北师版八年级下数学第三章随堂练习83
北师大版数学八年级下册第三章单元测试题及答案解析
北师大版数学八年级下册第三章测试题姓名：得分：一、选择题1．如图，若△DEF是由△ABC经过平移后得到的，则平移的距离是（）A．线段BC的长度B．线段BE的长度C．线段EC的长度D．线段EF的长度2．如图，在△ABC中，∠CAB=75°，在同一平面内，将△ABC绕点A旋转到△AB′C′的位置，使得CC′∥AB，则∠BAB′=（）A．30°B．35°C．40°D．50°3．在平面直角坐标系中，线段OP的两个端点坐标分别是O（0，0），P（4，3），将线段OP绕点O逆时针旋转90°到OP′位置，则点P′的坐标为（）A．（3，4） B．（﹣4，3）C．（﹣3，4）D．（4，﹣3）4．如图，O是边长为a的正方形ABCD的中心，将一块半径足够长、圆心为直角的扇形纸板的圆心放在O点处，并将纸板的圆心绕O旋转，则正方形ABCD 被纸板覆盖部分的面积为（）A．a2B．a2C．a2D． a5．关于这一图案，下列说法正确的是（）A．图案乙是由甲绕BC的中点旋转180°得到的B．图案乙是由甲绕点C旋转108°得到的C．图案乙是由甲沿AB方向平移3个边长的距离得到的D．图案乙是由甲沿直线BC翻转180°得到的6．如图，△ABO中，AB⊥OB，OB=，AB=1，把△ABO绕点O旋转150°后得到△A1B1O，则点A1的坐标为（）A．（﹣1，）B．（﹣1，）或（﹣2，0）C．（，﹣1）或（0，﹣2）D．（，﹣1）7．下列图形中，既是中心对称图又是轴对称图形的是（）A．B． C．D．8．在平面直角坐标系xOy中，线段AB的两个端点坐标分别为A（﹣1，﹣1），B （1，2），平移线段AB，得到线段A′B′，已知A′的坐标为（3，﹣1），则点B′的坐标为（）A．（4，2）B．（5，2）C．（6，2）D．（5，3）9．如图，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A′B′C，连接AA′，若∠1=25°，则∠BAA′的度数是（）A．55°B．60°C．65°D．70°10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A'B'C，M是BC的中点，P是A'B'的中点，连接PM．若BC=2，∠BAC=30°，则线段PM 的最大值是（）A．4 B．3 C．2 D．111．如图，将△ABC绕点C顺时针旋转，使点B落在AB边上点B′处，此时，点A的对应点A′恰好落在BC边的延长线上，下列结论错误的（）A．∠BCB′=∠ACA′B．∠ACB=2∠BC．∠B′CA=∠B′AC D．B′C平分∠BB′A′12．如图示，若△ABC内一点P满足∠PAC=∠PBA=∠PCB，则点P为△ABC的布洛卡点．三角形的布洛卡点（Brocard point）是法国数学家和数学教育家克洛尔（A．L．Crelle 1780﹣1855）于1816年首次发现，但他的发现并未被当时的人们所注意，1875年，布洛卡点被一个数学爱好者法国军官布洛卡（Brocard 1845﹣1922）重新发现，并用他的名字命名．问题：已知在等腰直角三角形DEF 中，∠EDF=90°，若点Q为△DEF的布洛卡点，DQ=1，则EQ+FQ=（）A．5 B．4 C．D．二、填空题13．线段AB沿和它垂直的方向平移到A′B′，则线段AB和线段A′B′的位置关系是．14．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，BC＞AD，∠B与∠C互余，将AB，CD 分别平移到EF和EG的位置，则△EFG为三角形．15．如图，把Rt△ABC绕点A逆时针旋转40°，得到Rt△AB′C′，点C′恰好落在边AB上，连接BB′，则∠BB′C′=度．16．在平面直角坐标系中，把点A（2，3）向左平移一个单位得到点A′，则点A′的坐标为．17．已知：如图，在△AOB中，∠AOB=90°，AO=3cm，BO=4cm．将△AOB绕顶点O，按顺时针方向旋转到△A1OB1处，此时线段OB1与AB的交点D恰好为AB 的中点，则线段B1D=cm．三、解答题18．如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣3，4），B（﹣5，2），C（﹣2，1）．(1)画出△ABC关于y轴对称图形△A1B1C1；(2)画出将△ABC绕原点O逆时针方向旋转90°得到的△A2B2C2；(3)求(2)中线段OA扫过的图形面积．19．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的两格中，点A、B、C都是格点．(1)将△ABC向左平移6个单位长度得到得到△A1B1C1；(2)将△ABC绕点O按逆时针方向旋转180°得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2．20．如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中∠C=90°，∠B=∠E=30°．(1)操作发现如图2，固定△ABC，使△DEC绕点C旋转，当点D恰好落在AB边上时，填空：②线段DE与AC的位置关系是；②设△BDC的面积为S1，△AEC的面积为S2，则S1与S2的数量关系是．(2)猜想论证当△DEC绕点C旋转到如图3所示的位置时，小明猜想(1)中S1与S2的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△BDC和△AEC中BC、CE边上的高，请你证明小明的猜想．(3)拓展探究已知∠ABC=60°，点D是角平分线上一点，BD=CD=4，DE∥AB交BC于点E（如图4）．若在射线BA上存在点F，使S△DCF =S△BDE，请直接写出相应的BF的长．21．某游乐场部分平面图如图所示，C、E、A在同一直线上，D、E、B在同一直线上，测得A处与E处的距离为80 米，C处与D处的距离为34米，∠C=90°，∠BAE=30°．（≈1.4，≈1.7）(1)求旋转木马E处到出口B处的距离；(2)求海洋球D处到出口B处的距离（结果保留整数）．22．在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A（2，3），B（1，1），C（5，1）．(1)把△ABC平移后，其中点A移到点A1（4，5），画出平移后得到的△A1B1C1；(2)把△A1B1C1绕点A1按逆时针方向旋转90°，画出旋转后的△A2 B2C2．23．如图，已知AC⊥BC，垂足为C，AC=4，BC=3，将线段AC绕点A按逆时针方向旋转60°，得到线段AD，连接DC，DB．(1)线段DC=；(2)求线段DB的长度．答案与解析1．如图，若△DEF是由△ABC经过平移后得到的，则平移的距离是（）A．线段BC的长度B．线段BE的长度C．线段EC的长度D．线段EF的长度【考点】Q2：平移的性质．【专题】选择题【分析】根据平移的性质，结合图形可直接求解．【解答】解：观察图形可知：△DEF是由△ABC沿BC向右移动BE的长度后得到的，∴平移距离就是线段BE的长度．故选B．【点评】本题利用了平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．2．如图，在△ABC中，∠CAB=75°，在同一平面内，将△ABC绕点A旋转到△AB′C′的位置，使得CC′∥AB，则∠BAB′=（）A．30°B．35°C．40°D．50°【考点】R2：旋转的性质；JA：平行线的性质．【专题】选择题【分析】首先证明∠ACC′=∠AC′C；然后运用三角形的内角和定理求出∠CAC′=30°即可解决问题．【解答】解：由题意得：AC=AC′，∴∠ACC′=∠AC′C；∵CC′∥AB，且∠BAC=75°，∴∠ACC′=∠AC′C=∠BAC=75°，∴∠CAC′=180°﹣2×75°=30°；由题意知：∠BAB′=∠CAC′=30°，故选A【点评】该命题以三角形为载体，以旋转变换为方法，综合考查了全等三角形的性质及其应用问题；对综合的分析问题解决问题的能力提出了较高的要求．3．在平面直角坐标系中，线段OP的两个端点坐标分别是O（0，0），P（4，3），将线段OP绕点O逆时针旋转90°到OP′位置，则点P′的坐标为（）A．（3，4） B．（﹣4，3）C．（﹣3，4）D．（4，﹣3）【考点】R7：坐标与图形变化﹣旋转．【专题】选择题【分析】如图，把线段OP绕点O逆时针旋转90°到OP′位置看作是把Rt△OPA 绕点O逆时针旋转90°到RtOP′A′，再根据旋转的性质得到OA′、P′A′的长，然后根据第二象限点的坐标特征确定P′点的坐标．【解答】解：如图，OA=3，PA=4，∵线段OP绕点O逆时针旋转90°到OP′位置，∴OA旋转到x轴负半轴OA′的位置，∠P′A′0=∠PAO=90°，P′A′=PA=4，∴P′点的坐标为（﹣3，4）．故选C．【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转：在直角坐标系中线段的旋转问题转化为直角三角形的旋转，然后利用旋转的性质求出相应的线段长，再根据点的坐标特征确定点的坐标．4．如图，O是边长为a的正方形ABCD的中心，将一块半径足够长、圆心为直角的扇形纸板的圆心放在O点处，并将纸板的圆心绕O旋转，则正方形ABCD 被纸板覆盖部分的面积为（）A．a2 B．a2 C．a2 D． a【考点】R2：旋转的性质．【专题】选择题【分析】扇形的半径交AD于E，交CD于F，连结OD，如图，利用正方形的性质得OD=OC，∠COD=90°，∠ODA=∠OCD=45°，再利用等角的余角相等得到∠EOD=∠FOC，于是可证明△ODE≌△OCF，得到S△ODE =S△OCF，所以S阴影部分=S△DOC=S正方形ABCD=a2．【解答】解：扇形的半径交AD于E，交CD于F，连结OD，如图，∵四边形ABCD为正方形，∴OD=OC，∠COD=90°，∠ODA=∠OCD=45°，∵∠EOF=90°，即∠EOD+∠DOF=90°，∠DOF+∠COF=90°，∴∠EOD=∠FOC，在△ODE和△OCF中，，∴△ODE≌△OCF，∴S△ODE =S△OCF，∴S阴影部分=S△DOC =S正方形ABCD=a2．故选B．【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了正方形的性质．5．关于这一图案，下列说法正确的是（）A．图案乙是由甲绕BC的中点旋转180°得到的B．图案乙是由甲绕点C旋转108°得到的C．图案乙是由甲沿AB方向平移3个边长的距离得到的D．图案乙是由甲沿直线BC翻转180°得到的【考点】Q5：利用平移设计图案．【专题】选择题【分析】直接利用旋转的性质得出旋转中心进而得出答案．【解答】解：如图所示：可得图案乙是由甲绕BC的中点旋转180°得到的．故选：A．【点评】此题主要考查了旋转变换，正确得出旋转中心是解题关键．6．如图，△ABO中，AB⊥OB，OB=，AB=1，把△ABO绕点O旋转150°后得到△A1B1O，则点A1的坐标为（）A．（﹣1，）B．（﹣1，）或（﹣2，0）C．（，﹣1）或（0，﹣2） D．（，﹣1）【考点】R7：坐标与图形变化﹣旋转．【专题】选择题【分析】需要分类讨论：在把△ABO绕点O顺时针旋转150°和逆时针旋转150°后得到△A1B1O时点A1的坐标．【解答】解：∵△ABO中，AB⊥OB，OB=，AB=1，∴tan∠AOB==，∴∠AOB=30°．如图1，当△ABO绕点O顺时针旋转150°后得到△A1B1O，则∠A1OC=150°﹣∠AOB ﹣∠BOC=150°﹣30°﹣90°=30°，则易求A1（﹣1，﹣）；如图2，当△ABO绕点O逆时针旋转150°后得到△A1B1O，则∠A1OC=150°﹣∠AOB ﹣∠BOC=150°﹣30°﹣90°=30°，则易求A1（﹣2，0）；综上所述，点A1的坐标为（﹣1，﹣）或（﹣2，0）；故选B．【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣﹣旋转．解题时，注意分类讨论，以防错解．7．下列图形中，既是中心对称图又是轴对称图形的是（）A．B． C．D．【考点】R5：中心对称图形；P3：轴对称图形．【专题】选择题【分析】根据中心对称图形和轴对称图形对各选项分析判断即可得解．【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；B、是中心对称图，不是轴对称图形，故本选项错误；C、既是中心对称图又是轴对称图形，故本选项正确；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误．故选C．【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．8．在平面直角坐标系xOy中，线段AB的两个端点坐标分别为A（﹣1，﹣1），B （1，2），平移线段AB，得到线段A′B′，已知A′的坐标为（3，﹣1），则点B′的坐标为（）A．（4，2） B．（5，2） C．（6，2） D．（5，3）【考点】Q3：坐标与图形变化﹣平移．【专题】选择题【分析】根据A点的坐标及对应点的坐标可得线段AB向右平移4个单位，然后可得B′点的坐标．【解答】解：∵A（﹣1，﹣1）平移后得到点A′的坐标为（3，﹣1），∴向右平移4个单位，∴B（1，2）的对应点坐标为（1+4，2），即（5，2）．故选：B．【点评】此题主要考查了坐标与图形的变化﹣﹣平移，关键是掌握横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．9．如图，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A′B′C，连接AA′，若∠1=25°，则∠BAA′的度数是（）A．55°B．60°C．65°D．70°【考点】R2：旋转的性质．