2020年中考数学复习课件：二次函数综合问题(共15张PPT)
即为抛物线C2解析式。
例3：点P是直线l: y=-2x-2上的点。过点P的
另一条直线m交抛物线y=x2于A、B两点。
（1）若直线m的解析式为
y
1 2
x
3 2
，求A,B两点坐标。
（2）①若点P坐标为（-2，t)，
P
y
当PA=AB时，写出点A坐标。
②试证明：对于直线l上任意
A
H
G
∴ B(2m a, 2m2 2a 2)
将点B坐标代入抛物线 y x2
B
得：2m2 4am a2 2a 2 0
0
∵ 16a2 8(a2 2a 2) 8(a 1)2 8 0 l
mx
∴无论a为何值，关于m的方程总有两个不相等的实根。
即对于任意给定的定点P,抛物线上总能找到两个满足条件的点A.
小结： 谈谈这节课的收获!
从知识点和数学思想方法
再见
2
（1）直线AB总经过一个定点C，请直接写出C点的坐标
思路分析： 解：（1）
∵ 当x=-2时，y=-2k+2k+4=4
∴ 定点C(-2，4)
例1：如图，已知直线AB：y=kx+2k+4与抛物线
y 1 x2
2
y 这1 种x2交解于法A的、数B学两思点想。？
2
（2）当---k----数1 时形，结在合直思线想AB、下方方程的思抛想物线。
上求点P,使 的面积等于5. k1 2 ABP
2
ABP
思路分析（2）
k 1 2
联立
直线解析式
y 1 x2 2
A、B坐标
y
M
A
怎么表示三角形的面积？ 试着以三边做底
Q
分割法
做辅助线
设P
(a,
1 2
a
2
)
N
B
P
则Q、M、N坐标？
用含 a 的式子表示 ABP 的面积
o
x
解出 a ，得出P点坐标。
请同学们按照思路试着板书！
0
x
例2：如图：抛物线C1: y ax2 4a 4(a 0) 经
过第一象限内的定点P
（1）直接写出点P坐标。
分析思路（1）
y
仿例1第一问写出P点坐标。
解：（1）P(2，4)
0
x
例2：如图：抛物线C1: y ax2 4a 4(a 0) 经
过第一象限内的定点P
（2）若 a 1，点M坐标为（2,0），
二次函数综合题
例1：如图，已知直线AB： y=kx+2k+4与抛物线 y 1 x2 交于A、B两点。
2
（1）直线AB总经过一个定点C，请直接写出C点的坐标。
（2）当 k 上求点P,使
A12 B时P，的在面直积线等A于B下5.方的抛y物线
A B
o
x
例1：如图，已知直线AB：y=kx+2k+4与抛物线 y 1 x2 交于A、B两点。
给定的 一点P ，在抛物线上都 能找到点A，使得PA=AB成立。
A B
0
l
mx
解（1） 由
y 1 x 3 22
y x2
解得：A( 3 , 9), B(1,1) 24
(2) ① A1(1,1), A2 (3, 9)
y
y=x
2
P
2
A
1
-2 -1
0 (B)
x
l m -1 y=-x
-2
y
B
16
y=x
N为抛物线C1上的点，Q为线段MN中点，
设点N在抛物线C1上运动。
y
Q点运动轨迹为抛物线C2, 请同学们按照思路试着板书！
求抛物线C2的解析式。
思路分析：
1：设Q(x,y);N(XN,yN)
N. .
2:由题意（中点坐标公式） 找出x与XN； y与yN的关系。 3：用x,y表示XN,yN，
Q.
0
M
x
4：将N(XN,yN)代入抛物线C1解析式， 化简后即为抛物线C2解析式。
或 （1，1 ) 2
o
x
例2：如图，抛物线C1: 限内的定点P
y a经x2 过 4第a一 象4(a 0)
（1）直接写出点P坐标。
（2）若 a 1，点M坐标为（2,0）， y
N为抛物线C1上的点， Q为线段MN中点，
设点N在抛物线C1上运动， Q点运动轨迹为抛物线C2, 求抛物线C2的解析式。
（2）：a 1 时，C1： y x2 8
设Q(x,y);N(XN,yN)
∵ M(2，0),且Q是线段MN的中点
∴
x 2xN ,y 0 yN
2
2
∴ xN 2x 2, yN 2 y
∵点N(XN,yN)为抛物线C1 y x2 8 上的点，
∴ yN xN 2 8
∴ 2 y (2x 2)2 8
(2)当 k 1 时，直线AB为：y 1 x 3
2
2
解方程组
y 1 x2
x=2
解得：
或
x=-3
y 1 x3
∴A
(3, 9 ) 2
2 ,B(2，2）
y=2
y9
2
过P做PQ// y 轴交AB于Q,分别过A、B作AM⊥PQ于M、BN⊥PQ于N.
设P (a, 1 a2 ) 2
则Q(a,
1 2
a
3)
∵S△APQ+S△PBQ=S△APB=5
y
M
A
Q
∴
1 AM • PQ 1 BN • PQ 5
2
2
N
B
∴ 1 PQ(AM BN) 5
P
2
而 AM= a
∴
1 ( 1 22
解得： a
3,
a2
2
BN=2 a
1 a 3)5 5 2
或 a 1
，PQ=
1 2
a2
1 2
∴ P(2，2)
a3
2
A
9
P2
-4 -3 -2 -1
-2
x
m
y=-7x-12 -6 l
-12
（2）证明：②过P、B分别作过点A且平行于x轴的直线的垂线，
垂足分别为G、H
设 P(a, 2a 2), A(m, m2 )
在△PAG和△BAH中
∵ ∠PGA=∠BHA=900 ∠PAG=∠BAH
P
y
PA=AB
∴△PAG≌△BAH(AAS) ∴AG=AH,PG=BH
九年级数学中考专题复习15第三章二次函数的综合应用(2)PPT课件(人教版)
③当QB＝QC时，m2＋4＝m2－4m＋5，
解得m5＝
1 4
，
∴点Q5的坐标为(－1，
1 4
).
