分式的基本性质
初中数学《分式的基本性质》教案
初中数学《分式的基本性质》教案一、教学内容本节课选自初中数学教材第九章第二节，主要详细讲解分式的基本性质。
内容包括分式的定义、分式的基本性质、分式的简化以及分式在生活中的应用等。
二、教学目标1. 理解并掌握分式的定义，能够识别并运用分式的基本性质。
2. 学会简化分式，并能运用简化后的分式解决实际问题。
3. 培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力，激发学生对数学学习的兴趣。
三、教学难点与重点教学难点：分式的基本性质的理解与应用。
教学重点：分式的定义、简化分式的方法以及分式的实际应用。
四、教具与学具准备1. 教具：黑板、粉笔、教学课件。
2. 学具：学生用书、练习本、计算器。
五、教学过程1. 实践情景引入利用生活中的例子（如水果分配、时间计算等）引出分式的概念。
2. 知识讲解（1）分式的定义：讲解分式的构成，分子、分母、分数线等。
（2）分式的基本性质：讲解分式的分子分母同乘（除）一个不等于0的数，分式的值不变。
（3）简化分式：讲解如何将分式简化，并举例说明。
3. 例题讲解结合教材例题，详细讲解分式的简化过程。
4. 随堂练习（1）让学生独立完成练习题，巩固分式的简化方法。
（2）小组讨论，解决实际问题，培养学生的合作意识。
5. 课堂小结六、板书设计1. 分式的定义2. 分式的基本性质3. 简化分式的步骤4. 例题及解答七、作业设计1. 作业题目2x^2 / 4x, (x+1)^2 / (x+1), 6x^3 / 3x^2（2）运用分式的性质，解决实际问题。
2. 答案（1）简化后的分式分别为：x / 2, x+1, 2x（2）实际问题答案根据具体情况而定。
八、课后反思及拓展延伸2. 拓展延伸：引导学生探索分式在生活中的其他应用，提高学生的创新意识和应用能力。
重点和难点解析1. 分式的基本性质的理解与应用。
2. 简化分式的方法。
3. 实际问题的解决。
4. 板书设计。
5. 作业设计与答案。
一、分式的基本性质的理解与应用分式的分子分母同乘（除）一个不等于0的数，分式的值不变。
分式的基本性质
在研究溶液的酸碱度时，分式经常被用来表示氢离子浓度和溶液的酸碱度之间的关系，帮 助我们更好地理解溶液的酸碱性质。
在数学中的应用
极限
在研究函数的极限时，分式经常被用 来表示函数的极限值和自变量之间的 关系，帮助我们更好地理解函数的极 限概念和性质。
导数
在研究函数的导数时，分式经常被用 来表示函数的导数值和自变量之间的 关系，帮助我们更好地理解函数的导 数概念和性质。
分式与分数的转换方法
将分式转换为分数
将分式的分子和分母分别表示为两个整数的比值，然后将它们转换为分数。
将分数转换为分式
将分数中的分子和分母分别表示为两个整数的比值，然后将它们转换为分式。
分式与分数的运算关系
加减法
分式与分数的加减法运算需要将 分母相同的分式进行合并，然后 将分子相加减。
乘法
分式与分数的乘法运算需要将分 子与分子相乘，分母与分母相乘 ，然后将结果相乘。
2023
分式的基本性质
目 录
• 分式概念 • 分式的基本性质 • 分式的特殊情况 • 分式与分数的关系 • 分式的实际应用
01
分式概念
分式的定义
定义
分式是不同于整式的另一种代数 形式，通常由一个分母和一个或 多个分子组成。分母通常是一个 整式，分子可以是整式或多项式 。
数学符号表示
一般用"f(x)/g(x)"表示一个分式 ，其中f(x)是分子，g(x)是分母。
简单分式与复合分式
根据分式的结构，将分式分为简单分式和复合分式。简单分式是指分子和分母没有公因式的分式；复合分式是指分子和分 母有公因式的分式。
分式的作用与意义
描述关系
分式常用于描述两个量之间的比例关系，这种关系在科学、工 程、经济和其他领域中非常重要。
分式的基本性质
根据分式的基本性质，可以得到：
a a b b
a a b b
这就是说，分子与分母同时改变符号，分式的值不变。
根据有数的除法法则，我们知道：
2 2 3 3
分式也有类似法则：
2 2 3 3
a a b b
a a b b
这就是说，只改变分子（或分母）的符号，分子本身的符号也要改 变，分式的值才不变。
x y （3） （4） ax 5 y ( x y) bx
分析：分子或分母符号的改变相当于分子与分母的商的符号的改变，可通过改 变分式本身的符号，使分式的值不变。当分子或分母是多项式时，应改变整个 分子或分母的符号，而不是仅仅变第一项的符号。
