2013年高考＂立体几何＂专题分析
第（ １ ） 问三视 图的画法 ，在 以往的高考解答题 中很少 出现 ，
应予 以关注． （ １ ） 如图 ３ ，过点 Ｃ作 Ｃ ＥｌＡ Ｂ，垂 足为 Ｅ ．
在Ｒ ｔ ＡＢ Ｅ Ｃ中 ， 由 Ｂ Ｃ：５ ，Ｃ Ｅ＝４ ，
应注意训练． 例６ （ 广 东卷・ 理 ｌ ８ ）如图 ９ ，在等腰直角三角形 Ｃ Ａ Ｂ中， Ｚ ． Ａ＝９ ０ 。 ，Ｂ Ｃ＝６ ，Ｄ、Ｅ分别 是 Ａ Ｃ、Ａ Ｂ上 的点 ，Ｃ Ｄ＝Ｂ Ｅ＝ 、 ／ 。 ，０为 Ｂ Ｃ的 中点 ． 将 ＡＡ Ｄ Ｅ沿 Ｄ Ｅ折起 ，得到如 图 １ ０所
所示 ．
（ ２ ） 求二面角 Ａ 一 Ｃ Ｄ － Ｂ的平面角的余 弦值． 解析 ：本题属于折叠问题 ，折叠后生成 的是一个 四棱 锥． 是
立体几何专题的考查 ，理科和文科试卷 ，都强调对基础知识 （
间想 象 能 力．
考点 ２：几何体 的表面积和体 积．
例２ （ 湖 南卷 ・ 理７ ） 已知 棱 长 为 ｌ的正 方 体 的俯 视 图是 一
） ．
（ 三） 文理考查各有侧重 ，强调基础 知识 、基本技 能的掌握 个 面积为 １的正方 形 ，则该 正方体 的正 视图 的面积不 可能等于
何 问题方面 的内容 ，可 以看 出 ，含 有代数运 算问题 的题 目占有 以正 方体 为 模 型 ， 画 出该 几 何 体 的 直 观 图 ，再 用 三 视 图原 理 ， 很 大 比例 ，几 乎每份试 卷几何专题 的试题都 含有运算 问题 ，主 即可选 出正确 的三视 图．本 题没有 给 出图形 ，需要考 生利用条
和基本能力的考查 ． 文科相对强调几何的直观感 知和简单 的推 理 论证 ；而理科 对空 间想象 、推理论证 、运算求解有更高的要求 ．
（ Ａ） １
（ ｃ ）
（ Ｂ ）、 ／ － ＿
（ Ｄ）
文 、理科 通考 内容 主要是 “ 立体几何初 步 ”相关 内容 ，这
些题一般 为选 择题或 填空题 ，但 在试卷设计 上略有 不同 ，主要 采取相同题设 置在不同位置或 “ 姊妹题”进行区别．如新课 程全
要涉及三角运算 、函数求值 、函数极值等． 如湖北卷理科第 １ ９题． 件想象并 画出几何体 的直观 图，再得 出正视 图，突 出考查 了空
在理科解答题 中 ，一般都 要涉及建 立直 角坐标系后 ，利用空 间
向 量 ：实 现 几 何 问 题 代 数 化 的转 化 ，解 决 代 数 问题 后 ，利 用 代 数运 算结 果 解 释几 何 关 系 ，达 到 解 决 问 题 的 目的 ．
答 案 ：Ｃ ．
【 评析】本题 的新颖之处在 于对 三视 图的考查并不给出图形．
Байду номын сангаас
国Ｉ 卷理科 第 ８题 ，组合体 的三视 图 ，在文科试卷 中则放在 第 学 生需要想象 ，当棱 长为 １的正方体 的俯视 图是 面积 为 １的正
１ １ 题 的位 置 ，球 的体积 与表面积 ，则 出现在 理科第 ６题 ，文 科 方 形 时 ，其 正视 图的最 小 面 积 为 １ ，最 大 面 积为 、 ／ ．因为 第 １ ５ 题 的位置 ，且文科 更加容易 ． 文 、理科 明显不 同点体 现在 解答题 ，虽然部分试卷 利用 同一背景设计 “ 姊妹题” ，但 侧重点
（ Ａ） （ Ｂ） （ ｃ） （ Ｄ）
答 案 ：Ａ ．
贯 穿于数 学学习 与数 学解 题过程之 中．例 如 ，在 证 明垂 直问题
【 评 析】本 题是 一道 考查 三视 图的选择 题 ，它打破 了以往
时 ，解 决 问 题 的 关 键 是 “ 线线垂直” 、“ 线 面垂 直 ” 、“ 面面垂直” 的给 出一个几 何体 的三视 图，求该几何 体的表面 积或体积 的套 间的转化 ，考生需要灵活掌握它们之间的转化 条件 和转换方式． 路．在 问题 解决过 程 中，首 先需要读 懂题意 ，将文 字语 言 、符
常常 给出几何体 的三视 图 ，通 过识 图 、想 图、作 图 、用 图 ，考 查学生 的空间想象能力及运算求解能力 ．
俯视图
图 １
考点 １ ：几何体的结构特征与三视图．
例 １ （ 新课程全 国Ⅱ卷・ 理７ ／ 文９ ）一个 四面体 的顶点在空 间直角 坐标 系 Ｏ － ｘ ｙ ｚ中的坐标 分 别是 （ １ ，０ ，１ ） ，（ １ ，１ ，０ ），
（ ３ ） 求三棱锥 Ｄ — Ｐ Ｂ Ｃ的体积．
从而 Ｑ Ｃ ／ ／ 平面 Ｐ Ｂ Ｃ ．
图８
本题 由圆隐含 的垂 直及重心 隐含 的中点 ，充分体现 了空间
