华中科技大学矩阵论
华中科技大学研究生矩阵论Matrix2-1
1
1
（backward identity）
§2.3 最小多项式 (minimal polynomials)
讨论 n 阶矩阵多项式的相关问题： 矩阵多项式（重点是计算） 矩阵的化零多项式（Cayley 定理） 最小多项式 Jordan标准形的应用（简化计算） 相似不变性 Jordan化的方法
n (2) 由 I A 0 知 1 2 n 0
(3) 解方程
( A 0 ) X 0 得通解
x2 x3 xn 0, x1 k
即
X k (1,0, , 0)T
于是，A关于 0 的特征向量为 X k (1,0, , 0)T , k 0, n-1 从而得T=d/dx的特征向量为 (1, x, , x ) X k , k 0.
背景：求基{i，i=1~n}, 使得 T(1 2 … n) = (1 2 …n)
1. {1 2 … n} 线性无关
1 2 n
2. L{i}是不变子空间: Ti=ii
一、变换T的特征值与特征向量
(I T )( ) O (T I )( ) O
定理2.5 (存在定理) 在复数域上，每个方阵A都相似于 一个Jordan阵JA。 含义： Jordan 矩阵可以作为相似标准形。 惟一性：Jordan 子块的集合惟一。 A相似于B JA 相似于JB
4 方阵A的Jordan 标准形的求法
目标：求可逆矩阵P和Jordan矩阵JA ，使AP=PJA 分析方法： 在定理 2.5 的基础上逆向分析矩阵JA和P的构成。 求法与步骤：
例1 求Pn[x]上微分变换d/dx的特征值与特征向量。
矩阵论 杨明 华中科技大学 课后习题解答
1.判断下列集合对指定的运算是否构成 R 上的线性空间
n
（1）V1 {A (aij )nn | aii 0}，对矩阵加法和数乘运算； i 1
（2）V2 {A | A Rnn , AT A}，对矩阵加法和数乘运算；
（3）V3 R3 ；对 R3 中向量加法和如下定义的数乘向量： R3 , k R, k 0 ；
x2 3 4 x3
x3 x4
分别取 x3 1, x4 0 和 x3 0, x4 1 ，求得齐次方程 AX 0 解空间的一组基
1 4 1 0T , 1 1 0 1T
所以 A 的零空间为
N(A ) L 1 4 1 T0 , 1 1 T0 1
8.在 R22 中，已知两组基
1
E1
0
A1, A2 , , Ar 线性无关矛盾，故
所以
dimN(A)=n-r dimR(A)+dimN(A)=n
1 1 3 0
7.设
A
2
1
2 1 ，求矩阵 A 的列空间 R(A)和零空间 N(A)。
1 1 5 2
解：通过矩阵的行初等变换将矩阵 A 化为行阶梯形
1 1 3 0 1 1 3 0
（4）V4 { f (x) | f (x) 0}，通常的函数加法与数乘运算。
解： （1）、（2）为 R 上线性空间
（3）不是，由线性空间定义，对 0 有 1 = ，而题（3）中1 0 （4）不是，若 k<0，则 kf (x) 0 ，数乘不满足封闭性。
2.求线性空间V {A Rnn | AT A}的维数和一组基。
由此，得过渡矩阵
0 1 1 1
C
1
0
1
1
1 1 0 1
矩阵论华中科技大学课后习题答案
习题一1.判断下列集合对指定的运算是否构成R 上的线性空间 （1）11{()|0}nij n n iii V A a a⨯====∑，对矩阵加法和数乘运算；（2）2{|,}n n T V A A R A A ⨯=∈=-，对矩阵加法和数乘运算；（3）33V R =；对3R 中向量加法和如下定义的数乘向量：3,,0R k R k αα∀∈∈=； （4）4{()|()0}V f x f x =≥，通常的函数加法与数乘运算。
解： （1）、（2）为R 上线性空间（3）不是，由线性空间定义，对0α∀≠有1α=α，而题（3）中10α= （4）不是，若k<0，则()0kf x ≤，数乘不满足封闭性。
2.求线性空间{|}n nT V A R A A ⨯=∈=的维数和一组基。
解：一组基10001010101010000000100..................0010010⎧⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩⎪⎪⎪⎪⎭dim W =n (n +1)/23.如果U 1和U 2都是线性空间V 的子空间，若dim U 1=dim U 2，而且12U U ⊆，证明：U 1=U 2。
