向量点乘(内积)和叉乘(外积、向量积)概念及几何意思解读
(完整word版)向量的点乘和叉乘,以及几何意义
所谓点乘（也常称作内积），数学定义如下：点乘只是表达这个结果的一种方式，符号不重要，叫法也不重要，我可以叫点乘，内积，也可以叫"相乘"，定义"#"字符代替“·” 符号都可以，只是人们约束习惯这么这么写，那我们就也都这么写。
而且，也不要纠结为什么是这么定义，没有为什么，人们就是这么“龟腚”这个公式的，我们要研究的是这个规定到底能干嘛？有啥具体意义？a.点乘的具体几何意义：根据公式，我们可以得出a·b=|a| |b|cosθ我试着证明为什么会是这样（为了能让大家看的方便，我将向量标为蓝色，具体长度标为红色）：定义向量c=a - b这样就形成了一个封闭的三角形，c向量为他的第三边由于余弦定理我们可以知道c² =a² +b² - 2ab cos(θ) (这里的a,b,c全部都是每一边的具体长度)根据定义我们可以推导出c·c=c²(有兴趣的朋友可以去试着推导一下)所以：c·c=a·a+b·b- 2ab cos(θ)因为向量的点乘满足分配率：a·(b+c)=a·b+a·cc=a - bc·c=(a -b)·(a - b)c·c=(a·a-2a·b+b·b)(a·a - 2a·b + b·b)=a²+b²- 2ab cos(q)约掉a·a=a²,b·b=b²;-2a·b= -2ab cos(θ)a·b=ab cos(θ)因为a=|a|所以a·b=|a| |b|cosθ跟据这个公式，我们能拿到两个向量之间的夹角，这对于判断两个向量是否同一方向，是否正交(也就是垂直)，很有用处。
两向量相乘的几何意义
两向量相乘的几何意义一、两向量相乘的几何意义向量相乘有两种，一种是点积（数量积），一种是叉积（向量积），它们的几何意义可有趣啦。
先说说点积吧。
想象一下你有两个向量，就像两根带箭头的小棍儿。
这两个向量的点积呢，它的几何意义和这两个向量的长度以及它们之间的夹角有关系哦。
如果这两个向量的夹角是0度，也就是它们方向差不多一样的时候，点积就等于这两个向量长度的乘积。
就好像两个小伙伴朝着同一个方向努力，力量叠加起来就很强。
打个比方，你在推一个箱子，你沿着箱子要移动的方向用力，这个力做的功就可以用向量的点积来计算呢。
要是这两个向量夹角是90度，也就是垂直的时候，点积就是0啦。
这就好比你往旁边推一个要往前移动的箱子，你的力对箱子往前移动这个事儿可没做什么贡献，是不是很有意思呢？而且从几何角度看，向量a和向量b的点积等于向量a的长度乘以向量b在向量a方向上的投影长度。
这个投影长度就像是向量b在向量a身上的影子一样。
再说说叉积。
叉积得到的结果是一个新的向量哦。
这个新向量的方向和原来的两个向量都垂直，就像在空中竖起了一个新的小棍儿。
它的长度等于这两个向量的长度相乘再乘以这两个向量夹角的正弦值。
这个几何意义可以用来求平行四边形的面积呢。
假如有一个平行四边形，它的相邻两边就是两个向量，那么这个平行四边形的面积就等于这两个向量叉积的模长。
你可以想象一下，把这两个向量当成一个可以变形的框架，叉积算出的这个面积就是这个框架围起来的大小。
而且这个叉积的方向还遵循右手定则，就像你用右手去握住一个东西，大拇指的方向就是叉积向量的方向，是不是很神奇呀？向量相乘的几何意义在很多地方都超级有用。
在物理里，计算力和位移的关系、磁场和电流的关系等都会用到向量相乘的知识。
在计算机图形学里，计算光照效果、物体的旋转等也离不开向量相乘的几何意义。
反正就是说，向量相乘的几何意义就像是一把神奇的钥匙，能打开很多数学和其他学科里问题的大门呢。
向量点乘(内积)和叉乘(外积、向量积)概念及几何意义解读
概念向量是由n个实数组成的一个n行1列（n*1）或一个1行n列（1*n）的有序数组；向量的点乘，也叫向量的内积、数量积，对两个向量执行点乘运算，就是对这两个向量对应位一一相乘之后求和的操作，点乘的结果是一个标量。
点乘公式对于向量a和向量b：a和b的点积公式为：要求一维向量a和向量b的行列数相同。