解 析 ：本 题 考 查 三 视 图 的画 法 ，直 线 与 平 面 的位 置 关 系 及 与平面的密切联系．与通常 由线线平行证线面平行相 比，通过面 面平行证 线面平 行这种高 维向低维 的转化 是考生 相对 陌生的 ， 体积 的计算．
立 体几何注重数形 结合思想 的运用 ，注重数形之 间的转化． 号 语 言 转 化 为 图形 语 言进 行 研 究 ， 考查 了 阅读 理 解 能 力 和 三种 综 观全 国各套 试卷 ，不 同程度上加 强 了用代 数运算方 法处理 几 语言相 互转化 的能力．其 中 ，直接 画 出四面体 并不容 易 ，需要
理科 常常是求二 面角或与其他 知识综合 ，一般用 空间 向量解 答 试题更 为优越 ；文科 则多 为求 点到平 面的距离或计 算几何体 的 体积 ；对体积的考查 ，理科则多出现在选择题 中，与三视图结合．
二 、试 题 主 要 考 点 分 析
：， ，， ，
上面两个简单几何体均为旋转体 ，下面两个 简单几
图３
Ａ
Ｃ Ｕ Ｅ
图５ ） ，易证 Ｄ Ｍｆ ｆＣ Ｎ． 从而 Ｄ Ｍ＃平面 Ｐ Ｂ Ｃ ．
Ｅ
图９
图 １ Ｏ
（ １ ） 证 明 ：Ａ ０上平 面 Ｂ Ｃ Ｄ Ｅ ；
也 可由平面 Ｄ Ｍ Ｅ∥平面 Ｐ Ｂ Ｃ，证得 Ｄ Ｍ／ ／ 平面 Ｐ Ｂ Ｃ ，如图 ６
上而下依次是 ：圆台、圆柱 、正方体 、棱 台．易由体积公 式计算 出四个几何体的体积，从 而得 出结论为 Ｃ ．其中求棱 台的体积在 高考 中不 多见，应引起注意．
（ 二 ） 空 间 直线 与 平 面 的位 置 关 系
图４ 图５ 图６
在此 问中 ，求三棱锥体 积的关键是选择 哪个面做底面时相 本部分 高考试题 的特 点有三个 ，一是 空间直线 、平 面和平 应的高易求． 行 与 垂直 关 系 的判 断和 证 明 ，其 中垂 直 问题 出现频 率 更 高 ， 例 ５ （ 辽 宁卷 ・ 文 ｌ ８ ）如 图 ７ ， 有 关 平行 与 垂直 问题 的论证 ，关 键 是 熟 练掌 握 线线 、线 面 、 Ａ Ｂ是圆 ０的半径 ， 垂直圆 ０所在的 面 面平行 与垂直 的转 化 ；二 是空 间直线与平 面所 成角 的计 算 ， 平 面 ，Ｃ是 圆 ０上 的点 ． 异 面直 线所 成角 ，线 面角和二面角都有考 查 ，其 中二 面角的计
例３ （ 湖北卷 ・ 理８ ）一个 几何体的三视图如图 １ 所示 ，该
， 力要求方 面 ，理科更 加强调知 识综合运 用 ，灵活解 决问题 ，突 几何体 从上 到下 由四个简单几 何体组 成 ，其体 积分别 记为 ， 出逻辑推理 能力考查．解答题 的第（ １ ） 问通 常考查直线与平 面平
算 是 理 科 生 的重 点 ，文 科 生 则 不 做 要 求 ；三 是空 间距 离 的计 算 ，
（ １ ） 求证 ：Ｂ Ｃ上平面 ｃ ；
（ ２ ） 设 Ｑ为 的 中点 ，Ｇ为 △ＡＯ Ｃ
Ｃ
重 点考查 点到平 面 的距 离．在文科 高考解 答题 中 ，第 （ ２） 问往 的重心 ，求证 ：Ｑ Ｇ ｆ平面 Ｐ Ｂ Ｃ ． 往 要计 算几 何体 的体 积 ，其关 键或 者核 心 问题是 求点 到 平面
的交 会 ，新课程 全 国 Ⅱ卷 理科第 ７题 ，文科 第 ９题是 坐标与三
视 图的结合．在立体几何部分常以向量 、三角 、函数等为载体进
行综合考核 ，这也为学生能力发挥提供了更 为广阔的思维空 间．
同时 ，试题突 出对思想方法的考查． 如化归与转化思想 、数
形 结 合 思 想 、特 殊 与一 般 思 想 等 ．数 学 思 想 方 法 是 数 学 的核 心 ，
相 同时 ，画出 四棱锥 Ｐ － Ａ Ｂ Ｃ Ｄ 的正 视
图 （ 要 求标 出尺 寸 ，并 写 出演 算过 程） ； ．
图２
连接 Ｑ Ｍ，
则Ｑ Ｍｆ ｆＰ Ｃ 。 ｏ Ｍ＃Ｂ Ｃ ．
因此平面 Ｏ ＭＱ ∥平面 Ｐ Ｂ Ｃ ，
Ｃ
（ ２ ） 若 为 的中点 ，求证 ：Ｄ Ｍｆ ｆ面 Ｐ Ｂ Ｃ；
（ Ａ）Ｖ ｌ ＜Ｖ ２ ＜Ｖ ４ ＜Ｖ ３
（ Ｂ）Ｖ ｌ ＜Ｖ ３ ＜Ｖ ２ ＜Ｖ ４
（ Ｃ）Ｖ ２ ＜Ｖ Ｉ ＜Ｖ ３ ＜Ｖ ４
（ Ｄ） Ｖ ２ ＜Ｖ ３ ＜Ｖ ｌ ＜Ｖ ４
２ ９
２ ０ １ ３ 年 第１ ０期
答 案 ：Ｃ ．
Ｚ ＨＯＮＧ ＧＵＯ Ｓ ＨＵＸＵＥ Ｊ Ｉ ＡＯＹＵ
的距离 ． 背 景相 同．
图７
解析 ：本题与人 教 Ａ版数学教材必修 ２ 第７ ４页 Ｂ组第 ４题 第（ １ ） 问由线线垂直 ，可证线面垂直． 其 中由 Ａ Ｂ是 圆 ０ 的 直 径 ，得
ＡＣ ＺＢ Ｃ ，易证 Ｂ Ｃ ＿ Ｌ 平面 Ｐ Ａｅ 如图 ８ ，延长 Ｏ Ｇ与 ＡＣ交 于点 Ｍ，
