第一章 第一节 集合
第一章集合与常用逻辑用语第一节集合[考纲要求]1．了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系．2．能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题．3．理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．4．在具体情境中，了解全集与空集的含义．5．理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．6．理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．7．能使用韦恩(Venn)图表达集合间的关系及集合运算．突破点一集合的概念与集合间的基本关系[基本知识]1．集合的有关概念(1)集合元素的特性：确定性、互异性、无序性．(2)集合与元素的关系：若a属于集合A，记作a∈A；若b不属于集合A，记作b∉A.(3)集合的表示方法：列举法、描述法、图示法．2．集合间的基本关系表示关系文字语言记法集合间的基本关系子集集合A中任意一个元素都是集合B中的元素A⊆B或B⊇A真子集集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于AA B或B A相等集合A中的每一个元素都是集合B中的元素，集合B中的每一个元素也都是集合A中的元素A⊆B且B⊆A⇔A＝B空集空集是任何集合的子集∅⊆A空集是任何非空集合的真子集∅B且B≠∅一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}．()(2)若{x2,1}＝{0,1}，则x＝0,1.()(3)∅∈{0}．( )答案：(1)× (2)× (3)×二、填空题1．已知集合P ＝{－2，－1,0,1}，集合Q ＝{y |y ＝|x |，x ∈P }，则Q ＝________.解析：将x ＝－2，－1,0,1分别代入y ＝|x |中，得到y ＝2,1,0，故Q ＝{2,1,0}．答案：{2,1,0}2．已知非空集合A 满足：①A ⊆{1,2,3,4}；②若x ∈A ，则5－x ∈A .则满足上述要求的集合A 的个数为________．解析：由题意，知满足题中要求的集合A 可以是{1,4}，{2,3}，{1,2,3,4}，共3个．答案：33．设集合M ＝{1，x ，y }，N ＝{x ，x 2，xy }，且M ＝N ，则x 2 019＋y 2 020＝________.解析：因为M ＝N ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＝1，xy ＝y 或⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝y ，xy ＝1，由集合中元素的互异性，可知x ≠1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝0.所以x 2 019＋y 2 020＝－1. 答案：－14．已知集合A ＝{x |ax 2＋2x ＋a ＝0，a ∈R}，若集合A 有且仅有2个子集，则a 的值是________．解析：因为集合A 有且只有2个子集，所以A 仅有一个元素，即方程ax 2＋2x ＋a ＝0(a∈R)仅有一个根．①当a ＝0时，A ＝{0}符合题意；②当a ≠0时，要满足题意，需有Δ＝ 4－4a 2＝0，即a ＝±1.综上所述，a ＝0或a ＝±1.答案：0或±1[典例感悟]1．(2019·厦门一中模拟)设集合M ＝{x |x ＝2m ＋1，m ∈Z}，P ＝{y |y ＝2m ，m ∈Z}，若x 0∈M ，y 0∈P ，a ＝x 0＋y 0，b ＝x 0y 0，则( )A ．a ∈M ，b ∈PB ．a ∈P ，b ∈MC ．a ∈M ，b ∈MD ．a ∈P ，b ∈P解析：选A 设x 0＝2n ＋1，y 0＝2k ，n ，k ∈Z ，则x 0＋y 0＝2n ＋1＋2k ＝2(n ＋k )＋1∈M ，x 0y 0＝2k (2n ＋1)＝2(2nk ＋k )∈P ，即a ∈M ，b ∈P ，故选A.2．(2019·广州模拟)已知集合{x |x 2＋ax ＝0}＝{0,1}，则实数a 的值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．2解析：选A依题意知a≠0，则{0，－a}＝{0,1}，所以a＝－1.故选A.3．(2019·湖南长郡中学选拔考试)已知集合A＝{0}，B＝{－1,0,1}，若A⊆C⊆B，则符合条件的集合C的个数为()A．1 B．2C．4 D．8解析：选C由题意得，含有元素0且是集合B的子集的集合有{0}，{0，－1}，{0,1}，{0，－1,1}，即符合条件的集合C共有4个．[方法技巧]1．与集合概念有关问题的求解策略(1)确定构成集合的元素是什么，即确定性．(2)看这些元素的限制条件是什么，即元素的特征性质．(3)根据元素的特征性质求参数的值或范围，或确定集合中元素的个数，要注意检验集合中的元素是否满足互异性．2．判断集合间关系的常用方法含有n(n∈N*)个元素的集合有2n个子集，有2n－1个非空子集，有2n－1个真子集，有2n－2个非空真子集．[针对训练]1．设集合A＝{0,1,2,3}，B＝{x|－x∈A,1－x∉A}，则集合B中元素的个数为()A．1 B．2C．3 D．4解析：选A若x∈B，则－x∈A，故x只可能是0，－1，－2，－3，当0∈B时，1－0＝1∈A；当－1∈B时，1－(－1)＝2∈A；当－2∈B时，1－(－2)＝3∈A；当－3∈B时，1－(－3)＝4∉A，所以B＝{－3}，故集合B中元素的个数为1.2．(2019·贵阳高三检测)设集合P＝{x|x<1}，Q＝{x|x2<1}，则()A．P⊆Q B．Q⊆PC．P⊆∁R Q D．Q⊆∁R P解析：选B依题意得Q＝{x|－1<x<1}，因此Q⊆P.3．已知集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，若B ⊆A ，则实数m 的取值范围为________．解析：∵B ⊆A ，∴①若B ＝∅，则2m －1<m ＋1，此时m <2.②若B ≠∅，则⎩⎪⎨⎪⎧ 2m －1≥m ＋1，m ＋1≥－2，2m －1≤5.解得2≤m ≤3.由①②可得，符合题意的实数m 的取值范围为(－∞，3]．答案：(－∞，3]突破点二 集合的基本运算[基本知识]1．集合的三种基本运算符号表示 图形表示 符号语言 集合的并集A ∪B A ∪B ＝{x |x ∈A ，或x ∈B } 集合的交集A ∩B A ∩B ＝{x |x ∈A ，且x ∈B } 集合的补集 若全集为U ，则集合A 的补集为∁U A ∁U A ＝{x |x ∈U ，且x ∉A } (1)A ∩A ＝A ，A ∩∅＝∅.(2)A ∪A ＝A ，A ∪∅＝A .(3)A ∩∁U A ＝∅，A ∪∁U A ＝U ，∁U (∁U A )＝A .(4)A ⊆B ⇔A ∩B ＝A ⇔A ∪B ＝B ⇔∁U A ⊇∁U B ⇔A ∩(∁U B )＝∅.[基本能力]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)对于任意两个集合A ，B ，关系(A ∩B )⊆(A ∪B )恒成立．( )(2)若集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | 1x >0，则∁R A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | 1x ≤0.( ) (3)设集合U ＝{x |－3<x <3，x ∈Z}，A ＝{1,2}，B ＝{－2，－1，2}，则A ∩(∁U B )＝{1}．( ) 答案：(1)√ (2)× (3)√二、填空题1．(2018·江苏高考)已知集合A ＝{0,1,2,8}，B ＝{－1,1,6,8}，那么A ∩B ＝____________.答案：{1,8}2．已知集合A ＝{x |－2≤x <3}，B ＝{x |x <－1}，则A ∩(∁R B )＝____________.解析：因为B ＝{x |x <－1}，则∁R B ＝{x |x ≥－1}，所以A ∩(∁R B )＝{x |－2≤x <3}∩{x |x ≥－1}＝{x |－1≤x <3}．答案：{x |－1≤x <3}3．