综上所述，抛物线的对称轴上存在动点Q，使得△BCQ为等腰三角形，点Q
的坐标为(－1，－1)，(－1，1)，(－1，0)，(－1，1 ). 4
如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝－ x2－ x＋2的图象与x轴交于A(－3，0)，B(1，0)两点，与y轴交于点C.
特殊三角形存在性问题
如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝－ 2 x2－ 4 x＋2的图象与
3
3
x轴交于A(－3，0)，B(1，0)两点，与y轴交于点C.
(1)如图，在平面直角坐标系中，是否存在点Q，使
△BCQ是以BC为腰的等腰直角三角形？若存在，求
出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.
解：(1)存在.
∴△Q1CD≌△CBO， ∴Q1D＝OC＝2，CD＝OB＝1， ∴OD＝OC＋CD＝3，
∴Q1(2，3). 同理求得Q2(3，1)，Q3(－1，－1)，Q4(－2，1)， ∴ 存 在 点 Q ， 使 △ BCQ 是 以 BC 为 腰 的 等 腰 直 角 三 角 形 ， Q 点 坐 标 为 Q1(2 ， 3)，Q2(3，1)，Q3(－1，－1)，Q4(－2，1).
则(－1－0)2＋(y－2)2＋(－1＋3)2＋(y－0)2＝13，
解得y1＝ 3 ＋1，y2＝1－ 3 ， ∴点Q3(－1， 3 ＋1)，Q4(－1，1－ 3 ). 综上所述，所求点Q的坐标为(－1，－3)，(－1，7
2
(－1，1－ 3 ).
)，(－1， 3
＋1)，
【方法点拨】探究特殊三角形存在性问题的方法 首先假设存在满足条件的点，然后设出点坐标. 1.代数法： (1)利用点坐标分别表示出三条线段长的平方； (2)若为等腰三角形且底边不确定，分别令两两相等列方程求解即可；若 为直角三角形且直角顶点不确定，分别令三条边为斜边，利用勾股定理列 方程求解即可；
2020届九年级中考北师大版数学复习课件：第2篇 专题7二次函数与几何综合问题 (共71张PPT)
图4
第 21 页
设 P(m，n)，则 PM＝m，PN＝OM＝n. ∵PM＋PN＝2， ∴m＋n＝2，∴n＝2－m 或 n＝m－2， ∴P(m,2－m)或 P(m，m－2)． 分情况讨论：①把 P(m,2－m)代入二次函数解析式，得 m2－4m＋3＝2－m，解 得 m1＝3＋2 5，m2＝3－2 5， ∴P13＋2 5，1－2 5、P23－2 5，1＋2 5.
图1
图2
第 18 页
(1)求抛物线的解析式； (2)若动点P在直线OE下方的抛物线上，连接PE、PO，当m为何值时，四边形 AOPE面积最大，并求出其最大值； (3)如图2，F是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存在点P，使△POF 成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的 坐标；若不存在，请说明理由． 分析：(1)利用待定系数法可得抛物线的解析式；(2)过点P作PQ∥y轴交OE于点 Q，设P(m，m2－4m＋3)，根据直线OE的解析式表示点Q的坐标，根据面积和可得 四边形AOPE的面积，利用配方法可得其最大值；(3)存在四种情况：作辅助线，构 建全等三角形，证明△MOP≌△NPF，根据PM＋PN＝2及点P在抛物线上可得点P 的坐标．同理可得其他图形中点P的坐标．
第 12 页
解答：(1)∵抛物线对称轴为直线 x＝1， ∴b2＝1，∴b＝2. ∵x11＋x12＝x1x＋1x2x2＝bc＝－23， ∴c＝－3，∴抛物线的解析式为 y＝x2－2x－3. (2)由(1)知点 D 的坐标为(1，－4)， 当 y＝0 时，x2－2x－3＝0， 解得 x1＝－1，x2＝3. ∴点 B 的坐标为(3,0)．
第5页
解答：(1)∵抛物线 y1＝3x2－6x－1＝3(x－1)2－4， ∴抛物线 C1 的顶点坐标为(1，－4)． ∵抛物线 C1 与 C2 的顶点相同， ∴－－2m＝1,1－m＋n＝－4 ∴m＝2，n＝－3， ∴抛物线 C2 的解析式为 y2＝x2－2x－3.
2020年广东省中考数学基础过关：二次函数的综合 课件(共36张PPT)
②当△BPC∽△CDO时，CBOC＝CBDP，即 3 3 2＝ BP2，解得BP＝2.∴OP＝5.∴P(5,0)．
综上，当P的横坐标为5或12时，△BCP与△ OCD相似．
课堂检测
(2)如答图1，过点P作PH⊥x轴于点H，交AB于
点F.当x＝0时，y＝3，∴A(0,3)．设直线AB的解析
式为y＝kx＋m.将A(0,3)，B(－3,0)代入y＝kx＋m，
得－m＝3k3＋，m＝0. 解得mk＝＝13，. ∴直线AB的解析式为y＝x＋3.∵点
P在线段AB上方抛物线上，∴可设
P(t，－t2－2t＋3)(－3＜t＜0)，则 F(t，t＋3)．
得a＋b＋53＝2， 4a＋2b＋53＝1.
解得a＝－23， b＝1.
