三年级数学思维专项训练7--图形计数(原卷+解析版)
四年级下册数学思维训练：图形的计数(解析版)全国通用
备课说明：1、本讲共6道例题，前4道例题（用时1小时）分别介绍了数线段、角、三角形、正方形和长方形的基本方法.其中数线段（例1）的方法及计数公式是基础，应重点讲解；接着例2与例3可尝试着让学生先思考，看看学生能否举一反三；例4学生做题是可能较多采用枚举法，因此先让学生做教师再进行讲解，学生能更好的体会到乘法原理的简便性.例5、例6（1小时）为图形计数提高题，例5图形较为复杂，这时怎么合理分类，再进行计数就显得至关重要，学生的分类方法可能多种多样，只要合理都应给予肯定，并给一些时间，鼓励学生根据自己的思路来解题；例6数含有五角星的正方形，仍可用乘法原理解决问题.2、重点：熟练掌握线段、角的计数公式；能够根据图形特点，利用加法原理与乘法原理合理分类计数.难点：根据图形特点，合理分类计数.数线段与数图形实际上就是数几何图形中线段、角、三角形、四边形等的个数问题.在对图形计数时，通常采用的是枚举法，即把所要计数的对象一一列举出来，然后计算它的总和.在用枚举法计数时，要对计数对象合理地进行分类，并要按次序地数，只有这样，才能保证计数时既不重复，又不遗漏.把一条线段分成几段小线段，我们把这些小线段称为基本线段，线段计数都是由这些基本线段组成，即1)3()2()1(++-+-+-+ n n n n .数线段也可以按照点来计算，如果一条线段上有m 个点，根据这些点可以运用2)1(÷-⨯m m 进行计算.要想正确数出图形的个数，关键是从基本图形入手：✓ 弄清图形中包含的基本图形是什么，有多少个；✓ 从各图形中所包含基本图形的个数多少出发，依次数出它们的个数，并求出它们的和是多少；✓ 有些图形被分成几个部分，可以先从各部分的基本图形出发，数出包含图形的个数，再求各部分的总和.数一数，下面的图形中各有几条线段？F E D C B A解析：①对于两条线段，只要有一个端点不同，就是不同的线段，我们以左端点为标准，将线段分5类分别计数.（1） 以A 为左端点的线段有：AB 、AC 、AD 、AE 、AF ，共5条；（2） 以B 为左端点的线段有：BC 、BD 、BE 、BF 共4条；（3） 以C 为左端点的线段有：CD 、CE 、CF 共3条；（4） 以D 为左端点的线段有：DE 、DF 共2条；（5） 以F 为左端点的线段只有：EF 共1条.所以不同的线段共有：1525)15(12345=⨯+=++++（条） ②每条线段上有62313123=⨯+=++）（（条），共有5条这样的线段，所以不同的线段共有：3056=⨯（条）小结：一条线段被分成n 个互不重叠的小线段，那么这条线段共包含的线段数为：2)1(21+=+++n n n 条. 在一线段上任取21个点（包括两端点），则一共有多少条线段？解：方法一：21个点构成20条基本线段，因此一共有线段：=++++1181920 210220120=÷⨯+）（（条）；方法二：21个点共有线段：21022021=÷⨯（条）数一数下图共有多少条线段.解：273123123=⨯++⨯++）（）（（条）.某地区有66条航空线，每两个城市之间都有一条直达的航空线，这66条航空线共连接这个地区的________个城市.解析：方法一：这是数线段，城市相当于点，而6611321=+++ ，所以有12个城市. 方法二：设这66条航线共连接这个地区的n 个城市，则662)1(=÷-⨯n n ，解得12=n .下图中有多少个小于︒90的角？ O G F E D C BA解析： 按照数线段的方法，有=+++++123456212661=⨯+）（（个） 小结：两条共端点的射线确定一个角（大于︒0、小于︒180），假设由某点引出n 个互不重叠的角（任意两条射线均不在同一直线上），那么这n 个互不重叠的角可以确定的角（大于︒0、小于︒180）的个数为2)1(+n n 个.数一数，下面图形中一共有几个角？（不包括平角）解：在中有152515=⨯+）（（个）角， 在中有2个角， 在中有1个角，综上一共有2521242515=⨯+⨯+⨯+）（（个）角. 下图中有多少个三角形？