例题2 不改变分式的值，把下列分式 的分子与分母的各项系数都化为整数：
（1）
x x2 4
（2）
x 1 1 x x2
分析：要使分式的分子与分母的最高次项的系数为正数，一般先将分子，分母 的多项式按降幂排列，如果分子，分母的首项是负数，那么就提出负号，然后 按符号法则运算。
（1）2 a
2 a b 3 2 b 3
（2） 0.01x 0.5 0.3 x 0.04
分析：要把分子，分母的各项系数都化为整数，首先要求出分子，分母中所有 分数的分母的最小公倍数，然后根据分式的基本性质，将分子，分母同乘以这 个最小公倍数。
例题3 不改变分式的值，使下列分式的 分子与分母的最高次项的系数都为正数：
①分子与分母同时改变符号， 分式的值不变。 ②只改变分子（或分母）的 符号，分子本身的符号也要 改变，分式的值才不变。
概括：分子，分母与分式本身 的符号，改变其中任何两个， 分式的值不变。
分式的基本性质教学反思6篇
分式的基本性质教学反思6篇（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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分式的基本性质
分式的基本性质分式是数学中常见的一种表示形式，它可以表示两个数之间的比例或者部分与整体之间的关系。
在分式中，有一些基本的性质需要我们了解和掌握。
本文将介绍分式的基本性质，并通过具体的例子来加深理解。
1. 分式的定义分式是由分子和分母构成的数字表达形式。
分子表示被分割的部分，分母表示整体的数量或者大小。
分式通常用斜线表示分子和分母的关系，例如a/b。
2. 分式的约束条件分式在表示数值时需要满足一定的约束条件：•分子和分母必须是实数。
•分母不能为零，否则分式无意义。
3. 分式的简化对于一个分式而言，如果它的分子和分母存在一个公因数，那么我们可以将其约分为一个最简分式。
简化一个分式的好处在于更好地理解和计算分式的值。
例如，对于分式12/18，我们可以将其约分为最简分式2/3。
这是因为12和18都可以被6整除。
4. 分式的乘法和除法运算分式的乘法运算是指将两个分式相乘得到一个新的分式。
乘法运算中需要注意以下几点：•分子与分子相乘，分母与分母相乘。
•若两个分式的分子和分母都可以约分，则先约分再相乘。
例如，计算分式3/5 * 4/7：3/5 * 4/7 = (3*4)/(5*7) = 12/35分式的除法运算是指将一个分式除以另一个分式得到一个新的分式。
除法运算中需要注意以下几点：•分子与除数的分子相乘，分母与除数的分母相乘。
•若除数的分子和分母都可以约分，则先约分再相乘。
例如，计算分式5/8 ÷ 2/3：5/8 ÷ 2/3 = (5/8) * (3/2) = (5/8 * 3/2) = (5*3) / (8*2) = 15/165. 分式的加法和减法运算分式的加法运算是指将两个分式相加得到一个新的分式。
加法运算中需要注意以下几点：•将两个分式的分母取公倍数，然后将各自的分子相加。
•若得到的分子与分母都可以约分，则约分为最简分式。
例如，计算分式1/4 + 1/3：1/4 + 1/3 = (1*3 + 1*4) / (4*3) = 7/12分式的减法运算是指将一个分式减去另一个分式得到一个新的分式。
《分式的基本性质》 知识清单
《分式的基本性质》知识清单一、分式的概念形如\（＼frac{A}｛B}＼）（＼（A\）、＼（B\）是整式，且\（B\）中含有字母，＼（B≠0\））的式子叫做分式。
其中\（A\）叫做分子，＼（B\）叫做分母。
例如：＼（＼frac{x}｛y}＼），＼（＼frac{1}｛x ＋ 2}＼），＼（＼frac{m 1}｛m^2 ＋ 1}＼）等都是分式。
需要注意的是：1、分式的分母中必须含有字母。
2、分母的值不能为零，否则分式无意义。
二、分式有意义的条件分式有意义的条件是分母不为零。
例如，对于分式\（＼frac{x}｛y}＼），当\（y≠0\）时，分式有意义。
对于分式\（＼frac{1}｛x ＋ 2}＼），当\（x ＋2≠0\），即\（x≠ 2\）时，分式有意义。
三、分式的值为零的条件分式的值为零，需要同时满足两个条件：1、分子为零。
2、分母不为零。
例如，对于分式\（＼frac{x 1}｛x ＋ 1}＼），当\（x 1 ＝ 0\）且\（x ＋1≠0\）时，分式的值为零。
解得\（x ＝ 1\）。