∴该抛物线的解析式为 y＝－23x2＋x＋53. ∴对称轴方程为 x＝－－143＝34. ·········· 9 分
3．(2019衢州)某宾馆有若干间标准房，当标准 房的价格为200元时，每天入住的房间数为60
间．经市场调查表明，该馆每间标准房的价格 在170～240元之间(含170元，240元)浮动时， 每天入住的房间数y(间)与每间标准房的价格 x(元)的数据如下表：
2020 全新版
第三单元 函数
课时13 二次函数的综合
CONTEN TS
目 录
知识梳理 知识过关
课堂检测
知识梳理
一、二次函数与一次函数图象的交点 1．二次函数y1＝ax2＋bx＋c与一次函数y2＝kx
＋m的图象有两个交点，即方程ax2＋(b－k)x＋ c－m＝0有两个不等的实数根⇔Δ＝(b－k)2－ 4a(c－m)＞0； 2．二次函数y1＝ax2＋bx＋c与一次函数y2＝kx ＋m的图象有一个交点，即方程ax2＋(b－k)x＋ c－m＝0有两个相等的实数根⇔Δ＝(b－k)2－ 4a(c－m)＝0；
2020年中考数学复习专题之二次函数的综合应用问题
二次函数的综合应用二次函数的实际应用（1）增长率问题一月a增长率为x 二月a(1+x)增长率为x三月a(1+x)2（2）利润问题在这个模型中，利润=（售价-成本）×销量（3）面积问题矩形面积=长×宽材料总长a 矩形长x矩形宽1(a-2x)2题型一二次函数的应用—销售问题例7.某公司投资销售一种进价为每件15元的护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量y（件)与销售单价x（元)之间的关系可近似的看作一次函数：y=-20x+800，在销售过程中销售单价不低于成本价，而每件的利润不高于成本价的60%．（1）设该公司每月获得利润为w（元)，求每月获得利润w（元)与销售单价x（元)之间的函数关系式，并确定自变量x的取值范围．（2）当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？每月的最大利润是多少？【思路点拨】（1）由题意得，每月销售量与销售单价之间的关系可近似看作一次函数，利润＝（定价﹣进价）×销售量，从而列出关系式；（2）首先确定二次函数的对称轴，然后根据其增减性确定最大利润即可；【答案与解析】解：（1）由题意，得：w＝（x﹣15）•y＝（x﹣15）•（﹣20x+800）＝﹣20x2+1100x﹣12000，即w＝﹣20x2+1100x﹣12000（15≤x≤24）；（2）对于函数w＝﹣20x2+1100x﹣12000（15≤x≤24）的图象的对称轴是直线x＝27.5又∵a＝﹣20＜0，抛物线开口向下．∴当15≤x≤24时，W随着x的增大而增大，∴当x＝24时，W＝2880，答：当销售单价定为24元时，每月可获得最大利润，最大利润是2880元．变式训练1.某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，商场采取了降价措施．假设在一定范围内，衬衫的单价每降1元，商场平均每天可多售出2件，设衬衫的单价降x元，每天获利y元．（1）如果商场里这批衬衫的库存只有44件，那么衬衫的单价应降多少元，才能使得这批衬衫一天内售完，且获利最大，最大利润是多少？（2）如果商场销售这批衬衫要保证每天盈利不少于1200元，那么衬衫的单价应降多少元？【思路点拨】（1）列出y＝44（40﹣x）＝﹣44x+1760，根据一次函数的性质求解；（2）根据题意列出y＝（20+2x）（40﹣x）＝﹣2（x﹣15）2+1250，结合二次函数的性质求解；【答案与解析】解：（1）y＝44（40﹣x）＝﹣44x+1760，∵20+2x≥44，∴x≥12，∵y随x的增大而减小，∴当x＝12时，获利最大值1232；答：如果商场里这批衬衫的库存只有44件，那么衬衫的单价应12元，才能使得这批衬衫一天内售完，且获利最大1232元；（2）y＝（20+2x）（40﹣x）＝﹣2（x﹣15）2+1250，当y＝1200时，1200＝﹣2（x﹣15）2+1250，∴x＝10或x＝20，∵当x＜15时，y随x的增大而增大，当x＞15时，y随x的增大而减小，当10≤x≤20时，y≥1200，答：如果商场销售这批衬衫要保证每天盈利不少于1200元，那么衬衫的单价应降不少于10元且不超过20元.变式训练2.为建设美丽家园，某社区将辖区内的一块面积为1000m2的空地进行绿化，一部分种草，剩余部分栽花，设种草部分的面积为x(m2)，种草所需费用y（元)与x(m2)的函1数关系图象如图所示，栽花所需费用y（元)与x(m2)的函数关系式为2xy=-0.01x2-20x+30000(0剟1000)．2（1）求 y （元 ) 与 x(m 2) 的函数关系式；1（2）设这块1000m 2 空地的绿化总费用为W （元 ) ，请利用W 与 x 的函数关系式，求绿化总 费用 W 的最大值．【思路点拨】（1）根据函数图象利用待定系数法即可求得y 1（元）与 x （m 2）的函数关系式 （2）总费用为 W ＝y 1+y 2，列出函数关系式即可求解 【答案与解析】解：（1）依题意当 0≤x≤600 时，y 1＝k 1x ，将点（600，18000）代入得 18000＝600k 1，解得 k 1＝30∴y 1＝30x当 600＜x≤1000 时，y 1＝k 2x+b ，将点（600，18000），（1000，26000）代入得，解得∴y 1＝20x+600综上，y 1（元）与 x （m 2）的函数关系式为：（2）总费用为：W ＝y 1+y 2∴W＝整理得故绿化总费用 W 的最大值为 32500 元.变式训练 3.