(2019·合肥模拟)已知集合A ，B 均为全集U ＝{1,2,3,4}的子集，且∁U (A ∪B )＝{4}，B ＝{1,2}，则A ∩(∁U B )＝________.解析：由题意，知A ∪B ＝{1,2,3}．又B ＝{1,2}，∴∁U B ＝{3,4}，∴A ∩(∁U B )＝{3}． 答案：{3}4．(2019·淮南二中调研)已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x <3或x ≥7}，B ＝{x |x <a }．若 (∁U A )∩B ≠∅，则实数a 的取值范围为________．解析：因为A ＝{x |x <3或x ≥7}，所以∁U A ＝{x |3≤x <7}，又(∁U A )∩B ≠∅，则a >3. 答案：(3，＋∞)[典例感悟]1．(2019·衡水模拟)已知集合A ＝{x |－x 2＋4x ≥0}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪181<3x <27，C ＝{x |x ＝2n ，n ∈N}，则(A ∪B )∩C ＝( )A ．{2,4}B ．{0,2}C ．{0,2,4}D ．{0,4}解析：选C 集合A ＝{x |0≤x ≤4}，B ＝{x |－4<x <3}，故A ∪B ＝{x |－4<x ≤4}，集合C 表示非负偶数，故(A ∪B )∩C ＝{0,2,4}，故选C.2.(2019·太原阶段性测评)设集合A ＝{－1,0,1,2}，B ＝{x |y ＝x 2－1}，则图中阴影部分所表示的集合为( )A ．{1}B ．{0}C ．{－1,0}D ．{－1,0,1}解析：选B 由题意得图中阴影部分表示的集合为A ∩(∁R B )．∵B ＝{x |y ＝x 2－1}＝{x |x 2－1≥0}＝{x |x ≥1或x ≤－1}，∴∁R B ＝{x |－1<x <1}，∴A ∩(∁R B )＝{0}，故选B.3．设P ，Q 为两个非空实数集合，定义集合P *Q ＝{z |z ＝a b ，a ∈P ，b ∈Q }，若P ＝{1,2}，Q ＝{－1,0,1}，则集合P *Q 中元素的个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：选B 因为a ∈P ，b ∈Q ，所以a 的取值只能为1,2；b 的取值只能为－1,0,1.z ＝a b 的不同运算结果如下表所示：由上表可知P *Q ＝⎩⎨⎧⎭⎬1，12，2，显然该集合中共有3个不同的元素． [方法技巧]1．集合基本运算的求解策略耐心阅读，分析含义，准确提取信息是解决这类问题的前提，剥去新定义、新法则、新运算的外表，利用所学的集合性质等知识将陌生的集合转化为我们熟悉的集合，是解决这类问题的突破口．[针对训练]1．(2018·全国卷Ⅲ)已知集合A ＝{x |x －1≥0}，B ＝{0,1,2}，则A ∩B ＝( )A ．{0}B ．{1}C ．{1,2}D ．{0,1,2}解析：选C ∵A ＝{x |x －1≥0}＝{x |x ≥1}，B ＝{0,1,2}，∴A ∩B ＝{1,2}．2．(2018·全国卷Ⅰ)已知集合A ＝{x |x 2－x －2>0}，则∁R A ＝( )A ．{x |－1<x <2}B ．{x |－1≤x ≤2}C ．{x |x <－1}∪{x |x >2}D ．{x |x ≤－1}∪{x |x ≥2}解析：选B ∵x 2－x －2>0，∴(x －2)(x ＋1)>0，∴x >2或x <－1，即A ＝{x |x >2或x <－1}．则∁R A ＝{x |－1≤x ≤2}．故选B.3．已知集合A ＝{x |x 2－3x －10<0}，B ＝{x |y ＝ln(x －2)}，则A ∩(∁R B )＝( )A ．(2,5)B ．[2,5)C ．(－2,2]D ．(－2,2)解析：选C 解一元二次不等式x 2－3x －10<0，得－2<x <5，∴A ＝{x |－2<x <5}．由y ＝ln(x －2)可知x －2>0，即x >2，∴B ＝{x |x >2}，因此∁R B ＝{x |x ≤2}，则A ∩(∁R B )＝(－2,2]．故选C.4．已知集合A＝{x∈N|x2－2x－3≤0}，B＝{1,3}，定义集合A，B之间的运算“*”：A*B ＝{x|x＝x1＋x2，x1∈A，x2∈B}，则A*B中的所有元素之和为()A．15 B．16C．20 D．21解析：选D由x2－2x－3≤0，得(x＋1)(x－3)≤0，又x∈N，故集合A＝{0,1,2,3}．∵A*B＝{x|x＝x1＋x2，x1∈A，x2∈B}，∴A*B中的元素有0＋1＝1,0＋3＝3,1＋1＝2,1＋3＝4,2＋1＝3(舍去)，2＋3＝5,3＋1＝4(舍去)，3＋3＝6，∴A*B＝{1,2,3,4,5,6}，∴A*B中的所有元素之和为21.[课时跟踪检测]1．已知集合M＝{x|x2＋x－2＝0}，N＝{0,1}，则M∪N＝()A．{－2,0,1}B．{1}C．{0} D．∅解析：选A集合M＝{x|x2＋x－2＝0}＝{x|x＝－2或x＝1}＝{－2,1}，N＝{0,1}，则M∪N＝{－2,0,1}．故选A.2．(2018·浙江高考)已知全集U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,3}，则∁U A＝()A．∅B．{1,3}C．{2,4,5} D．{1,2,3,4,5}解析：选C∵U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,3}，∴∁U A＝{2,4,5}．3．(2019·衡水模拟)已知集合A＝{x|y＝x2－2x}，B＝{y|y＝x2＋1}，则A∩B＝() A．[1，＋∞) B．[2，＋∞)C．(－∞，0]∪[2，＋∞) D．[0，＋∞)解析：选B由于集合A＝{x|y＝x2－2x}表示的是函数y＝x2－2x的定义域，所以由x2－2x≥0可知集合A＝{x|x≤0或x≥2}．集合B＝{y|y＝x2＋1}表示的是函数y＝x2＋1的值域，因此B＝{y|y≥1}．∴A∩B＝[2，＋∞)．故选B.4．(2019·河北五个一名校联考)若集合A＝{x|3＋2x－x2>0}，集合B＝{x|2x<2}，则A∩B 等于()A．(1,3) B．(－∞，－1)C．(－1,1) D．(－3,1)解析：选C依题意，可求得A＝(－1,3)，B＝(－∞，1)，∴A∩B＝(－1,1)．5．(2019·浙江五校联考)设全集U＝R，集合A＝{x|x≥3}，B＝{x|0≤x<5}，则(∁U A)∩B ＝()A．{x|0<x<3} B．{x|0≤x≤3}C ．{x |0<x ≤3}D ．{x |0≤x <3}解析：选D 由题意得∁U A ＝{x |x <3}，所以(∁U A )∩B ＝{x |0≤x <3}，故选D.6．(2019·长沙模拟)已知集合A ＝{1,2,3}，B ＝{x |x 2－3x ＋a ＝0，a ∈A }，若A ∩B ≠∅，则a 的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．1或2解析：选B 当a ＝1时，x 2－3x ＋1＝0，无整数解，则A ∩B ＝∅；当a ＝2时，B ＝{1,2}，A ∩B ＝{1,2}≠∅；当a ＝3时，B ＝∅，A ∩B ＝∅.因此实数a ＝2.7.(2019·资阳模拟)设全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－2x －3<0}，B ＝{x |x －1≥0}，则图中阴影部分所表示的集合为( )A ．{x |x ≤－1或x ≥3}B ．{x |x <1或x ≥3}C ．{x |x ≤1}D ．{x |x ≤－1}解析：选D 图中阴影部分表示集合∁U (A ∪B )，又A ＝{x |－1<x <3}，B ＝{x |x ≥1}， ∴A ∪B ＝{x |x >－1}，∴∁U (A ∪B )＝{x |x ≤－1}，故选D.8．(2019·石家庄重点高中毕业班摸底)已知集合M ＝{ x |x 29＋y 24＝1 }，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y |x 3＋y 2＝1，则M ∩N ＝( )A ．∅B ．{(3,0)，(0,2)}C ．[－2,2]D ．[－3,3]解析：选D 因为集合M ＝{x |－3≤x ≤3}，N ＝R ，所以M ∩N ＝[－3,3]，故选D.9．