经济应用数学复习
经济应用数学二(线性代数)
一、单项选择题 共 32 题1、 若A 为4阶方阵,且|A|=5，则|3A|=( )。
A . 15B . 60C . 405D . 452、 下列命题中正确的是（ ）。
A .任意n 个n +1维向量线性相关；B . 任意n 个n +1维向量线性无关；C . 任意n + 1个n维向量线性相关；D . 任意n + 1个n 维向量线性无关. 3、 方阵A 满足A3=0，则(E+A+A 2)(E-A)=（ ）。
A . EB . E-AC . E+AD . A4、A . 解向量B . 基础解系C . 通解D . A 的行向量5、 n 维向量组α1,α2,…αs （3≤ s≤ n ） 线性无关的充要条件是α1,α2,…αs 中（ ）。
A . 任意两个向量都线性无关B . 存在一个向量不能用其余向量线性表示C . 任一个向量都不能用其余向量线性表示D . 不含零向量6、 对于两个相似矩阵，下面的结论不正确的是 （ ）。
A . 两矩阵的特征值相同；B . 两矩阵的秩相等；C . 两矩阵的特征向量相同；D . 两矩阵都是方阵。
7、 设λ=-3是方阵A 的一个特征值，则A 可逆时，A -1的一个特征值是 （ ）。
A . -3B . 3C .D .8、一个四元正定二次型的规范形为（）。
A .B .C .D .9、设A和B都是n阶矩阵，且|A+AB|=0，则有（）。
A . |A|=0B . |E+B|=0C . |A|=0 或|E+B|=0D . |A|=0且|E+B|=010、矩阵A的秩为r，则知（）。
A . A中所有r阶子式不为0；B . A中所有r+1阶子式都为0；C . r阶子式可能为0,r+1阶子式可能不为0；D . r-1阶子式都为0。
11、设A是m×k矩阵, B是m×n矩阵, C是s×k矩阵, D是s×n矩阵,且k≠n, 则下列结论错误的是（）。
A .B T A是n×k矩阵B .C T D是n×k矩阵C . BD T是m×s矩阵D . D T C是n×k矩阵12、设A , B均为n 阶方阵, 下面结论正确的是（）。
经济应用数学0.1.2
初等函数
2、复合函数和初等函数
1、基本初等函数
我们将已学过的常值函数、幂函数、指数函数、对数函数、 三角函数和反三角函数统称为基本初等函数。
(1)常值函数：y C (C为常数) (a 0, a 1)
2、复合函数和初等函数
(1)复合函数
定义1 如果对于函数y f (u ) , u ( x), 且函数 ( x)的值的全部 或部分包含在函数f (u )的定义域内，那么y通过u的联系成为x的函 数。我们把y叫做x的复合函数。
【例1】 试求函数y u 2与u cos x构成的复合函数。
(4)对数函数：y log a x (a 0, a 1)
(5)三角函数：y sin x, y cos x, y tan x, y cot x, y sec x, y csc x。
(6)反三角函数：y arcsin x, y arccos x, y arctan x, y arc cot x。
解 将u cos x代入y u 2中，即为所求的复合函数y cos 2 x, 其 定义域为 , 。
【例2】 指出下列复合函数的结构： (1) y (3 x 5)8 (2) y log a (sin x 3x ) (3) y 5
cot 1 x
解 (1) y u8 , u 3x 5
(2) y u , u log a v, v sin x 3x
1 (3) y 5 , u cot v, v x
u
(2)初等函数
定义2 由基本初等函数经过有限次四则运算和有限次复合运算 构成的，并且可以用一个解析式表达的函数，叫做初等函数。
《经济应用数学》课程复习大纲
《经济应用数学》课程学习资料继续教育学院《经济应用数学》课程复习大纲一、考试要求本课程是一门基础课，要求学生在学完本课程后，能够牢固掌握本课程的基本知识，并具有应用所学知识说明和处理实际问题的能力。
据此，本课程的考试着重基本知识考查和应用能力考查两个方面，包括识记、理解、应用三个层次。
各层次含义如下：识记：指学习后应当记住的内容，包括概念、原则、方法的含义等。
这是最低层次的要求。
理解：指在识记的基础上，全面把握基本概念、基本原则、基本方法，并能表达其基本内容和基本原理，能够分析和说明相关问题的区别与联系。
这是较高层次的要求。
应用：指能够用学习过的知识分析、计算和处理涉及一两个知识点或多个知识点的会计问题，包括简单应用和综合应用。
