第一章 第一节 集合的运算
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高中数学必修一第一章第一节：集合的表示课件
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用列举法表示集合
[例1] (1)设集合A＝{1,2,3}，B＝{1,3,9}，若x∈A且x∉B，
则x＝( )
A．1
B．2
C．3
D．9
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(2)用列举法表示下列集合： ①不大于 10 的非负偶数组成的集合； ②方程 x2＝x 的所有实数解组成的集合； ③直线 y＝2x＋1 与 y 轴的交点组成的集合； ④方程组xx－＋yy＝＝－1，1 的解．
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描述法
[导入新知]
描述法 (1)定义：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法． (2) 具 体 方 法 ： 在 花 括 号 内 先 写 上 表 示 这 个 集 合 元 素 的 __一__般__符__号__及_取__值__(或__变__化__)_范__围__，再画一条竖线，在竖线后写 出这个集合中元素所具有的_共__同__特__征___．
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[类题通法]
用列举法表示集合的步骤 (1)求出集合的元素． (2)把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次． (3)用花括号括起来．
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[活学活用]
已 知 集 合 A ＝ { － 2 ， － 1,0,1,2,3} ， 对 任 意 a∈A ， 有 |a|∈B，且B中只有4个元素，求集合B.
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(2)设集合 B＝x∈N2＋6 x∈N
.
①试判断元素 1,2 与集合 B 的关系；
高一数学人教A版必修1教案：第一章第一节集合第四课时 Word版含解析
第一章第一节集合第四课时导入新课问题：①分别在整数范围和实数范围内解方程(x －3)(x －3)＝0，其结果会相同吗？ ②若集合A ＝{x |0<x <2，x ∈Z }，B ＝{x |0<x <2，x ∈R }，则集合A ，B 相等吗？学生回答后，教师指明：在不同的范围内集合中的元素会有所不同，这个“范围”问题就是本节学习的内容，引出课题．推进新课新知探究提出问题①用列举法表示下列集合：A ＝{x ∈Z |(x －2)(x ＋31)(x －2)＝0； B ＝{x ∈Q |(x －2)(x ＋31)(x －2)＝0； C ＝{x ∈R |(x －2)(x ＋31)(x －2)＝0}. ②问题①中三个集合相等吗？为什么？③由此看，解方程时要注意什么？④问题①，集合Z ，Q ，R 分别含有所解方程时所涉及的全部元素，这样的集合称为全集，请给出全集的定义．⑤已知全集U ＝{1,2,3}，A ＝{1}，写出全集中不属于集合A 的所有元素组成的集合B . ⑥请给出补集的定义．⑦用Venn 图表示∁U A .活动：组织学生充分讨论、交流，使学生明确集合中的元素，提示学生注意集合中元素的范围．讨论结果：①A ＝{2}，B ＝{2，－13}，C ＝{2，－13，2}． ②不相等，因为三个集合中的元素不相同．③解方程时，要注意方程的根在什么范围内，同一个方程，在不同的范围其解会有所不同．④一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记为U .⑤B ＝{2,3}．⑥对于一个集合A ，全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集．集合A 相对于全集U 的补集记为∁U A ，即∁U A ＝{x |x ∈U ，且x ∉A }．⑦如图6所示，阴影表示补集．