C B AD B A C C B A解析：第一个图中所有三角形必须都含有顶点A ，且必有一条边在BC 上，所以三角形的个数应该等于BC 边上的线段数.第二、三个图可以分为两步来计算个数.第一步包含顶点A 的三角形；第二步不包含顶点A 的三角形，必然包含顶点B .1）152551=⨯+）（（个） 2）35522515=+⨯⨯+）（（个） 3）（个））（（个），）（30523136042515=⨯⨯+=⨯⨯+，所以三角形共有903060=+（个） 下图中有多少个三角形？解：1）3032414=⨯⨯+）（（个） 2）21332313=+⨯⨯+）（（个） 数一数，下列图形中有多少个正方形？解析：上图中，边长是1个单位长度的正方形的个数有8×5=40，边长是2个单位长度的正方形的个数有7×4=28，边长是3个单位长度的正方形的个数有6×3=18，边长是4个单位长度的正方形的个数有5×2=10，边长是5个单位长度的正方形的个数有4×1=4. 综上，上述图形中含有正方形的个数为：1001425364758=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯（个）.小结：一般地，一个长方形的长被分成n 份，宽被分成m 份（m n ≥，每小格均为相等的正方形），那么这个长方形中正方形的总数量为：.1)1()2)(2()1)(1(⨯+-++--+--+m n m n m n mn数一数下面三个图中各有多少个长方形？A B C D A B C D D C B A 解析：（1）在第一个图中，AB 边上有102414=⨯+）（（条）线段，这10条线段中的每一条，都可与线段AD 对应，唯一确定一个长方形，所以第一个图中共有10110=⨯（个）长方形；（2）与第一个图不同的是，在AD 上增加了一个分点，这样在AD 边上就有312=+（条）线段，这3条线段分别与AB 边上不同的线段构成长方形，所以第二个图中有30310=⨯（个）长方形；（3）同上，AD 边上有62313=⨯+）（（条）线段，所以共有60610=⨯（个）长方形. 小结：网格状图形中，长方形的个数，等于相邻两条边上线段数的乘积.下图是55⨯的方格纸，小方格为边长1厘米的正方形，图中共有______个正方形，所有这些正方形的面积之和为_________平方厘米.解：图中共有正方形 5514916251122334455=++++=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯（个）； 这些正方形的面积之和为)(259)55(1)44(4)33(9)22(16)11(252cm =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯.数一数下图中有多少个长方形？解：9025512331=⨯+⨯⨯+）（）（（个） 数一数，下图中有多少个正方形？解：先算出长方形ABCD 中正方形的个数，再还原成原图，算出接上长方形DEFG 后新生出的正方形的个数，然后将两部分的正方形相加即可.第一部分：90172839410=⨯+⨯+⨯+⨯（个）第二部分：202222324=+⨯+⨯+⨯（个）综上所述，共有1102090=+（个）.数一数，下图中有多少个正方形？（中环杯，第五届决赛）解析：设最小正方形的边长为1，则边长为1的正方形有 122224=⨯+⨯（个）边长为2的正方形有 523=+（个）综上，一共有正方形 17512=+（个）数一数下图中有多少个正方形包含“☆”号，又有多少个长方形包含“☆”号？解析：（1）我们把最短的一条线段看作基本线段，那么边长为1且包含“☆”号的正方形有1个，边长为2且包含“☆”号的正方形有4个，边长为3且包含“☆”号的正方形有2个.所以上述图形中包含 “☆”号的正方形有：7241=++（个）.