平行四边形的动点问题(尖)

平行四边形的动点问题1．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是（﹣3，0），（0，6），动点P从点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位的速度运动，同时动点C从点B 出发，沿射线BO方向以每秒2个单位的速度运动．以CP，CO为邻边构造□PCOD．在线段OP延长线上一动点E，且满足PE=AO．（1）当点C在线段OB上运动时，求证：四边形ADEC为平行四边形；（2）当点P运动的时间为32秒时，求此时四边形ADEC的周长是多少？2．如图，在▱ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，OA=5cm ，E 、F 为直线BD上的两个动点（点E 、F 始终在▱ABCD 的外面），且DE=12OD ，BF=12OB ，连接AE 、CE 、CF 、AF ．（1）求证：四边形AFCE 为平行四边形．（2）若DE=13OD ，BF=13OB ，上述结论还成立吗？由此你能得出什么结论？ （3）若CA 平分∠BCD ，∠AEC=60°，求四边形AECF 的周长．3．平行四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，若E 、F 是AC 上两动点，E 、F 分别从A 、C 两点同时以2cm/s 的相同的速度向C 、A 运动（1）四边形DEBF 是平行四边形吗？说明你的理由．（2）若BD=10cm ，AC=18cm ，当运动时间t 为多少时，以D 、E 、B 、F 为顶点的四边形为矩形．4．如图，M、N是平行四边形ABCD对角线BD上两点．（1）若BM=MN=DN，求证：四边形AMCN为平行四边形；（2）若M、N为对角线BD上的动点（均可与端点重合），设BD=12cm，点M 由点B向点D匀速运动，速度为2（cm/s），同时点N由点D向点B匀速运动，速度为a（cm/s），运动时间为t（s）．若要使四边形AMCN为平行四边形，求a 的值及t的取值范围．5．如图，在▱ABCD中，AB=2，BC=4，∠ABC=60°，E，F分别是BC，AD上的两点，且BE=DF，连AE，BF，DE，CF分别交于点G，H．（1）求证：四边形GEHF是平行四边形．（2）若E，F分别是BC，AD上的两个动点，设BE=DF=x，试推断当x等于多少时，四边形GEHF是矩形．6．如图，在四边形ABCD中，∠BAC=∠ACD=90°，∠B=∠D．（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；（2）若AB=3cm，BC=5cm，点P从B点出发，以1cm/s的速度沿BC→CD→DA 运动至A点停止，则从运动开始经过多少时间，△ABP为等腰三角形？7．如图，在△ABC中，△ECD是△ABC沿BC方向平移得到的，连接AE，AC和BE相交于点O．（1）判断四边形ABCE是怎样的四边形，并说明理由．（2）P是线段BC上一动点（不与B、C重合），连接PO并延长交线段AB于点Q，四边形PQED的面积是否随点P的运动而发生变化，请说明理由．8．已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=24cm，BC=30cm，点P自点A 向D以1cm/s的速度运动，到D点即停止．点Q自点C向B以2cm/s的速度运动，到B点即停止，直线PQ截梯形为两个四边形．问当P，Q同时出发，几秒后其中一个四边形为平行四边形？9．如图，在平面直角坐标系中，▱OABC的顶点A，C的坐标分别为（10，0），（2，4），点D是OA的中点，点P在BC上由点B向点C运动，速度为2cm/s（1）当点P运动多少秒时，四边形PCDA是平行四边形？并求此时点P的坐标；（2）当△ODP是等腰三角形时，求点P的坐标．10．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=3，AC=4，D是AC中点，CE∥BA，动点P以每秒1个单位长的速度从点B出发向点A移动，连接PD并延长交CE于点F，设点P移动时间为t秒．（1）求AB与CE间的距离；（2）t为何值时，四边形PBCF为平行四边形；（3）直接写出t为何值时，PF=3．