【专题】选择题【分析】根据旋转的性质可得AC=A′C，然后判断出△ACA′是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得∠C AA′=45°，再根据三角形的内角和定理可得结果．【解答】解：∵Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°得到△A′B′C，∴AC=A′C，∴△ACA′是等腰直角三角形，∴∠CA′A=45°，∠CA′B′=20°=∠BAC∴∠BAA′=180°﹣70°﹣45°=65°，故选：C．【点评】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键．10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A'B'C，M是BC的中点，P是A'B'的中点，连接PM．若BC=2，∠BAC=30°，则线段PM 的最大值是（）A．4 B．3 C．2 D．1【考点】R2：旋转的性质．【专题】选择题【分析】如图连接PC．思想求出PC=2，根据PM≤PC+CM，可得PM≤3，由此即可解决问题．【解答】解：如图连接PC．在Rt△ABC中，∵∠A=30°，BC=2，∴AB=4，根据旋转不变性可知，A′B′=AB=4，∴A′P=PB′，∴PC=A′B′=2，∵CM=BM=1，又∵PM≤PC+CM，即PM≤3，∴PM的最大值为3（此时P、C、M共线）．故选B．【点评】本题考查旋转变换、解直角三角形、直角三角形30度角的性质、直角三角形斜边中线定理，三角形的三边关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用三角形的三边关系解决最值问题，属于中考常考题型．11．如图，将△ABC绕点C顺时针旋转，使点B落在AB边上点B′处，此时，点A的对应点A′恰好落在BC边的延长线上，下列结论错误的（）A．∠BCB′=∠ACA′B．∠ACB=2∠BC．∠B′CA=∠B′A C D．B′C平分∠BB′A′【考点】R2：旋转的性质．【专题】选择题【分析】根据旋转的性质得到∠BCB′=∠ACA′，故A正确，根据等腰三角形的性质得到∠B=∠BB'C，根据三角形的外角的性质得到∠A'CB'=2∠B，等量代换得到∠ACB=2∠B，故B正确；等量代换得到∠A′B′C=∠BB′C，于是得到B′C平分∠BB′A′，故D正确．【解答】解：根据旋转的性质得，∠BCB'和∠ACA'都是旋转角，则∠BCB′=∠ACA′，故A正确，∵CB=CB'，∴∠B=∠BB'C，又∵∠A'CB'=∠B+∠BB'C，∴∠A'CB'=2∠B，又∵∠ACB=∠A'CB'，∴∠ACB=2∠B，故B正确；∵∠A′B′C=∠B，∴∠A′B′C=∠BB′C，∴B′C平分∠BB′A′，故D正确；故选C．【点评】本题考查了旋转的性质，角平分线的定义，等腰三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．12．如图示，若△ABC内一点P满足∠PAC=∠PBA=∠PCB，则点P为△ABC的布洛卡点．三角形的布洛卡点（Brocard point）是法国数学家和数学教育家克洛尔（A．L．Crelle 1780﹣1855）于1816年首次发现，但他的发现并未被当时的人们所注意，1875年，布洛卡点被一个数学爱好者法国军官布洛卡（Brocard 1845﹣1922）重新发现，并用他的名字命名．问题：已知在等腰直角三角形DEF 中，∠EDF=90°，若点Q为△DEF的布洛卡点，DQ=1，则EQ+FQ=（）A．5 B．4 C．D．【考点】R2：旋转的性质；JB：平行线的判定与性质；KW：等腰直角三角形．【专题】选择题【分析】由△DQF∽△FQE，推出===，由此求出EQ、FQ即可解决问题．【解答】解：如图，在等腰直角三角形△DEF中，∠EDF=90°，DE=DF，∠1=∠2=∠3，∵∠1+∠QEF=∠3+∠DFQ=45°，∴∠QEF=∠DFQ，∵∠2=∠3，∴△DQF∽△FQE，∴===，∵DQ=1，∴FQ=，EQ=2，∴EQ+FQ=2+，故选D【点评】本题考查等腰直角三角形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．13．线段AB沿和它垂直的方向平移到A′B′，则线段AB和线段A′B′的位置关系是．【考点】Q2：平移的性质．【专题】填空题【分析】根据平移的性质可知，线段AB沿和它垂直的方向平移到A′B′，则线段AB和线段A′B′平行且相等．【解答】解：∵线段AB沿和它垂直的方向平移到A′B′，∴线段AB和线段A′B′的位置关系是平行且相等．故答案为：平行且相等．【点评】本题考查的是平移的性质，①把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；②新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等．14．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，BC＞AD，∠B与∠C互余，将AB，CD 分别平移到EF和EG的位置，则△EFG为三角形．【考点】Q2：平移的性质．【专题】填空题【分析】利用平移的性质可以知∠B+∠C=∠EFG+∠EGF，然后根据三角形内角和定理在△EFG中求得∠FEG=90°．【解答】解：∵AB，CD分别平移到EF和EG的位置后，∠B的对应角是∠EFG，∠C的对应角是∠EGF，又∵∠B与∠C互余，∴∠EFG与∠EGF互余，∴在△EFG中，∠FEG=90°（三角形内角和定理），∴△EFG为Rt△EFG，故答案是：直角．【点评】本题考查了平移的性质，对应线段平行（或共线）且相等，对应角相等，对应点所连接的线段平行且相等．15．如图，把Rt△ABC绕点A逆时针旋转40°，得到Rt△AB′C′，点C′恰好落在边AB上，连接BB′，则∠BB′C′=度．【考点】R2：旋转的性质．【专题】填空题【分析】根据旋转的性质可得AB=AB′，∠BA B′=40°，然后根据等腰三角形两底角相等求出∠ABB′，再利用直角三角形两锐角互余列式计算即可得解．【解答】解：∵Rt△ABC绕点A逆时针旋转40°得到Rt△AB′C′，∴AB=AB′，∠BAB′=40°，在△ABB′中，∠ABB′=（180°﹣∠BAB′）=（180°﹣40°）=70°，∵∠AC′B′=∠C=90°，∴B′C′⊥AB，∴∠BB′C′=90°﹣∠ABB′=90°﹣70°=20°．故答案为：20．【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的两锐角互余，比较简单，熟记旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小得到等腰三角形是解题的关键．16．在平面直角坐标系中，把点A（2，3）向左平移一个单位得到点A′，则点A′的坐标为．【考点】Q3：坐标与图形变化﹣平移．【专题】填空题【分析】根据向左平移横坐标减，向上平移纵坐标加求解即可．【解答】解：∵点A（2，3）向左平移1个单位长度，∴点A′的横坐标为2﹣1=1，纵坐标不变，∴A′的坐标为（1，3）．故答案为：（1，3）．【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．17．已知：如图，在△AOB中，∠AOB=90°，AO=3cm，BO=4cm．将△AOB绕顶点O，按顺时针方向旋转到△A1OB1处，此时线段OB1与AB的交点D恰好为AB 的中点，则线段B1D=cm．【考点】R2：旋转的性质；KP：直角三角形斜边上的中线．【专题】填空题【分析】先在直角△AOB中利用勾股定理求出AB==5cm，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出OD=AB=2.5cm．然后根据旋转的性质得到OB1=OB=4cm，那么B1D=OB1﹣OD=1.5cm．【解答】解：∵在△AOB中，∠AOB=90°，AO=3cm，BO=4cm，∴AB==5cm，∵点D为AB的中点，∴OD=AB=2.5cm．∵将△AOB绕顶点O，按顺时针方向旋转到△A1OB1处，∴OB1=OB=4cm，∴B1D=OB1﹣OD=1.5cm．故答案为1.5．【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质以及勾股定理．18．如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣3，4），B（﹣5，2），C（﹣2，1）．(1)画出△ABC关于y轴对称图形△A1B1C1；(2)画出将△ABC绕原点O逆时针方向旋转90°得到的△A2B2C2；(3)求(2)中线段OA扫过的图形面积．【考点】R8：作图﹣旋转变换；MO：扇形面积的计算；P7：作图﹣轴对称变换．【专题】解答题【分析】(1)分别作出各点关于y轴的对称点，再顺次连接即可；(2)根据图形旋转的性质画出旋转后的图形△A2B2C2即可；(3)利用扇形的面积公式即可得出结论．【解答】解：(1)如图，△A1B1C1即为所求；(2)如图，△A2B2C2即为所求；(3)∵OA==5，∴线段OA扫过的图形面积==π．【点评】本题考查的是作图﹣旋转变换，熟知图形旋转不变性的性质是解答此题的关键．19．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的两格中，点A、B、C都是格点．(1)将△ABC向左平移6个单位长度得到得到△A1B1C1；(2)将△ABC绕点O按逆时针方向旋转180°得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2．【考点】R8：作图﹣旋转变换；Q4：作图﹣平移变换．【专题】解答题【分析】(1)将点A、B、C分别向左平移6个单位长度，得出对应点，即可得出△A1B1C1；(2)将点A、B、C分别绕点O按逆时针方向旋转180°，得出对应点，即可得出△A2B2C2．【解答】解：(1)如图所示：△A1B1C1，即为所求；(2)如图所示：△A2B2C2，即为所求．【点评】此题主要考查了图形的平移和旋转，根据已知得出对应点位置是解题关键．20．如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中∠C=90°，∠B=∠E=30°．(1)操作发现如图2，固定△ABC，使△DEC绕点C旋转，当点D恰好落在AB边上时，填空：③线段DE与AC的位置关系是；②设△BDC的面积为S1，△AEC的面积为S2，则S1与S2的数量关系是．(2)猜想论证当△DEC绕点C旋转到如图3所示的位置时，小明猜想(1)中S1与S2的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△BDC和△AEC中BC、CE边上的高，请你证明小明的猜想．(3)拓展探究已知∠ABC=60°，点D是角平分线上一点，BD=CD=4，DE∥AB交BC于点E（如图4）．若在射线BA上存在点F，使S△DCF =S△BDE，请直接写出相应的BF的长．【考点】KD：全等三角形的判定与性质．【专题】解答题【分析】(1)①根据旋转的性质可得AC=CD，然后求出△ACD是等边三角形，根据等边三角形的性质可得∠ACD=60°，然后根据内错角相等，两直线平行解答；②根据等边三角形的性质可得AC=AD，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AC=AB，然后求出AC=BD，再根据等边三角形的性质求出点C到AB的距离等于点D到AC的距离，然后根据等底等高的三角形的面积相等解答；(2)根据旋转的性质可得BC=CE，AC=CD，再求出∠ACN=∠DCM，然后利用“角角边”证明△ACN和△DCM全等，根据全等三角形对应边相等可得AN=DM，然后利用等底等高的三角形的面积相等证明；(3)过点D作DF1∥BE，求出四边形BEDF1是菱形，根据菱形的对边相等可得BE=DF1，然后根据等底等高的三角形的面积相等可知点F1为所求的点，过点D作DF2⊥BD，求出∠F1DF2=60°，从而得到△DF1F2是等边三角形，然后求出DF1=DF2，再求出∠CDF1=∠CDF2，利用“边角边”证明△CDF1和△CDF2全等，根据全等三角形的面积相等可得点F2也是所求的点，然后在等腰△BDE中求出BE的长，即可得解．【解答】解：(1)①∵△DEC绕点C旋转点D恰好落在AB边上，∴AC=CD，∵∠BAC=90°﹣∠B=90°﹣30°=60°，∴△ACD是等边三角形，∴∠ACD=60°，又∵∠CDE=∠BAC=60°，∴∠ACD=∠CDE，∴DE∥AC；②∵∠B=30°，∠C=90°，∴CD=AC=AB，∴BD=AD=AC，根据等边三角形的性质，△ACD的边AC、AD上的高相等，∴△BDC的面积和△AEC的面积相等（等底等高的三角形的面积相等），即S1=S2；故答案为：DE∥AC；S1=S2；(2)如图，∵△DEC是由△ABC绕点C旋转得到，∴BC=CE，AC=CD，∵∠ACN+∠BCN=90°，∠DCM+∠BCN=180°﹣90°=90°，∴∠ACN=∠DCM，∵在△ACN和△DCM中，，∴△ACN≌△DCM（AAS），∴AN=DM，∴△BDC的面积和△AEC的面积相等（等底等高的三角形的面积相等），即S1=S2；(3)如图，过点D作DF1∥BE，易求四边形BEDF1是菱形，所以BE=DF1，且BE、DF1上的高相等，此时S△DCF1=S△BDE；过点D作DF2⊥BD，∵∠ABC=60°，F1D∥BE，∴∠F2F1D=∠ABC=60°，∵BF1=DF1，∠F1BD=∠ABC=30°，∠F2DB=90°，∴∠F1DF2=∠ABC=60°，∴△DF1F2是等边三角形，∴DF1=DF2，∵BD=CD，∠ABC=60°，点D是角平分线上一点，∴∠DBC=∠DCB=×60°=30°，∴∠CDF1=180°﹣∠BCD=180°﹣30°=150°，∠CDF2=360°﹣150°﹣60°=150°，∴∠CDF1=∠CDF2，∵在△CDF1和△CDF2中，，∴△CDF1≌△CDF2（SAS），∴点F2也是所求的点，∵∠ABC=60°，点D是角平分线上一点，DE∥AB，∴∠DBC=∠BDE=∠ABD=×60°=30°，又∵BD=4，∴BE=×4÷cos30°=2÷=，∴BF1=，BF2=BF1+F1F2=+=，故BF的长为或．