【配套K12】[学习]2018-2019版高中数学 第一章 计数原理章末检测试卷 新人教A版选修2-
配套K12(全国通用版)2018-2019版高中数学 第一章 导数及其应用 1.2 导数的计算 第2
第2课时 导数的运算法则学习目标 1.理解函数的和、差、积、商的求导法则.2.理解求导法则的证明过程，能够综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数．知识点一 和、差的导数已知f (x )＝x ，g (x )＝1x.Q (x )＝f (x )＋g (x )，H (x )＝f (x )－g (x )思考1 f (x )，g (x )的导数分别是什么？ 答案 f ′(x )＝1，g ′(x )＝－1x2.思考2 试求y ＝Q (x )，y ＝H (x )的导数．并观察Q ′(x )，H ′(x )与f ′(x )，g ′(x )的关系． 答案 ∵Δy ＝(x ＋Δx )＋1x ＋Δx －⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＝Δx ＋－Δxx (x ＋Δx )，∴Δy Δx ＝1－1x (x ＋Δx ). ∴Q ′(x )＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1x (x ＋Δx )＝1－1x 2. 同理，H ′(x )＝1＋1x2.Q (x )的导数等于f (x )，g (x )的导数的和．H (x )的导数等于f (x )，g (x )的导数的差．梳理 和、差的导数[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )． 知识点二 积、商的导数 (1)积的导数①[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )． ②[cf (x )]′＝cf ′(x )． (2)商的导数⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)． (3)注意[f (x )g (x )]′≠f ′(x )g ′(x )，⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x )g (x )′≠f ′(x )g ′(x ).1．若f ′(x )＝2x ，则f (x )＝x 2.( × )2．函数f (x )＝x e x的导数是f ′(x )＝e x(x ＋1)．( √ ) 3．当g (x )≠0时，⎣⎢⎡⎦⎥⎤1g (x )′＝－g ′(x )g 2(x ).( √ )类型一 利用导数的运算法则求导 例1 求下列函数的导数． (1)y ＝3x 2＋x cos x ； (2)y ＝lg x －1x2；(3)y ＝(x 2＋3)(e x＋ln x )； (4)y ＝x 2＋tan x ； (5)y ＝ex x ＋1.考点 导数的运算法则 题点 导数的运算法则解 (1)y ′＝6x ＋cos x ＋x (cos x )′ ＝6x ＋cos x －x sin x .(2)y ′＝(lg x )′－(x －2)′＝1x ln 10＋2x3. (3)y ′＝(x 2＋3)′(e x ＋ln x )＋(x 2＋3)(e x＋ln x )′＝2x (e x ＋ln x )＋(x 2＋3)⎝⎛⎭⎪⎫e x ＋1x＝e x (x 2＋2x ＋3)＋2x ln x ＋x ＋3x. (4)因为y ＝x 2＋sin x cos x ，所以y ′＝(x 2)′＋⎝⎛⎭⎪⎫sin x cos x ′＝2x ＋cos 2x －sin x (－sin x )cos 2x ＝2x ＋1cos 2x.(5)y ′＝(e x)′(x ＋1)－(x ＋1)′ex(x ＋1)2＝e x(x ＋1)－e x (x ＋1)2＝x e x(x ＋1)2.反思与感悟 (1)先区分函数的运算特点，即函数的和、差、积、商，再根据导数的运算法则求导数．(2)对于三个以上函数的积、商的导数，依次转化为“两个”函数的积、商的导数计算． 跟踪训练1 求下列函数的导数． (1)y ＝2x 3－3x ＋x ＋1x x；(2)y ＝x 2＋1x 2＋3；(3)y ＝(x ＋1)(x ＋3)(x ＋5)． 考点 导数的运算法则 题点 导数的运算法则 解 (1)∵y ＝232x －312x-＋x －1＋32x-，∴y ′＝312x ＋3232x -－x －2－3252x -.(2)方法一 y ′＝(x 2＋1)′(x 2＋3)－(x 2＋1)(x 2＋3)′(x 2＋3)2＝2x (x 2＋3)－2x (x 2＋1)(x 2＋3)2＝4x (x 2＋3)2.方法二 ∵y ＝x 2＋1x 2＋3＝x 2＋3－2x 2＋3＝1－2x 2＋3，∴y ′＝⎝⎛⎭⎪⎫1－2x 2＋3′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x 2＋3′ ＝(－2)′(x 2＋3)－(－2)(x 2＋3)′(x 2＋3)2＝4x(x 2＋3)2. (3)方法一 y ′＝[(x ＋1)(x ＋3)]′(x ＋5)＋(x ＋1)(x ＋3)(x ＋5)′＝[(x ＋1)′(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋3)′](x ＋5)＋(x ＋1)(x ＋3)＝(2x ＋4)(x ＋5)＋(x ＋1)(x ＋3)＝3x 2＋18x ＋23. 方法二 ∵y ＝(x ＋1)(x ＋3)(x ＋5)＝(x 2＋4x ＋3)(x ＋5) ＝x 3＋9x 2＋23x ＋15，∴y ′＝(x 3＋9x 2＋23x ＋15)′＝3x 2＋18x ＋23. 类型二 导数公式及运算法则的综合应用 命题角度1 利用导数求函数解析式例2 (1)已知函数f (x )＝ln xx＋2xf ′(1)，试比较f (e)与f (1)的大小关系；(2)设f (x )＝(ax ＋b )sin x ＋(cx ＋d )cos x ，试确定常数a ，b ，c ，d ，使得f ′(x )＝x cos x . 考点 导数的运算法则 题点 导数运算法则的综合应用 解 (1)由题意得f ′(x )＝1－ln xx2＋2f ′(1)， 令x ＝1，得f ′(1)＝1－ln 11＋2f ′(1)，即f ′(1)＝－1.∴f (x )＝ln xx－2x .∴f (e)＝ln e e －2e ＝1e －2e ，f (1)＝－2，由f (e)－f (1)＝1e－2e ＋2<0，得f (e)<f (1)．(2)由已知得f ′(x )＝[(ax ＋b )sin x ＋(cx ＋d )cos x ]′ ＝[(ax ＋b )sin x ]′＋[(cx ＋d )cos x ]′＝(ax ＋b )′sin x ＋(ax ＋b )(sin x )′＋(cx ＋d )′cos x ＋(cx ＋d )(cos x )′ ＝a sin x ＋(ax ＋b )cos x ＋c cos x －(cx ＋d )sin x ＝(a －cx －d )sin x ＋(ax ＋b ＋c )cos x .又∵f ′(x )＝x cos x ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a －d －cx ＝0，ax ＋b ＋c ＝x ，即⎩⎪⎨⎪⎧a －d ＝0，－c ＝0，a ＝1，b ＋c ＝0，解得a ＝d ＝1，b ＝c ＝0.反思与感悟 (1)中确定函数f (x )的解析式，需要求出f ′(1)，注意f ′(1)是常数． (2)中利用待定系数法可确定a ，b ，c ，d 的值． 完成(1)(2)问的前提是熟练应用导数的运算法则． 跟踪训练2 函数f (x )＝x2x －1＋2f ′(1)x ，则f ′(0)＝________. 考点 导数的运算法则 题点 导数运算法则的综合应用 答案 1解析 对f (x )求导，得f ′(x )＝2x －1－2x (2x －1)2＋2f ′(1)＝－1(2x －1)2＋2f ′(1)，令x ＝1，得f ′(1)＝1，∴f ′(0)＝1.命题角度2 与切线有关的问题例3 已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋3(a ≠0)，其导函数为f ′(x )＝2x －8. (1)求a ，b 的值；(2)设函数g (x )＝e xsin x ＋f (x )，求曲线g (x )在x ＝0处的切线方程． 考点 导数的运算法则 题点 导数运算法则的综合应用 解 (1)因为f (x )＝ax 2＋bx ＋3(a ≠0)， 所以f ′(x )＝2ax ＋b ，又f ′(x )＝2x －8，所以a ＝1，b ＝－8. (2)由(1)可知g (x )＝e x sin x ＋x 2－8x ＋3， 所以g ′(x )＝e x sin x ＋e xcos x ＋2x －8， 所以g ′(0)＝e 0sin 0＋e 0cos 0＋2×0－8＝－7. 又g (0)＝3，所以g (x )在x ＝0处的切线方程为y －3＝－7(x －0)， 即7x ＋y －3＝0.反思与感悟 (1)此类问题往往涉及切点、切点处的导数、切线方程三个主要元素．其他的条件可以进行转化，从而转化为这三个要素间的关系．(2)准确利用求导法则求出导函数是解决此类问题的第一步，也是解题的关键，务必做到准确． (3)分清已知点是否在曲线上，若不在曲线上，则要设出切点，这是解题时的易错点． 跟踪训练3 (1)设曲线y ＝2－cos x sin x 在点⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，2处的切线与直线x ＋ay ＋1＝0垂直，则a ＝________.(2)设函数f (x )＝g (x )＋x 2，曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处切线的斜率为________．考点 导数的运算法则 题点 导数运算法则的综合应用 答案 (1)1 (2)4解析 (1)∵y ′＝sin 2x －(2－cos x )cos x sin 2x ＝1－2cos xsin 2x ， 当x ＝π2时，y ′＝1－2cosπ2sin2π2＝1.又直线x ＋ay ＋1＝0的斜率是－1a，∴－1a＝－1，即a ＝1.(2)∵曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，由导数的几何意义知g ′(1)＝2.又∵f (x )＝g (x )＋x 2，∴f ′(x )＝g ′(x )＋2x ，即f ′(1)＝g ′(1)＋2＝4， ∴y ＝f (x )在点(1，f (1))处切线的斜率为4.1．设函数y ＝－2e xsin x ，则y ′等于( ) A ．－2e xcos x B ．－2e xsin xC ．2e xsin x D ．－2e x(sin x ＋cos x )考点 导数的运算法则 题点 导数的运算法则 答案 D解析 y ′＝－2(e xsin x ＋e xcos x )＝－2e x(sin x ＋cos x )．2．曲线y ＝sin x sin x ＋cos x －12在点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0处的切线的斜率为( ) A ．－12B.12 C ．－22D.22考点 导数的运算法则 题点 导数运算法则的综合应用 答案 B解析 y ′＝cos x (sin x ＋cos x )－sin x (cos x －sin x )(sin x ＋cos x )2＝1(sin x ＋cos x )2，故π=4|x y'＝12， ∴曲线在点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0处的切线的斜率为12.3．若函数f (x )＝12 f ′(－1)x 2－2x ＋3，则f ′(－1)的值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．2考点 导数的运算法则 题点 导数运算法则的综合应用 答案 A解析 因为f (x )＝12 f ′(－1)x 2－2x ＋3，所以f ′(x )＝f ′(－1)x －2.所以f ′(－1)＝f ′(－1)×(－1)－2， 所以f ′(－1)＝－1.4．已知f (x )＝exx，若f ′(x 0)＋f (x 0)＝0，则x 0＝________.考点 导数的运算法则 题点 导数的运算法则 答案 12解析 因为f ′(x )＝(e x)′x －e x·x ′x2＝e x(x －1)x2(x ≠0)． 所以由f ′(x 0)＋f (x 0)＝0，得0e x (x 0－1)x 20＋e x x 0＝0.解得x 0＝12.5．在平面直角坐标系xOy 中，若曲线y ＝ax 2＋b x(a ，b 为常数)过点P (2，－5)，且该曲线在点P 处的切线与直线7x ＋2y ＋3＝0平行，则a ＋b 的值是______． 考点 导数的运算法则 题点 导数运算法则的综合应用 答案 －3解析 y ＝ax 2＋b x 的导数为y ′＝2ax －b x2， 直线7x ＋2y ＋3＝0的斜率为－72.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋b2＝－5，4a －b 4＝－72，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2，则a ＋b ＝－3.1．导数的求法对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则．求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用．首先，在化简时，要注意化简的等价性，避免不必要的运算失误；其次，利用导数公式求函数的导数时，一定要将函数化为基本初等函数中的某一个，再套用公式求导数． 2．和与差的运算法则可以推广[f (x 1)±f (x 2)±…±f (x n )]′＝f ′(x 1)±f ′(x 2)±…±f ′(x n )． 3．积、商的求导法则(1)若c 为常数，则[cf (x )]′＝cf ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )，⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)；(3)当f (x )＝1时，有⎣⎢⎡⎦⎥⎤1g (x )′＝－g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)．一、选择题1．下列运算中正确的是( ) A ．(ax 2＋bx ＋c )′＝a (x 2)′＋b (x )′ B ．(sin x －2x 2)′＝(sin x )′－2′(x 2)′ C.⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x x 2′＝(sin x )′－(x 2)′x 2D ．(cos x ·sin x )′＝(sin x )′cos x ＋(cos x )′cos x 考点 导数的运算法则 题点 导数的运算法则 答案 A解析 A 项中，(ax 2＋bx ＋c )′＝a (x 2)′＋b (x )′正确； B 项中，(sin x －2x 2)′＝(sin x )′－2(x 2)′错误； C 项中，⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x x 2′＝(sin x )′x 2－sin x (x 2)′(x 2)2错误； D 项中，(cos x ·sin x )′＝(cos x )′sin x ＋cos x (sin x )′错误．2．若函数y ＝x 2＋a 2x(a >0)在x ＝x 0处的导数为0，那么x 0等于( )A ．aB ．±aC ．－aD ．a 2考点 导数的运算法则 题点 导数的运算法则 答案 B解析 y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋a 2x ′＝2x ·x －(x 2＋a 2)x 2＝x 2－a 2x 2，由x 20－a 2＝0，得x 0＝±a .3．若函数f (x )＝e xsin x ，则此函数图象在点(4，f (4))处的切线的倾斜角为( ) A.π2 B ．0 C ．钝角 D ．锐角 考点 导数的运算法则 题点 导数运算法则的综合应用 答案 C解析 ∵f ′(x )＝e x sin x ＋e xcos x ， ∴f ′(4)＝e 4(sin 4＋cos 4)．∵π<4<32π，∴sin 4<0，cos 4<0，∴f ′(4)<0.由导数的几何意义得，切线的倾斜角为钝角．4．若f (x )＝x 2－2x －4ln x ，则f ′(x )>0的解集为( )A ．(0，＋∞)B ．(－1,0)∪(2，＋∞)C ．(2，＋∞)D ．(－1,0)考点 导数的运算法则 题点 导数的运算法则 答案 C解析 ∵f (x )＝x 2－2x －4ln x ， ∴f ′(x )＝2x －2－4x>0，整理得(x ＋1)(x －2)x>0，解得－1<x <0或x >2. 又x >0，∴x >2.5．函数f (x )＝x cos x －sin x 的导函数是( ) A ．奇函数 B ．偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．既不是奇函数，又不是偶函数 考点 导数的运算法则 题点 导数运算法则的综合应用 答案 B解析 f ′(x )＝(x cos x )′－(sin x )′ ＝cos x －x sin x －cos x ＝－x sin x .令F (x )＝－x sin x ，x ∈R ，则F (－x )＝x sin(－x )＝－x sin x ＝F (x )， ∴f ′(x )是偶函数． 6．设曲线y ＝x ＋1x －1在点(3,2)处的切线与直线ax ＋y ＋1＝0垂直，则a 等于( ) A ．2 B.12 C ．－12 D ．－2考点 导数的运算法则 题点 导数运算法则的综合应用 答案 D 解析 ∵y ＝x ＋1x －1＝1＋2x －1，∴y ′＝－2(x －1)2，∴=3|x y'＝－12. ∴－a ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－1，即a ＝－2.7．在下面的四个图象中，其中一个图象是函数f (x )＝13x 3＋ax 2＋(a 2－1)x ＋1(a ∈R )的导函数y ＝f ′(x )的图象，则f (－1)等于( )A.13 B ．－13C.73D ．－13或53考点 导数的运算法则 题点 导数运算法则的综合应用 答案 B解析 ∵f ′(x )＝x 2＋2ax ＋(a 2－1)， ∴导函数f ′(x )的图象开口向上， 故其图象必为③.由图象特征知f ′(0)＝0，且对称轴－a >0， ∴a ＝－1，则f (－1)＝－13－1＋1＝－13，故选B.二、填空题8．设f (5)＝5，f ′(5)＝3，g (5)＝4，g ′(5)＝1，若h (x )＝f (x )＋2g (x )，则h ′(5)＝________. 考点 导数的运算法则 题点 导数的运算法则 答案516解析 由题意知f (5)＝5，f ′(5)＝3，g (5)＝4，g ′(5)＝1，∵h ′(x )＝f ′(x )g (x )－[f (x )＋2]g ′(x )[g (x )]2， ∴h ′(5)＝f ′(5)g (5)－[f (5)＋2]g ′(5)[g (5)]2＝3×4－(5＋2)×142＝516. 9．已知某运动着的物体的运动方程为s (t )＝t －1t2＋2t 2(位移单位：m ，时间单位：s)，则t ＝1 s 时物体的瞬时速度为________ m/s. 考点 导数的运算法则 题点 导数运算法则的综合应用 答案 5解析 因为s (t )＝t －1t 2＋2t 2＝t t 2－1t2＋2t 2＝1t －1t2＋2t 2，所以s ′(t )＝－1t 2＋2·1t3＋4t ，所以s ′(1)＝－1＋2＋4＝5，即物体在t ＝1 s 时的瞬时速度为5 m/s.10．已知函数f (x )＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4cos x ＋sin x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4的值为________． 考点 导数的运算法则 题点 导数运算法则的综合应用 答案 1解析 ∵f ′(x )＝－f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4sin x ＋cos x ， ∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝－f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4×22＋22，得f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2－1.∴f (x )＝(2－1)cos x ＋sin x ，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝1. 11．已知函数f (x )＝x ln x ，若直线l 过点(0，－1)，并且与曲线y ＝f (x )相切，则直线l 的方程为______________． 考点 导数的运算法则题点 导数运算法则的综合应用 答案 x －y －1＝0解析 ∵点(0，－1)不在曲线f (x )＝x ln x 上， ∴设切点坐标为(x 0，y 0)． 