上 ，特 别 是 理 科 试 题 一 般 要 涉 及 到 利 用 “ 向量 法 ” 解 题 ；在 能
二
＜１ ，所 以其正视 图的面积不可 能是 ｌ 、
二
．在运
有很 大差别．首先 ，在知识 上 ，主要体 现在理 科选修 相关 内容 动变 化 中 ，考 查 学 生 的 空 间想 象 能力 以及 对 三视 图 的理 解 ．
2013年高考立体几何试题分析及2014
平面化、几何问题代数化和立体几何向量化的特点.
一、2013年全国高考立体几何考察统计及特点分析
【答案】C
一、2013年全国高考立体几何考察统计及特点分析
一、2013年全国高考立体几何考察统计及特点分析
一、2013年全国高考立体几何考察统计及特点分析
一、2013年全国高考立体几何考察统计及特点分析
6 （2）若直线 AA1 与平面 AB1C 所成角的正弦值为 ，求 k 的值； 7
（3）现将与四棱柱 ABCD A1B1C1D1 形状和大小完全．
二、近三年江西高考立体几何考察统计及特点分析
1. 江西新课标高考立体几何考察统计（理科） 年份
2011年
题号
8，21
题型
选择+解答
分值
5+14
考点
点线面位置关系 +体积 体积 +以立体几何为载 体的概率题 +求面面角 点线面位置关系 +线面垂直证明 +求面面角
D A S
三、2014年江西考点预测
【答案】：A
【答案】：4
三、2014年江西考点预测
（4）大题方面：
文科重点考察平行与垂直的证明，体积的计算，理 科重视文科知识考察的基础上，重视对三种角的考察， 而且可以建立空间直角坐标系借助空间向量进行考察， 同时文理科还要注意立体几何中探索性问题的考察．
（2013 年湖北理 19）如图， AB 是圆 O 的直径，点 C 是圆 O 上异于
线 PQ 与 EF 所成的角为 ，二面角 E l C 的大小为 ， 求证： sin sin sin ．
四、2014年二轮复习建议
在二轮复习中，要将立体几何的复习摆在显要的位置， 如果考生能得到这一板块的分值，毫无疑问考生对数学考 试的信心会大大增强．
2013年高考数学试题（8）立体几何
1.（安徽理科第6题、文科第8题）（A ） 48 (B)32+817 (C) 48+8 (C) 48+817 (D) 80解析：由三视图可知几何体是底面是等腰梯形的直棱柱.底面等腰梯形的上底为2，下底为4，高为4，两底面积和为()12244242´+´=，四个侧面的面积为()44221724817++=+，所以几何体的表面积为48817+故选C. 2.（安徽理科第17题，文科第19题，本小题满分13分）分） 如图，A B E D F C 为多面体，平面ABED 与平面A C F D 垂直，点O 在线段A D 上，1O A =，OD =，ODE ODF OAC OAB D D D D ,,,都是正三角形。
都是正三角形。
(Ⅰ)证明直线BC EF ∥；(Ⅱ)求棱锥F OBED -的体积. （1）证明：分别去OA ，OD 的中点M ，N ，连接CM ，ＢＭ，ＢＭＥＮ，ＦＮ，设ＥＢ和ＤＡ相交于Ｇ，由于ＯＡ＝１，ＥＮ，ＦＮ，设ＥＢ和ＤＡ相交于Ｇ，由于ＯＡ＝１，OD=2，则EN BM //，且EN BM 21=，则M 为GN 的中点，所以GA=1 同理可得：G 为FC 和DA 的交点。
则有C 为FG 的中点，B 为EG 的中点。
所以的中点。
所以BC 是EFG D 的中位线。
故BC EF ∥。
（2）四边形OBED 是梯形，其中OB=1，DE=2，底边上的高为323260sin =×=°OE2333)21(2131331=××+×=×=\-O B E D O B E DF S V3.（北京理科第7题）某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中，最大的是某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中，最大的是某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中，最大的是(A) 8 (B) 62 (C)10 (D) 82解：根据三视图可知，该四面体满足：^SA 平面ABC ，ABC D 中 °=Ð90ABC ，3,4===BC AB SA ，四个三角形都是直角三角形，四个三角形都是直角三角形 6,26,8,10,5,24======D D D D ABC SBC SAB SAC S S S S AC SB4.