点乘几何意义点乘的几何意义是可以用来表征或计算两个向量之间的夹角，以及在b向量在a 向量方向上的投影，有公式：推导过程如下，首先看一下向量组成：定义向量：根据三角形余弦定理有：根据关系c=a-b（a、b、c均为向量）有：即：向量a，b的长度都是可以计算的已知量，从而有a和b间的夹角θ：根据这个公式就可以计算向量a和向量b之间的夹角。
从而就可以进一步判断这两个向量是否是同一方向，是否正交(也就是垂直)等方向关系，具体对应关系为：a·b>0 方向基本相同，夹角在0°到90°之间a·b=0 正交，相互垂直a·b<0 方向基本相反，夹角在90°到180°之间叉乘公式两个向量的叉乘，又叫向量积、外积、叉积，叉乘的运算结果是一个向量而不是一个标量。
并且两个向量的叉积与这两个向量组成的坐标平面垂直。
对于向量a和向量b：a和b的叉乘公式为：其中：根据i、j、k间关系，有：叉乘几何意义在三维几何中，向量a和向量b的叉乘结果是一个向量，更为熟知的叫法是法向量，该向量垂直于a和b向量构成的平面。
在3D图像学中，叉乘的概念非常有用，可以通过两个向量的叉乘，生成第三个垂直于a，b的法向量，从而构建X、Y、Z坐标系。
如下图所示：在二维空间中，叉乘还有另外一个几何意义就是：aXb等于由向量a和向量b构成的平行四边形的面积。
向量的点积与叉积的区别及应用
向量的点积与叉积的区别及应用简介向量是一种在数学和物理中常用的概念。
在向量运算中，点积和叉积是两个基本运算。
本文将介绍向量的点积与叉积的区别，并探讨它们在实际应用中的不同用途。
向量的点积向量的点积，也称为内积，是两个向量乘积的数量积。
点积的计算公式为：A · B = |A| |B| cosθ，其中A和B分别表示两个向量的模，θ表示两个向量之间的夹角。
点积的结果是一个标量，即一个实数。
点积的应用广泛，其中一种重要的应用是计算向量之间的夹角。
通过计算点积，可以判断两个向量之间的相似程度或者正交关系。
点积还可以用于计算向量在某一方向上的投影长度，或者计算平面或空间中的面积、体积等。
向量的叉积向量的叉积，也称为外积或向量积，是两个向量的乘积得到的另一个向量。
叉积的计算公式为：A × B = |A| |B| sinθ n，其中A和B分别表示两个向量的模，θ表示两个向量之间的夹角，n表示一个与A和B都垂直的单位向量。
叉积的结果是一个向量，其方向垂直于原先的两个向量，并符合右手法则。
叉积的大小表示两个向量之间的面积，并且可用于判断两个向量的方向关系。
应用向量的点积和叉积在物理学、几何学等领域有广泛的应用。
点积的应用包括：- 计算向量之间的夹角- 计算向量在某一方向上的投影长度- 计算平面或空间中的面积、体积等叉积的应用包括：- 判断两个向量的方向关系- 计算两个向量张成的平行四边形的面积- 计算力学中的力矩、力偶等总结向量的点积和叉积是两种不同的向量运算。
点积是两个向量的数量积，结果是一个标量；而叉积是两个向量的向量积，结果是一个向量。
这两个运算在实际应用中具有各自的用途和意义，可以用于计算夹角、投影长度、面积、力矩等。
了解和掌握向量的点积和叉积的概念及应用，对于数学和物理学等领域的学习和研究都具有重要意义。
向量的数量积与叉积的几何意义和向量积的应用
向量的数量积与叉积的几何意义和向量积的应用向量是数学中的重要概念，它可以用来表示物体在空间中的方向和大小。
在向量的运算中，数量积和叉积是两个重要的运算符号。
它们分别具有不同的几何意义和应用。
首先，我们来讨论向量的数量积。
数量积又称为点积或内积，它是两个向量的乘积与两个向量夹角的余弦值的乘积。
数量积的几何意义是两个向量在同一方向上的投影的乘积。
具体来说，设向量A和向量B的数量积为A·B，它的计算公式为A·B=|A||B|cosθ，其中|A|和|B|分别表示向量A和向量B的模长，θ表示两个向量的夹角。
数量积的几何意义可以通过几何图形来理解。
假设有两个向量A和B，它们的数量积为正值时，表示两个向量的夹角小于90度，它们的方向相近；当数量积为负值时，表示两个向量的夹角大于90度，它们的方向相反；当数量积为零时，表示两个向量垂直，它们的方向互相垂直。
这种几何意义可以应用于求解两个向量之间的夹角、判断向量的正交性等问题。
接下来，我们来讨论向量的叉积。