又∵f ′(x )＝1＋ln x ，∴⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝x 0ln x 0，y 0＋1＝(1＋ln x 0)x 0，解得x 0＝1，y 0＝0.∴切点坐标为(1,0)，∴f ′(1)＝1＋ln 1＝1. ∴直线l 的方程为y ＝x －1，即x －y －1＝0.12．已知曲线y ＝x ＋ln x 在点(1,1)处的切线与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，则a ＝________.考点 导数的运算法则 题点 导数运算法则的综合应用 答案 8解析 由y ＝x ＋ln x ，得y ′＝1＋1x，得曲线在点(1,1)处的切线的斜率为k ＝=1|x y'＝2， 所以切线方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1. 此切线与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切， 消去y ，得ax 2＋ax ＋2＝0，所以a ≠0且Δ＝a 2－8a ＝0，解得a ＝8. 三、解答题13．偶函数f (x )＝ax 4＋bx 3＋cx 2＋dx ＋e 的图象过点P (0,1)，且在x ＝1处的切线方程为y ＝x －2，求f (x )的解析式． 考点 导数的运算法则 题点 导数运算法则的综合应用 解 ∵f (x )的图象过点P (0,1)，∴e ＝1. 又∵f (x )为偶函数，∴f (－x )＝f (x )．故ax 4＋bx 3＋cx 2＋dx ＋e ＝ax 4－bx 3＋cx 2－dx ＋e . ∴b ＝0，d ＝0.∴f (x )＝ax 4＋cx 2＋1.∵函数f (x )在x ＝1处的切线方程为y ＝x －2， ∴切点坐标为(1，－1)． ∴a ＋c ＋1＝－1.∵f ′(x )|x ＝1＝4a ＋2c ，∴4a ＋2c ＝1.∴a ＝52，c ＝－92.∴函数f (x )的解析式为f (x )＝52x 4－92x 2＋1.四、探究与拓展14．在等比数列{a n }中，a 1＝2，a 8＝4，函数f (x )＝x (x －a 1)·(x －a 2)…(x －a 8)，则f ′(0)等于( ) A ．26B ．29C ．215D ．212考点 导数的运算法则 题点 导数运算法则的综合应用 答案 D解析 ∵f ′(x )＝x ′(x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)＋x (x －a 1)′(x －a 2)…(x －a 8)＋…＋x (x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)′＝(x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)＋x (x －a 2)…(x －a 8)＋…＋x (x －a 1)(x －a 2)…(x －a 7)， ∴f ′(0)＝a 1·a 2·…·a 8＝(a 1a 8)4＝84＝212.15．设函数f (x )＝ax －bx，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0. (1)求f (x )的解析式；(2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，并求此定值． 考点 导数的运算法则 题点 导数运算法则的综合应用 解 (1)由7x －4y －12＝0，得y ＝74x －3.当x ＝2时，y ＝12，∴f (2)＝12，①又f ′(x )＝a ＋b x 2，∴f ′(2)＝74，②由①②得⎩⎪⎨⎪⎧2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3.故f (x )＝x －3x.(2)设P (x 0，y 0)为曲线上任一点，由y ′＝1＋3x2知，曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3x 20(x －x 0)，即y －⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－3x 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3x 20(x －x 0)．令x ＝0，得y ＝－6x 0，从而得切线与直线x ＝0的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－6x 0.令y ＝x ，得y ＝x ＝2x 0，从而切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0)．所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形面积为12⎪⎪⎪⎪⎪⎪－6x 0|2x 0|＝6.故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，此定值为6.。
【配套K12】[学习]2018高中数学 第1章 统计案例章末检测(B)苏教版选修1-2
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第1章 统计案例(B)(时间：120分钟 满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)1．对于回归分析，下列说法错误的是______．(填序号)①在回归分析中，变量间的关系若是非确定关系，那么因变量不能由自变量唯一确定； ②线性相关系数可以是正的，也可以是负的；③回归分析中，如果r 2＝1，说明x 与y 之间完全相关；④样本相关系数r ∈(－1,1)．2．现在一个由身高预测体重的回归方程：体重预测值＝4(磅/英寸)×身高－130(磅)其中体重与身高分别以磅和英寸为单位．如果换算成公制(1英寸≈2.5 cm,1磅≈0.45 kg)，则回归方程应该是____________________．3y 与x 的线性回归方程为y ＝6.5x ＋17.5，当广告费支出5万元时，随机误差为________．4．一位母亲记录了儿子3～9岁的身高的数据，她根据这些数据建立的身高y (cm)与年龄x 的回归模型为y ^＝7.19x ＋73.93，用这个模型预测这个孩子10岁时的身高，则叙述正确的是______(只填序号)．①身高一定是145.83 cm ；②身高在145.83 cm 左右；③身高在145.83 cm 以上；④身高在145.83 cm 以下．5由χ2______(“有”或“无”)．6．已知两个变量x 和y 之间有线性相关性，5次试验的观测数据如下表，那么变量y 关于x 的线性回归方程是7.若由一个2×2______的前提下认为两个事件有关系．8．许多因素都会影响贫穷，教育也许是其中的一个．在研究这两个因素的关系时，收集了某国50个地区的成年人至多受过9年教育的百分比(x )和收入低于官方规定的贫困线的人数占本地区人数的百分比(y )的数据，建立的线性回归方程是y ^＝4.6＋0.8x .这里，斜率的估计等于0.8说明_________________________________________________________________．9．具体数据如下表：为了判断主修数据，得到χ2＝－223×27×20×30≈4.844.因为χ2>3.841，所以判定主修统计专业与性别有关系，那么这种判断出错的可能性约为________．10．某市居民2005～2009年家庭年平均收入x (单位：万元)与年平均支出Y (单位：万元)出有________线性相关关系．11．若两个分类变量X 和Y则X 与Y 12． 13由上表中数据计算得χ2＝55×50×30×75≈6.109，估计有________把握认为“文化程度与月收入有关系”．14．下列说法：①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差恒不变；②线性回归方程y ^ ＝b ^ x ＋a ^ 必过点(x ，y )；③曲线上的点与该点的坐标之间具有相关关系；④在一个2×2列联表中，由计算得K 2＝13.079，则其两个变量间有关系的可能性是90%.其中错误的是________．(填序号)二、解答题(本大题共6小题，共90分)15．(14分)有两个分类变量2×2列联表所示：其中a,15－a 均为大于50.1的前提下认为x 与y 之间有关系？16．(1)求(2)预测水深为1.95 m时水的流速是多少？17．(14分)某聋哑研究机构，对聋与哑是否有关系进行抽样调查，在耳聋的657人中有416人哑，而在另外不聋的680人中有249人哑，你能运用这组数据，得到相应结论吗？请运用独立性检验进行判断．18求y19．(16分)20(1)(2)求线性回归方程；(3)若某名健康儿童的血硒含量为94(1 000 ppm)，预测他的发硒含量．第1章 统计案例(B)答案1．④解析 相关系数r 的范围是[－1,1]．2．体重预测值＝0.72×身高－58.5解析 4磅/英寸＝4×(0.45 kg/2.5 cm)＝0.72(kg/cm)，130磅＝130×0.45 kg＝58.5 kg.3．10 4．② 5．无 6．y ^＝0.575x －14.97．0.05解析 χ2＝4.013>3.841.8．一个地区受过9年或更少的教育的百分比每增加1%，则收入低于官方规定的贫困线的人数占本地区人数的百分比将增加0.8%左右9．0.0510．13 正解析 把2005～2009年家庭年平均收入按从小到大顺序排列为11.5,12.1,13,13.3,15，因此中位数为13(万元)，由统计资料可以看出，当年平均收入增多时，年平均支出也增多，因此两者之间具有正线性相关关系．11．0.999解析 χ2＝＋15＋40＋－2＋0＋＋＋≈18.8>10.828， 查表知P (χ2>10.828)≈0.001，∴x 与y 之间有关系的概率约为1－0.001＝0.999，因此有99.9%的把握认为X 与Y 有关系．12．传染病与饮用不干净水是有关系的解析 通过独立性检验可知．13．97.5%14．③④解析 ①正确．由回归方程的定义及最小二乘法思想，知②正确．③④不正确．15．解 查表可知，要使在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为x 与y 之间有关系，则k ≥2.706，而k ＝65×[a ＋a －－a －a 220×45×15×50＝a －220×45×15×50＝a －260×90. 由k ≥2.706得a ≥7.19或a ≤2.04.又a >5且15－a >5，a ∈Z ，即a ＝8,9.故a 为8或9时，在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为x 与y 之间有关系．16．解 (1)散点图如图所示．由图容易看出，x 与y 之间有近似的线性相关关系，或者说，可以用一个线性回归方程 y ^ ＝a ^ ＋b ^x 来反映这种关系． ^^于是，x ＝18×14.0＝1.75，y ＝8×15.82＝1.977 5. b ^ ＝27.993－8×1.75×1.977 524.92－8×1.752≈0.733. a ^＝1.977 5－0.733×1.75≈0.694 8.y 对x 的线性回归方程为y ^ ＝a ^ ＋b ^x ＝0.694 8＋0.733x .(2)把x ＝1.95代入，易得y ^＝0.694 8＋0.733×1.95≈2.12 (m/s )．计算结果表明，当水深为1.95 m 时可以预测渠水的流速约为2.12 m/s.17．解根据列联表中数据得到k ＝－2657×680×665×672≈95.291>10.828.因此在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为聋与哑有关系．18．解序号 x i y i x 2i y 2ix i y i 1 0.10 15 0.01 225 1.52 0.30 18 0.09 324 5.43 0.40 19 0.16 361 7.64 0.55 21 0.302 5 441 11.555 0.70 22.6 0.49 510.76 15.826 0.80 23.8 0.64 566.44 19.047 0.95 26 0.902 5 676 24.7合计 3.8 145.4 2.595 3 104.2 85.61由上表中数据，得x ＝7≈0.543，y ＝7×145.4≈20.77，∑i ＝1x 2i ＝2.595， 所以b ^ ＝85.61－7×0.543×20.772.595－7×0.5432≈12.55. a ^＝20.77－12.55×0.543≈13.96.所以线性回归方程为y ^＝13.96＋12.55x .19．解 根据题中数据，利用公式，得χ2＝－2454×546×500×500≈9.295，因为9.295>7.879，因此有99.5%的把握认为辐照保鲜措施对水果保鲜有效．20．解 (1)散点图如下图所示：(2)根据线性回归方程的公式求得：b ^＝∑10i ＝1x i y i －10x y∑10i ＝1x 2i －10x 2＝8 464－10×75.4×10.858 212－10×75.42 ≈0.236，a ^ ＝y －b ^ x ＝10.8－0.236×75.4≈－6.99.故所求线性回归方程为y ^＝0.236x －6.99.(3)当x ＝94时，y ^＝0.236×94－6.99≈15.2.因此，当地儿童的血硒含量为94(1 000 ppm)时，该儿童的发硒含量约为15.2(1 000 ppm)．。
2018-2019学年高中数学 第一章 计数原理章末整合提升优质课件 新人教A版选修2-3
＋23k＝3，解得 k＝6．
故含有 x3 的项是第七项，T7＝C610x3＝210x3．
4
(2)∵(
1x＋3 x2)10 的展开式中共有 11 项，
∴系数最大的项是第六项，T6＝C510(x－14)5(x23)5＝252x2152．
『规律方法』 利用二项式系数的性质，可以把在展开式中 数 Cnk转化为靠前的二项式系数 Cnn－k，转化后可简化解题过程 [本 还可以解决一些较为简单的二项展开式系数的最大(或最小)问题 二项式系数和展开式系数这两个不同的概念．
组合数性质：1Cmn ＝Cnn－m；2Cmn＋1＝Cnm＋1＋Cmn －1
组合的应用
计
二项式定理：a＋bn＝Cn0an＋Cn1an－1b＋…＋Cnkan－kbk＋
数 原
二定项理式二 二项 项展 式开 系式 数通 性项 质： ：T1k＋对1＝称C性knan；－kb2k增k＝减0性，与1，最2大，值3，；…，
『规律方法』 求展开式中各项系数的和的一个有效方法
赋予变量的值一般是0,1，－1等．
专题四 ⇨分类讨论思想
• 当计数问题过于复杂或限制条件较多时，一般 论的方法解决，即对计数问题中的各种情况进 后针对每一类分别研究和求解．分类的原则是 遗漏．
• 典例 7 (1)从编号为1,2,3，…，10,11的11个 出5个球，使这5个球的编号之和为奇数，其取
2)6( 1
3
)n－6，
3
C6n3
2n－6 1
3
6
由 Cnn－63
26 1
3
3n－6＝16，∴n＝9．
3
故
T7＝C69(3
2)9－6( 1
3
)6＝C39·2·19＝536．
配套K122018版高中数学 第一章 计数原理 1.5.2 二项式系数的性质及应用(一)学案 苏教版
1.5.2 二项式系数的性质及应用(一)学习目标 1.了解杨辉三角，会用杨辉三角求二项式乘方次数不大时的各项的二项式系数.2.理解二项式系数的性质并灵活运用．知识点二项式系数的性质(a＋b)n的展开式的二项式系数，当n取正整数时可以表示成如下形式：思考1 从上面的表示形式可以直观地看出什么规律？思考2 计算每一行的系数和，你又能看出什么规律？思考3 二项式系数的最大值有何规律？梳理(1)二项式系数表的特点①在同一行中，每行两端都是________，与这两个1等距离的项的系数________．②每行两端都是1，而且除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和．(2)二项式系数的性质一般地，(a＋b)n展开式的二项式系数C0n，C1n，…，C n n有如下性质：①C mn ＝________； ②C m n ＋C m －1n ＝________； ③当r ＜n －12时，C rn ＜________；当r ＞n －12时，________＜C rn ；④C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C nn ＝________.类型一 与二项式系数表有关的问题例 1 如图所示，在“杨辉三角”中，从1开始箭头所指的数组成一个锯齿形数列：1,2,3,3,6,4,10,5，…，记其前n 项和为S n ，求S 16的值．反思与感悟 对杨辉三角形的规律注意观察，找出规律并用数学式正确表达出来，对数学式进行运算，得出正确结论．跟踪训练1 请观察下图，并根据数表中前五行的数字所反映的规律，推算出第九行正中间的数应是________．类型二 求展开式的系数和例2 设(2－3x )100＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 100x 100，求下列各式的值． (1)a 0；(2)a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋…＋a 100； (3)a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99；(4)(a 0＋a 2＋…＋a 100)2－(a 1＋a 3＋…＋a 99)2； (5)|a 0|＋|a 1|＋…＋|a 100|.反思与感悟 二项展开式中系数和的求法(1)对形如(ax ＋b )n ，(ax 2＋bx ＋c )m (a ，b ，c ∈R ，m ，n ∈N *)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x ＝1即可；对(ax ＋by )n (a ，b ∈R ，n ∈N *)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x ＝y ＝1即可．(2)一般地，若f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n，则f (x )展开式中各项系数之和为f (1)， 奇数项系数之和为a 0＋a 2＋a 4＋…＝f (1)＋f (－1)2， 偶数项系数之和为a 1＋a 3＋a 5＋…＝f (1)－f (－1)2.跟踪训练2 在二项式(2x －3y )9的展开式中，求： (1)二项式系数之和； (2)各项系数之和；(3)所有奇数项系数之和．1．在(2x ＋1x)4的展开式中，各项的二项式系数的和为________．2．若(x ＋3y )n 的展开式中所有项的系数之和等于(7a ＋b )10的展开式的二项式系数之和，则n 的值为________．3．观察图中的数所成的规律，则a 所表示的数是________．4．设(2x －3)4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4，则a 0＋a 1＋a 2＋a 3的值为________．5．若x 4(x ＋3)8＝a 0＋a 1(x ＋2)＋a 2(x ＋2)2＋…＋a 12(x ＋2)12，则log 2(a 1＋a 3＋…＋a 11)＝________.用赋值法求多项式系数和求展开式中的系数或展开式中的系数的和、差的关键是给字母赋值，赋值的选择则需根据所求的展开式系数和特征来确定．答案精析问题导学 知识点思考1 在同一行中，每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数相等；在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和． 思考2 2,4,8,16,32,64，…，其系数和为2n.思考3 当n ＝2,4,6时，中间一项最大，当n ＝3,5时中间两项最大． 梳理 (1)①1 相等 (2)①C n －mn ②C mn ＋1 ③C r ＋1n C r ＋1n ④2n题型探究例1 解 由题意及杨辉三角的特点可得S 16＝(1＋2)＋(3＋3)＋(6＋4)＋(10＋5)＋…＋(36＋9)＝(C 02＋C 12)＋(C 23＋C 13)＋(C 24＋C 14)＋…＋(C 29＋C 19) ＝(C 22＋C 23＋C 24＋…＋C 29)＋(2＋3＋…9) ＝C 310＋8×(2＋9)2＝164. 跟踪训练1 70例2 解 (1)令x ＝0，则展开式为a 0＝2100.(2)令x ＝1，可得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 100＝(2－3)100，① ∴a 1＋a 2＋…＋a 100＝(2－3)100－2100. (3)令x ＝－1，可得a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 100＝(2＋3)100.②与①联立相减，得a 1＋a 3＋…＋a 99＝(2－3)100－(2＋3)1002.(4)原式＝[(a 0＋a 2＋…＋a 100)＋(a 1＋a 3＋…＋a 99)]·[(a 0＋a 2＋…＋a 100)－(a 1＋a 3＋…＋a 99)]＝(a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 100)·(a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 98－a 99＋a 100)＝[(2－3)(2＋3)]100＝1100＝1.(5)∵T r ＋1＝(－1)r C r 1002100－r(3)r x r，∴a 2k －1<0(k ∈N *)．∴|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 100|＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 100＝(2＋3)100.跟踪训练2 解 设(2x －3y )9＝a 0x 9＋a 1x 8y ＋a 2x 7y 2＋…＋a 9y 9. (1)二项式系数之和为C 09＋C 19＋C 29＋…＋C 99＝29. (2)各项系数之和为a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9， 令x ＝1，y ＝1，所以a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9＝(2－3)9＝－1. (3)令x ＝1，y ＝－1，可得a 0－a 1＋a 2－…－a 9＝59，又a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9＝－1， 将两式相加可得a 0＋a 2＋a 4＋a 6＋a 8 ＝59－12，即所有奇数项系数之和为59－12.当堂训练1．16 2.5 3.6 4.－15 5.7。