二、考试方式闭卷笔试，时间120分钟三、考试题型●选择题：18％●填空题：18％●判断题：12％●计算题：52％四、考核的内容和要求（基本要求、重点、难点）基本要求第1章函数【内容提要】§1.1预备知识§1.2 函数概念§1.3函数的几何特征§1.4反函数§1.5复合函数§1.6初等函数§1.7简单函数关系的建立【要求与说明】1．理解实数与实数绝对值的概念，掌握解简单绝对值不等式的方法。
2．理解函数、函数的定义域和值域等概念，熟悉函数的表示法。
3．了解函数的几何特性并掌握各几何特性的图形特征。
4．理解反函数的概念；知道函数与其反函数的图形关系；会求简单函数的反函数。
5．理解复合函数的概念；了解两个（或多个）函数能构成复合函数的条件；掌握求简单函数复合运算的方法；掌握将一个复合函数分解为较简单函数的方法。
6．理解基本初等函数及其定义域、值域等概念；掌握基本初等函数的基本性质。
7．理解初等函数的概念；了解分段函数的概念。
8．了解成本、收益、利润、需求、供给等经济函数及其性质；会建立简单应用问题的函数关系。
9．本章内容带有复习性质，凡中学已经学过的有关函数的知识，只需加以总结，不必再作详细讲解。
经济应用数学试题及答案
经济应用数学试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 下列函数中，哪一个是偶函数？A. f(x) = x^2B. f(x) = x^3C. f(x) = |x|D. f(x) = sin(x)答案：C2. 在线性规划问题中，目标函数的最优值可能在：A. 可行域的顶点B. 可行域的边界C. 可行域的内部D. 所有上述情况答案：D3. 假设某公司生产两种产品，产品1的利润为每单位10元，产品2的利润为每单位20元。
如果公司每天只能生产100单位的产品，且生产产品1需要2小时，产品2需要1小时，而公司每天有200小时的生产时间。
该公司应该如何分配生产时间以最大化利润？A. 只生产产品1B. 只生产产品2C. 生产50单位产品1和50单位产品2D. 生产100单位产品2答案：D4. 以下哪个选项不是边际成本的概念？A. 增加一单位产量的成本B. 总成本对产量的导数C. 固定成本D. 总成本的增加量除以产量的增加量答案：C5. 假设某公司的成本函数为C(x) = 3x^2 + 2x + 5，其中x是生产量。
该公司要生产多少单位的产品才能使平均成本最小？A. x = 0B. x = 1C. x = 2D. x = 3答案：B6. 在完全竞争市场中，长期均衡时，市场价格等于：A. 边际成本B. 平均成本C. 总成本D. 固定成本答案：B7. 以下哪个选项是关于消费者剩余的描述？A. 消费者支付的价格与他们愿意支付的价格之间的差额B. 消费者实际支付的价格C. 消费者购买的商品数量D. 消费者购买商品的总成本答案：A8. 如果一个市场的需求曲线是线性的，斜率为-2，那么需求的价格弹性是多少？A. 0.5B. -1C. -2D. 2答案：C9. 以下哪个选项不是经济利润的特点？A. 包括正常利润B. 考虑了机会成本C. 等于会计利润D. 可能为负值答案：C10. 在多阶段生产过程中，以下哪个选项不是生产者面临的决策类型？A. 投入品的选择B. 生产技术的选择C. 产品价格的确定D. 产出水平的确定答案：C二、简答题（每题10分，共20分）1. 解释什么是边际效用递减原理，并给出一个生活中的实例。
经济应用数学复习题
经济应用数学复习题及解答一、填空题1、已知函数)(x f 的定义域是[]3,2，则)9(2x f -的定义域是_______________________。
2、已知)(x f 是可导的偶函数，且2)3(=‘f ，则=-)3(’f ___________________________。
3、某商品的需求函数275Q p =-(p 为价格)，则当p =_________时的需求价格弹性为1-。
4、已知点)3,1(为曲线23bx ax y +=的拐点，则=a _____________,=b ________________。
5、已知函数)(x f =xe -,则不定积分⎰=dx xx f ）(ln '___________________________________。