图6 应用示例思路1例1设U ＝{x |x 是小于9的正整数}，A ＝{1,2,3}，B ＝{3,4,5,6}，求∁U A ，∁U B .活动：让学生明确全集U 中的元素，回顾补集的定义，用列举法表示全集U ，依据补集的定义写出∁U A ，∁U B .解：根据题意，可知U ＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，所以∁U A＝{4,5,6,7,8}；∁U B＝{1,2,7,8}．点评：本题主要考查补集的概念和求法．用列举法表示的集合，依据补集的含义，直接观察写出集合运算的结果．常见结论：∁(A∩B)＝(∁A)∪(∁B)；∁(A∪B)＝(∁A)∩(∁B).A∩B，∁U(A∪B)．活动：学生思考三角形的分类和集合的交集、并集和补集的含义．结合交集、并集和补集的含义写出结果．A∩B是由集合A，B中公共元素组成的集合，∁U(A∪B)是全集中除去集合A∪B中剩下的元素组成的集合．解：根据三角形的分类可知A∩B＝∅，A∪B＝{x|x是锐角三角形或钝角三角形}，例1已知全集U＝R，A＝{x|－2≤x≤4}，B＝{x|－3≤x≤3}，求：(1)∁U A，∁U B；(2)(∁U A)∪(∁U B)，∁U(A∩B)，由此你发现了什么结论？(3)(∁U A)∩(∁U B)，∁U(A∪B)，由此你发现了什么结论？活动：学生回想补集的含义，教师指导学生利用数轴来解决．依据补集的含义，借助于数轴求得．解：在数轴上表示集合A，B，如图7所示，图7(1)由图得∁U A＝{x|x<－2或x>4}，∁U B＝{x|x<－3或x>3}．(2)由图得(∁U A)∪(∁U B)＝{x|x<－2或x>4}∪{x|x<－3或x>3}＝{x|x<－2或x>3}；∵A∩B ＝{x|－2≤x≤4}∩{x|－3≤x≤3}＝{x|－2≤x≤3}，∴∁U(A∩B)＝∁U{x|－2≤x≤3}＝{x|x<－2或x>3}．∴得出结论∁U(A∩B)＝(∁U A)∪(∁U B)．(3)由图得(∁U A)∩(∁U B)＝{x|x<－2或x>4}∩{x|x<－3或x>3}＝{x|x<－3或x>4}；∵A∪B ＝{x|－2≤x≤4}∪{x|－3≤x≤3}＝{x|－3≤x≤4}，∴∁U(A∪B)＝∁U{x|－3≤x≤4}＝{x|x<－3U UA)∩(∁U B)＝{2,17}，求集合A，B.U活动：学生回顾集合的运算的含义，明确全集中的元素．利用列举法表示全集U，根据题中所给的条件，把集合中的元素填入相应的Venn图中即可．求集合A，B的关键是确定它们的元素，由于全集是U，则集合A，B中的元素均属于全集U，由于本题中的集合均是有限集并且元素的个数不多，可借助于Venn图来解决．解：U＝{2,3,5,7,11,13,17,19}，由题意借助于Venn图，如图8所示，图8∴A＝{3,5,11,13}，B＝{7,11,13,19}．点评：本题主要考查集合的运算、V enn图以及推理能力．借助于Venn图分析集合的运算问题，使问题简捷地获得解决，将本来抽象的集合问题直观形象地表示出来，这正体现了数形结合思想的优越性.图9)(N∩P)M内部，排除C；阴影部分不在集合内部，即是M的子集，又阴影部分在图10课本本节练习，4.【补充练习】课堂小结本节课学习了：①全集和补集的概念和求法．②常借助于数轴或Venn图进行集合的补集运算．作业课本习题1.1，A组，9,10，B组，4.设计感想本节教学设计注重渗透数形结合的思想方法，因此在教学过程中要重点指导学生借助于数轴或Venn图进行集合的补集运算．由于高考中集合常与以后学习的不等式等知识紧密结合，本节对此也予以体现，可以利用课余时间学习有关解不等式的知识．备课资料[备选例题]【例1】已知A＝{y|y＝x2－4x＋6，x∈R，y∈N}，B＝{y|y＝－x2－2x＋7，x∈R，y∈N}，求A∩B，并分别用描述法、列举法表示它．解：y＝x2－4x＋6＝(x－2)2＋2≥2，A＝{y|y≥2，y∈N}，又∵y＝－x2－2x＋7＝－(x＋1)2＋8≤8，∴B＝{y|y≤8，y∈N}．故A∩B＝{y|2≤y≤8}＝{2,3,4,5,6,7,8}．【例2】设S＝{(x，y)|xy>0}，T＝{(x，y)|x>0且y>0}，则()A．S∪T＝S B．S∪T＝T C．S∩T＝S D．