（北京理科第16题）如图，在四棱锥P ABCD -中，P A ^平面ABCD ，底面ABCD 是菱形，2,60A B B A D =Ð=.(Ⅰ)求证：BD ^平面;P A C（Ⅱ）若,P A A B =求P B 与A C 所成角的余弦值；所成角的余弦值； （Ⅲ）当平面P B C 与平面P D C 垂直时，求P A 的长的长. .解：（1）因为ABCD 是菱形，则对角线互相垂直，BD AC ^\，又^PA 平面ABC所以BD ^平面PAC ，（2）设O BD AC = ，3,1,2,60=====°=ÐCO AO BO AB PA BAD以以O 为坐标原点以OC OB ,所在的直线分别为y x ,轴建立空间直角坐标系xyz O -则)0,3,0(),0,1,1(,0,3,0(),2,3,0(C B A P ）--，)2,3,1(-=\PB ，)0,32,0(=AC 设AC PB ,的夹角为q ，则4632226||||cos=´=×=AC PB AC PB q（3）由（）由（22）知),0,3,1(-=BC 设)0)(,3,0(>t t P 设平面PBC 的法向量为),,(z y x m =，则0,0=×=×m BP m BC所以ïîïíì=+--=+-0303tz y x y x ，令3=y ，则t z x 6,3==，)6,3,3(t m =\同理，平面PDC 的法向量为)6,3,3(tn -=，因为平面PBC ^平面PDC 所以0=×n m ，即03662=+-t，解得6=t ，6=\PA5.（北京文科第5题）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是锥的表面积是(A)32 (B)16+162 (C)48 (D)16322+6.（北京文科17）如图，在四面体PABC 中，,,P C A B P A B C ^^点,,,D E F G 分别是棱,,,A PA CB C P B的中点。
2013年高考文科数学分类解析(立体几何)
013年高考数学（文科）分类解析专题7：立体几何一、选择题1 ．（2013年高考重庆卷（文8））某几何体的三视图如题（8)所示，则该几何体的表面积为（ )A ．180B ．200C ．220D ．240【答案】D【解析】本题考查三视图以及空间几何体的表面积公式.由三视图可知该几何体是个四棱柱.棱柱的底面为等腰梯形，高为10.等腰梯形的上底为2，下底为8,高为4，腰长为5。
所以梯形的面积为284202+⨯=，梯形的周长为282520++⨯=。
所以四棱柱的表面积为2022010240⨯+⨯=,选D 。
2 ．(2013年高考课标Ⅱ卷（文9））一个四面体的顶点在空间直角坐标系O xyz -中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0),画该四面体三视图中的正视图时，以zOx 平面为投影面，则得到正视图可以为（ ）（A)（B ）(C ）(D)【答案】A【解析】在空间直角坐标系中,先画出四面体O ABC -的直观图，以zOx 平面为投影面，则得到正视图（坐标系中红色部分）,所以选A 。
3 ．（2013年高考课标Ⅰ卷（文11)）某几何函数的三视图如图所示,则该几何的体积为（ ）A ．168π+B ．88π+C ．1616π+D ．816π+ 【答案】A【解析】由三视图可知，该几何体的下部分是平放的半个圆柱，圆柱的底面半径为2，圆柱的高为4.上部分是个长方体，长方体的棱长分别为2，2,4.所以半圆柱的体积为212482ππ⨯⨯⨯=，正方体的体积为22416⨯⨯=，所以该几何体的体积为168π+,选A.4 ．（2013年高考大纲卷（文11））已知正四棱锥1111112,ABCD A B C D AA AB CD BDC -=中，则与平面所成角的正弦值等于（ ）A ．23B ．33C ．23D ．13【答案】A【解析】如图，因为BD ⊥平面ACC 1A 1，所以平面ACC 1A 1⊥平面BDC 1，在Rt △CC 1O 中，过C 作CH ⊥C 1O 于H,连结DH ，则∠CDH 即为所求，令a AB =,显然222222223324()22a a CH a a a a ⨯===+，所以223sin 3a CDH a ∠==，故选A.5 ．（2013年高考四川卷(文2））一个几何体的三视图如图所示，则该几何体可以是( )A ．棱柱B ．棱台C ．圆柱D ．圆台【答案】D【解析】由三视图可知,该几何体为圆台。
2013—2015立体几何考题分析(全国卷)
500π A． 3 cm3
1372π C． 3 cm3
866π B． 3 cm3