11．如图，在▱ABCD中，AB=4，BC=8，∠B=60°，点P以每秒2个单位速度，从点B出发沿射线BA方向运动，同时直线l以每秒1个单位速度，从CD出发沿射线CB方向运动，分别交BC，AC于点G，H，连结PG，设运动的时间为t，当G 与B重合时，运动停止．（1）当t为何值时，以P，G，H，A为顶点的四边形是平行四边形；（2）在运动过程中，是否存在以P，G，H，A为顶点的四边形是正方形？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．平行四边形的动点问题参考答案与试题解析一．解答题（共11小题）1．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是（﹣3，0），（0，6），动点P从点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位的速度运动，同时动点C从点B 出发，沿射线BO方向以每秒2个单位的速度运动．以CP，CO为邻边构造□PCOD．在线段OP延长线上一动点E，且满足PE=AO．（1）当点C在线段OB上运动时，求证：四边形ADEC为平行四边形；（2）当点P运动的时间为32秒时，求此时四边形ADEC的周长是多少？【分析】（1）连接CD交AE于F，根据平行四边形的性质得到CF=DP，OF=PF，根据题意得到AF=EF，又CF=DP，根据平行四边形的判定定理证明即可；（2）根据题意计算出OC、OP的长，根据勾股定理求出AC、CE，根据平行四边形的周长公式计算即可．【解答】（1）证明：连接CD交AE于F，∵四边形PCOD是平行四边形，∴CF=DF，OF=PF，∵PE=AO，∴AF=EF，又CF=DF，∴四边形ADEC为平行四边形；（2）解：当点P运动的时间为32秒时，OP=32，OC=3，则OE=92， 由勾股定理得，AC=√OA 2+OC 2=3√2，CE=√OC 2+OE 2=32√13，∵四边形ADEC 为平行四边形， ∴周长为（3√2+32√13）×2=6√2+3√13．【点评】本题考查的是平行四边形的性质和判定、勾股定理的应用，掌握对角线互相平分的四边形是平行四边形是解题的关键，注意坐标与图形的关系的应用．2．如图，在▱ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，OA=5cm ，E 、F 为直线BD上的两个动点（点E 、F 始终在▱ABCD 的外面），且DE=12OD ，BF=12OB ，连接AE 、CE 、CF 、AF ．（1）求证：四边形AFCE 为平行四边形．（2）若DE=13OD ，BF=13OB ，上述结论还成立吗？由此你能得出什么结论？ （3）若CA 平分∠BCD ，∠AEC=60°，求四边形AECF 的周长．【分析】（1）由平行四边形的性质可知OA=OC 、OB=OD ，结合DE=12OD 、BF=12OB 可得出OE=OF ，根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”即可证出四边形AFCE 为平行四边形；（2）由DE=13OD 、BF=13OB 可得出OE=OF ，根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”即可证出四边形AFCE 为平行四边形，由此可得出原结论成立，再找出结论“若DE=1n OD ，BF=1nOB ，则四边形AFCE 为平行四边形”即可； （3）根据平行四边形的性质结合CA 平分∠BCD ，即可得出AD=CD ，进而可得出OE 是AC 的垂直平分线，再根据∠AEC=60°可得出△ACE 是等边三角形，根据OA 的长度即可得出AE 、CE 的长度，套用平行四边形周长公式即可求出四边形AECF 的周长．【解答】解：（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OA=OC ，OB=OD ．∵DE=12OD ，BF=12OB ， ∴DE=BF ，∴OE=OF ，∴四边形AFCE 为平行四边形．（2）∵DE=13OD ，BF=13OB ， ∴DE=BF ，∴OE=OF ，∴四边形AFCE 为平行四边形．∴上述结论成立，由此可得出结论：若DE=1n OD ，BF=1nOB ，则四边形AFCE 为平行四边形．