【K12教育学习资料】[学习]2018-2019版高中数学 第一章 计数原理 1.1 分类加法计数原
![【K12教育学习资料】[学习]2018-2019版高中数学 第一章 计数原理 1.1 分类加法计数原](https://img.taocdn.com/s3/m/6fc5175748d7c1c708a145d7.png)
第2课时两个计数原理的综合应用学习目标 1.进一步理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理的区别.2.会正确应用这两个计数原理计数．知识点一两个计数原理的区别与联系知识点二两个计数原理的应用解决较为复杂的计数问题，一般要将两个计数原理综合应用．使用时要做到目的明确，层次分明，先后有序，还需特别注意以下两点：(1)合理分类，准确分步：处理计数问题，应扣紧两个原理，根据具体问题首先弄清楚是“分类”还是“分步”，要搞清楚“分类”或者“分步”的具体标准．分类时需要满足两个条件：①类与类之间要互斥(保证不重复)；②总数要完备(保证不遗漏)，也就是要确定一个合理的分类标准．分步时应按事件发生的连贯过程进行分析，必须做到步与步之间互相独立，互不干扰，并确保连续性．(2)特殊优先，一般在后：解含有特殊元素、特殊位置的计数问题，一般应优先安排特殊元素，优先确定特殊位置，再考虑其他元素与其他位置，体现出解题过程中的主次思想．类型一组数问题例1 用0,1,2,3,4五个数字，(1)可以排成多少个三位数字的电话号码？(2)可以排成多少个三位数？(3)可以排成多少个能被2整除的无重复数字的三位数？考点两个计数原理的应用题点两个原理在排数中的应用解(1)三位数字的电话号码，首位可以是0，数字也可以重复，每个位置都有5种排法，共有5×5×5＝53＝125(种)．(2)三位数的首位不能为0，但可以有重复数字，首先考虑首位的排法，除0外共有4种方法，第二、三位可以排0，因此，共有4×5×5＝100(种)．(3)被2整除的数即偶数，末位数字可取0,2,4，因此，可以分两类，一类是末位数字是0，则有4×3＝12(种)排法；一类是末位数字不是0，则末位有2种排法，即2或4，再排首位，因0不能在首位，所以有3种排法，十位有3种排法，因此有2×3×3＝18(种)排法．因而有12＋18＝30(种)排法．即可以排成30个能被2整除的无重复数字的三位数．引申探究由本例中的五个数字可组成多少个无重复数字的四位奇数？解完成“组成无重复数字的四位奇数”这件事，可以分四步：第一步定个位，只能从1,3中任取一个，有2种方法；第二步定首位，把1,2,3,4中除去用过的一个剩下的3个中任取一个，有3种方法；第三步，第四步把剩下的包括0在内的3个数字先排百位有3种方法，再排十位有2种方法．由分步乘法计数原理知共有2×3×3×2＝36(个)．反思与感悟对于组数问题，应掌握以下原则：(1)明确特殊位置或特殊数字，是我们采用“分类”还是“分步”的关键．一般按特殊位置(末位或首位)分类，分类中再按特殊位置(或特殊元素)优先的策略分步完成；如果正面分类较多，可采用间接法求解．(2)要注意数字“0”不能排在两位数字或两位数字以上的数的最高位．跟踪训练1 从0,2中选一个数字，从1,3,5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为( )A．24 B．18 C．12 D．6考点两个计数原理的应用题点两个原理在排数中的应用答案 B解析由于题目要求是奇数，那么对于此三位数可以分成两种情况；奇偶奇，偶奇奇．如果是第一种奇偶奇的情况，可以从个位开始分析(3种情况)，之后十位(2种情况)，最后百位(2种情况)，共12种；如果是第二种情况偶奇奇：个位(3种情况)，十位(2种情况)，百位(不能是0，一种情况)，共6种，因此总共有12＋6＝18(种)情况．故选B.类型二选(抽)取与分配问题例2 高三年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，其中工厂甲必须有班级去，每班去何工厂可自由选择，则不同的分配方案有( )A．16种 B．18种 C．37种 D．48种考点抽取(分配)问题题点抽取(分配)问题答案 C解析方法一(直接法)以甲工厂分配班级情况进行分类，共分为三类：第一类，三个班级都去甲工厂，此时分配方案只有1种情况；第二类，有两个班级去甲工厂，剩下的班级去另外三个工厂，其分配方案共有3×3＝9(种)；第三类，有一个班级去甲工厂，另外两个班级去其他三个工厂，其分配方案共有3×3×3＝27(种)．综上所述，不同的分配方案有1＋9＋27＝37(种)．方法二(间接法)先计算3个班级自由选择去何工厂的总数，再扣除甲工厂无人去的情况，即4×4×4－3×3×3＝37(种)方案．反思与感悟解决抽取(分配)问题的方法(1)当涉及对象数目不大时，一般选用列举法、树状图法、框图法或者图表法．(2)当涉及对象数目很大时，一般有两种方法：①直接使用分类加法计数原理或分步乘法计数原理．一般地，若抽取是有顺序的就按分步进行；若是按对象特征抽取的，则按分类进行．②间接法：去掉限制条件，计算所有的抽取方法数，然后减去所有不符合条件的抽取方法数即可．跟踪训练2 3个不同的小球放入5个不同的盒子，每个盒子至多放一个小球，共有多少种方法？考点抽取(分配)问题题点抽取(分配)问题解(以小球为研究对象)分三步来完成：第一步：放第一个小球有5种选择；第二步：放第二个小球有4种选择；第三步：放第三个小球有3种选择，由分步乘法计数原理得，总方法数N＝5×4×3＝60.类型三涂色与种植问题例3 (1)将3种作物全部种植在如图所示的5块试验田中，每块种植一种作物，且相邻的试验田不能种同一种作物，则不同的种植方法共有________种.考点种植问题题点种植问题答案42解析分别用a，b，c代表3种作物，先安排第一块田，有3种方法，不妨设放入a，再安排第二块田，有两种方法b或c，不妨设放入b，第三块也有2种方法a或c.(1)若第三块田放c：第四、五块田分别有2种方法，共有2×2＝4(种)方法．(2)若第三块田放a：第四块有b或c两种方法，①若第四块放c：第五块有2种方法；②若第四块放b：第五块只能种作物c，共1种方法．综上，共有3×2×(2×2＋2＋1)＝42(种)方法．(2)将红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在如图所示“田”字形的4个小方格内，每格涂一种颜色，相邻两格涂不同的颜色，如果颜色可以反复使用，共有多少种不同的涂色方法？考点涂色问题题点涂色问题解第1个小方格可以从5种颜色中任取一种颜色涂上，有5种不同的涂法．①当第2个、第3个小方格涂不同颜色时，有4×3＝12(种)不同的涂法，第4个小方格有3种不同的涂法，由分步乘法计数原理可知有5×12×3＝180(种)不同的涂法．②当第2个、第3个小方格涂相同颜色时，有4种涂法，由于相邻两格不同色，因此，第4个小方格也有4种不同的涂法，由分步乘法计数原理可知有5×4×4＝80(种)不同的涂法．由分类加法计数原理可得共有180＋80＝260(种)不同的涂法．引申探究本例(2)中的区域改为如图所示，其他条件均不变，则不同的涂法共有多少种？解依题意，可分两类情况：①④不同色；①④同色．第一类：①④不同色，则①②③④所涂的颜色各不相同，我们可将这件事情分成4步来完成．第一步涂①，从5种颜色中任选一种，有5种涂法；第二步涂②，从余下的4种颜色中任选一种，有4种涂法；第三步涂③与第四步涂④时，分别有3种涂法和2种涂法．于是由分步乘法计数原理得，不同的涂法为5×4×3×2＝120(种)．第二类：①④同色，则①②③不同色，我们可将涂色工作分成三步来完成．第一步涂①④，有5种涂法；第二步涂②，有4种涂法；第三步涂③，有3种涂法．于是由分步乘法计数原理得，不同的涂法有5×4×3＝60(种)．综上可知，所求的涂色方法共有120＋60＝180(种)．反思与感悟解决涂色(种植)问题的一般思路涂色问题一般是综合利用两个计数原理求解，有几种常用方法：(1)按区域的不同，以区域为主分步计数，用分步乘法计数原理分析．(2)以颜色为主分类讨论，适用于“区域、点、线段”等问题，用分类加法计数原理分析．(3)将空间问题平面化，转化为平面区域的涂色问题．种植问题按种植的顺序分步进行，用分步乘法计数原理计数或按种植品种恰当选取情况分类，用分类加法计数原理计数．跟踪训练3 如图所示，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两个端点异色，如果只有5种颜色可供使用，则不同染色方法的总数为________．考点涂色问题题点涂色问题答案420解析按照S→A→B→C→D的顺序进行染色，按照A，C是否同色分类：第一类，A，C同色，则有5×4×3×1×3＝180(种)不同的染色方法．第二类，A，C不同色，则有5×4×3×2×2＝240(种)不同的染色方法．根据分类加法计数原理，共有180＋240＝420(种)不同的染色方法．1．有A，B两种类型的车床各一台，现有甲、乙、丙三名工人，其中甲、乙都会操作两种车床，丙只会操作A种车床，要从这三名工人中选两名分别去操作这两种车床，则不同的选派方法有( )A．6种 B．5种 C．4种 D．3种考点分类加法计数原理题点分类加法计数原理的应用答案 C解析不同的选派情况可分为3类：若选甲、乙，有2种方法；若选甲、丙，有1种方法；若选乙、丙，有1种方法．根据分类加法计数原理知，不同的选派方法有2＋1＋1＝4(种)．2．用0,1，…，9这10个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为( )A．243 B．252 C．261 D．648考点两个计数原理的应用题点两个原理在排数中的应用答案 B解析0,1,2，…，9共能组成9×10×10＝900(个)三位数，其中无重复数字的三位数有9×9×8＝648(个)，所以有重复数字的三位数有900－648＝252(个)．3．某班有3名学生准备参加校运会的100米、200米、跳高、跳远四项比赛，如果每班每项限报1人，则这3名学生的参赛的不同方法有( )A．24种B．48种C．64种D．81种考点分步乘法计数原理题点分步乘法计数原理的应用答案 A解析由于每班每项限报1人，故当前面的学生选了某项之后，后面的学生不能再报，由分步乘法计数原理，共有4×3×2＝24(种)不同的参赛方法．4．火车上有10名乘客，沿途有5个车站，乘客下车的可能方式有( )A．510种B．105种C．50种D．500种考点分步乘法计数原理题点分步乘法计数原理的应用答案 A解析分10步．第1步：考虑第1名乘客下车的所有可能有5种；第2步：考虑第2名乘客下车的所有可能有5种；…；第10步：考虑第10名乘客下车的所有可能有5种．故共有乘客下车的可能方式1055555⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯个＝510(种)．5．如图，用4种不同的颜色涂入图中的矩形A，B，C，D中，要求相邻的矩形涂色不同，则不同的涂法有________种.考点涂色问题题点涂色问题答案108解析A有4种涂法，B有3种涂法，C有3种涂法，D有3种涂法，共有4×3×3×3＝108(种)涂法．1．分类加法计数原理与分步乘法计数原理是两个最基本、也是最重要的原理，是解答后面将要学习的排列、组合问题，尤其是较复杂的排列、组合问题的基础．2．应用分类加法计数原理要求分类的每一种方法都能把事件独立完成；应用分步乘法计数原理要求各步均是完成事件必须经过的若干彼此独立的步骤．3．一般是先分类再分步，分类时要设计好标准，设计好分类方案，防止重复和遗漏．4．若正面分类，种类比较多，而问题的反面种类比较少时，则使用间接法会简单一些．一、选择题1．在由0,1,2,3,4,5所组成的没有重复数字的四位数中，能被5整除的有( )A．512个 B．192个 C．240个 D．108个考点两个计数原理的应用题点两个原理在排数中的应用答案 D解析能被5整除的四位数，可分为两类：一类是末位为0，由分步乘法计数原理，共有5×4×3＝60(个)．二类是末位为5，由分步乘法计数原理共有4×4×3＝48(个)．由分类加法计数原理得60＋48＝108(个)．2．有四位教师在同一年级的四个班各教一个班的数学，在数学检测时要求每位教师不能在本班监考，则监考的方法有( )A．8种 B．9种 C．10种 D．11种考点抽取(分配)问题题点抽取(分配)问题答案 B解析设四位监考教师分别为A，B，C，D，所教班分别为a，b，c，d.若A监考b，则余下三人监考剩下的三个班，共有3种不同方法．同理，若A监考c，d时，也分别有3种不同方法．由分类加法计数原理，得监考方法共有3＋3＋3＝9(种)．3．某城市的电话号码由六位升为七位(首位数字均不为零)，则该城市可增加的电话部数是( )A．9×8×7×6×5×4×3×2B．8×96C．9×106D．8.1×106考点两个计数原理的应用题点两个原理在排数中的应用答案 D解析电话号码是六位数字时，该城市可安装电话9×105部，同理升为七位时为9×106，∴可增加的电话数是9×106－9×105＝81×105.故选D.4．若三角形三边均为正整数，其中一边长为4，另外两边长分别为b，c，且满足b≤4≤c，则这样的三角形有( )A．10个 B．14个 C．15个 D．21个考点分类加法计数原理题点分类加法计数原理的应用答案 A解析当b＝1时，c＝4，当b＝2时，c＝4,5；当b＝3时，c＝4,5,6；当b＝4时，c＝4,5,6,7.故共有10个这样的三角形．5.如图，某电子器件是由三个电阻组成的回路，其中共有6个焊接点A，B，C，D，E，F，如果某个焊接点脱落，整个电路就会不通，现在电路不通了，那么焊接点脱落的可能性共有( )A．6种 B．36种 C．63种 D．64种考点两个计数原理的区别与联系题点两个原理的简单综合应用答案 C解析每个焊接点都有脱落与未脱落两种情况，而只要有一个焊接点脱落，则电路就不通，故共有26－1＝63(种)可能情况．6．从颜色分别为黄、白、红、橙的4盆菊花和颜色分别为紫、粉红、白的3盆山茶花中任取3盆，其中至少有菊花、山茶花各1盆，则不同的选法种数为( )A．12 B．18 C．24 D．30考点两个计数原理的区别与联系题点两个原理的简单综合应用答案 D解析选出符合要求的3盆花可分为两类：第一类，可从4盆菊花中选1盆，再从3盆山茶花中选2盆，有4×3＝12(种)选法；第二类，可从4盆菊花中选2盆，再从3盆山茶花中选1盆，有6×3＝18(种)选法．根据分类加法计数原理知，不同的选法种数为12＋18＝30. 7．在正五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个正五棱柱所有对角线的条数为( )A．20 B．15 C．12 D．10考点两个计数原理的区别与联系题点两个原理的简单综合应用答案 D解析由题意知，正五棱柱的对角线一定为上底面的一个顶点和下底面的一个顶点的连线，因为不同在任何侧面内，所以从一个顶点出发的对角线有2条，所以正五棱柱所有对角线的条数为2×5＝10.8.如图，用五种不同的颜色分别给A，B，C，D四个区域涂色，相邻区域必须涂不同颜色，若允许同一种颜色多次使用，则不同的涂法种数为( )A．280 B．180C．96 D．60考点涂色问题题点涂色问题答案 B解析按区域分四步：第一步A区域有5种颜色可选；第二步B区域有4种颜色可选；第三步C区域有3种颜色可选；第四步由于可重复使用区域A中已有过的颜色，故也有3种颜色可选用．由分步乘法计数原理，共有5×4×3×3＝180(种)涂法．二、填空题9．在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数，共有________个．考点两个计数原理的应用题点两个原理在排数中的应用答案36解析根据题意个位上的数字分别是2,3,4,5,6,7,8,9共8种情况，在每一类中满足题目要求的两位数分别有1个，2个，3个，4个，5个，6个，7个，8个，由分类加法计数原理知，符合题意的两位数共有1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝36(个)．10．某班将元旦联欢会原定的9个歌唱节目已排成节目单，但在开演前又增加了两个新节目．如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为________．考点分步乘法计数原理题点分步乘法计数原理的应用答案110解析先将其中一个节目插入原节目单的9个节目形成的10个空中，有10种方法；再把另一个节目插入前10个节目形成的11个空中，有11种插法．由分步乘法计数原理知有10×11＝110(种)不同的插法．11．古人用天干、地支来表示年、月、日、时的次序．用天干的“甲、丙、戊、庚、壬”和地支的“子、寅、辰、午、申、戌”相配，用天干的“乙、丁、己、辛、癸”和地支的“丑、卯、巳、未、酉、亥”相配，共可配成________组．考点两个计数原理的区别与联系题点两个原理的简单综合应用答案60解析分两类：第一类：由天干的“甲、丙、戊、庚、壬”和地支的“子、寅、辰、午、申、戌”相配，则有5×6＝30(组)不同的结果．第二类也有30组不同的结果，共可得30＋30＝60(组)．三、解答题12．有一项活动，需在3名教师，8名男同学和5名女同学中选人参加．(1)若只需一人参加，有多少种不同选法？(2)若需教师、男同学、女同学各一人参加，有多少种不同选法？(3)若需一名教师，一名学生参加，有多少种不同选法？考点两个计数原理的区别与联系题点两个原理的简单综合应用解(1)有三类选人的方法：3名教师中选一人，有3种方法；8名男同学中选一人，有8种方法；5名女同学中选一人，有5种方法．由分类加法计数原理知，共有3＋8＋5＝16(种)选法．(2)分三步选人：第一步选教师，有3种方法；第二步选男同学，有8种方法；第三步选女同学，有5种方法．由分步乘法计数原理知，共有3×8×5＝120(种)选法．(3)可分两类，每一类又分两步．第一类：选一名教师再选一名男同学，有3×8＝24(种)选法；第二类：选一名教师再选一名女同学，共有3×5＝15(种)选法．由分类加法计数原理可知，共有24＋15＝39(种)选法．13．将一枚骰子连续抛掷三次，掷出的数字顺次排成一个三位数．(1)可以排出多少个不同的三位数？(2)各位数字互不相同的三位数有多少个？(3)恰好有两个数字相同的三位数共有多少个？考点两个计数原理的应用题点两个原理在排数中的应用解(1)分三步进行：先排百位，再排十位，最后排个位．根据分步乘法计数原理知，可以排出6×6×6＝216(个)不同的三位数．(2)分三步进行：先排百位，再排十位，最后排个位．百位上数字的排法有6种，十位上数字的排法有5种，个位上数字的排法有4种，根据分步乘法计数原理知，各位数字互不相同的三位数有6×5×4＝120(个)．(3)两个数字相同有三种可能，即百位、十位相同，十位、个位相同，百位、个位相同，而每种都有6×5＝30(个)，故满足条件的三位数共有3×30＝90(个)．四、探究与拓展14．从集合{1,2,3,4,5}中任取2个不同的数，作为直线Ax＋By＝0的系数，则形成不同的直线最多有( )A．18条 B．20条 C．25条 D．10条考点两个计数原理的区别与联系题点两个原理的简单综合应用答案 A解析第一步取A的值，有5种取法，第二步取B的值有4种取法，其中当A＝1，B＝2时，与A＝2，B＝4时是相同的；当A＝2，B＝1时，与A＝4，B＝2时是相同的，故共有5×4－2＝18(条)．15．用n种不同的颜色为两块广告牌着色，如图，要求在①，②，③，④四个区域中相邻(有公共边界)的区域不用同一种颜色．(1)若n＝6，为甲着色时共有多少种不同的方法？(2)若为乙着色时共有120种不同的方法，求n的值．考点涂色问题题点涂色问题解完成着色这件事，共分为四个步骤，可以依次考虑为①，②，③，④这四个区域着色时各自的方法数，再利用分步乘法计数原理确定出总的方法数．(1)为①区域着色时有6种方法，为②区域着色时有5种方法，为③区域着色时有4种方法，为④区域着色时有4种方法，依据分步乘法计数原理，不同的着色方法有6×5×4×4＝480(种)．(2)由题意知，为①区域着色时有n种方法，为②区域着色时有(n－1)种方法，为③区域着色时有(n－2)种方法，为④区域着色时有(n－3)种方法，由分步乘法计数原理可得不同的着色方法数为n(n－1)(n－2)(n－3)．∴n(n－1)(n－2)(n－3)＝120，∴(n2－3n)(n2－3n＋2)－120＝0，即(n2－3n)2＋2(n2－3n)－120＝0.∴n2－3n－10＝0或n2－3n＋12＝0(舍去)．∴n＝5(负值舍去)．。