（2）方法一：第1类：由1个小正方形组成的含有 “☆”号的长方形共有1个；第2类：由2个小正方形组成的含有“☆”号的长方形共有4个；第3类：由3个小正方形组成的含有“☆”号的长方形共有3个；第4类：由4个小正方形组成的含有“☆”号的长方形共有5个；第5类：由6个小正方形组成的含有“☆”号的长方形共有6个；第6类：由8个小正方形组成的含有“☆”号的长方形共有2个；第7类：由9个小正方形组成的含有“☆”号的长方形共有2个； 第8类：由12个小正方形组成的含有“☆”号的长方形共有1个；所以上述图形中包含“☆”号的长方形共有：2412265341=+++++++（个）；方法二：长方形有4条边，每一条边可以在不同边上选，所以包含“☆”号的长方形共有 243222=⨯⨯⨯（个）.【备用】图2-1中有_______个角（不包括平角），_______个三角形；图2-2中有_______个三角形.图2-1 图2-2解：21个角；12个三角形；15个三角形.下图中有______个正方形.解：38516273=⨯+⨯+⨯（个）.图4-1中有______个长方形；图4-2中有______个长方形（新知杯，第一届2试）.图4-1 图4-2（1）解：150)12345()1234(=++++⨯+++（个）（2）解：如下图所示：如图一所示，33⨯的正方形格子中有36)123)123=++⨯++（（（个）长方形； 如图二所示，分别包含A 、B 的长方形各有4个；如图三所示，分别包含C 、D 的长方形各有5个，同时包含C 、D 的长方形有1个； 所以图中有 531554436=-++++（个）长方形.下图中有很多长方形，其中有_________个长方形包含阴影部分.（一个或两个都算）解：522222433322=⨯⨯-⨯⨯+⨯⨯⨯（个）. 数一数，下面图形中一共有几个长方形？解析：可以将原图形拆成两个图形（如下图所示）分别数出上面两个图形的长方形个数，再将它还原成原图，数出新生出的长方形个数，（如图中的阴影部分）.最后用拆分成的两个图形中的长方形的总数量减去重复数的长方形（如图中含有字母的部分），再加上新生出的长方形的个数.12021231234=⨯++⨯+++）（）（（个）重复数的长方形个数：321=+（个）新生出的长方形个数：16222122=++⨯+⨯）（）（（个） 综上所述，图中长方形的总个数是：133163120=+-（个）.6、下图中包含“☆”号的长方形一共有几个？（有一个或有两个“☆”号都可以）解析：方法一：分九类数，然后相加.第1类：由1个小长方形组成的含有“☆”号的长方形共有2个；第2类：由2个小长方形组成的含有“☆”号的长方形共有8个；第3类：由3个小长方形组成的含有“☆”号的长方形共有8个；第4类：由4个小长方形组成的含有“☆”号的长方形共有11个；第5类：由6个小长方形组成的含有“☆”号的长方形共有12个；第6类：由8个小长方形组成的含有“☆”号的长方形共有6个；第7类：由9个小长方形组成的含有“☆”号的长方形共有4个；第8类：由12个小长方形组成的含有“☆”号的长方形共有4个；第9类：由16个小长方形组成的含有“☆”号的长方形共有1个.所以上述图形中包含“☆”号的长方形一共有：5614461211882=++++++++（个）.方法二：先按照例6方法2算出分别包含一个“☆”的长方形数量，最后再减去重复的数. 56163636222233223322=-+=⨯⨯⨯-⨯⨯⨯+⨯⨯⨯（个）7、a 、b 两条直线上分别有4个点和5个点(如图) 用这9个点作为顶点共可组成_____个不同的四边形，_____个不同的三角形.（走美杯，第四届决赛）解析：可以组成四边形 60)123()1234(=++⨯+++（个）；可以组成三角形 705)123(4)1234(=⨯+++⨯+++（个）.。
三年级上册数学《几何图形计数问题》竞赛试题-人教版(含答案)
几何图形计数问题☆基础题1、数一数下图中有多少条线段？2、从郑州到上海的一列火车，中间要停5站，那么在此次列车上，铁路部门要为旅客准备多少种不同的火车票？3、下图中有多少个三角形？4、下图中有多少个正方形？5、下图中有多少个长方形？☆☆提高题1、有20个钉子如图摆放，以钉子为顶点围成一个正方形，可以围成多少个正方形？2、下图中有多少个正方形？多少个三角形？3、下图中有多少个三角形？4、下图中，有多少个包含“★”的长方形。
5、下图中，有多少个长方形同时包含“★”和“☆”。
