高中数学必修5限时训练双基限时练15

双基限时练(十五)
1．在各项都为正数的等比数列{a n }中，a 1＝3，前3项和为21，
则a 3＋a 4＋a 5＝( )
A ．33
B ．72
C ．84
D ．189
解析 ∵a 1＝3，a 1＋a 2＋a 3＝a 1(1＋q ＋q 2)＝21，
∴1＋q ＋q 2＝7.
解得q ＝2，或q ＝－3(舍去)．∴a 3＝a 1q 2＝12.
∴a 3＋a 4＋a 5＝a 3(1＋q ＋q 2)＝12×7＝84.
答案 C
2．在等比数列{a n }中，如果a 1＋a 2＝40，a 3＋a 4＝60，那么a 5
＋a 6＝( )
A ．80
B ．90
C ．95
D ．100
解析 ∵a 1＋a 2＝a 1(1＋q )＝40，
a 3＋a 4＝a 3(1＋q )＝60，
∴q 2＝a 3a 1＝32. ∴a 5＋a 6＝q 2
(a 3＋a 4)＝32×60＝90. 答案 B
3．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝a n －1(a 是不为零的常数)，则数
列{a n }( )
A ．一定是等差数列
B ．一定是等比数列
C ．或者是等差数列，或者是等比数列
D．既非等差数列，也非等比数列
解析由S n＝a n－1，知当a＝1时，
S n＝0，此时{a n}为等差数列(a n＝0)．
当a≠1时，{a n}为等比数列．
答案 C
4．数列1,1＋2,1＋2＋22，…，1＋2＋22＋…＋2n－1，…前n项和等于()
A．2n＋1－n B．2n＋1－n－2
C．2n－n D．2n
解析解法1：当a1＝1，a2＝3，a3＝7，…，
a n＝2n－1，∴S n＝a1＋a2＋…＋a n＝(2－1)＋(22－1)＋(23－1)＋…＋(2n－1)
＝2＋22＋23＋…＋2n－n
＝2(2n－1)
2－1
－n＝2n＋1－2－n.
解法2：取n＝2，则S2＝4，排除A，C，取n＝3，则S3＝11，排除D.
答案 B
5．已知数列a，a(1－a)，a(1－a)2，…是等比数列，则实数a的取值范围是()
A．a≠1 B．a≠0或a≠1
C．a≠0 D．a≠0且a≠1
解析由等比数列的定义，知a≠0，且a≠1.
答案 D
6．等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S1,2S2,3S3成等差数列，
则{a n }的公比为________．
解析 依题意，有4S 2＝S 1＋3S 3，
即4(a 1＋a 2)＝a 1＋3(a 1＋a 2＋a 3)，
即a 2＝3a 3，∴q ＝a 3a 2
＝13. 答案 13
7．若{a n }是等比数列，下列数列中是等比数列的序号为
________．
①{a 2n }；②{a 2n }；③{1
a n }；④{lg|a n |}
答案 ①②③
8．求数列32，94，258，6516，…的前n 项和．
解 S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋123＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋124＋…＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫n ＋12n ＝(1＋2＋3＋…＋n )＋⎝
⎛⎭⎪⎫12＋122＋…＋12n ＝n (1＋n )2＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n 1－12
＝n 2＋n 2＋1－12n .
9．等差数列{a n }中，a 4＝10，且a 3，a 6，a 10成等比数列，求数
列{a n }前20项的和S 20.
解 设数列{a n }的公差为d ，则a 3＝a 4－d ＝10－d ，
a 6＝a 4＋2d ＝10＋2d ，
a 10＝a 4＋6d ＝10＋6d ，
由a 3，a 6，a 10成等比数列，得a 3·a 10＝a 26， 即(10－d )(10＋6d )＝(10＋2d )2，
解得d ＝0，或d ＝1.
当d ＝0时，S 20＝20a 4＝200.
当d ＝1时，a 1＝a 4－3d ＝7.
于是S 20＝20a 1＋20×192×d ＝20×7＋190＝330.
10．设{a n }是公比为正数的等比数列，a 1＝2，a 3＝a 2＋4.
(1)求{a n }的通项公式；
(2)设{b n }是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{a n ＋b n }的
前n 项和S n .
解 (1)设{a n }的公比为q ，由a 1＝2，a 3＝a 2＋4，得2q 2＝2q ＋4，
解得q ＝2或q ＝－1(舍去)，∴q ＝2.因此{a n }的通项公式为a n ＝2n .
(2)由题意S n ＝2(1－2n )1－2
＋n ×1＋n (n －1)2×2＝2n ＋1＋n 2－2. 11．已知公差不为0的等差数列{a n }的前4项的和为20，且a 1，
a 2，a 4成等比数列．
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)设b n ＝n ×2a n ，求数列{b n }的前n 项和，并判断是否存在n (n
∈N *)，使得S n ＝1440成立？若存在，求出所有n 的解；若不存在，请说明理由．
解 (1)设{a n }的公差为d ，依题意得
⎩⎪⎨⎪⎧ S 4＝20，a 22＝a 1·a 4，即⎩⎪⎨⎪⎧ 2a 1＋3d ＝10，d 2＝a 1d .解得⎩⎪⎨⎪⎧
a 1＝2，d ＝2.∴a n ＝2n . (2)∵
b n ＝n ×22n ＝n ×4n ，
∴S n ＝1×4＋2×42＋3×43＋…＋(n －1)×4n －1＋n ×4n ，
4S n ＝1×42＋2×43＋…＋(n －1)×4n ＋n ×4n ＋1，
两式相减，得
－3S n ＝4＋42＋43＋…＋4n －n ×4n ＋1
∴S n ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫n 3－194n ＋1＋49. 令⎝ ⎛⎭⎪⎫n 3－194n ＋1＋49＝1440，化简得(3n －1)4n ＝3239. ∵左边为偶数，右边为奇数，∴方程无解．即不存在n ∈N *，使
S n ＝1440成立．。