设集合A ＝{x |y ＝lg(－x 2＋x ＋2)}，B ＝{x |x －a >0}，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)B ．(－∞，－1]C ．(－∞，－2)D ．(－∞，－2]解析：选B 因为集合A ＝{x |y ＝lg(－x 2＋x ＋2)}＝{x |－1<x <2}，B ＝{x |x >a }，因为A ⊆B ，所以a ≤－1.10．已知全集U ＝{x |－1<x <9}，A ＝{x |1<x <a }，A 是U 的子集，若A ≠∅，则a 的取值范围是( )A ．{a |a <9}B ．{a |a ≤9}C ．{a |a ≥9}D ．{a |1<a ≤9}解析：选D 由题意知，集合A ≠∅，所以a >1，又因为A 是U 的子集，故需a ≤9，所以a 的取值范围是{a |1<a ≤9}．11．定义集合M 与N 的新运算：M ⊕N ＝{x |x ∈M 或x ∈N 且x ∉M ∩N }，则(M ⊕N )⊕N ＝( )A ．M ∩NB ．M ∪NC ．MD ．N解析：选C 按定义，M ⊕N 表示图中的阴影部分，两圆内部的公共部分表示M ∩N .(M ⊕N )⊕N 应表示x ∈M ⊕N 或x ∈N 且x ∉(M ⊕N )∩N的所有x 的集合，(M ⊕N )∩N 表示N 上的阴影部分，因此(M ⊕N )⊕N ＝M .12．某班共40人，其中24人喜欢篮球运动，16人喜欢乒乓球运动，6人这两项运动都不喜欢，则喜欢篮球运动但不喜欢乒乓球运动的人数为( )A ．17B ．18C ．19D ．20解析：选B 记全集U 为该班全体同学，喜欢篮球运动的记作集合A ，喜欢乒乓球运动的记作集合B ，则喜欢篮球但不喜欢乒乓球运动的记作A ∩∁U B (如图)，故有18人．13．设A ＝{1,4,2x }，B ＝{1，x 2}，若B ⊆A ，则x ＝________.解析：由B ⊆A ，则x 2＝4或x 2＝2x .得x ＝±2或x ＝0，当x ＝－2时，A ＝{1,4，－4}，B ＝{1,4}，符合题意；当x ＝2时，则2x ＝4，与集合的互异性相矛盾，故舍去；当x ＝0时，A ＝{1,4,0}，B ＝{1,0}，符合题意．综上所述，x ＝－2或x ＝0.答案：－2或014．设集合A ＝{x |x ＋m ≥0}，B ＝{x |－2<x <4}，全集U ＝R ，且(∁U A )∩B ＝∅，则实数m 的取值范围为________．解析：由已知A ＝{x |x ≥－m }，∴∁U A ＝{x |x <－m }．∵B ＝{x |－2<x <4}，(∁U A )∩B ＝∅， ∴－m ≤－2，即m ≥2.∴m 的取值范围为{m |m ≥2}．答案：{m |m ≥2}15．对于任意两集合A ，B ，定义A －B ＝{x |x ∈A 且x ∉B }，A *B ＝(A －B )∪(B －A )，记A ＝{y |y ≥0}，B ＝{x |－3≤x ≤3}，则A *B ＝________________.解析：由题意知A －B ＝{x |x >3}，B －A ＝{x |－3≤x <0}，所以A *B ＝[－3,0)∪(3，＋∞)． 答案：[－3,0)∪(3，＋∞)16．设[x ]表示不大于x 的最大整数，集合A ＝{x |x 2－2[x ]＝3}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |18<2x <8，则A ∩B＝________.解析：因为不等式18<2x <8的解为－3<x <3，所以B ＝(－3,3)．若x ∈A ∩B ，则⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2[x ]＝3，－3<x <3，所以[x ]只可能取值－3，－2，－1,0,1,2.若[x ]≤－2，则x 2＝3＋2[x ]<0，没有实数解；若[x ]＝－1，则x 2＝1，得x ＝－1；若[x ]＝0，则x 2＝3，没有符合条件的解；若[x ]＝1，则x 2＝5，没有符合条件的解；若[x ]＝2，则x 2＝7，有一个符合条件的解，x ＝7.因此，A ∩B ＝{－1，7}．答案：{－1，7}17．(2019·南阳模拟)若集合A ＝{(x ，y )|x 2＋mx －y ＋2＝0，x ∈R}，B ＝{(x ，y )|x －y ＋1＝0,0≤x ≤2}，当A ∩B ≠∅时，求实数m 的取值范围．解：∵集合A ＝{(x ，y )|x 2＋mx －y ＋2＝0，x ∈R}＝{(x ，y )|y ＝x 2＋mx ＋2，x ∈R}，B ＝{(x ，y )|x －y ＋1＝0,0≤x ≤2}＝{(x ，y )|y ＝x ＋1,0≤x ≤2}，∴A ∩B ≠∅等价于方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2＋mx ＋2，y ＝x ＋1在x ∈[0,2]上有解， 即x 2＋mx ＋2＝x ＋1在[0,2]上有解，即x 2＋(m －1)x ＋1＝0在[0,2]上有解，显然x ＝0不是该方程的解，从而问题等价于－(m －1)＝x ＋1x 在(0,2]上有解．又∵当x ∈(0,2]时，1x ＋x ≥2( 当且仅当1x＝x ，即x ＝1时取“＝” )， ∴－(m －1)≥2，∴m ≤－1，即m 的取值范围为(－∞，－1]．18．已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x |x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－5＝0}．(1)若A ∩B ＝{2}，求实数a 的值；(2)若A ∪B ＝A ，求实数a 的取值范围．解：(1)∵A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}＝{1,2}，A ∩B ＝{2}，∴2∈B,2是方程x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－5＝0的根，∴a 2＋4a ＋3＝0，a ＝－1或a ＝－3.经检验a 的取值符合题意，故a ＝－1或a ＝－3.(2)∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A .当B ＝∅时，由Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－5)<0，解得a <－3；当B ≠∅时，由B ＝{1}或B ＝{1,2}，可解得a ∈∅；由B＝{2}，可解得a＝－3.综上可知，a的取值范围是(－∞，－3].。
高中数学必修一第一章第一节：集合的表示课件
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用列举法表示集合
[例1] (1)设集合A＝{1,2,3}，B＝{1,3,9}，若x∈A且x∉B，
则x＝( )
A．1
B．2
C．3
D．9
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(2)用列举法表示下列集合： ①不大于 10 的非负偶数组成的集合； ②方程 x2＝x 的所有实数解组成的集合； ③直线 y＝2x＋1 与 y 轴的交点组成的集合； ④方程组xx－＋yy＝＝－1，1 的解．
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描述法
[导入新知]
描述法 (1)定义：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法． (2) 具 体 方 法 ： 在 花 括 号 内 先 写 上 表 示 这 个 集 合 元 素 的 __一__般__符__号__及_取__值__(或__变__化__)_范__围__，再画一条竖线，在竖线后写 出这个集合中元素所具有的_共__同__特__征___．
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[类题通法]
用列举法表示集合的步骤 (1)求出集合的元素． (2)把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次． (3)用花括号括起来．
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[活学活用]
已 知 集 合 A ＝ { － 2 ， － 1,0,1,2,3} ， 对 任 意 a∈A ， 有 |a|∈B，且B中只有4个元素，求集合B.