配套K12(全国通用版)2018-2019版高中数学 第一章 导数及其应用 1.3 导数在研究函数中
1.3.1 函数的单调性与导数(二)学习目标 1.会利用导数证明一些简单的不等式问题.2.掌握利用导数研究含参数的单调性的基本方法．1．函数的单调性与其导数正负的关系定义在区间(a，b)内的函数y＝f(x)：特别提醒：①若在某区间上有有限个点使f′(x)＝0，其余的点恒有f′(x)>0，则f(x)仍为增函数(减函数的情形完全类似)．②f(x)为增函数的充要条件是对任意的x∈(a，b)都有f′(x)≥0且在(a，b)内的任一非空子区间上f′(x)不恒为0.2．函数图象的变化趋势与导数值大小的关系一般地，设函数y＝f(x)，在区间(a，b)上3.利用导数解决单调性问题需要注意的问题(1)定义域优先的原则：解决问题的过程只能在定义域内，通过讨论导数的符号来判断函数的单调区间．(2)注意“临界点”和“间断点”：在对函数划分单调区间时，除了必须确定使导数等于零的点外，还要注意在定义域内的间断点．(3)如果一个函数的单调区间不止一个，这些单调区间之间不能用“∪”连接，而只能用“逗号”或“和”字等隔开．1．如果函数f (x )在某个区间内恒有f ′(x )＝0，则f (x )在此区间内没有单调性．( √ ) 2．函数在某区间上变化越快，函数在这个区间上的导数的绝对值越大．( √ )类型一 利用导数求参数的取值范围例1 若函数f (x )＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)上单调递增，则k 的取值范围是________． 考点 利用导数求函数的单调区间 题点 已知函数的单调性求参数(或其范围) 答案 [1，＋∞)解析 由于f ′(x )＝k －1x，f (x )＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)上单调递增，等价于f ′(x )＝k －1x≥0在(1，＋∞)上恒成立． 由于k ≥1x ，而0<1x<1，所以k ≥1.即k 的取值范围为[1，＋∞)． 引申探究1．若将本例中条件递增改为递减，求k 的取值范围． 解 ∵f ′(x )＝k －1x，又f (x )在(1，＋∞)上单调递减，∴f ′(x )＝k －1x≤0在(1，＋∞)上恒成立，即k ≤1x ，∵0<1x<1，∴k ≤0.即k 的取值范围为(－∞，0]．2．若将本例中条件递增改为不单调，求k 的取值范围．解 f (x )＝kx －ln x 的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝k －1x.当k ≤0时，f ′(x )<0.∴f (x )在(0，＋∞)上单调递减，故不合题意． 当k >0时，令f ′(x )＝0，得x ＝1k，只需1k ∈(1，＋∞)，即1k>1，则0<k <1.∴k 的取值范围是(0,1)．反思与感悟 (1)利用导数法解决取值范围问题的两个基本思路①将问题转化为不等式在某区间上的恒成立问题，即f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)恒成立，利用分离参数或函数性质求解参数范围，然后检验参数取“＝”时是否满足题意；②先令f ′(x )>0(或f ′(x )<0)，求出参数的取值范围后，再验证参数取“＝”时f (x )是否满足题意．(2)恒成立问题的重要思路 ①m ≥f (x )恒成立⇒m ≥f (x )max ； ②m ≤f (x )恒成立⇒m ≤f (x )min .跟踪训练1 若函数f (x )＝13x 3－12ax 2＋(a －1)x ＋1在区间(1,4)上单调递减，在(6，＋∞)上单调递增，求实数a 的取值范围． 考点 利用导数求函数的单调区间 题点 已知函数的单调性求参数(或其范围) 解 方法一 (直接法)f ′(x )＝x 2－ax ＋a －1，令f ′(x )＝0，得x ＝1或x ＝a －1.当a －1≤1，即a ≤2时，函数f (x )在(1，＋∞)上单调递增，不合题意．当a －1>1，即a >2时，函数f (x )在(－∞，1)和(a －1，＋∞)上单调递增，在(1，a －1)上单调递减，由题意知(1,4)⊂(1，a －1)且(6，＋∞)⊂(a －1，＋∞)， 所以4≤a －1≤6，即5≤a ≤7. 故实数a 的取值范围为[5,7]． 方法二 (数形结合法) 如图所示，f ′(x )＝(x －1)[x －(a －1)]．因为在(1,4)内，f ′(x )≤0， 在(6，＋∞)内f ′(x )≥0， 且f ′(x )＝0有一根为1， 所以另一根在[4,6]上．所以⎩⎪⎨⎪⎧f ′(4)≤0，f ′(6)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧3×(5－a )≤0，5×(7－a )≥0，所以5≤a ≤7.故实数a 的取值范围为[5,7]．方法三(转化为不等式的恒成立问题)f′(x)＝x2－ax＋a－1.因为f(x)在(1,4)上单调递减，所以f′(x)≤0在(1,4)上恒成立．即a(x－1)≥x2－1在(1,4)上恒成立，所以a≥x＋1，因为2<x＋1<5，所以当a≥5时，f′(x)≤0在(1,4)上恒成立，又因为f(x)在(6，＋∞)上单调递增，所以f′(x)≥0在(6，＋∞)上恒成立，所以a≤x＋1，因为x＋1>7，所以当a≤7时，f′(x)≥0在(6，＋∞)上恒成立．综上知5≤a≤7.故实数a的取值范围为[5,7]．类型二证明不等式例2 证明e x≥x＋1≥sin x＋1(x≥0)．考点利用导数研究函数的单调性题点利用导数证明不等式证明令f(x)＝e x－x－1(x≥0)，则f′(x)＝e x－1≥0，∴f(x)在[0，＋∞)上单调递增，∴对任意x∈[0，＋∞)，有f(x)≥f(0)，而f(0)＝0，∴f(x)≥0，即e x≥x＋1，令g(x)＝x－sin x(x≥0)，g′(x)＝1－cos x≥0，∴g(x)≥g(0)，即x－sin x≥0，∴x＋1≥sin x＋1(x≥0)，综上，e x≥x＋1≥sin x＋1.反思与感悟用导数证明不等式f(x)>g(x)的一般步骤(1)构造函数F(x)＝f(x)－g(x)，x∈[a，b]．(2)证明F′(x)＝f′(x)－g′(x)≥0，且F(a)>0.(3)依(2)知函数F(x)＝f(x)－g(x)在[a，b]上是单调递增函数，故f(x)－g(x)>0，即f(x)>g(x)．这是因为F(x)为单调递增函数，所以F(x)≥F(a)>0，即f(x)－g(x)≥f(a)－g(a)>0.跟踪训练2 已知x >0，证明不等式ln(1＋x )>x －12x 2成立．考点 利用导数研究函数的单调性 题点 利用导数证明不等式 证明 设f (x )＝ln(1＋x )－x ＋12x 2，则f ′(x )＝11＋x －1＋x ＝x21＋x .当x >－1时，f ′(x )>0，则f (x )在(－1，＋∞)内是增函数． ∴当x >0时，f (x )>f (0)＝0.∴当x >0时，不等式ln(1＋x )>x －12x 2成立.1．已知命题p ：对任意x ∈(a ，b )，有f ′(x )>0，q ：f (x )在(a ，b )内是单调递增的，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 考点 函数的单调性与导数的关系题点 利用导数值的正负号判定函数的单调性 答案 A2．已知对任意实数x ，都有f (－x )＝－f (x )，g (－x )＝g (x )，且当x >0时，f ′(x )>0，g ′(x )>0，则当x <0时( ) A ．f ′(x )>0，g ′(x )>0 B ．f ′(x )>0，g ′(x )<0 C ．f ′(x )<0，g ′(x )>0 D ．f ′(x )<0，g ′(x )<0考点 函数的单调性与导数的关系题点 利用导数值的正负号判定函数的单调性 答案 B解析 由题意知，f (x )是奇函数，g (x )是偶函数． 当x >0时，f (x )，g (x )都单调递增， 则当x <0时，f (x )单调递增，g (x )单调递减，即f ′(x )>0，g ′(x )<0.3．已知函数f (x )＝x 3－12x ，若f (x )在区间(2m ，m ＋1)上单调递减，则实数m 的取值范围是________．考点 利用导数求函数的单调区间 题点 已知函数的单调性求参数(或其范围) 答案 [－1,1)解析 f ′(x )≤0，即3x 2－12≤0，得－2≤x ≤2. ∴f (x )的减区间为[－2,2]， 由题意得(2m ，m ＋1)⊆[－2,2]， ∴⎩⎪⎨⎪⎧2m ≥－2，m ＋1≤2，2m <m ＋1，得－1≤m <1.4．函数y ＝ax －ln x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上单调递增，则a 的取值范围为________．考点 利用导数求函数的单调区间 题点 已知函数的单调性求参数(或其范围) 答案 [2，＋∞)解析 y ′＝a －1x，由题意知，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞时，y ′≥0， 即a ≥1x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上恒成立， 由x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞得，1x <2，∴a ≥2.5．证明方程x －12sin x ＝0只有一个实根，并试求出这个实根．考点 利用导数研究函数的单调性 题点 利用导数证明不等式解 令f (x )＝x －12sin x ，x ∈(－∞，＋∞)，则f ′(x )＝1－12cos x >0，所以f (x )在(－∞，＋∞)上为单调递增函数，其图象若穿越x 轴，则只有一次穿越的机会， 显然x ＝0时，f (x )＝0.所以方程x －12sin x ＝0有唯一的实根x ＝0.利用导数法解决取值范围问题的两个基本思路(1)将问题转化为不等式在某区间上的恒成立问题，即f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)恒成立，利用分离参数或函数性质求解参数范围，然后检验参数取“＝”时是否满足题意；(2)先令f ′(x )>0(或f ′(x )<0)，求出参数的取值范围后，再验证参数取“＝”时，f (x )是否满足题意.一、选择题1．函数y ＝x 4－2x 2＋5的单调递减区间为( ) A ．(－∞，－1)和(0,1) B ．[－1,0]和[1，＋∞) C ．[－1,1]D ．(－∞，－1]和[1，＋∞) 考点 利用导数求函数的单调区间 题点 利用导数求不含参数函数的单调区间 答案 A解析 y ′＝4x 3－4x ，令y ′<0，即4x 3－4x <0， 解得x <－1或0<x <1，所以函数的单调递减区间为(－∞，－1)和(0,1)，故选A. 2．若f (x )＝ln xx，e<a <b ，则( )A ．f (a )>f (b )B ．f (a )＝f (b )C ．f (a )<f (b )D ．f (a )f (b )>1考点 利用导数研究函数的单调性 题点 比较函数值的大小 答案 A解析 由f ′(x )＝1－ln x x2<0，解得x >e ， ∴f (x )在(e ，＋∞)上为减函数， ∵e<a <b ，∴f (a )>f (b )．3．若函数f (x )＝2x 2－ln x 在定义域内的一个子区间(k －1，k ＋1)上不是单调函数，则实数k 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，32B.⎝ ⎛⎦⎥⎤1，32 C ．(1,2] D ．[1,2) 考点 利用导数求函数的单调区间 题点 已知函数的单调性求参数(或其范围) 答案 A解析 显然函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝4x －1x ＝4x 2－1x.由f ′(x )＞0，得函数f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞；由f ′(x )＜0，得函数f (x )单调递减区间为⎝⎛⎭⎪⎫0，12.因为函数在区间(k －1，k ＋1)上不是单调函数，所以k －1＜12＜k ＋1，解得－12＜k ＜32，又因为(k－1，k ＋1)为定义域内的一个子区间，所以k －1≥0，即k ≥1.综上可知，1≤k ＜32.4．若a >0，且f (x )＝x 3－ax 在[1，＋∞)上是增函数，则a 的取值范围是( ) A ．(0,3) B ．(0,3] C ．(3，＋∞)D ．[3，＋∞)考点 利用导数求函数的单调区间 题点 已知函数的单调性求参数(或其范围) 答案 B解析 由题意得，f ′(x )＝3x 2－a ≥0在x ∈[1，＋∞)上恒成立， 即a ≤(3x 2)min ＝3， 又a >0，∴0<a ≤3. 5．若函数y ＝a (x 3－x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33上单调递减，则a 的取值范围是( ) A ．(0，＋∞) B ．(－1,0) C ．(1，＋∞)D ．(0,1)考点 利用导数求函数的单调区间 题点 已知函数的单调性求参数(或其范围) 答案 A解析 y ′＝a (3x 2－1)＝3a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －33·⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋33， 当－33<x <33时，⎝⎛⎭⎪⎫x －33⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋33<0， 要使y ＝a (x 3－x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33上单调递减，只需y ′<0，即a >0.6．设f (x )，g (x )在[a ，b ]上可导，且f ′(x )>g ′(x )，则当a <x <b 时，有( ) A ．f (x )>g (x ) B ．f (x )<g (x )C ．f (x )＋g (a )>g (x )＋f (a )D ．f (x )＋g (b )>g (x )＋f (b ) 考点 利用导数研究函数的单调性 题点 构造法的应用 答案 C解析 设h (x )＝f (x )－g (x )，∵f ′(x )－g ′(x )>0，∴h ′(x )>0，∴h (x )在[a ，b ]上是增函数， ∴当a <x <b 时，h (x )>h (a )， ∴f (x )－g (x )>f (a )－g (a )， 即f (x )＋g (a )>g (x )＋f (a )． 二、填空题7．若y ＝sin x ＋ax 在R 上是增函数，则a 的取值范围是________． 考点 利用导数求函数的单调区间 题点 已知函数的单调性求参数(或其范围) 答案 [1，＋∞)解析 因为y ′＝cos x ＋a ≥0， 所以a ≥－cos x 对x ∈R 恒成立． 所以a ≥1.8．若函数y ＝13ax 3－12ax 2－2ax (a ≠0)在[－1,2]上为增函数，则a 的取值范围是________．考点 利用导数求函数的单调区间 题点 已知函数的单调性求参数(或其范围) 答案 (－∞，0)解析 y ′＝ax 2－ax －2a ＝a (x ＋1)(x －2)>0， ∵当x ∈(－1,2)时，(x ＋1)(x －2)<0， ∴a <0.9．若函数y ＝－43x 3＋ax 有三个单调区间，则a 的取值范围是________．考点 利用导数求函数的单调区间 题点 已知函数的单调性求参数(或其范围) 答案 (0，＋∞)解析 ∵y ′＝－4x 2＋a ，且y 有三个单调区间，∴方程y ′＝－4x 2＋a ＝0有两个不等的实根，∴Δ＝02－4×(－4)×a >0，∴a >0.10．若函数f (x )＝－12x 2＋b ln(x ＋2)在(－1，＋∞)上是减函数，则b 的取值范围是________． 考点 利用导数求函数的单调区间题点 已知函数的单调性求参数(或其范围)答案 (－∞，－1]解析 f ′(x )＝－x ＋bx ＋2，由题意知f ′(x )＝－x ＋b x ＋2≤0在(－1，＋∞)上恒成立， 即bx ＋2≤x 在(－1，＋∞)上恒成立，∵x >－1，∴x ＋2>1>0，∴b ≤x (x ＋2)，设y ＝x (x ＋2)，则y ＝x 2＋2x ＝(x ＋1)2－1，∵x >－1，∴y >－1，∴要使b ≤x (x ＋2)成立，则有b ≤－1.11．若f (x )＝2x －a x 2＋2(x ∈R )在区间[－1,1]上是增函数，则a 的取值范围是________． 考点 利用导数求函数的单调区间题点 已知函数的单调性求参数(或其范围)答案 [－1,1]解析 f ′(x )＝2·－x 2＋ax ＋2(x 2＋2)2， ∵f (x )在[－1,1]上是增函数，∴f ′(x )＝2·－x 2＋ax ＋2(x 2＋2)2≥0. ∵(x 2＋2)2>0，∴x 2－ax －2≤0对x ∈[－1,1]恒成立．令g (x )＝x 2－ax －2，则⎩⎪⎨⎪⎧ g (－1)≤0，g (1)≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋a －2≤0，1－a －2≤0，∴－1≤a ≤1.即a 的取值范围是[－1,1]．三、解答题12．已知函数f (x )＝ax 2＋ln(x ＋1)．(1)当a ＝－14时，求函数f (x )的单调区间； (2)若函数f (x )在区间[1，＋∞)上为减函数，求实数a 的取值范围．考点 利用导数求函数的单调区间题点 已知函数的单调性求参数(或其范围)解 (1)当a ＝－14时， f (x )＝－14x 2＋ln(x ＋1)(x >－1)，f ′(x )＝－12x ＋1x ＋1＝－(x ＋2)(x －1)2(x ＋1)(x >－1)． 当f ′(x )>0时，解得－1<x <1；当f ′(x )<0时，解得x >1.故函数f (x )的单调递增区间是(－1,1)，单调递减区间是(1，＋∞)．(2)因为函数f (x )在区间[1，＋∞)上为减函数，所以f ′(x )＝2ax ＋1x ＋1≤0对任意x ∈[1，＋∞)恒成立， 即a ≤－12x (x ＋1)对任意x ∈[1，＋∞)恒成立． 令g (x )＝－12x (x ＋1)， 易求得在区间[1，＋∞)上g ′(x )>0，故g (x )在区间[1，＋∞)上单调递增，故⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12x (x ＋1)min ＝g (1)＝－14， 故a ≤－14. 即实数a 的取值范围为⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－14. 13．已知函数f (x )＝ln x －(x －1)22. (1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)证明：当x >1时，f (x )<x －1.考点 利用导数研究函数的单调性题点 利用导数证明不等式(1)解 f ′(x )＝1x －x ＋1＝－x 2＋x ＋1x，x ∈(0，＋∞)． 由f ′(x )>0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x >0，－x 2＋x ＋1>0，解得0<x <1＋52. 故f (x )的单调递增区间是⎝⎛⎭⎪⎫0，1＋52. (2)证明 令F (x )＝f (x )－(x －1)，x ∈(1，＋∞)． 则F ′(x )＝1－x 2x. 当x ∈(1，＋∞)时，F ′(x )<0，所以F (x )在(1，＋∞)上单调递减，故当x >1时，F (x )<F (1)＝0，即当x >1时，f (x )<x －1.四、探究与拓展14．设函数f ′(x )是奇函数f (x )(x ∈R )的导函数，f (－1)＝0，当x >0时，xf ′(x )－f (x )<0，则使得f (x )>0成立的x 的取值范围是__________．考点 利用导数研究函数的单调性题点 构造法的应用答案 (－∞，－1)∪(0,1)解析 因为f (x )(x ∈R )为奇函数，f (－1)＝0，所以f (1)＝－f (－1)＝0.当x ≠0时，令g (x )＝f (x )x ，则g (x )为偶函数，且g (1)＝g (－1)＝0.则当x >0时，g ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫f (x )x ′＝xf ′(x )－f (x )x 2<0，故g (x )在(0，＋∞)上为减函数，在(－∞，0)上为增函数．所以在(0，＋∞)上，当0<x <1时，g (x )>g (1)＝0⇔f (x )x >0⇔f (x )>0；在(－∞，0)上，当x <－1时，g (x )<g (－1)＝0⇔f (x )x <0⇔f (x )>0.综上，使得f (x )>0成立的x 的取值范围是(－∞，－1)∪(0,1)．15．设函数f (x )＝x e kx (k ≠0)．(1)求函数f (x )的单调区间；(2)若函数f (x )在区间(－1,1)上单调递增，求k 的取值范围．考点 利用导数求函数的单调区间题点 已知函数的单调性求参数(或其范围)解 (1)由f ′(x )＝(1＋kx )e kx ＝0，得x ＝－1k(k ≠0)．若k >0，则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－1k 时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减； 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k ，＋∞时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增． 若k <0，则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－1k 时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增； 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k ，＋∞时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减． 综上，k >0时，f (x )的增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k ，＋∞，减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－1k ， k <0时，f (x )的增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－1k ，减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k ，＋∞. (2)由(1)知，若k >0，则当且仅当－1k≤－1， 即0<k ≤1时，函数f (x )在(－1,1)上单调递增；若k <0，则当且仅当－1k≥1，即－1≤k <0时，函数f (x )在(－1,1)上单调递增． 综上可知，函数f (x )在区间(－1,1)上单调递增时，k 的取值范围是[－1,0)∪(0,1]．。
