2000年全国初中数学联合竞赛试题及解答
2000年全国初中数学联赛试题及答案(修正版)
2000年全国初中数学联合竞赛试卷第一试1、计算56145614--+的值是【 】（A ）1 （B ）5 （C ）25 （D ）52、若x y x y x y y x 156523-=-=，则222232654yxy x y xy x +-+-的值是【 】 （A ）92 （B ）94 （C ）5 （D ）63、设a ，b 是不相等的任意正数，又x ＝b 2＋1a ， y ＝a 2＋1b ，则x ，y 这两个数一定【 】（A ）都不大于2 （B ）都不小于2 （C ）至少有1个大于2 （D ）至少有1个小于24、正整数n 小于100，并满足等式n n n n =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡632，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，这样的正整数n 有【 】（A ）2个 （B ）3个 （C ）12个 （D ）16个5、已知一个梯形的四条边的长分别为1、2、3、4，则此梯形的面积等于【 】 （A ）4 （B ）6 （C ）82 （D ）10326、已知ABCD 是一个半径为R 的圆的内接四边形，AB ＝12，CD ＝6，分别延长AB 和DC ，它们相交于P 且BP ＝8，∠APD ＝60°，则R 等于【 】（A ）10 （B ）221 （C ）122 （D ）147、 a ，b 是正数，并且抛物线y ＝x 2＋ax ＋2b 和y ＝x 2＋2bx ＋a 都与x 轴有公共点，则a 2＋b 2的最小值是________。
8、某果品店组合销售水果，甲种搭配：2千克A 水果，4千克B 水果；乙种搭配：3千克A 水果，8千克B 水果，1千克C 水果；丙种搭配：2千克A 水果，6千克B 水果，1千克C 水果。
A 水果价格每千克2元，B 水果价格每千克1.2元，C 水果价格每千克10元。
某天该店销售三种搭配共得441.2元，其中A 水果的销售额为116元，则C 水果的销售额为________元9、实数x ，y 满足x ≥y ≥1和2x 2－xy －5x ＋y ＋4＝0，则x ＋y ＝________10、设正三角形ABC 的边长为2，M 是AB 边上的中点，P 是边BC 上的任意一点，P A ＋PM 的最大值和最小值分别记为s 和t ，则s 2－t 2＝________H G A B C D E F 第二试一、 设p 是实数，二次函数y ＝x 2－2px －p 的图象与x 轴有两个不同的交点A (x 1，0)， B (x 2，0)（1）求证：2px 1＋x 22＋3p ＞0；（2）若A ，B 间的距离不超过│2p －3│，求p 的最大值。
详解——2000年全国初中数学联合竞赛试卷
2000年全国初中数学联赛试题解答第一试第一试试题答案一、1、（C ）；2、（A ）；3、（C ）；4、（D ）；5、（D ）；6、（B ）二、1、20；2、150；3、4；4、详解一、1．(Ｃ)∵ 2)53(5614+=+,,∴ 原式2．(Ａ).由已知条件知x ≠0，y ≠0 . 把已知等式变形并利用等比消去y ，得则 x =3y .故3．(Ｃ)设a =1,b =3，得x =10,y =32. 从而否定(A )及(B ) . 设a =3,b =4，得x =317，y =410. 于是否定(D )，故只有(C )正确. 4．(Ｄ)由，以及若x 不是整数，则[x ]＜x 知，2|n , 3|n , 6|n ，即n 是6的倍数. 因此，小于100的这样的正整数有=16个.5．(Ｄ)以1、2、3、4为边作梯形只有以下六种可能：(1)以1、2为底；(2)以1、3为底；(3)以1、4为底；(4)以2、3为底；(5)以2、4为底；(6)以3、4为底.易知只有(3)才能构成梯形，其他都不能构成梯形.如图，设在梯形A B C D 中，A B =3，B C =4，C D =2，D A =1，过A 作A H ⊥B C 于H ，作A E ∥D C 交B C 于E ，则△A B E 是等腰三角形. 由得则6．(Ｂ)由切割线定理得P B·P A=P C·P D，有8×20=P C(P C+6).解得P C=10 .如图，连结A C.在△P A C中，由P A=2P C,∠A P C=60°，得∠P C A=90°.从而A D是圆的直径.由勾股定理，得A D2=A C2+C D2=(P A2-P C2)+C D2=202-102+62=336∴.二、1．20由题设知a2-8b≥0，4b2-4a≥0 .则a4≥64b2≥64a，∴a≥4，b2≥a≥4 .∴a2+b2≥20 .又当a=4,b=2时，抛物线y=x2+a x+2b和y=x2+2b x+a都与x轴有公共点，则a2+b2的最小值是20 .2．150 .设该天卖出甲种、乙种、丙种水果分别为x、y、z套.依题意有∴(2)-(1)×11，消去x，得31(y+z)=465，故y+z=15 .所以，共卖出C水果15千克，C水果的销售额为15×20=150(元). 3．4 .由题设等式知2x2-5x+4=y(x-1)≤x(x-1)，有x2-4x+4≤0，即(x-2)2≤0 .从而，x=2 .代入已知等式得y=2,故x+y=4 .4．4.先求s .∵ P A ≤A C ，P M ≤C M ， ∴ P A +P M ≤C A +C M =2+ .当点P 为顶点C 时，等号成立 .则 s =2+ .再求t.如图，作正△A ′B C .设M ′为A ′B的中点，则△P B M ≌△P B M ′. ∴ P M =P M ′.P A +P M =P A +P M ′≥A M ′.连结C M ′，则∠A C M ′=90° .∴ . ∴ t = .故.