2048π D． 3 cm3
第5页，共30页。
二、近三年全国卷
2．(2013 课标全国Ⅰ，理 8)某几何体的三视
图如图所示，则该 几何体的
体积为(
)．
A．16＋8π B．8＋8π C．16＋16π D．8＋16π
第6页，共30页。
图，该零件由一个底面半径为 3cm，高为 6cm
的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积
与原来毛坯体积的比值为（ ）
A.
17 27
B.
5 9
C. 10
27
D.
1 3
第15页，共30页。
二、近三年全国卷
5（. 2014 课标全国Ⅱ，理 11）.直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，∠BCA=90°， M，N 分别是 A1B1，A1C1 的中点，BC=CA=CC1，则 BM 与 AN 所 成的角的余弦值为（ ）
第7页，共30页。
二、近三年全国卷
4.（2014 课标全国Ⅰ，理 12）如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的个条棱中，最 长的棱的长度为
A.6 2
B.4 2
C .6
D .4
第8页，共30页。
二、近三年全国卷
5. （2014 课标全国Ⅰ，理 19）(本小题满分 12 分)如图三棱柱 ABC A1B1C1 中， 侧面 BB1C1C 为菱形， AB B1C . （I）证明： AC AB1 ； （Ⅱ）若 AC AB1 ，CBB1 60o ，AB=Bc，求二面角 A A1B1 C1 的余弦值.
第27页，共30页。
高考数学立体几何试题及解析
高考数学立体几何（文科）试题一、选择题1 ．（2013年高考重庆卷（文8））某几何体的三视图如题(8)所示,则该几何体的表面积为（）A．180B．200C．220D．240【答案】D【解析】本题考查三视图以及空间几何体的表面积公式。
由三视图可知该几何体是个四棱柱。
棱柱的底面为等腰梯形，高为10.等腰梯形的上底为2，下底为8，高为4，腰长为5。
所以梯形的面积为284202+⨯=，梯形的周长为282520++⨯=。
所以四棱柱的表面积为2022010240⨯+⨯=，选D.2 ．（2013年高考课标Ⅱ卷（文9））一个四面体的顶点在空间直角坐标系O xyz-中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到正视图可以为（）(A) (B) (C) (D)【答案】A【解析】在空间直角坐标系中，先画出四面体O ABC-的直观图，以zOx平面为投影面，则得到正视图(坐标系中红色部分),所以选A.3 ．（2013年高考课标Ⅰ卷（文11））某几何函数的三视图如图所示,则该几何的体积为（ ）A ．168π+B ．88π+C ．1616π+D ．816π+ 【答案】A【解析】由三视图可知，该几何体的下部分是平放的半个圆柱，圆柱的底面半径为2,圆柱的高为4。
上部分是个长方体，长方体的棱长分别为2,2,4.所以半圆柱的体积为212482ππ⨯⨯⨯=，正方体的体积为22416⨯⨯=，所以该几何体的体积为168π+，选A.4 ．（2013年高考大纲卷（文11））已知正四棱锥1111112,ABCD A B C D AA AB CD BDC -=中，则与平面所成角的正弦值等于（ ）A ．23B ．33C ．23D ．13【答案】A【解析】如图，因为BD ⊥平面ACC 1A 1，所以平面ACC 1A 1⊥平面BDC 1，在Rt △CC 1O 中，过C 作CH⊥C 1O 于H ，连结DH ，则∠CDH 即为所求，令a AB =，显然222222223324()22a aa CH a a a a ⨯===+，所以223sin 3aCDH a ∠==，故选A.5 ．（2013年高考四川卷（文2））一个几何体的三视图如图所示,则该几何体可以是（ ）A ．棱柱B ．棱台C ．圆柱D ．圆台【答案】D【解析】由三视图可知，该几何体为圆台. 6 ．（2013年高考浙江卷（文5））已知某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则该几何体的体积是（ ）A ．108cm 3B ．100 cm 3C ．92cm 3D ．84cm 3【答案】B【解析】此图的直观图是一个底面边长为6和3，高为6的长方体截去一个角，对应三棱锥的的三条侧棱上分别为3,4,4.如图。
2013年高考_立体几何_专题分析_徐俊国
应予以关注.