S∩T＝∅解析：S＝{(x，y)|xy>0}＝{(x，y)|x>0且y>0，或x<0且y<0}，则T⊆S，所以S∪T＝S.答案：A【例3】某城镇有1000户居民，其中有819户有彩电，有682户有空调，有535户彩电和空调都有，则彩电和空调至少有一种的有________户．解析：设这1000户居民组成集合U，其中有彩电的组成集合A，有空调的组成集合B，如图13所示．有彩电无空调的有819－535＝284(户)；有空调无彩电的有682－535＝147(户)，因此二者至少有一种的有284＋147＋535＝966(户)．填966.图13答案：966差集与补集有两个集合A，B，如果集合C是由所有属于A但不属于B的元素组成的集合，那么C 就叫做A与B的差集，记作A－B(或A\\B)．例如，A＝{a，b，c，d}，B＝{c，d，e，f}，C＝A－B＝{a，b}．也可以用Venn图表示，如图14所示(阴影部分表示差集)．图14图15特殊情况，如果集合B是集合I的子集，我们把I看作全集，那么I与B的差集I－B，叫做B在I中的补集，记作B.例如，I＝{1,2,3,4,5}，B＝{1,2,3}，B＝I－B＝{4,5}．也可以用Venn图表示，如图15所示(阴影部分表示补集)．从集合的观点来看，非负整数的减法运算，就是已知两个不相交集合的并集的基数，以及其中一个集合的基数，求另一个集合的基数，也可以看作是求集合I与它的子集B的差集的基数．。
第一章 集合的概念及运算(集合论讲义)
(5) 德·摩根律 A ∪ B = A ∩ B ， A ∩ B = A ∪ B
A − (B ∪ C) = (A − B) ∩ (A − C) ， A − (B ∩ C) = (A − B) ∪ (A − C)
4
|
A1
|=
⎢ 250 ⎥ ⎢⎣ 2 ⎥⎦
=
125
，|
A2
|=
⎢ 250 ⎢⎣ 3
⎥ ⎥⎦
=
83
，|
A3
|=
⎢ 250 ⎥ ⎢⎣ 5 ⎥⎦
=
50
，|
A4
|=
⎢ ⎢⎣
250 ⎥ 7 ⎥⎦
=
35
，
|
A1
∩
A2
|=
⎢ ⎢⎣
250 ⎥ 2× 3⎥⎦
=
41
，|
A1
∩
A3
|=
⎢ 250 ⎥ ⎢⎣2× 5⎥⎦
=
(6) 吸收律 A ∪ ( A ∩ B) = A ， A ∩ ( A ∪ B) = A (7) 零律 A ∪ E = E ， A ∩ ∅ = ∅ (8) 同一律 A ∪ ∅ = A ， A ∩ E = A (9) 排中律 A ∪ A = E
5
(10) 矛盾律 A ∩ A = ∅ (11) 全补律 ∅ = E ， E = ∅ (12) 双重否定律 A = A (13) 补交转换律 A − B = A ∩ B
3
还可以将交，并运算推广到集族上。
∪ 定义 2.3 设 A 为一个集族，称由 A 中全体集合的元素组成的集合为 A 的广义并集，记作 A ， ∪ 称 ∪ 为广义并运算符， A 可描述为
高考数学总复习 第一章 第一节集合的概念与运算课件 理
第十七页，共35页。
考点(kǎo 集合(jíhé)的基本关系及空集的妙用 diǎn)三
【例3】 设集合A＝{x|x2－3x－10≤0}，B＝{x|m＋1≤x≤2m －1}，若B⊆A，求实数(shìshù)m的取值范围．
思路点拨：考查集合间的包含、相等关系，关键搞清A，B两 集合谁是谁的子集．若B⊆A，说明B是A的子集，即集合B中元素 都在集合A中，注意B是∅的情况；同样若A⊆B，说明A是B的子集， 此时注意B是不是∅；若A＝B，说明两集合元素完全相同．
A．A＝B B．B＝C C．C＝E D．B＝E
思路点拨：要注意分辨各集合的代表元素是什么，如果性质 相同，但代表元素不同，则它们所表示的集合也是不一样的．因此 对于集合问题(wèntí)，要首先确定它属于哪类集合(数集、点集或某 类图形)．
第十五页，共35页。
解析：集合 A 是用列举法表示，它只含有一个元 素，即函数 y＝x2＋2，集合 B，C，E 中的元素都是数， 即这三个集合都是数集，集合 B 表示的是函数 y＝x2 ＋2 的值域2，＋∞，集合 C 表示的是函数 y＝x2＋2 的 定 义 域 R， 集 合 E 是不 等 式 x － 2≥0 的 解集 2，＋∞，集合 D 的元素则是平面上的点，此集合是 函数 y＝x2＋2 的图象上所有点所组成的集合．故只有 B＝E.故选 D.