四、分式的基本性质分式的基本性质：分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于\（0\）的整式，分式的值不变。
用式子表示为：＼（＼frac{A}｛B} ＝＼frac{A×C}｛B×C}＼），＼（＼frac{A}｛B} ＝＼frac{A÷C}｛B÷C}＼）（＼（C≠0\））例如：＼（＼frac{x}｛y} ＝＼frac{x×2}｛y×2} ＝＼frac{2x}｛2y}＼）五、约分约分是把一个分式的分子与分母的公因式约去。
约分的关键是确定分子和分母的公因式。
找公因式的方法：1、系数：取分子和分母系数的最大公因数。
2、字母：取相同字母的最低次幂。
例如：对分式\（＼frac{6xy}｛9x^2}＼）进行约分。
先确定系数的最大公因数为\（3\），字母\（x\）的最低次幂为\（1\），＼（y\）的最低次幂为\（1\）。
第16节-分式的基本性质
分式的基本性质一、分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变. 用式子表示是：MB MA B A M B M A B A ÷÷=⨯⨯=,（其中M 是不等于零的整式）. 与分数类似，根据分式的基本性质，可以对分式进行约分和通分. 二、实践与探索例1、下列等式的右边是怎样从左边得到的？（1）22x xy x y x x ++=（2）1121122-++=-+y y y y y （y ≠—1）. 特别提醒：对22x xy x yx x++=，由已知分式可以知道x 0≠，因此可以用x 去除以分式的分子、分母，因而并不特别需要强调0x ≠这个条件，再如1121122-++=-+y y y y y 是在已知分式的分子、分母都乘以y+1得到的，是在条件y+1≠0下才能进行的，所以，这个条件必须附加强调.例2：不改变分式的值，把下列各式的分子与分母中各项的系数都化为整数. （1）y x y x 32213221-+； （2）ba ba -+2.05.03.0.例3：约分（1）4322016xy y x -； （2）44422+--x x x说明：在进行分式约分时，若分子和分母都是多项式，则往往需要先把分子、分母分解因式（即化成乘积的形式），然后才能进行约分.约分后，分子与分母不再有公因式，我们把这样的分式称为最简分式.练习：约分：2232axyyax ； )(3)(2b a b b a a ++-； 32)()(a x x a --； y xy x 242+-； 2239m m m --； 299198-.分式的约分归结为：（1）因式分解；（2）分式基本性质；（3）分式中符号变换规律；约分的结果是，一般要求分子、分母不含“－”.三、分式的的变号法则例1.不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“—”号： （1）a b 65--；（2）y x 3-；（3）nm-2.例2.不改变分式的值，使下列分式的分子与分母的最高次项的系数是正数： （1）21x x -；（2）322+--x x .注意：（1）根据分式的意义，分数线代表除号，又起括号的作用.（2）当括号前添“+”号，括号内各项的符号不变；当括号前添“—”号，括号内各项都变号.例3.若x 、y 的值均扩大为原来的2倍，则分式232y x的值如何变化？若x 、y 的值均变为原来的一半呢？四、分式的通分 1.（1）．把分数65,43,21通分.（2．）什么叫分数的通分？分式的通分：和分数通分类似，把几个异分母的分式化成与原来的分式相等的同分母的分式叫做分式的通分.通分的关键是确定几个分式的公分母. 2．讨论：（1）求分式4322361,41,21xy y x z y x 的（最简）公分母.（2）求分式2241x x -与412-x 的最简公分母.3．练习：填空： （1）()z y x z y x 43231221=； （2）()z y x y x 43321241=； （3）()zy x xy 4341261=.求下列各组分式的最简公分母： （1）22265,41,32bc c a ab ； （2）；2)3(21,)3)(2(1,)2(31++--x x x x x （3）11,1,2222-++x x x x x4、通分（1）b a 21，21ab； （2）y x -1，y x +1；寻找最简公分母的方法:1．取各分式的分母中系数最小公倍数； 2．各分式的分母中所有字母或因式都要取到； 3．相同字母（或因式）的幂取指数最大的；4．