（1）如图 3，过点 C 作 CE⊥AB，垂足为 E.
在 Rt△BEC 中，由 BC = 5，CE = 4，
P
依勾股定理，得 BE = 3，从而 AB = 6.
在 Rt△PDA 中，由 AD = 4，∠PAD =
60°，得 PD = 4 姨 3 .
由此不难画出正视图，如图 4 所示.
D
C
收稿日期：2013-09-03 作者简介：徐俊国 （1962- ），男，河北正定人，中学高级教师，石家庄市命题组核心成员，主要从事数学教育与研究.
28
ＳＨＩＴＩＹＡＮＪＩＵ
试题研究
与演绎推理的合理运用.
（0，1，1），（0，0，0），画该四面体三视图中的正视图时，以
试题突出学科内知识的综合、灵活运用，在知识交会处命 zOx 平面为投影面，则得到的正视图可以为 （ ）.
方形时，其正视图的最小面积为 1，最大面积为 姨 2 . 因为
姨2 - 1 2
<
1，所以其正视图的面积不可能是
姨2 2
-1.Fra bibliotek在运有很大差别. 首先，在知识上，主要体现在理科选修相关内容 动变化中，考查学生的空间想象能力以及对三视图的理解.
上，特别是理科试题一般要涉及到利用“向量法”解题；在能
例 3 （湖北卷·理 8） 一个几何体的三视图如图 1 所示，该
在理科解答题中，一般都要涉及建立直角坐标系后，利用空间 间想象能力.
向量，实现几何问题代数化的转化，解决代数问题后，利用代
考点 2：几何体的表面积和体积.
数运算结果解释几何关系，达到解决问题的目的.
例 2 （湖南卷·理 7） 已知棱长为 1 的正方体的俯视图是一
2013年高考数学(理)真题分类解析汇编7.立体几何
2013年高考数学（理）真题分类解析汇编7：立体几何一、选择题1 ．（2013年高考新课标1（理））如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高8cm,将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为6cm,如果不计容器的厚度,则球的体积为（） A ．35003cm π B ．38663cm π C ．313723cm πD ．320483cm π 【答案】A【天利解析】设正方体上底面所在平面截球得小圆M ， 则圆心M 为正方体上底面正方形的中心．如图．设球的半径为R ，根据题意得球心到上底面的距离等于（R ﹣2）cm ，而圆M 的半径为4，由球的截面圆性质，得R 2=（R ﹣2）2+42， 解出R=5，所以根据球的体积公式，该球的体积V===．故选A ．2 ．（2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯WORD 版））设,m n 是两条不同的直线,,αβ是两个不同的平面,下列命题中正确的是（ ）A ．若αβ⊥,m α⊂,n β⊂,则m n ⊥B ．若//αβ,m α⊂,n β⊂,则//m nC ．若m n ⊥,m α⊂,n β⊂,则αβ⊥D ．若m α⊥,//m n ,//n β,则αβ⊥ 【答案】D【天利解析】ABC 是典型错误命题,选D ．3 ．（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD 版含答案（已校对））已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中12AA AB =,则CD 与平面1BDC 所成角的正弦值等于（）A ．23B ．3C ．3D ．13【答案】A【天利解析】设AB=1，则AA 1=2，分别以的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系， 如下图所示： 则D （0，0，2），C 1（0，1，0），B （1，1，2），C （0，1，2），=（1，1，0），=（0，1，﹣2），=（0，1，0），设=（x ，y ，z ）为平面BDC 1的一个法向量，则，即，取=（﹣2，2，1），设CD 与平面BDC 1所成角为θ，则sin θ=||=，故选A ．4 ．（2013年高考新课标1（理））某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为（）A ．