第七页，共35页。
2．并集． (1)定义： 由所有属于集合A或集合B的元素组成的集合，称 为(chēnɡ w集éi)合__(_j_íh_é_)_A_与__集__合__(_j_íh的é)并B集，记作___A__∪__B_____(读作 “A并B”)．即 A∪B＝{ x|x∈A，或x∈B}. (2)性质：
第一章集合与不等式的解法
第一章集合和不等式的解法第一节集合的含义与表示例1已知集合A={a,a+b,a+2b},B={a,ac,a c 2},若A=B,求实数c 的值。
例2用适当的方法表示集合(1) x 2=9的解集；(2) 不等式2x+1>5的解集；(3) 方程组解集{x +y =2x −y =4; (4) {x ｜y=√4−2x };(5) {y ｜y=√4−2x }.例3已知集合A={x ｜m x 2-3x+2=0},若A 中至多一个元素，求实数m 的取值范围。
第二节集合间的基本关系例1已知集合A={x ｜x=2n,n ϵz},B={x ｜x=4n,n ϵz },则A 与B 的关系是____________例2已知集合A={0，1},B={x ｜x ϵA },C={x ｜x ⊆A},则A,B,C 的关系是________________________ 例3已知{1,2}⊆A ⊆{1,2,3,4,5},满足条件的集合A 的个数是___________________ 例4M={1，2，3，4，5，6，7},N ≠Ø,N ⊆M,若a ∈N,则8-a ϵN,则满足条件的集合N 的个数为_______________ 例5已知A={x ｜x 2−2x −3=0},B={x ｜ax-1=0},若B ⊆A,求a 的值。
第三节集合的基本运算已知A={x ｜x ≤5},B={x ｜x>2a-1},若A ∪B=R,求实数a 的取值范围。
设集合A={-2，0，4},B={m,m 2},则使A ∪B=A 成立的m 的值为___________________例2 A={1，3，5，7},B={2，3，5，6，8，9},则A ∩B =_______________________设A={x ｜x>-1},B={x ｜x ≤2},则A ∩B =_____________________ 例3已知集合A={x ｜x 2−3x −10≤0},B={x ｜m+1≤x ≤2m −1},若A ∩B =B ,则实数m 的取值范围为_________________例4若U={1，2，3},A={1，3}则C U A=_________________若U={2，5，a2+2a+1},A={2,5},C U A={0},则a=________________已知A={1，3，5},C U A={−2，2},C U B={−2，1，3},则B=_____________________例5已知集合A={x｜x<a},B={x｜1≤x≤2},且A∪(C R B)=R,则实数a的取值范围是____________ 第4节一元二次不等式的解集例1解不含参数的一元二次不等式（1）x2−x−6≤0(2)4x-x2>0(3)-2x2+x-6<0 (4)x2−4x+4≥0例2解含参数的一元二次不等式（1）解关于x的不等式x2−(a+a2)x+a3>0(2)解关于x的不等式a x2−(a+1)x+1<0(a<1)例3不等式恒成立问题若关于x的一元二次不等式2x2−8x+6−m>0对任意的xϵR恒成立，求实数m的取值范围第5节分式不等式和高次不等式的解决例1可化为一元二次不等式的简单分式不等式的解法（1）2−xx+3>0(2)2x−13x+1≥0(3)2−xx+3>1例2解下列不等式（1）（x-2）(x+2)(x-1)(x+1)>0 (2)（x2−5x−6)(1−x)>0(3)(x−2)2(x−3)3(x+1)<0 (4)(x-3)(x+1)(x2+4x+4)≤0第6节绝对值不等式的解法例1解下列不等式（1）｜x｜<8(2)｜5-3x｜≥10(3)2<｜x+1｜<3例2解下列不等式（1）｜x+1｜>2-x (2)｜x2−2x−6｜<3x例3解不等式｜2x-1｜<｜x+3｜例4解不等式｜x-1｜+｜x+2｜<5例5解不等式｜2x+3｜<｜x+8｜+5x-2。
集合的概念及其运算
第一节 集合一．考试要求：理解集合，子集，补集，交集，并集的概念，了解空集和全集的意义，了解属于、包含、相等关系的意义，掌握有关的术语和符号，并用它们正确表示一些简单的集合。
二．基本概念和性质1．集合的基本概念：某些指定的对象集在一起成为一个集合。
其中每一个对象叫做集合的_______,集合中的元素具有________、_________、________三个特性。
2．集合的三种表示方法：_________、________、_________，它们各有优点，用什么方法来表示集合要具体问题具体分析。