6、定积分=-+⎰-dx x x x )1sin (2112________________.7、=⎰-dt e dx d x xt 32________________________________. 8、设函数y y x z sin 2+=，则=dz _______________________________.9、交换二重积分顺序⎰⎰⎰⎰-+2280222202d ),(d d ),(d x x y y x f x y y x f x 为____________________________.10、设,2:22x y x D ≤+⎰⎰-Ddxdy y x x 的值为－则222_____________.11、幂级数∑∞=1n nn x 的收敛域为________________.二、选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中） 1、下列极限中，正确的是( ))(A e x xx =+→cot 0)tan 1(lim )(B 01lim sin 1x x x→= )(C sec 0lim(1cos )xx x e →+= )(D 1lim(1)n n n e →∞+=2、设的是，则)(01arctan 1212)(11x f x xx f xx=+-=( ))(A 跳跃间断点 )(B 可去间断点 )(C 连续点 )(D 无穷间断点3、函数)(x f 在点0x x =处可导且2)(0'=x f ，则 hx f h x f h )()(lim 000--→等于( ))(A 21 )(B 2 )(C 21- )(D 2-4、已知0)(=x x f 在的某个邻域内连续，且,0)0(=f ,2cos 1)(lim0=-→xx f x 则0)(=x x f 在处( ) )(A 不可导 )(B 可导且0)0('≠f )(C 取得极小值 )(D 取得极大值 5、设()()F x G x ''=，则( ))(A ()()F x G x + 为常数 )(B ()()F x G x -为常数)(C ()()0F x G x -= )(D ()()d dF x dxG x dx dx dx=⎰⎰ 6、若记=N xdx x ⎰-22sin ππ,=M xdx ⎰-222sin ππ,=P dx x x ⎰-+2221sin ππ,则下列结论正确的是（ ）)(A N M P >> )(B N M P << )(C M N P << )(D NP M <<7、设[]的是，则 连续，，在)()()(d )()()(x f x F b x a t x f x F b a x f xa≤≤=⎰( ))(A 一个原函数 )(B 原函数的一般表示式)(C 在[]b a ,上的积分与一个常数之差 )(D 在[]b a ,上的定积分8、下列命题不正确的是（ ）)(A ),(y x f z =在点),(00y x 处可微，则),(y x f 在),(00y x 处关于y x ,的偏导数均存在)(B ),(y x f z =在点),(00y x 处可微，则),(y x f 在),(00y x 处一定连续)(C ),(y x f z =在点),(00y x 关于y x ,的偏导数),(),,(0000y x f y x f y x 均存在，则全微分 dy y x f dx y x f dz y x ),(),(0000+=)(D ),(y x f z =在点),(00y x 邻域关于y x ,的偏导数均存在且连续，则),(y x f z =在点),(00y x 处可微且全微分dy y x f dx y x f dz y x ),(),(0000+= 9、下列广义积分中收敛的是 ( ))(A dx xx e2ln 1⎰+∞)(B dx x x eln 1⎰+∞)(C dx x x e 2ln ⎰∞+ )(D dx xx e ln ⎰+∞10、设幂级数∑∞=-15n n n )x (a在x=-1处收敛，则在x=6处该幂级数是（ ）)(A 绝对收敛 )(B 条件收敛 )(C 发散 )(D 敛散性不确定11、设无穷级数∑∞=1n na收敛,无穷级数∑∞=1n nb发散,则无穷级数∑∞=+1)(n n nb a（ ）)(A 条件收敛 )(B 绝对收敛 )(C 可能收敛也可能发散 )(D 发散三、求解下列各题 1、为正整数）（其中n n 4n 124n 1141lim 222⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++++∞→ n n 2、⎪⎭⎫ ⎝⎛--→111lim 0x x e x 3、x x x x )11(lim +-∞→ 4、已知0)11(lim 2=--++∞→b ax x x x ，求a ，b 的值。