168π+B ．88π+C ．1616π+D ．816π+ 【答案】A【天利解析】三视图复原的几何体是一个长方体与半个圆柱的组合体，如图，其中长方体长、宽、高分别是：4，2，2，半个圆柱的底面半径为2，母线长为4． 所以长方体的体积=4×2×2=16， 半个圆柱的体积=×22×π×4=8π 所以这个几何体的体积是16+8π； 故选A ．5 ．（2013年高考湖北卷（理））一个几何体的三视图如图所示,该几何体从上到下由四个简单几何体组成,其体积分别记为1V ,2V ,3V ,4V ,上面两个简单几何体均为旋转体,下面两个简单几何体均为多面体,则有（ ） A ．1243V V V V <<< B ．1324V V V V <<<C ．2134V V V V <<<D ．2314V V V V <<<【答案】C【天利解析】本题考查三视图以及空间几何体的体积。
2013年高考立体几何试题赏析
（ ）
２
４
日２ ２
图 １ 图２
Ｂ． ８＋８ ｎ
、 Ｄ ． ８＋ｌ ６ 兀
弦值 ； （ Ⅲ）设 Ｅ Ｍ： Ｅ Ｃ 『 ，利用 空间 向量求 出 ， 进 而 求 出 的长 ．第 （ Ⅱ） 问也 可这 样 分析 ：如
Ａ．１ ６＋８ ７ ｃ
Ｃ． １ ６＋ １ ６ 丁 ｃ
图４，过 作 Ｂ １ Ｇ ｊ － Ｃ Ｅ于点 Ｇ，连接 Ｃ Ｉ Ｇ，易证得 Ｇ Ｇ为二面角 — Ｃ Ｅ— Ｃ ｌ 的平面角．第 （ Ⅲ）如
命题意图 考查空间想象力 ，能正确分析图形中 基本元素及其相互关系，能够对空 间图形进行分解 与组 合 ，同 时通 过对 几 何 体 面积 或 体 积 的计 算 ，考 查推 理与 计算 能力 ．
２ ０ １ ３ 年第 １ １ 期
福建中学数学
２ ９
总而 言之 ， 数 学焦 虑不容 ห้องสมุดไป่ตู้ 视 ， 莫让 “ 数 学焦 虑”
侵蚀学 生，教 师在教 学管理过程 中要不断探索数学
．
心 理学 大辞 典 ．上海教 育 出版 社 出版 ，２ ｏ ０ ３
焦虑成 因，不断不断完善教学水平 ，真正有效激发 学 生学 习数 学兴趣 ．
体会与感悟 此类题型重点考查方 向： 复原一 能 识 别三 视 图所表 示 的主 体模 型 ；求积 一 能根 据 立 体 模型求它们 的体积或表面积 ；识 图…－ 根据提供 的部 分三视图画另外的一个三视 图． ２求空间角——传统与向量法兼备
角 ，然 后 熟练地 运 用公 式计算 ．
Ｃ
Ｄ
Ｃ
Ｄ
Ｃ
体 会 与感 悟 把 空 间 问题 转 化 为 平 面 上 的 问题 解 决是 立体 几何 中经 常使 用的 方法 ，这 个 方法 是 降
2013年理科全国各省市高考真题——立体几何(解答题带答案)
2013年全国各省市理科数学—立体几何1、2013大纲理T19．（本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -中，902,ABC BAD BC AD PAB ∠=∠==∆ ，与PAD ∆都是等边三角形。
（I ）证明：;PB CD ⊥ （II ）求二面角A PD C --的大小。
2、2013新课标I 理T18.（本小题满分12分）如图，三棱柱111C B A ABC -中，CB CA =，1AA AB =，1BAA ∠=60°. （Ⅰ）证明AB ⊥C A 1;（Ⅱ）若平面ABC ⊥平面B B AA 11，CB AB =，求直线C A 1 与平面C C BB 11所成角的正弦值。
3、2013新课标Ⅱ理T18.如图，直三棱柱111ABC A B C -中，D ，E 分别是AB ，1BB 的中点。
12AA AC CB ===22AB（Ⅰ）证明：1//BC 平面11ACD ； （Ⅱ）求二面角E C A D --1的正弦值。
4、2013辽宁理T18．（本小题满分12分）如图，.AB PA C 是圆的直径，垂直圆所在的平面，是圆上的点 （I ）求证：PAC PBC ⊥平面平面；（II ）2.AB AC PA C PB A ===--若，1，1，求证：二面角的余弦值5、2013山东理T18.（本小题满分12分）如图所示，在三棱锥P-ABQ 中，PB ⊥平面ABQ ，BA=BP=BQ ，D ，C ，E ，F 分别是AQ ，BQ ， AP ，BP 的中点，AQ=2BD ，PD与EQ 交于点G ，PC 与FQ 交于点H ，连接GH 。