第二试（4月2日上午10:30----11:30）一、（本题满分20分） (1)由题设知△=(-2p )2-4(-p )=4p 2+4p ＞0，∴＝2p x 1+2p x 2+p +3p =2p (x 1+x 2)+4p=4p 2+4p >0.(2)∵ A B =|x 2-x 1|，∴P P 442+≤|32|-P . 有 4p 2+4p ≤4p 2-12p +9 . ∴ p ≤.又当p =时满足题意，故p 的最大值为.二、如图，在正方形A B C D中，过E、F、G、H分别作对边的垂线，得矩形P Q R T .设A B C D的边长为a，P Q=b，Q R=c，由勾股定理得由S△A E H =S△T H E ,S△B E F =S△P E F ,S△C F G =S△Q F G ,S△D G H=S△R G H，得S正方形A B C D+S矩形P Q R T=2S四边形E F G H.则a2+b c=2.5 .,有5a2=44,a2=.即S正方形A B C D=.三、原方程可化为(k-4)(k-2)x2+(2k2-6k-4)x+(k-2)(k+2)=0，［(k-4)x+(k-2)］［(k-2)x+(k+2)］=0，∵(k-4)(k-2)≠0，∴,.∴,.(x1≠-1,x2≠-1)消去k,得x1x2+3x1+2=0，∴x1(x2+3)=-2 .由于x1、x2都是整数，∴∴10.经检验，k=6,3,.满足题意.∴k=6,3,3。
全国初中数学 联合竞赛试题及详细解答(含一试二试)
全国初中数学联合竞赛试题第一试一、选择题（本题满分42分，每小题7分） 1.计算432241242++=（ ） （A 21- （B ）1 （C 2 （D ）22.满足等式()2221m m m ---=的所有实数m 的和为（ ）（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）63.已知AB 是圆O 的直径，C 为圆O 上一点，15CAB ∠=，ACB ∠的平分线交圆O 于点D ，若3CD =，则AB=（ ） （A ）2 （B 6 （C ）22（D ）34.不定方程23725170x xy x y +---=的全部正整数角（x,y ）的组数为（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）45矩形ABCD 的边长AD=3，AB=2，E 为AB 的中点，F 在线段BC 上，且BF ：FC=1：2， AF 分别与DE ，DB 交于点M ，N ，则MN=（ ） （A 357 （B 5514 （C 9528 （D 115286.设n 为正整数，若不超过n 的正整数中质数的个数等于合个数，则称n 为“好数”，那么，所有“好数”之和为（ ） （A ）33 （B ）34 （C ）2013 （D ）2014二、填空题（本题满分28分，每小题7分）1.已知实数,,x y z 满足4,129,x y z xy y +=+=+-则23x y z ++=2.将一个正方体的表面都染成红色，再切割成3(2)n n >个相同的小正方体，若只有一面是红色的小正方体数目与任何面都不是红色的小正方体的数目相同，则n= 3.在ABC 中，60,75,10A C AB ∠=∠==，D ，E ，F 分别在AB ，BC ，CA 上，则DEF 的周长最小值为4.如果实数,,x y z 满足()2228x y z xy yz zx ++-++=，用A 表示,,x y y z z x ---的最大值，则A 的最大值为第二试（A ）一、（本题满分20分）已知实数,,,a b c d 满足()2222223236,a c b d ad bc +=+=-=求()()2222ab c d ++的值。
2000年全国初中数学联赛试题及解答
2000年全国初中数学联合竞赛试题第一试一．填空题1．设a,b,c 的平均数为M ， a,b 的平均数为N ，N 、c 的平均数为P ，若a>b>c ，则M 与P 的大小关系是（ ）。
（A ）M ＝P ；（B ）M ＞P ；（C ）M ＜P ；（D ）不确定。
2、某人骑车沿直线旅行，先前进了a 千米，休息了一段时间，又原路返回b 千米（b<a ），再前进c 千米，则此人离起点的距离S 与时间t 的关系示意图是（ ）。
3、甲是乙现在的年龄时，乙10岁；乙是甲现在的年龄时，甲25岁，那么（ ）。
（A ）甲比乙大5岁； （B ）甲比乙大10岁； （C ）乙比甲大10岁； （D ）乙比甲大5岁。
4、一个一次函数图象与直线49545+=x y 平行，与x 轴、y 轴的交点分别为A 、B ，并且过点（－1，－25），则在线段AB 上（包括端点A 、B ），横、纵坐标都是整数的点有（ ）。
（A ）4个； （B ）5个； （C ）6个； （D ）7个。
5、设a,b,c 分别是ABC △的三边的长，且cb a ba b a +++=，则它的内角A ∠、B ∠的关系是（ ）。
（A ）B ∠＞2A ∠；（B ）B ∠＝2A ∠；（C ）B ∠＜2A ∠；（D ）不确定。
6、已知ABC △的三边长分别为a,b,c ，面积为S ，A △1B 1C 1的三边长分别为a 1,b 1,c 1，面积为S 1，且a>a 1,b>b 1,c>c 1，则S 与S 1的大小关系一定是（ ）。
（A ）S ＞S 1； （B ）S ＜S 1； （C ）S ＝S 1； （D ）不确定。
7、已知：333124++=a ，那么133aa a ++＝________。
8、如图，在梯形ABCD 中，AB DC ∥，AB ＝8，BC ＝62，BCD ∠＝45°，BAD ∠＝120°，则梯形ABCD 的面积等于________。
2000年全国初中数学联合竞赛试题及答案