6、下图中梯形的个数与三角形的个数的差是多少？☆☆☆竞赛题1、如下图，边界上各条线段的长度依次是5厘米、12厘米、8厘米、1厘米、2厘米、4厘米、7厘米、3厘米。
（1）图中一共有多少个长方形？（2）这些长方形的面积和是多少平方厘米？2、下图中的正方形被分成了9个相同的小正方形，它们有16个顶点（共同的顶点算一个），以其中不在一条直线上的3个点为顶点，可以构成三角形，在这些三角形中，与阴影三角形的面积一样大的三角形有多少个？3、下图中有多少个正方形？4、一张长方形纸片，长是宽的2倍，先对折成正方形，再对折成长方形，再对折成正方形，……，共对折7次，将纸打开展平，数一数用折痕分割成的正方形共有多少个？参考答案☆基础题1、答案：36条解析：基本线段是指：只有一条线段组成的线段叫做基本线段，本题中基本线段的条数是8条，所有线段的条数是：8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36（条）2、答案：42种解析：去时要准备：6＋5＋4＋3＋2＋1＝21（种）一共要准备：21×2＝42（种）3、答案：12个解析：可以把这个三角形分成两部分来看，上层红色部分有：3＋2＋1＝6（个），下层蓝色部分有：3＋2＋1＝6（个），所以一共有：6×2＝12（个）4、答案：32个解析：如下图，把原长方形分成两个同样大小的正方形，（3×3＋2×2＋1×1）×2＝28（个）在蓝色部分的长方形中，还有2个正方形，以蓝色长方形的长为边的正方形还有2个，所以正方形的总个数是：28＋2＋2＝32（个）5、答案：150个解析：先沿着长的方向数：基本线段的条数数是5个，则所有线段的条数是：5＋4＋3＋2＋1＝15（条）；再沿着宽的方向数：基本线段的条数是4个，则所有线段的条数是：4＋3＋2＋1＝10（条），则在这个图中所有长方形的个数：15×10＝150（个）☆☆提高题1、答案：21个解析：如下图，①形如玫红色正方形有：5＋4＝9（个）；②形如黄色正方形有：4个；③形如黑色正方形有：4个；④形如蓝色正方形有：2个；⑤形如红色正方形有2个，所有正方形的总个数是：9＋4＋4＋2＋2＝21（个）2、答案：正方形个数：10个；三角形个数：44个。
第3讲 图形计数.含答案.3年级数学.尖子班.秋季.教师版
1． 图形规律问题分三步考虑：1）图形的基本组成的确定；2）图形变化规律确定；3）缺失图形确定。
2． 图形基本组成的确定需注意的要点：图形的形状、颜色、位置、大小、数量等。
3． 图形计数的关键在于找出常见的计数依据，通常把复杂的计数问题转化成简单的线段计数最为常用。
4． 图形计数基本公式：1） 一条线段上有n 个点（包含线段的两个端点），那么这条线段共包含的线段数为：121(1)2n n n ++--÷…+（）=条。
2） 两条共端点的射线确定一个角（大于0︒小于180︒），假设由某点引出n 条射线（任意两条射线均不在同一直线上），那么这n 条射线可以确定的角（大于0︒小于180︒）的个数为(1)2n n -÷条。
3） 网格状图形中，长方形（包含正方形）的个数，等于相邻两条边上线段数的乘积。
4） 一般的，一个长方形的长被分成n 等份，宽被分成m 等份（n m >，每小格均为相等的正方形），那么这个长方形中正方形的总数为：(1)(1)(2)(2)(1)1mn n m n m n m +--+--++-+⨯【例1】 请数出下图中线段的总条数。
【分析】法1：我们规定：把相邻两点间的线段叫做基本线段，我们可以这样分类数：由1条基本线段构成的线段有：AB 、BC 、CD 、DE 、EF 5条 ．由2条基本线段构成的线段有：AC 、BD 、CE 、DF 4条．由3条基本线段构成的线段有：AD 、BE 、CF 3条．由4条基本线段构成的线段有：AE 、BF 2条．由5条基本线段构成的线段有：AF 1条．总数5432115++++=条．法2：按线段的起点分类（注意保持方向的一致），如右图以A 点为共同左端点的线段有：AB 、AC 、AD 、AE 、AF 5条．以B 点为共同左端点的线段有：BC 、BD 、BE 、BF 4条．以C 点为共同左端点的线段有：CD 、CE 、CF 3条．以D 点为共同左端点的线段有：DE 、DF 2条．以E 点为共同左端点的线段有：EF 1条．总数5432115++++=条．法3：线段AF 上共有6个点，那么应该共有65215⨯÷=条线段。