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的面积，等边三角形的判定与性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟练掌握等底等高的三角形的面积相等，以及全等三角形的面积相等是解题的关键，(3)要注意符合条件的点F有两个．21．某游乐场部分平面图如图所示，C、E、A在同一直线上，D、E、B在同一直线上，测得A处与E处的距离为80 米，C处与D处的距离为34米，∠C=90°，∠BAE=30°．（≈1.4，≈1.7）(1)求旋转木马E处到出口B处的距离；(2)求海洋球D处到出口B处的距离（结果保留整数）．【考点】R2：旋转的性质．【专题】解答题【分析】(1)在Rt△ABE中，利用三角函数即可直接求得BE的长；(2)在Rt△CDE中，利用三角函数求得DE的长，然后利用DB=DE+EB求解．【解答】解：(1)∵在Rt△ABE中，∠BAE=30°，∴BE=AE=×80=40（米）；(2)∵在Rt△ABE中，∠BAE=30°，∴∠AEB=90°﹣30°=60°，∴∠CED=∠AEB=60°，∴在Rt△CDE中，DE=≈=40（米），则BD=DE+BE=40+40=80（米）．【点评】本题考查了解直角三角形，正确理解三角函数的定义，理解边角关系是关键．22．在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A（2，3），B（1，1），C（5，1）．(1)把△ABC平移后，其中点A移到点A1（4，5），画出平移后得到的△A1B1C1；(2)把△A1B1C1绕点A1按逆时针方向旋转90°，画出旋转后的△A2 B2C2．【考点】R8：作图﹣旋转变换；Q4：作图﹣平移变换．【专题】解答题【分析】(1)根据图形平移的性质画出平移后的△A1B1C1即可；(2)根据图形旋转的性质画出旋转后的△A2 B2C2即可．【解答】解：(1)如图，△A1B1C1即为所求；(2)如图，△A2 B2C2即为所求．【点评】本题考查的是作图﹣旋转变换，熟知图形旋转不变性的性质是解答此题的关键．23．如图，已知AC⊥BC，垂足为C，AC=4，BC=3，将线段AC绕点A按逆时针方向旋转60°，得到线段AD，连接DC，DB．(1)线段DC=；(2)求线段DB的长度．【考点】R2：旋转的性质．【专题】解答题【分析】(1)证明△ACD是等边三角形，据此求解；(2)作DE⊥BC于点E，首先在Rt△CDE中利用三角函数求得DE和CE的长，然后在Rt△BDE中利用勾股定理求解．【解答】解：(1)∵AC=AD，∠CAD=60°，∴△ACD是等边三角形，∴DC=AC=4．故答案是：4；(2)作DE⊥BC于点E．∵△ACD是等边三角形，∴∠ACD=60°，又∵AC⊥BC，∴∠DCE=∠ACB﹣∠ACD=90°﹣60°=30°，∴Rt△CDE中，DE=DC=2，CE=DC•cos30°=4×=2，∴BE=BC﹣CE=3﹣2=．∴Rt△BDE中，BD===．【点评】本题考查了旋转的性质以及解直角三角形的应用，正确作出辅助线，转化为直角三角形的计算是关键．。
北师大版数学八年级下册第三章图形的平移与旋转第1节图形的平行课堂练习
第三章图形的平移与旋转第1节图形的平行课堂练习学校:___________姓名：___________班级：___________考生__________评卷人得分一、单选题1．4根火柴棒摆成如图所示的象形“口”字，平移火柴棒后，原图形变成的象形文字是（）A．B．C．D．2．如图，点A，B的坐标分别为(2，0)，(0，1)，若将线段AB平移至A1B1，则a b的值为（）A．2B．3C．4D．53．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（2，0），B（1，1），若平移点A到点C，使得以点O，A，B，C为顶点的四边形为菱形，正确的是（）A．向左平移1个单位，再向下平移1个单位．B．向右平移1个单位，再向上平移1个单位．C．向左平移2个单位，再向下平移1个单位．D．向右平移2个单位，再向上平移1个单位．4．在下列四个图案中，不能用平移变换来分析其形成过程的是（）A．B．C．D．5．下列运动中不是平移的是（）A．电梯上人的升降B．钟表的指针的转动C．火车在笔直的铁轨上行驶D．起重机上物体的升降6．如图，在边长为1的正方形网格中，两个三角形的顶点都在格点（网线的交点）上，下列方案中不能把△ABC平移至△DEF位置的是（）A．先把△ABC沿水平方向向右平移4个单位长度，再向上平移3个单位长度B．先把△ABC向上平移3个单位长度，再沿水平方向向右平移4个单位长度C．把△ABC沿BE方向移动5个单位长度D．把△ABC沿BE方向移动6个单位长度7．如图，把直角梯形ABCD沿AD方向平移到梯形EFGH，HG=24m，MG=8m，MC=6m，则阴影部分地的面积是（）m2.A．168B．128C．98D．1568．下列四幅名车标志设计中能用平移得到的是()A ．B ．C ．D ．评卷人得分二、填空题 9．如图，将周长为8的△ABC 沿BC 方向向右平移1个单位得到△DEF ，则四边形ABFD 的周长为_____________．10．如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O 出发，按向上，向右，向下，向右的方向不断地移动，每移动一个单位，得到点A 1（0，1），A 2（1，1），A 3（1，0），A 4（2，0），…那么点A 4n +1（n 为自然数）的坐标为_____（用n 表示）11．如图，ABC ∆沿直线AB 向下平移可以得到DEF ∆，如果85AB BD ==，，那么BE 等于____________.12．若在运动会颁奖台上面及两侧铺上地毯（如图阴影部分），长为m，宽为n，高为h，（单位为：cm）则用m，n，h表示需要地毯的面积为_______.13．如图，在长方形ABCD中，AB＝7cm，BC＝10cm，现将长方形ABCD向右平移3cm，再向下平移4cm后到长方形A'B'C'D'的位置，A'B'交BC于点E，A'D'交DC于点F，那么长方形A'ECF的周长为_____cm．14．已知，大正方形的边长为4厘米，小正方形的边长为2厘米，起始状态如图所示，大正方形固定不动，把小正方形向右平移，当两个正方形重叠部分的面积为2平方厘米时，小正方形平移的距离为_____厘米．15．将点(2,3)P-先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到点P'，则点P'的坐标为__________.16．如图所示，在长为50米，宽为30米的长方形地块上，有纵横交错的几条小路（图中阴影部分），宽均为1米，其他部分均种植花草，则道路的面积是________平方米．评卷人得分三、解答题 17．如图，矩形ABCD 中，6AB =，第1次平移将矩形ABCD 沿AB 的方向向右平移5个单位，得到矩形1111D C B A ，第2次平移将矩形1111D C B A 沿11A B 的方向向右平移5个单位，得到矩形2222A B C D ，…，第n 次平移将矩形1111n n n n A B C D ----沿11n n A B --的方向平移5个单位，得到矩形(2)n n n n A B C D n >．（1）求1AB 和2AB 的长．（2）若n AB 的长为56，求n 的值．18．已知：如图，把ABC ∆向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到'''A B C ∆； （1）写出',','A B C 的坐标；（2）求出ABC ∆的面积；（3）点P 在y 轴上，且BCP ∆与ABC ∆的面积相等，求点P 的坐标．19．如图，将三角形ABC 向右平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度请回答下列问题：（1）平移后的三个顶点坐标分别为：A 1 ，B 1 ，C 1 ；（2）画出平移后三角形A 1B 1C 1；（3）求三角形ABC 的面积．20．如图，小鱼家在(10,8)A 处，小云家在(4,4)B 处，从小鱼家到小云家可以按下面的两条路线走：路线△：(10,8)(10,7)(8,7)(8,6)(6,6)(6,5)(4,5)(4,4)→→→→→→→．路线△：(10,8)(4,8)(4,4)→→．（1）请你在图上画出这两条路线，并比较这两条路线的长短；参考答案：1．B【解析】【详解】解：原图形平移后，水平的火柴头应在左边，竖直的火柴头应是一上一下．只有B符合．故选B．【点睛】本题主要考查了生活中的平移现象，熟练掌握平移的性质是解题的关键．2．B【解析】【分析】先根据点A、B及其对应点的坐标得出平移方向和距离，据此求出a、b的值，继而可得答案．【详解】解：由点A（2，0）的对应点A1（4，b）知向右平移2个单位，由点B（0，1）的对应点B1（a，2）知向上平移1个单位，△a=0+2=2，b=0+1=1，△a+b=2+1=3，故答案为：B．【点睛】本题主要考查坐标与图形的变化-平移，解题的关键是掌握横坐标的平移规律为：右移加，左移减；纵坐标的平移规律为：上移加，下移减．3．B【解析】【详解】【分析】根据坐标求出BO,AO的长度，可得BO,AO是菱形的边，再根据平移得出图形，根据图形平移求出C的坐标，再逐个判断.【详解】如图，因为在平面直角坐标系xOy中，已知点A（2，0），B（1,1），所以，BO=112+=,OA=2,因为O，A，B，C为顶点的四边形为菱形，所以BO=CA，BO∥CA，即CA可由BO平移得到，所以C（1+2，1）所以，根据平移定义，可知选项B正确.故正确选项为：B【点睛】本题考核知识点：用坐标表示平移，菱形.解题关键：推出菱形的边长，运用平移推出C的位置，同时求出C的坐标.4．B【解析】【分析】根据平移不改变图形的形状和大小，将题中所示的图案通过平移后可以得到的图案是B．【详解】解：观察图形可知图案B通过平移后可以得到．故选B．【点睛】本题考查了图形的平移，图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小，学生易混淆图形的平移与旋转或翻转．5．B【解析】【详解】分析：根据平移只改变物体的位置，没有改变物体的形状和大小的，并且对应线段平行且相等做出判定即可.详解：选项A，符合平移的定义，属于平移；选项B，改变物体的位置，没有改变物体的形状和大小的，对应线段不平行，不符合平移的定义，不属于平移；选项C，符合平移的定义，属于平移；选项D，符合平移的定义，属于平移；故选B．点睛：本题主要考查了平移的定义，解决本题的关键是抓住平移的特征：平移前后对应线段平行且相等来进行判断．6．D【解析】【分析】根据平移的性质，结合图形，对选项进行一一分析，即可选出正确答案．【详解】解：根据平移的定义及性质可知：A、先把△ABC沿水平方向向右平移4个单位长度，再向上平移3个单位长度可以得到△DEF；故A正确；B、先把△ABC向上平移3个单位长度，再沿水平方向向右平移4个单位长度可以得到△DEF；故B正确；C、△22=+=，BE435△把△ABC沿BE方向移动5个单位长度可以得到△DEF；故C正确；D、把△ABC沿BE方向移动6个单位长度得不到△DEF；故D错误.故选：D．【点睛】本题考查平移的基本性质：△平移不改变图形的形状和大小；△经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．7．A【解析】【分析】根据平移的性质可得CD=GH，阴影部分的面积等于梯形DMGH的面积，再求出MD的长度，然后根据梯形的面积公式列式计算即可得解．【详解】解：由平移的性质得，CD=GH=24m，且梯形ABCD的面积等于梯形EFGH的面积△阴影部分的面积=梯形DMGH的面积，△MC=6m，△MD=CD-NC=24-6=18m，△阴影部分地的面积=12（MD+GH）•MG=12×（18+24）×8=168m2．故选A．【点睛】本题考查了平移的性质，根据平移前后的两个图形能够互相重合判断出阴影部分的面积等于四边形DMGH的面积是解题的关键．8．A【解析】【分析】根据平移的定义结合图形进行判断．【详解】根据平移的定义可知，只有A选项是由一个圆作为基本图形，经过平移得到．故选A．【点睛】本题考查了平移的定义：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同，图形的这种移动叫做平移．注意平移是图形整体沿某一直线方向移动，平移不改变图形的形状和大小．9．10【解析】【详解】根据题意，将周长为8的△ABC沿边BC向右平移1个单位得到△DEF，则AD=1，BF=BC+CF=BC+1，DF=AC，又△AB+BC+AC=10，△四边形ABFD的周长=AD+AB+BF+DF=1+AB+BC+1+AC=10．故答案为：10．【点睛】本题考查平移的性质．利用数形结合的思想是解题关键．10．（2n，1）【解析】【分析】根据图形分别求出n=1、2、3时对应的点A4n+1的坐标，然后根据变化规律写出即可【详解】由图可知，n=1时，4×1+1=5，点A5（2，1），n=2时，4×2+1=9，点A9（4，1），n=3时，4×3+1=13，点A13（6，1），△点A4n+1（2n，1）．故答案为：（2n，1）11．3【解析】【分析】先计算出AD=AB-BD=3，然后根据平移的性质求解．【详解】△△ABC沿直线AB向下平移得到△DEF，△AD=BE，△AB=8，BD=5，△AD=AB-BD=3，△BE=3．