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(2)设集合 B＝x∈N2＋6 x∈N
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①试判断元素 1,2 与集合 B 的关系；
集合的基本概念元素集合之间的关系
集合的基本概念元素集合之间的关系第⼀章集合第⼀节集合的概念⼀、要点透析（⼀）集合的有关概念：由⼀些数、⼀些点、⼀些图形、⼀些整式、⼀些物体、⼀些⼈组成的。
我们说，每⼀组对象的全体形成⼀个集合，或者说，某些指定的对象集在⼀起就成为⼀个集合，也简称集。
集合中的每个对象叫做这个集合的元素。
1、集合的概念（1）元素：某些特定的研究对象叫做元素（2）集合：⼀些元素集在⼀起就形成⼀个集合（简称集）2、元素对于集合的⾪属关系（1）属于：如果a 是集合A 的元素，就说a 属于A ，记作a A∈（2）不属于：如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于A ，记作a A3、集合中元素的特性（1）确定性：按照明确的判断标准给定⼀个元素或者在这个集合⾥，或者不在，不能模棱两可（2）互异性：集合中的元素没有重复（3）⽆序性：集合中的元素没有⼀定的顺序（通常⽤正常的顺序写出）例1.下列各组对象能确定⼀个集合吗？（1）所有很⼤的实数（）（2）好⼼的⼈（）（3）1，2，2，3，4，5．（）4、（1）集合通常⽤⼤写的拉丁字母表⽰，如A 、B 、C 、P 、Q ……元素通常⽤⼩写的拉丁字母表⽰，如a 、b 、c 、p 、q ……（2）“∈”的开⼝⽅向，不能把a A ∈颠倒过来写5、常⽤数集及记法（1）⾮负整数集（⾃然数集）：全体⾮负整数的集合，记作N ，{}0,1,2,N = （2）正整数集：⾮负整数集内排除0的集，记作*N 或N +，{}*1,2,3,N = （3）整数集：全体整数的集合，记作Z ，{}012Z =±± ，，，（4）有理数集：全体有理数的集合，记作Q ，{}Q =整数与分数（5）实数集：全体实数的集合，记作R ，{}R =数轴上所有点所对应的数（6）空集：不含任何元素的集合，记作?注：（1）⾃然数集与⾮负整数集是相同的，也就是说，⾃然数集包括数0（2）⾮负整数集内排除0的集，记作*N 或N +，Q 、Z 、R 等其它数集内排除0的集，也是这样表⽰，例如，整数集内排除0的集，表⽰成*Z例2.⽤适当的符号（∈?，）填空：(1)3_____N;(2)0_____{Φ};(3)32____Z,0.5Q Q ，；2（⼆）集合的表⽰⽅法1、列举法：把集合中的元素⼀⼀列举出来，写在⼤括号内表⽰集合例如，由⽅程210x -=的所有解组成的集合，可以表⽰为{1,1}-注：（1）有些集合亦可如下表⽰：从51到100的所有整数组成的集合：{51,52,53,,100} ；所有正奇数组成的集合：{1,3,5,7,}（2）a 与{}a 不同：a 表⽰⼀个元素，{}a 表⽰⼀个集合，该集合只有⼀个元素例3、设a,b 是⾮零实数，那么ba +可能取的值组成集合的元素是：练习、由实数x,－x,｜x ｜,332,x x -所组成的集合，最多含（）（A ）2个元素（B ）3个元素（C ）4个元素（D ）5个元素2、描述法：⽤确定的条件表⽰某些对象是否属于这个集合，并把这个条件写在⼤括号内表⽰集合的⽅法格式：{|()}x A P x ∈含义：在集合A 中满⾜条件()P x 的x 的集合例如，不等式32x ->的解集可以表⽰为：{|32}x R x ∈->或{|32}x x ->所有直⾓三⾓形的集合可以表⽰为：{|}x x 是直⾓三⾓形例4、已知集合{}R a x ax x A ∈=+-=,023|2；（1）若A 是空集，求a 的取值范围；（2）若A 中只有⼀个元素，求a 的值，并把这个元素写出来；（3）若A 中⾄多有⼀个元素，求a 的取值范围3、⽂⽒图：⽤⼀条封闭的曲线的内部来表⽰⼀个集合的⽅法4、何时⽤列举法？何时⽤描述法？（1）有些集合的公共属性不明显，难以概括，不便⽤描述法表⽰，只能⽤列举法如：集合2322{,32,5,}x x y x x y +-+（2）有些集合的元素不能⽆遗漏地⼀⼀列举出来，或者不便于、不需要⼀⼀列举出来，常⽤描述法如：集合2{(,)|1}x y y x =+；集合{1000}以内的质数思考：集合}1|),{(2+=x y y x 与集合}1|{2+=x y y 是同⼀个集合吗？（三）有限集与⽆限集有限集：含有有限个元素的集合⽆限集：含有⽆限个元素的集合空集：不含任何元素的集合，记作?，如：2{|10}x R x ∈+=⼆、题型解析（⼀）集合的基本概念1以下元素的全体不能够构成集合的是（）A．中国古代四⼤发明B．地球上的⼩河流C．⽅程210x -=的实数解D．周长为10cm 的三⾓形2⽅程组23211x y x y -=??+=?的解集是（）A．{5,1}B．{1,5}C．{(5,1)}D．{(1,5)}3给出下列关系：①12R ∈；Q ；③3N +∈；④0Z ∈，其中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．44下列各组中的两个集合M 和N ，表⽰同⼀集合的是（）A．{}M π=，{3.14159}N =B．{2,3}M =，{(2,3)}N =C．{|11,}M x x x N =-<≤∈，{1}N =D．{}M π=，{,1,|N π=5已知实数2a =，集合{|13}B x x =-<<，则a 与B 的关系是6⽤适当的符号填空：已知{|32,}A x x k k Z ==+∈，{|61,}B x x m m Z ==-∈，则有：17A ；5-A ；17B 7已知x R ∈，则集合2{3,,2}x x x -中元素x 所应满⾜的条件为（⼆）集合的表⽰⽅法1⽤列举法表⽰下列集合①{|15}x N x ∈是的约数②{(,)|{1,2},{1,2}}x y x y ∈∈③2(,)24x y x y x y ??+=-=?????④{|(1),}nx x n N =-∈⑤{(,)|3216,,}x y x y x N y N +=∈∈⑥{(,)|,4}x y x y 分别是的正整数约数2⽤描述法表⽰下列集合①{1,4,7,10,13}②{2,4,6,8,10}-----③{1,5,25,125,625}④12340,,,,,251017?±±±±（三）集合的分类1关于x 的⽅程0ax b +=，当a ，b 满⾜条件_____时，解集是有限集；当a ，b 满⾜条件_____时，解集是⽆限集2下列四个集合中，是空集的是（）A．}33|{=+x x B．},,|),{(22R y x x y y x ∈-=C．}0|{2≤x x D．