２０００年全国初中数学联合竞赛试题2005年全国初中数学联赛初赛试卷及答案2005年全国初中数学联赛决赛试卷及答案2007年全国初中数学联赛决赛一试试题及答案2007年全国初中数学联赛决赛第二试试题及答案2008年全国初中数学联赛2008年4月13日上午8：30—9：30一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1、设a 2 + 1 = 3 a ，b 2 + 1 = 3 b ，且a ≠ b ，则代数式21a +21b 的值为（ ） （A ）5 （B ）7 （C ）9 （D ）112、如图，设AD ，BE ，CF 为△ABC 的三条高，若AB = 6，BC = 5，EF = 3，则线段BE 的长为（ ）（A ）185 （B ）4 （C ）215 （D ）2453、从分别写有数字1，2，3，4，5的5张卡片中任意取出两张，把第一张卡片上的数字作为十位数字，第二张卡片上的数字作为个位数字，组成一个两位数，则所组成的数是3的倍数的概率是（ ）（A ）15 （B ）310 （C ）25 （D ）124、在△ABC 中，∠ABC = 12°，∠ACB = 132°，BM 和CN 分别是这两个角的外角平分线，且点M ，N 分别在直线AC 和直线AB 上，则（ ）（A ）BM > CN （B ）BM = CN （C ）BM < CN （D ）BM 和CN 的大小关系不确定5、现有价格相同的5种不同商品，从今天开始每天分别降价10％或20％，若干天后，这5种商品的价格互不相同，设最高价格和最低价格的比值为r ，则r 的最小值为（ ）（A ）(98) 3 （B ）(98) 4 （C ）(98) 5 （D ）986、已知实数x ，y 满足( xy，则3 x 2 – 2 y 2 + 3 x – 3 y – 2007的值为（ ）（A ）– 2008 （B ）2008 （C ）– 1 （D ）1二、填空题：（本题满分28分，每小题7分） 1、设a，则5432322a a a a a a a +---+-= 。
2000年全国初中数学竞赛试题及解析
2000年全国初中数学竞赛试题及解析一、选择题（只有一个结论正确）1、设的平均数为M，的平均数为N，N，的平均数为P，若，则M与P的大小关系是（）。
（A）M＝P；（B）M＞P；（C）M＜P；（D）不确定。
答：（B）。
∵M＝，N＝，P＝，M－P＝，∵，∴＞，即M－P＞0，即M＞P。
2、某人骑车沿直线旅行，先前进了千米，休息了一段时间，又原路返回千米（），再前进千米，则此人离起点的距离S与时间t的关系示意图是（）。
答：（C）。
因为图（A）中没有反映休息所消耗的时间；图（B）虽表明折返后S的变化，但没有表示消耗的时间；图（D）中没有反映沿原始返回的一段路程，唯图（C）正确地表述了题意。
3、甲是乙现在的年龄时，乙10岁；乙是甲现在的年龄时，甲25岁，那么（）。
（A）甲比乙大5岁；（B）甲比乙大10岁；（C）乙比甲大10岁；（D）乙比甲大5岁。
答：（A）。
由题意知3×（甲－乙）＝25－10，∴甲－乙＝5。
4、一个一次函数图象与直线平行，与轴、轴的交点分别为A、B，并且过点（－1，－25），则在线段AB上（包括端点A、B），横、纵坐标都是整数的点有（）。
（A）4个；（B）5个；（C）6个；（D）7个。
答：（B）。
在直线AB上，横、纵坐标都是整数的点的坐标是＝－1＋4N，＝－25＋5N，（N是整数）．在线段AB上这样的点应满足－1＋4N＞0，且－25＋5N≤0，∴≤N≤5，即N＝1，2，3，4，5。
5、设分别是△ABC的三边的长，且，则它的内角∠A、∠B的关系是（）。
（A）∠B＞2∠A；（B）∠B＝2∠A；（C）∠B＜2∠A；（D）不确定。
答：（B）。
由得，延长CB至D，使BD＝AB，于是CD＝，在△ABC与△DAC中，∠C为公共角，且BC:AC＝AC:DC，∴△ABC∽△DAC，∠BAC＝∠D，∵∠BAD＝∠D，∴∠ABC＝∠D ＋∠BAD＝2∠D＝2∠BAC。
6、已知△ABC的三边长分别为，面积为S，△A1B1C1的三边长分别为，面积为S1，且，则S与S1的大小关系一定是（）。
全国初中数学联合 竞赛试题及详细解答(含一试二试)
全国初中数学联合竞赛试题第一试一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1. 若,,a b c 均为整数且满足1010()()1a b a c -+-=，则||||||a b b c c a -+-+-= （ ） A ．1. B ．2. C ．3. D ．4..2．若实数,,a b c 满足等式23||6a b +=，49||6a b c -=，则c 可能取的最大值为 （ ） A ．0. B ．1. C ．2. D ．3.3．若b a ,是两个正数，且 ,0111=+-+-ab b a 则 （ ）4．若方程2310x x --=的两根也是方程420x ax bx c +++=的根，则2a b c +-的值为 （ ） A ．－13. B ．－9. C ．6. D ． 0.5．在△ABC 中，已知︒=∠60CAB ，D ，E 分别是边AB ，AC 上的点，且︒=∠60AED ，CE DB ED =+，CDE CDB ∠=∠2,则=∠DCB ( )A ．15°.B ．20°.C ．25°.D ．30°.6．对于自然数n ，将其各位数字之和记为n a ，如2009200911a =+++=，201020103a =+++=，则12320092010a a a a a +++++= （ ）A ．28062.B ．28065.C ．28067.D ．28068.二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）1．已知实数,x y 满足方程组3319,1,x y x y ⎧+=⎨+=⎩则22x y += .2．二次函数c bx x y ++=2的图象与x 轴正方向交于A ，B 两点，与y 轴正方向交于点C ．已知AC AB 3=，︒=∠30CAO ，则c = ．3．