证明：因为dim U 1=dim U 2，故设{}12,,,r ααα为空间U 1的一组基，{}12,,,r βββ为空间U 2的一组基2U γ∀∈，有()12r X γγβββ=而()()1212r r C αααβββ=，C 为过渡矩阵，且可逆于是()()()11212121r r r X C X Y U γγγγβββαααααα-===∈由此，得21U U ⊆又由题设12U U ⊆，证得U 1=U 2。
矩阵论(华中科技大学)课后习题问题详解(1)
习题一1.判断下列集合对指定的运算是否构成R 上的线性空间 （1）11{()|0}nij n n iii V A a a⨯====∑，对矩阵加法和数乘运算；（2）2{|,}n n T V A A R A A ⨯=∈=-，对矩阵加法和数乘运算；（3）33V R =；对3R 中向量加法和如下定义的数乘向量：3,,0R k R k αα∀∈∈=； （4）4{()|()0}V f x f x =≥，通常的函数加法与数乘运算。
解： （1）、（2）为R 上线性空间（3）不是，由线性空间定义，对0α∀≠有1α=α，而题（3）中10α= （4）不是，若k<0，则()0kf x ≤，数乘不满足封闭性。
2.求线性空间{|}n nT V A R A A ⨯=∈=的维数和一组基。
解：一组基10001010101010000000100..................0010010⎧⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩L L L ⎪⎪⎪⎪⎭dim W =n (n +1)/23.如果U 1和U 2都是线性空间V 的子空间，若dim U 1=dim U 2，而且12U U ⊆，证明：U 1=U 2。
证明：因为dim U 1=dim U 2，故设{}12,,,r αααL 为空间U 1的一组基，{}12,,,r βββL 为空间U 2的一组基2U γ∀∈，有()12r X γγβββ=L L而()()1212r r C αααβββ=L L ，C 为过渡矩阵，且可逆 于是()()()11212121r r r X C X Y U γγγγβββαααααα-===∈L L L L L L由此，得 21U U ⊆又由题设12U U ⊆，证得U 1=U 2。
矩阵论绪论20130909
稀疏快速Fourier变换sFFT（2012）
矩阵论应用选介
The $25,000,000,000 Eigenvector:
The Linear Algebra behind Google
数学文化，第二卷第一期，2011。
矩阵论应用选介
Scientific computing libraries began growing around matrix calculus. The maximum principle is related to nonnegative matrices. Control theory and stabilization of system with finitely many degrees of freedom involve spectral analysis of matrices. Statistics is widely based on correlation matrices. The generalized inverse is involved in leastsquares approximation.
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学习数学的语言；学习数学的思维
数学的地位 与作用 数学教育 本质上是 一种素质 教育 （科学素质）
数学是科 学的语言
矩阵是数 学的语言
数学是一种语言、一个 工具、一个基础、一门 科学、 一门技术、一种 文化，……； 高新技术本质上是一种 数学技术
华中科技大学研究生矩阵论Matrix演示文稿
AB，BA，I2B，AB，I2A
A B [aij B] A B [aijbij ]
3 0 0 0
B
I
2
B
0
0 B
0 0
1 0
0 3
0
,
0
0 0 0 1
分块对角矩阵
A
B
1 3 2 0
3 0 3 4 (1) 0
0 4,
AB B A
I
2
A
11 0 2
0 1 1 4
1 0
04.
对角矩阵
定）。
证明思路：利用定理3.6，有
k
l
A vrvrH , B wswsH ,
r 1
s 1
推出 AB可表示为
kl
A B
ursurHs , urs vr ws .