故答案为3．【点睛】本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等．12．（mn+2nh）cm2．【解析】【分析】根据平移计算出地毯总长，然后再根据长×宽可得面积．【详解】依题意得：地毯的面积为：（mn+2nh）cm2．故答案是：（mn+2nh）cm2．【点睛】此题主要考查了生活中的平移现象、代数式求值，关键是掌握平移是指图形的平行移动，平移时图形中所有点移动的方向一致，并且移动的距离相等．13．20【解析】【分析】根据平移的距离表示出长方形A'ECF的长和宽，即可求出结论．【详解】解：由题意得到BE=3cm，DF=4cm，△AB=DC=7cm，BC=10cm，△EC=BC-BE=10cm-3cm=7cm，FC=DC-DF=7cm-4cm=3cm，△长方形A'ECF的周长=2×（7+3）=20（cm），故答案为20．【点睛】本题考查了平移的性质，认准图形，准确求出长方形A'ECF的长和宽是解题的关键．14．1或5【解析】【分析】小正方形的高不变，根据面积即可求出小正方形平移的距离．【详解】解：当两个正方形重叠部分的面积为2平方厘米时，重叠部分宽为2÷2＝1（厘米），△如图，小正方形平移距离为1厘米；△如图，小正方形平移距离为4+1＝5（厘米)．故答案为1或5，【点睛】此题考查了平移的性质，要明确平移前后图形的形状和面积不变．画出图形即可直观解答．15．（0，0）【解析】【分析】根据向右平移，横坐标加，纵坐标不变，向下平移，横坐标不变，纵坐标减，进行求解即可．【详解】解：-2+2=-0，3-3=0，△P'点坐标是（0，0）．故答案为（0，0）．【点睛】本题考查了坐标与图形的变化，熟记“左减右加，下减上加”是解题的关键．16．79【解析】【分析】可以根据平移的性质，此小路相当于一条横向长为50米与一条纵向长为30米的小路，道路的面积=横纵小路的面积-小路交叉处的面积，计算即可．【详解】解：由题意可得，道路的面积为：(30+50)×1−1=79(m2)．故答案为：79【点睛】此题考查生活中的平移现象，解题关键在于掌握运算公式．17．（1）111AB=，216AB=；（2）10n=．【解析】【分析】（1）根据平移的性质得出21A B 的长度，然后根据图形的位置关系求出1AB 和2AB 的长． （2）根据（1）中所求，得出数字变化规律，进而得出56n AB n =+，根据n AB 的长度即可求出n.【详解】（1）△6AB =，第1次平移将矩形ABCD 沿AB 的方向向右平移5个单位，得到矩形1111D C B A ，第2次平移将矩形1111D C B A 沿11A B 的方向向右平移5个单位，得到矩形2222A B C D ，△1122111125,5,651AA A A A B A B A A ===-=-=．△11122155111AB AA A A A B =++=++=．△2AB 的长为55616++=．（2）△125111AB =⨯+=，235116AB =⨯+=，△(1)5156n AB n =+⨯+=，解得10n =．【点睛】本题主要考查图形的平移.18．（1）A′（0，4）、B′（-1，1）、C′（3，1）；（2）6；（3）P （0，1）或（0，-5）．【解析】【分析】（1）观察图形可得△ABC 的各顶点坐标，继而根据上加下减，左减右加即可得到平移后对应点A′、B′、C′的坐标；即可得到△A′B′C′；（2）直接利用三角形面积公式根据BC 以及BC 边上的高进行求解即可；（3）由△BCP 与△ABC 的面积相等可知点P 到BC 的距离等于点A 到BC 的距离，据此分情况求解即可．【详解】（1）观察图形可得A （-2，1），B （-3，-2），C （1，-2），因为把△ABC 向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到△A′B′C′，所以A′（-2+2，1+3）、B′（-3+2，-2+3）、C′（1+2，-2+3），即A′（0，4）、B′（-1，1）、C′（3，1）；（2）S△ABC=12BC AD=1432⨯⨯=6；（3）设P（0，y），△△BCP与△ABC同底等高，△|y+2|=3，即y+2=3或y+2=-3，解得y1=1，y2=-5，△P（0，1）或（0，-5）．【点睛】本题考查了图形的平移，三角形的面积，熟练掌握平移的规律“上加下减，左减右加”是解题的关键．19．(1)A1（4，7），B1（1，2），C1（6，4）；(2)见解析；(3)192【解析】【分析】(1)根据平移的规律变化结合平面直角坐标系写出各点的坐标即可；(2)根据网格结构找出点A、B、C平移后的对应点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可；(3)利用△ABC所在的矩形的面积减去四周三个直角三角形的面积，列式计算即可得解．【详解】(1) 观察图形可知点A（-1，4），点B（-4，-1），点C（1，1），所以将三角形ABC向右平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度后所得对应点的坐标为：A1（4，7），B1（1，2），C1（6，4）；(2)△A1B1C1如图所示；(3)△ABC的面积=5×5-12×5×2-12×2×3-12×3×5=25-5-3-7.5=25-15.5=9.5．【点睛】本题考查了利用平移变换作图，三角形的面积，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．20．（1）作图见解析，长度相等；（2）作图见解析【解析】【分析】（1）根据有序实数对的意义即可画出路线△△，再利用平移的性质解答即可；（2）画出路线（10，8）→（10，4）→（4，4）即可．【详解】解：（1）路线△△如图所示．根据平移的性质可知它们的长度相等．（2）（答案不唯一）画出路线△：(10,8)(10,4)(4,4)→→，如图所示：【点睛】本题考查了利用数对确定位置和路线，熟练掌握有序数对的意义是关键．。
北师大版八年级下册数学同步课时练习题（全册分章节课时,含答案）
北师⼤版⼋年级下册数学同步课时练习题（全册分章节课时,含答案）北师⼤版⼋年级下册数学同步课时练习题第⼀章三⾓形的证明第⼆章1．1等腰三⾓形第1课时全等三⾓形和等腰三⾓形的性质01基础题知识点1全等三⾓形的性质与判定1．如图，△ABC≌△BAD.若AB＝6，AC＝4，BC＝5，则AD的长为(B)A．4 B．5C．6 D．以上都不对2．如图，若能⽤AAS来判定△ACD≌△ABE，则需要添加的条件是(B)A．∠ADC＝∠AEB，∠C＝∠BB．∠ADC＝∠AEB，CD＝BEC．AC＝AB，AD＝AED．AC＝AB，∠C＝∠B3．(2016·成都)如图，△ABC≌△A′B′C′，其中∠A＝36°，∠C′＝24°，则∠B＝120°．4．(2017·怀化)如图，AC＝DC，BC＝EC，请你添加⼀个适当的条件：AB＝DE(答案不唯⼀)，使得△ABC≌△DEC.5．如图，点B，E，C，F在同⼀条直线上，AB∥DE，AB＝DE，BE＝CF，AC＝6，则DF＝6．6．(2016·宜宾)如图，已知∠CAB＝∠DBA，∠CBD＝∠DAC.求证：BC＝AD.证明：∵∠CAB＝∠DBA，∠DAC＝∠CBD，∴∠DAB＝∠CBA.在△ADB和△BCA中，∠DBA ＝∠CAB ，AB ＝BA ，∠DAB ＝∠CBA ，∴△ADB ≌△BCA(ASA)．∴AD ＝BC.7．(2017·黄冈)已知：如图，∠BAC ＝∠DAM ，AB ＝AN ，AD ＝AM ，求证：∠B ＝∠ANM.证明：∵∠BAC ＝∠DAM ，∠BAC ＝∠BAD ＋∠DAC ，∠DAM ＝∠DAC ＋∠NAM ，∴∠BAD ＝∠NAM.在△BAD 和△NAM 中，AB ＝AN ，∠BAD ＝∠NAM ，AD ＝AM ，∴△BAD ≌△NAM(SAS)．∴∠B ＝∠ANM.知识点2 等腰三⾓形的性质8．若等腰三⾓形的顶⾓为50°，则它的底⾓度数为(D)A ．40°B ．50°C ．60°D ．65° 9．(2017·平顶⼭市宝丰县期末)等腰三⾓形的⼀边长为4，另⼀边长为5，则此三⾓形的周长为(D)A ．13B ．14C ．15D ．13或14 10．(2017·江西)如图1是⼀把园林剪⼑，把它抽象为图2，其中OA ＝OB.若剪⼑张开的⾓为30°，则∠A ＝75度．11．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于点D.若AB ＝6，CD ＝4，则△ABC 的周长是20．02 中档题12．如图，在△ABC 中，AD ⊥BC ，垂⾜为D ，AD ＝BD ＝CD ，则下列结论错误的是(C)A ．AB ＝AC B ．AD 平分∠BAC C ．AB ＝BC D ．∠BAC ＝90°13．(2017·朝阳市建平县期末)若等腰三⾓形的⼀个内⾓等于15°，则这个三⾓形为(D)A ．钝⾓等腰三⾓形B ．直⾓等腰三⾓形C ．锐⾓等腰三⾓形D ．钝⾓等腰三⾓形或锐⾓等腰三⾓形 14．(2016·泰安)如图，在△PAB 中，PA ＝PB ，M ，N ，K 分别是PA ，PB ，AB 上的点，且AM ＝BK ，BN ＝AK.若∠MKN ＝44°，则∠P 的度数为(D)A ．44°B ．66°C ．88°D ．92°15．如图，已知点A ，F ，E ，C 在同⼀直线上，AB ∥CD ，∠ABE ＝∠CDF ，AF ＝CE. (1)从图中任找两组全等三⾓形； (2)从(1)中任选⼀组进⾏证明．解：(1)答案不唯⼀，如：△ABE ≌△CDF ，△ABC ≌△CDA. (2)答案不唯⼀，如选择证明△ABE ≌△CDF ，证明如下：∵AF ＝CE ，∴AE ＝CF. ∵AB ∥CD ，∴∠BAE ＝∠DCF. ⼜∵∠ABE ＝∠CDF ，∴△ABE ≌△CDF(AAS)．16．如图，△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC ，CE ⊥AB ，AE ＝CE.求证：(1)△AEF ≌△CEB ； (2)AF ＝2CD.证明：(1)∵AD ⊥BC ，CE ⊥AB ，∴∠AEF ＝∠CEB ＝∠ADC ＝90°.∴∠AFE ＋∠EAF ＝∠CFD ＋∠ECB ＝90°. ⼜∵∠AFE ＝∠CFD ，∴∠EAF ＝∠ECB.在△AEF 和△CEB 中，∠AEF ＝∠CEB ，AE ＝CE ，∠EAF ＝∠ECB ，∴△AEF ≌△CEB(ASA)． (2)∵△AEF ≌△CEB ，∴AF ＝BC.在△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC ，∴CD ＝BD ，BC ＝2CD.∴AF ＝2CD.03 综合题17．(1)如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，点D ，E 在边AB 上，且AD ＝AC ，BE ＝BC ，求∠DCE 的度数； (2)如图2，在△ABC 中，∠ACB ＝40°，点D ，E 在直线AB 上，且AD ＝AC ，BE ＝BC ，则∠DCE ＝110°； (3)在△ABC 中，∠ACB ＝n °(0＜n ＜180)，点D ，E 在直线AB 上，且AD ＝AC ，BE ＝BC ，求∠DCE 的度数(直接写出答案，⽤含n 的式⼦表⽰)．解：(1)∵AD ＝AC ，BC ＝BE ，∴∠ACD ＝∠ADC ，∠BCE ＝∠BEC. ∴∠ACD ＝(180°－∠A)÷2，∠BCE ＝(180°－∠B)÷2. ∵∠A ＋∠B ＝90°，∴∠ACD ＋∠BCE ＝180°－(∠A ＋∠B)÷2＝180°－45°＝135°. ∴∠DCE ＝∠ACD ＋∠BCE －∠ACB ＝135°－90°＝45°. (3)①如图1，∠DCE ＝90°－12n °；②如图2，∠DCE ＝90°＋12n °；③如图3，∠DCE ＝12n °；④如图4，∠DCE ＝12n °.第2课时等边三⾓形的性质01 基础题知识点1 等腰三⾓形相关线段的性质1．在△ABC 中，AB ＝AC ，BD ，CE 分别为边AC ，AB 上的中线．若BD ＝5，则CE ＝5． 2．证明：等腰三⾓形两腰上的⾼相等．解：已知：如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，CE ⊥AB 于点E ，BD ⊥AC 于点D.求证：BD ＝CE.证明：∵CE ⊥AB 于点E ，BD ⊥AC 于点D ，∴∠AEC ＝∠ADB ＝90°. ⼜∵AC ＝AB ，∠A ＝∠A ，∴△ACE ≌△ABD(AAS)．∴CE ＝BD.知识点2等边三⾓形的性质3．如图，△ABC是等边三⾓形，则∠1＋∠2＝(C)A．60°B．90°C．120°D．180°4．(2017·南充)如图，等边△OAB的边长为2，则点B的坐标为(D)A．(1，1) B．(3，1)C．(3，3) D．(1，3)5．如图，△ABC为等边三⾓形，AC∥BD，则∠CBD＝120°．6．如图，等边△ABC中，AD为⾼，若AB＝6，则CD的长度为3．7．等边△ABC的边长如图所⽰，则y＝3．8．如图，l∥m，等边△ABC的顶点B在直线m上，延长AC，交直线m于点D.若∠1＝20°，求∠2的度数．解：∵△ABC是等边三⾓形，∴∠ACB＝60°.∴在△BCD中，∠CDB＝∠ACB－∠1＝60°－20°＝40°.∵l∥m，∴∠2＝∠CDB＝40°.9．如图，△ABC和△ADE是等边三⾓形，AD是BC边上的中线．求证：BE＝BD.证明：∵△ABC 和△ADE 是等边三⾓形，AD 为BC 边上的中线，∴AE ＝AD ，AD 为∠BAC 的平分线．∴∠CAD ＝∠BAD ＝30°. ∴∠BAE ＝∠BAD ＝30°. 在△ABE 和△ABD 中，AE ＝AD ，∠BAE ＝∠BAD ，AB ＝AB ，∴△ABE ≌△ABD(SAS)．∴BE ＝BD.02 中档题10．