（Ⅰ）求证：AB//GH ；（Ⅱ）求二面角D-GH-E 的余弦值 .1A6、2013北京理T17. (本小题共14分)如图，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AA 1C 1C 是边长为4的正方形.平面ABC ⊥平面AA 1C 1C ，AB=3，BC=5.（Ⅰ）求证：AA 1⊥平面ABC ； （Ⅱ）求二面角A 1-BC 1-B 1的余弦值；（Ⅲ）证明：在线段BC 1存在点D ，使得AD ⊥A 1B ，并求1BDBC 的值.7、2013重庆理T19.如题（19）图，四棱锥P ABCD -中，PA ABCD ⊥底面,2,4,3BC CD AC ACB ACD π===∠=∠=,F 为PC 的中点，AF PB ⊥。
2013年高考立体几何试题赏析3页
2013年高考立体几何试题赏析高中立体几何的核心内容是空间几何体的认识，空间点、线、面位置关系的确定以及空间几何的有关度量（包括表面积、体积、角、距离的计算.综观2013年全国各地的高考数学试卷，多数试题已经突破了传统的考查框架，在命题风格上，正逐步由封闭性向灵活性、开放性转变.盘点2013年高考立体几何试题，提炼其命题特点、亮点，希望对今后立体几何的复习教学有所裨益.1 三视图题——显常规而不拘一格例1 （2013年高考全国新课标卷Ⅱ·理11）某几何体的三视图如图1所示，则该几何体的体积为（）A.16 8π+B.8 8π+C.16 16π+D.8 16π+命题意图考查空间想象力，能正确分析图形中基本元素及其相互关系，能够对空间图形进行分解与组合，同时通过对几何体面积或体积的计算，考查推理与计算能力.思路分析该几何体是个组合体，其下面是个半圆柱，上面是个长方体，如图2.点评解题关键是还原几何体，其基本要素是“长对齐、高平齐、宽相等”，能从不同角度去看几何体.体会与感悟此类题型重点考查方向：复原—能识别三视图所表示的主体模型；求积—能根据立体模型求它们的体积或表面积；识图----根据提供的部分三视图画另外的一个三视图.2 求空间角——传统与向量法兼备点评解题关键是恰当地建立空间直角坐标系，正确地写出各点坐标，准确地求出两个半平面的法向量（或直线的方向向量）的坐标，或“找”（“作”）出角，然后熟练地运用公式计算.体会与感悟空间向量在立体几何中起工具性的作用，因其避开了“作”、“找”角的难度，在代数与几何中起了承接作用，使传统法与空间向量法相辅相成.4.2 翻折例5 （2013年高考广东卷·理18）如图7，等腰三角形ABC中，90A∠=d，6BC =，D，E分别是AC，AB上的点，2CDBE==，O为BC的中点，将ADEΔ沿DE折起得到如图7所示的四棱锥ABCDE′？，其中3A D′=.（Ⅰ）证明：A O′⊥平面BCDE；（Ⅱ）求二面角ACDB′？？的平面角的余弦值.命题意图考查化归与转化思想，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力思路分析（Ⅰ）根据翻折前后线线关系推导出线面垂直的条件.（Ⅱ）作出二面角，通过解三角形求解，或者建立空间直角坐标系后使用法向量求解.点评解题关键是理清折叠前后平面图形与空间几何体间的对应关系.体会与感悟在翻折问题中，要从翻折前后线线位置关系的“变”与“不变”中找到解决问题的切入点，翻折前后位于相同平面中的线线位置关系不变，位于不同平面中的线线位置关系可能发生变化.5 位置关系证明题——立体平面降维转化5.1 平行关系例8 （2013年高考安徽卷·理19）如图9圆锥顶点为P，底面圆心为O，其母线与底面所成的角为22.5d，AB和CD是底面圆O上的两条平行的弦，轴OP与平面PCD所成的角为60d.（Ⅰ）证明：平面PAB与平面PCD的交线平行于底面；（Ⅱ）求cos COD∠.命题意图本题考查空间直线、平面平行关系的性质与判定等基础知识和基本技能，意在考查考生的空间想象能力、逻辑推理能力.点评解题关键是根据题意取AB中点O，进而得到垂直关系.体会与感悟线线垂直、线面垂直、面面垂直三种关系的相互依存与相互转化是解决垂直问题的最基本方法.希望以上资料对你有所帮助，附励志名言3条：1、生命对某些人来说是美丽的，这些人的一生都为某个目标而奋斗。