3．集合中元素与集合的关系分为__________或_________,它们用符号___或____表示。
4．集合间的关系及运算子集：___________________________________称A 为B 的子集，记作为_____;真子集：___________________________________称A 为B 的真子集，记为_____;空集：____________________,记为_____补集：如果已知全集U ，集合A U ⊆，则U C A =_________________;交集：A B =___________________;并集：AB =_____________________5.集合中常用运算性质 若,A B B A ⊆⊆则______，若,A B B C ⊆⊆则_______, ___A ∅,若,A ≠∅则___A ∅，___,__,__,__A A A A A A =∅==∅=__U A C A = __,()__,()__U U U A C A C A B C A B ===____A B A B A B ⊆⇔=⇔=6．熟练掌握描述法表示集合的方法，理解下列五个常见集合：{}{}{}{}{}(1)|()0,:______________(2)|()0,:_________________(3)|():____________________(4)|(),:________________(5)(,)|(),:__________________________x f x x R x f x x R x y f x y y f x x M x y y f x x M =∈>∈==∈=∈7．特别注意：（1）空集和全集是集合中的特殊集合，应引起重视，特别是空集，避免误解或漏解。
人教A必修第一册第一章：集合的基本运算-全集与补集
3}．
课堂总结
补集及其 ∪ =
（4） ∩ = ∅
（5） ∩ = ( ∪ )
（6） ∪ = ( ∩ );
⊆ B ⟺ ∪ =
典例4
已知U={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, A={2, 4, 5}, B={1, 3, 5, 7},
求A∩(CUB), (CUA)∩(CUB).
解法一：依题意可知, CUA={1, 3, 6, 7}, CUB={2, 4, 6},
∴ A∩(CUB)={2, 4, 5}∩{2, 4, 6} ={2, 4}.
素，那么就称这个集合为全集，记作U .
请指出以下例子中的全集：
（1）在实数范围内解方程： x 2 x 2 3 0.
（2）在有理数范围内解方程： x 2 x 2 3 0.
2. 补集的概念
概念
对于一个集合A，由全集U中的不属于A的所有元素组成的集合称
为集合A 相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作
答案：{2,4,6}
5．设集合 U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,2,3}，B＝{2,5}，则 A∩(∁UB)
等于________．
解析：∵U＝{1,2,3,4,5}，B＝{2,5}，∴∁UB＝{1,3,4}．
又 A＝{1,2,3}，∴A∩(∁UB)＝{1,2,3}∩{1,3,4}＝{1,3}．
(CUA)∩(CUB)={1, 3, 6, 7}∩{2, 4, 6}={6}.
已知 = {1,2,3,4,5,6,7}, = {2, 4, 5} , = {1, 3, 5, 7} ,
第一章 第一节 集合
5．理解两个集合的并集与交集的含义，会求两 ．理解两个集合的并集与交集的含义， 个简单集合的并集与交集； 个简单集合的并集与交集； 6．理解在给定集合中一个子集的补集的含义， ．理解在给定集合中一个子集的补集的含义， 会求给定子集的补集； 会求给定子集的补集； 7．能使用韦恩图表达集合的关系和运算． ．能使用韦恩图表达集合的关系和运算．
2．设集合A＝{(x，y)|4x＋y＝6}，B＝{(x，y)|3x＋2y＝7}， ．设集合 ＝ ， ＋ ＝ ， ＝ ， ＋ ＝ ， 则满足C⊆ ∩ 的集合 的集合C的个数是 则满足 ⊆(A∩B)的集合 的个数是 A．0 ． C．2 ． B．1 ． D．3 ．
x＝1， ＝ ， ⇒ y＝2， ＝ ，
b 4．若 a，b∈R，集合 ，a＋b，a}＝{0，a，b}，求 b2011 ． ， ∈ ，集合{1， ＋ ， ＝ ， ， 的值． －a2011 的值．
b 解：由{1，a＋b，a}＝{0，a，b}可知 a≠0，则只能 a ， ＋ ， ＝ ， 可知 ≠ ， 则有以下对应关系： ＋b＝0.则有以下对应关系： ＝ 则有以下对应关系 a＋b＝0， ＋ ＝ ， b ＝a， ， a b＝1 ＝ 由①得 a＋b＝0， ＋ ＝ ， b＝a， ＝ ， ① 或 b a＝1.