某公司生产的某种商品每件成本为 20 元，经过市场调研发现，这种商品在未来 40 天内的日销售量 m （件 ) 与时间 t （天 ) 的关系如下表：时间 t （天 ) 1 3 5 10 36日销售量 m94 90 86 76 24（件 )未来 40 天内，前 20 天每天的价格 y 1（元/件）与时间 t （天）的函数关系式为 y 1＝ t +25（1≤t ≤20 且 t 为整数），后20 天每天的价格 y 2（元/件）与时间 t （天）的函数关系式为y 2＝﹣ t +40（21≤t ≤40 且 t 为整数）．下面我们就来研究销售这种商品的有关问题：（1）认真分析上表中的数据，用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定一个满足这些数据的 m （件 ) 与 t （天 ) 之间的表达式；（2）请预测未来 40 天中哪一天的日销售利润最大，最大日销售利润是多少？【思路点拨】（1）从表格可看出每天比前一天少销售 2 件，所以判断为一次函数关系式；（2）日利润＝日销售量×每件利润，据此分别表示前 20 天和后 20 天的日利润，根据函数性质求最大值后比较得结论．【答案与解析】解：（1）经分析知：m 与 t 成一次函数关系．设 m ＝kt+b （k≠0），将 t ＝1，m ＝94，t ＝3，m ＝90代入，解得，∴m＝﹣2t+96；（2）前 20 天日销售利润为 P 1 元，后 20 天日销售利润为 P 2 元，则 P 1＝（﹣2t+96）（ t+25﹣20）＝﹣ （t ﹣14）2+578，∴当 t ＝14 时，P 1 有最大值，为 578 元．P 2＝（﹣2t+96）•（ t+40﹣20）＝﹣t 2+8t+1920＝（t ﹣44）2﹣16，∵当 21≤t≤40 时，P 2 随 t 的增大而减小，∴t＝21 时，P 2 有最大值，为 513 元． ∵513＜578，∴第 14 天日销售利润最大，最大利润为 578 元．题型二 二次函数的应用—面积问题例 8.如图，用 30m 长的篱笆沿墙建造一边靠墙的矩形菜园，已知墙长18m ，设矩形的宽 AB为xm．（1）用含x的代数式表示矩形的长BC；（2）设矩形的面积为y，用含x的代数式表示矩形的面积y，并求出自变量的取值范围；（3）这个矩形菜园的长和宽各为多少时，菜园的面积y最大？最大面积是多少？【思路点拨】（1）设菜园的宽AB为xm，于是得到BC为（30﹣2x）m；（2）由面积公式写出y与x的函数关系式，进而求出x的取值范围；（3）利用二次函数求最值的知识可得出菜园的最大面积．【答案与解析】解：（1）∵AB＝CD＝xm，∴BC＝（30﹣2x）m；（2）由题意得y＝x（30﹣2x）＝﹣2x2+30x（6≤x＜15）；（3）∵S＝﹣2x2+30x＝﹣2（x﹣7.5）2+112.5，∴当x＝7.5时，S有最大值，S＝112.5，最大此时这个矩形的长为15m、宽为7.5m．答：这个矩形的长、宽各为15m、7.5m时，菜园的面积最大，最大面积是112.5m2．变式训练1.为了节省材料，小浪底水库养殖户小李利用水库的岸堤（足够长）为一边，用总长为120米的网在水库中围成了如图所示的①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等．设BC的长度为xm，矩形区域ABCD的面积为ym2．（1）求y与x之间的函数关系式，并注明自变量x的取值范围；（2）请你帮养殖户小李计算一下BC边多长时，养殖区ABCD面积最大，最大面积为多少？【思路点拨】（1）三个矩形的面值相等，可知2FG＝2GE＝BC，可知：2BC+8FC＝120，即FC＝，即可求解；（2）y＝﹣x2+45x＝﹣（x﹣30）2+675即可求解．【答案与解析】解：（1）∵三个矩形的面值相等，可知2FG＝2GE＝BC，∴BC×DF＝BC×FC，∴2FC＝DC，2BC+8FC＝120，∴FC＝，∴y与x之间的函数关系式为y＝3FC×BC＝x（120﹣2x），即y＝﹣x2+45x，（0＜x＜60）；（2）y＝﹣x2+45x＝﹣（x﹣30）2+675可知：当BC为30米是，养殖区ABCD面积最大，最大面积为675平方米．变式训练 2.如图，ABCD是一块边长为8米的正方形苗圃，园林部门拟将其改造为矩形AEFG的形状，其中点E在AB边上，点G在A的延长线上，DG2BE，设BE的长为x米，改造后苗圃AEFG的面积为y平方米．（1）求y与x之间的函数关系式（不需写自变量的取值范围）；（2）若改造后的矩形苗圃AEFG的面积与原正方形苗圃ABCD的面积相等，此时BE的长为米．（3）当x为何值时改造后的矩形苗圃AEFG的最大面积？并求出最大面积．【思路点拨】（1）根据题意可得DG＝2x，再表示出AE和AG，然后利用面积可得y与x之间的函数关系式；（2）根据题意可得正方形苗圃ABCD的面积为64，进而可得矩形苗圃AEFG的面积为64，进而可得：﹣2x2+8x+64＝64再解方程即可；（3）根据二次函数的性质即可得到结论．【答案与解析】解：（1）y＝（8﹣x）（8+2x）＝﹣2x2+8x+64，故答案为：y＝﹣2x2+8x+64；（2）根据题意可得：﹣2x2+8x+64＝64，解得：x1＝4，x2＝0（不合题意，舍去），答：BE的长为4米；故答案为：y＝﹣2x2+8x+64（0＜x＜8）；（3）解析式变形为：y＝﹣2（x﹣2）2+72，所以当x＝2时，y有最大值，∴当x为2时改造后的矩形苗圃AEFG的最大面积，最大面积为72平方米．变式训练3.如图，一面利用墙（墙的最大可用长度为10m)，用长为24m的篱笆围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，设花圃的一边AB的长为x(m)，面积为y(m2)．