下列说法：①等边三⾓形的每⼀个内⾓都等于60°；②等边三⾓形三条边上的⾼都相等；③等腰三⾓形两底⾓的平分线相等；④等边三⾓形任意⼀边上的⾼与这条边上的中线互相重合；⑤等腰三⾓形⼀腰上的⾼与这条腰上的中线互相重合．其中正确的有(D)A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个11．如图，△ABC 是等边三⾓形，AD ⊥BC ，垂⾜为D ，点E 是AC 上⼀点，且AD ＝AE ，则∠CDE 等于(C)A ．30°B ．20°C ．15°D ．10°12．如图，已知△ABC 是等边三⾓形，点B ，C ，D ，E 在同⼀直线上，且CG ＝CD ，DF ＝DE ，则∠E ＝15度．13．如图，在等边△ABC 中，点D ，E 分别是边AB ，AC 的中点，CD ，BE 交于点O ，则∠BOC 的度数是120°．14．如图，已知等边△ABC 纸⽚，点E 在AC 边上，点F 在AB 边上，沿EF 折叠，使点A 落在BC 边上的点D 的位置，且ED ⊥BC ，则∠EFD ＝45°．解：∵△ABC 是等边三⾓形，BF 是△ABC 的⾼，∴∠ABO ＝12∠ABC ＝30°，AB ＝AC.∵AE ＝AC ，∴AB ＝AE. ∵AO 为∠BAE 的平分线，∴∠BAO ＝∠EAO.在△ABO 和△AEO 中，AB ＝AE ，∠BAO ＝∠EAO ，AO ＝AO ，∴△ABO ≌△AEO(SAS)．∴∠E ＝∠ABO ＝30°.16．如图，△ABC 为等边三⾓形，点M 是线段BC 上任意⼀点，点N 是线段CA 上任意⼀点，且BM ＝CN ，BN 与AM 相交于点Q. (1)求证：AM ＝BN ； (2)求∠BQM 的度数．解：(1)证明：∵△ABC 为等边三⾓形，∴∠ABC ＝∠C ＝∠BAC ＝60°，AB ＝BC. 在△AMB 和△BNC 中，AB ＝BC ，∠ABM ＝∠C ，BM ＝CN ，∴△AMB ≌△BNC(SAS)．∴AM ＝BN. (2)∵△AMB ≌△BNC ，∴∠MAB ＝∠NBC.∴∠BQM ＝∠MAB ＋∠ABQ ＝∠NBC ＋∠ABQ ＝∠ABC ＝60°.03 综合题17．已知，如图所⽰，P 为等边△ABC 内的⼀点，它到三边AB ，AC ，BC 的距离分别为h 1，h 2，h 3，△ABC 的⾼AM ＝h ，则h 与h 1，h 2，h 3有何数量关系？写出你的猜想并加以证明．解：猜想：h 1＋h 2＋h 3＝h. 证明如下：连接PA ，PB ，PC. ∵S △PAB ＝12AB·h 1，S △PAC ＝12AC·h 2，S △PBC ＝12BC·h 3，S △ABC ＝12BC·h ，S △PAB ＋S △PAC ＋S △PBC ＝S △ABC ，∴12AB·h 1＋12AC·h 2＋12BC·h 3＝12BC·h. ∵△ABC 是等边三⾓形，∴AB ＝AC ＝BC. ∴h 1＋h 2＋h 3＝h.第3课时等腰三⾓形的判定与反证法01 基础题知识点1 等腰三⾓形的判定1．在△ABC 中，已知∠B ＝∠C ，则(B)A ．AB ＝BC B ．AB ＝AC C ．BC ＝ACD ．∠A ＝60°2．如图，在△ABC 中，AD 平分外⾓∠EAC ，且AD ∥BC ，则△ABC ⼀定是(C)A ．任意三⾓形B ．等边三⾓形C ．等腰三⾓形D ．直⾓三⾓形3．如图，AC ，BD 相交于点O ，∠A ＝∠D ，如果请你再补充⼀个条件，使得△BOC 是等腰三⾓形，那么你补充的条件不能是(C)A ．OA ＝ODB ．AB ＝CDC ．∠ABO ＝∠DCOD ．∠ABC ＝∠DCB4．(易错题)下列能判定△ABC为等腰三⾓形的是(B)A．∠A＝30°，∠B＝60°B．∠A＝50°，∠B＝80°C．AB＝AC＝2，BC＝4D．AB＝3，BC＝7，周长为105．如图，已知OC平分∠AOB，CD∥OB.若OD＝3 cm，则CD＝3cm.6．如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，若添加下列条件中的⼀个：①BD＝CD；②AD平分∠BAC；③AD＝BD.其中能使△ABC成为等腰三⾓形的有①②．7．已知：如图，AB＝BC，DE∥AC，求证：△DBE是等腰三⾓形．证明：∵AB＝BC，∴∠A＝∠C.∵DE∥AC，∴∠BDE＝∠A，∠BED＝∠C.∴∠BDE＝∠BED.∴BD＝BE.∴△DBE是等腰三⾓形．知识点2反证法8．(2017·西安期中)⽤反证法证明命题“⼀个三⾓形中不能有两个⾓是直⾓”第⼀步应假设⼀个三⾓形中有两个⾓是直⾓．9．⽤反证法证明：等腰三⾓形的底⾓必定是锐⾓．已知：等腰△ABC，AB＝AC.求证：∠B，∠C必定是锐⾓．证明：①假设等腰三⾓形的底⾓∠B，∠C都是直⾓，即∠B＋∠C＝180°，则∠A＋∠B＋∠C＝180°＋∠A＞180°，这与三⾓形内⾓和等于180°⽭盾；②假设等腰三⾓形的底⾓∠B，∠C都是钝⾓，即∠B＋∠C＞180°，则∠A＋∠B＋∠C＞180°，这与三⾓形内⾓和等于180°⽭盾．综上所述，假设①，②错误，所以∠B，∠C只能为锐⾓．故等腰三⾓形的底⾓必定为锐⾓．10．⽤反证法证明：已知直线a∥c，b∥c，求证：a∥b.证明：假设a与b相交于点M，则过M点有两条直线平⾏于直线c，这与“过直线外⼀点平⾏于已知直线的直线有且只有⼀条”相⽭盾，所以假设不成⽴，即a∥b.02中档题11．(2017·郑州⽉考)已知，如图，在△ABC中，OB和OC分别平分∠ABC和∠ACB，过O作DE∥BC，分别交AB，AC于点D，E.若BD＋CE＝5，则线段DE的长为(A)A．5 B．6 C．7 D．812．已知△ABC中，AB＝AC，求证：∠B＜90°.若⽤反证法证这个结论，应⾸先假设∠B≥90°．13．如图，在⼀张长⽅形纸条上任意画⼀条截线AB，将纸条沿截线AB折叠，所得到△ABC的形状⼀定是等腰三⾓形．14．某轮船由西向东航⾏，在A处测得⼩岛P的⽅位是北偏东70°，⼜继续航⾏7海⾥后，在B处测得⼩岛P的⽅位是北偏东50°，则此时轮船与⼩岛P的距离BP＝7海⾥．15．(2017·内江)如图，AD平分∠BAC，AD⊥BD，垂⾜为点D，DE∥AC.求证：△BDE是等腰三⾓形．证明：∵DE∥AC，∴∠DAC＝∠EDA.∵AD平分∠BAC，∴∠DAC＝∠EAD.∴∠EAD＝∠EDA.∵AD⊥BD，∴∠EAD＋∠B＝90°，∠EDA＋∠BDE＝90°.∴∠B＝∠BDE.∴△BDE是等腰三⾓形．16．如图，在等边△ABC 中，BD 平分∠ABC ，延长BC 到E ，使CE ＝CD ，连接DE. (1)成逸同学说：BD ＝DE ，她说得对吗？请你说明理由；(2)⼩敏同学说：把“BD 平分∠ABC ”改成其他条件，也能得到同样的结论，你认为应该如何改呢？解：(1)BD ＝DE 是正确的．理由：∵△ABC 为等边三⾓形，BD 平分∠ABC ，∴∠DBC ＝12∠ABC ＝30°，∠ACB ＝60°.∴∠DCE ＝180°－∠ACB ＝120°. ⼜∵CE ＝CD ，∴∠E ＝30°. ∴∠DBC ＝∠E. ∴BD ＝DE.(2)可改为：BD ⊥AC(或点D 为AC 中点)．理由：∵BD ⊥AC ，∴∠BDC ＝90°. ∴∠DBC ＝30°.由(1)可知∠E ＝30°，∴∠DBC ＝∠E. ∴BD ＝DE.03 综合题17．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝2，∠B ＝∠C ＝40°，点D 在线段BC 上运动(D 不与B ，C 重合)，连接AD ，作∠ADE ＝40°，DE 交线段AC 于点E. (1)当∠BDA ＝115°时，∠EDC ＝25°，∠DEC ＝115°；点D 从B 向C 运动时，∠BDA 逐渐变⼩(填“⼤”或“⼩”)； (2)当DC 等于多少时，△ABD ≌△DCE ，请说明理由；(3)在点D 的运动过程中，△ADE 可以是等腰三⾓形吗？若可以，请直接写出∠BDA 的度数；若不可以，请说明理由．解：(2)当DC ＝2时，△ABD ≌△DCE. 理由：∵∠C ＝40°，∴∠DEC ＋∠EDC ＝140°. ⼜∵∠ADE ＝40°，∴∠ADB ＋∠EDC ＝140°. ∴∠ADB ＝∠DEC. ⼜∵AB ＝DC ＝2，∴△ABD ≌△DCE(AAS)．(3)可以，∠BDA 的度数为110°或80°. 理由：当∠BDA ＝110°时，∠ADC ＝70°. ∵∠C ＝40°，∴∠DAC ＝180°－∠ADC －∠C ＝180°－70°－40°＝70°. ∴∠AED ＝180°－∠DAC －∠ADE ＝180°－70°－40°＝70°. ∴∠AED ＝∠DAE.∴AD＝ED.∴△ADE是等腰三⾓形．当∠BDA＝80°时，∠ADC＝100°.∴∠DAC＝180°－∠ADC－∠C＝180°－100°－40°＝40°.∴∠DAE＝∠ADE.∴AE＝DE.∴△ADE是等腰三⾓形．第4课时等边三⾓形的判定01基础题知识点1等边三⾓形的判定1．△ABC中，AB＝AC，∠A＝∠C，则△ABC是(B)A．等腰三⾓形B．等边三⾓形C．不等边三⾓形D．不能确定2．下列说法不正确的是(D)A．有两个⾓分别为60°的三⾓形是等边三⾓形B．顶⾓为60°的等腰三⾓形是等边三⾓形C．底⾓为60°的等腰三⾓形是等边三⾓形D．有⼀个⾓为60°的三⾓形是等边三⾓形3．如图，在△ABC中，AB＝BC＝6，∠B＝60°，则AC等于(B)A．4 B．6 C．8 D．104．如图，将两个完全相同的含有30°⾓的三⾓板拼接在⼀起，则拼接后的△ABD的形状是等边三⾓形．5．如图，已知OA＝a，P是射线ON上⼀动点，∠AON＝60°，当OP＝a时，△AOP为等边三⾓形．6．如图，点D，E在线段BC上，BD＝CE，∠B＝∠C，∠ADB＝120°，求证：△ADE为等边三⾓形．证明：∵∠B＝∠C，∴AB＝AC.⼜∵BD＝CE，∴△ABD≌△ACE(SAS)．∴AD＝AE.⼜∵∠ADB＝120°，∴∠ADE＝60°.∴△ADE为等边三⾓形．知识点2 含30°⾓的直⾓三⾓形的性质 7．(2017·平顶⼭市宝丰县期中)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，BC ＝9，则AB ＝18． 8．(2017·郑州⽉考)如图，∠C ＝90°，∠ABC ＝75°，∠CDB ＝30°.若BC ＝3 cm ，则AD ＝6cm.9．如图，这是某超市⾃动扶梯的⽰意图，⼤厅两层之间的距离h ＝6.5⽶，⾃动扶梯的倾⾓为30°，若⾃动扶梯运⾏速度为v ＝0.5⽶/秒，则顾客乘⾃动扶梯上⼀层楼的时间为26秒．10．如图，铁路AC 与铁路AD 相交于车站A ，B 区在∠CAD 的平分线上，且距车站A 为20千⽶，∠DAC ＝60°，则B 区距铁路AC 的距离为10千⽶．11．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝30°，CD ⊥AB 于点D ，BC ＝8 cm ，求AD 的长．解：∵∠ACB ＝90°，∠A ＝30°，BC ＝8 cm ，∴∠B ＝60°，AB ＝2BC ＝16 cm. ⼜∵CD ⊥AB 于D ，∴∠BDC ＝90°. ∴∠DCB ＝30°. ∴DB ＝12BC ＝4 cm.∴AD ＝AB －DB ＝12 cm.02 中档题12．在下列三⾓形中：①三边都相等的三⾓形；②有⼀个⾓是60°且是轴对称图形的三⾓形；③三个外⾓(每个顶点处各取1个外⾓)都相等的三⾓形；④⼀腰上的中线也是这条腰上的⾼的等腰三⾓形．其中是等边三⾓形的有(D)A ．①②③B ．①②④C ．①③D ．①②③④13．如图，折叠直⾓三⾓形纸⽚的直⾓，使点C 落在斜边AB 上的点E 处，已知CD ＝1，∠B ＝30°，则BD 的长是(B)A ．1B ．2 C. 3 D ．2 314．已知∠AOB ＝30°，点P 在∠AOB 内部，P 1与P 关于OB 对称，P 2与P 关于OA 对称，则P 1，O ，P 2三点所构成的三⾓形是(D)A ．直⾓三⾓形B ．钝⾓三⾓形C ．等腰三⾓形D ．等边三⾓形15．如图，已知∠AOB ＝60°，点P 在边OA 上，OP ＝12，点M ，N 在边OB 上，PM ＝PN.若MN ＝2，则OM ＝(C)A ．3B ．4C ．5D ．616．如图，△ABC 是等边三⾓形，D ，E ，F 分别是AB ，BC ，CA 边上⼀点，且AD ＝BE ＝CF ，则△DEF 的形状是等边三⾓形．17．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝120°，AD 是BC 边的中线，点E ，F 分别是AB ，AC 的中点，连接DE ，DF.(1)求证：△AED 是等边三⾓形；(2)若AB ＝2，则四边形AEDF 的周长是4．证明：∵AB ＝AC ，∠BAC ＝120°，∴∠B ＝∠C ＝30°. ∵AD 是BC 边的中线，∴AD ⊥BC.∴∠BAD ＝60°. ∴AD ＝12AB.∵点E 为AB 的中点，∴AE ＝12AB.∴AE ＝AD.∴△ADE 是等边三⾓形．03 综合题18．在四边形ABCD 中，AB ＝BC ＝CD ＝DA ，∠B ＝∠D ＝60°，连接AC.(1)如图1，点E ，F 分别在边BC ，CD 上，且BE ＝CF.求证：①△ABE ≌△ACF ；②△AEF 是等边三⾓形；(2)若点E 在BC 的延长线上，则在直线CD 上是否存在点F ，使△AEF 是等边三⾓形？请证明你的结论(图2备⽤)．解：(1)证明：①∵AB ＝BC ，∠B ＝60°，∴△ABC 是等边三⾓形．∴AB ＝AC. 同理，△ADC 也是等边三⾓形，∴∠B ＝∠ACF ＝60°.⼜∵BE ＝CF ，∴△ABE ≌△ACF(SAS)．②∵△ABE ≌△ACF ，∴AE ＝AF ，∠BAE ＝∠CAF. ∵∠BAE ＋∠CAE ＝60°，∴∠CAF ＋∠CAE ＝60°，即∠EAF ＝60°.∴△AEF 是等边三⾓形． (2)存在．证明：在CD 延长线上取点F ，在BC 延长线上取点E ，使CF ＝BE ，连接AE ，EF ，AF. 与(1)①同理，可证△ABE ≌△ACF ，∴AE ＝AF ，∠BAE ＝∠CAF.∴∠BAE －∠CAE ＝∠CAF －∠CAE. ∴∠BAC ＝∠EAF ＝60°. ∴△AEF 是等边三⾓形．(注：若在CD 延长线上取点F ，使CE ＝DF 也可)⼩专题(⼀) 等腰三⾓形中常见的数学思想类型1 ⽅程思想1．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，BC ＝BD ＝ED ＝EA ，求∠A 的度数．解：设∠A ＝x °，∵BC ＝BD ＝ED ＝EA ，∴∠ADE ＝∠A ＝x °. ∴∠DEA ＝∠DBE ＝2x °. ∴∠BDC ＝∠C ＝3x °. ∵AB ＝AC ，∴∠C ＝∠ABC ＝3x °.在△ABC 中，∠A ＋∠C ＋∠ABC ＝180°，即x ＋3x ＋3x ＝180. ∴x ＝1807.∴∠A 为180°7.类型2 分类讨论思想2．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝2BC ，在直线BC 或AC 上取⼀点P ，使得△PAB 为等腰三⾓形，则符合条件在点P 共有(B)A ．7个B ．6个C ．5个D ．4个。