2022级函授本科《经济应用数学》复习资料
2022级函授本科《经济应用数学》复习资料一、单选题co某in某（）（1）in某co某（A）0（B）in2某（C）co2某（D）1（2）设矩阵A22,B32,C23，下列运算不可行的是（）（A）ABB.AC（C）BC（D）BAC（3）任意抛一个均匀的骰子两次，则这两次出现的点数之和为8的概率为（）（A）236（B）34（C）3636（D）536（4）A、B为两个事件，则P(AB)=（）（A）P(A)P(B)（B）P(A)P(AB)（C）P(A)P(B)（D）P(BA)（5）已知A31013，B，则AB()25427（A）无意义（B）是2阶方阵（C）是3某2矩阵（D）是2某3矩阵k某y0（6）若齐次线性方程组有非零解，则k=()某ky0（A）k=-1或k=1（B）k≠-1且k≠1（C）k=1（D）k=-1（7）设A为n阶可逆阵，且A=1，则A1=（）（A）0（B）0.25（C）1（D）4（8）设A，B为任意二个随机事件，则下面说法错误的是（）（A）A与A互不相容（B）P(AA)P(A)（C）若0P(B)1，则P(A)P(B)P(AB)P(B)P(AB)（D）AB表示A与B都不发生（9）设随机变量某的分布律为某303P0.20.70.12则E(2某1)（）（A）12（B）8（C）6.4（D）10（10）设随机变量某~U(2,4)，则E某=（）（A）3（B）19（C）二、填空题2128（D）33012（1）设A=123，则代数余子式A32_____416325（2）设A103,则代数余子式A32_____034（3）设A为五阶矩阵，A2，A为伴随矩阵，则A（4）设矩阵A（5）（6）设A、B两事件互不相容，则P(AB)（7）设随机变量某~N(2,4)，则301A，则0713213=24021E(某)D(某)（8）已知P(A)0.6,P(B)0.4,P(A|B)0.5，则P(AB)________（9）设某服从参数3的指数分布，则（10）设某~N(,)，则P某三、计算题（一）2E(某)D(某)1214231.设A211，B101，求2AB352111123410122计算行列式D31101205131215343.求行列式的值。
上海市考研经济学复习资料经济数学基础知识与应用
上海市考研经济学复习资料经济数学基础知识与应用上海市考研经济学复习资料-经济数学基础知识与应用一、引言经济学作为一门社会科学，旨在研究人类的生产、分配和消费等经济活动。
而经济数学作为经济学中的重要工具和方法，帮助经济学家分析和解决经济问题。
在上海市考研经济学复习中，经济数学基础知识与应用是不可忽视的核心内容。
本文将介绍一些经济数学的基础知识和应用。
二、微观经济学中的数学工具1. 边际分析边际分析是微观经济学中应用最广泛的数学工具之一。
它通过计算边际效用、边际成本等边际指标，帮助经济学家做出最优决策。
2. 需求曲线需求曲线是描述商品或服务需求与价格之间关系的数学函数。
它可以通过坐标系绘制出来，帮助分析需求的弹性、市场均衡等问题。
3. 生产函数生产函数描述了输入与输出之间的关系，是生产理论中的基础工具。
通过数学方法，可以求解生产函数的最优输入组合，提高生产效率。
三、宏观经济学中的数学工具1. 收入与消费在宏观经济学中，消费支出与收入之间的关系是重要的研究对象。
通过建立收入-消费曲线，可以分析消费行为对经济增长的影响。
2. 投资与储蓄宏观经济学中的投资与储蓄是经济增长的重要驱动力。
通过建立投资-储蓄曲线，可以研究投资与储蓄之间的关系，进而预测经济增长的趋势。
3. 货币与通货膨胀货币供应与通货膨胀之间的关系是宏观经济学中的重要议题。
通过建立货币供应-物价水平曲线，可以研究货币政策对通货膨胀的影响。
四、经济数学的应用实例1. 价值理论价值理论是经济学中的核心理论之一，通过经济数学的方法，可以量化商品的价值，分析价格形成的机制，并解释市场中的供求关系。
2. 成本分析成本分析是企业经济决策中的关键工具。
经济数学的方法可以帮助企业计算边际成本、固定成本和总成本，从而做出合理的生产和销售决策。
3. 资金管理资金管理是企业经营管理过程中的重要环节。
经济数学的方法可以帮助企业制定有效的资金策略，优化资金运作，提高资金利用效率。
大一经济应用数学知识点总结
大一经济应用数学知识点总结在大一经济学学习中，应用数学是一个非常重要的学科，它为我们解决各种经济问题提供了有效的工具和方法。
本文将对大一经济应用数学的知识点进行总结，并提供相应的解析和例子。