（3）在▱ABCD 中，AD ∥BC ，∴∠DAC=∠BCA ．∵CA 平分∠BCD ，∴∠BCA=∠DCA ，∴∠DCA=∠DAC ，∴AD=CD ．∵OA=OC ，∴OE ⊥AC ，∴OE 是AC 的垂直平分线，∴AE=CE．∵∠AEC=60°，∴△ACE是等边三角形，∴AE=CE=AC=2OA=10cm，=2（AE+CE）=2×（10+10）=40cm．∴C四边形AECF【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、角平分线的定义以及等边三角形的判定与性质，解题的关键是：（1）根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”证出四边形AFCE为平行四边形；（2）根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”证出四边形AFCE为平行四边形；（3）根据平行四边形的性质找出△ACE 是等边三角形．3．平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若E、F是AC上两动点，E、F分别从A、C两点同时以2cm/s的相同的速度向C、A运动（1）四边形DEBF是平行四边形吗？说明你的理由．（2）若BD=10cm，AC=18cm，当运动时间t为多少时，以D、E、B、F为顶点的四边形为矩形．【分析】（1）由平行四边形ABCD中，可得OA=OC，OB=OD，又由若E、F是AC 上两动点，E、F分别从A、C两点同时以2cm/s的相同的速度向C、A运动，易得AE=CF，即可得OE=OF，则可判定四边形DEBF是平行四边形；（2）由四边形DEBF是平行四边形，可得当EF=BD时，四边形DEBF为矩形，即可得方程：18﹣2t﹣2t=10，继而求得答案．【解答】解：（1）四边形DEBF是平行四边形．理由：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD，∵E、F是AC上两动点，E、F分别从A、C两点同时以2cm/s的相同的速度向C、A运动，∴AE=CF，∴OE=OF，∴四边形DEBF是平行四边形；（2）根据题意得：AE=CF=2tcm或18﹣2tcm，∵四边形DEBF是平行四边形，∴当EF=BD时，四边形DEBF为矩形．即AC﹣AE﹣CF=BD或AE+CF﹣AC=EF，∴18﹣2t﹣2t=10或2t+2t﹣18=10，解得：t=2或t=7∴当运动时间t为2s或7s时，四边形DEBF为矩形．【点评】此题考查了平行四边形的判定与性质以及矩形的判定，正确应用矩形的判定方法得出EF=BD是解题关键．4．如图，M、N是平行四边形ABCD对角线BD上两点．（1）若BM=MN=DN，求证：四边形AMCN为平行四边形；（2）若M、N为对角线BD上的动点（均可与端点重合），设BD=12cm，点M 由点B向点D匀速运动，速度为2（cm/s），同时点N由点D向点B匀速运动，速度为a（cm/s），运动时间为t（s）．若要使四边形AMCN为平行四边形，求a 的值及t的取值范围．【分析】（1）首先连解AC，AC交BD于O，易证得AC、MN互相平分；即可判定四边形AMCN为平行四边形；（2）由要使四边形AMCN为平行四边形，即OM=ON，可得a=2；又由当M、M重合于点O ，即t=BD a+2=124=3时，则点A 、M 、C 、N 在同一直线上，不能组成四边形，且当点M 由A 运动到点D 时，t=12÷2=6，即可求得答案．【解答】（1）证明：连接AC ，交BD 于点O ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OA=OC ，OB=OD ，∵BM=DN ，∴OB ﹣BM=OD ﹣DN ，∴OM=ON ，∴四边形AMCN 为平行四边形；（2）解：要使四边形AMCN 为平行四边形，即OM=ON ，∴a=2；∵当M 、N 重合于点O ，即t=BD a+2=124=3时，则点A 、M 、C 、N 在同一直线上，不能组成四边形，且当点M 由B 运动到点D 时，t=12÷2=6，∴当0≤t ＜3或3＜t ≤6时，四边形AMCN 为平行四边形．【点评】此题考查了平行四边形的性质与判定．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．