小学三年级数学图形推理思维专项训练及解析
小学三年级数学图形推理思维专项训练及答案班级 姓名 得分1. 有一天，小狗老师要在动物学校挑选队员参加数学竞赛，小松鼠很高兴也跑来了小狗老师说：“那我就来考考你!你把下面的题做对了就可以参加了”。
小松鼠看了半天说：“老师，你写的这是什么?”小狗老师说：“哈哈!看来你要好好学一学图文算式了，欢迎你下次再来。
”"小朋友们，上面的题你会吗?5+ 这样我们就可以得出 =10.（2）我们把上下两个算式进行比较，我们发现下面比上面多了一个★，得数多了18-14=4，▲+▲+★=4，★＋★+▲+▲=18▲＋▲＋4=14，那么▲=5.答案： =5 =10 ★=4 ▲=52. 求下面图形所表示的数。
（1）▲+▲=18★+◯=13▲+◯=15 所以我们可以推断出★=4，根据第一个算式我们可以得 ▲=（ ），★=（ ），◯=（ ）（2）■+■+▲+▲=14▲+▲+■=103. 下面的天平是不平衡的，但除了天平上的砝码，周围已找不到别的砝码了.你能通过移动天平上的砝码，使天平平衡吗?【解析】我们可先看看天平两边各有多少克：天平左边：5+5+-10-20（克）。
天平右边：10+4+2+1+1=18（克）。
显然，天平左边如果减少1克，放到天平右边，20-1=19（克），18+1=19（克），天平两边就都平衡了，但天平左边没有1克的砝码，怎么办?可以用天平左边5克的砝码和天平右边4克的砝码交换一下，就可以达到要求了.这样天平左边是5+4-10=19（克）．右边是10+5+2+1+1=19（克）。
【答案】左边5克的砝码和天平右边4克的砝码交换一下4. 你能通过移动天平上的砝码，使下面的天平平衡吗？【解析】把左边的3克和右边的6克对换，或把左边的4克和右边的7克对换.▲=（），■=（）【答案】左边的4克和右边的7克对换。
5. 1只推子的体重等于3只猫的体重，3只狗的体重等于9只猫的体重。
如果1只猴子重3千克，请问1只狗重多少千克?【解析】由3只狗的体重=9只猫的体重，得1只狗的体重=3只猫的体重.又1只猴子的体重=3只猫的体重，1只狗的体重=1只猴子的体重.1只猴子重3千克，1只狗重3千克。
图形计数(三年级培优)学生版
数线段：把一条线段分成n 段小线段，我们把这些小线段称为基本线段，线段计数都是由这些基本线段组成，即1)2()1(++-+-+ΛΛn n n 。
数线段也可以按照点来计算，如果一条线段上有m 个点，根据这些点可以运用2)1(÷-⨯m m 进行计算。
数长方形：主要考虑长方形的长和宽，确定了长和宽的数量，就能计算长方形的数量，长的数量和宽的数量都是运用数线段的方法进行计数，分别得出结论后再相乘，就得出长方形的总数量。
如果遇到特殊情况，还要根据实际图的情况进行计数，做到不遗漏，不重复计数。
数正方形：先考虑图形的长由多少个小正方形组成（假设m 个），再考虑图形的宽由多少个小正方形组成（假设n 个），最后可以运用以下方法进行计数：........)2()2()1()1(+-⨯-+-⨯-+⨯n m n m n m ，直至两个因数中出现1为止，如果遇到特殊情况，还要根据实际图形情况进行计数，做到不遗漏，不重复计数。
数一数，下图中共有几条线段？（两种方法）数一数，下图中共有几条线段？（两种方法）......A 30A 5A 4A 3A 2A 1数一数，下图中共有几条线段？........a 9a 3a a 2a 1bc 8c 3c c 7c 2c 1......数一数，下图中共有几条线段？GH EFD CBA数一数，下图中各有多少个三角形？数一数，下图中有多少个三角形？数一数，下图中有多少个长方形？数一数，下图中有多少个长方形？数一数，下图中有多少个正方形？数一数，下图中共有几个正方形？什么是莫比乌斯带莫比乌斯带是拓扑学家们的杰作之一。
它使人感到古怪的是：只有一侧的曲面。
它的制作是极为简单的。
我们把一个双侧环带随意在一处剪开，然后扭转一半，即180°。
再粘合到一起来形成封闭的环，就得到了莫比乌斯带。
