第十一章 应力状态和强度理论

y
d A sin cos y d A sin sin 0
F 0， d A
t
y d A sin sin y d A sin cos 0
x
d A cos cos x d A cos sin
工程力学
第11章 应力状态和强度理论
F A F/A
F
Me
B
Me
A
B
t=M/Wn
a) 一对横截面，两对纵截面
b) 横截面，周向面，直径面各一对
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第11章 应力状态和强度理论
分析B点的受力情况可知，该
单元体只有左右两个面上有正应
力σ，且σ＝MB／WZ可用图c所示 平面单元表示。用同样的方法在 梁的上边缘A点，中性层处的C 点及任意D、E处截取单元体， 分别得到这些点的应力状态如图 d、e、f、g所示。这些单元体均 称为原始单元体。
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第11章 应力状态和强度理论
一、点的应力状态
受力构件内一点在各个不同方位的截面上应力的变化情 况叫做一点的应力状态。
二、点的应力状态的研究方法
单元体：一点处取出的边长无限小的正立方体。
F
F
应力特点：单元体各表面上的应力视为均匀分布。平行 面上的应力相等。相邻垂直面上的剪应力根 据剪应力互等定理确定。代表该点三个相互 垂直方向上的应力情况
1 2 3
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第11章 应力状态和强度理论
四、应力状态的分类
1. 单向应力状态：只有一个主应力不等于零 2. 二向应力状态 ：两个主应力不等于零 3.空间应力状态 ： 三个主应力均不等于零 通常将单向和二向应力状态称为平面应力状态， 将二向和三向应力状态称为复杂应力状态。
2
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三、主平面和主应力
主单元体：各侧面上切应力均为零的单元体
主平面：切应力为零的截面 主应力：主面上的正应力
一点处必定存在这样的一 个单元体, 三个相互垂直的面 均为主平面, 三个互相垂直的 主应力分别记为1 ,2 , 3 且规 定按代数值大小的顺序来排列, 即
O
2
2
1
2 0
x y 2 x 2
2
应力圆与单元体的对应关系： (1) 点与面对应。 (2) 倍角与角对应。

Y, Y
A2
X Y ,0 2
A1
2
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2. 应力圆的作法
y

y x
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b.证明 （1）该圆的圆心C点到 坐 标原点的 距离为

D
x y
2
（2）该圆半径为
o
y
B C D′ A

R (
x y
2
)
2
2 xy
x
x y 1 1 OC OB (OA OB ) (OA OB ) 2 2 2 x y 2 2 2 2 CD CA AD ( ) xy 2
yx
x xy y
x o

a.步骤
1）建 - 坐标系,选定比例尺
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y
yx
D
x
x xy
x
B C A

y
D′
（2）量取 OA= x AD = xy 得D点 （3）量取 OB= y BD′= yx 得D′点
x
（4）连接 DD′两点的直线与 轴相交于C 点 （5）以C为圆心, CD 为半径作圆,该圆就是相应于该单元体的 应力圆
a
x
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OF OC CF OC CE cos( 2 0 2 )
OC CD cos 2 0 cos 2 CD sin 2 0 sin 2
x y
2

x y
2
cos 2 xy sin 2
2 1 1 3 2
3
1
1
1
1 2
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第二节
一、斜截面上的应力
平面应力状态的普遍形 式如图所示 .单元体上 有x ,x 和 y , y 符号规定：
z
平面应力状态分析
y
y y
x x
x
y
y x x
正应力仍规定拉应力为正
切应力对单元体内任一点取矩,顺时针转为正
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3、应力圆的应用
( 1).求单元体上任一 截面上的应力 从应力圆的半径 CD 按方位角的转向转动2得到半径CE.圆 周上 E 点的坐标就依次为斜截面上的正应力 和切应力.
y nBiblioteka E 2 20 De
yx x xy
f
x
o
x
B
CF
A

y
D′
图示单元体已知 x=100Mpa,y =30MPa,xy=-20MPa.试求e-f截
面上的正应力和切应力及主应力和主应力方向.
解: 一 解析法
e
y
40°
（1）求 e-f 截面上的应力
40

x y
40

2 2 100 30 100 30 cos80 (20)sin 80 2 2 90.77MPa x y sin 2 x cos 2 2 100 30 sin 80 ( 20) cos80 31MPa 2
由x轴转到外法线n,逆时针转向时为正
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y 正 应 力
α角
由x轴逆时针转到截面外法线n 为正；反之为负。
拉应力为正 压应力为负
x
x
n x

x
y
切 应 力
单元体内任意一点取矩，顺 时针方向转动为正；反之为负。

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假想地沿斜截面 E-F 将单元体截开,留下左边部分

x y
x
cos 2 x sin 2
f
x
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（2） 求主应力和主应力方向
tan 2 0
2 x 2 (20) 4 0.57 x y 100 30 7
0 14.9
x y 2 2 105.3MPa max x y ( ) x 2 2 24.7MPa min

E 2 20 D
FE CE sin(2 o 2 ) CD sin 2 0 cos 2 CD cos 2 0 sin 2
x y
2
sin 2 xy cos 2
o
y
B
CF
D′
A

x
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说 明
（1）点面之间的对应关系:单元体某一面上的应力,必对应 于应力圆上某一点的坐标. （2）夹角关系:圆周上任意两点所引半径的夹角等于单元体 上对应两截面夹角的两倍.两者的转向一致.
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（3）确定主应力及其方向 A1,A2 两点的横坐标分别代 表 两个主应力1 和2
1 OA1 105.3MPa 2OA224.7MPa
A1 点对应于单元体上
1所在的主平面

(30,20)
D′ O A2 C
1 105.3MPa 2 24.7MPa 3 0
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二、图解法
（1）画应力圆
量取OA= x= 100 , AD = x= - 20,定出 D点; OB =y= 30 和 BD = y= 20 , 定出 D′点. 以DD′为直径绘出应力圆.
(
x y
)
2
2 xy
max 1
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（2）主平面方位
由 CD顺时针转 20 到CA1 所以单元体上从 x 轴顺时 针转 0 （负值）即到 1对应 o 的主平面的外法线
2
B1 B 20 D
C
A
y
D′
A1

2 xy DA tan( 2 0 ) CA x y 2 xy tan 2 0 x y
2
1
14.9°
（2）确定 = 40°斜截面上的应力 将半径 CD 逆时针转动 2 = 80° 到半径 CE, E 点的坐标就代表 = 40°斜截面上的应力。
40°
(30,20)
40º= 90.77MPa 40°= 31MPa
O
D′ C
E 80°
40°
D
(100,-20)
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根据切应力互等定理有：
y x
利用三角关系：
1 cos (1 cos 2 ) 2
2
2 sin cos sin 2
σx σy 2 σx σy 2 σx σy 2
1 sin (1 cos 2 ) 2
2
化简以上两个平衡方程最后得
应力圆方程： 标准圆方程： 应力圆圆心： 半径：
(
x y
2
) (
2 2
x y
2
2 ） x 2
x a 2 y b2 r 2
x y ,0 2