【配套K12】[学习]2018-2019版高中数学 第一章 计数原理 1.2 排列与组合 1.2.1
第1课时排列与排列数公式学习目标 1.了解排列的概念.2.理解并掌握排列数公式，能应用排列知识解决简单的实际问题．知识点一排列的定义从甲、乙、丙三名同学中选出2人参加一项活动，其中1名同学参加上午的活动，另1名同学参加下午的活动．思考让你安排这项活动需要分几步？答案分两步．第1步确定上午的同学；第2步确定下午的同学．梳理一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m个元素的一个排列．知识点二排列数及排列数公式思考从1,2,3,4这4个数字中选出3个能构成多少个无重复数字的3位数？答案4×3×2＝24(个)．梳理1．a，b，c与b，a，c是同一个排列．( ×)2．同一个排列中，同一个元素不能重复出现．( √)3．在一个排列中，若交换两个元素的位置，则该排列不发生变化．( ×)4．从4个不同元素中任取3个元素，只要元素相同得到的就是相同的排列．( ×)类型一排列的概念例1 判断下列问题是否为排列问题：(1)北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞机票的价格(假设来回的票价相同)；(2)选2个小组分别去植树和种菜；(3)选2个小组去种菜；(4)选10人组成一个学习小组；(5)选3个人分别担任班长、学习委员、生活委员；(6)某班40名学生在假期相互通信．考点排列的概念题点排列的判断解(1)中票价只有三种，虽然机票是不同的，但票价是一样的，不存在顺序问题，所以不是排列问题．(2)植树和种菜是不同的，存在顺序问题，属于排列问题．(3)(4)不存在顺序问题，不属于排列问题．(5)中每个人的职务不同，例如甲当班长或当学习委员是不同的，存在顺序问题，属于排列问题．(6)A给B写信与B给A写信是不同的，所以存在着顺序问题，属于排列问题．所以在上述各题中(2)(5)(6)是排列问题，(1)(3)(4)不是排列问题．反思与感悟判断一个具体问题是否为排列问题的思路跟踪训练1 判断下列问题是否为排列问题．(1)会场有50个座位，要求选出3个座位有多少种方法？若选出3个座位安排三位客人，又有多少种方法？(2)从集合M ＝{1,2，…，9}中，任取两个元素作为a ，b ，可以得到多少个焦点在x 轴上的椭圆方程x 2a 2＋y 2b 2＝1？可以得到多少个焦点在x 轴上的双曲线方程x 2a 2－y 2b2＝1?(3)平面上有5个点，其中任意三个点不共线，这5个点最多可确定多少条直线？可确定多少条射线？ 考点 排列的概念 题点 排列的判断解 (1)第一问不是排列问题，第二问是排列问题．“入座”问题同“排队”问题，与顺序有关，故选3个座位安排三位客人是排列问题． (2)第一问不是排列问题，第二问是排列问题．若方程x 2a 2＋y 2b 2＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则必有a >b ，a ，b 的大小关系一定；在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1中，不管a >b 还是a <b ，方程x 2a 2－y 2b2＝1均表示焦点在x 轴上的双曲线，且是不同的双曲线，故是排列问题．(3)确定直线不是排列问题，确定射线是排列问题． 类型二 排列的列举问题例2 (1)从1,2,3,4四个数字中任取两个数字组成两位不同的数，一共可以组成多少个？ (2)写出从4个元素a ，b ，c ，d 中任取3个元素的所有排列． 考点 排列的概念 题点 列举所有排列解 (1)由题意作“树状图”，如下．故组成的所有两位数为12,13,14,21,23,24,31,32,34,41,42,43，共有12个． (2)由题意作“树状图”，如下．故所有的排列为abc ，abd ，acb ，acd ，adb ，adc ，bac ，bad ，bca ，bcd ，bda ，bdc ，cab ，cad ，cba ，cbd ，cda ，cdb ，dab ，dac ，dba ，dbc ，dca ，dcb .反思与感悟 利用“树状图”法解决简单排列问题的适用范围及策略(1)适用范围：“树状图”在解决排列元素个数不多的问题时，是一种比较有效的表示方式． (2)策略：在操作中先将元素按一定顺序排出，然后以先安排哪个元素为分类标准进行分类，再安排第二个元素，并按此元素分类，依次进行，直到完成一个排列，这样能做到不重不漏，然后再按树状图写出排列．跟踪训练2 写出A ，B ，C ，D 四名同学站成一排照相，A 不站在两端的所有可能站法． 考点 排列的概念 题点 列举所有排列解 由题意作“树状图”，如下，故所有可能的站法是BACD ，BADC ，BCAD ，BDAC ，CABD ，CADB ，CBAD ，CDAB ，DABC ，DACB ，DBAC ，DCAB .类型三 排列数公式及应用例3 (1)用排列数表示(55－n )(56－n )…(69－n )(n ∈N *且，n <55)； (2)计算2A 58＋7A 48A 88－A 59；(3)求证：A m n ＋1－A m n ＝m A m －1n . 考点 排列数公式 题点 利用排列数公式计算(1)解 因为55－n,56－n ，…，69－n 中的最大数为69－n ，且共有69－n －(55－n )＋1＝15(个)元素，所以(55－n )(56－n )…(69－n )＝A 1569－n . (2)解 2A 58＋7A 48A 88－A 59＝2×8×7×6×5×4＋7×8×7×6×58×7×6×5×4×3×2×1－9×8×7×6×5＝8×7×6×5×(8＋7)8×7×6×5×(24－9)＝1.(3)证明 方法一 因为A mn ＋1－A mn ＝(n ＋1)！(n ＋1－m )！－n ！(n －m )！＝n ！(n －m )！·⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋1n ＋1－m －1＝n ！(n －m )！·m n ＋1－m＝m ·n ！(n ＋1－m )！＝m A m －1n ，所以A mn ＋1－A mn ＝m A m －1n .方法二 A m n ＋1表示从n ＋1个元素中取出m 个元素的排列个数，其中不含元素a 1的有A mn 个． 含有a 1的可这样进行排列：先排a 1，有m 种排法，再从另外n 个元素中取出m －1个元素排在剩下的m －1个位置上，有A m －1n 种排法． 故A m n ＋1＝m A m －1n ＋A mn ， 所以m A m －1n ＝A m n ＋1－A mn .反思与感悟 排列数公式的形式及选择方法排列数公式有两种形式，一种是连乘积的形式，另一种是阶乘的形式，若要计算含有数字的排列数的值，常用连乘积的形式进行计算，而要对含有字母的排列数的式子进行变形或作有关的论证时，一般用阶乘式．跟踪训练3 不等式A x 8<6A x －28的解集为( ) A ．[2,8] B ．[2,6] C ．(7,12) D ．{8} 考点 排列数公式题点 解含有排列数的方程或不等式 答案 D解析 由A x 8<6A x －28，得8！(8－x )！<6×8！(10－x )！，化简得x 2－19x ＋84<0， 解得7<x <12，①又⎩⎪⎨⎪⎧x ≤8，x －2≥0，所以2≤x ≤8，②由①②及x ∈N *，得x ＝8.1．从1,2,3,4四个数字中，任选两个数做加、减、乘、除运算，分别计算它们的结果，在这些问题中，有几种运算可以看作排列问题( ) A ．1 B ．3 C ．2 D ．4 考点 排列的概念 题点 排列的判断 答案 C解析 因为加法和乘法满足交换律，所以选出两个数做加法和乘法时，结果与两数字位置无关，故不是排列问题，而减法、除法与两数字的位置有关，故是排列问题．2．从甲、乙、丙三人中选两人站成一排的所有站法为( ) A ．甲乙，乙甲，甲丙，丙甲 B ．甲乙，丙乙、丙甲C ．甲乙，甲丙，乙甲，乙丙，丙甲，丙乙D ．甲乙，甲丙，乙丙 考点 排列的概念 题点 列举所有排列 答案 C3．(x －3)(x －4)(x －5)…(x －12)(x －13)，x ∈N *，x >13可表示为( ) A ．A 10x －3 B ．A 11x －3 C ．A 10x －13 D ．A 11x －13 考点 排列数公式 题点 利用排列数公式计算 答案 B解析 从(x －3)，(x －4)，…到(x －13)共(x －3)－(x －13)＋1＝11(个)数，所以根据排列数公式知(x －3)(x －4)(x －5)…(x －12)(x －13)＝A 11x －3.4．从5本不同的书中选2本送给2名同学，每人1本，不同的送法种数为( ) A ．5 B ．10 C ．15 D ．20 考点 排列的应用题点 无限制条件的排列问题 答案 D5．解方程A 42x ＋1＝140A 3x . 考点 排列数公式题点 解含有排列数的方程或不等式解 根据题意，原方程等价于⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1≥4，x ≥3，x ∈N *，(2x ＋1)·2x ·(2x －1)(2x －2)＝140x (x －1)(x －2)，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥3，x ∈N *，(2x ＋1)(2x －1)＝35(x －2)，整理得4x 2－35x ＋69＝0(x ≥3，x ∈N *)，解得x ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＝234∉N *，舍去.1．判断一个问题是否是排列问题的思路排列的根本特征是每一个排列不仅与选取的元素有关，而且与元素的排列顺序有关．这就说，在判断一个问题是否是排列问题时，可以考虑所取出的元素，任意交换两个，若结果变化，则是排列问题，否则不是排列问题．2．关于排列数的两个公式(1)排列数的第一个公式A m n＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)适用m已知的排列数的计算以及排列数的方程和不等式．在运用时要注意它的特点，从n起连续写出m个数的乘积即可．(2)排列数的第二个公式A m n＝n！(n－m)！用于与排列数有关的证明、解方程、解不等式等，在具体运用时，应注意先提取公因式再计算，同时还要注意隐含条件“n，m∈N*，m≤n”的运用．一、选择题1．A m12＝9×10×11×12，则m等于( )A．3 B．4 C．5 D．6考点排列数公式题点利用排列数公式计算答案 B2．已知下列问题：①从甲、乙、丙三名同学中选出两名分别参加数学、物理兴趣小组；②从甲、乙、丙三名同学中选出两人参加一项活动；③从a，b，c，d中选出3个字母；④从1,2,3,4,5这五个数字中取出2个数字组成一个两位数．其中是排列问题的有( )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个考点排列的概念题点排列的判断答案 B解析由排列的定义知①④是排列问题．3．与A310·A77不相等的是( )A．A910 B．81A88 C．10A99 D．A1010考点排列数公式题点利用排列数公式证明答案 B解析A310·A77＝10×9×8×7！＝A910＝10A99＝A1010，81A88＝9A99≠A1010，故选B.4．甲、乙、丙三人排成一排照相，甲不站在排头的所有排列种数为( )A．6 B．4 C．8 D．10题点 列举所有排列 答案 B解析 列树状图如下： 丙甲乙乙甲 乙甲丙丙甲故组成的排列为丙甲乙，丙乙甲，乙甲丙，乙丙甲，共4种．5．从2,3,5,7四个数中任选两个分别相除，则得到的不同结果有( ) A ．6个 B ．10个 C ．12个 D ．16个 考点 排列的应用题点 无限制条件的排列问题 答案 C解析 不同结果有A 24＝4×3＝12(个)． 6．下列各式中与排列数A mn 相等的是( ) A.n ！(n －m ＋1)！B ．n (n －1)(n －2)…(n －m ) C.n A m n －1n －m ＋1D ．A 1n A m －1n －1考点 排列数公式 题点 利用排列数公式证明 答案 D 解析 A mn ＝n ！(n －m )！，而A 1n A m －1n －1＝n ×(n －1)！(n －m )！＝n ！(n －m )！，∴A 1n A m －1n －1＝A mn .7．四张卡片上分别标有数字“2”“0”“1”“1”，则由这四张卡片可组成不同的四位数的个数为( )A ．6B ．9C ．12D ．24 考点 排列的概念 题点 列举所有排列 答案 B解析 这四位数列举为如下： 1 012,1 021,1 102,1 120,1 201， 1 210,2 011,2 101,2 110，共9个． 二、填空题8．从a ，b ，c ，d ，e 五个元素中每次取出三个元素，可组成________个以b 为首的不同的排列，它们分别是________________________________________．题点 列举所有排列答案 12 bac ，bad ，bae ，bca ，bcd ，bce ，bda ，bdc ，bde ，bea ，bec ，bed 解析 画出树状图如下：可知共12个，它们分别是bac ，bad ，bae ，bca ，bcd ，bce ，bda ，bdc ，bde ，bea ，bec ，bed . 9．若集合P ＝{x |x ＝A m 4，m ∈N *}，则集合P 中共有________个元素． 考点 排列数公式 题点 利用排列数公式计算 答案 3解析 由题意知，m ＝1,2,3,4，由A 34＝A 44，故集合P 中共有3个元素． 10．满足不等式A 7nA 5n >12的n 的最小值为________．考点 排列数公式题点 解含有排列数的方程或不等式 答案 10解析A 7n A 5n ＝n ！(n －7)！n ！(n －5)！＝(n －5)！(n －7)！>12，得(n －5)(n －6)>12， 解得 n >9或n <2(舍去)．∴最小正整数n 的值为10.11．2017北京车展期间，某调研机构准备从5人中选3人去调查E1馆、E3馆、E4馆的参观人数，不同的安排方法种数为________． 考点 排列的应用题点 无限制条件的排列问题 答案 60解析 由题意可知，问题为从5个元素中选3个元素的排列问题，所以安排方法有5×4×3＝60(种)．12．由1,4,5，x四个数字组成没有重复数字的四位数，所有这些四位数的各数位上的数字之和为288，则x＝________.考点排列的应用题点无限制条件的排列问题答案 2解析当x≠0时，有A44＝24(个)四位数，每个四位数的数字之和为1＋4＋5＋x，故24(1＋4＋5＋x)＝288，解得x＝2；当x＝0时，每个四位数的数字之和为1＋4＋5＝10，而288不能被10整除，即x＝0不符合题意，综上可知，x＝2.三、解答题13．一条铁路线原有n个车站，为了适应客运需要，新增加了2个车站，客运车票增加了58种，问原有多少个车站？现有多少车站？考点排列的应用题点无限制条件的排列问题解由题意可得A2n＋2－A2n＝58，即(n＋2)(n＋1)－n(n－1)＝58，解得n＝14.所以原有车站14个，现有车站16个．四、探究与拓展14．若S＝A11＋A22＋A33＋A44＋…＋A100100，则S的个位数字是( )A．8 B．5 C．3 D．0考点排列数公式题点利用排列数公式计算答案 C解析1！＝1,2！＝2,3！＝6,4！＝24,5！＝120，而6！＝6×5！，7！＝7×6×5！， (100)＝100×99×…×6×5！，所以从5！开始到100！，个位数字均为0，所以S的个位数字为3. 15．京沪高速铁路自北京南站至上海虹桥站，双线铁路全长1 318公里，途经北京、天津、河北、山东、安徽、江苏、上海7个省市，设立包括北京南、天津西、济南西、南京南、苏州北、上海虹桥等在内的21个车站，计算铁路部门要为这21个车站准备多少种不同的火车票？考点排列的应用题点无限制条件的排列问题精品K12教育教学资料解对于两个火车站A和B，从A到B的火车票与从B到A的火车票不同，因为每张票对应一个起点站和一个终点站．因此，结果应为从21个不同元素中，每次取出2个不同元素的排列数A221＝21×20＝420(种)．所以一共需要为这21个车站准备420种不同的火车票．精品K12教育教学资料。
2018_2019学年高中数学第1章计数原理章末检测(A)新人教B版
第一章 计数原理(A)(时间∶120分钟 满分∶150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．将5封信投入3个邮筒，不同的投法有( )A ．53种B ．35种 C ．3种 D ．15种 2．三名教师教六个班的课，每人教两个班，分配方案共有( ) A ．18种 B ．24种 C ．45种 D ．90种3．7名同学排成一排，其中甲、乙两人必须排在一起的不同排法有( ) A ．720种 B ．360种 C ．1 440种 D ．120种4．从5名男生和5名女生中选3名组队参加某集体项目的比赛，其中至少有1名女生入选的组队方案数为( )A ．100B ．110C ．120D ．1805．从1,2,3，…，100中任取2个数相乘，其积能被3整除的有( ) A ．33组 B ．528组 C ．2 111组 D ．2 739组6．编号为1,2,3,4,5的5人，入座编号也为1,2,3,4,5的5个座位，至多有2人对号入座的坐法种数为( )A ．120B ．130C ．90D ．109 7．杨辉三角为：杨辉三角中的第5行除去两端数字1以外，均能被5整除，则具有类似性质的行是( ) A ．第6行 B ．第7行 C ．第8行 D ．第9行8．在⎝⎛⎭⎪⎫1x＋51x 3n 的展开式中，所有奇数项系数之和为 1 024，则第六项的系数是( )A ．330B ．462C ．682D ．7929．在⎝⎛⎭⎪⎪⎫x 2－13x 8的展开式中，常数项是( )A ．－28B ．－7C ．7D ．2810．若(3x －13x2)n 的展开式中各项系数之和为128，则展开式中含1x 3项的系数是( )A ．7B ．－7C ．21D ．－2111．若(x ＋1)n ＝x n ＋…＋ax 3＋bx 2＋…＋1(n ∈N *)，且a ∶b ＝3∶1，则n 的值为( ) A ．9 B ．10 C ．11 D ．1212．三位数中，如果十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都小，则称这个数为凹数，如524,746等都是凹数，那么，各个数位上无重复数字的三位凹数有( )A ．72个B ．120个C ．240个D ．360个二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13．在由数字0,1,2,3,4,5所组成的没有重复数字的四位数中，不能被5整除的数共有________个．14．过三棱柱任意两个顶点的直线共15条，其中异面直线有________对．15．在(x ＋1x)9的展开式中，x 3的系数是________．16．对于二项式(1－x )1 999，有下列四个命题：①展开式中T 1 000＝－C 9991 999x 999；②展开式中非常数项的系数和是1；③展开式中系数最大的项是第1 000项和第1 001项；④当x ＝2 000时，(1－x )1 999除以2 000的余数是1.其中正确命题的序号是________．(把你认为正确命题的序号都填上)．三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)有A ，B ，C 三个城市，上午从A 城去B 城有5班汽车，2班火车，都能在12∶00前到达B 城，下午从B 城去C 城有3班汽车，2班轮船．某人上午从A 城出发去B 城，要求12∶00前到达，然后他下午去C 城，问有多少种不同的走法？18．(12分)用0,1,2,3,4,5共6个数字，可以组成多少个没有重复数字的六位奇数？19．(12分)有9本不同的课外书分给甲、乙、丙三名同学，求在下列条件下，各有多少种分法？(1)甲得4本，乙得3本，丙得2本；(2)一人得4本，一人得3本，一人得2本．20．