ＝3·22， ∴R ＝64，∴体积为43π·(64)3＝68π. 故选C . 答案：C评析：与球有关的组合题是近几年高考中常考的题目，既可以考查空间想象能力及截面图的应用，又能考查学生的计算能力，在复习时，要注意总结一下常见的与球相切或与球内接形成的组合体中有关元素的求解．6.(能力题，中)如图中多面体是经过正四棱柱底面顶点B作截面A1BC1D1而截得的，已知AA1＝CC1，截面A1BC1D1与底面ABCD 成45°的二面角，AB＝1，则这个多面体的体积为()A.22B.33C.24D. 2解析：以正方形ABCD为底面，DD1为棱将上图补成一个正四棱柱ABCD—A2B1C2D1，如下图所示，∵截面A1BC1D1与底面ABCD成45°的二面角．∴原多面体的体积恰好为补成的正四棱柱体积的一半．∵AA1＝CC1，易知∠D1BD为截面与底面ABCD所成的二面角的平面角．∴∠D1BD＝45°.∵AB＝1，∴BD＝2，DD1＝ 2.∴正四棱柱ABCD—A2B1C2D1的体积V＝1×2＝ 2.∴所求多面体的体积为2 2.答案：A评析：本题提供了求不规则几何体体积的常用方法——补体法，通过补体构造出一个规则几何体，然后进行计算，另外，对于不规则几何体，还可以利用分割法求体积．7.(基础题，易)由若干个棱长为1的正方体拼成一个几何体，其三视图如图所示，则该几何体的体积等于()A．4 B．6C．8 D．9解析：根据三视图可知该几何体由4个棱长为1的正方体拼成，所以其体积等于4.答案：A8.(基础题，易)如图是一个正方体，它的展开图可能是下面四个展开图中的()解析：把握住4,6,8三个面有一个共同的顶点这一个特点．答案：A9．(能力题，中)如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝90°，AB≠AC，D、E分别是BC、AB的中点，AC＞AD，设PC与DE所成的角为α，PD与平面ABC所成的角为β，二面角P －BC－A的平面角为γ，则α、β、γ的大小关系是()A．α＜β＜γ B．α＜γ＜βC．β＜α＜γ D．γ＜β＜α解析：由题意可知过A作AF⊥BC交DC于F，连结PF，则PF⊥BC 则α＝∠PCA，β＝∠PDA，γ＝∠PFA.∵AC＞AD＞AF则α＜β＜γ答案：A10．(2010·宁夏银川一中二模)(基础题，易)已知m、n是两个不重合的直线，α、β、γ是三个两两不重合的平面，给出下列命题：①若m∥β，n∥β，m、n⊂α，则α∥β；②若α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝m，n⊂γ，则m⊥n；③若m⊥α，α⊥β，m∥n，则n∥β；④若n∥α，n∥β，α∩β＝m，那么m∥n.其中所有正确命题的个数是()A．1 B．2C．3 D．4答案：B11．(2010·山东淄博模拟)(基础题，易)已知平面α和两条不同直线m、n，则使m∥n成立的一个必要条件是()A．m∥α，n∥α B．m⊥α，n⊥αC．m∥α，n⊂α D．m，n与α成等角解析：使m∥n成立的一个必要条件也即由m∥n可推出A、B、C、D四个结果中的一个，对于A，m∥nD/⇒m∥α，n∥α，m、n可能均与α相交，对于B，m∥nD/⇒m⊥α，n⊥α，m、n与α不一定是直角；对于C，m∥nD/⇒m∥α，n⊂α，m、n可能都含于α，也可能都不含于α，也可能一个含于α，一个不含于α；对于D，m∥n⇒m、n与α成等角，无论是垂直还是成锐角或钝角或0度角，故选D.答案：D12．(2010·浙江嘉兴2月)(基础题，易)已知两个不同的平面α、β和两条不重合的直线m、n，有下列四个命题：①若m∥n，m⊥α，则n⊥α；②若m⊥α，m⊥β，则α∥β；③若m⊥α，m∥n，n⊂β，则α⊥β；④若m∥α，α∩β＝n，则m∥n.其中正确命题的个数是()A ．0B ．1C ．2D ．3解析：由线面垂直的判定知①正确；由面面平行的判定知②正确；由面面垂直的判定知③正确；因为m 不一定在β内，故④不一定正确，正确命题个数为3.