},01|{2R x x x x ∈=+-三、课下训练1、有下列说法：（1）0与{0}表⽰同⼀个集合；（2）由1，2，3组成的集合可表⽰为{1,2,3}或{3,2,1}；（3）⽅程2(1)(2)0x x --=的所有解的集合可表⽰为{1,1,2}；（4）集合{|45}x x <<是有限集，其中正确的说法是（）A．只有（1）和（4）B．只有（2）和（3）C．只有（2）D．以上四种说法都不对2、试选择适当的⽅法表⽰下列集合：（1）⼆次函数223y x x =-+的函数值组成的集合；（2）函数232y x =-的⾃变量的值组成的集合3、已知集合4{|}3A x N Z x =∈∈-，试⽤列举法表⽰集合4、给出下列集合：①{(,)|1,1,2,3}x y x y x y ≠≠≠≠-；②12(,)13x x x y y y ??≠≠≠≠-??????且③12(,)13x x x y y y ??≠≠≠≠-??????或；④{}2222(,)[(1)(1)][(2)(3)]0x y x y x y -+-?-++≠其中不能表⽰“在直⾓坐标系xOy 平⾯内，除去点(1,1)，(2,3)-之外的所有点的集合”的序号有5、已知集合2{|12x a A a x +==-有唯⼀实施解}，试⽤列举法表⽰集合A。
高考数学总复习 第一章 第一节集合的概念与运算课件 理
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考点(kǎo 集合(jíhé)的基本关系及空集的妙用 diǎn)三
【例3】 设集合A＝{x|x2－3x－10≤0}，B＝{x|m＋1≤x≤2m －1}，若B⊆A，求实数(shìshù)m的取值范围．
思路点拨：考查集合间的包含、相等关系，关键搞清A，B两 集合谁是谁的子集．若B⊆A，说明B是A的子集，即集合B中元素 都在集合A中，注意B是∅的情况；同样若A⊆B，说明A是B的子集， 此时注意B是不是∅；若A＝B，说明两集合元素完全相同．
A．A＝B B．B＝C C．C＝E D．B＝E
思路点拨：要注意分辨各集合的代表元素是什么，如果性质 相同，但代表元素不同，则它们所表示的集合也是不一样的．因此 对于集合问题(wèntí)，要首先确定它属于哪类集合(数集、点集或某 类图形)．
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解析：集合 A 是用列举法表示，它只含有一个元 素，即函数 y＝x2＋2，集合 B，C，E 中的元素都是数， 即这三个集合都是数集，集合 B 表示的是函数 y＝x2 ＋2 的值域2，＋∞，集合 C 表示的是函数 y＝x2＋2 的 定 义 域 R， 集 合 E 是不 等 式 x － 2≥0 的 解集 2，＋∞，集合 D 的元素则是平面上的点，此集合是 函数 y＝x2＋2 的图象上所有点所组成的集合．故只有 B＝E.故选 D.
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2．并集． (1)定义： 由所有属于集合A或集合B的元素组成的集合，称 为(chēnɡ w集éi)合__(_j_íh_é_)_A_与__集__合__(_j_íh的é)并B集，记作___A__∪__B_____(读作 “A并B”)．即 A∪B＝{ x|x∈A，或x∈B}. (2)性质：
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（1）集合的定义：集合是由一些确定的对象组成的整体。
（2）集合的表示方法：列举法、描述法、图示法。
（3）集合的性质：无序性、互异性、确定性。
（4）集合间的关系：子集、超集、相等、不相交。
（5）集合的运算：并集、交集、补集。
3.例题讲解：
（1）判断以下说法是否正确：①空集是任何集合的子集；②任何集合都是自身的子集。
2.集合间的关系和运算。
3.例题解答步骤。
七、作业设计
1.作业题目：
（1）用列举法和描述法表示集合：{x|x是正整数}。
（2）判断以下集合间的关系：A={x|x是3的倍数}，B={x|x是6的倍数}。
（3）求集合A={1, 2, 3, 4, 5}和集合B={4, 5, 6, 7, 8}的并集、交集和补集。
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一、教学内容
本节课选自高一数学教材第一章《集合与函数的概念》第一节“集合的概念及其表示”，内容包括集合的定义、集合的表示方法、集合的性质、集合间的基本关系和运算。
二、教学目标
1.理解集合的概念，掌握集合的表示方法，能够正确书写集合。
2.掌握集合的性质，理解集合间的基本关系和运算，能够解决相关问=∅。
-集合的运算：
-并集：集合A和集合B中所有元素组成的集合，记作A∪B。
-交集：集合A和集合B共有的元素组成的集合，记作A∩B。
-补集：在全集U中，不属于集合A的元素组成的集合，记作A'。
在教学过程中，需重点关注以下几点：
-解释集合运算的实际意义，如并集表示两个集合中所有元素的汇总，交集表示两个集合共有的部分。
2.鼓励学生主动提问，及时解答疑惑，促进师生互动。
四、情景导入
集合的基本概念元素集合之间的关系
第一章集合第一节集合的概念一、要点透析（一）集合的有关概念：由一些数、一些点、一些图形、一些整式、一些物体、一些人组成的。
我们说，每一组对象的全体形成一个集合，或者说，某些指定的对象集在一起就成为一个集合，也简称集。
集合中的每个对象叫做这个集合的元素。
1、集合的概念（1）元素：某些特定的研究对象叫做元素（2）集合：一些元素集在一起就形成一个集合（简称集）2、元素对于集合的隶属关系（1）属于：如果a 是集合A 的元素，就说a 属于A ，记作a A∈（2）不属于：如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于A ，记作a A∉3、集合中元素的特性（1）确定性：按照明确的判断标准给定一个元素或者在这个集合里，或者不在，不能模棱两可（2）互异性：集合中的元素没有重复（3）无序性：集合中的元素没有一定的顺序（通常用正常的顺序写出）例1.下列各组对象能确定一个集合吗？（1）所有很大的实数（）（2）好心的人（）（3）1，2，2，3，4，5．（）4、（1）集合通常用大写的拉丁字母表示，如A 、B 、C 、P 、Q ……元素通常用小写的拉丁字母表示，如a 、b 、c 、p 、q ……（2）“∈”的开口方向，不能把a A ∈颠倒过来写5、常用数集及记法（1）非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合，记作N ，{}0,1,2,N = （2）正整数集：非负整数集内排除0的集，记作*N 或N +，{}*1,2,3,N = （3）整数集：全体整数的集合，记作Z ，{}012Z =±± ，，，（4）有理数集：全体有理数的集合，记作Q ，{}Q =整数与分数（5）实数集：全体实数的集合，记作R ，{}R =数轴上所有点所对应的数（6）空集：不含任何元素的集合，记作∅注：（1）自然数集与非负整数集是相同的，也就是说，自然数集包括数0（2）非负整数集内排除0的集，记作*N 或N +，Q 、Z 、R 等其它数集内排除0的集，也是这样表示，例如，整数集内排除0的集，表示成*Z例2.