4．集合的表示法： 列举法 、 描述法 、韦恩图 ． ．集合的表示法：
二、集合间的基本关系 表示 关系 定义 记法 A＝B ＝
集合A与集合 与集合B中的所有元素都相同 集合 相等 集合 与集合 中的所有元素都相同
间的 子集 A中任意一元素均为 中的元素 中任意一元素均为B中的元素 中任意一元素均为 A⊆B 或 B⊇A ⊆ ⊇ 基本 中任意一元素均为B中的元素 真子 A中任意一元素均为 中的元素，且 中任意一元素均为 中的元素， A B或B A 关系 中至少有一个元素A中没有 集 B中至少有一个元素 中没有 中至少有一个元素 空集是任何集合的子集 空集 空集是任何 非空集合 的真子集 ∅⊆B ∅⊆ ∅B (B≠∅) ≠
集合与常用逻辑用语--2023高考真题分类汇编完整版
集合与常用逻辑用语--高考真题汇编第一章第一节集合1.（2023全国甲卷理科1）设集合{}31,A x x k k ==+∈Z ，{}32,B x x k k ==+∈Z ，U 为整数集，则()U A B = ð（）A.{}3,x x k k =∈ZB.{}31,x x k k =-∈ZC.{}32,x x k k =-∈Z D.∅【分析】根据整数集的分类，以及补集的运算即可解出．【解析】因为整数集{}{}{}3,3+1,3+2,x x k k x x k k x x k k ==∈=∈=∈Z Z Z Z ，=U Z ，所以(){}3,U A B x x k k ==∈Z ð．故选A ．2.（2023全国甲卷文科1）设全集{}1,2,3,4,5U =，集合{}1,4M =，{}2,5N =，则U N M = ð（）A.{}2,3,5 B.{}1,3,4 C.{}1,2,4,5 D.{}2,3,4,5【分析】利用集合的交并补运算即可得解.【解析】因为全集{1,2,3,4,5}U =，集合{1,4}M =，所以{}2,3,5U M =ð，又{2,5}N =，所以{2,3,5}U N M = ð.故选A.3.（2023全国乙卷理科2）设集合U =R ，集合{}1M x x =<，{}12N x x =-<<，则{}2x x =（）A.()U M N ð B.U N Mð C.()U M N ð D.U M Nð【分析】由题意逐一考查所给的选项运算结果是否为{}2x x 即可.【解析】由题意可得{}2M N x x =< ，则(){}2U M N x x = ð，选项A 正确；{}1U M x x =ð，则{}1U N M x x =>- ð，选项B 错误；{}11M N x x =-<< ，则(){}11U M N x x x =- 或ð，选项C 错误；{}12U N x x x =-或ð，则{}12U M N x x x =< 或ð，选项D 错误；故选A.4.（2023全国乙卷文科2）设全集{}0,1,2,4,6,8U =，集合{}0,4,6M =，{}0,1,6N =，则U M N = ð（）A.{}0,2,4,6,8 B.{}0,1,4,6,8 C.{}1,2,4,6,8 D.U【分析】由题意可得U N ð的值，然后计算U M N ð即可.【解析】由题意可得{}2,4,8U N =ð，则{}0,2,4,6,8U M N = ð.故选A.5.（2023新高考I 卷1）已知集合{}2,1,0,1,2M =--，{}260N x x x =--≥，则M N =（）A.{}2,1,0,1--B.{}0,1,2 C.{}2- D.{}2【解析】{}(][)260,23,N x x x =--≥=-∞-+∞ ，所以{}2M N =- ，故选C.6.（2023新高考II 卷2）2.设集合{}{}0,,1,2,22A a B a a =-=--，若A B ⊆，则a =（）A.2 B.1 C.23D.1-【解析】因为A B ⊆，所以必有20a -=或220a -=，解得2a =或1a =.当2a =时，{}{}0,2,1,0,2A B =-=，不满足A B ⊆；当1a =时，{}{}0,1,1,1,0A B =-=-，符合题意.所以1a =.故选B.7.（2023北京卷1）已知集合{}20M x x =+，{}10N x x =-<，则M N = （）A.{}21x x -<B.{}21x x -<C.{}2x x - D.{}1x x <【分析】先化简集合,M N ，然后根据交集的定义计算.【解析】由题意，{20}{|2}M xx x x =+≥=≥-∣，{10}{|1}N x x x x =-<=<∣，根据交集的运算可知，{|21}M N x x =-≤< .故选A.8.（2023天津卷1）已知集合{}{}{}1,2,3,4,5,1,3,1,2,4U A B ===，则U B A = ð（）A ．{}1,3,5B ．{}1,3C ．{}1,2,4D ．{}1,2,4,5【分析】对集合B 求补集，应用集合的并运算求结果；【解析】由{3,5}U B =ð，而{1,3}A =，所以{1,3,5}U B A = ð.故选A.第二节充分条件与必要条件、全称量词与存在量词1.（2023全国甲卷理科7）“22sin sin 1αβ+=”是“sin cos 0αβ+=”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【分析】根据充分条件、必要条件概念及同角三角函数的基本关系得解.