在等腰直角△ABC 中，AB ＝BC ＝5，P 是△ABC 内一点，且PA 5PC ＝5，则PB ＝______．4．将若干个红、黑两种颜色的球摆成一行，要求两种颜色的球都要出现，且任意中间夹有5个或10个球的两个球必为同一种颜色的球.按这种要求摆放，最多可以摆放_______个球.第二试 （A ）一．（本题满分20分）设整数,,a b c （a b c ≥≥）为三角形的三边长，满足22213a b c ab ac bc ++---=，___P_A_C_B求符合条件且周长不超过30的三角形的个数.二．（本题满分25分）已知等腰三角形△ABC 中，AB ＝AC ，∠C 的平分线与AB 边交于点P ，M 为△ABC 的内切圆⊙I 与BC 边的切点，作MD//AC ，交⊙I 于点D.证明：PD 是⊙I 的切线.三．（本题满分25分）已知二次函数2y x bx c =+-的图象经过两点P (1,)a ，Q (2,10)a . （1）如果,,a b c 都是整数，且8c b a <<，求,,a b c 的值.（2）设二次函数2y x bx c =+-的图象与x 轴的交点为A 、B ，与y 轴的交点为 C.如果关于x 的方程20x bx c +-=的两个根都是整数，求△ABC 的面积._ Q_I _ P_ C_ A_M_B第二试 （B ）一．（本题满分20分）设整数,,a b c 为三角形的三边长，满足22213a b c ab ac bc ++---=，求符合条件且周长不超过30的三角形的个数（全等的三角形只计算1次）.二．（本题满分25分）题目和解答与（A ）卷第二题相同. 三．（本题满分25分）题目和解答与（A ）卷第三题相同.第二试 （C ）一．（本题满分20分）题目和解答与（B ）卷第一题相同. 二．（本题满分25分）题目和解答与（A ）卷第二题相同.三．（本题满分25分）设p 是大于2的质数，k 为正整数．若函数4)1(2-+++=p k px x y 的图象与x 轴的两个交点的横坐标至少有一个为整数，求k 的值．全国初中数学联合竞赛试题及详解第一试一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1. 若,,a b c 均为整数且满足1010()()1a b a c -+-=，则||||||a b b c c a -+-+-= （ B ） A ．1. B ．2. C ．3. D ．4. 解： 由已知可推得011a b b c a c -=⎧⇒-=±⎨-=±⎩ 或110a b b c a c -=±⎧⇒-=±⎨-=⎩，分别代入即得。
2000年到2011年全国初中数学竞赛历考答案(12份)-716
中国教育学会中学数学教学专业委员会 “《数学周报》杯”2011年全国初中数学竞赛试题题 号 一 二 三总 分1～5 6～10 11 12 13 14 得 分 评卷人 复查人答题时注意：1．用圆珠笔或钢笔作答； 2．解答书写时不要超过装订线； 3．草稿纸不上交.一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分. 每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1．设71a =-，则代数式32312612a a a +--的值为( ).（A ）24 （B ）25 （C ）4710+ （D ）4712+ 2．对于任意实数a b c d ，，，，定义有序实数对a b （，）与c d （，）之间的运算“△”为：（a b ，）△（c d ，）＝（ac bd ad bc ++，）．如果对于任意实数u v ，， 都有（u v ，）△（x y ，）＝（u v ，），那么（x y ，）为( ).（A ）（0，1） （B ）（1，0） （C ）（﹣1，0） （D ）（0，-1）3．若1x >，0y >，且满足3y y xxy x x y==，，则x y +的值为( ).（A ）1 （B ）2 （C ）92 （D ）1124．点D E ，分别在△ABC 的边AB AC ，上，BE CD ，相交于点F ，设1234BDF BCF CEF EADF S S S S S S S S ∆∆∆====四边形，，，，则13S S 与24S S 的大小关系为( ).（A ）1324S S S S < （B ）1324S S S S = （C ）1324S S S S > （D ）不能确定 5．设3333111112399S=++++，则4S 的整数部分等于( ). （A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）7二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）6．若关于x 的方程2(2)(4)0x x x m --+=有三个根，且这三个根恰好可 以作为一个三角形的三条边的长，则m 的取值范围是 .7．一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，2，3，3，4；另一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，3，4，5，6，8. 同时掷这两枚骰子，则其朝上的面两数字之和为奇数的概率是 .8．如图，点A B ，为直线y x =上的两点，过A B ，两点分别作y 轴的平行线交双曲线1y x=（x ＞0）于C D ，两点. 若2BD AC =，则224OC OD - 的值为 .9．若112y x x =-+-的最大值为a ，最小值为b ，则22a b +的值为 .10．如图，在Rt △ABC 中，斜边AB 的长为35，正方形CDEF 内接于△ABC ，且其边长为12，则△ABC 的周长为 .三、解答题（共4题，每题20分，共80分）11．