Wilcoxon秩和检验
SAS讲义 第二十八课Wilcoxon秩和检验
第二十八课 Wilcoxon 秩和检验一、 两样本的Wilcoxon 秩和检验由Mann ，Whitney 和Wilcoxon 三人共同设计的一种检验，有时也称为Wilcoxon 秩和检验，用来决定两个独立样本是否来自相同的或相等的总体。
如果这两个独立样本来自正态分布和具有相同方差时，我们可以采用t 检验比较均值。
但当这两个条件都不能确定时，我们常替换t 检验法为Wilcoxon 秩和检验。
Wilcoxon 秩和检验是基于样本数据秩和。
先将两样本看成是单一样本（混合样本）然后由小到大排列观察值统一编秩。
如果原假设两个独立样本来自相同的总体为真，那么秩将大约均匀分布在两个样本中，即小的、中等的、大的秩值应该大约均匀被分在两个样本中。
如果备选假设两个独立样本来自不相同的总体为真，那么其中一个样本将会有更多的小秩值，这样就会得到一个较小的秩和；另一个样本将会有更多的大秩值，因此就会得到一个较大的秩和。
设两个独立样本为：第一个x 的样本容量为1n ，第二个y 样本容量为2n ，在容量为21n n n +=的混合样本（第一个和第二个）中，x 样本的秩和为x W ，y 样本的秩和为y W ，且有2)1(21+=+++=+n n n W W y x (28.1)我们定义2)1(111+-=n n W W x (28.2)2)1(222+-=n n W W y (28.3)以x 样本为例，若它们在混合样本中享有最小的1n 个秩，于是2)1(11+=n n W x ，也是x W 可能取的最小值；同样y W 可能取的最小值为2)1(22+n n 。
那么，x W 的最大取值等于混合样本的总秩和减去y W 的最小值，即2)1(2)1(22+-+n n n n ；同样，y W 的最大取值等于2)1(2)1(11+-+n n n n 。
所以，(28.2)和(28.3)式中的1W 和2W 均为取值在0与2122112)1(2)1(2)1(n n n n n n n n =+-+-+的变量。
第二十八课Wilcoxon秩和检验
同一总体中抽得的独立随机样本， x i 和 y i 构成可分辨的排列情况，可看成一排 n 个球随机地 指定 n1 个为 x 球另 n 2 个为 y 球，共有 Cn 1 种可能，而且它们是等可能的。基于这样分析，在 原假设为真的条件下不难求出 W1 和 W2 的概率分布，显然它们的分布还是相同的，这个分布 称为样本大小为 n1 和 n 2 的 Mann-Whitney-Wilcoxon 分布。 一个具有实际价值的方法是，对于每个样本中的观察数大于等于 8 的大样本来说，我们 可以采用标准正态分布 z 来近似检验。 由于 W1 的中心点为 为
(28.3)
以 x 样本为例，若它们在混合样本中享有最小的 n1 个秩，于是 W x
n1 (n1 1) ，也是 W x 可 2
能取的最小值；同样 W y 可能取的最小值为
n 2 (n 2 1) 。那么， W x 的最大取值等于混合样本 2
的 总 秩 和 减 去 Wy 的 最 小 值 ， 即
2
n1n2 ( 3 n1n2 (n1 n2 1) j j ) 12 12(n1 n2 )(n1 n2 1)
(28.6)
其中 j 第 j 个结值的个数。结值的存在将使原方差变小，这是一个显然正确的事实。标准化 后Wx 为
z
W x 0. 5
统一编秩 7 8 3.5 1 10 2 11 14
Wx
Wy
56.5