用适当的符号（∈∉，）填空：(1)3_____N;(2)0_____{Φ};(3)32____Z,0.5Q Q ，；2（二）集合的表示方法1、列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合例如，由方程210x -=的所有解组成的集合，可以表示为{1,1}-注：（1）有些集合亦可如下表示：从51到100的所有整数组成的集合：{51,52,53,,100} ；所有正奇数组成的集合：{1,3,5,7,}（2）a 与{}a 不同：a 表示一个元素，{}a 表示一个集合，该集合只有一个元素例3、设a,b 是非零实数，那么ba +可能取的值组成集合的元素是：练习、由实数x,－x,｜x ｜,332,x x -所组成的集合，最多含（）（A ）2个元素（B ）3个元素（C ）4个元素（D ）5个元素2、描述法：用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合，并把这个条件写在大括号内表示集合的方法格式：{|()}x A P x ∈含义：在集合A 中满足条件()P x 的x 的集合例如，不等式32x ->的解集可以表示为：{|32}x R x ∈->或{|32}x x ->所有直角三角形的集合可以表示为：{|}x x 是直角三角形例4、已知集合{}R a x ax x A ∈=+-=,023|2；（1）若A 是空集，求a 的取值范围；（2）若A 中只有一个元素，求a 的值，并把这个元素写出来；（3）若A 中至多有一个元素，求a 的取值范围3、文氏图：用一条封闭的曲线的内部来表示一个集合的方法4、何时用列举法？何时用描述法？（1）有些集合的公共属性不明显，难以概括，不便用描述法表示，只能用列举法如：集合2322{,32,5,}x x y x x y +-+（2）有些集合的元素不能无遗漏地一一列举出来，或者不便于、不需要一一列举出来，常用描述法如：集合2{(,)|1}x y y x =+；集合{1000}以内的质数思考：集合}1|),{(2+=x y y x 与集合}1|{2+=x y y 是同一个集合吗？（三）有限集与无限集有限集：含有有限个元素的集合无限集：含有无限个元素的集合空集：不含任何元素的集合，记作∅，如：2{|10}x R x ∈+=二、题型解析（一）集合的基本概念1以下元素的全体不能够构成集合的是（）A．中国古代四大发明B．地球上的小河流C．方程210x -=的实数解D．周长为10cm 的三角形2方程组23211x y x y -=⎧⎨+=⎩的解集是（）A．{5,1}B．{1,5}C．{(5,1)}D．{(1,5)}3给出下列关系：①12R ∈；Q ；③3N +∈；④0Z ∈，其中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．44下列各组中的两个集合M 和N ，表示同一集合的是（）A．{}M π=，{3.14159}N =B．{2,3}M =，{(2,3)}N =C．{|11,}M x x x N =-<≤∈，{1}N =D．{}M π=，{,1,|N π=5已知实数2a =，集合{|13}B x x =-<<，则a 与B 的关系是6用适当的符号填空：已知{|32,}A x x k k Z ==+∈，{|61,}B x x m m Z ==-∈，则有：17A ；5-A ；17B 7已知x R ∈，则集合2{3,,2}x x x -中元素x 所应满足的条件为（二）集合的表示方法1用列举法表示下列集合①{|15}x N x ∈是的约数②{(,)|{1,2},{1,2}}x y x y ∈∈③2(,)24x y x y x y ⎧⎫+=⎧⎪⎪⎨⎨⎬-=⎩⎪⎪⎩⎭④{|(1),}nx x n N =-∈⑤{(,)|3216,,}x y x y x N y N +=∈∈⑥{(,)|,4}x y x y 分别是的正整数约数2用描述法表示下列集合①{1,4,7,10,13}②{2,4,6,8,10}-----③{1,5,25,125,625}④12340,,,,,251017⎧⎫±±±±⎨⎬⎩⎭（三）集合的分类1关于x 的方程0ax b +=，当a ，b 满足条件_____时，解集是有限集；当a ，b 满足条件_____时，解集是无限集2下列四个集合中，是空集的是（）A．}33|{=+x x B．},,|),{(22R y x x y y x ∈-=C．}0|{2≤x x D．},01|{2R x x x x ∈=+-三、课下训练1、有下列说法：（1）0与{0}表示同一个集合；（2）由1，2，3组成的集合可表示为{1,2,3}或{3,2,1}；（3）方程2(1)(2)0x x --=的所有解的集合可表示为{1,1,2}；（4）集合{|45}x x <<是有限集，其中正确的说法是（）A．只有（1）和（4）B．只有（2）和（3）C．只有（2）D．以上四种说法都不对2、试选择适当的方法表示下列集合：（1）二次函数223y x x =-+的函数值组成的集合；（2）函数232y x =-的自变量的值组成的集合3、已知集合4{|}3A x N Z x =∈∈-，试用列举法表示集合4、给出下列集合：①{(,)|1,1,2,3}x y x y x y ≠≠≠≠-；②12(,)13x x x y y y ⎧⎫≠≠⎧⎧⎪⎪⎨⎨⎨⎬≠≠-⎩⎩⎪⎪⎩⎭且③12(,)13x x x y y y ⎧⎫≠≠⎧⎧⎪⎪⎨⎨⎨⎬≠≠-⎩⎩⎪⎪⎩⎭或；④{}2222(,)[(1)(1)][(2)(3)]0x y x y x y -+-⋅-++≠其中不能表示“在直角坐标系xOy 平面内，除去点(1,1)，(2,3)-之外的所有点的集合”的序号有5、已知集合2{|12x a A a x +==-有唯一实施解}，试用列举法表示集合A。
数学一集合 第一章第一节
（1）所有较小的实数； （2）好心的人；
（3）小于5的自然数.
【解析】
.（1）、（2）中的对象是不确定的，不可以组成集合，（3）中的
对象是确定的，指0,1,2,3,4，可以组成集合.
例2：A是由数-1、1、0、10作为元素构成的集合，B是江苏省的地级市所在的城 市构成的集合，用符号“”或“”填空。 （1）1 A，5 A，-2 A，6 A （2）南京 B，烟台 B，桂林 B，扬州 B
【探究2】下列各组对象哪些是有限的？哪些是无限的？哪些什么也没有？ (1)中国的省会所在的城市； (2)三角形； (3)小于-8的自然数.