北师大版八年级数学下册 第三章 图形的平移与旋转 单元复习题 (含答案)
北师版八年级数学下册图形的平移与旋转单元复习题（含答案）一、选择题1．(2019·河南期末)观察下面图案，在(A)(B)(C)(D)四幅图案中，能通过图案(1)平移得到的是(C)A B C D2．(2019·南阳唐河县期末)如图，△ABC经过平移得到△DEF，其中点A的对应点是点D，则下列结论不一定正确的是(D)A．BC∥EF B．AD＝BE C．BE∥CF D．AC＝EF 3．(2019·驻马店平舆县期末)如图，若图形A经过平移与下方图形拼成一个长方形，则正确的平移方式是(A)A．向右平移4格，再向下平移4格B．向右平移6格，再向下平移5格C．向右平移4格，再向下平移3格D．向右平移5格，再向下平移3格4．(2019·郑州新密市期中)下列四幅图片，是中心对称图形的是(B)A B C D5．如图，四边形ABCD与四边形FGHE关于一个点成中心对称，则这个点是(A)A．O1 B．O2 C．O3 D．O46．如图，紫荆花图案旋转一定角度后能与自身重合，则旋转的角度可能是(C) A．30°B．60°C．72°D．90°7．(2019·驻马店确山县期末)把点A(3，－4)先向上平移4个单位长度，再向左平移3个单位长度得到点B，则点B的坐标为(D)A．(0，－8) B．(6，－8) C．(－6，0)D．(0，0)8．(2019·邓州市期末)如图，∠1＝68°，直线a平移后得到直线b，则∠2－∠3＝(D)A．78°B．132°C．118°D．112°9．(2019·南阳社旗县一模)剪纸是我国传统的民间艺术，下列剪纸作品中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是(C)A B C D二、填空题10．(2018·张家界)如图，将△ABC绕点A逆时针旋转150°，得到△ADE，这时点B，C，D恰好在同一直线上，则∠B的度数为15°．11．如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，左上角阴影部分是一个以格点为顶点的正方形(简称格点正方形)．若再作一个相同的格点正方形，并涂上阴影，使这两个格点正方形无重叠部分，且组成的图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，则这个格点正方形的作法共有4种．12如图，在△ABO中，AB⊥OB，OB＝3，AB＝1.将△ABO绕O点旋转90°后得到△A1B1O，则点A113．如图，在方格纸中，选择标有序号①②③④中的一个小正方形涂黑，与图中阴影部分构成中心对称图形，涂黑的小正方形的序号是②．14．(2018·株洲)如图，O为坐标原点，△OAB是等腰直角三角形，∠OAB＝90°，点B的坐标为(0，22)，将该三角形沿x轴向右平移得到Rt△O′A′B′，此时点B′的坐标为(22，22)，则线段OA在平移过程中扫过部分的图形面积为4．15．(2019·新疆)如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，将△ABC绕点A顺时针旋转30°，得到△ACD，延长AD交BC的延长线于点E，则DE的长为三、解答题16．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝4，将△ABC绕点C顺时针旋转90°.若点A，B的对应点分别是点D，E，画出旋转后的三角形，并求点A与点D之间的距离．(不要求尺规作图)解：如图．连接AD.在Rt△ABC中，AB＝5，BC＝4，∴AC＝AB2－BC2＝3.由旋转的性质，得CD＝AC＝3，∠ACD＝90°.∴AD＝AC2＋CD2＝3 2.17.(2019·宁夏)已知：在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(5，4)，B(0，3)，C(2，1)．(1)画出△ABC关于原点成中心对称的△A1B1C1，并写出点C1的坐标；(2)画出将A1B1C1绕点C1按顺时针旋转90°所得的△A2B2C1.解：(1)如图所示，△A1B1C1即为所求，其中点C1的坐标为(－2，－1)．(2)如图所示，△A2B2C1即为所求．18．(2019·邓州市期末)取一副三角板按图1拼接，其中∠ACD＝30°，∠ACB＝45°.(1)如图2，三角板ACD固定，将三角板ABC绕点A按顺时针方向旋转一定的角度得到△ABC′，当∠CAC′＝15°时，请你判断AB与CD的位置关系，并说明理由；(2)如图3，三角板ACD固定，将三角板ABC绕点A按逆时针方向旋转一定的角度(0°＜α＜180°)得到△ABC′，猜想当∠CAC′为多少度时，能使CD∥BC′？并说明理由．解：(1)AB∥CD.理由如下：∵∠BAC＝∠BAC′－∠CAC′＝45°－15°＝30°，∴∠BAC＝∠C＝30°.∴AB∥CD.(2)当∠CAC′＝75°时，能使CD∥BC′.理由如下：延长BA交CD于点E.∵∠BAC′＝45°，∴∠BAC＝75°＋45°＝120°.又∵∠BAC＝∠AEC＋∠ACD，∴∠AEC＝120°－30°＝90°.又∵∠B＝90°，∴∠B＋∠AEC＝90°＋90°＝180°.∴CD∥BC′.。
第三章图形的旋转综合训练练习 2023—2024学年北师大版数学八年级下册
第三章图形的旋转综合训练练习北师大版2023—2024学年八年级下册一、选择题1．下列图形中，既是中心对称，又是轴对称的是（）A ．B．C ．D ．2.如图，将△OAB 绕点O 逆时针旋转70°到△OCD 的位置，若∠AOB ＝40°，则∠AOD ＝（）A ．45°B ．40°C ．35°D ．30°3．把图中的交通标志图案绕着它的中心旋转一定角度后与自身重合，则这个旋转角度至少为（）A ．30°B ．90°C ．120°D ．180°4．如图，在平面直角坐标系中，将点P （2，3）绕原点O 顺时针旋转90°得到点P '，则P '的坐标为（）A ．（3，2）B ．（3，﹣1）C ．（2，﹣3）D ．（3，﹣2）5．如图，在△ABC 中，AB ＝2，BC ＝3.6，∠B ＝60°，将△ABC 绕点A 顺时针旋转得到△ADE ，当点B 的对应点D 恰好落在BC 边上时，则CD 的长为（）A ．1.6B ．1.8C ．2D ．2.66.若点P （m ﹣1，5）与点Q m +n 的值是（）A ．1B ．3C ．5D ．77．如图，将△ABC 绕点C 顺时针旋转90°得到△EDC ．若点A ，D ，E 在同一条直线上，∠ACB ＝20°，则∠ADC 的度数是（）A ．55°B ．60°C ．65°D ．70°8．如图，将Rt △ABC 绕直角顶点C 顺时针旋转90°，得到△A ′B ′C ，连接AA ′，若∠1＝25°，则∠BAA ′的度数是（）A ．55°B ．60°C ．65°D ．70°9．如图，△ODC 是由△OAB 绕点O 顺时针旋转31°后得到的图形，若点D 恰好落在AB 上，且∠AOC 的度数为100°，则∠DOB 的度数是（）A ．34°B ．36°C ．38°D ．40°10.如图，四边形ABCD 是边长为5的正方形，E 是DC 上一点，DE ＝1，将△ADE 绕着点A 顺时针旋转到与△ABF 重合，则EF ＝（）A ．B ．C ．5D ．2第2题第4题第5题11．如图，在正方形网格中，线段A ′B ′是线段AB 绕某点逆时针旋转角α得到的，点A ′与A 对应，则角α的大小为（）A ．30°B ．60°C ．90°D ．120°12．如图，将边长为的正方形绕点B 逆时针旋转30°，那么图中阴影部分的面积为（）A ．3B ．C ．3﹣D ．3﹣二、填空13．如图，在直角坐标系中，已知点A （3，2），将△ABO 绕点O 逆时针方向旋转180°后得到△CDO ，则点C的坐标是．14．如图，将△ABC 绕点A 逆时针旋转150°，得到△ADE ，这时点B ，C ，D 恰好在同一直线上，则∠B 的度数为．15．如图，在矩形ABCD 中，AD ＝3，将矩形ABCD 绕点A 逆时针旋转，得到矩形AEFG ，点B 的对应点E 落在CD 上，且DE ＝EF ，则AB 的长为．16．如图，将△ABC 绕点A 顺时针旋转60°得到△AED ，若线段AB ＝3，则BE ＝．17．如图，在△OAB 中，∠AOB ＝55°，将△OAB 在平面内绕点O 顺时针旋转到△OA 'B ’的位置，使得BB ′∥AO ，则旋转角的度数为．18．如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝BC ＝2，将△ABC 绕点C 顺时针旋转60°，得到△DEC ，则AE 的长是．19．如图，正方形ABCD 的边长为2，点E ，F 分别在边AD ，CD 上，若∠EBF ＝45°，则△EDF 的周长等于．第7题第8题第9题第10题第11题第12题第13题第14题第15题第16题第17题第18题20．如图，在等边△ABC 中，D 是边AC 上一点，连接BD ．将△BCD 绕点B 逆时针旋转60°得到△BAE ，连接ED ．若BC ＝10，BD ＝9，则△AED的周长是．三、解答题21.如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC 的三个顶点坐标分别是A （1,1），B （4,1），C （3,3）.（1）将△ABC 向下平移5个单位后得到△A 1B 1C 1；（2）将△ABC 绕原点O 逆时针旋转90°后得到△A 2B 2C 2，请画出△A 2B 2C 2；（3）判断以O ，A 1，B 为顶点的三角形的形状，并说明理由。
北师大版八年级数学下册第3章《图形的平移与旋转》单元练习题含答案解析 (18)
一、选择题1.世纪花园居民小区收取电费的标准是0.6元/千瓦时，当用电量为x（单位：千瓦时）时，收取电费为y（单位：元）．在这个问题中，下列说法中正确的是( )A．x是自变量，0.6元/千瓦时是因变量B．y是自变量，x是因变量C．0.6元/千瓦时是自变量，y是因变量D．x是自变量，y是因变量2.一本笔记本4.5元，买x本共付y元，则4.5和y分别是( )A．常量，常量B．变量，变量C．变量，常量D．常量，变量3.一列火车从兰州出发，加速行驶一段时间后开始匀速行驶，过了一段时间，火车到达酒泉车站减速停下，下列图形中，能刻画火车在这段时间内速度随时间变化情况的是( )A．B．C．D．4.小明在6月份的某一天倒了一杯开水，水太烫，他将这杯开水晾在桌上，则这杯水的水温（∘C）与时间（t）之间的关系图象大致是( )A．B．C．D．5.一辆货车从A地开往B地，一辆小汽车从B地开往A地，同时出发，都匀速行驶，各自到达终点后停止．设货车、小汽车之间的距离为s（千米），货车行驶的时间为t（小时），s与t之间的函数关系如图所示．下列说法中：① A，B两地相距60千米；②出发1小时，货车与小汽车相遇；③小汽车的速度是货车速度的2倍；④出发1.5小时，小汽车比货车多行驶60千米；⑤出发2小时，小货车离终点还有80千米．其中正确的有( )A．5个B．4个C．3个D．2个6.如图，AB是半圆O的直径，点P从点O出发，沿线段OA−弧AB−线段BO的路径运动一周．设OP为s，运动时间为t，则下列图形能大致地刻画s与t之间关系的是( )A．B．C．D．7.龟兔赛跑，它们从同一地点同时出发，不久兔子就把乌龟远远地甩在后面，于是兔子得意洋洋地躺在一棵大树下睡起觉来，乌龟一直坚持不懈、持之以恒地向终点跑着，兔子一觉醒来，看见乌龟快接近终点了，这才慌忙追赶上去，但最终输给了乌龟．下列图象中能大致反映龟兔行走的路程随时间变化情况的是( )A．B．C．D．8.甲、乙两人约好步行沿同一路线同一方向在某景点集合，已知甲乙二人相距660米，二人同时出发，走了24分钟时，由于乙距离景点近，先到达等候甲，甲共走了30分钟也到达了景点与乙相遇．在整个行走过程中，甲、乙两人均保持各自的速度匀速行走，甲、乙两人相距的路程y （米）与甲出发的时间x（分钟）之间的关系如图所示，下列说法错误的是( )A．甲的速度是70米/分B．乙的速度是60米/分C．甲距离景点2100米D．乙距离景点420米9.如图所示的图象（折线OEFPMN）描述了某汽车在行驶过程中速度与时间的关系，下列说法中错误的是( )A．第3min时汽车的速度是40km/hB．第12min时汽车的速度是0km/hC．从第3min到第6min，汽车行驶了120kmD．从第9min到第12min，汽车的速度从60km/h减少到0km/h10.如图1，⊙O过正方形ABCD的顶点A，D，且与边BC相切于点E，分别交AB，DC于点M，N．动点P在⊙O或正方形ABCD的边上以每秒一个单位的速度做连续匀速运动．设运动的时间为x，圆心O与P点的距离为y，图2记录了一段时间里y与x的函数关系，在这段时间里P点的运动路径为( )A．从D点出发，沿弧DA→弧AM→线段MB→线段BCB．