但如果描述为没有“另一侧”，这是很难理解和想象的。
但做起来却很容易，你可随意从一处开始涂色（不离开这面）最终你将会发现莫比乌斯带都被你涂上了颜色，也就说明这的确是一个单侧面的带子。
小学三年级数学思维训练题及答案解析
小学三年级数学思维训练题及答案解析(总6页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--三年级数学思维训练题及答案1、有黑、白棋子一堆,黑子个数是白子个数的2倍。
现在从这堆棋子中每次取出黑子4个,白子3个,待到若干次后,白子已经取尽,而黑子还有16个。
求黑、白棋子各有多少个（假设思维）【分析与解答】假设每次取出的黑子不是4个,而是6个（6=3×2）,也就是说每次取出的黑子个数也是白子的2倍。
由于这堆棋子中黑子个数是白子的2倍,所以,待取到若干次后,黑子、白子应该都取尽。
但是实际上当白子取尽时,（留下）黑子还有16个,这是因为实际每次取黑子是4个,和假定每次取黑子6个相比,相差（留下的是）2个。
由此可知,一共取的次数是：16÷2=8（次）。
白棋子的个数为：3×8=24（个）。
黑棋子的个数为24×2=48（个）。
2、小华解答数学判断题,答对一题给4分,答错一题扣4分,她答了20道判断题,结果只得56分。
小华答对了几题（假设思维）【分析与解答】假设小华全部答对：该得4×20=80（分）,现在实际只得了56分,相差80-56=24（分）,因为答对一题得4分,答错一题扣4分,这样,一对一错相比,一题就差8分（4+4=8）,根据总共相差的分数以及做错一题相差的分数,就可以求出做错的题数：24÷8=3（题）,一共做20题,答错3题,答对的应该是：20-3=17（题）4×17=68（分）（答对的应得分）4×3=12（分）（答错的应扣分）68-12=56（分）（实际得分）3、一个化肥厂计划在50天内生产一批化肥,从前24天的生产情况看,每天实际生产的化肥没有达到原计划每天产量指标,因此工厂决定停产3天进行整顿。
整顿之后,每天比整顿前多生产化肥25吨,结果只用了49天（包括停产整顿所用的3天时间）就完成了原计划50天的生产任务。
小学三年级思维训练练习题及答案
小学三年级思维训练练习题及答案思维训练题一：数列填空
将数字1、2、3、4、5、6、7、8、9填入下面的空格中，使数列满足规律。
1、___、___、___、___、___、___、___、___、___、___
思维训练题二：解决问题
小明有8个苹果，小红有3个苹果。
请问他们两个人一共有多少个苹果？
思维训练题三：找规律
以下是一个由数字组成的序列，请根据规律写出下一个数字。
2、4、6、8、___
思维训练题四：加减运算
请计算 123 + 45 - 67 = ____
思维训练题五：数轴上的点
请将下面的数字标在数轴上，并用小于 (<)、大于 (>) 或等于 (=) 进行比较。
3、7、9
思维训练题六：图形填空
请给下面的图形填上正确的数字。
1
2 3
4 5 6
思维训练题七：时间问题
现在是早上8点，再过3个小时是几点钟？
思维训练题八：加减运算
请计算 56 + 89 - 34 = ____
思维训练题九：解决问题
小明一天花了3块钱，他又借了2块钱。
请问他一共花了多少钱？思维训练题十：找规律
以下是一个由数字组成的序列，请根据规律写出下一个数字。
10、20、30、40、___
答案:
1、2、3、4、5、6、7、8、9、10
答案: 11个
答案: 10
答案: 101
答案: 3 < 7 < 9答案:
1
2 3
4 5 6
答案: 11点
答案: 111
答案: 5
答案: 50。
三年级上册数学思维训练题(附答案及解析),给孩子提升
三年级上册数学思维训练题（附答案及解析），给孩子提升！1、有黑、白棋子一堆，黑子个数是白子个数的2倍。
现在从这堆棋子中每次取出黑子4个，白子3个，待到若干次后，白子已经取尽，而黑子还有16个。
求黑、白棋子各有多少个？（假设思维）【分析与解答】假设每次取出的黑子不是4个，而是6个（6=3×2），也就是说每次取出的黑子个数也是白子的2倍。
由于这堆棋子中黑子个数是白子的2倍，所以，待取到若干次后，黑子、白子应该都取尽。