【解析】 第(1)组对象是有限的，第(2)组对象是无限的，第(3)组不含任 何对象。
2.知识链接 （1）集合:有某些确定的对象组成的整体，用大写英文字母表示； （2）集合与元素：若a是A的元素，记着a∈A;若a不是A的元素，记着a A； （3）有限集、无限集与空集：含有有限个元素的集合叫有限集；含有无限个元 素的集合叫无限集；不含任何元素的集合叫空集，记作
2
【解析】 （1）略 （2）① 7，有限集； ②1,3,5，有限集； ③C：没有元素，空集；D：-1，有限集； E：-1， 3 ，有限集；F：-1， 3 ，有限集；
（3）用符号“ ”或“ ”填空。
① N，0 N，99 N， 121 N.
1 3
4 11 ②-7 Z， Z， 3 Q， Q，3 2 5 R 5 7
2
④所有的梯形构成的集合； ⑤小于-2的所有自然数构成的集合。
【解析】 ①是有限集，③，④是无限集，②，⑤是空集。
（3）指出下列集合中含有的元素
①你本学期学习的课程构成的集合； ②中国四大名著构成的集合； ③中国古代四大发明构成的集合。
第一章 第一节 集合
5．理解两个集合的并集与交集的含义，会求两 ．理解两个集合的并集与交集的含义， 个简单集合的并集与交集； 个简单集合的并集与交集； 6．理解在给定集合中一个子集的补集的含义， ．理解在给定集合中一个子集的补集的含义， 会求给定子集的补集； 会求给定子集的补集； 7．能使用韦恩图表达集合的关系和运算． ．能使用韦恩图表达集合的关系和运算．
2．设集合A＝{(x，y)|4x＋y＝6}，B＝{(x，y)|3x＋2y＝7}， ．设集合 ＝ ， ＋ ＝ ， ＝ ， ＋ ＝ ， 则满足C⊆ ∩ 的集合 的集合C的个数是 则满足 ⊆(A∩B)的集合 的个数是 A．0 ． C．2 ． B．1 ． D．3 ．
x＝1， ＝ ， ⇒ y＝2， ＝ ，
b 4．若 a，b∈R，集合 ，a＋b，a}＝{0，a，b}，求 b2011 ． ， ∈ ，集合{1， ＋ ， ＝ ， ， 的值． －a2011 的值．
b 解：由{1，a＋b，a}＝{0，a，b}可知 a≠0，则只能 a ， ＋ ， ＝ ， 可知 ≠ ， 则有以下对应关系： ＋b＝0.则有以下对应关系： ＝ 则有以下对应关系 a＋b＝0， ＋ ＝ ， b ＝a， ， a b＝1 ＝ 由①得 a＋b＝0， ＋ ＝ ， b＝a， ＝ ， ① 或 b a＝1.
4．集合的表示法： 列举法 、 描述法 、韦恩图 ． ．集合的表示法：
二、集合间的基本关系 表示 关系 定义 记法 A＝B ＝
集合A与集合 与集合B中的所有元素都相同 集合 相等 集合 与集合 中的所有元素都相同
间的 子集 A中任意一元素均为 中的元素 中任意一元素均为B中的元素 中任意一元素均为 A⊆B 或 B⊇A ⊆ ⊇ 基本 中任意一元素均为B中的元素 真子 A中任意一元素均为 中的元素，且 中任意一元素均为 中的元素， A B或B A 关系 中至少有一个元素A中没有 集 B中至少有一个元素 中没有 中至少有一个元素 空集是任何集合的子集 空集 空集是任何 非空集合 的真子集 ∅⊆B ∅⊆ ∅B (B≠∅) ≠
集合与常用逻辑用语--2023高考真题分类汇编完整版
集合与常用逻辑用语--高考真题汇编第一章第一节集合1.（2023全国甲卷理科1）设集合{}31,A x x k k ==+∈Z ，{}32,B x x k k ==+∈Z ，U 为整数集，则()U A B = ð（）A.{}3,x x k k =∈ZB.{}31,x x k k =-∈ZC.{}32,x x k k =-∈Z D.∅【分析】根据整数集的分类，以及补集的运算即可解出．【解析】因为整数集{}{}{}3,3+1,3+2,x x k k x x k k x x k k ==∈=∈=∈Z Z Z Z ，=U Z ，所以(){}3,U A B x x k k ==∈Z ð．故选A ．2.（2023全国甲卷文科1）设全集{}1,2,3,4,5U =，集合{}1,4M =，{}2,5N =，则U N M = ð（）A.{}2,3,5 B.{}1,3,4 C.{}1,2,4,5 D.{}2,3,4,5【分析】利用集合的交并补运算即可得解.【解析】因为全集{1,2,3,4,5}U =，集合{1,4}M =，所以{}2,3,5U M =ð，又{2,5}N =，所以{2,3,5}U N M = ð.故选A.3.（2023全国乙卷理科2）设集合U =R ，集合{}1M x x =<，{}12N x x =-<<，则{}2x x =（）A.()U M N ð B.U N Mð C.()U M N ð D.U M Nð【分析】由题意逐一考查所给的选项运算结果是否为{}2x x 即可.【解析】由题意可得{}2M N x x =< ，则(){}2U M N x x = ð，选项A 正确；{}1U M x x =ð，则{}1U N M x x =>- ð，选项B 错误；{}11M N x x =-<< ，则(){}11U M N x x x =- 或ð，选项C 错误；{}12U N x x x =-或ð，则{}12U M N x x x =< 或ð，选项D 错误；故选A.4.（2023全国乙卷文科2）设全集{}0,1,2,4,6,8U =，集合{}0,4,6M =，{}0,1,6N =，则U M N = ð（）A.{}0,2,4,6,8 B.{}0,1,4,6,8 C.{}1,2,4,6,8 D.U【分析】由题意可得U N ð的值，然后计算U M N ð即可.【解析】由题意可得{}2,4,8U N =ð，则{}0,2,4,6,8U M N = ð.故选A.5.（2023新高考I 卷1）已知集合{}2,1,0,1,2M =--，{}260N x x x =--≥，则M N =（）A.{}2,1,0,1--B.{}0,1,2 C.{}2- D.{}2【解析】{}(][)260,23,N x x x =--≥=-∞-+∞ ，所以{}2M N =- ，故选C.6.（2023新高考II 卷2）2.设集合{}{}0,,1,2,22A a B a a =-=--，若A B ⊆，则a =（）A.2 B.1 C.23D.1-【解析】因为A B ⊆，所以必有20a -=或220a -=，解得2a =或1a =.当2a =时，{}{}0,2,1,0,2A B =-=，不满足A B ⊆；当1a =时，{}{}0,1,1,1,0A B =-=-，符合题意.所以1a =.故选B.7.（2023北京卷1）已知集合{}20M x x =+，{}10N x x =-<，则M N = （）A.{}21x x -<B.{}21x x -<C.{}2x x - D.{}1x x <【分析】先化简集合,M N ，然后根据交集的定义计算.【解析】由题意，{20}{|2}M xx x x =+≥=≥-∣，{10}{|1}N x x x x =-<=<∣，根据交集的运算可知，{|21}M N x x =-≤< .故选A.8.（2023天津卷1）已知集合{}{}{}1,2,3,4,5,1,3,1,2,4U A B ===，则U B A = ð（）A ．{}1,3,5B ．{}1,3C ．{}1,2,4D ．{}1,2,4,5【分析】对集合B 求补集，应用集合的并运算求结果；【解析】由{3,5}U B =ð，而{1,3}A =，所以{1,3,5}U B A = ð.故选A.第二节充分条件与必要条件、全称量词与存在量词1.（2023全国甲卷理科7）“22sin sin 1αβ+=”是“sin cos 0αβ+=”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【分析】根据充分条件、必要条件概念及同角三角函数的基本关系得解.