从B点出发，沿线段BC→线段CN→弧ND→弧DAC．从C点出发，沿线段CN→弧ND→弧DA→线段ABD．从A点出发，沿弧AM→线段MB→线段BC→线段CN二、填空题11.已知函数f(x)=x，那么f(−2)=．x+112.某品牌汽车每千米的耗油量是0.1L，用s(km)表示行驶的路程，p(L)表示耗油量．在此过程中，变量是，常量是；p关于s的函数表达式是，当s=200km时，函数p的值是L．13.自2020年1月1日延庆区开展创城以来，积极推广垃圾分类，在垃圾分类指导员的帮助下，居民的投放正确率不断提升，分类习惯正在养成．尤其是在5月1日新版《北京市生活垃圾管理条例》实施以来，延庆区城管委为全区从源头上规范垃圾投放，18个街乡镇新配备户用分类垃圾桶20万个，助力推进垃圾分类．下面两张图表是某小区每个月的厨余垃圾量和其他垃圾量．（1）3月份厨余垃圾量比其他垃圾量多吨；（2）月份两类垃圾量（单位：吨）的差距最大．14.已知甲乙两地之间的距离为810米，小明和小天分别从甲乙两地出发，匀速相向而行，已知小明先出发1分钟后，小天再出发，两人在甲乙之间的丙地相遇，此时，小明发现有小学同学也在丙地，于是聊了一会儿，随后以原来速度的4倍返回甲地，小天相遇后继续以原速向甲地前行，到3达甲地后立即原速返回，直至再次与小明相遇．已知在整个过程中，小明、小天两人之间的距离y（米）与小明出发的时间x（分钟）之间的关系如图所示，则在第二次相遇时两人距离乙地米．15.周末，自行车骑行爱好者甲、乙两人相约沿同一路线从A地出发前往B地进行骑行训练，甲、乙继续骑分别以不同的速度匀速骑行，乙比甲早出发5分钟．乙骑行25分钟后，甲以原速的85行，经过一段时间，甲先到达B地，乙一直保持原速前往B地．在此过程中，甲、乙两人相距的路程y（单位：米）与乙骑行的时间x（单位：分钟）之间的关系如图所示，则乙比甲晚分钟到达B地．16.在20km越野赛中，甲乙两选手的行程y（单位：km）随时间x（单位：h）变化的图象如图所示，根据图中提供的信息，有下列说法：①两人相遇前，甲的速度小于乙的速度；②出发后1小时，两人行程均为10km；③出发后1.5小时，甲的行程比乙多3km；④甲比乙先到达终点．其中正确的有个．17.小刚家、公交车站、学校在一条笔直的公路旁（小刚家、学校到这条公路的距离忽略不计）．一天，小刚从家出发去上学，沿这条公路步行到公交站恰好乘上一辆公交车，公交车沿这条公路匀速行驶，小刚下车时发现还有4分钟上课，于是他沿着这条公路跑步赶到学校（上、下车时间忽略不计），小刚与学校的距离s（单位：米）与他所用的时间t（单位：分钟）之间的函数关系如图所示．已知小刚从家出发7分钟时与家的距离是1200米，从上公交车到他到达学校共用10分钟．下列说法：①公交车的速度为400米/分钟；②小刚从家出发5分钟时乘上公交车；③小刚下公交车后跑向学校的速度是100米/分钟；④小刚上课迟到了1分钟．其中正确的序号是．三、解答题18.人的大脑所能记忆的内容是有限的，随着时间的推移，记忆的东西会逐渐遗忘，为提升记忆的效果，需要有计划的按时复习巩固，图中的实线部分是记忆保持量（%）与时间（天）之间的关系图．请根据图回答下列问题：(1) 图中的自变量是，因变量是；(2) 如果不复习，3天后记忆保持量约为；(3) 图中点A表示的意义是；(4) 图中射线BC表示的意义是；(5) 经过第1次复习与不进行复习，3天后记忆保持量相差约为；(6) 10天后，经过第2次复习与从来都没有复习的记忆保持量相差约为．19.从甲城向乙城打长途电话，通话时间不超过3分钟收费2.4元，超过3分钟后每分钟加收1元，写出通话费用y（元）关于通话时间x（分）的函数关系式，如果通话10.5分钟，需要多少话费？（本题中x取整数，不足1分钟按1分钟计算）20.回答下列问题：(1) 某礼堂共有25排座位，第一排有20个座位，后面每一排都比前一排多1个座位，写出每排的座位数m与这排的排数n的函数关系式并写出自变量n的取值范围．本题中，在其他条件不变的情况下请探究下列问题：(2) 当后面每一排都比前一排多2个座位时，则每排的座位数m与这排的排数n的函数关系式是，其中1≤n≤25，且n是正整数；(3) 当后面每一排都比前一排多3个座位、4个座位时，则每排的座位数m与这排的排数n的函数关系式分别是,，其中1≤n≤25，且n是正整数；(4) 某礼堂共有p排座位，第一排有a个座位，后面每一排都比前一排多b个座位，试写出每排的座位数m与这排的排数n的函数关系式，并写出自变量n的取值范围．21.某中学九年级甲、乙两班商定举行一次远足活动，A，B两地相距10千米，甲班从A地出发匀速步行到B地，乙班从B地出发匀速步行到A地．两班同时出发，相向而行．设步行时间为x小时，甲、乙两班离A地的距离分别为y1，y2千米，y1，y2与x的函数关系图象如图所示．根据图象解答下列问题．(1) 直接写出，y1，y2与x的函数关系式；(2) 求甲、乙两班学生出发后，几小时相遇？相遇时乙班离A地多少千米？(3) 甲、乙两班首次相距4千米时所用时间是多少小时？22.在某次大型的活动中，用无人机进行航拍，在操控无人机时根据现场状况调节高度，已知无人机在上升和下降过程中速度相同．设无人机的飞行高度ℎ(m)与操控无人机的时间t(min)之间的关系如图中的实线所示，根据图象回答下列问题：(1) 图中的自变量是，因变量是;(2) 无人机在75m高的上空停留的时间是min；(3) 在上升或下降过程中，无人机的速度为m/min；(4) 图中a表示的数是；b表示的数是；(5) 求第14min时无人机的飞行高度是多少米？23.A，B两地相距60km，甲、乙二人分别骑自行车和摩托车沿相同路线匀速行驶，由A地到达B地，他们行进中的路程s(km)与甲出发后的时间t(h)之间的函数图象如图所示．(1) 乙比甲晚出发几小时？比甲早到几小时？(2) 分别写出甲走的路程s1(km)、乙走的路程s2(km)与时间t(h)之间的函数解析式．(3) 乙在甲出发后几小时追上了甲，追上甲的地点离A地多远？24.如图1，四边形ABCD为矩形，曲线L经过点D．点Q是四边形ABCD内一定点，点P是线段AB上一动点，作PM⊥AB交曲线L于点M，连接QM．小东同学发现：在点P由A运动到B的过程中，对于x1=AP的每一个确定的值，θ=∠QMP都有唯一确定的值与其对应，x1与θ的对应关系如下表所示：x1=AP012345θ=∠QMPα85∘130∘180∘145∘130∘小芸同学在读书时，发现了另外一个函数：对于自变量x2在−2≤x2≤2范围内的每一个值，都有唯一确定的角度θ与之对应，x2与θ的对应关系如图2所示：根据以上材料，回答问题：(1) 表格中α的值为．(2) 如果令表格中x1所对应的θ的值与图2中x2所对应的θ的值相等，可以在两个变量x1与x2之间建立函数关系．①在这个函数关系中，自变量是，因变量是；（分别填入x1和x2）②请在网格中建立平面直角坐标系，并画出这个函数的图象；③根据画出的函数图象，当AP=3.5时，x2的值约为．25.已知甲，乙两名自行车骑手均从P地出发，骑车前往距P地60千米的Q地，当乙骑手出发了 1.5小时，此时甲，乙两名骑手相距6千米，因甲骑手接到紧急任务，故甲到达Q地后立即又原路返回P地，甲，乙两名骑手距P地的路程y（千米）与时间x（时）的函数图象如图所示．（其中折线O−A−B−C−D（实线）表示甲，折线O−E−F−G（虚线）表示乙）(1) 甲骑手在路上停留小时，甲从Q地返回P地时的骑车速度为千米/时；(2) 求乙从P地到Q地骑车过程中（即线段EF）距P地的路程y（千米）与时间x（时）的函数关系式及自变量x的取值范围；(3) 在乙骑手出发后，且在甲，乙两人相遇前，求时间x（时）的值为多少时，甲，乙两骑手相距8千米．答案一、选择题1. 【答案】D【知识点】常量、变量2. 【答案】D【知识点】常量、变量3. 【答案】B【知识点】用函数图象表示实际问题中的函数关系4. 【答案】C【解析】∵水很烫，则其温度超过外界温度，∴水的温度会随时间而降低，直到水温与外界温度相同．【知识点】图像法5. 【答案】C【知识点】用函数图象表示实际问题中的函数关系6. 【答案】C【知识点】图像法7. 【答案】C【知识点】用函数图象表示实际问题中的函数关系8. 【答案】D【解析】开始甲，乙两人相距660米，由图可知，前24分钟甲，乙两人相相距的路程在逐渐缩小．24分钟时，乙到达景点，此时甲、乙两人相距420米之后甲又走了6分钟与乙相遇，−70（米/分）甲总共走了30分钟，∴甲的速度=4206∴甲距景点30×70=2100米，由前24分钟甲、乙两人相距660来缩小到420米，得(甲的速度−乙的速度)×24=660−420，得乙的速度=60米/分，乙总共走了24分钟，∴乙距景点60×24=1440米．【知识点】用函数图象表示实际问题中的函数关系9. 【答案】C【知识点】用函数图象表示实际问题中的函数关系10. 【答案】D【知识点】图像法二、填空题11. 【答案】2=2．【解析】当x=−2时，f(−2)=−2−2+1【知识点】函数的概念12. 【答案】s，p；0.1L/km；p=0.1s；20【知识点】解析式法13. 【答案】1；5【解析】（1）5−4=1（吨）；（2）2月的差距约是：6.2−5.6=0.6（吨）；3月分的差距是：5−4=1（吨）；4月份的差距约是：4.3−2.3=2（吨）；5月份的差距约是：3.8−1.3=2.5（吨）；6月份的差距是：3−1=2（吨）；7月份的差距约是：2.2−1.2=1（吨）．【知识点】用函数图象表示实际问题中的函数关系14. 【答案】738【解析】设小明、小天速度分别为V1，V2米/分钟．A到B阶段：V1×1=810−750，∴V1=60米/分钟．B到C阶段：(V1+V2)(3.7−1)=750−345，∴V2=90米/分钟．第一次相遇在丙地，即B到D阶段，(V1+V2)(t D−1)=750，∴t D=6，∴甲地到丙地距离为V1t D=60×6=360米，=4分钟，小天从丙地到甲地用时：360V2D到E阶段小明停留在丙地，F点状态是小天到达甲地，小明速度为43V1=80米/分钟，43V1[4−(7.2−6)]=80×2.8=224米，小天到达甲地，小明、小天相距360−224=136米，F到G阶段，小天从甲地返回与小明相遇，136V2+43V1=13690+80=0.8分钟，第二次相遇地点距离甲地：0.8V2=72米，810−72=738米，故第二次相遇地两人距离乙地738米．【知识点】用函数图象表示实际问题中的函数关系15. 【答案】12【解析】由图及题意易乙的速度为300米/分，甲原速度为250米/分．当x=25后，甲提速为400米/分；当x=86时，甲到达B地，此时乙距B地为250(25−5)+400(86−25)−300×86=3600．【知识点】用函数图象表示实际问题中的函数关系16. 【答案】1【解析】在两人出发后0.5小时之前，甲的速度小于乙的速度；0.5小时到1小时之间，甲的速度大于乙的速度，故①错误；由图可得，两人在1小时时相遇，行程均为10km，故②正确；甲的图象的解析式为y=10x，乙AB段图象的解析式为y=4x+6，因此出发1.5小时后，乙的路程为15千米，甲的路程为12千米，甲的行程比乙少3千米，故③错误；乙到达终点所用的时间较少，因此乙比甲先到达终点，故④错误．【知识点】用函数图象表示实际问题中的函数关系17. 【答案】①②③【知识点】用函数图象表示实际问题中的函数关系三、解答题18. 【答案】(1) 时间；记忆的保持量(2) 40%(3) 经过第1次复习，第10天时的记忆保持量约为55%(4) 经过第5次复习，记忆保持量为100%（或经过第5次复习，能保持长久记忆；或经过第5次复习，不会再遗忘；⋯⋯）(5) 28%(所有百分数均为近似数，只要相差不大，均可视为正确)(6) 46%(所有百分数均为近似数，只要相差不大，均可视为正确)【知识点】用函数图象表示实际问题中的函数关系、函数的概念19. 【答案】当0<x≤3时，y=2.4；当x>3时，y=2.4+(x−3)=x−0.6，把x=11代入y=x−0.6得：y=11−0.6=10.4．答：如果通话10.5分钟，需要10.4元话费．【知识点】解析式法、分段函数20. 【答案】(1) m=19+n，1≤n≤25，且n是正整数．(2) m=2n+18(3) m=3n+17；m=4n+16(4) m=bn+a−b（1≤n≤p，且n是正整数）．【知识点】解析式法21. 【答案】(1) y1=4x，y2=−5x+10．(2) 由图象可知甲班速度为4 km/h，乙班速度为5 km/h，设甲、乙两班学生出发后，x小时相遇，则4x+5x=10，解得x=109．当x=109时，y2=−5×109+10=409，∴相遇时乙班离A地为409千米．(3) 甲、乙两班首次相距4千米，即两班走的路程之和为6 km，故4x+5x=6，解得x=23．∴甲、乙两班首次相距4千米时所用时间是23小时．【解析】(1) 根据图象可以得到甲班 2.5小时走了10千米，则每小时走4千米，则函数关系式是：y1=4x；乙班从B地出发匀速步行到A地，2小时走了10千米，则每小时走5千米，则函数关系式是：y2=−5x+10．【知识点】用函数图象表示实际问题中的函数关系22. 【答案】(1) 时间（或t）；飞行高度（或ℎ）(2) 5(3) 25(4) 2；15(5) 75−2×25=25(m)．答：第14min时无人机的飞行高度是25m．【解析】(2) 无人机在75m高的上空停留的时间是12−7=5(min)．(3) 在上升或下降过程中，无人机的速度75−507−6=25(m/min)．(4) 图中a表示的数是5025=2min；b表示的数是12+7525=15(min)．【知识点】用函数图象表示实际问题中的函数关系23. 【答案】(1) 乙比甲晚出发1小时；比甲早到2小时．(2) s1=15t(0≤t≤4)；s2=60t−60(1≤t≤2)．(3) 当s1=s2，乙追上了甲，即15t=60t−60，解得t=43，当t=43时，s1=15×43=20，所以乙在甲出发后43小时追上了甲，追上甲的地点离A地20千米．【知识点】用函数图象表示实际问题中的函数关系、行程问题24. 【答案】(1) 50∘(2) ①x1；x2；②③−1.87．【知识点】函数的概念、图像法、列表法25. 【答案】(1) 1；30(2) 乙出发 1.5 小时，甲走了 20×(2.5−1)=30（千米），甲乙相距 6 千米， ∴ 乙走了：30−6=24（千米）， 设 EF 的解析式为 y =k 1+b 1，把 (1,0)，(2.5,24) 代入得：{k 1+b 1=0,2.5k 1+b 1=24,解得 {k 1=16,b 1=−16,∴y =16x −16，令 y =60，则 16x −16=60，解得 x =4.75， ∴x 的取值范围为：1≤x ≤4.75．(3) 设 BC 的解析式为 y =kx +b ， 由 B (2,20)，C (4,60) 得 {2k +b =20,4k +b =60,解得 {k =20,b =−20,∴BC 的解析式为 y =20x −20，当 0≤x ≤2 时，20−(16x −16)=8，解得 x =74； 当 2<x ≤4 时，(20x −20)+(16x −16)=8，解得 x =3；当4≤x≤630时，(x−4)+(16x−16)=60−8，解得x=9423．综上所述，当x=74或3或9423时，甲、乙两骑手相距8千米．【解析】(1) 由图象可知，甲骑手在路上停留1小时，甲从Q地返回P地时的骑车速度为：60÷(6−4)=30（千米/时）．【知识点】行程问题、用函数图象表示实际问题中的函数关系。