叉积又称为向量积或外积，它是两个向量的乘积与两个向量夹角的正弦值的乘积。
叉积的几何意义是两个向量所确定的平行四边形的面积的大小和方向。
具体来说，设向量A和向量B的叉积为A×B，它的计算公式为A×B=|A||B|sinθn，其中|A|和|B|分别表示向量A和向量B的模长，θ表示两个向量的夹角，n表示两个向量所确定平行四边形的法向量。
叉积的几何意义可以通过几何图形来理解。
假设有两个向量A和B，它们的叉积的模长表示两个向量所确定平行四边形的面积，方向则由右手定则确定。
具体来说，将右手的四指指向向量A的方向，然后将四指旋转到向量B的方向，大拇指的方向就是叉积的方向。
这种几何意义可以应用于求解平行四边形的面积、判断向量的平行性等问题。
除了几何意义之外，向量的叉积还有一些重要的应用。
首先，叉积可以用来求解平面的法向量。
设平面上有两个非零向量A和B，它们的叉积A×B就是平面的法向量。
向量的点积和叉积
向量的点积和叉积向量的点积和叉积向量是学习线性代数和几何代数不可或缺的基本概念。
向量的运算主要包括加法、数乘、点积和叉积等。
在本文中，我们将探讨向量的点积和叉积。
向量的点积向量的点积（英文名称：dot product），又称内积、数量积、点乘等，是向量运算中的一种二元运算，将两个向量a、b的数量相乘再求和的值，公式表示为：a·b=|a||b|cosθ。
其中，|a|和|b|分别代表两向量的模长，θ表示两向量之间夹角。
从几何上看，点积在两个向量之间产生的结果可以表示为：a·b=|a||b|cosθ，a·b的结果大小为向量a在向量b的投影与向量b的模长的乘积。
下面我们来看一下向量的点积如何计算。
例如，有两个向量a=[2, 3]和b=[4, 5]，它们的点积计算公式为：a·b=2×4+3×5=23。
这里需要注意的是，两向量之间的夹角θ要满足一定条件才能进行点积的计算。
具体来说，两向量必须处于同一平面，并且夹角θ范围在0到180度之间。
向量的点积具有一些有用的性质。
性质1：点积的交换律。
即a·b=b·a。
性质2：点积在数乘运算下是可满足的。
即k(a·b)=(ka)·b=a·(kb)，其中k为任意实数。
性质3：如果向量a·b=0，则向量a与向量b垂直。
性质4：如果向量a·b>0，则向量a与向量b的夹角小于90度。
性质5：如果向量a·b<0，则向量a与向量b的夹角大于90度。
这些性质在向量的点积运算中是非常有用的。
根据点积的性质，我们可以计算夹角、判断向量之间的垂直和平行关系等。
向量的叉积向量的叉积（英文名称：cross product），又称向量积、外积等，是向量运算中的一种二元运算，用于求两个向量所在平面与这个平面垂直的向量。
通常用×表示，公式表示为：a×b=|a||b|sinθn。
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【最新整理，下载后即可编辑】概念向量是由n个实数组成的一个n行1列（n*1）或一个1行n列（1*n）的有序数组；向量的点乘，也叫向量的内积、数量积，对两个向量执行点乘运算，就是对这两个向量对应位一一相乘之后求和的操作，点乘的结果是一个标量。
点乘公式对于向量a和向量b：a和b的点积公式为：要求一维向量a和向量b的行列数相同。
点乘几何意义点乘的几何意义是可以用来表征或计算两个向量之间的夹角，以及在b向量在a向量方向上的投影，有公式：推导过程如下，首先看一下向量组成：定义向量：根据三角形余弦定理有：根据关系c=a-b（a、b、c均为向量）有：即：向量a，b的长度都是可以计算的已知量，从而有a和b间的夹角θ：根据这个公式就可以计算向量a和向量b之间的夹角。
从而就可以进一步判断这两个向量是否是同一方向，是否正交(也就是垂直)等方向关系，具体对应关系为：a·b>0 方向基本相同，夹角在0°到90°之间a·b=0 正交，相互垂直a·b<0 方向基本相反，夹角在90°到180°之间叉乘公式两个向量的叉乘，又叫向量积、外积、叉积，叉乘的运算结果是一个向量而不是一个标量。
并且两个向量的叉积与这两个向量组成的坐标平面垂直。