如果假定放弃预定座位旅客人数的总体是正态分布且有相等的方差，我们可以采用两样 本比较的 t 检验。但航空公司的 CEO 认为这两个假设条件不能满足，因此采用非参数的 Wilcoxon 秩和检验。将 x 组与 y 组看成是单一样本进行编秩，见表 28.1 中的第 3 列和第 5 列 所示。 ，最小值是 8 秩值为 1，最大值是 25 秩值为 17，有两个结值 10 和 11，两个 10 平均分 享秩值 3 和 4 为 3.5，两个 11 平均分享秩值 5 和 6 为 5.5。如果两组放弃预定座位的旅客人数 是相同的，那么我们期望的两组秩和 W x 和 W y 大约是相同的；如果两组放弃预定座位的旅客 人数是不相同的，那么我们期望的两组秩和 W x 和 W y 也是非常不相同的。 注意到 n1 9， n2 8， W x =96.5， W y =56.5， H 0 : 两组放弃预定座位旅客人数的分布 是相同的。标准正态分布 z 值的计算结果为
SAS系统和数据分析Wilcoxon秩和检验
第二十八课 Wilcoxon 秩和检验一、 两样本的Wilcoxon 秩和检验两样本的Wilcoxon 秩和检验是由Mann ，Whitney 和Wilcoxon 三人共同设计的一种检验，有时也称为Wilcoxon 秩和检验，用来决定两个独立样本是否来自相同的或相等的总体。
如果这两个独立样本来自正态分布和具有相同方差时，我们可以采用t 检验比较均值。
但当这两个条件都不能确定时，我们常替换t 检验法为Wilcoxon 秩和检验。
Wilcoxon 秩和检验是基于样本数据秩和。
先将两样本看成是单一样本（混合样本）然后由小到大排列观察值统一编秩。
如果原假设两个独立样本来自相同的总体为真，那么秩将大约均匀分布在两个样本中，即小的、中等的、大的秩值应该大约被均匀分在两个样本中。
如果备选假设两个独立样本来自不相同的总体为真，那么其中一个样本将会有更多的小秩值，这样就会得到一个较小的秩和；另一个样本将会有更多的大秩值，因此就会得到一个较大的秩和。
设两个独立样本为：第一个x 的样本容量为1n ，第二个y 样本容量为2n ，在容量为21n n n +=的混合样本（第一个和第二个）中，x 样本的秩和为x W ，y 样本的秩和为y W ，且有：2)1(21+=+++=+n n n W W y x (28.1)我们定义：2)1(111+-=n n W W x (28.2)2)1(222+-=n n W W y (28.3)以x 样本为例，若它们在混合样本中享有最小的1n 个秩，于是2)1(11+=n n W x ，也是xW 可能取的最小值；同样y W 可能取的最小值为2)1(22+n n 。
那么，x W 的最大取值等于混合样本的总秩和减去y W 的最小值，即2)1(2)1(22+-+n n n n ；同样，y W 的最大取值等于2)1(2)1(11+-+n n n n 。
所以，式(28.2)和式(28.3)中的1W 和2W 均为取值在0与2122112)1(2)1(2)1(n n n n n n n n =+-+-+的变量。
威尔可森符号秩检验
威尔可森符号秩检验威尔科克森符号秩检验（Wilcoxon signed-rank test）是一种非参数统计方法，用于比较成对样本的差异。
它基于样本数据的符号秩来进行推断。
以下是威尔科克森符号秩检验的基本步骤：1、假设检验：●零假设（H0）：成对样本之间没有差异（即两个样本的中位数相等）。
●对立假设（H1）：成对样本之间存在差异（即两个样本的中位数不相等）。
2、计算差异：●对每对成对样本计算差异。
●将这些差异按照绝对值大小进行排序，并为每个差异分配一个符号秩（正负号），如果有相同的差异，则取平均秩。
3、计算符号秩和：分别计算正符号秩和负符号秩的总和。
4、计算检验统计量：使用计算得到的正负符号秩和，计算检验统计量W。
5、根据检验统计量W进行假设检验：●对于小样本（n<30），可以使用查表法或精确法确定临界值，以判断是否拒绝零假设。
●对于大样本，可以使用正态近似法（z检验）进行假设检验。
威尔科克森符号秩检验用于成对样本的非参数分析，并且不要求数据满足正态分布假设。
它适用于样本大小较小或无法满足正态分布假设的情况下使用。
在Matlab中，可以使用signrank函数执行威尔科克森符号秩检验。