一、微积分基础微积分是应用数学的基础，经济学中有许多问题需要借助微积分的方法加以求解。
以下是一些大一经济学中常用的微积分知识点：1.导数与极限：导数是研究函数变化率的工具，它可以帮助我们理解价格弹性和市场需求曲线等经济概念。
在大一经济学中，我们通常使用极限的概念来定义导数。
2.一阶导数和二阶导数：一阶导数描述了函数的变化率，而二阶导数描述了函数变化率的变化率。
在经济学中，一阶导数和二阶导数常用于分析边际效应和二阶边际效应等概念。
3.最大值和最小值：通过求解函数的导数为零的点，可以找到函数的最大值和最小值。
这个方法在经济学中常用于求解成本函数的最优化问题。
4.微分和积分：微分可以帮助我们理解边际效应，积分可以帮助我们计算累积效应。
在大一经济学中，我们通常使用微分和积分来计算边际成本和总成本。
二、线性代数线性代数是描述经济学模型和问题的一种重要数学方法。
以下是大一经济学中常用的线性代数知识点：1.矩阵和向量：矩阵和向量是线性代数的基础概念，在经济学中常用于描述市场供给和需求等模型。
2.矩阵运算：矩阵的加法、减法、乘法、转置等运算是线性代数中的基本运算，它们在经济学中经常用于解决线性方程组和矩阵方程等问题。
3.线性方程组：线性方程组是经济学中常见的问题，通过使用线性代数的方法，我们可以求解线性方程组的解，并得到相应的经济解释。
4.特征值和特征向量：特征值和特征向量可以帮助我们理解经济模型中的平衡和稳定性问题。
在大一经济学中，我们常常使用特征值和特征向量来分析稳定性条件和经济增长模型等。
三、概率论与统计学概率论与统计学是经济学中用于描述不确定性的数学工具。
以下是大一经济学中常用的概率论与统计学知识点：1.概率分布：概率分布是描述随机变量可能取值和取值概率的函数。
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经济应用数学复习LG GROUP system office room 【LGA16H-LGYY-LGUA8Q8-LGA162】《经济应用数学》第六次实时答疑一、函数1．函数的定义，两个变量之间的关系，构成函数的两个要素是它的定义域和对应法则。
会求函数定义域的求法2．函数的几个特性: 单调性, 奇偶性, 周期性和有界性奇函数偶函数=奇函数 奇函数奇函数=偶函数 偶函数偶函数=偶函数奇函数[奇函数]=奇函数 奇函数[偶函数]=偶函数 偶函数[偶函数]=偶函数3．基本初等函数的性质及图形特点 4．初等函数，复合函数的构成 单调性，奇偶性，有界性，周期性。
重点掌握单调性的定义和奇偶性的判定。
f (x ) = f (x )为奇函数 图形关于原点对称 f (x ) = f (x )为偶函数 图形关于 y 轴对称 1．幂函数 a y x =要记住最常见的几个幂函数的定义域及图形2.指数函数 )1,0(,≠>=a a a y x 定义域：),(+∞-∞，值域：),0(+∞，图形过（0，1）点，a>1时，单调增加；a<1时，单调减少。
今后x e y =用的较多。
3.对数函数 )1,0(,log ≠>=a a x y a 定义域：),0(+∞，值域：),(+∞-∞ ，与指数函数互为反函数，图形过（1，0）点，a>1时，单调增加；a<1时，单调减少。
x x x x e ln log ,lg log 10== 4.三角函数),(,sin +∞-∞=x y ，奇函数、有界函数、周期函数)2(π； ),(,cos +∞-∞=x y ，偶函数、有界函数、周期函数)2(π；sin tan cos x y x x ==， .2,1,0,2±±=+≠k k x ππ的一切实数，奇函数、周期函数)(π；cos cot sin xy x x==， ,2,1,0,±±=≠k k x π的一切实数，奇函数、周期函数)(π； 例1．设x e x f =)(且0>x ，求(ln )f x -。
解 1ln ln 1(ln )xxf x ee x--===2．设1()1xf x x-=+, 求[()]f f x 解：111(1)1[()]11111xx x x f f x x x x x x--+--+===-++-++3．设()f x 的定义域为(,0)-∞，求函数(ln )f x 的定义域。