对于向量a和向量b：a和b的叉乘公式为：其中：根据i、j、k间关系，有：叉乘几何意义在三维几何中，向量a和向量b的叉乘结果是一个向量，更为熟知的叫法是法向量，该向量垂直于a和b向量构成的平面。
在3D图像学中，叉乘的概念非常有用，可以通过两个向量的叉乘，生成第三个垂直于a，b的法向量，从而构建X、Y、Z坐标系。
如下图所示：在二维空间中，叉乘还有另外一个几何意义就是：aXb等于由向量a和向量b构成的平行四边形的面积。
向量的点乘和叉乘以及几何意义
向量的点乘和叉乘以及几何意义一、向量的点乘1.定义：向量的点乘，又称为数量积或内积，是两个向量之间的一种乘法运算。
对于两个n维向量a和b，它们的点乘定义为a·b = ，a，b，cosθ，其中，a，和，b，分别表示向量a和b的模的大小，θ表示a和b之间的夹角。
2.计算方法：（1）向量坐标表示计算方法：如果a=(a₁,a₂,...,aₙ)和b=(b₁,b₂,...,bₙ)是两个n维向量，它们的点乘可以用下面的公式来计算：a·b=a₁b₁+a₂b₂+...+aₙbₙ。
（2）向量模和夹角计算方法：如果，a，和，b，分别是向量a和b的模的大小，θ是向量a和b之间的夹角，则向量的点乘可以用下面的公式来计算：a·b = ，a，b，cosθ。
3.几何意义：（1）判断两个向量是否相互垂直：如果两个向量的点乘结果为0，即a·b=0，那么这两个向量相互垂直。
（2）计算向量在一些方向上的投影：如果向量a的模为，a，θ是a与b之间的夹角，那么向量a在向量b的方向上的投影长度为，a，cosθ。
（3）计算两个向量之间的夹角：如果向量a和b的点乘为a·b = ，a，b，cosθ，那么两个向量之间的夹角θ可以通过反余弦函数计算：θ = arccos(a·b / ，a，b，)。
二、向量的叉乘1.定义：向量的叉乘，又称为向量积或外积，是两个三维向量之间的一种乘法运算。
对于两个三维向量a和b，它们的叉乘定义为a×b = ，a，b，sinθn，其中，a，和，b，分别表示向量a和b的模的大小，θ表示a和b之间的夹角，n表示与a和b所在平面垂直的单位向量。
2.计算方法：向量的叉乘的计算可以利用行列式的方法进行计算：a×b=，ijk，，a₁a₂a₃，，b₁b₂b₃，其中，ijk，表示三个单位向量i、j、k所组成的行列式，a₁、a₂、a₃和b₁、b₂、b₃分别表示向量a和b的坐标。
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概念
向量是由n个实数组成的一个n行1列（n*1）或一个1行n列（1*n）的有序数组；
向量的点乘，也叫向量的内积、数量积，对两个向量执行点乘运算，就是对这两个向量对应位一一相乘之后求和的操作，点乘的结果是一个标量。
点乘公式
对于向量a和向量b：
a和b的点积公式为：
要求一维向量a和向量b的行列数相同。
点乘几何意义
点乘的几何意义是可以用来表征或计算两个向量之间的夹角，以及在b向量在a 向量方向上的投影，有公式：
推导过程如下，首先看一下向量组成：
定义向量：
根据三角形余弦定理有：
根据关系c=a-b（a、b、c均为向量）有：
即：
向量a，b的长度都是可以计算的已知量，从而有a和b间的夹角θ：
根据这个公式就可以计算向量a和向量b之间的夹角。
从而就可以进一步判断这两个向量是否是同一方向，是否正交(也就是垂直)等方向关系，具体对应关系为：
a·b>0 方向基本相同，夹角在0°到90°之间
a·b=0 正交，相互垂直
a·b<0 方向基本相反，夹角在90°到180°之间
叉乘公式
两个向量的叉乘，又叫向量积、外积、叉积，叉乘的运算结果是一个向量而不是一个标量。
并且两个向量的叉积与这两个向量组成的坐标平面垂直。
对于向量a和向量b：
a和b的叉乘公式为：
其中：
根据i、j、k间关系，有：
叉乘几何意义
在三维几何中，向量a和向量b的叉乘结果是一个向量，更为熟知的叫法是法向量，该向量垂直于a和b向量构成的平面。
在3D图像学中，叉乘的概念非常有用，可以通过两个向量的叉乘，生成第三个垂直于a，b的法向量，从而构建X、Y、Z坐标系。
如下图所示：
在二维空间中，叉乘还有另外一个几何意义就是：aXb等于由向量a和向量b构成的平行四边形的面积。