已知关于x 的一元二次方程20x cx a ++=的两个整数根恰好比方程（第8题）（第10题）20x ax b ++=的两个根都大1，求a b c ++的值.12．如图，点H 为△ABC 的垂心，以AB 为直径的⊙1O 和△BCH 的外接圆⊙2O 相交于点D ，延长AD 交CH 于点P ，求证：点P 为CH 的中点.13．如图，点A 为y 轴正半轴上一点，A B ，两点关于x 轴对称，过点A 任作直线交抛物线223yx =于P ，Q 两点. （1）求证：∠ABP =∠ABQ ；（2）若点A 的坐标为（0，1），且∠PBQ =60º，试求所有满足条件的直线PQ 的函数解析式.14．如图，△ABC 中，60BAC ∠=︒，2AB AC =．点P 在△ABC 内，且352PA PB PC ===，，，求△ABC 的面积．（第13题）（第12题）中国教育学会中学数学教学专业委员会“《数学周报》杯”2011年全国初中数学竞赛试题参考答案一、选择题 1．A解：因为71a =-， 17a +=， 262a a =-， 所以322312612362126261261260662126024.a a a a a a a a a a a +--=-+---=--+=---+=（）（）（）2．B解：依定义的运算法则，有ux vy u vx uy v +=⎧⎨+=⎩，，即(1)0(1)0u x vy v x uy -+=⎧⎨-+=⎩，对任何实数u v ，都成立. 由于实数u v ，的任意性，得（x y ，）=（1，0）．3．C解：由题设可知1y y x -=，于是341y y x yx x -==，所以 411y -=， 故12y =，从而4x =．于是92x y +=． 4．C解：如图，连接DE ，设1DEF S S ∆'=，则1423S S EF S BF S '==，从而有1324S S S S '=．因为11S S '>，所以1324S S S S >．5．A解：当2 3 99k =，，，时，因为（第14题）（第4题）()()()32111112111k k k k k k k ⎡⎤<=-⎢⎥-+-⎣⎦， 所以 3331111115111239922991004S ⎛⎫<=++++<+-< ⎪⨯⎝⎭. 于是有445S <<，故4S 的整数部分等于4．二、填空题 6．3＜m ≤4解：易知2x =是方程的一个根，设方程的另外两个根为12 x x ，，则124x x +=，12x x m =．显然1242x x +=>，所以122x x -<， 164m ∆=-≥0，即 ()2121242x x x x +-<，164m ∆=-≥0，所以1642m -<， 164m ∆=-≥0，解之得 3＜m ≤4.7．19解： 在36对可能出现的结果中，有4对：（1，4），（2，3），（2，3），（4，1）的和为5，所以朝上的面两数字之和为5的概率是41369=. 8．6解：如图，设点C 的坐标为a b （，），点D 的坐标为c d （，）,则点A 的坐标为a a （，），点B 的坐标为.c c （，） 因为点C D ，在双曲线1y x=上，所以11ab cd ==，． 由于AC a b =-，BD c d =-， 又因为2BD AC =，于是22222242c d a b c cd d a ab b -=--+=-+，（），所以 22224826a b c d ab cd +-+=-=（）（），即224OC OD -=6.9．32（第8题）解：由1x -≥0，且12x -≥0，得12≤x ≤1．22213113122()2222416y x x x =+-+-=+--+． 由于13124<<，所以当34x =时，2y 取到最大值1，故1a =． 当12x =或1时，2y 取到最小值12，故22b =．所以，2232a b +=． 10．84解：如图，设BC ＝a ，AC ＝b ，则22235a b +=＝1225． ①又Rt △AFE ∽Rt △ACB ，所以FE AFCB AC=，即1212b a b-=，故 12()a b ab +=． ② 由①②得2222122524a b a b ab a b +=++=++（）（），解得a ＋b ＝49（另一个解－25舍去），所以493584a b c ++=+=．三、解答题11．解：设方程20x ax b ++=的两个根为αβ，，其中αβ，为整数，且α≤β，则方程20x cx a ++=的两根为11αβ++，，由题意得()()11a a αβαβ+=-++=，，两式相加得 2210αβαβ+++=， 即 (2)(2)3αβ++=，所以 2123αβ+=⎧⎨+=⎩，； 或232 1.αβ+=-⎧⎨+=-⎩，（第10题）解得 11αβ=-⎧⎨=⎩，； 或53.αβ=-⎧⎨=-⎩，又因为[11]a b c αβαβαβ=-+==-+++（），，（）（），所以 012a b c ==-=-，，；或者8156a b c ===，，，故3a b c ++=-，或29.12．证明：如图，延长AP 交⊙2O 于点Q ， 连接 AH BD QB QC QH ，，，，.因为AB 为⊙1O 的直径， 所以∠ADB =∠BDQ =90°， 故BQ 为⊙2O 的直径. 于是CQ BC BH HQ ⊥⊥，.又因为点H 为△ABC 的垂心，所以.AH BC BH AC ⊥⊥，所以AH ∥CQ ，AC ∥HQ ，四边形ACQH 为平行四边形. 所以点P 为CH 的中点.13．解：（1）如图，分别过点P Q ， 作y 轴的垂线，垂足分别为C D ， . 设点A 的坐标为（0，t ），则点B 的坐标为（0，-t ）. 设直线PQ 的函数解析式为y kx t =+,并设P Q ，的坐标分别为 P P x y （，）,Q Q x y （，）.由223y kx t y x =+⎧⎪⎨=⎪⎩，， 得 2203x kx t --=，于是 32P Q x x t =-，即 23P Q t x x =-.