解：ln 0x <，1x <，所以(ln )f x 的定义域为(0,1)4．函数⎪⎩⎪⎨⎧-≤<<--≤≤=2,202,20,)(x x x x x x f 的定义域为5．判断下列函数的奇偶性.A ．sin(cos )xB.ln(xC.1tan ln1xx x+- D.sin x e F ．2sin x A ，C ，F 为偶函数；B 为奇函数；D 为非奇非偶函数 二、极限与连续 极限的计算方法 1) 极限运算法则（1）0lim[()()]lim ()lim ()x x x x x x f x g x f x g x →→→±=±（2）0lim[()()]lim ()lim ()x x x x x x f x g x f x g x →→→= 0lim ()lim ()x x x x cf x c f x →→=（3）000lim ()()lim ()lim ()x xx x x x f x f x g x g x →→→= （0lim ()0x x g x B →=≠） （4）0lim[()]n n x x f x A →= （n 为正整数）（5）0lim x x →=2) 消去零因子法3) 两个重要极限 0sin lim 1x x x →= 10lim(1)x x x e →+= 1lim 1xx e x →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭4) 无穷小与无穷大的关系 5) 利用函数的连续性计算 例 求下列极限1．2221lim212x x x x →∞+-=- 2．22211lim 313x x x x →∞-+=+ 3．112220lim(12)lim[(12)]x x x x x x e ---→→-=-=4．223339(3)(3)3lim lim lim 656(2)(3)2x x x x x x x x x x x x →-→-→---+-===+++++ 5．233sin(3)sin(3)1limlim 6(3)(2)5x x x x x x x x →→--==-+-+6．设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+=<=0,11sin 0,0,sin 1)(x x x x k x x x x f 且)(x f 在0=x 处连续，则=k 17．设函数1,0(),0x f x xx k ≠=⎨=⎪⎩在0x =处连续，则常数12k =三、导数与微分1. 导数的定义：函数增量与自变量增量比的极限 记号：()(), ,, df x dy f x y dx dx ''，0000()(), |, , x x x x x x df x dyf x y dx dx===''2. 导数的几何意义：曲线在一点切线的斜率)(x f y =在0x 点的导数)(0x f '是曲线)(x f y =在点),(00y x M 处切线的斜率。
所以)(x f y =在),(00y x 处的切线方程为 ))((000x x x f y y -'=-；法线方程为 )()(1000x x x f y y -'-=- 3. 导数的运算法则：四则运算法则，复合函数的运算法则()0c '=， 1()x x ααα-'=， x a a x x ln )(=', x x e e =')(, ax x a ln 1)(log =', xx 1)(ln =', x x cos )(sin ='， (cos )sin x x '=-, 21(tan )cos x x '=, 21(cot )sin x x'=-, v u v u '±'='±)(， v u v u uv '+'=')(， ()cu cu ''=，2(0)u u v uv v v v '''-⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭ (),()y f u u x ϕ==，()()dy dy duf u x dx du dxϕ''=⋅=⋅ 4. 微分的概念：()()dy df x f x dx '== 例1．求曲线2x y e +=在(2,1)-点处的切线方程。
解 2x y e +'=，2|1x y =-'=，12y x -=+，3y x =+ 2．设)(u f 可导，则2(sin )2sin cos ()df x x xf u dx'= 3．设2(1)x y x e -=+，求y ''.解：22(1)x x y xe x e --'=-+ 4．设()cos f x x =，求y '' 解：sin y x '=-， cos y x ''=- 5．设12x y x -=+，求dy解：22ln 2x x y x --'=- (22ln 2)x x dy x dx --=- 四、导数的应用 1. 函数的单调性：2. 函数的极值（最大值最小值）：3. 导数在经济分析中的应用：弹性()()p pE q p q p '=⋅，边际分析 例1． 求函数32()39f x x x x =--的单调区间及极值。