以下是一个示例：matlab% 假设有两组成对样本数据group1 = [5, 7, 9, 11, 13];group2 = [4, 6, 10, 12, 14];% 进行威尔科克森符号秩检验[p, h, stats] = signrank(group1, group2);% 显示结果disp(['p值：', num2str(p)]);if hdisp('拒绝零假设');elsedisp('接受零假设');enddisp(['检验统计量W：', num2str(stats.signedrank)]);disp(['样本大小n：', num2str(stats.n)]);在上述示例中，我们假设有两组成对样本数据group1 和group2，并使用signrank 函数进行威尔科克森符号秩检验。
SAS系统和数据分析Wilcoxon秩和检验
SAS系统和数据分析Wilcoxon 秩和检验第二十八课Wilcoxon秩和检验一、两样本的Wilcoxon秩和检验两样本的Wilcoxon秩和检验是由Mann，Whitney和Wilcoxon三人共同设计的一种检验，有时也称为Wilcoxon秩和检验，用来决定两个独立样本是否来自相同的或相等的总体。
如果这两个独立样本来自正态分布和具有相同方差时，我们可以采用t检验比较均值。
但当这两个条件都不能确定时，我们常替换t检验法为Wilcoxon秩和检验。
Wilcoxon秩和检验是基于样本数据秩和。
先将两样本看成是单一样本（混合样本）然后由小到大排列观察值统一编秩。
如果原假设两个独立样本来自相同的总体为真，那么秩将大约均匀分布在两个样本中，即小的、中等的、大的秩值应该大约被均匀分在两个样本中。
如果备选假设两个独立样本来自不相同的总体为真，那么其中一个样本将会有更多的小秩值，这样就会得到一个较小的秩和；另一个样本将会有更多的大秩值，因此就会得到一个较大的秩和。
设两个独立样本为：第一个x 的样本容量为1n ，第二个y 样本容量为2n ，在容量为21n n n +=的混合样本（第一个和第二个）中，x 样本的秩和为x W ，y 样本的秩和为yW ，且有： 2)1(21+=+++=+n n n W W y x (28.1)我们定义： 2)1(111+-=n n W W x (28.2)2)1(222+-=n n W W y (28.3) 以x 样本为例，若它们在混合样本中享有最小的1n 个秩，于是2)1(11+=n n W x ，也是x W 可能取的最小值；同样y W 可能取的最小值为2)1(22+nn 。
那么，xW 的最大取值等于混合样本的总秩和减去yW 的最小值，即2)1(2)1(22+-+n n n n ；同样，y W 的最大取值等于2)1(2)1(11+-+n n n n 。
所以，式(28.2)和式(28.3)中的1W 和2W 均为取值在0与2122112)1(2)1(2)1(n n nn nn n n =+-+-+的变量。
Wilcoxon秩和检验
秩和检验参数统计与非参数统计的区别：参数统计：即总体分布类型已知，用样本指标对总体参数进行推断或作假设检验的统计分析方法。
非参数统计：即不考虑总体分布类型是否已知，不比较总体参数，只比较总体分布的位置是否相同的统计方法。
下面我们将介绍非参数统计中一种常用的检验方法--秩和检验，其中“秩”又称等级、即按数据大小排定的次序号。
上述次序号的和称“秩和”，秩和检验就是用秩和作为统计量进行假设检验的方法。
二、不同设计和资料类型的秩和检验1.配对比较的资料：对配对比较的资料应采用符合秩和检验（Sighed rank test），其基本思想是：若检验假设成立，则差值的总体分布应是对称的，故正负秩和相差不应悬殊。
检验的基本步骤为：（1）建立假设；H0：差值的总体中位数为0；H1：差值的总体中位数不为0；检验水准为0.05。
（2）算出各对值的代数差；（3）根据差值的绝对值大小编秩；（4）将秩次冠以正负号，计算正、负秩和；（5）用不为“0”的对子数n及T（任取T+或T-）查检验界值表得到P值作出判断。