（第12题）（第13题）于是222323P P Q Qx t y t BC BD y t x t ++==++22222()333.222()333P P Q P P Q P Q Q P Q Q Q P x x x x x x x x x x x x x x --===--- 又因为P Q x PCQD x =-，所以BC PC BD QD=. 因为∠BCP =∠90BDQ =︒，所以△BCP ∽△BDQ ， 故∠ABP =∠ABQ .（2）解法一 设PC a =，DQ b =，不妨设a ≥b >0，由（1）可知∠ABP =∠30ABQ =︒，BC =3a ，BD =3b ，所以 AC =32a -，AD =23b -.因为PC ∥DQ ，所以△ACP ∽△ADQ . 于是PC ACDQ AD=，即3223a a b b -=-， 所以3a b ab +=．由（1）中32P Q x x t =-，即32ab -=-，所以33322ab a b =+=，，于是可求得2 3.a b == 将32b =代入223y x =，得到点Q 的坐标（32，12）.再将点Q 的坐标代入1y kx =+，求得3.3k =- 所以直线PQ 的函数解析式为313y x =-+. 根据对称性知，所求直线PQ 的函数解析式为313y x =-+，或313y x =+. 解法二 设直线PQ 的函数解析式为y kx t =+,其中1t =. 由（1）可知，∠ABP =∠30ABQ =︒，所以2BQ DQ =.故 222(1)Q QQ x x y =++. 将223Q Q y x =代入上式，平方并整理得 4241590Q Q x x -+=，即22(43)(3)0Q Q x x --=.所以 32Q x =或 3. 又由 (1)得3322P Q x x t =-=-，32P Q x x k +=. 若32Q x =，代入上式得 3P x =-， 从而 23()33P Q k x x =+=-.同理，若3Q x =， 可得32P x =-， 从而 23()33P Q k x x =+=.所以，直线PQ 的函数解析式为313y x =-+，或313y x =+. 14．解：如图，作△ABQ ，使得QAB PAC ABQ ACP ∠=∠∠=∠，，则△ABQ ∽△ACP . 由于2AB AC =，所以相似比为2. 于是22324AQ AP BQ CP ====，．60QAP QAB BAP PAC BAP BAC ∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒.由:2:1AQ AP =知，90APQ ∠=︒，于是33PQ AP ==．所以 22225BP BQ PQ ==+，从而90BQP ∠=︒． 于是222()2883AB PQ AP BQ =++=+ .故 213673sin 60282ABC S AB AC AB ∆+=⋅︒==．（第14题）。
历届初中数学竞赛试题及答案
历届初中数学竞赛试题及答案一、选择题（每题3分，共15分）1. 下列哪个数是最小的正整数？A. 0B. 1C. -1D. 2答案：B2. 如果一个数的平方等于16，那么这个数是多少？A. 4B. -4C. 4 或 -4D. 16答案：C3. 一个直角三角形的两条直角边分别为3和4，斜边的长度是多少？A. 5B. 6C. 7D. 8答案：A4. 一个数列1, 1, 2, 3, 5, ...，每个数都是前两个数的和，这个数列的第6个数是多少？A. 8B. 13C. 21D. 34答案：B5. 如果一个圆的半径是5，那么它的面积是多少？A. 25πB. 50πC. 100πD. 125π答案：B二、填空题（每题2分，共10分）6. 一个数的绝对值是它本身，这个数是________。
答案：非负数7. 一个长方体的长、宽、高分别是2cm、3cm和4cm，它的体积是________。
答案：24立方厘米8. 一个分数的分子和分母同时乘以一个相同的数，这个分数的值________。
答案：不变9. 如果一个数的立方等于它本身，那么这个数是________。
答案：1，-1，010. 一个圆的周长是2πr，其中r是圆的半径，π是圆周率，π的值约等于________。
答案：3.14三、解答题（每题5分，共20分）11. 一个班级有50名学生，其中30名学生参加了数学竞赛，20名学生参加了英语竞赛，并且有5名学生同时参加了数学和英语竞赛。
请问只参加数学竞赛的学生有多少人？答案：只参加数学竞赛的学生有30-5=25人。
12. 一个等差数列的前三项分别是2，5，8，求这个数列的第10项。
答案：等差数列的公差d=5-2=3，第10项a10=a1+(10-1)*d=2+9*3=29。
13. 一个直角三角形的斜边长为13，一条直角边长为5，求另一条直角边长。
答案：根据勾股定理，另一条直角边长b=√(13²-5²)=12。
2000 2012全国初中数学联合竞赛试题分类汇编及详细解析 专题07 实数
一、选择题，的平均数为PN，N一试1)，若设的平均数为M，的平均数为20001、(，则M与P的大小关系是（）。
（A）M＝P；（B）M＞P；（C）M＜P；（D）不确定。
2.（2000一试3）甲是乙现在的年龄时，乙10岁；乙是甲现在的年龄时，甲25岁，那么（）。
（A）甲比乙大5岁；（B）甲比乙大10岁；:ZXXK]来源[ 5岁。
（）乙比甲大（C10岁； D）乙比甲大3.（2000一试7）已，那么＝________。
知：1【答案】．，，那么a，）已知b，，c．4（2002一试1的大小关系）是（ Da． c＜a＜b．CBa A．＜b＜c ．b＜a＜cc＜b＜来][来源:学,科,网[ :ZXXK]源5.（2002一试6）如果对于不＜8的自然数n，当3n+1是一个完全平方数时，n+1能表示成k 个完全平方数的和，那么k的最小值为（）A． 1 B．2 C． 3 D．4[来[来[来源:学&科&网源:Zxxk.]源:Zxxk.] Z&X&X&K] [来源:学*科*网Z*X*X*K][来源:Zxxk.]学§科§网Z§X§X§K]:来源[620031）计算：．（( )一试等于212?17?22?32 (B)4-1 -4 (C)5 (D)1(A)522Z,X,X,K],网:学,科[来源11＋）化简：2005一试1的结果是＿＿。