但是实际上当白子取尽时，（留下）黑子还有16个，这是因为实际每次取黑子是4个，和假定每次取黑子6个相比，相差（留下的是）2个。
由此可知，一共取的次数是：16÷2=8（次）。
白棋子的个数为：3×8=24（个）。
黑棋子的个数为24×2=48（个）。
2、小华解答数学判断题，答对一题给4分，答错一题扣4分，她答了20道判断题，结果只得56分。
小华答对了几题？（假设思维）【分析与解答】假设小华全部答对：该得4×20=80（分），现在实际只得了56分，相差80-56=24（分），因为答对一题得4分，答错一题扣4分，这样，一对一错相比，一题就差8分（4+4=8），根据总共相差的分数以及做错一题相差的分数，就可以求出做错的题数：24÷8=3（题），一共做20题，答错3题，答对的应该是：20-3=17（题）4×17=68（分）（答对的应得分）4×3=12（分）（答错的应扣分）68-12=56（分）（实际得分）3、一个化肥厂计划在50天内生产一批化肥，从前24天的生产情况看，每天实际生产的化肥没有达到原计划每天产量指标，因此工厂决定停产3天进行整顿。
整顿之后，每天比整顿前多生产化肥25吨，结果只用了49天（包括停产整顿所用的3天时间）就完成了原计划50天的生产任务。
已知整顿后比整顿前一共多生产化肥400吨，问整顿前后各生产化肥多少吨？（因果关系）【分析与解答】我们容易算出整顿后生产的天数是：49-24-3=22（天）。
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三年级思维训练7--图形计数
1、下图中，以点A、B、C、D、E、F、G、H为端点的线段有多少条？
2、数一数下图中共有个正方形？
3、数一数下边图形中个平行四边形。
4、下图是由七条线段所构成的，请问此图中共有多少个三角形？
5、如下图所示，有这样的两条线，请问从这5个点中任选三个点可以构成
个不同的三角形。
6、下图中共有个三角形。
7、用同样大小的正方体小木块堆成如图所示的立体，共用了块小正方
体。
8、下图中共有个不同的三角形。
9、下图中共有个三角形。
10、下图中不含“·”的三角形比含“·”的三角形多个。
11、6支蜡烛分别插在一个蛋糕的6个点（A、B、C、D、E、F）上（见下图），以其
中两只蜡烛为端点的弧形有条。
（两只蜡烛之间只算一条弧）
12、在5×7的长方形中（见下图）最多能放入个由3个1×1的正方形
组成的“角形”（形如）？（“角形”可以转动和翻转，但不能一个叠放在另一个上。
）
13、下图中有许多不同的长方形，其中，同时包含有“走进数学王国”六个汉字的
长方形有个。
14、下图中共有个正方形。
15、下图中共有个长方形。
16、将9×6方格表的两个角的小方格切除（见下图），那么图中共包含有各种大小
的正方形共个。
17、下图中共有个正方形。
18、下图中共有个正方形。
19、3根火柴棒可以摆成一个小三角形。
下图中用很多根火柴棒摆成了一个中空的
大三角形。
已知大三角形外沿上每条边都是20根火柴棒。
摆成这个图共需要根火柴棒。
20、小明用若干个大小相同的正方体木块堆成一个几何体，这个几何体从正面看如
图（1）所示，从上面看如图（2），那么这个几何体至少用了块木块。
三年级思维训练7--图形计数
参考答案
1、【答案】28
【分析】设单位线段的长度为1，按线段长度分类枚举。
长度为1的：7条；长度为2的：6条；长度为3的：5条；长度为4的：4条；
长度为5的：3条；长度为6的：2条；长度为7的：1条。
所以共有7+6+5+…
+1=28（条）。
2、【答案】30
【分析】边长为1的正方形：16个；
边长为2的正方形：9个；
边长为3的正方形：4个；
边长为4的正方形：1个；
所以共有正方形16+9+4+1=30（个）。
3、【答案】6
4、【答案】18
【分析】可以把整个图形看成三层，每层的结构是
一样的，一层中的三角形有3+2+1=6（个），所以
共有三角形6×3=18（个）。
5、【答案】8
【分析】按照组成三角形的小三角形个数来分类。
由1个三角形组成的：4个
由2个三角形组成的：4个
共4+4=8（个）。