（1）若y与x之间的函数表达式及自变量x的取值范围；（2）若要围成的花圃的面积为45m2，则AB的长应为多少？【思路点拨】（1）根据题意可以得到y与x的函数关系式以及x的取值范围；（2）令y＝45代入（1）中的函数解析式，即可求得x的值，注意x的取值范围．【答案与解析】解：（1）由题意可得，y＝x（24﹣3x）＝﹣3x2+24x，∵24﹣3x≤10，3x＜24，解得，x≥∴且x＜8，，即y与x之间的函数表达式是y＝﹣3x2+24x（（2）当y＝45时，45＝﹣3x2+24x，解得，x1＝3（舍去），x2＝5，答：AB的长应为5m．题型三二次函数的应用—抛物线问题）；例9.如图，已知排球场的长度O D为18米，位于球场中线处球网的高度AB为2.4米，一队员站在点O处发球，排球从点O的正上方1.6米的C点向正前方飞出，当排球运行至离点O的水平距离OE为6米时，到达最高点G建立如图所示的平面直角坐标系．（1）当球上升的最大高度为3.4米时，对方距离球网0.4m的点F处有一队员，他起跳后的最大高度为3.1米，问这次她是否可以拦网成功？请通过计算说明．（2）若队员发球既要过球网，又不出边界，问排球飞行的最大高度h的取值范围是多少？（排球压线属于没出界）【思路点拨】（1）根据此时抛物线顶点坐标为（6，3.4），设解析式为y＝a（x﹣6）2+3.4，再将点C坐标代入即可求得；由解析式求得x＝9.4时y的值，与他起跳后的最大高度为3.1米比较即可得；（2）设抛物线解析式为y＝a（x﹣6）2+h，将点C坐标代入得到用h表示a的式子，再根据球既要过球网，又不出边界即x＝9时，y＞2.4且x＝18时，y≤0得出关于h的不等式组，解之即可得．【答案与解析】解：（1）根据题意知此时抛物线的顶点G的坐标为（6，3.4），设抛物线解析式为y＝a（x﹣6）2+3.4，将点C（0，1.6）代入，得：36a+3.4＝1.6，解得：a＝﹣，∴排球飞行的高度y与水平距离x的函数关系式为y＝﹣（x﹣6）2+；由题意当x＝9.5时，y＝﹣（9.4﹣6）2+≈2.8＜3.1，故这次她可以拦网成功；（2）设抛物线解析式为y＝a（x﹣6）2+h，将点C（0，1.6）代入，得：36a+h＝1.6，即a＝∴此时抛物线解析式为y＝（x﹣6）2+h，，变式训练1.一位篮球运动员投篮，球沿抛物线y=-x2+运行，然后准确落入篮筐内，根据题意，得：，解得：h≥3.025，答：排球飞行的最大高度h的取值范围是h≥3.025．1752已知篮筐的中心距离底面的距离为3.05m．（1）求球在空中运行的最大高度为多少m？（2）如果该运动员跳投时，球出手离地面的高度为2.25m，要想投入篮筐，则问他距离蓝筐中心的水平距离是多少？【思路点拨】（1）由抛物线的顶点坐标即可得；（2）分别求出y＝3.05和y＝2.25时x的值即可得出答案．【答案与解析】解：（1）∵y＝﹣x2+的顶点坐标为（0，），∴球在空中运行的最大高度为m；（2）当y＝3.05时，﹣0.2x2+3.5＝3.05，解得：x＝±1.5，∵x＞0，∴x＝1.5；当y＝2.25时，﹣0.2x2+3.5＝2.25，解得：x＝2.5或x＝﹣2.5，由1.5+2.5＝4（m），故他距离篮筐中心的水平距离是4米．变式训练2.甲、乙两人进行羽毛球比赛，羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分，如图，甲在O点正上方1m的P处发出一球，羽毛球飞行的高度y(m)与水平距离x(m)之间满足函数表达式y=a(x-4)2+h，已知点O与球网的水平距离为5m，球网的高度为1.55m．（1）当a=-124时，①求h的值；②通过计算判断此球能否过网．（2）若甲发球过网后，羽毛球飞行到与点的O水平距离为7m，离地面的高度为处时，乙扣球成功，求a的值．125m的Q【思路点拨】（1）①将点P（0，1）代入y＝﹣（x﹣4）2+h即可求得h；②求出x＝5时，y的值，与1.55比较即可得出判断；（2）将（0，1）、（7，）代入y＝a（x﹣4）2+h代入即可求得a、h．【答案与解析】解：（1）①当a＝﹣时，y＝﹣（x﹣4）2+h，将点P（0，1）代入，得：﹣解得：h＝；×16+h＝1，②把x＝5代入y＝﹣∵1.625＞1.55，∴此球能过网；（x﹣4）2+，得：y＝﹣×（5﹣4）2+＝1.625，（2）把（0，1）、（7，，）代入y＝a（x﹣4）2+h，得：解得：，∴a＝﹣．变式训练3.小明跳起投篮，球出手时离地面20m，球出手后在空中沿抛物线路径运动，并9在距出手点水平距离4m处达到最高4m．已知篮筐中心距地面3m，与球出手时的水平距离为8m，建立如图所示的平面直角坐标系．（1）求此抛物线对应的函数关系式；（2）此次投篮，球能否直接命中篮筐中心？若能，请说明理由；若不能，在出手的角度和力度都不变的情况下，球出手时距离地面多少米可使球直接命中篮筐中心？（3）在篮球比赛中，当进攻方球员要投篮时，防守方球员常借身高优势及较强的弹跳封杀对方，这就是平常说的盖帽．（注：盖帽应在球达到最高点前进行，否则就是“干扰球”，属犯规．)若此时，防守方球员乙前来盖帽，已知乙的最大摸球高度为3.19m，则乙在进攻方球员前多远才能盖帽成功？【思路点拨】（1）根据顶点坐标（4，4），设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣4）2+4，由球出手时离地面m，可知抛物线与y轴交点为（0，），代入可求出a的值，写出解析式；（2）先计算当x＝8时，y的值是否等于3，把x＝8代入得：y＝，所以要想球经过（8，3），则抛物线得向上平移3﹣＝个单位，即球出手时距离地面3米可使球直接命中篮筐中心；（3）将由y＝3.19代入函数的解析式求得x值，进而得出答案．