7．（3－66－404＋59+3022A、无理数 B、真分数 C、奇数 D、偶数222c、a、b.a,,a?2ab?c?0bc?b?0是系则实数的大小试8.（2006一4）设关】【cb?a?a?ba?b?c?b?c?ac (D)(A) (C) (B)12?a?2c?6?b?3?2a,b,c的大小关系是（9．2012一）已知，那么，试1，（）a?b?ca?c?bb?a?cb?c?a A. B. C. D.:ZXXK来源二、填空题1.2003一试10）已知正整数a、b之差为120,它们的最小公倍数是其最大公约数的105倍,（那么a、b中较大的数是__ __.2.（2004一试10）设m是不能表示为三个合数之和的最大整数，则m= . Z|X|X|K]网|科|学:来源[K]。
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这样由①，②得： x2 y 2 10 a 2 9 a 2 16 a 2 ，
2
③
5
解③式得： a 2
44 ． 5
即正方形 ABCD 面积为
44 ． 5
三． （本题满分 25 分）设关于 x 的二次方程 (k 2 6k 8) x2 (2k 2 6k 4) x k 2 4 的两根都 是整数．求满足条件的所有实数 k 的值. 解 原一元二次方程化为： k 2 6 x 8 x2 2k 2 6k 4 x k 2 4 0 ． 得到 x1 由 x1 知：
2000 年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准
说明：评阅试卷时，请依据本评分标准.第一试，选择题和填空题只设 7 分和 0 分两档； 第二试各题，请按照本评分标准规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同， 只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数.
k 2 k 2 ， x2 ． k 2 k 4
第一试
一、选择题（本题满分 42 分，每小题 7 分） 1. 计算： 14 6 5 14 6 5 的值是（ A．1. 【答】C. 原式 3 5 3 5 2 5 ． 2．若
x y 6 x 15 y 4 x 2 5 xy 6 y 2 ，则 2 的值是（ 3y 2x 5 y x x 2 xy 3 y 2
4 2 ． 3
1 4 2 10 2 ． 1 4 2 3 3
6．已知 ABCD 是一个半径为 R 的圆内接四边形，AB＝12，CD＝6，分别延长 AB 和 DC， 它们相交于 P，且 BP＝8，∠APD＝60°．则 R 等于（ A．10. B． 2 21 . C． 12 2 . ） D． 14.
2
【答】B. 显然，首先可以求出 PC 长度，由切割线定理得 PB PA PC PD ， 有 8 20 PC PC 6 ，解得 PC＝10．
D
C
P
B
A
如图，连接 AC，在△PAC 中，由 PA＝2PC， APC 60 ， 得 PCA 90 ，从而 AD 是圆的直径． 在直角三角形 ACD 中由勾股定理，得：
D E F C A B
同理，可以分析只有 1，4 为对边才能构成梯形，其他都不能构成梯形，如图：
AB 1 ， BC 3 ， CD 4 ， DA 2 ．
作 BE 平行于 AD 交 CD 于 E ，作 BF 垂直于 EC 交 EC 于 F ． 显然，EC 2 ， BE 2 ，三角形 BEC 为等腰三角形，可求得三角形 BEC 的面积为 2 2 ， 进而可求得三角形 BEC 中 EC 边上的高 BF 故可求得梯形 ABCD 的面积为：
y 6 x 15 y x 1 6 x 15 y ， ． 36 ，而 2x 5 y x 3y 6 x x y 6 x 15 y 1 ， x 3 y ． 3 y 2x 5 y x
若 y 2 x ，
若 x 3 y ，则
将 x 3 y 代入分式中得：
AD2 AC 2 CD2 PA2 PC 2 CD2 336 ，从而 R AO 2 21 ．
二、填空题（本题满分 28 分，每小题 7 分） 1．a ，b 是正数， 并且抛物线 y x2 ax 2b 和 y x2 2bx a 都与 x 轴有公共点． 则 a 2 b2 的最小值是________. 【答】20. 因为抛物线 y x2 ax 2b 和 y x2 2bx a 都与 x 轴有公共点， 所以方程 x2 ax 2b 0 和 x2 2bx a 0 均有实根． 因此， a2 8b 0 ， 4b2 4a 0 ；则 a4 64b2 64a ， 所以 a 4 ， b2 a 4 ， a2 b2 20 ． 当 a 4 ， b 2 时，抛物线 y x2 ax 2b 和 y 2 x2 2bx a 都与 x 轴有公共点， 所以， a 2 b2 的最小值是 20． 2．某果品商店进行组合销售，甲种搭配：2 千克 A 水果，4 千克 B 水果；乙种搭配：3 千克 A 水果，8 千克 B 水果，1 千克 C 水果；丙种搭配：2 千克 A 水果，6 千克 B 水果，1 千克 C 水果．已知 A 水果每千克 2 元，B 水果每千克 1.2 元，C 水果每千克 10 元．某天该商店销售 这三种搭配共得 441.2 元，其中 A 水果的销售额为 116 元．则 C 水果的销售额为_______元. 【答】 150. 设分别卖出甲种、乙种、丙种水果分别为 x ， y ， z 套，则由题意可得：
1
所以 x ， y 这两个数至少有一个大于 2.