5．如图，在▱ABCD 中，AB=2，BC=4，∠ABC=60°，E ，F 分别是BC ，AD 上的两点，且BE=DF ，连AE ，BF ，DE ，CF 分别交于点G ，H ．（1）求证：四边形GEHF 是平行四边形．（2）若E ，F 分别是BC ，AD 上的两个动点，设BE=DF=x ，试推断当x 等于多少时，四边形GEHF 是矩形．【分析】（1）由平行四边形的性质得出AD∥BC，AD=BC，证明四边形FBED是平行四边形，得出BF∥ED，同理：四边形AECF是平行四边形，得出AE∥FC，即可得出结论；（2）由平行四边形的性质得出∠BAD=120°，证明△ABE是等边三角形，得出BE=DF=AB=2，证出AB=AF，得出∠ABG=∠AFG=30°，证出∠EGF=90°，即可得出四边形GEHF是矩形．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC，∴BE∥DF，∵BE=DF，∴四边形FBED是平行四边形，∴BF∥ED，即GF∥EH，同理：四边形AECF是平行四边形，∴AE∥FC，即GE∥FH，∴四边形GEHF是平行四边形；（2）解：当AE平分∠BAD，CF平分∠BCD时，BE=DF=2，四边形GEHF是矩形；理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠BAD=180°﹣∠ABC=180°﹣60°=120°，∴∠ABC=∠BAC=∠AEB=60°，∴△ABE是等边三角形，∴BE=DF=AB=2，∴AF=CE=BC﹣BE=4﹣2=2，∴AB=AF，∴∠ABG=∠AFG=30°，∴∠AGB=90°，∴∠EGF=90°，∴四边形GEHF是矩形；即当x=2时，四边形GEHF 是矩形．【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、矩形的判定；熟练掌握平行四边形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．6．如图，在四边形ABCD 中，∠BAC=∠ACD=90°，∠B=∠D ．（1）求证：四边形ABCD 是平行四边形；（2）若AB=3cm ，BC=5cm ，点P 从B 点出发，以1cm/s 的速度沿BC→CD→DA 运动至A 点停止，则从运动开始经过多少时间，△ABP 为等腰三角形？【分析】（1）利用AAS 先证明△ABC ≌△CDA ，可得AD=BC ，AB=CD ，所以可证四边形ABCD 是平行四边形；（2）利用勾股定理先求得AC 的长，再根据点P 在BC 上，点P 在CD 上，点P 在AD 上三种情况，结合等腰三角形的判定和勾股定理进行计算即可．【解答】解：（1）证明：在△ABC 和△CDA 中，∵{∠BAC =∠ACD =90°∠B =∠D AC =CA，∴△ABC ≌△CDA （AAS ），∴AD=BC ，AB=CD ，∴四边形ABCD 是平行四边形；（2）在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AC=√BC 2−AB 2=√52−32=4．设经过ts 时，△ABP 为等腰三角形．当P 在BC 上时，①BA=BP=3，即t=3时，△ABP 为等腰三角形；②BP=AP=12BC=52，即t=52时，△ABP 为等腰三角形； ③AB=AP ．过A 作AE ⊥BC ，垂足为E ，AE=AB⋅AC BC =125．在Rt△ABE中，BE=√AB2−AE2=√32−(125)2=9 5．∴BP=2BE=185，即t=185时，△ABP为等腰三角形；当P在CD上不能得出等腰三角形；当P在AD上时，只能AB=AP=3，∴BC+CD+DP=10，即t=10时，△ABP为等腰三角形．答：从运动开始经过52s或3s或185s或10s时，△ABP为等腰三角形．【点评】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，等腰三角形的判定及勾股定理等知识，注意要分情况考虑问题．7．如图，在△ABC中，△ECD是△ABC沿BC方向平移得到的，连接AE，AC和BE相交于点O．（1）判断四边形ABCE是怎样的四边形，并说明理由．