解 函数的定义域为(,)-∞+∞，2369y x x '=--，令0y '=得驻点121,3x x =-=函数在(,1)-∞-， (3,)+∞ 单调增加，在(1,3)-单调减少，当1x =-时取得极大值5y =，3x =时取得极小值27y =-2．欲做一个底为正方形，容积为108m 3的长方体开口容器，怎样做所用材料最省？设底面正方形边长为x ，用料为y ，则2221084324y x x x x x=+⋅⋅=+24322y x x'=-，令0y '=得6x =，有唯一的驻点，由实际问题最小值存在，所以，当正方形边长为6m 时用料最省。
3．某商品的需求函数为2()1502q p p =-，其需求弹性为22275p p--。
五、不定积分1．原函数的概念 ()()F x f x '=2. 不定积分的定义 ()()f x dx F x C =+⎰3. 不定积分的性质性质1 ⎰=')(])([x f dx x f 或 ⎰=dx x f dx x f d )(])([ ⎰+='c x f dx x f )()( 或 ⎰+=c x f x df )()( 性质2 ⎰⎰=dx x f k dx x kf )()( （k 是常数，0≠k ） 性质3 ⎰⎰⎰+=+dx x g dx x f dx x g x f )()()]()([ 4. 积分的计算 1) 直接积分法2) 换元积分法：凑微分法3) 分部积分法 ⎰⎰-=vdu uv udv ⎰⎰'-='vdx u uv dx v u 1．求2sin x x 的一个原函数. 解：222211sin sin cos 22x x dx x dx x C ==-+⎰⎰ 2． 1xxe dx e +⎰解：(1)ln(1)111x x x xx x x e de d e dx e C e e e+==+++++⎰⎰⎰ 3．2sin cos d x x x ⎰解： 22 sin cos d sin sin x x x xd x =⎰⎰31sin 3x C =+4．2ln x dx x⎰解：22ln 1ln 1ln 1ln x x x dx xd dx C x x x x x+=-=-+=-+⎰⎰⎰5． 2(1)x x e dx -+⎰解： 222(1)(1)(1)2x x x x x e dx x de x e xe dx ----+=-+=-++⎰⎰⎰ 六、定积分及其应用1. 定义 01()lim ()nbi i a i f x dx f x λξ→==∆∑⎰2. 几何意义 曲边梯形各部分面积的代数和。
3. 性质性质1 [()()]()()bbbaaaf xg x dx f x dx g x dx ±=±⎰⎰⎰性质2 ()()b baakf x dx k f x dx =⎰⎰性质3 （定积分对区间的可加性）对任何三个不同的数,,a b c ，有 4. 积分上限函数及其导数()()xax f t dt Φ=⎰，()()()xad x f t dt f x dx 'Φ==⎰ 2520sin 1d t dt dx t +⎰5. 微积分基本公式 ()()()()|bb a af x dx F b F a F x =-=⎰6. 定积分计算 1）微积分基本公式2）换元法 ()[()]()ba f x dx f t t dt βαϕϕ'=⎰⎰注意：用x =(t )把变量x 换成新变量t 时，积分限也相应的改变，即“换元必换限”.3）分部积分法 ()()()()()()b bba aau x v x dx u x v x v x u x dx ''=-⎰⎰记住两个结论：(1) 如果f (x )是偶函数，则0()2()aaaf x dx f x dx -=⎰⎰(2) 如果f (x )是奇函数，则()0a af x dx -=⎰，如131cos d 0x x x -=⎰，121tan d 0x x x -=⎰1．⎰+101dx e e xx解：1100ln(1)ln(1)ln 21xx x e dx e e e=+=+-+⎰ 2．2222 0 0sin cos d sin sin x x x xd x ππ=⎰⎰23220 011sin sin sin |33xd x x ππ===⎰3．求由曲线1,,2y x y x x===所围成的图形的面积。