复习题二

dy cos y cos(x y ) 解得： y dx cos(x y ) x sin y
第二章 导数与微分
第二节 导数的计算
2、已知y x arctan x ln 1 x 2 , 求dy 解：dy dx arctan x x d arctan x d ln 1 x 2
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第二章 导数与微分
第二节 导数的计算
tan x e lna ( x 0) 7、设函数f ( x ) bx ( x 0)
在x 0处可导，求常数 a, b，并求f (0) 解： f ( x )在x 0处可导， f ( x )在x 0处可导， f ( x )在x 0处连续 (0) f (0) f
1 3 1 点(e , e )处法线方程为：y e ( x e ) 即y - x e 2 2 2 dx 4、d ( 2 x c ) x 1 解：d ( ) dx x 2 d( ) dx 2d ( x ) d ( 2 x ) d ( 2 x c ) 2 x

f ( x )在x 1处连续
lim f ( x ) lim f ( x ) f (1)
2A
f ( x ) f (a ) 1 解： lim f (a ) A， f (a ) 2 A x a 2( x a ) 2
第二章 导数与微分
第二节 导数的计算
1 sin x 3、若f ( x ) ，则f ( ) 1 sin x 2
0
解：f ( x )
第二章 导数与微分
第二节 导数的计算
2 x ( x 1) 确定a, b的值，使f ( x )在x 1处可导 8、设f ( x ) ax b ( x 1) f ( x)在x 1处可导， 解： f ( x )在x 1处可导， f (1) f (1)
8
第二章 导数与微分
第二节 导数的计算
6、设y sin x tan x (sin x 0), 则y
C
A. y sinxtan x [1 csc2 x ln(sin x)] B. y sinxtan x [1 csc2 x ln(sin x)]
2 C . y sinxtan x [sec x ln(sin x) 1] 2 D. y sinxtan x [sec x ln(sin x) 1]
( cos x )(1 sinx ) (1 sinx ) cos x (1 sinx )2 2 cos x (1 sin x )2
f ( ) 0 2
dx 4、d ( 2 x c ) x 1 解：d ( ) dx x 2 d( ) dx 2d ( x ) d ( 2 x ) d ( 2 x c ) 2 x
第二节 导数的计算
3、已知x cos y sin(x y ), 求y
解法二：两边求微分 ,
d ( x cos y ) d sin(x y )
即dx cos y x d (cos y) cos(x y)d ( x y) 即cos ydx x sin ydy cos(x y)(dx dy) 即cos ydx x sin ydy cos(x y)dx cos(x y)dy 整理， [cos y cos(x y)]dx [cos(x y) x sin y]dy
l i m f ( x ) l i m f ( x ) f (0) f (0) l i m f ( x ) f (0) x 0 x 0 x0 x 0 tan x 又 lim f ( x) lim (e tan x lna) 1 lna e 1 l i m tan x 1 x0 x0 lim x x 0 x x 0 lim f ( x ) lim (bx) 0 bx x 0 x 0 ( 0) l i m f b x x 0 1 1 1 l na 0, l n a 1, 即a b 1, f (0) 1 a , b 1 e e 16
第二章 导数与微分
第二节 导数的计算
第二章
导数与微分复习题二解答
第二章 导数与微分
第二节 导数的计算
一、填空题
1 2 1、设物体上升的高度函 数为h( t ) 10t gt 2 a a 10 g 加速度为 g 当t 时，物体的速度为 2 2 a a 解：h(t ) 10 gt h( ) 10 g 2 2 a h( t ) - g h( ) - g 2 f ( x ) f (a ) 2、若极限 lim A, 则f (a ) x a 2 x 2a
(1 x ) 1 D.arctan( 1 x ) 2 1 x 1 x2 1 1 - 2x 2 2 解：B . ln 1 x ( 1 x ) 1 x2 1 x2 2 1 x2 (1 x ) 1 D. 2 1 (1 x ) 1 (1 x )2
第二节 导数的计算
2、若函数f ( x)在点x0处不可导，则曲线 f ( x)在点x0处
A.一定没有切线 C .一定有垂直于x轴的切线 B.一定有切线 D.不一定有切线
D
3、函数f ( x)在点x0处连续是它在该点可导 的
A.充分但不必要条件 C .充要条件
B
B.必要但不充分条件 D.既不是充分也不是必要 条件
第二章 导数与微分
第二节 导数的计算
4、下列答案正确的是
A. f (1) f (1) 0

C
1 1 2 2 B. ln 1 x ( 1 x ) 2 2 2 ( 1 x ) 1 x C .cos( 1 x ) sin( 1 x)
第二章 导数与微分
第二节 导数的计算
5、曲线y x ln x在x e处的斜率为 切线方程为
2 ，
1 3 y- x e y 2x e， 法线方程为 2 2
解：y ln x 1 y(e ) lne 1 2 点(e, e )处切线方程为：y e 2( x e ) 即y 2 x e
8、下列等式成立的是 B
dx A.d ( x ) x
C .d [ln(x 1)]
2
dx 2 x
dx
B.d (esin x ) esin x d (sinx)
2 xdx
2 D . d (tan 3 x ) sec 3 xdx 2 2 x 1 x 1 3 sec2 3 xdx
第二章 导数与微分
第二章 导数与微分
第二节 导数的计算
7、函数y由方程x ( y) y确定，若( y) 0, 则y x
A.1 ( y )
B
1 B. 1 ( y )
1 C. 1 ( y )
D.不存在
解：方程两边对x求导 1 ( y ) y y
1 解得：y 1 ( y )

x csc2 x

1 5、求与曲线y 相切于点(1,1)的直线方程。 x 1 解：y - 2 , y(1) 1 x 相切于点(1,1)的直线方程为： y 1 (1)( x 1)
即y x 2
第二章 导数与微分
第二节 导数的计算
6 t) x ln( 6、求参数方程 的一阶导数和二阶导数 2 y 3t 3
第二章 导数与分
第二节 导数的计算
d 1 1 1 5、 f 2 , 则f dx x x 2
1 A. 2
B. 1 C .2
B
D.4
d 1 1 1 1 解： f 2 , 即 f 2 , dx x x x x
dy ( 3t 2 3) 解： dx [ln ( 6 t )] d2y 6t 1 ( 1) 6t 6t ( t 6) 6t 2 36t
(6t 2 36t ) 12t 36 (12t 36)(t 6) 2 1 [ln ( 6 t )] dx ( 1) 6 t
第二节 导数的计算
三、计算题
1、已知y e 2 x (sin x cos x ), 求y
x 0
解：y e 2 x 2(sinx cos x) e 2 x (cosx sinx)
y
x 0
e 0 2(sin 0 cos 0) e 0 (cos 0 sin 0) 3
第二章 导数与微分
第二节 导数的计算
6、若y f ( x)在点x0处有二阶导数，
f ( x 0 x ) f ( x 0 ) ( x0 ) f 则 lim x 0 x
二、单项选择题
1、函数f ( x)在点x0处的导数f ( x0 )为
f ( x 0 2 x ) f ( x 0 ) A. l im x 0 x
2 1 1 1 2 即f 2 3 , f 2 2 1, x x x x x
f ( t )(2t ) 1,
1 f 1 2 1 1 f 2 1, 2 2
解：y sin x
tan x
e
ln sin x tan x
e tan x ln(sin x )
y e
tan x ln(sin x )
1 [se c x ln(sinx ) tan x cos x ] sin x
2
2 y sinxtan x [sec x ln(sin x) 1]
dx
2