n n n 4． 正整数 n 小于 100， 并且满足等式 n ， 共中 [ x] 表示不超过 x 的最大整数， 2 3 6
这样的正整数 n 有（ A．2. 【答】D.
）个． B． 3. C． 12. D．16.
5．已知一个梯形的四边条的长分别为 1，2，3，4．则此梯形的面积等于（ A．4. 【答】D. B． 6. C． 8 2 . D．
10 2. 3
）
首先考虑梯形的各个边的构成情况，以 1，2，3，4 作为边的梯形有以下六种可能：1， 2 为对边；1，3 为对边；1，4 为对边；2，3 为对边；2，4 为对边；3， 4 为对边． 如图，如果 AB 1 ， CD 2 ，显然，作 BE 平行于 AD 交 CD 于 E ， 可知 CE 1 ，而三角形 CEB 另外两边分别为 3 和 4，与三角形两边之和 大于第三边矛盾．
9 . 2
） C． 2 5 . D． 5.
B． 5 .
） D．6.
A． 【答】A. 由
B．
9 . 4
C．5.
x y ，得 2 x2 5xy 3 y 2 0 ，即 x 3 y 2 x y 0 ，故 x 3 y 或 y 2 x ． 3y 2x 5 y
2 故 2 px1 x2 3 p 2 px1 2 px2 p 3 p 2 p( x1 x2 ) 4 p 4 p 2 4 p 0 ；
（2） 4 p2 4 p 0 ．
A ， B 之间的距离为 x1 x2 ，则 x1 x2 ≤ 2 p 3 ，
A E J K B F
H I L
D
G C
解 如图，过点 E、G 做 AB 的垂线，过点 FH 做 BC 的垂线，中间是一个矩形 IJKL ． 我们设 IJ x ， IL y ， AD a ，则由勾股定理可知
a 2 y 2 32 ，
a2 x2 42 ，
① ②
同时，显然有正方形 ABCD 面积加中间矩形 IJKL 的面积等于两倍的四边形的面积，可 得：
两边平方得： ， 4 p 2 4 p ≤ 4 p 2 12 p 9 16 p ≤ 9 p ≤ 并且 p
9 9 满足 4 p2 4 p 0 ，故 p 的最大值为 ． 16 16
9 ． 16
二． （本题满分 25 分）如图，EFGH 是正方形 ABCD 的内接四边形， BEG 与 CFH 都是 锐角．已知 EG＝3，FH＝4，EFGH 的面积为 5．求正方形 ABCD 的面积．
4 x 2 5xy 6 y 2 36 y 2 15 y 2 6 y 2 9 ． x 2 2 xy 3 y 2 9 y2 6 y2 3y2 2
b2 1 a2 1 ，y ，则 x ， y 这两个数一定（ a b
3．设 a ， b 是不相等的任意正数，又 x A．都不大于 2 C．至少有一个大于 2 【答】C. 方法一：令 a 4 ， b 5 ，得到 x
3
2 2 x 3 y 2 z 116 2 x 3 y 2 z 116 即 8.8 x 25.6 y 21.2 z 441.2 22 x 64 y 53z 1103
我们要求的是 C 种水果的销售额，即 y z 的值，利用上两式消去 x 可得： ，故 y z 15 ． C 水果的销售额为 150 元． 31 y z 4 5 6 3．实数 x ， y 满足 x y 1 和 2 x2 xy 5x y 4 0 ，则 x y ___________. 【答】4. 方法一： 2 x2 xy 5x y 4
）
B．都不小于 2 D．至少有一个小于 2
13 17 ， y ，可排除 A，D； 2 5
令 a 1 ， b 2 ，得到 x 5 ， y 1 ，可排除 B．故只能选 C． 方法二： x y
b2 1 a 2 1 b2 1 a 2 1 b2 1 a 2 1 4 4 4 a b a a b b a a b b
2 2
故 x y 2， x y 4． 方法二： 2 x2 5x 4 y x 1 x x 1 ，即 x2 4 x 4 0 ．
x 2
2
0 x 2．
代回原式得到 y 2 ．得 x y 4 ． 4．设正△ABC 的边长为 2，M 是 AB 边上的中点，P 是 BC 边上的任意一点，PA＋PM 的最 大值和最小值分别记为 s 和 t ．则 s 2 t 2 ___________. 【答】 4 3 . 如图，以 BC 向外作正三角形，有对称性 AP NP ，则要求的是 MP NP 的极值问题， 显然，它们的极大值是 MC NC ，极小值是 AN ，易求得： MN 7 ， MC NC 2 3 ， 故： s 2 t 2 2 3 7 4 3 ．