北师大版数学八年级下册：3.4《简单的图案设计》课时练习含答案解析
北师大版数学八年级下册第三章第四节简单的图案设计课时练习一、选择题（共10题）1．如图，是四家银行行标，不可以先设计出一半来通过对折来完成的是( )A.①③B.②④C.②D.④答案：D解析：解答：根据轴对称图形的定义可以判断④不是轴对称图形；故答案是D选项分析：考查如何通过轴对称设计图案2．图画上大风车的叶片可以看作一个叶片通过怎样的运动得到（）A.平移B.旋转C.平移和旋转D.对折答案：B解析：解答：大风车上的叶片可以看作由一个叶片旋转得到；故答案是B选项分析：考查利用旋转设计图案3．利用电脑，在同一页面对某图形进行复制，得到一组图案，这一组图案可以看作一个基本图形通过（）得到的A.旋转B.平移和旋转C.平移D.拉伸答案：C解析：解答：复制就是把一个平移到另一个位置，所以答案是C选项分析：考查平移设计图案4.如图是一个风筝的图案，它是轴对称图形，若∠B=30︒，那么∠E=( )A. 20︒B. 60︒C. 30︒D. 45︒答案：C解析：解答：因为设计的风筝是轴对称图形，所以对应角相等，故答案是C选项分析：注意中心对称和轴对称的特点5.广告设计人员在设计图案的时候经常用到的方法是（）A.旋转B.平移C.轴对称D.以上都是答案：D解析：解答：在设计图案的时候经常用到的是旋转、平移、轴对称，故答案是D选项分析：考查图案的设计方法6. 如图，将△ABC绕点O旋转一定的角度得到△A′B′C′，下列结论中不成立的是( )A.OC=OC′B.OA=OA′C.BC=B′C′D.∠ABC=∠A′C′B′答案：D解析：解答：旋转前后的图形全等，而且对应角相等，D选项中不是对应角分析：考查旋转前后的图形全等的问题7.一个长方形绕一点旋转一周所形成的图形可能是( )A.圆B.长方形C.圆环D.正方形答案：C解析：解答：长方形绕一点旋转一周时所形成的图形是圆环，故答案是C选项分析：注意成简单的图案设计方法8.五星红旗上的四个小五角星可以看作一个基本图案经过怎样的运动得到的（）A.旋转B.平移C.对折D.旋转和平移答案：D解析：解答：五星红旗上的四个小五角星可以看作一个基本图案经过平移和旋转得到，故答案是D分析：注意对中心对称图形的理解9. 小丽制作了一个对面图案均相同的正方体礼品盒（如图所示），则这个正方体礼品盒的平面展开图可能是( )答案：A解析：解答：此题需有一定空间想象能力,可以实际动手操作一下,以自己能辩认的简单图案代表各图案.，故答案是A选项10.下列几种图案是车的标志，问其中是轴对称图形的有( )A.2个B.3个C.4个D.1个答案：A解析：解答：根据轴对称图形的定义可知奥迪和大众这两个车标是轴对称图形，所以答案是A分析：考查轴对称图形二、填空题（共10题）11.如图的雪花有______条对称轴答案：3解析：解答：依据轴对称图形的意义，沿着对称轴所在的直线对折，对折后的两部分能够完全重合，所以雪花有3条对称轴分析：考查对称轴的多少12.起重机将重物垂直提起，这可以看作为数学上的_____________答案：平移解析：解答：起重机将重物垂直提起，可以看成平移现象分析：注意分清平移的特点13.关于轴对称的两个图形，沿对称轴折叠后答案：重合解析：解答：关于轴对称的两个图形，沿对称轴折叠后重合分析：注意对称点的连线一定经过对称中心14.轴对称图形只有一条对称轴_______（判断对错）答案：错误解析：解答：有的轴对称图形不止有一条对称轴，如圆、正方形等分析：考查轴对称图形的对称轴的数目15.广告设计人员进行图案设计，经常将一个基本图案进行轴对称、平移和_______等答案：旋转解析：解答：图案设计的时候经常用到的是行轴对称、平移和旋转等16. 将点A 绕另一个点O 旋转一周，点A 在旋转过程中所经过的路线是_______ 答案：圆解析：解答：利用旋转一周可以得到的图形是圆分析：考查利用旋转设计图案17. 利用电脑，在同一页面上对某图形进行复制，得到一组图案，这一组图案可以看作是一个基本图形通过_______得到的答案：平移解析：解答：利用平移可以得到一些相同的图案分析：考查简单的图案设计18. 利用平移、旋转和对称变换可以设计出美丽的镶嵌图案；这种说法_____________ 答案：正确解析：解答：构成一个镶嵌图形的基本单元是多边形或是类似的常规图形，利用平移、旋转和对称变换可以设计出美丽的镶嵌图案分析：考查简单图形的设计方法19. 国际奥委会会旗上的五环图案可以看作一个基本图案圆环经过______运动得到 答案：平移解析：解答：一个圆环经过平移运动可以得到五环图案分析：考查简单的图案设计20.木工师傅在设计拉动抽屉时，参考的数学原理是 _____答案：平移解析：解答：在拉动抽屉时候前后移动而抽屉不发生改变，这是平移的原理分析：注意旋转的要点三、解答题（共5题）21. 从8:55到9:15，钟表的分针转动的角度是？答案：120°解答：分针60分钟转一周，时针十二小时转一周.从8:55到9:15经过了20分钟，所以，分针转动的角度是6020×360°=120° 解析：分析：注意钟表分针旋转一周的角度22. 从5:55到6:15，时针转动的角度是？答案：10°解答：从5:55到6:15经过了31小时，所以，时针转动的角度是31×121×360°=10°.解析：分析：注意钟表上时针一小时走过的角度 23. 如图，王虎使一长为4 cm ，宽为3 cm 的长方形木板，在桌面上做无滑动地翻滚（顺时针方向）,木板上点A 位置变化为A →A 1→A 2，其中第二次翻滚被桌面上一小木块挡住，使木板与桌面成30°角，则点A 翻滚到A 2位置时共走过的路径长为？答案：27πcm 解答：:第一次翻滚可以看成是以B 为圆心,以AB 为半径的弧,且可求得∠ABA 1＝90°,∴第一次翻滚走过的路径为41×2×5π=25π,第二次翻滚可看成是以C 为圆心,以A 1C 为半径的弧,且∠A 1CA 2=60°,∴第二次翻滚走过的路径为61×2×3π=π.总共路径=25π+π=27π cm. 解析：分析：考查旋转问题，关键是找准对应点24.请你设计一个只有两条对称轴的优美图案答案：解答：解析：分析：注意轴对称图形的特点25. 在图案设计中常用的作图工具有？答案：解答：在图案设计中常用的作图工具有直尺，圆规，三角尺解析：分析：考查简单的图案设计。
北师版八年级下数学第三章随堂练习96
北师版八年级下数学第三章随堂练习96一、选择题（共5小题；共25分）1. 下列倡导节约的图案中，是轴对称图形的是A. B.C. D.2. 下列四个图形中，是中心对称图形的是A. B.C. D.3. 如图所示，是边长为的正方形的中心，将一块半径足够长．圆心为直角的扇形纸板的圆心放在点处，并将纸板的圆心绕点旋转，则正方形被纸板覆盖部分的面积为A. B. C. D.4. 在平面直角坐标系中，将点向上平移个单位长度，再向左平移个单位长度，得到点，则点的坐标是C. D.5. 下列四个图形中，不是轴对称图形的是A. B.C. D.二、填空题（共4小题；共20分）6. 如图，在正方形网格中，线段可以看作是线段经过若干次图形的变化（平移、旋转、轴对称）得到的，写出一种由线段得到线段的过程：．7. 一艘轮船顺水航行的速度是，逆水航行的速度是，则水流的速度是．8. 一只蚂蚁由先向上爬个单位长度，再向右爬个单位长度，再向下爬个单位长度后，它所在位置的坐标是．9. 下列图中是中心对称图形的有．三、解答题（共4小题；共52分）10. 如图，将四边形绕点旋转后得到一个四边形，请在图中依次标上点，，，的对应点，，，．11. 如图，与关于某一点成中心对称，画出对称中心．12. 画一条直线，你能将下面的图形分割成面积相等的两部分吗?动手画一画．13. 如图，正方形网格中，为格点三角形．（即三角形的顶点都在格点上）（1）按要求作图：将沿方向平移，平移的距离是长的倍，在网格中画出平移后的．（2）如果网格中小正方形的边长为，求在平移过程中扫过的面积．答案第一部分1. C 【解析】A、不是轴对称图形，故此选项错误；B、不是轴对称图形，故此选项错误；C、是轴对称图形，故此选项正确；D、不是轴对称图形，故此选项错误．2. D3. B4. A 【解析】将点向上平移个单位长度，再向左平移个单位长度，得到点，点的横坐标为，纵坐标为，的坐标为．5. B【解析】A．是轴对称图形，不符合题意，故本选项错误；B．不是轴对称图形，符合题意，故本选项正确；C．是轴对称图形，不符合题意，故本选项错误；D．是轴对称图形，不符合题意，故本选项错误．第二部分6. 将线段绕点逆时针旋转，再向左平移个单位长度7.8.9. （1），（3）第三部分10. 略．11. 如图所示：利用关于一点对称的图形对应点相交于一点，进而连接各对应点得出点即为所求．12. 答案不唯一，举例如图．13. （1）如图．（2）．。
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北师版八年级下数学第三章随堂练习83
一、选择题（共5小题；共25分）
1. 下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是
A. 矩形
B. 菱形
C. 等腰梯形
D. 直角梯形
2. 下列各组图形中，与成中心对称的是
A. B.
C. D.
3. 如图所示，是边长为的正方形的中心，将一块半径足够长．圆心为直角的扇形纸板
的圆心放在点处，并将纸板的圆心绕点旋转，则正方形被纸板覆盖部分的面积为
A. B. C. D.
4. 如图，将“笑脸”图标向右平移个单位，再向下平移个单位，点的对应点的坐标是
B. C. D.
5. 如图，由四个小正方形组成的田字格中，的顶点都是小正方形的顶点．在田字格上画与
成轴对称的三角形，且顶点都是小正方形的顶点，则这样的三角形（不包含本身）共有
A. 个
B. 个
C. 个
D. 个
二、填空题（共4小题；共20分）
6. 如图，在正方形网格中，线段可以看作是线段经过若干次图形的变化（平移、旋转、
轴对称）得到的，写出一种由线段得到线段的过程：．
7. 实验中学规定学生学期的数学成绩满分为120分，其中平时成绩占20%，期中考试成绩占30%，
期末考试成绩占50%，王玲的三项成绩依次是100分，90分，106分，那么王玲这学期的数学成绩为分．
8. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点都在方格纸的格点上，如果将先向右平移
个单位长度，再向下平移个单位长度，得到，那么点的对应点的坐标为．
9. 在方格纸中，选择标有序号①②③④的一个小正方形涂黑，使它与图中阴影部分组成的新图形为
中心对称图形，该小正方形的序号是．
三、解答题（共4小题；共52分）
10. 如图，在直角三角形中，四边形是正方形，如图①，把绕点逆时针
旋转得到图②．若，，求与的面积和．
11. 如图是正方形网格，请在其中选取一个白色的单位正方形并涂黑，使图中黑色部分是一个
中心对称图形．
12. 现有一张小圆桌和一堆足以铺满这张小圆桌的一元硬币.甲、乙两人轮流往这张小圆桌上各放一
枚一元硬币，规定任何两枚硬币都不能重叠，谁放完一枚硬币后能使得对方再无法往桌面上放硬币时，谁就是获胜者.
甲对乙说：“如果你让我先放，我一定获胜.”乙说：“那可不一定，就让你先放好了.”最后甲获胜，你知道其中的原因吗?
13. 有一种类似于七巧板的智力玩具，叫做“百变方块”，共含有十四个图形块（如图所示），可
以用它们拼出各式各样的图案．该游戏的规则是：每个图形块可以随意平移、翻转、旋转使用，但必须全部都无缝隙、不重叠地恰好平放于所给的正方形拼图盒中．例如，图是用“百变方块”拼成的一幅图案．而图，图是两幅未完成游戏的图案，每幅图案都缺少图所示的五个图形块．请你挑战以下两个关卡，将图中这五个图形块放入正方形拼图盒中，以完成游戏．要求：模仿图在相应图中的空白处画出图中的五个图形块，补全图形．
（1）第一关：完成图中的图案；（2）第二关：完成图中的图案．
答案
第一部分
1. C
2. D
3. B
4. C
5. C
第二部分
6. 将线段绕点逆时针旋转，再向左平移个单位长度
7. 100
【解析】【分析】利用加权平均数公式即可求解．
【解析】解：该生这学期的数学成绩是：[LatexErr]，
故答案为：100．
【点评】本题考查的是样本平均数的求法．熟记公式是解决本题的关键．
8.
9. ②
第三部分
10. 由旋转得：，
，
．
11. 如图即为所求：
12. 甲先把一个硬币放在圆桌的中心，乙放好以后，甲再放的硬币与乙放的硬币关于甲放的第一个硬币成中心对称．因为圆桌表面是中心对称图形，所以甲获胜．
13. （1）
（2）。