r 1 s1
第17页，共25页。
6. 3 矩阵的向量化算子和K-积
• 向量化算子Vec: Fm×n Fmn
定义（P . 143）设 A = [aij]mn , 则
(A1B1C1)(A2B2C2) = (A1A2)(B1B2)(C1C2) (A1B1)(A2B2)(A3B3) = (A1A2A3)(B1B2B3)
第11页，共25页。
6.2 Kronecker积和Hadamard积的性质
• Kronecker积的矩阵性质
定理6.4 （P. 140）设矩阵使下列运算有意义，则 • 当A，B分别为可逆矩阵时，AB和BA均为可逆 矩阵，而且有 (AB)–1 = A–1 B–1 • 当方阵AFmm，BFnn时，方阵ABFmnmn的行 列式为 |AB| = |BA| = |A|n |B|m • 若A，B是Hermite矩阵，则AB 和BA均是Hermite
华中科技大学研究生数学矩阵论练习和习题省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件
L L{1，2，···，m }
W
W1＋W2
矩 矩阵AF m×n，两个子空间
不不变子空间
线线性变换旳数量关系：
➢线性变换旳表达 ➢线性变换旳数量关系 ➢主要旳线性变换
第1章习题选讲
P31，习题一 1（3），2，4，9，10，11 ，17，20， 23（4），26，29，30
第2章推荐习题
P58 1，2，3，6，8，9，11， 12， 13，16，19，20
第2章习题选讲
P58 1，3，6，8，9，11， 13，16， 19，20
线性空间旳问题
线性空间旳表达形式：
集合表达形式：Vn（F）=｛ 满足旳性质｝ 向量生成形式：L{1，2，···，m }
子空间类型：
L{1，2，···，m } W1＋W2 矩阵AF m×n，两个子空间 不变子空间
线性空间旳数量关系与矩阵
线性变换旳数量关系
线性变换旳给定方式 线性变换旳变换矩阵 空间分解与矩阵分解
复习与习题
2023 级矩阵论考试信息
考试时间：第16周六（12月22日），
考试地点：西12楼（详见网上告知） 答疑时间：第16周三、四、五：下午 答疑地点：逸夫科技楼（北）913#
矩阵论复习（07）
要点：
线性空间旳问题 线性变换旳数量关系 JA，mA() ，f() =|I-A | 之间旳关系 A与f(A)在Jordan原则形上旳关系 正规矩阵旳性质与应用 向量范数与矩阵范数 矩阵幂级数和矩阵函数
试题旳构造
习题选讲
P31，习题一 2，4，10，11 ，17， 23（4），26，29，30 P57，习题二 3，6，11，13， 20
试题旳构造
填空题 25% 计算题60% 证明题 15% 试题样板
《矩阵论》课件10QR分解与Schur分解(华中科大)
第十讲 UR(QR)分解与Schur 分解一、 UR 分解和QR 分解（UR 的推广）1. 定义：如果实（复）矩阵A 可化为正交（酉）矩阵U 与实（复）上三角矩阵R(主对角线元为正)的乘积，即，则称上式为A 的UR 分解。
=A UR 2. 可逆方阵的UR 分解①存在性：P74 定理3.7：设A 是n 阶的非奇异矩阵，则存在正交（酉）矩阵U 与实（复）上三角矩阵R 使得，其中=A UR ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=>⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦11121n 22ii nn r r r r R ,r 0;i 1,2,...,n.r = [证明]：设A 记为[]ααα=12n A ，A 非奇异线性无关 ααα→12n ,,, 采用Gram-schmidt 正交化方法将它们正交化，可得 βββ12n ,,,[][][]βαεαεβααααεεεβεεεε⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦=121n 2n 12n 12n n 12n ||||(,)(,)||||(,)||||R12 Q 是正交（酉）矩阵，R 是实（复）上三角矩阵。
② 求可逆矩阵的UR 分解(Schmidt 正交化方法)例，设 ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦100A 110111将UR 分解推广到对列满秩矩阵进行：3，列满秩矩阵的QR 分解P76,定理3.8. 设A 是的实（复）矩阵，且其k 个列线性无关（即列满秩），则A 具有分解。
其中Q 是阶实（复）矩阵，且满足，R 是k 阶实（复）非奇异上三角矩阵。
×m k A QR =×m k T H Q Q I(Q Q I)==n H二，Schur 定理（Schur 分解）1，内容：设，则存在酉矩阵U 和上三角矩阵T 使得×∈n n A C λλλ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦1121n 22H n t t t U AU T [证明]： −==⇒=1A HA PJ P ,P UR A UTU2，酉相似定义：A 酉相似于B ⇔=H U,st,U AU B 存在酉三，正规矩阵1， 定义：满足，称为正规矩阵。