答案：D二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在横线上)13．(2010·广东佛山二模)(基础题，易)如图，在长方体AC 1中，分别过BC 和A 1D 1的两个平行平面如果将长方体分成体积相等的三个部分，那么C 1NND 1＝________.解析：两个平行平面将长方体分成三个等高的三棱柱，从而S △AA 1G ＝S △GBMA 1＝S △MB 1B ，故C 1N ND 1＝B 1M MA 1＝12B 1M·BB 1MA 1·BB 1×2＝2S △BB 1MSGBMA 1＝2.答案：214.(2010·山东烟台模拟)(应用题，易)如图所示是一建筑物的三视图，现需将其外壁用油漆刷一遍，若每平方米用漆0.2 kg ，则共需油漆大约________kg .(尺寸如图所示，单位：米，π取3)解析：本题实质为求该建筑物面积(建筑物地面面积不包括在内)．S ＝4×4×3＋2π·32π·5·π·52＋π·32－3×3＝111(m 2)， 所需油漆111×0.2＝22.2 kg ，故答案为22.2. 答案：22.215.(基础题，易)一个正方体表面展开图中，五个正方形位置如图中阴影所示．第六个正方形在编号①到⑤的位置，则所有可能位置的编号是________．答案：②③16.(能力题，中)在△ABC 中，若BC ⊥AC ，AC ＝b ，BC ＝a ，则△ABC 的外接圆半径r ＝a 2＋b 22，将此结论拓展到空间，可得出的正确结论是：在四面体S —ABC 中，若SA ，SB ，SC 两两垂直，SA ＝a ，SB ＝b ，SC ＝c ，则四面体S —ABC 的外接球半径R ＝________. 答案：a 2＋b 2＋c 22三、解答题(本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17～21题每题12分，22题14分)17.(能力题，中)(12分)如图所示，斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1的底面是边长为a 的正三角形，侧棱长等于b ，一条侧棱AA 1和底面相邻两边AB 、AC 都成45°角，求这个三棱柱的侧面积．解：∵AA 1和底面AB 、AC 成等角，且为45°角，∴A 1在底面ABC 上的射影在∠BAC 的平分线AG 上，又△ABC 为正三角形，∴AG ⊥BC.∵A 1A 在底面ABC 上的射影在AG 上，∴BC ⊥A 1A.又A 1A ∥B 1B ，∴B 1B ⊥BC ，即侧面B 1BCC 1为矩形．∴S 11B BCC ＝B 1B·BC ＝ab. 又侧面A 1ABB 1和侧面A 1ACC 1都是平行四边形，且全等， ∴S 11A ABB ＝S 11A ACC ＝A 1A·AB· sin 45°＝22ab ，∴S 侧＝(2＋1)ab.评析：求斜棱柱的侧面积一般有两种方法：一是定义法；一是公式法． 18.(基础题，易)(12分)已知一个圆台的轴截面的面积是F ，母线与底面的夹角是30°，求圆台的侧面积．解：如图是圆台的轴截面，设AO 1＝r ，BO ＝R ，BE ＝R －r ，AE ＝33(R －r)，AB ＝233(R －r)．根据题意F ＝(R ＋r)·33(R －r)＝33(R 2－r 2)．∴R 2－r 2＝3F.∴S 圆台侧＝π(R ＋r)·233(R －r)＝233π(R 2－r 2)＝2πF.19.(基础题，易)(12分)一几何体按比例绘制的三视图如图所示(单位：m )：(1)试画出它的直观图；(2)求它的表面积和体积．解：(1)略 (2)表面积为7＋2m 2，体积为32m 320.(能力题，中)(12分)如图是表示以AB＝4，BC＝3的矩形ABCD为底面的长方体被一平面斜截所得的几何体，其中四边形EFGH为截面．已知AE＝5，BF＝8，CG＝12.(1)作出截面EFGH与底面ABCD的交线l；(2)截面四边形EFGH是否为菱形？并证明你的结论；(3)求DH的长．解：(1)作HE与DA的交点P，作GF与CB的交点Q，连PQ得直线l，它便是所求作的交线l，如图所示．