【解析】当2απ=，0β=时，有22sin sin 1αβ+=，但sin cos 0αβ+≠，即22sin sin 1αβ+=推不出sin cos 0αβ+=；当sin cos 0αβ+=时，()2222sin sin cos sin 1αβββ+=-+=，即sin cos 0αβ+=能推出22sin sin 1αβ+=.综上可知，22sin sin 1αβ+=是sin cos 0αβ+=成立的必要不充分条件.故选B.2.（2023新高考I 卷7）已记n S 为数列{}n a 的前n 项和，设甲：{}n a 为等差数列；乙：n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，则（）A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件【解析】{}n a 为等差数列，设首项为1a 公差为d ，则()112n n n S na d -=+，111222n S n d d a d n a n -=+=+-，所以n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，所以甲是乙的充分条件.n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，即()()()1111111n n n n n n nS n S S S na S n n n n n n +++-+--==+++为常数，设为t ，即()11n nna S t n n +-=+，故()11n n S na tn n +=-+，()()()1112n n S n a t n n n -=---≥，两式相减得()1112n n n n n a S S na n a tn -+=-=---，12n n a a t +-=为常数，对1n =也成立，所以{}n a 为等差数列，所以甲是乙的必要条件.所以，甲是乙的充要条件，故选C.3.（2023北京卷8）若0xy ≠，则“0x y +=”是“2x yy x+=-”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【分析】解法一：证明充分性可由0x y +=得到x y =-，代入x yy x+化简即可，证明必要性可由2x y y x +=-去分母，再用完全平方公式即可；解法二：由x y y x+通分后用配凑法得到完全平方公式，证明充分性可把0x y +=代入即可；证明必要性把2x yy x+=-代入，解方程即可.【解析】解法一：充分性：因为0xy ≠，且0x y +=，所以x y =-，所以112x y y y y x y y-+=+=--=--，所以充分性成立；必要性：因为0xy ≠，且2x yy x+=-，所以222x y xy +=-，即2220x y xy ++=，即()20x y +=，所以0x y +=.所以必要性成立.所以“0x y +=”是“2x yy x+=-”的充要条件.故选C.解法二：充分性：因为0xy ≠，且0x y +=，所以()2222222222x y xy x y x y x y xy xy xy y x xy xy xy xy+-+++--+===-，所以充分性成立；必要性：因为0xy ≠，且2x yy x+=-，所以()()22222222222x y xy x y x y x y x y xy xy y x xy xy xy xy+-++++-+====-=-，所以()20x y xy+=，所以()20x y +=，所以0x y +=，所以必要性成立.所以“0x y +=”是“2x yy x+=-”的充要条件.故选C.4.（2023天津卷2）“22a b =”是“222a b ab +=”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件【分析】根据充分、必要性定义判断条件的推出关系，即可得答案.【解析】由22a b =，则a b =±，当0a b =-≠时222a b ab +=不成立，充分性不成立；由222a b ab +=，则2()0a b -=，即a b =，显然22a b =成立，必要性成立；所以22a b =是222a b ab +=的必要不充分条件.故选B.。
高中数学知识点总结(第一章 集合与常用逻辑用语)
第一章 集合与常用逻辑用语第一节 集 合一、基础知识1．集合的有关概念(1)集合元素的三个特性：确定性、无序性、互异性．元素互异性，即集合中不能出现相同的元素，此性质常用于求解含参数的集合问题中． (2)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法． (3)元素与集合的两种关系：属于，记为∈；不属于，记为∉. (4)五个特定的集合及其关系图：N *或N ＋表示正整数集，N 表示自然数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集．2．集合间的基本关系(1)子集：一般地，对于两个集合A ，B ，如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，则称A 是B 的子集，记作A ⊆B (或B ⊇A )．