应注意的是当n>25时，可用正态近似法计算u值进行u检验，当相同秩次较多时u值需进行校正。
2. 两样本成组比较：两样本成组资料的比较应用Wilcoxon秩和检验，其基本思想是：若检验假设成立，则两组的秩和不应相差太大。
其基本步骤是：（1）建立假设；H0：比较两组的总体分布相同；H1：比较两组的总体分布位置不同；检验水准为0.05。
（2）两组混合编秩；（3）求样本数最小组的秩和作为检验统计量T；（4）以样本含量较小组的个体数n1、两组样本含量之差n2-n1及T值查检验界值表；（5）根据P值作出统计结论。
同样应注意的是，当样本含量较大时，应用正态近似法作u检验；当相同秩次较多时，应用校正公式计算u值。
3.多个样本比较：多个样本比较的秩和检验可用Kruskal-Wallis法，其基本步骤为：（1）建立假设；H0：比较各组总体分布相同；H1：比较各组总体分布位置不同或不全相同；检验水准为0.05。
R语言wilcoxon秩和检验及wilcoxon符号秩检验的操作
R语⾔wilcoxon秩和检验及wilcoxon符号秩检验的操作说明wilcoxon秩和及wilcoxon符号秩检验是对原假设的⾮参数检验，在不需要假设两个样本空间都为正态分布的情况下，测试它们的分布是否完全相同。
操作#利⽤mtcars数据library(stats)data("mtcars")boxplot(mtcars$mpg~mtcars$am,ylab='mpg',names = c('automatic','manual))#执⾏wilcoxon秩和检验验证⾃动档⼿动档数据分布是否⼀致wilcox.test(mpg~am,data = mtcars)#wilcox.test(mtcars$mpg[mtcars$am==0],mtcars$mpg[mtcars$am==1])（与上⾯等价）Wilcoxon rank sum test with continuity correctiondata: mpg by amW = 42, p-value = 0.001871alternative hypothesis: true location shift is not equal to 0Warning message:In wilcox.test.default(x = c(21.4, 18.7, 18.1, 14.3, 24.4, 22.8, :⽆法精確計算带连结的p值总结执⾏wilcoxon秩和检验（也称Mann-Whitney U检验）这样⼀种⾮参数检验。
t检验假设两个样本的数据集之间的差别符合正态分布（当两个样本集都符合正态分布时，t检验效果最佳），但当服从正态分布的假设并不确定时，我们执⾏wilcoxon秩和检验来验证数据集中mtcars中⾃动档与⼿动档汽车的mpg值的分布是否⼀致，p 值<0.05,原假设不成⽴。
两样本Wilcoxon秩和检验
• 检验概述 • 检验原理 • 检验步骤 • 结果解读 • 注意事项
目录
Part
01
检验概述
定义
定义
两样本Wilcoxon秩和检验是一种非参数统计检验方法，用于比较两个独立样本来自的总 体分布是否相同。
特点
该方法基于对观察值排序后赋予秩，然后利用秩次进行统计分析，对数据分布没有严格 要求，适用于非正态分布的数据。
检验依据
如果两个样本来自同一总体，则它们的秩和应该比较接近；如果两 个样本来自不同的总体，则它们的秩和应该有显著差异。
结果解释
根据计算出的秩和，可以判断两个样本是否具有统计学上的显著差 异。
Part
03
检验步骤
数据准备
收集数据
收集两个样本的数据，确 保数据来源可靠且无异常 值。
数据清洗
对数据进行清洗，处理缺 失值、异常值和离群点。
秩的பைடு நூலகம்性
秩具有传递性，即如果数据点a小 于数据点b，且数据点b小于数据点 c，则数据点a的秩小于数据点c的 秩。