(2)截面EFGH为菱形．因为平面ABFE∥平面DCGH，且平面EFGH分别截平面ABFE与平面DCGH得直线EF与GH，故EF∥GH.同理，FG∥EH，故四边形EFGH为平行四边形．又EF2＝AB2＋(BF－AE)2＝25，FG2＝BC2＋(CG－BF)2＝25，于是EF＝FG＝5.故四边形EFGH为菱形．(3)由AE＋CG＝BF＋DH，得DH＝9.21.(能力题，中)(12分)如图，矩形ABCD中，AD⊥平面ABE，AE＝EB＝BC＝2，F为CE上的点，G为AC和BD的交点，且BF⊥平面ACE.(1)求证：AE⊥平面BCE；(2)求证：AE∥平面BFD；(3)求三棱锥C—BGF的体积．解：(1)∵AD⊥平面ABE，AD∥BC，∴BC⊥平面ABE，则AE⊥BC，又∵BF⊥平面ACE，则AE⊥BF，又∵BC∩BF＝B，∴AE⊥平面BCE.(2)依题意可知：G是AC的中点，连结GF，∵BF⊥平面ACE，则CE⊥BF，而BC＝BE，∴F是EC中点，在△AEC中，FG∥AE，∴AE∥平面BFD.(3)∵AE ∥平面BFD ，∴AE ∥FG ，而AE ⊥平面BCE ，∴FG ⊥平面BCE ，∴FG ⊥平面BCF ，∵G 是AC 中点，F 是CE中点，∴FG ∥AE 且FG ＝12AE ＝1，∵BF ⊥平面ACE ，∴BF ⊥CE ，∴Rt △BCE 中，BF ＝CF ＝12CE ＝2，∴S △CFB ＝12·2·2＝1，∴V C —BFG＝V G —BCF ＝13·S △CFB ·FG ＝13. 22.(经典题，中)(14分)如图，四棱锥P —ABCD的底面是正方形，PA ⊥底面ABCD.PA ＝AD ＝2，点M 、N 分别在棱PD 、PC 上，且PC ⊥平面AMN.(1)求AM 与PD 所成的角；(2)求二面角P —AM —N 的大小．(3)求直线CD 与平面AMN 所成角的大小．分析：(1)求∠AMD 或证线面垂直；(2)利用(1)的结论找角并求角；(3)延长CD 、NM 确定斜足，依题设可作角．解：(1)∵ABCD 是正方形，∴CD ⊥AD.∵PA ⊥底面ABCD ，∴PA ⊥CD.∴CD ⊥平面PAD.∵AM ⊂平面PAD ，∴CD ⊥AM.∵PC ⊥平面AMN ，∴PC ⊥AM.∴AM ⊥平面PCD ，∴AM ⊥PD.∴AM 与PD 所成的角为90°.(2)∵AM ⊥平面PCD(已证)，∴AM ⊥PM ，AM ⊥NM.∴∠PMN 为二面角P —AM —N 的平面角．∵PN ⊥平面AMN ，∴PN ⊥NM.在Rt △PDC 中，CD ＝2，PD ＝22，∴PC ＝2 3.∵PA ＝AD ，AM ⊥PD ，∴M 为PD 的中点，PM ＝12PD ＝ 2.∵Rt △PMN ∽Rt △PCD ，∴MN ＝CD·PM PC ，∴cos ∠PMN ＝MN PM ＝CD PC ＝223＝33.∴∠PMN ＝arccos 33.即二面角P —AM —N 的大小为arccos 33.(3)如图，延长NM ，CD 交于点E.∵PC ⊥平面AMN ，∴NE 为CE 在平面AMN 内的射影．∴∠CEN为CD(即CE)与平面AMN 所成的角．∵CD ⊥PD ，EN ⊥PN ，∴∠CEN ＝∠MPN.在Rt △PNM 中，sin ∠MPN ＝MN PM ＝33.∴∠MNP ∈(0，π2)，∵∠MPN ＝arcsin 33.∴CD 与平面AMN 所成角的大小为arcsin 33.误区警示：空间角转化为平面角时，要注意等值转化．如将异面直线所成角转移到三角形中后，其结果只能是锐角或直角，切忌出现钝角．反之，将二面角转化为平面角时，要根据图形特点先确定所求二面角的范围，再通过解三角形进行等值转化．评析：(1)①中若直接解△AMD，确定∠AMD的大小有困难，故考虑证AM⊥平面PCD，从而AM⊥PD，得所求角为90°.②找角的方法为“垂线法”．特别注意在表达过程中，明确何角为所求的一步不可少．③中确定斜线与斜线在平面AMN内的射影非常关键．(2)求角的过程即“一作、二证、三计算”的过程，考查作图、推理与计算能力，为近几年高考的热点．。