(12分)求(x ＋1x－1)5展开式中的常数项．21．(12分)已知S n ＝2n ＋C 1n 2n －1＋C 2n 2n －2＋…＋C n －1n 21＋1(n ∈N *)，求证：当n 为偶数时，S n －4n －1能被64整除．22．(12分)已知(3x 2＋3x 2)n展开式中各项系数和比二项式系数和大992，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项．第一章 计数原理(A)答案1．B2．D [分三步进行：先从六个班中选两个班给第一名老师，有C 26种方法；再从剩余的四个班中选两个班给第二名老师，有C 24种方法；最后两个班给第3名老师，共C 26×C 24×C 22＝90(种)方法．]3．C [用捆绑法：N ＝A 66·A 22＝1 440(种)．]4．B [方法一 (直接法)分为三类：一女二男，二女一男，三女．所以共有C 15·C 25＋C 25·C 15＋C 35＝110(种)组队方案．方法二 (间接法)无限制条件的方案数减去全是男生的方案数，所有共有C 310－C 35＝120－10＝110(种)组队方案．] 5．D [乘法满足交换律，因此是组合问题．把1,2,3，…，99,100分成2组：{3,6,9，…，99}，共计33个元素；{1,2,4,5，…，100}，共计67个元素，故积能被3整除的有C 233＋C 133·C 167＝2 739(组)．]6．D [问题的正面有3种情况：有且仅有1人对号入座，有且仅有2人对号入座和全未对号入座，这3种情况都难以求解．从反面入手，只有2种情况：全对号入座(4人对号入座时必定全对号入座)，有且仅有3人对号入座．全对号入座时只有1种坐法；有3人对号入座时，分2步完成：从5人中选3人有C 35种选法，安排其余2人不对号入座，只有1种坐法．因此，反面情况共有1＋C 35·1＝11(种)不同坐法.5人无约束条件入座5个座位，有A 55＝120(种)不同坐法．所以满足要求的坐法种数为120－11＝109.]7．B8．B [由题意知，2n －1＝1 024＝210，所以n ＝11.所以第六项的系数为C 511＝462.故选B.]9．C10．C [赋值法：令x ＝1，得n ＝7，由通项公式得T k ＋1＝C k 7(3x )7－k·(－13x2)k＝(－1)k ·37－k·C k7·x 21－5k 3，令21－5k3＝－3，得k ＝6， ∴1x3的系数为(－1)6·37－6·C 67＝21.]11．C 12．C 13．192 14．36解析 15条直线中任选两条，有C 215＝105(对)直线；其中平行直线有C 23＋3＝6(对)；相交直线有6×C 25(同一顶点处)＋3(每个侧面的对角线)＝63(对)．所以异面直线共有105－6－63＝36(对)．15．84解析 T r ＋1＝C r 9·x 9－r ·x －r ＝C r 9·x 9－2r，令9－2r ＝3，∴r ＝3.∴x 3的系数是C 39＝84. 16．①④解析 展开式中T 1 000＝C 9991 999(－x )999＝－C 9991 999x 999，所以①正确；展开式中各项系数和为0，而常数项为1，所以非常数项的系数和为－1，②错；展开式中系数最大的项是第1 001项，③错；将二项式展开，即可判断④对．17．解 根据分类加法计数原理，上午从A 城到B 城，并在12∶00前到达，共有5＋2＝7(种)不同的走法．下午从B 城去C 城，共有3＋2＝5(种)不同的走法． 根据分步乘法计数原理，上午从A 城去B 城，然后下午从B 城去C 城，共有7×5＝35(种)不同的走法．18.解 分三步：①确定末位数字，从1,3,5中任取一个有C 13种方法；②确定首位数字，从另外的4个非零数字中任取一个有C 14种方法；③将剩余的4个数字排中间有A 44种排法，故共有C 13C 14A 44＝288(个)六位奇数．19．解 (1)分三步完成：第一步：从9本不同的书中，任取4本分给甲，有C 49种方法；第二步：从余下的5本书中，任取3本给乙，有C 35种方法；第三步：把剩下的书给丙有C 22种方法，∴共有不同的分法为C 49·C 35·C 22＝1 260(种)． (2)分两步完成：第一步：按4本、3本、2本分成三组有C 49·C 35·C 22种方法；第二步：将分成的三组书分给甲、乙、丙三个人，有A 33种方法，∴共有C 49·C 35·C 22·A 33＝7 560(种)．20．解 (x ＋1x －1)5＝[(x ＋1x)－1]5，通项为T k ＋1＝C k 5(x ＋1x)5－k (－1)k(0≤k ≤5)．当k ＝5时，T 6＝C 55(－1)5＝－1，当0≤k <5时，(x ＋1x)5－k的通项为T r ＋1＝C r 5－k ·x5－k －r ·(1x)r ＝C r 5－k x 5－k －2r(0≤r ≤5－k )． ∵0≤k <5，且k ∈Z,5－k －2r ＝0，∴k 只能取1或3，相应r 的值分别为2或1，∴常数项为C 15C 24(－1)＋C 35C 12(－1)3＋(－1)＝－51.21．证明 S n ＝(2＋1)n ＝3n，∵n 为偶数，设n ＝2r (r ∈N *)，∴S n －4n －1＝9r －8r －1＝(8＋1)r －8r －1＝(C 0r 8r －2＋C 1r 8r －3＋…＋C r －2r )·82，(*)当r ＝1时，9r－8r －1＝0，显然S n －4n －1能被64整除； 当r ≥2时，(*)式能被64整除．∴n 为偶数时，S n －4n －1能被64整除．22．解 令x ＝1得展开式各项系数和为(1＋3)n ＝4n，又展开式二项式系数和为C 0n ＋C 1n ＋…＋C n n ＝2n，由题意知4n －2n ＝992，即(2n )2－2n－992＝0， (2n －32)(2n ＋31)＝0，∴2n＝32，n ＝5.所以展开式共有6项，其中二项式系数最大的项为第三项和第四项，它们是T 3＝C 25(3x 2)3·(3x 2)2＝90x 6.T 4＝C 35(3x 2)2·(3x 2)3＝270x 223， 设展开式中第r ＋1项的系数最大．又T r ＋1＝C r 5(3x 2)5－r (3x 2)r ＝C r 5·3r·x 10＋4r 3，得⎩⎪⎨⎪⎧C r5·3r≥C r －15·3r －1，C r 5·3r ≥C r ＋15·3r ＋1，即⎩⎪⎨⎪⎧3r ≥16－r ，15－r ≥3r ＋1，解得72≤r ≤92，又∵r ∈N ，∴r ＝4.所以展开式中第5项系数最大，T 5＝C 45·34·x263＝405x 263.。
配套K122018年秋高中数学 第一章 计数原理 1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 第1课
第1课时分类加法计数原理与分步乘法计数原理学习目标：1.通过实例，能归纳总结出分类加法计数原理、分步乘法计数原理．(重点)2.正确地理解“完成一件事情”的含义，能根据具体问题的特征，选择“分类”或“分步”．(易混点)3.能利用两个原理解决一些简单的实际问题．(难点)[自主预习·探新知]1．分类加法计数原理思考：若完成一件事情有几类不同的方案，在第1类方案中有m1种不同方法，在第2类方案中有m2种不同的方法，…，在第n类方案中有m n种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同方法？[提示]共有m1＋m2＋…＋m n种不同方法．2．分步乘法计数原理思考：完成一件事需要n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，…，做第n步有m n种不同的方法，则完成这件事共有多少种不同的方法？[提示]共有m1×m2×…×m n种不同的方法．[基础自测]1．判断(正确的打“√”错误的打“×”)(1)在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同．( )(2)在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能完成这件事．( )(3)在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的．(4)在分步乘法计数原理中，事情是分两步完成的，其中任何一个单独的步骤都能完成这件事．( ) [解析](1)×在分类加法计数原理中，分类标准是统一的，两类不同方案中的方法是不能相同的．(2)√在分类加法计数原理中，是把能完成这件事的所有方法按某一标准分类的，故每类方案中的每种方法都能完成这些事．(3)√在分步乘法计数原理中的每一步都有多种方法，而每种方法各不相同．(4)×因为在分步乘法计数原理中，要完成这件事需分两步，而每步都不能完成这件事，只有各步都完成了，这件事才算完成．[答案](1)×(2)√(3)√(4)×2．从甲地到乙地有两类交通方式：坐飞机和乘轮船，其中飞机每天有3班，轮船有4班．若李先生从甲地去乙地，则不同的交通方式共有( )【导学号：95032000】A．3种B．4种C．7种D．12种C[由分类加法计数原理，从甲地去乙地共3＋4＝7(种)不同的交通方式．]3．已知x∈{2,3,7}，y∈{－3，－4,8}，则x·y可表示不同的值的个数为( ) A．10个B．6个C．8个D．9个D[因为x从集合{2,3,7}中任取一个值共有3个不同的值，y从集合{－3，－4,8}中任取一个值共有3个不同的值，故x·y可表示3×3＝9个不同的值．]4．某商场共有4个门，购物者若从任意一个门进，从任意一个门出，则不同走法的种数是________.【导学号：95032001】16[不同的走法可以看作是两步完成的，第一步是进门共有4种；第二步是出门，共有4种．由分步乘法计数原理知共有4×4＝16(种)．][合作探究·攻重难]【导学号：95032002】[思路探究]根据情况安排个位、十位上的数字．先确定分类标准，再求出每一类的个数，最后得结论．[解]法一：分析个位数，可分以下几类：个位是9，则十位可以是1,2,3，…，8中的一个，故有8个；个位是8，则十位可以是1,2,3，…，7中的一个，故有7个；同理，个位是7的有6个；个位是6的有5个；……；个位是2的只有1个．由分类加法计数原理知，满足条件的两位数有1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝36(个)．法二：按十位数上的数字分别是1,2,3,4,5,6,7,8的情况分成8类，在每一类中满足题目条件的两位数分别有8个，7个，6个，5个，4个，3个，2个，1个，由分类加法计数原理知，符合题意的两位数共有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36(个)．法三：将个位比十位数字大的两位数一一写出：12,13,14,15,16,17,18,19，23,24,25,26,27,28,29，34,35,36,37,38,39，45,46,47,48,49，56,57,58,59，67,68,69，78,79，89.共有36个符合题意的两位数．1．本例中条件不变，求个位数字小于十位数字且为偶数的两位数的个数．[解]当个位数字是8时，十位数字取9，只有1个．当个位数字是6时，十位数字可取7,8,9，共3个．当个位数字是4时，十位数字可取5,6,7,8,9，共5个．同理可知，当个位数字是2时，共7个．当个位数字是0时，共9个．由分类加法计数原理知，符合条件的数共有1＋3＋5＋7＋9＝25(个)．表示多少个不同的圆？【导学号：95032003】[思路探究]确定一个圆的方程需要分别确定出圆心的横坐标、纵坐标、半径，可以用分步乘法计数原理解决．[解]完成表示不同的圆这件事，可以分为三步：第一步：确定a有3种不同的选取方法；第二步：确定b有4种不同的选取方法；第三步：确定r有2种不同的选取方法；由分步乘法计数原理，方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2可表示不同的圆共有3×4×2＝24(个)．2．张涛大学毕业参加工作后，把每月工资中结余的钱分为两部分，其中一部分用来定期储蓄，另一部分用来购买国债．人民币储蓄可以从一年期、二年期两种中选择一种，购买国债则可以从一年期、二年期和三年期中选择一种．问：张涛共有多少种不同的理财方式？[解]由题意知，张涛要完成理财目标应分步完成．第1步，将一部分钱用来定期储蓄，从一年期和二年期中任意选择一种理财方式，有2种方式；第2步，用另一部分钱购买国债，从一年期、二年期和三年期三种国债中任意选择一种理财方式，有3种方式．由分步乘法计数原理得张涛共有2×3＝6种不同的理财方式．如何区分一个问题是“分类”还是“分步”？[提示]如果完成这件事，可以分几种情况，每种情况中任何一种方法都能完成任务，则是分类；而从其中一种情况中任取一种方法只能完成一部分任务，且只有依次完成各种情况，才能完成这件事，则是分步．一个袋子里装有10张不同的中国移动手机卡，另一个袋子里装有12张不同的中国联通手机卡．(1)某人要从两个袋子中任取一张手机卡供自己使用，共有多少种不同的取法．(2)某人手机是双卡双待机，想得到一张移动卡和一张联通卡供自己今后使用，问一共有多少种不同的取法？【导学号：95032004】[思路探究][解](1)从两个袋子中任取一张卡有两类情况：第一类：从第一个袋子中取一张移动手机卡，共有10种取法；第二类：从第二个袋子中取一张联通手机卡，共有12种取法．根据分类加法计数原理，共有10＋12＝22种取法．(2)想得到一张移动卡和一张联通卡可分两步进行：第一步，从第一个袋子中任取一张移动手机卡，共有10种取法．第二步，从第二个袋子中任取一张联通手机卡，共有12种取法．根据分步乘法计数原理，共有10×12＝120种取法．3．某公园休息处东面有8个空闲的凳子，西面有6个空闲的凳子，小明与爸爸来这里休息．(1)若小明爸爸任选一个凳子坐下(小明不坐)，有几种坐法？(2)若小明与爸爸分别就坐，有多少种坐法？[解](1)小明爸爸选凳子可以分两类：第一类，选东面的空闲凳子，有8种坐法；第二类，选西面的空闲凳子，有6种坐法．根据分类加法计数原理，小明爸爸共有8＋6＝14种坐法．(2)小明与爸爸分别就坐，可以分两步完成：第一步，小明先就坐，从东西面共8＋6＝14个凳子中选一个坐下，共有14种坐法；(小明坐下后，空闲凳子数变成13)第二步，小明爸爸再就坐，从东西面共13个空闲凳子中选一个坐下，共13种坐法．由分步乘法计数原理，小明与爸爸分别就坐共有14×13＝182种坐法．[当堂达标·固双基]1．某学生去书店，发现2本好书，决定至少买其中一本，则购买方式共有( )A．1种B．2种C．3种D．4种C[分两类：买1本或买2本书，各类购买方式依次有2种、1种，故购买方式共有2＋1＝3种．故选C.]2．现有4件不同款式的上衣和3条不同颜色的长裤，如果一条长裤与一件上衣配成一套，则不同的配法种数为( )【导学号：95032005】A．7 B．12C．64 D．81B[先从4件上衣中任取一件共4种选法，再从3条长裤中任选一条共3种选法，由分步乘法计数原理，上衣与长裤配成一套共4×3＝12(种)不同配法．故选B.] 3．从A地到B地，可乘汽车、火车、轮船三种交通工具，如果一天内汽车发3次，火车发4次，轮船发2次，那么一天内乘坐这三种交通工具的不同走法数为( ) A．1＋1＋1＝3 B．3＋4＋2＝9C．3×4×2＝24 D．以上都不对B[分三类：第一类，乘汽车，从3次中选1次有3种走法；第二类，乘火车，从4次中选1次有4种走法；第三类，乘轮船，从2次中选1次有2种走法．所以，共有3＋4＋2＝9种不同的走法．]4．十字路口来往的车辆，如果不允许回头，不同的行车路线有________条.【导学号：95032006】12[经过一次十字路口可分两步：第一步确定入口，共有4种选法；第二步，确定出口，从剩余3个路口任选一个共3种，由分步乘法计数原理知不同的路线有4×3＝12条．] 5．现有5幅不同的国画，2幅不同的油画，7幅不同的水彩画．(1)从这些国画、油画、水彩画中各选一幅布置房间，有几种不同的选法？(2)从这些画中选出两幅不同种类的画布置房间，有几种不同的选法？[解](1)分为三步：国画、油画、水彩画各有5种、2种、7种不同的选法，根据分步乘法计数原理，共有5×2×7＝70种不同的选法．(2)分为三类：第一类是一幅选自国画，一幅选自油画，由分步乘法计数原理知，有5×2＝10种不同的选法．第二类是一幅选自国画，一幅选自水彩画，有5×7＝35种不同的选法．第三类是一幅选自油画，一幅选自水彩画，有2×7＝14种不同的选法．所以有10＋35＋14＝59种不同的选法．。
配套K12(全国通用版)2018-2019版高中数学 第一章 导数及其应用章末复习学案 新人教A版选
第一章 导数及其应用章末复习学习目标 1.理解导数的几何意义，并能解决有关切线的问题.2.能熟练应用求导公式及运算法则.3.掌握利用导数研究函数的单调性、极值与最值，并能应用其解决一些实际问题.4.了解定积分的概念及其简单的应用．1．导数的概念(1)定义：函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx，称为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数．(2)几何意义：函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数是函数图象在点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率，表示为f ′(x 0)，其切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)． 2．基本初等函数的导数公式 (1)c ′＝0. (2)(x α)′＝αxα－1.(3)(a x)′＝a xln a (a >0)． (4)(e x)′＝e x. (5)(log a x )′＝⎝⎛⎭⎪⎫ln x ln a ′＝1x ln a (a >0，且a ≠1)．(6)(ln x )′＝1x.(7)(sin x )′＝cos x . (8)(cos x )′＝－sin x . 3．导数的运算法则(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )． (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )． (3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)．4．复合函数的求导法则 (1)复合函数记法：y ＝f (g (x ))． (2)中间变量代换：y ＝f (u )，u ＝g (x )．(3)逐层求导法则：y x′＝y u′·u x′.5．函数的单调性、极值与导数 (1)函数的单调性与导数在某个区间(a ，b )内，如果f ′(x )>0，那么函数y ＝f (x )在这个区间内单调递增；如果f ′(x )<0，那么函数y ＝f (x )在这个区间内单调递减．(2)函数的极值与导数①极大值：在点x ＝a 附近，满足f (a )≥f (x )，当x <a 时，f ′(x )>0，当x >a 时，f ′(x )<0，则点a 叫做函数的极大值点，f (a )叫做函数的极大值；②极小值：在点x ＝a 附近，满足f (a )≤f (x )，当x <a 时，f ′(x )<0，当x >a 时，f ′(x )>0，则点a 叫做函数的极小值点，f (a )叫做函数的极小值． (3)求函数f (x )在闭区间[a ，b ]上的最值的步骤 ①求函数y ＝f (x )在(a ，b )内的极值；②将函数y ＝f (x )的极值与端点处的函数值f (a )，f (b )比较，其中最大的一个就是最大值，最小的一个就是最小值． 6．微积分基本定理如果f (x )是区间[a ，b ]上的连续函数，并且F ′(x )＝f (x )，那么ʃba f (x )d x ＝F (b )－F (a )． 7．定积分的性质(1)ʃba kf (x )d x ＝k ʃba f (x )d x (k 为常数)． (2)ʃba [f 1(x )±f 2(x )]d x ＝ʃba f 1(x )d x ±ʃba f 2(x )d x . (3)ʃba f (x )d x ＝ʃca f (x )d x ＋ʃbc f (x )d x (其中a <c <b )．1．f ′(x 0)是函数y ＝f (x )在x ＝x 0附近的平均变化率．( × ) 2．函数f (x )＝sin(－x )的导数是f ′(x )＝cos x ．( × )3．若函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上连续且恒正，则ʃba f (x )d x >0.( √ )类型一 导数几何意义的应用例1 设函数f (x )＝13x 3＋ax 2－9x －1(a >0)，直线l 是曲线y ＝f (x )的一条切线，当l 的斜率最小时，直线l 与直线10x ＋y ＝6平行． (1)求a 的值；(2)求f (x )在x ＝3处的切线方程． 考点 求函数在某点处的切线方程 题点 求曲线的切线方程解 (1)f ′(x )＝x 2＋2ax －9＝(x ＋a )2－a 2－9，f ′(x )min ＝－a 2－9，由题意知－a 2－9＝－10，∴a ＝1或－1(舍去)． 故a ＝1.(2)由(1)得a ＝1， ∴f ′(x )＝x 2＋2x －9， 则k ＝f ′(3)＝6，f (3)＝－10.∴f (x )在x ＝3处的切线方程为y ＋10＝6(x －3)， 即6x －y －28＝0.反思与感悟 利用导数求切线方程时关键是找到切点，若切点未知需设出．常见的类型有两种：一类是求“在某点处的切线方程”，则此点一定为切点，易求斜率进而写出直线方程即可得；另一类是求“过某点的切线方程”，这种类型中的点不一定是切点，可先设切点为Q (x 1，y 1)，由y 0－y 1x 0－x 1＝f ′(x 1)和y 1＝f (x 1)，求出x 1，y 1的值，转化为第一种类型．