【解析】当2απ=，0β=时，有22sin sin 1αβ+=，但sin cos 0αβ+≠，即22sin sin 1αβ+=推不出sin cos 0αβ+=；当sin cos 0αβ+=时，()2222sin sin cos sin 1αβββ+=-+=，即sin cos 0αβ+=能推出22sin sin 1αβ+=.综上可知，22sin sin 1αβ+=是sin cos 0αβ+=成立的必要不充分条件.故选B.2.（2023新高考I 卷7）已记n S 为数列{}n a 的前n 项和，设甲：{}n a 为等差数列；乙：n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，则（）A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件【解析】{}n a 为等差数列，设首项为1a 公差为d ，则()112n n n S na d -=+，111222n S n d d a d n a n -=+=+-，所以n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，所以甲是乙的充分条件.n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，即()()()1111111n n n n n n nS n S S S na S n n n n n n +++-+--==+++为常数，设为t ，即()11n nna S t n n +-=+，故()11n n S na tn n +=-+，()()()1112n n S n a t n n n -=---≥，两式相减得()1112n n n n n a S S na n a tn -+=-=---，12n n a a t +-=为常数，对1n =也成立，所以{}n a 为等差数列，所以甲是乙的必要条件.所以，甲是乙的充要条件，故选C.3.（2023北京卷8）若0xy ≠，则“0x y +=”是“2x yy x+=-”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【分析】解法一：证明充分性可由0x y +=得到x y =-，代入x yy x+化简即可，证明必要性可由2x y y x +=-去分母，再用完全平方公式即可；解法二：由x y y x+通分后用配凑法得到完全平方公式，证明充分性可把0x y +=代入即可；证明必要性把2x yy x+=-代入，解方程即可.【解析】解法一：充分性：因为0xy ≠，且0x y +=，所以x y =-，所以112x y y y y x y y-+=+=--=--，所以充分性成立；必要性：因为0xy ≠，且2x yy x+=-，所以222x y xy +=-，即2220x y xy ++=，即()20x y +=，所以0x y +=.所以必要性成立.所以“0x y +=”是“2x yy x+=-”的充要条件.故选C.解法二：充分性：因为0xy ≠，且0x y +=，所以()2222222222x y xy x y x y x y xy xy xy y x xy xy xy xy+-+++--+===-，所以充分性成立；必要性：因为0xy ≠，且2x yy x+=-，所以()()22222222222x y xy x y x y x y x y xy xy y x xy xy xy xy+-++++-+====-=-，所以()20x y xy+=，所以()20x y +=，所以0x y +=，所以必要性成立.所以“0x y +=”是“2x yy x+=-”的充要条件.故选C.4.（2023天津卷2）“22a b =”是“222a b ab +=”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件【分析】根据充分、必要性定义判断条件的推出关系，即可得答案.【解析】由22a b =，则a b =±，当0a b =-≠时222a b ab +=不成立，充分性不成立；由222a b ab +=，则2()0a b -=，即a b =，显然22a b =成立，必要性成立；所以22a b =是222a b ab +=的必要不充分条件.故选B.。
01-第一节 集合的概念高中数学必修一人教A版
【解析】
B.0 ∈
∗
1
C.
3
∈
D. π2 ∈
2是实数，故A错误；由 ∗ 是正整数集，可知0 ∉ ∗ ，故B错
1
误； 是有理数，故C正确；
3
π2 = π 是无理数，是整数集，故D错误.
4.（多选）[2024江苏连云港检测]已知集合 = {| = 3 − 1， ∈ }，
故 − ∈ 0 ，故D正确.
6.由实数，− ，
2，
2
2
4
，− 3 组成的集合中最多含有___个元
素．
【解析】 由题可知 ≥ 0,所以− , 2 ，
2
, ,− ,故由实数,− ,
元素.
2,
2
2
2
2 ,− 3 分别可化为− 2 ,
,− 3 组成的集合中最多含有4个
D.{ = −1, = 3}
2 + = 5,
2 + = 5,
= 3,
【解析】 由ቊ
得ቊ
所以方程组ቊ
的解集
= −1,
− − 4 = 0,
−−4=0
是{ 3, −1 }.
9.（多选）集合{1,3,5,7,9}用描述法可表示为(
AB
)
A.{|是不大于9的非负奇数}
D.不等式3 − 10 < 0的所有正整数解
【解析】
A √ 某校2024年入学的全体高一年级新生确定，元素确定，能构成集合.
B × 精确度不一样得到的近似值不一样，元素不确定，不能构成集合.
C × 学习成绩较好是相对的，故这些学生不确定，不能构成集合.
D √
不等式3 − 10 < 0的所有正整数解为1，2，3，元素确定，能构成
中职数学-第一章-集合
第三节 集合的运算
思考与讨论
例4中集合A、B的交集｛（1，2）｝能否写成｛1， 2｝？有什么区别呢？
第三节 集合的运算
二、 并集
观察下面三个集合： M=｛-2，-1，0｝，N=｛1，2，3，4｝，P=｛-2，1，0，1，2，3，4｝， 可以看出，集合P是集合M与集合N的所有元素组成的. 一般地，像上述那样，对于两个给定的集合A、B，由 集合A和集合B的所有元素组成的集合叫作集合A和集合B的并 集，记作
二、 集合的表示方法
用列举法表示集合时，一般不考虑元 素的排列顺序，如集合{1,2}与集合{2,1}表 示的是同一个集合.
如何表示一个集合呢？常用的表示方 法有列举法和描述法两种.
第一节 集合的概念
1. 列举法
把集合的元素一一列举出来，元素中间用逗号 隔开，写在花括号“｛｝”中用来表示集合，这种 方法即为列举法.例如，由小于5的自然数所组成的 集合可表示为
课堂练习
（1）{1，3，5} （2）{x|x2=9} ( 3 ) a {a}; （4）{2，4，6}
{1，2，3，4，5}； {-3,3}；
{4，6}.
第三节 集合的运算
过去我们只对数或式子进行算 术运算或代数运算，那么集合与集 合之间可以进行运算吗？
由两个已知的集合按照某种 指定的法则构造出一个新的集合即 为集合的运算.
第一节 集合的概念
课堂练习
1.用符号“∈
（1）-3 N； （2）3.14 Q；
（3）π Q； （4）0.5
Z；
（5）1.8 R； （6）-1
N*.
2.判断下列语句是否正确：
（1）由1，2，4，2构成一个集合，这个集合共有4个元素；
（2）方程x2+1=0的所有解组成的集合为空集.