所得的系数的最小公倍数与各字母（或因式）的最高次幂的积（其中系数都取正数）即为最简公分母. 分析：分式的通分，即要求把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式.通分的关键是确定几个分式的公分母；要归纳出分式分式是多项式如何确定最简公分母，一般应先将各分母分解因式，然后按上述的方法确定分母.练习:通分： （1）231x ,xy 125；（2）x x +21，xx -21（3）4,)2(122—x x x -. 五、小结把几个异分母的分式，分别化成与原来分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分.分式通分，是让原来分式的分子、分母同乘以一个适当的整式，根据分式基本性质，通分前后分式的值没有改变.通分的关键是确定几个分式的公分母，从而确定各分式的分子、分母要乘以什么样的“适当整式”，才能化成同一分母.确定公分母的方法，通常是取各分母所有因式的最高次幂的积做公分母，这样的公分母叫做最简公分母.练习巩固：1.分式的基本性质: 。
第一讲 分式的基本性质
第一讲 分式的基本性质学习目标1．了解分式、有理式的概念.2．理解分式有意义的条件，分式的值为零的条件；能熟练地求出分式有意义的条件，分式的值为零的条件3. 理解分式的基本性质.4．会用分式的基本性质进行通分、约分、化简一、知识回顾知识点1、与分式有关的条件①分式有意义：分母≠0②分式无意义：分母＝0③分式值为0：⎩⎨⎧≠=00分母分子） ④分式值为正或大于0：分子分母同号（⎩⎨⎧>>00B A 或⎩⎨⎧<<00B A ）⑤分式值为负或小于0：分子分母异号（⎩⎨⎧<>00B A 或⎩⎨⎧><00B A ）知识点2分式的基本性质分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。
字母表示：C B C ∙∙=A B A ，CB C ÷÷=A B A ，其中A 、B 、C 是整式，C ≠0。
拓展：分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变， 即：BB A B B --=--=--=A A A 注意：在应用分式的基本性质时，要注意C ≠0这个限制条件和隐含条件B ≠0。
知识点3、分式的约分◆约分时。
分子分母公因式的确定方法：1)系数取分子、分母系数的最大公约数作为公因式的系数.2)取各个公因式的最低次幂作为公因式的因式. 3)如果分子、分母是多项式,则应先把分子、分母分解因式,然后判断公因式.知识点5、分式的通分◆通分时，最简公分母的确定方法：1．系数取各个分母系数的最小公倍数作为最简公分母的系数.2、取各个公因式的最高次幂作为最简公分母的因式课前热身.1．用式子表示分式的基本性质：____________________________.2．对于分式122x x -+（1）当________时，分式的值为0（2）当________时，分式的值为1（3）当________时，分式无意义（4）当________时，分式有意义3．填充分子，使等式成立；2)2()(22+=+-a a a4．x x x 3222+= ()3+x5．化简：233812a b c a bc =_______。
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2b
4y2 n
3a
5x 2m
分式性质应用4
不改变分式的值，把下列各式的分 子与分母的各项系数都化为整数。
（1） 0.01x 0.5 0.3x 0.04
解：原式 (0.01x 0.5)100
(0.3 x 0.04)100
x 50 30x 4
2a 3 b
（2）
2
2ab
3 (2a 3 b) 6
x
2、⑴ 当x ⑵当x
x2
时，分式
有意义。
x2x21
时，分式
的值为零。
2x 1
3、已知，当x=5时，分式 2x k 的值等于零，
则k 。
3x 2
分式的基本性质
分式的分子与分母同乘（或除以） 一个不等于０的整式，分式的值不变。
用式子表示为：
• C , C .(C 0) •C C
5xy •1 5xy • 4x
1 4x
(2) a(a b) b(a b)
a b
分式的约分
把一个分式的分子和分母的公因式 约去,不改变分式的值，这种变形叫做分 式的约分。
1.约分的依据是： 分式的基本性质
2.约分的基本方法是： 先把分式的分子、分母分解因式,约去
公因式.