跟踪训练1 直线y ＝kx ＋b 与曲线y ＝x 3＋ax ＋1相切于点(2,3)，则b ＝ . 考点 求曲线在某点处的切线方程 题点 曲线的切线方程的应用 答案 －15解析 由题意知f (2)＝3，则a ＝－3.f (x )＝x 3－3x ＋1，f ′(x )＝3x 2－3，f ′(2)＝3×22－3＝9＝k ，又点(2,3)在直线y ＝9x ＋b 上， ∴b ＝3－9×2＝－15.类型二 函数的单调性、极值、最值问题例2 设a 为实数，函数f (x )＝e x－2x ＋2a ，x ∈R . (1)求f (x )的单调区间与极值；(2)求证：当a >ln 2－1且x >0时，e x>x 2－2ax ＋1. 考点 利用导数研究函数的单调性 题点 利用导数证明不等式(1)解 由f (x )＝e x－2x ＋2a ，x ∈R ， 知f ′(x )＝e x－2，x ∈R . 令f ′(x )＝0，得x ＝ln 2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：故f (x )在x ＝ln 2处取得极小值，极小值为f (ln 2)＝eln 2－2ln 2＋2a ＝2(1－ln 2＋a )．(2)证明 设g (x )＝e x－x 2＋2ax －1，x ∈R ， 于是g ′(x )＝e x－2x ＋2a ，x ∈R .由(1)知当a >ln 2－1时，g ′(x )取最小值为g ′(ln 2)＝2(1－ln 2＋a )>0. 于是对任意x ∈R ，都有g ′(x )>0， 所以g (x )在R 内单调递增．于是当a >ln 2－1时，对任意x ∈(0，＋∞)，都有g (x )>g (0)． 而g (0)＝0，从而对任意x ∈(0，＋∞)，都有g (x )>0， 即e x －x 2＋2ax －1>0， 故e x>x 2－2ax ＋1.反思与感悟 本类题考查导数的运算，利用导数研究函数的单调性，求函数的极值和证明不等式，考查运算能力、分析问题、解决问题的能力． 跟踪训练2 已知函数f (x )＝x ln x . (1)求f (x )的最小值；(2)若对所有x ≥1都有f (x )≥ax －1，求实数a 的取值范围；(3)若关于x 的方程f (x )＝b 恰有两个不相等的实数根，求实数b 的取值范围． 考点 函数极值的综合应用 题点 函数零点与方程的根解 (1)f (x )的定义域是(0，＋∞)，f ′(x )＝1＋ln x ， 令f ′(x )>0，解得x >1e ，令f ′(x )<0，解得0<x <1e，故f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞上单调递增， 故f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝1e ln 1e ＝－1e .(2)∵f (x )＝x ln x ，当x ≥1时，f (x )≥ax －1恒成立， 等价于x ln x ≥ax －1(x ≥1)恒成立， 等价于a ≤ln x ＋1x(x ≥1)恒成立，令g (x )＝ln x ＋1x，则a ≤g (x )min (x ≥1)恒成立；∵g ′(x )＝1x －1x 2＝x －1x2，∴当x ≥1时，g ′(x )≥0，∴g (x )在[1，＋∞)上单调递增，∴g (x )min ＝g (1)＝1， ∴a ≤1，即实数a 的取值范围为(－∞，1]．(3)若关于x 的方程f (x )＝b 恰有两个不相等的实数根， 即y ＝b 和y ＝f (x )在(0，＋∞)上有两个不同的交点， 由(1)知当0<x <1e时，f (x )<0，f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，1e 上单调递减，在⎝⎛⎭⎪⎫1e，＋∞上单调递增，f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝1e ln 1e＝－1e ；故当－1e <b <0时，满足y ＝b 和y ＝f (x )在(0，＋∞)上有两个不同的交点，即若关于x 的方程f (x )＝b 恰有两个不相等的实数根，则－1e <b <0.类型三 定积分及其应用例3 求由曲线y ＝sin x 与直线x ＝－π2，x ＝54π，y ＝0所围成的图形的面积．考点 利用定积分求曲线所围成图形面积 题点 需分割的图形的面积求解 解 所求面积S ＝5π4ππ22sin d =sin d x x x x ---⎰⎰＋ʃπ0sin x d x 5π4πsin d x x -⎰＝－(－cos x )0π2|-＋(－cos x )|π0－(－cos x )5π4π|＝1＋2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22＝4－22.反思与感悟 由定积分求曲边梯形面积的方法步骤 (1)画出函数的图象，明确平面图形的形状． (2)通过解方程组，求出曲线交点的坐标． (3)确定积分区间与被积函数，转化为定积分计算．(4)对于复杂的平面图形，常常通过“割补法”来求各部分的面积之和．跟踪训练3 如图所示，直线y ＝kx 将抛物线y ＝x －x 2与x 轴所围图形的面积分为相等的两部分，求k 的值．考点 利用定积分求曲线所围成图形面积 题点 已知曲线所围成图形的面积求参数解 抛物线y ＝x －x 2与x 轴的两交点的横坐标分别为x 1＝0，x 2＝1，所以抛物线与x 轴所围图形的面积S ＝ ʃ10(x －x 2)d x ＝⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22－x 3310＝12－13＝16. 抛物线y ＝x －x 2与y ＝kx 两交点的横坐标分别为x 1′＝0，x 2′＝1－k ， 所以S2＝ʃ1－k 0(x －x 2－kx )d x ＝⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫1－k 2x 2－x 331－k 0＝16(1－k )3， 又知S ＝16，所以(1－k )3＝12，于是k ＝1－312＝1－342.1.如图，y ＝f (x )是可导函数，直线l ：y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)等于( )A ．－1B ．0C ．2D ．4考点 导数的几何意义的应用 题点 导数的几何意义解析 ∵直线l ：y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，∴f (3)＝1.又点(3,1)在直线l 上，∴3k ＋2＝1，从而k ＝－13，∴f ′(3)＝k ＝－13.∵g (x )＝xf (x )，∴g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，则g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)＝1＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝0.2．函数F (x )＝ʃx0t (t －4)d t 在[－1,5]上( ) A ．有最大值0，无最小值 B ．有最大值0，最小值－323C ．有最小值－323，无最大值D ．既无最大值也无最小值 考点 微积分基本定理的应用 题点 微积分基本定理的综合应用 答案 B解析 F ′(x )＝()ʃx 0t (t －4)d t ′＝x 2－4x ，令F ′(x )＝0，解得x ＝0或4， 当F ′(x )>0时，x >4或x <0，当F ′(x )<0时，0<x <4. ∴F (x )在[0,4]上单调递减，在[－1,0]和[4,5]上单调递增． 又F (0)＝0，F (－1)＝－73，F (4)＝－323，F (5)＝－253，所以当x ＝0时，F (x )取最大值0，当x ＝4时，F (x )取最小值－323.故选B.3．函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d 的图象如图，则函数y ＝ax 2＋32bx ＋c 3的单调递增区间是( )A ．(－∞，2] B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞C ．[－2,3]D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫98，＋∞ 考点 函数极值的综合应用 题点 函数极值在函数图象上的应用解析 不妨取a ＝1，又d ＝0，∴f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ，∴f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c . 由题图可知f ′(－2)＝0，f ′(3)＝0， ∴12－4b ＋c ＝0,27＋6b ＋c ＝0， ∴b ＝－32，c ＝－18.∴y ＝x 2－94x －6，y ′＝2x －94，当x >98时，y ′>0，即单调递增区间为⎣⎢⎡⎭⎪⎫98，＋∞，故选D.4．体积为16π的圆柱，当它的半径为 时，圆柱的表面积最小． 考点 利用导数求几何模型的最值问题 题点 利用导数求面积的最值问题 答案 2解析 设圆柱底面半径为r ，母线长为l . ∴16π＝πr 2l ，即l ＝16r2.则S 表面积＝2πr 2＋2πrl ＝2πr 2＋2πr ×16r 2＝2πr 2＋32πr，由S ′＝4πr －32πr2＝0，得r ＝2.∴当r ＝2时，圆柱的表面积最小． 5．已知函数f (x )＝ex ＋bx过点(1，e)．(1)求y ＝f (x )的单调区间； (2)当x >0时，求f (x )x的最小值； (3)试判断方程f (x )－mx ＝0(m ∈R 且m 为常数)的根的个数． 考点 函数极值的综合应用 题点 函数零点与方程的根 解 (1)由函数f (x )＝ex ＋bx过点(1，e)，得e1＋b＝e ，即b ＝0，∴f (x )＝e xx (x ≠0)，f ′(x )＝e x(x －1)x2， 令f ′(x )>0，得x >1，令f ′(x )<0，得0<x <1或x <0，y ＝f (x )的单调递增区间是(1，＋∞)，单调递减区间是(－∞，0)，(0,1)．(2)设g (x )＝f (x )x ＝e xx 2，x >0，g ′(x )＝e x(x 2－2x )x4， 令g ′(x )＝0，解得x ＝2或x ＝0(舍去)，当x ∈(0,2)时，g ′(x )<0， 当x ∈(2，＋∞)时，g ′(x )>0，∴g (x )在(0,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，∴f (x )x 的最小值为g (2)＝e 24.(3)方程f (x )－mx ＝0(m ∈R 且m 为常数)等价于m ＝f (x )x＝g (x )， g ′(x )＝e x(x 2－2x )x4，易知当x <0时，g ′(x )>0. 结合(2)可得函数g (x )在区间(0,2)上单调递减，在(－∞，0)，(2，＋∞)上单调递增． 原问题转化为y ＝m 与y ＝g (x )的交点个数，其图象如图，当m ≤0时，方程f (x )－mx ＝0(m ∈R 且m 为常数)的根的个数为0； 当0<m <e24时，方程f (x )－mx ＝0(m ∈R 且m 为常数)的根的个数为1；当m ＝e24时，方程f (x )－mx ＝0(m ∈R 且m 为常数)的根的个数为2；当m >e24时，方程f (x )－mx ＝0(m ∈R 且m 为常数)的根的个数为3.1．利用导数的几何意义可以求出曲线上任意一点处的切线方程y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)．明确“过点P (x 0，y 0)的曲线y ＝f (x )的切线方程”与“在点P (x 0，y 0)处的曲线y ＝f (x )的切线方程”的异同点．2．借助导数研究函数的单调性，经常同三次函数，一元二次不等式结合，融分类讨论、数形结合于一体．3．利用导数求解优化问题，注意自变量中的定义域，找出函数关系式，转化为求最值问题． 4．不规则图形的面积可用定积分求解，关键是确定积分上、下限及被积函数，积分的上、下限一般是两曲线交点的横坐标.一、选择题1．已知函数f (x )＝－aπsin πx ，且lim h →0 f (1＋h )－f (1)h＝2，则a 的值为( )A ．2B ．－2C ．2πD ．－2π考点 导数的概念题点 导数的概念的简单应用 答案 A 解析 ∵lim h →0f (1＋h )－f (1)h＝2，∴f ′(1)＝2，f (x )＝－aπsin πx ，f ′(x )＝－a cos πx ，∴－a cos π＝2，∴a ＝2，故选A.2．设曲线y ＝f (x )在某点处的导数值为0，则过曲线上该点的切线( ) A ．垂直于x 轴 B ．垂直于y 轴C ．既不垂直于x 轴也不垂直于y 轴D ．方向不能确定考点 导数的几何意义的应用 题点 导数的几何意义 答案 B解析 ∵曲线y ＝f (x )在某点处的导数值为0， ∴切线的斜率为0，故选B.3．若函数f (x )的导数是f ′(x )＝－x (ax ＋1)(a <0)，则函数f (x )的单调递减区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a ，0 B.(]－∞，0，⎣⎢⎡⎭⎪⎫1a，＋∞C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，－1aD ．(－∞，0]，⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1a，＋∞考点 利用导数求函数的单调区间 题点 利用导数求不含参数函数的单调区间 答案 C解析 ∵f ′(x )＝－x (ax ＋1)(a <0)，令f ′(x )<0，即－x (ax ＋1)<0， 解得0<x <－1a，故选C.4．由曲线y ＝sin x ，y ＝cos x 与直线x ＝0，x ＝π2所围成的平面区域的面积为( )A ．π20(sin cos )d x x x -⎰B ．20π4(sin cos )d x x x -⎰ C ．π2(cos sin )d x x x -⎰D ．20π4(cos sin )d x x x -⎰考点 定积分的几何意义及性质 题点 定积分的几何意义 答案 D解析 如图所示，两个阴影部分面积相等，所以两个阴影面积之和等于0<x <π4阴影部分面积的2倍，故选D.5.设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数y ＝(1－x )·f ′(x )的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是( )A ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (1)B ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (－2)C ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (1)D ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (2) 考点 函数极值的综合应用 题点 函数极值在函数图象上的应用 答案 D解析 由函数的图象可知，f ′(－2)＝0，f ′(2)＝0， 并且当x <－2时，f ′(x )>0，当－2<x <1，f ′(x )<0，函数f (x )有极大值f (－2)． 又当1<x <2时，f ′(x )<0，当x >2时，f ′(x )>0，故函数f (x )有极小值f (2)，故选D.6．已知a ≤1－x x ＋ln x 对任意x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2恒成立，则a 的最大值为( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3考点 利用导数求函数中参数的取值范围 题点 利用导数求恒成立问题中参数的取值范围 答案 A解析 令f (x )＝1－xx＋ln x ，∴f ′(x )＝1x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x ，当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1时，f ′(x )<0，f (x )单调递减， 当x ∈(1,2]时，f ′(x )>0，f (x )单调递增， ∴f (x )≥f (1)＝0，则a ≤0，即a 的最大值为0.7．若函数f (x )＝13x 3－⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋b 2x 2＋2bx 在区间[3,5]上不是单调函数，则函数f (x )在R 上的极大值为( ) A.23b 2－16b 3B.32b －23 C ．2b －43D ．0考点 函数在某点处取得极值的条件 题点 含参数求极值问题 答案 C解析 f ′(x )＝x 2－(2＋b )x ＋2b ＝(x －b )(x －2)， ∵函数f (x )在区间[3,5]上不是单调函数， ∴3<b <5，由f ′(x )>0，得x <2或x >b ， 由f ′(x )<0，得2<x <b ，故f (x )在(－∞，2)上单调递增，在(2，b )上单调递减，在(b ，＋∞)上单调递增， ∴函数f (x )的极大值为f (2)＝2b －43.二、填空题8．在平面直角坐标系xOy 中，点P 在曲线C ：y ＝x 3－10x ＋3上，且在第二象限内，已知曲线C 在点P 处的切线的斜率为2，则点P 的坐标为 ． 考点 求函数在某点处的切线斜率或切点坐标 题点 求函数在某点处的切点坐标 答案 (－2,15)解析 y ′＝3x 2－10，令y ′＝2，解得x ＝±2.又∵点P 在第二象限内，∴x ＝－2，此时y ＝15，∴点P 的坐标为(－2,15)．9．已知曲线y ＝x 与直线x ＝a ，y ＝0所围成的封闭区域的面积为a 3，则a ＝ . 考点 利用定积分求曲线所围成图形面积 题点 已知曲线所围成图形的面积求参数答案3123解析 由题意得a 3＝ʃax d x ＝⎪⎪⎪2332x a 0＝2332a ， 即32a ＝23，解得a ＝3123.10．已知定义在区间(－π，0)上的函数f (x )＝x sin x ＋cos x ，则f (x )的单调递减区间是 ．考点 利用导数求函数的单调区间 题点 利用导数求不含参数函数的单调区间答案 ⎝⎛⎭⎪⎫－π2，0解析 f ′(x )＝x cos x ，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0时，f ′(x )<0， ∴f (x )的单调递减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0. 11．若函数f (x )＝xx 2＋a(a >0)在[1，＋∞)上的最大值为33，则实数a 的值为 ． 考点 导数在最值问题中的应用 题点 已知最值求参数 答案3－1解析 f ′(x )＝a －x 2(x 2＋a )2，令f ′(x )＝0，得x ＝±a ，当x >a 时，f ′(x )<0，f (x )单调递减； 当－a <x <a 时，f ′(x )>0，f (x )单调递增．若a ≥1，即a ≥1，则当x ∈[1，＋∞)时，f (x )max ＝f (a )＝a 2a ＝33， 解得a ＝32<1，不合题意，∴a <1， 且当x ∈[1，＋∞)时，f (x )max ＝f (1)＝11＋a ＝33， 解得a ＝3－1，满足a <1. 三、解答题12．求抛物线y ＝－x 2＋4x －3与其在点(0，－3)和点(3,0)处的切线所围成的图形的面积． 考点 求函数在某点处的切线方程 题点 曲线的切线方程的应用 解 如图，∵y ′＝－2x ＋4，∴y ′|x ＝0＝4，y ′|x ＝3＝－2.∴在点(0，－3)处的切线方程是y ＝4x －3，在点(3,0)处的切线方程是y ＝－2(x －3)． 联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝4x －3，y ＝－2x ＋6，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝3，得交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，3. 所以由它们围成的图形面积为S ＝33222302[(43)(43)]d [2(3)(43)]d x x x x x x x x---+-+----+-⎰⎰＝33222302d (69)d x x x x x +-+⎰⎰＝x 33320|＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 33－3x 2＋9x 332|＝94.13．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22－kx ln x ＋x 24. (1)若f (x )在定义域内单调递增，求实数k 的值； (2)若f (x )的极小值大于0，求实数k 的取值范围． 考点 利用导数研究函数的极值 题点 已知极值求参数解 (1)依题意可知f ′(x )＝(x －k )(ln x ＋1)， 令f ′(x )＝0，可得x 1＝k ，x 2＝1e .若x 1≠x 2，则在x 1，x 2之间存在一个区间， 使得f ′(x )<0，不满足题意． 