【答案与解析】（1）设抛物线为y＝a（x﹣4）2+4，将（0，）代入，得a（0﹣4）2+4＝，解得a＝﹣，∴所求的解析式为y＝﹣（x﹣4）2+4；（2）令x＝8，得y＝﹣（8﹣4）2+4＝∴抛物线不过点（8，3），故不能正中篮筐中心；≠3，＝∵抛物线过点（8，），∴要使抛物线过点（8，3），可将其向上平移 7/9 个单位长度，故小明需向上多跳 m 再投篮（即球出手时距离地面 3 米）方可使球正中篮筐中心．（3）由（1）求得的函数解析式，当 y ＝3.19 时，3.19＝﹣19（x ﹣4）2+4解得：x 1＝6.7（不符合实际，要想盖帽，必须在篮球下降前盖帽，否则无效），x 2＝1.3∴球员乙距离甲球员距离小于 1.3 米时，即可盖帽成功．题型四 二次函数与图形面积的综合例 10.如图，抛物线 y = a(x + 1)2的顶点为 A ，与 y 轴的负半轴交于点 B ，且 OB = OA ．（1）求抛物线的解析式；（2）若点 C (-3,b ) 在该抛物线上，求 S∆ABC 的值．【思路点拨】（1）由抛物线解析式确定出顶点 A 坐标，根据 OA ＝OB 确定出 B 坐标，将 B坐标代入解析式求出 a 的值，即可确定出解析式；（2）将 C 坐标代入抛物线解析式求出 b 的值，确定出 C 坐标，过 C 作 CD 垂直于 x 轴，三角形 ABC 面积＝梯形 OBCD 面积﹣三角形 ACD 面积﹣三角形 AOB 面积，求出即可．【答案与解析】解：（1）由题意得：A （﹣1，0），B （0，﹣1），将 x ＝0，y ＝﹣1 代入抛物线解析式得：a ＝﹣1，则抛物线解析式为 y ＝﹣（x+1）2＝﹣x 2﹣2x ﹣1；（2）过 C 作 CD⊥x 轴，将 C （﹣3，b ）代入抛物线解析式得：b ＝﹣4，即 C （﹣3，﹣4），则 △S ABC ＝S 梯形 OBCD △﹣S ACD △﹣S A OB ×3×（4+1）﹣ ×4×2﹣ ×1×1＝3．变式训练1.如图，已知二次函数图象的顶点为(1,-3)，并经过点C(2,0)．（1）求该二次函数的解析式；（2）直线y=3x与该二次函数的图象交于点B（非原点），求点B的坐标和∆AOB的面积；【思路点拨】（1）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2﹣3，由待定系数法就可以求出结论；（2）由抛物线的解析式与一次函数的解析式构成方程组，求出其解即可求出B的坐标，进而可以求出直线AB的解析式，就可以求出AB与x轴的交点坐标，就可以求出△AOB的面积；【答案与解析】解：（1）抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2﹣3，由题意，得0＝a（2﹣1）2﹣3，解得：a＝3，∴二次函数的解析式为：y＝3（x﹣1）2﹣3；（2）由题意，得，解得：．∵交点不是原点，∴B（3，9）．如图2，设直线AB的解析式为y＝kx+b，由题意，得，△+S，△+S△+S解得：，∴y＝6x﹣9．当y＝0时，y＝1.5．∴E（1.5，0），∴OE＝1.5，△∴SAOB＝SA OE BOE＝+，＝9．答：B（3，9），△AOB的面积为9；变式训练2.如图，抛物线y=x2+x-2与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．（1）求点A，点B和点C的坐标；（2）在抛物线的对称轴上有一动点P，求PB+PC的值最小时的点P的坐标；（3）若点M是直线AC下方抛物线上一动点，求四边形ABCM面积的最大值．【思路点拨】（1）利用待定系数法即可解决问题．（2）连接AC与对称轴的交点即为点P．求出直线AC的解析式即可解决问题．（3）过点M作MN⊥x轴与点N，设点M（x，x2+x﹣2），则AN＝x+2，0N＝﹣x，0B＝1，0C＝2，MN＝﹣（x2+x﹣2）＝﹣x2﹣x+2，根据S四边形ABCM△＝SAOM OCM BOC构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题．【答案与解析】解：（1）由y＝0，得x2+x﹣2＝0解得x＝﹣2x＝l，∴A（﹣2，0），B（l，0），由x＝0，得y＝﹣2，∴C（0，﹣2）．（2）连接AC与对称轴的交点即为点P．△+S + ＝设直线 AC 为 y ＝kx+b ，则﹣2k+b ＝0，b ＝﹣2：得 k ＝﹣l ，y ＝﹣x ﹣2．对称轴为 x ＝﹣ ，当 x ＝﹣ 时，y ＝_（﹣ ）﹣2＝﹣ ，∴P（﹣ ，﹣ ）．（3）过点 M 作 MN⊥x 轴与点 N ，设点 M （x ，x 2+x ﹣2），则 AN ＝x+2，0N ＝﹣x ，0B ＝1，0C ＝2，MN ＝﹣（x 2+x ﹣2）＝﹣x 2﹣x+2，S四边形 ABCM△＝S AOM OCM △S BOC （x+2）（﹣x 2﹣x+2）+ （2﹣x 2﹣x+2）（﹣x ）+ ×1× 2＝﹣x 2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4．∵﹣1＜0，∴当 x ＝_l 时，S 四边形 ABCM 的最大值为 4．变式训练 3.如图，二次函数 y = ax 2 + b x 的图象经过点 A(2,4) 与 B(6,0) ．（1）求 a ， b 的值；（2）点 C 是该二次函数图象上 A ， B 两点之间的一动点，横坐标为 x (2 < x < 6) ，写出四边形 OACB 的面积 S 关于点 C 的横坐标 x 的函数表达式，并求 S 的最大值．