（2）P是线段BC上一动点（不与B、C重合），连接PO并延长交线段AB于点Q，四边形PQED的面积是否随点P的运动而发生变化，请说明理由．【分析】（1）由△ECD是△ABC平移得到的，可得AB∥EC，AB=EC，继而可证得四边形ABCE是平行四边形；（2）易证得△AOQ≌△COP，则可得四边形QPDE的面积等于四边形ACDE的面积，继而可证得四边形PQED的面积是不随点P的运动而发生变化．【解答】解：（1）四边形ABCE是平行四边形，理由：∵△ECD是△ABC平移得到的∴AB∥EC，AB=EC，（2）不发生变化．理由：∵AE ∥BC ，∴∠QAO=∠PCO ，∵四边形ABCE 是平行四边形，∴OA=OC ，在△AOQ 和△COP 中，{∠QAO =∠PCOOA =OC ∠AOQ =∠COP，∴△AOQ ≌△COP （ASA ），∴四边形QPDE 的面积等于四边形ACDE 的面积，∴四边形PQED 的面积是不随点P 的运动而发生变化．【点评】此题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及平移的性质．此题难度适中，注意掌握平移图形的性质，注意数形结合思想的应用．8．已知：如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD=24cm ，BC=30cm ，点P 自点A 向D 以1cm/s 的速度运动，到D 点即停止．点Q 自点C 向B 以2cm/s 的速度运动，到B 点即停止，直线PQ 截梯形为两个四边形．问当P ，Q 同时出发，几秒后其中一个四边形为平行四边形？【分析】若四边形PDCQ 或四边形APQB 是平行四边形，那么QD=CQ 或AP=BQ 或PD=BQ ，根据这个结论列出方程就可以求出时间．【解答】解：设P ，Q 同时出发t 秒后四边形PDCQ 或四边形APQB 是平行四边形，根据已知得到AP=t ，PD=24﹣t ，CQ=2t ，BQ=30﹣2t ．（1）若四边形PDCQ 是平行四边形，则PD=CQ ，∴24﹣t=2t ，∴t=8，∴8秒后四边形PDCQ 是平行四边形；（2）若四边形APQB 是平行四边形，则AP=BQ ，∴t=30﹣2t ，∴t=10，∴10秒∴出发后10秒或8秒其中一个是平行四边形．【点评】此题主要考查了平行四边形的性质与判定，不过用运动的观点结合梯形的知识出题学生不是很适应．9．如图，在平面直角坐标系中，▱OABC 的顶点A ，C 的坐标分别为（10，0），（2，4），点D 是OA 的中点，点P 在BC 上由点B 向点C 运动，速度为2cm/s（1）当点P 运动多少秒时，四边形PCDA 是平行四边形？并求此时点P 的坐标；（2）当△ODP 是等腰三角形时，求点P 的坐标．【分析】由四边形OABC 是平行四边形，得到OA=BC ，OA ∥BC ，于是得到OA=10，OE=AF=2，得到OD=AD=12OA=5， （1）根据四边形PCDA 是平行四边形，得到PC=AD ，即10﹣2t=5，解方程即可得到结论；（2）如图2，分三种情况①当PD=OD=5时，过P 作PE ⊥OA 于E ，则PE=4，得到DE=3，求出P 1（8，4），②当PD=OP 时，过P 作PF ⊥OA 于F ，则PF=4，OF=52，得到P 3（52，4）；③当PO=OD=5时，过P 作PG ⊥OA 于G ，则PG=4，得到P 2（3.4）． 【解答】解：如图1，过C 作CE ⊥OA 于E ，过B 作BF ⊥OA 于F ，∵四边形OABC 是平行四边形，∴OA=BC ，OA ∥BC ，∵A ，C 的坐标分别为（10，0），（2，4），∴OA=10，OE=AF=2，∴BC=10，∵点D 是OA 的中点，∴OD=AD=12OA=5，（1）设点P 运动t 秒时，四边形PCDA 是平行四边形，由题意得：PC=10﹣2t ，∵四边形PCDA 是平行四边形，∴PC=AD ，即10﹣2t=5，∴t=52，∴当点P 运动52秒时，四边形PCDA 是平行四边形；∴P （92，4）；（2）如图2，①当PD=OD=5时，过P 作PE ⊥OA 于E ，则PE=4，∴DE=3，∴P 1（8，4），②当PD=OP 时，过P 作PF ⊥OA 于F ，则PF=4，OF=52，∴P 3（52，4）；③当PO=OD=5时，过P 作PG ⊥OA 于G ，则PG=4，∴OG=3，∴P 2（3.4），综上所述：当△ODP 是等腰三角形时，点P 的坐标为（8，4），（52，4），（3.4）．