秩和的概念
秩和
将两个样本的秩分别相加，即为秩和 。
秩和的特性
秩和越大，说明两个样本的数值越接 近；秩和越小，说明两个样本的数值 差异越大。
Wilcoxon秩和检验的原理
检验步骤
首先对两个样本进行配对，然后计算每对数据的差的绝对值，再 将这些绝对值转化为秩，最后计算两组秩的和。
数据转换
对数据进行适当的转换， 以符合检验的要求。
配对样本的收集与整理
配对设计
确保两个样本之间存在配对关系，即它们应该来自相同的总体或具有相似的特 征。
数据整理
将两个样本的数据整理在一起，以便进行比较和分析。
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秩和检验
参数统计与非参数统计的区别：
参数统计：即总体分布类型已知，用样本指标对总体参数进行推断或作假设检验的统计分析方法。
非参数统计：即不考虑总体分布类型是否已知，不比较总体参数，只比较总体分布的位置是否相同的统计方法。
下面我们将介绍非参数统计中一种常用的检验方法--秩和检验，其中“秩”又称等级、即按数据大小排定的次序号。
上述次序号的和称“秩和”，秩和检验就是用秩和作为统计量进行假设检验的方法。
二、不同设计和资料类型的秩和检验
1.配对比较的资料：
对配对比较的资料应采用符合秩和检验（Sighed rank test），其基本思想是：若检验假设成立，则差值的总体分布应是对称的，故正负秩和相差不应悬殊。
检验的基本步骤为：（1）建立假设；
H0：差值的总体中位数为0；
H1：差值的总体中位数不为0；检验水准为0.05。
（2）算出各对值的代数差；
（3）根据差值的绝对值大小编秩；
（4）将秩次冠以正负号，计算正、负秩和；
（5）用不为“0”的对子数n及T（任取T+或T-）查检验界值表得到P值作出判断。
应注意的是当n>25时，可用正态近似法计算u值进行u检验，当相同秩次较多时u值需进行校正。
2. 两样本成组比较：
两样本成组资料的比较应用Wilcoxon秩和检验，其基本思想是：若检验假设成立，则两组的秩和不应相差太大。
其基本步骤是：
（1）建立假设；
H0：比较两组的总体分布相同；
H1：比较两组的总体分布位置不同；检验水准为0.05。
（2）两组混合编秩；
（3）求样本数最小组的秩和作为检验统计量T；
（4）以样本含量较小组的个体数n1、两组样本含量之差n2-n1及T值查检验界值表；
（5）根据P值作出统计结论。
同样应注意的是，当样本含量较大时，应用正态近似法作u检验；当相同秩次较多时，应用校正公式计算u值。
3.多个样本比较：
多个样本比较的秩和检验可用Kruskal-Wallis法，其基本步骤为：
（1）建立假设；
H0：比较各组总体分布相同；
H1：比较各组总体分布位置不同或不全相同；检验水准为0.05。
（2）多组混合编秩；
（3）计算各组秩和Ri；
（4）利用Ri计算出检验统计量H；
（5）查H界值表或利用卡方值确定概率大小。
应注意的是当相同秩次较多时，应计算校正Hc
4.按等级分组资料或频数表资料：
这类资料的特点是无原始值，只知其所在组段，故应用该组段秩次的平均值作为其秩次，在此基础上计算秩和并进行假设检验，其步骤与两组或多组比较秩和检验相同。
需注意的是由于样本含量较多，相同秩次也较多，应用校正后的u值和H值。
三、小结
1.多个样本两两比较的秩和检验
同样的，多个样本组比较的秩和检验，如拒绝H0，只说明比较各组的总体分布位置不同或不全相同，应在此基础上进行两两比较，常用Nemenyi法。
2.秩和检验的优缺点
秩和检验的优点是（1）不受总体分布限制，适用面广；（2）适用于等级资料及两端无缺定值的资料；（3）易于理解，易于计算。
缺点是符合参数检验的资料，用秩和检验，则不能充分利用信息，检验效能低。
3.应用中的注意事项：
（1）注意应用条件；
（2）编秩时相同值要取平均秩次；
（3）相同秩次较多时，统计量要校正。