3.约分的结果是：整式或最简分式
a a b b
a a a a
b b
b b
分式的分子、分母和分式本身的
符号，同时改变其中任意两个，分式 的值不变。
练习：不改变分式的值，使下列分式的
分子与分母都不含“－”号
(1) 2b , (2) 4y2 , (3) n
3a
解：(1)
2b
5x
(2)
4y2
3a 5x
2m
(3) n 2m
其中Ａ，Ｂ，Ｃ是整式。
分式性质应用1
下列等式的右边是怎样从左边得到的？
(1) b bm (m 0) 2a 2am
解： m 0
b b • m bm 2a 2a • m 2am
(2) an a bn b
解： n 0
an a n a bn b n b
思考:为什么n≠0？
分式性质应用2
（1）
3 x x4
；（2）
x3 x2 1
；（3）
(
x
x2 4 2)(x
3)
。
小测
1、（1）在下面四个有理式中,分式为( )
A、2x 5 B、 1 C、x 8 D、－ 1 + x
7
3x
8
45
⑵ 当x=-1时，下列分式没有意义的是( )
A、 x 1 B、 x C、 2x
D、 x 1
x
x 1
x 1
25a 2bc3
x2 9
(1) 15ab2c (2) x 2 6 x 9
分析：为约分要先找出分子和分母
的公因式。
解：(1)
25a2bc 15ab2c
3
5abc • 5ac2 5abc • 3b
5ac2
3b
x2 9 ( x 3)( x 3) (2) x2 6x 9 ( x 3)2
15.1.2分式的基本性质
水冶镇一中 牛艳丽
问题1、什么是分式？
A 果除式整B式中A含除有以字整母式，B，那可么以称表示A 成为分B式，的形式。如
B
其中A称为分式的分子，B为分式的分母。
问题2、在分式的概念中我们尤其要注意什么？
对于任意一个分式，分母都不能为零。
问题3、当x取什么值时，下列分式有意义：
a2b
×b
÷x
（2）x
2
x2
xy
x y
( x ) , x2
x 2x
( 1 ) x2
÷x
分式性质应用3
不改变分式的值，使下列分子与分
母都不含“-”号
2x , 3a , 10m 5y 7b 3n
2x , 3a , 10m 5y 7b 3n
有什么发现？
变号的规则是怎样 的？
a a bb
a a bb
解：原式
2 (2 a b) 6
3
12a 9b 4a 6b
分式性质应用5
化简下列分式：
x2 y2 (1)
xy
m2 1 (2) m2 2m 1
（1）解:原式= xy • xy xy
xy
（2）解:原式=
(m 1)(m 1) (m 1)2
m1 m1
练习：
化简下列分式 5xy
(1) 20x2y
填空：
（1）a
b
(
ab
) 2a a2b , a2
b
(
) a2b
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
（2）x
2
x2
xy
x y
( ) , x2
x 2x
( ) x2
观察
×a
（1）a b ab
(a2 ab)
a2b
分母：ab ×a a2b
（1）a b ab
(a
2
a2
ab
b
) 2a , a2
b
(2ab b2)
x3 x3
本节课你有什么收获？
1﹑分式的基本性质 2﹑分式基本性质的应用--约分
3﹑化简分式时,通常要使结 果成为最简分式或者整式
在化简 歧.
5xy 20x2y
时,小颖和小明出现了分
小颖:
5xy 20x2y
5x 20x2
小明: 5xy 20x2y
5xy 4x 5xy
1 4x
√
你认为谁的化简对？为什么？
最简分式
分子和分母没有公因式的分式 称为最简分式. 注意:
化简分式和分式的计算时,通常 要使结果成为最简分式.
例题 约分：