△＝△＝△＝△+S△+S【思路点拨】（1）把A与B坐标代入二次函数解析式求出a与b的值即可；（2）如图，过A作x轴的垂直，垂足为D（2，0），连接CD，过C作CE⊥AD，CF⊥x轴，垂足分别为E，F，分别表示出三角形OAD，三角形ACD，以及三角形BCD的面积，之和即为S，确定出S关于x的函数解析式，并求出x的范围，利用二次函数性质即可确定出S的最大值，以及此时x的值．【答案与解析】解：（1）将A（2，4）与B（6，0）代入y＝ax2+bx，得，解得：；（2）如图，过A作x轴的垂线，垂足为D（2，0），连接CD、CB，过C作CE⊥AD，CF⊥x 轴，垂足分别为E，F，SOADOD•AD＝×2×4＝4；SACDAD•CE＝×4×（x﹣2）＝2x﹣4；SBCDBD•CF＝×4×（﹣x2+3x）＝﹣x2+6x，则S＝SOAD ACD BCD＝4+2x﹣4﹣x2+6x＝﹣x2+8x，∴S关于x的函数表达式为S＝﹣x2+8x（2＜x＜6），∵S＝﹣x2+8x＝﹣（x﹣4）2+16，∴当x＝4时，四边形OACB的面积S有最大值，最大值为16．。
二次函数中考复习 ppt课件
∴二次函数的解析式为y=-2(x-1)2+2
即： y=-2x2+4x
2020/12/27
13
a=-2,b=4,c=0
4、a，b，c符号的确定
a决定开口方向和大小：a＞０时开口向上，
(上正、下负）
a＜０时开口向下
a、b同时决定对称轴位置：a、b同号时对称轴在y轴左
侧(左同、右异)
a、b异号时对称轴在y轴右
是2，图象顶点在直线y=x+1上，并且图 象经过点（3，-6）。求a、b、c。
解：∵二次函数的最大值是2
∴抛物线的顶点纵坐标为2
又∵抛物线的顶点在直线y=x+1上
∴当y=2时，x=1
∴顶点坐标为（ 1 ， 2）
∴设二次函数的解析式为y=a(x-1)2+2
又∵图象经过点（3，-6）
∴-6=a (3-1)2+2 ∴a=-2
∴当 m 2 时，是二次函数。
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二次函数y=x2-x-6的图象顶点坐标是_（_—_12_，_—__2_45__） 对称轴是___x=_—_12____。 二次函数的解析式: (a≠0)
顶点式 y=a(x-h)²+k 对称轴:直线x=h 顶点:(h,k)
一般式
y=ax²+bx+c
＞
15
例2:如图所示，二次函数y=ax2+bx+c的图像开口向上，图像经 过点（－1，2）和（1，0）且与y轴交于负半轴.
4acb2 4a
0
(,c)
抛物线 顶点坐标
对称轴 位置
x
b 2a
,
4acb2 4a
y=ax2+bx+c(a>0)
二次函数总复习总结课件PPT
c>0
c=0 c<0
x
(3)a、b确定对称轴
x=-
b 2a
的位置:
ab>0 ab=0 ab<0
(4)Δ确定抛物线与x轴的交点个数：
Δ>0
Δ=0 Δ<0
CHENLI
14
y
•0 (0,0)
(1)a确定抛物线的开口方向：
a>0
a<0
(2)c确定抛物线与y轴的交点位置:
c>0
c=0 c<0
x
(3)a、b确定对称轴
云 影 飘 飘 漾漾 ，滑落 几瓣， 摇曳乞 巧坊。 绿 意 掩 映 的门， 玲珑雕 花的窗 ， 朱 红 的 屏 风穿透 古筝悠 扬，高 山流水 韵，又 一曲， 渔舟晚 唱。 芊 芊 玉 指， 脂 粉 的 面 庞 ，颔首 凝神， 眉如黛 ，双眸 似水， 轻捻指 ，飞针 走线， 满目心 事，落 于 绸 缎 间 徜 徉。 十 指 春 风， 七彩的 丝线盘 绕出戏 水的鸳 鸯，牡 丹嫣红 次第开 放 ， 红 梅 凌 雪，睡 莲静卧 ，兰花 一枝独 自芬芳 。 蜂 蝶 绕 ， 燕呢 喃，凤 飞翱翔 ， 四 海 求 凰 。 丽 华 秀 玉 色， 汉女娇 朱颜。 清歌遏 流云， 艳舞有 馀闲。 墨香点 点 ， 熏 染 墙 面歌悠 扬，笔 意汩汩 ，飞舞 白宣诗 流淌。 荷 包 绣 不 尽，丝 丝缕缕 遥 远 的 牵 挂 ；锦囊 裹幽香 ，缠缠 绵绵前 世的爱 恋。红 丝带系 牢，思 念挂在 心间。 缀 满 心 事 的 流苏， 飞溅经 年的约 定，一 颗颗无 声的珠 玉滴落 ，都脆 响在七 月带露 的 心 上 。 垂 挂 在 空中 ，风干 的往事 ，独倚 雕栏， 寂静张 望。 蓝 花 布 包裹 的 花 枕 ， 香 酥手将 美梦一 一盛放 ，蓝天 白云荞 麦香， 装着故 乡的模 样，花 枕圆、 花 枕 方 ， 情 针意线 绣不尽 。鸳鸯 枕边， 绣花的 棱角稳 稳当当 ，层层 叠叠垒 ，砌成 安 静 的 墙 。 雨过后 ，天微 凉，送 你，去 远方， 心随你 走，他 乡是故 乡，牵 着故乡 月 ， 让 心 去 流浪， 枕边耳 语在， 无论走 多远， 不被遗 忘。 古 色 古 香韵 悠长，
二次函数ppt课件
过程与方法目标
在教师的引导下，学生经历观察、
类比、讨论、归纳的过程，通过小
组交流讨论的学习方式，共同探索
出二次函数的概念和解析式特征。
3.说教材
的重难点
教学重点:经历探索、分
析、类比讨论、归纳二次
函数概念的过程。
教学难点:根据二次函数
的定义特征辨别二次函数。
三、说教法
在教学过程中，不仅要使学生“知其然”，还要
解：由题可知,
− = ,
。
m=3
解得
+ ≠ ,
− = ,
+ ≠ ,
− − =
+≠
六、教学反思
1.本节课通过学生的探究性活动，学生之间的合作
与交流来分析实际问题，进而引出二次函数的概念，
使学生感受二次函数与现实生活的联系。
2.在课堂中，要结合课堂的实际效果和学生的情况
二次函数
一、学情分析
二、教材分析
三、教法与学法分析
四、教学过程分析
五、板书设计
六பைடு நூலகம்教学反思
据心理学研究结果，这个时期的青少年和
成年人思维接近，但他们理解抽象的词语仍有
困难，他们的判断力和逻辑推断力还没有很好