【点评】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，熟练掌握平行四边形的性质世界的推根据．10．如图，Rt △ABC 中，∠ACB=90°，BC=3，AC=4，D 是AC 中点，CE ∥BA ，动点P 以每秒1个单位长的速度从点B 出发向点A 移动，连接PD 并延长交CE 于点F ，设点P 移动时间为t 秒．（1）求AB 与CE 间的距离；（2）t 为何值时，四边形PBCF 为平行四边形；（3）直接写出t 为何值时，PF=3．【分析】（1）根据勾股定理，可得AB 的长，根据面积的不同表示方法，可得答案；（2）根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可得答案；（3）根据平行四边形的判定与性质，可得52；根据等腰三角形的性质，平行四边形的性质，全等三角形的性质，可得t=4.3．【解答】解：（1）如图，作CH ⊥AB 于点H ，∵BC=3，AC=4，∴根据勾股定理得：AB=√BC 2+AC 2=5，∴12AB•CH=12AC•BC ，即12×5×CH=12×4×3，∴CH=125， 则AB 与CE 间的距离为125； （2）∵D 是AC 中点，∴当P 为AB 中点时，PD ∥BC ， 又∵CE ∥BA ，∴四边形PBCF 为平行四边形，此时PB=12AB ，即t=52； （3）∵EC ∥AB ，∴∠A=∠FCD ，∠APD=∠CFD ． 在△ADP 和△CDF 中，{∠A =∠FCD ∠APD =∠CFD AD =CP∴△ADP ≌△CDF ，FD=DP=32=12BC ， ∴P 是AB 的中点，PB=52，即t=52； 作FH ∥BC ，FG ⊥AB 于G ，如图1， ∵EC ∥AB ，∴∠A=∠FCD ，∠APD=∠CFD ． 在△ADP 和△CDF 中，{∠A =∠FCD ∠APD =∠CFD AD =CP∴△ADP ≌△CDF ，AP=FC ．∵FH ∥BC ，FC ∥HB ，∴FH=BC=PF=3，HB=FC=AP．∵FG=AC⋅BCAB=125=2.4．HG=√HB2−FG2=√32−(2.4)2=1.8，PH=2HG=3.6．HB=AP=5−3.62=0.7，PB=AB﹣AP=5﹣0.7=4.3，即t=4.3，综上所述：t的值为52，4.3．【点评】此题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解本题的关键．11．如图，在▱ABCD中，AB=4，BC=8，∠B=60°，点P以每秒2个单位速度，从点B出发沿射线BA方向运动，同时直线l以每秒1个单位速度，从CD出发沿射线CB方向运动，分别交BC，AC于点G，H，连结PG，设运动的时间为t，当G 与B重合时，运动停止．（1）当t为何值时，以P，G，H，A为顶点的四边形是平行四边形；（2）在运动过程中，是否存在以P，G，H，A为顶点的四边形是正方形？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）当PA=GH时，以P，G，H，A为顶点的四边形是平行四边形，列出方程即可解决．（2）不存在，根据（1）中的两种情形进行证明．【解答】解：（1）当PA=GH时，以P，G，H，A为顶点的四边形是平行四边形，如图取BC中点M，连接AM，∵AB=4，BM=MC=4，∠ABC=60°，∴△ABM 是等边三角形，∴AM=MC=4，∠AMB=60°，∴∠MAC=∠MCA ，∵∠AMB=∠MAC +∠MCA ，∴∠BCA=30°，∴∠BAC=90°，∵AB ∥GH ，∴∠GHC=∠BAC=90°∵PA=4﹣2t 或2t ﹣4，GH=12CG=12t 由题意：4﹣2t=12t 或2t ﹣4=12t ， t=85或83， （2）不存在．理由如下：由（1）可知①t=85时 四边形APGH 是平行四边形， ∵∠PAH=90°，∴四边形APGH 是矩形，∵GH=45，PG=16√35， ∴GH ≠PG ，∴四边形APGH 不是正方形．②t=83时，点P 在BA 的延长线上，四边形PAGH 显然不是正方形．【点评】本题考查平行四边形的判定和性质、正方形的判定和性质，解决问题的关键是用方程的思想思考问题，属于中考常考题型．。