6、【答案】20
【分析】由1个三角形组成的有12个，由4个三角形组成的有6个，由9个三角形组成的有2个，
所以共12+6+2=20（个）。
7、【答案】50
【分析】分层从上往下来数；
第一层：7个；第二层：12个；
第三层：15个；第四层：16个。
7+12+15+16=50（个）
8、【答案】16
【分析】由一个三角形组成的：6个；
由两个三角形组成的：3个；
由三个小三角形组成的：6个；
由六个小三角形组成的：1个。
所以共有6+3+6+1=16（个）。
9、【答案】84
【分析】由1个小三角形构成的三角形：32个；
由2个小三角形构成的三角形：20个；
由3个小三角形构成的三角形：8个；
由4个小三角形构成的三角形：12个；
由6个小三角形构成的三角形：4个；
由8个小三角形构成的三角形：4个；
由16个小三角形构成的三角形：4个。
共有三角形32+20+8+12+4+4+4=84（个）。
10、【答案】6
【分析】不含“·”的三角形有9个，含有
“·”的三角形有3个，9-3=6（个）。
11、【答案】15
【分析】按照顺时针的方向数。
A为断点的弧：AB、AC、AD、AE、AF,5条；B为端点的弧：BC、BD、
BE、BF,4条；C为端点的弧：CD、CE、CF，3条；
D为端点的弧：DE、DF,2条；E为端点的弧：EF，
1条。
所以共有5+4+3+2+1=15（条）。
12、【答案】11
【分析】每个“角形”面积等于3，而长方形面积是35，所以在长方形中不能放12个“角形”。
如下图所示，是最多放入11个“角形”的
一种方法。
13、【答案】16
【分析】这些长方形必须包含“走进数学王国”
这6个数字。
横向的和纵向的画图如下：
横向的和纵向的可以任意搭配，所以共有4×4=16（个）。
14、【答案】14
【分析】边长为1的正方形：8个；
边长为2的正方形：5个；
边长为4的正方形：1个；
共有正方形8+5+1=14（个）。
15、【答案】27
【分析】由一块组成的：8个；由两块组成的：9个；
由三块组成的：4个；由四块组成的：4个；
由五块组成的：1个；由六块组成的：1个；
共有8+9+4+4+1+1=27（个）长方形。
16、【答案】142
【分析】方法一：
把两个小方格补上，补成9×6的长方形，再
把所有与这两个小方格有关的正方形去掉。
在9×6的长方形中，共有长方形9×6+8×5+7×4+6×3+5×2+4×1=154（个）。
和两个小方格有关的正方形有6×2=12（个）。
所以图中含有正方形154-12=142（个）。
方法二：
这个图形可以看成2个8×5的长方形叠合而成的，中间重叠了一个7×4的
长方形。
8×5的长方形中含有正方形个数：8×5+7×4+6×3+5×2+4×1=100（个）。
7×4的长方形中含有正方形个数：7×4+6×3+5×2+4×1=60（个）。
另外，在两个8×5的长方形叠合时新增两个6×6的正方形。
所以图中含有正方形100×2-60+2=142（个）
17、【答案】17
【分析】按照正方形的大小来分类：
设最小的正方形边长为1。
边长为1的正方形有2个；
边长为2的正方形有6个；
边长为4的正方形有5个；
边长为8的正方形有2个；
边长为12的正方形有1个；
边长为16的正方形有1个；
共有2+6+5+2+1+！=17（个）。
18、【答案】20
【分析】按照方向分类：正方形既有正着的，又有斜着的。
正着的正方形：
1×1的有12个；2×2的有1个；3×3的有4个；
4×4的有1个。
斜着的正方形有2个，共有12+1+4+1+2=20（个）。
19、【答案】222
【分析】先数外面的三角形边上的火柴棒：
有20×3=60（根）。
再数里面的三角形边上的火柴棒：有17×3=51（根）。
最后两个三角形之间的火柴棒：有51×2+3×3=111（根）。
所以60+51+111=222（根）
20、【答案】23
【分析】这道题很多同学认为答案是
4×5+6=26（块）。
这是受思维定势的
影响，认为图（2）中每一格都要至少
放一块。
其实，有些格不放，看起来
也是这样的。
如右图，带阴影的3块不放时，小正方形块数最少，为23块。
11。