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例题1 设矩阵A构成的矩阵序列 ： {I，A，A2 ， … ，Ak， … ，} 如果对某一矩阵范数 A ，有 A < 1， 证明 k
k
lim A 0
§ 5 . 4 矩阵的幂级数
讨论：方阵A，数列{a i}构成的矩阵幂级数： a 0 I+a1A+a2A 2 + +akA k + 1. 收敛性: 2. 求和方法，由和矩阵作为函数值定义矩阵函数。 一、谱半径 1. 定义：A的谱{1， 2， … ， s} ，则谱半径
定义5 . 1（P. 109）Vn（F）上的实值函数： Vn（F） R+ ，满足
1. 正定性： x 0， x =0 x=0。 2. 齐次性： k F， kx = k x 3. 三角不等式： x+y x + y
2、Cn空间常用的范数
•
则 为Vn（F）上的范数，[Vn（F）； ] 是 1 n 赋范空间。 pp
x
p
Cn空间，Hö 范数（p- 范数） ld
xi i 1
p-范数的特例：
. P=1
x 1 xi
i 1
n
. P=2
x2
x
i 1
n
2
i
. P=
2. 收敛性的判别方法
1. 收敛性分析: 2. 定理5.8
例题1、 （P . 108 eg8）讨论 性，在收敛时求和矩阵。
0.2 0.1 0.2 例题2、设 A 0.5 0.5 0.4 0.1 0.3 0.2 的收敛性。
Ak
k 0
的收敛
，讨论
k
A
k 0
k
例题3 、 证明 级数
k 10 k k 0
2
1 2 8 1
收敛
例题4 设 的收敛性。
2 1 2 A 0 1 1 0 0 0
1 n ，讨论 2 A n 1 n
1、连续性 定理5.1 （P. 110） 在赋范空间 [Vn（F）； ] 上， {1， 2， n}是基， =aii ，=bii，则 0， 则 0, 若有 ai – bi，则有 – 。 含义： ai – bi 0 – 0
AF
2 aij i 1 j 1
1 2
例题2、证明对任何矩阵范数A ， 1. I 1 2. A n A n 3. A可逆， A -1 A -1 例题3 设矩阵A酉相似与B，则 A F = B F 二、诱导范数： 1、矩阵范数与向量范数的相容性
（A）=max{ i }
2 谱半径的性质： 1. 定理5.6：A C n×n ， 范数A ，（A） A 。 2. 定理5.7 ， A*， A* （A）+ 含义：谱半径是任何矩阵范数的下确界。（下界中最大的） 例1 如果是正规矩阵，则 （A）= A 2
x
max{
1i n
xi }
范数不等式及相关概念： x + y x –y ; x - y x –y
距 离：d（x，y）=x – y
邻域：R（x0，r）={x0 Vn（F），x – x0= r}
二、向量范数的收敛性质
二、矩阵的幂级数
1. 定义及其收敛性：
矩阵幂级数：a0 I+a1A+a2A2+ +akAk + n 前项和构成矩阵多项式序列 Sn ( A) ak Ak
k 0
Sn (
k 0
a A
k 0 k
k
S
定义5.4 （P. 114） ： Ax A x 定理5.3： 设 x 是向量范数，则由 x 诱导的 Ax 矩阵范数： A max { }
x 0
x
例题1 范数诱导的矩阵范数：
A
1
max { aij }
j i 1 n
n
列和范数
行和范数 谱范数
向量范数是坐标的连续函数
2、向量范数的等价性
i.
等价的概念: r 1 （1） （2） r2 （1）
ii. 等价性定理（定理5、2 P.
111 ）
含义： （1）0 （2） 0
§ 5 . 2 矩阵的范数
一、矩阵范数
定义5 . 3（P. 112）F n×n上的实值函数： F n×n R+ ，满足： A
第5章、 矩阵分析
讨论：矩阵函数的分析性质
函数的定义 函数的计算 函数的分析性质：连续、微分、积分等
定义矩阵函数的思想：
用幂级数定义矩阵函数 需要的背景概念：幂级数序列与收敛性质
本章的结构
向量范数与矩阵范数 向量序列和矩阵序列的收敛 矩阵幂级数 矩阵函数
§5.1 向量的范数
一、向量范数的概念 1、赋范空间
A max { aij }
i j 1
A 2 max 1 0 2 i 例题2 设 A 3 5 0 1 2 1
,求 A 1
§ 5 . 3 向量序列和矩阵序列的极限
一、C n中向量序列的收敛性
1. 按分量收敛: 2. 按范数收敛: 3. 按分量收敛和按范数收敛的关系 定理5.4 （P. 115） C n中一个向量序列按分量 收敛的它按任何一个范数收敛。 二、矩阵序列的收敛性 按元素收敛 按范数收敛 矩阵序列极限的运算。
1. 正定性： A 0， A =0 A=0。 2. 齐次性： k F， kA = k A 3. 三角不等式： A+B A+B 4. 相容性： AB A B 则 A 称为矩阵范数。 n n 例题1 F-范数：