地发展，大多数青少年已经相当熟练地操作具
体对象，并喜欢通过具体手段学习，需要把抽
象的概念和他们的经验联系起来。
培养学生能力，促进学生个性发展。
1、学生特点分析
生理上，青少年好动，注意力易分散，
爱发表见解，希望得到老师的表扬，所以在
教学中应抓住学生这一生理特点，一方面要
运用直观生动的形象，引发学生的兴趣，使
他们的注意力始终集中在课堂上；另一方面
中考复习§二次函数PPT教学课件
D.点P1(t,y1),P2(t+1,y2)在抛物线上,当实数t> 1 时,y1<y2
3
2021年中考复习 §3.4 二次函数 课件
2021年中考复习 §3.4 二次函数 课件
答案
D
∵抛物线的开口向上,∴a>0,根据对称轴在y轴右侧可知-
b 2a
>0,∴b<0,所以ab<0,A选项结论正
确;根据题图可知,一元二次方程ax2+bx+c=0的负实数根在-1和0之间,根据图象的对称性可知,一元二次
2021年中考复习 §3.4 二次函数 课件
中考数学
§3.4 二次函数
2021年中考复习 §3.4 二次函数 课件
考点一 二次函数的图象与性质 1.(2018山西,9,3分)用配方法将二次函数y=x2-8x-9化为y=a(x-h)2+k的形式为( ) A.y=(x-4)2+7 B.y=(x-4)2-25 C.y=(x+4)2+7 D.y=(x+4)2-25
2
2
2021年中考复习 §3.4 二次函数 课件
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c
2.(2020新疆,8,5分)二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则一次函数y=ax+b和反比例函数y= x 在同一平 面直角坐标系中的图象可能是 ( )
2021年中考复习 §3.4 二次函数 课件
2
x2-2x- 3 -m=0,它对应的两个根应为x2,x3,∴x2+x3=1,∴A3A4-A1A2=2-1=1.
2
2021年中考复习 §3.4 二次函数 课件
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2024年中考数学一轮复习课件--二次函数的图象和性质(70张PPT)
A.m＜－3
B.m＞－3
C.m≤－3
D.m≥－3
类型二 二次函数解析式的确定及图象的平移
9.把函数y＝－3x2的图象向右平移2个单位，再向下平移1个单
位，得到的图象解析式为（ A ）
2
2
A.y＝－3（x－2） －1
B.y＝－3（x＋2） －1
C.y＝－3（x－1）2＋2
时 ， y 随 时 ， y 随
x的增大 x 的 增 大
减小
增大
而
； 而
；
顶点式：y＝a
（x－h）2＋k（a，
h， k是常数，
a≠0）
在 对 称
轴
右
增 侧 ， 即
减 当 x ＞ h
性 时，y随x
的 增 大
而 增大
在 对 称
轴右侧，
即当x＞h
时，y随x
的 增 大
而 减小
交点式：y＝a
一般式：y＝ax ＋bx＋c
5.（2023·杭州）设二次函数y＝a（x－m）（x－m－k）（a＞0，
m，k是实数），则（ A ）
A.当k＝2时，函数y的最小值为－a
B.当k＝2时，函数y的最小值为－2a
C.当k＝4时，函数y的最小值为－a
D.当k＝4时，函数y的最小值为－2a
6.（2023·福建质检）二次函数y＝ax2－2ax＋c（a＞0）的图象过
①抛物线翻折的本质为抛物线的翻折→抛物线上点的翻折→关
注抛物线的开口，并对顶点进行翻折→抛物线顶点式；
②将抛物线y＝a（x－h）2＋k沿着直线x＝m（或y＝k）翻折，
其解题策略与沿着坐标轴翻折一致，同学们不妨一试.
2020安徽中考数学专题复习(五)：二次涵数综合题(12张PPT)
－m2＋6m＋1
＝3
2 ，
1 2
得：
22
解得m＝3±2 2 ，
综上所述m＝3－ 11或m＝3±2 2 ；
(3)当－3≤x＜0时，y＝x2－6x－1 ＝(x－3)2－19 ，
2
2
∴抛物线的对称轴为直线x＝3，
∵1>0，
∴在－3≤x＜0上，y随x的增大而减小，
∴当x＝－3时，y取最大值，最大值为53 ；
2 (3)当－3≤x≤7时，求函数y＝－x2＋6x＋
1
的相关函数的最大值和最小值．
2
解：(1)y＝
x2－6x－ 1（x<0）
2 －x2＋6x＋
1（x≥0）;
2
(2)当m＜0时，把B(m，3 2
)代入y＝x2－6x－1 得：m2－6m－1
2
2
＝3 2
，
解得m＝3＋ 11(舍去)或m＝3－ 11；
当m≥0时，把B(m，3 )代入y＝－x2＋6x＋
当0≤x≤7时，y＝－x2＋6x＋1 ＝－(x－32)2＋19 ，
2
2
∴抛物线的对称轴为直线x＝3，
∴当x＝3时，y取最大值，最大值为19 ，当x＝7时，y取最小值，最小2
综上所述：当－3≤x≤7时，所求函数的相关函数的最大值为 最小值为－13 .
2
，
2
)2－1 4
m.
∵m＞0，
∴当t＝1时，PQ有最大值，且最大 值为2m. ∵0＜m≤3， ∴0＜2m≤6，即PQ的最大值为6. 综上所述，PQ的最大值为6.
图①
例1题解图
图②
类型二 与面积有关的问题
（2016.22）
例2 如图，二次函数y＝ax2＋bx－3的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C， 对称轴为直线x＝1，与x轴交于点D，顶点为P，且PD＝OC＋OD. (1)求二次函数的表达式； (2)点M是该二次函数图象第四象限上的动点， 连接BC、CM，以BC、CM为邻边作平行四边 形CMNB，求平行四边形CMNB面积的最大值．