因此x 1＝x 2，即k ＝1e.(2)当k <1e 时，若k >0，则f ′(x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫k ，1e 上小于0，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞上大于0，若k ≤0，则f ′(x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上小于0，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞上大于0， 因此x ＝1e 是极小值点，f⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝k e －14e 2>0， 解得k >14e ，∴14e <k <1e.当k >1e 时，f ′(x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，k 上小于0，在(k ，＋∞)上大于0， 因此x ＝k 是极小值点，f (k )＝k 24(1－2ln k )>0，解得k <e ，∴1e<k < e.当k ＝1e时，f (x )没有极小值点，不符合题意．综上可得，实数k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫14e ，1e ∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，e . 四、探究与拓展14．设函数f (x )＝ln x ＋m x (m ∈R )，若对任意的b >a >0，f (b )－f (a )b －a<1恒成立，则实数m 的取值范围是 ．考点 数学思想方法在导数中的应用 题点 转化与化归思想在导数中的应用答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，＋∞ 解析 对任意的b >a >0，f (b )－f (a )b －a<1恒成立，等价于f (b )－b <f (a )－a 恒成立． 设函数h (x )＝f (x )－x ＝ln x ＋m x－x ， 则h (x )在(0，＋∞)上是单调减函数，即h ′(x )＝1x －mx2－1≤0在(0，＋∞)上恒成立，得m ≥－x 2＋x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋14(x >0)恒成立，得m ≥14，所以实数m 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，＋∞. 15．已知函数f (x )＝ln x －a (x －1)，a ∈R . (1)讨论函数f (x )的单调性；(2)当x ≥1时，f (x )≤ln xx ＋1恒成立，求实数a 的取值范围．考点 利用导数求函数中参数的取值范围 题点 利用导数求恒成立问题中参数的取值范围 解 (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1－axx，若a ≤0，则f ′(x )>0，∴f (x )在(0，＋∞)上单调递增， 若a >0，则由f ′(x )＝0，得x ＝1a，当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，1a 时，f ′(x )>0，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a，＋∞时，f ′(x )<0，∴f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，1a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞上单调递减．∴当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增，当a >0时，f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，1a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞上单调递减．(2)f (x )－ln x x ＋1＝x ln x －a (x 2－1)x ＋1，令g (x )＝x ln x －a (x 2－1)，x ≥1，g ′(x )＝ln x ＋1－2ax ，令F (x )＝g ′(x )＝ln x ＋1－2ax ，F ′(x )＝1－2axx，①若a ≤0，F ′(x )>0，g ′(x )在[1，＋∞)上单调递增，g ′(x )≥g ′(1)＝1－2a >0，∴g (x )在[1，＋∞)上单调递增，g (x )≥g (1)＝0， 从而f (x )－ln x x ＋1≥0，不符合题意．②若0<a <12，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12a 时，F ′(x )>0，∴g ′(x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12a 上单调递增， 从而g ′(x )>g ′(1)＝1－2a >0，∴g (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，12a 上单调递增，g (x )≥g (1)＝0， 从而f (x )－ln xx ＋1≥0，不符合题意．③若a ≥12，F ′(x )≤0在[1，＋∞)上恒成立，∴g ′(x )在[1，＋∞)上单调递减，g ′(x )≤g ′(1)＝1－2a ≤0， 从而g (x )在[1，＋∞)上单调递减， ∴g (x )≤g (1)＝0，f (x )－ln xx ＋1≤0，综上所述，实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞.。
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第一章 计数原理章末检测试卷(一)(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．若A 5m ＝2A 3m ，则m 的值为( ) A ．5 B ．3 C ．6D ．7考点 排列数公式 题点 利用排列数公式计算 答案 A解析 依题意得m ！(m －5)！＝2×m ！(m －3)！，化简得(m －3)·(m －4)＝2， 解得m ＝2或m ＝5， 又m ≥5，∴m ＝5，故选A.2．一次考试中，要求考生从试卷上的9个题目中选6个进行解答，其中至少包含前5个题目中的3个，则考生答题的不同选法的种数是( ) A ．40 B ．74 C ．84D ．200考点 组合的应用题点 有限制条件的组合问题答案 B解析分三类：第一类，从前5个题目中选3个，后4个题目中选3个；第二类，从前5个题目中选4个，后4个题目中选2个；第三类，从前5个题目中选5个，后4个题目中选1个，由分类加法计数原理得C35C34＋C45C24＋C55C14＝74.3．若实数a＝2－2，则a10－2C110a9＋22C210a8－…＋210等于( )A．32 B．－32C．1 024 D．512考点二项式定理题点逆用二项式定理求和、化简答案 A解析由二项式定理，得a10－2C110a9＋22C210a8－…＋210＝C010(－2)0a10＋C110(－2)1a9＋C210(－2)2a8＋…＋C1010(－2)10＝(a－2)10＝(－2)10＝25＝32.4．分配4名水暖工去3户不同的居民家里检查暖气管道．要求4名水暖工都分配出去，且每户居民家都要有人去检查，那么分配的方案共有( )A．A34种B．A33A13种C．C24A33种D．C14C13A33种考点排列组合综合问题题点分组分配问题答案 C解析先将4名水暖工选出2人分成一组，然后将三组水暖工分配到3户不同的居民家，故有C24A33种．5．(x＋2)2(1－x)5中x7的系数与常数项之差的绝对值为( )A．5 B．3C．2 D．0考点二项展开式中的特定项问题题点求多项展开式中特定项的系数答案 A解析常数项为C22·22·C05＝4，x7系数为C02·C55·(－1)5＝－1，因此x7系数与常数项之差的绝对值为5.6．计划展出10幅不同的画，其中1幅水彩画、4幅油画、5幅国画，排成一列，要求同一品种的画必须连在一起，并且水彩画不放在两端，那么不同的排列方式的种数为( ) A．A44A55B．A23A44A35C．C13A44A55D．A22A44A55考点排列的应用题点 元素“相邻”与“不相邻”问题 答案 D解析 先把每个品种的画看成一个整体，而水彩画只能放在中间，则油画与国画放在两端有A 22种放法，再考虑4幅油画本身排放有A 44种方法，5幅国画本身排放有A 55种方法，故不同的陈列法有A 22A 44A 55种．7．设(2－x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 5x 5，那么a 0＋a 2＋a 4a 1＋a 3的值为( )A ．－122121B ．－6160C ．－244241D ．－1考点 展开式中系数的和问题 题点 二项展开式中系数的和问题 答案 B解析 令x ＝1，可得a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝1，再令x ＝－1可得a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＝35.两式相加除以2求得a 0＋a 2＋a 4＝122，两式相减除以2可得a 1＋a 3＋a 5＝－121.又由条件可知a 5＝－1，故a 0＋a 2＋a 4a 1＋a 3＝－6160.8．圆周上有8个等分圆周的点，以这些等分点为顶点的锐角三角形或钝角三角形的个数是( ) A ．16 B ．24 C ．32D ．48考点 组合的应用题点 与几何有关的组合问题 答案 C解析 圆周上8个等分点共可构成4条直径，而直径所对的圆周角是直角，又每条直径对应着6个直角三角形，共有C 14C 16＝24(个)直角三角形，斜三角形的个数为C 38－C 14C 16＝32(个)． 9．将18个参加青少年科技创新大赛的名额分配给3所学校，要求每所学校至少有1个名额且各校分配的名额互不相等，则不同的分配方法种数为( ) A ．96 B ．114 C ．128D ．136考点 排列组合综合问题 题点 分组分配问题 答案 B解析 由题意可得每所学校至少有1个名额的分配方法种数为C 217＝136，分配名额相等有22种(可以逐个数)，则满足题意的方法有136－22＝114(种)．10．已知二项式⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋13x n 的展开式中第4项为常数项，则1＋(1－x )2＋(1－x )3＋…＋(1－x )n 中x 2项的系数为( )A ．－19B ．19C ．－20D ．20考点 二项式定理的应用 题点 二项式定理的简单应用 答案 D解析 ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋13x n 的展开式T k ＋1＝C k n (x )n －k ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13x k ＝C k n 526n k x -，由题意知n 2－5×36＝0，得n ＝5，则所求式子中x 2项的系数为C 22＋C 23＋C 24＋C 25＝1＋3＋6＋10＝20.故选D.11．12名同学合影，站成前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排(这样就成为前排6人，后排6人)，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数是( ) A ．C 28C 23 B ．C 28A 66 C ．C 28A 26D ．C 28A 25考点 排列组合综合问题 题点 排列与组合的综合应用 答案 C解析 先从后排中抽出2人有C 28种方法，再插空，由题意知，先从4人中的5个空中插入1人，有5种方法，余下1人则要插入前排5人的空中，有6种方法，即为A 26，共有C 28A 26种调整方法．12．已知等差数列{a n }的通项公式为a n ＝3n －5，则(1＋x )5＋(1＋x )6＋(1＋x )7的展开式中含x 4项的系数是该数列的( )A ．第9项B ．第10项C ．第19项D ．第20项考点 二项式定理的应用题点 二项式定理与其他知识点的综合应用 答案 D解析 ∵(1＋x )5＋(1＋x )6＋(1＋x )7的展开式中含x 4项的系数是C 45＋C 46＋C 47＝5＋15＋35＝55，∴由3n －5＝55得n ＝20.故选D.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．男、女学生共有8人，从男生中选取2人，从女生中选取1人，共有30种不同的选法，其中女生有________人． 考点 组合数公式 题点 组合数公式的应用 答案 2或3解析 设女生有x 人，则C 28－x C 1x ＝30， 即(8－x )(7－x )2·x ＝30，解得x ＝2或3. 14．学校公园计划在小路的一侧种植丹桂、金桂、银桂、四季桂4棵桂花树，垂乳银杏、金带银杏2棵银杏树，要求2棵银杏树必须相邻，则不同的种植方法共有________种． 考点 排列的应用题点 元素“相邻”与“不相邻”问题 答案 240解析 分两步完成：第一步，将2棵银杏树看成一个元素，考虑其顺序，有A 22种种植方法； 第二步，将银杏树与4棵桂花树全排列，有A 55种种植方法． 由分步乘法计数原理得，不同的种植方法共有A 22·A 55＝240(种)．15．(1＋sin x )6的二项展开式中，二项式系数最大的一项的值为52，则x 在[0,2π]内的值为____．考点 二项式定理的应用题点 二项式定理与其他知识点的综合应用 答案π6或5π6解析 由题意，得T 4＝C 36sin 3x ＝20sin 3x ＝52，∴sin x ＝12.∵x ∈[0,2π]，∴x ＝π6或x ＝5π6.16．将A ，B ，C ，D 四个小球放入编号为1,2,3的三个盒子中，若每个盒子中至少放一个球且A ，B 不能放入同一个盒子中，则不同的放法有________种．考点 两个计数原理的应用 题点 两个原理的综合应用 答案 30解析 先把A ，B 放入不同盒中，有3×2＝6(种)放法，再放C ，D ， 若C ，D 在同一盒中，只能是第3个盒，1种放法；若C ，D 在不同盒中，则必有一球在第3个盒中，另一球在A 或B 的盒中，有2×2＝4(种)放法．故共有6×(1＋4)＝30(种)放法． 三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)已知A ＝{x |1<log 2x <3，x ∈N *}，B ＝{x ||x －6|<3，x ∈N *}．试问：(1)从集合A 和B 中各取一个元素作直角坐标系中点的坐标，共可得到多少个不同的点？ (2)从A ∪B 中取出三个不同的元素组成三位数，从左到右的数字要逐渐增大，这样的三位数有多少个？考点 两个计数原理的应用 题点 两个原理的综合应用解 A ＝{3,4,5,6,7}，B ＝{4,5,6,7,8}．(1)从A 中取一个数作为横坐标，从B 中取一个数作为纵坐标，有5×5＝25(个)，而8作为横坐标的情况有5种，3作为纵坐标的情况有4种，故共有5×5＋5＋4＝34(个)不同的点． (2)A ∪B ＝{3,4,5,6,7,8}，则这样的三位数共有C 36＝20(个)．18．(12分)已知(1＋2x )n的展开式中，某一项的系数恰好是它的前一项系数的2倍，而且是它的后一项系数的56倍，试求展开式中二项式系数最大的项．考点 二项式定理的应用 题点 二项式定理的简单应用 解 二项式的通项为T k ＋1＝C k n(2k)2k x ，由题意知展开式中第k ＋1项系数是第k 项系数的2倍，是第k ＋2项系数的56倍，∴⎩⎪⎨⎪⎧C k n 2k ＝2C k －1n ·2k －1，C k n 2k ＝56C k ＋1n ·2k ＋1，解得n ＝7.∴展开式中二项式系数最大两项是T 4＝C 37(2x )3＝28032x 与T 5＝C 47(2x )4＝560x 2.19．(12分)10件不同厂生产的同类产品：(1)在商品评选会上，有2件商品不能参加评选，要选出4件商品，并排定选出的4件商品的名次，有多少种不同的选法？(2)若要选6件商品放在不同的位置上陈列，且必须将获金质奖章的两件商品放上，有多少种不同的布置方法？ 考点 排列组合综合问题题点 排列与组合的综合应用解 (1)10件商品，除去不能参加评选的2件商品，剩下8件，从中选出4件进行排列，有A 48＝1 680(或C 48·A 44)(种)．(2)分步完成，先将获金质奖章的两件商品布置在6个位置中的两个位置上，有A 26种方法，再从剩下的8件商品中选出4件，布置在剩下的4个位置上，有A 48种方法，共有A 26·A 48＝50 400(或C 48·A 66)(种)．20．(12分)设⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12x m ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋…＋a m x m，若a 0，a 1，a 2成等差数列．(1)求⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12x m展开式的中间项；(2)求⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12x m展开式中所有含x 的奇次幂的系数和．考点 二项式定理的应用 题点 二项式定理的简单应用解 (1)依题意a 0＝1，a 1＝m 2，a 2＝C 2m ⎝ ⎛⎭⎪⎫122.由2a 1＝a 0＋a 2，求得m ＝8或m ＝1(应舍去)，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12x m展开式的中间项是第五项，T 5＝C 48⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 4＝358x 4. (2)因为⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12x m ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a m x m，即⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12x 8＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 8x 8. 令x ＝1，则a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 8＝⎝ ⎛⎭⎪⎫328，令x ＝－1，则a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 8＝⎝ ⎛⎭⎪⎫128，所以a 1＋a 3＋a 5＋a 7＝38－129＝20516，所以展开式中所有含x 的奇次幂的系数和为20516.21．(12分)把n 个正整数全排列后得到的数叫做“再生数”，“再生数”中最大的数叫做最大再生数，最小的数叫做最小再生数．(1)求1,2,3,4的再生数的个数，以及其中的最大再生数和最小再生数；(2)试求任意5个正整数(可相同)的再生数的个数． 考点 排列的应用 题点 数字的排列问题解 (1)1,2,3,4的再生数的个数为A 44＝24，其中最大再生数为4 321，最小再生数为1 234. (2)需要考查5个数中相同数的个数． 若5个数各不相同，有A 55＝120(个)； 若有2个数相同，则有A 55A 22＝60(个)；若有3个数相同，则有A 55A 33＝20(个)；若有4个数相同，则有A 55A 44＝5(个)；若5个数全相同，则有1个．22．(12分)已知m ，n 是正整数，f (x )＝(1＋x )m ＋(1＋x )n的展开式中x 的系数为7. (1)对于使f (x )的x 2的系数为最小的m ，n ，求出此时x 3的系数； (2)利用上述结果，求f (0.003)的近似值；(精确到0.01)(3)已知(1＋2x )8展开式的二项式系数的最大值为a ，系数的最大值为b ，求b a. 考点 二项式定理的应用 题点 二项式定理的简单应用 解 (1)根据题意得C 1m ＋C 1n ＝7， 即m ＋n ＝7，①f (x )中的x 2的系数为C 2m ＋C 2n ＝m (m －1)2＋n (n －1)2＝m 2＋n 2－m －n2.将①变形为n ＝7－m 代入上式得x 2的系数为m 2－7m ＋21＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m －722＋354， 故当m ＝3或m ＝4时，x 2的系数的最小值为9. 当m ＝3，n ＝4时，x 3的系数为C 33＋C 34＝5； 当m ＝4，n ＝3时，x 3的系数为C 34＋C 33＝5. (2)f (0.003)＝(1＋0.003)4＋(1＋0.003)3≈C 04＋C 14×0.003＋C 03＋C 13×0.003≈2.02. (3)由题意可得a ＝C 48＝70，再根据⎩⎪⎨⎪⎧C k8·2k≥C k ＋18·2k ＋1，C k8·2k ≥C k －18·2k －1，即⎩⎪⎨⎪⎧k ≥5，k ≤6，求得k ＝5或6，此时，b ＝7×28，∴b a ＝1285.。