(2)真子集：如果集合A 是集合B 的子集，但集合B 中至少有一个元素不属于A ，则称A 是B 的真子集，记作A B 或B A .A B ⇔⎩⎪⎨⎪⎧A ⊆B ，A ≠B .既要说明A 中任何一个元素都属于B ，也要说明B 中存在一个元素不属于A .(3)集合相等：如果A ⊆B ，并且B ⊆A ，则A ＝B .两集合相等：A ＝B ⇔⎩⎪⎨⎪⎧A ⊆B ，A ⊇B .A 中任意一个元素都符合B 中元素的特性，B 中任意一个元素也符合A 中元素的特性．(4)空集：不含任何元素的集合．空集是任何集合A 的子集，是任何非空集合B 的真子集．记作∅.∅∈{∅}，∅⊆{∅}，0∉∅，0∉{∅},0∈{0}，∅⊆{0}．3．集合间的基本运算(1)交集：一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作A∩B，即A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．(2)并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为A与B的并集，记作A∪B，即A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}．(3)补集：对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作∁U A，即∁U A＝{x|x∈U，且x∉A}．求集合A的补集的前提是“A是全集U的子集”，集合A其实是给定的条件.从全集U中取出集合A的全部元素，剩下的元素构成的集合即为∁U A.二、常用结论(1)子集的性质：A⊆A，∅⊆A，A∩B⊆A，A∩B⊆B.(2)交集的性质：A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝B∩A.(3)并集的性质：A∪B＝B∪A，A∪B⊇A，A∪B⊇B，A∪A＝A，A∪∅＝∅∪A＝A.(4)补集的性质：A∪∁U A＝U，A∩∁U A＝∅，∁U(∁U A)＝A，∁A A＝∅，∁A∅＝A.(5)含有n个元素的集合共有2n个子集，其中有2n－1个真子集，2n－1个非空子集．(6)等价关系：A∩B＝A⇔A⊆B；A∪B＝A⇔A⊇B.第二节命题及其关系、充分条件与必要条件一、基础知识1．命题的概念用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题.一个命题要么是真命题，要么是假命题，不能模棱两可.2．四种命题及其相互关系3．充分条件、必要条件与充要条件(1)如果p⇒q，则p是q的充分条件；①A是B的充分不必要条件是指：A⇒B且B A；②A的充分不必要条件是B是指：B⇒A且A B，在解题中要弄清它们的区别，以免出现错误．(2)如果q⇒p，则p是q的必要条件；(3)如果既有p⇒q，又有q⇒p，记作p⇔q，则p是q的充要条件．充要关系与集合的子集之间的关系设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，①若A⊆B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．②若A B，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件．③若A＝B，则p是q的充要条件．二、常用结论1．四种命题中的等价关系原命题等价于逆否命题，否命题等价于逆命题，所以在命题不易证明时，往往找等价命题进行证明．2．等价转化法判断充分条件、必要条件p是q的充分不必要条件，等价于非q是非p的充分不必要条件．其他情况以此类推．第三节简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词一、基础知识1．简单的逻辑联结词(1)命题中的“且”“或”“非”❶叫做逻辑联结词．①用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，得到复合命题“p且q”，记作p∧q；②用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，得到复合命题“p或q”，记作p∨q；③对命题p的结论进行否定，得到复合命题“非p”，记作非p.❷❶“且”的数学含义是几个条件同时满足，“且”在集合中的解释为“交集”；“或”的数学含义是至少满足一个条件，“或”在集合中的解释为“并集”；“非”的含义是否定，“非p”只否定p的结论，“非”在集合中的解释为“补集”.❷“命题的否定”与“否命题”的区别(1)命题的否定只是否定命题的结论，而否命题既否定其条件，也否定其结论．(2)命题的否定与原命题的真假总是相对立的，即一真一假，而否命题与原命题的真假无必然联系．(2)命题真值表：命题真假的判断口诀p∨q→见真即真，p∧q→见假即假，p与非p→真假相反.2．全称量词与存在量词3.全称命题与特称命题4．全称命题与特称命题的否定二、常用结论含逻辑联结词命题真假的等价关系(1)p∨q真⇔p，q至少一个真⇔(非p)∧(非q)假．(2)p∨q假⇔p，q均假⇔(非p)∧(非q)真．(3)p∧q真⇔p，q均真⇔(非p)∨(非q)假．(4)p∧q假⇔p，q至少一个假⇔(非p)∨(非q)真．。