高中数学新课标人教A版选修2-2《1.4生活中的优化问题举例》讲课
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2019-2020年人教A版高中数学选修2-2：1.4生活中的优化问题举例课件 (共37张PPT)(1)
解析：(1)∵当 x＝5 时，y＝11，∴a2＋10＝11，∴a＝2. (2)由(1)可知，该商品每日的销售量 y＝x－2 3＋10(x－6)2， ∴商场每日销售该商品所获得的利润 f(x)＝(x－3)x－2 3＋10x－62 ＝2＋10(x－3)(x－6)2，其中 3<x<6. ∴f′(x)＝10[(x－6)2＋2(x－3)(x－6)] ＝30(x－4)(x－6)．
2．一艘轮船在航行中燃料费和它的速度的立方成正比．已知速度为每小时 10 千 时，燃料费是每小时 6 元，而其他与速度无关的费用是每小时 96 元，轮船的速 是多少时，航行 1 千米所需的费用总和为最小？ 解析：设速度为每小时 v 千米的燃料费为每小时 p 元，由题意得 p＝k·v3，其中 为比例系数，当 v＝10，p＝6，解得 k＝1603＝0.006. 于是有 p＝0.006v3. 设当速度为每小时 v 千米时，行 1 千米所需的总费用为 q 元，那么每小时所需的总
综上，当 1≤t≤2 时，投入23a万元，y 的最大值为3227a3； 当 0<t<1 时，投入22t＋at1万元，y 的最大值为23t2＋a31t23.
求解利润最大问题方法： 利润最大问题是生活中常见的一类问题，一般根据“利润＝收入－成本” 建立函数关系式，再利用导数求最大值．
3．某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量 y(单位：千克)与销售 x(单位：元/千克)满足关系式 y＝x－a 3＋10(x－6)2，其中 3<x<6，a 为常数．已知 价格为 5 元/千克时，每日可售出该商品 11 千克． (1)求 a 的值； (2)若该商品的成本为 3 元/千克，试确定销售价格 x 的值，使商场每日销售该商 获得的利润最大．
∴当 x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
数学：1.4《生活中的优化问题举例》教案(1)(新人教A版选修2-2)
§1.4生活中的优化问题举例（2课时）教学目标：1． 使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用。
2． 提高将实际问题转化为数学问题的能力。
教学重点：利用导数解决生活中的一些优化问题。
教学难点：利用导数解决生活中的一些优化问题。
教学过程：一．创设情景生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具．这一节，我们利用导数，解决一些生活中的优化问题。
二．新课讲授导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题，主要有以下几个方面：1、与几何有关的最值问题；2、与物理学有关的最值问题；3、与利润及其成本有关的最值问题；4、效率最值问题。
解决优化问题的方法：首先是需要分析问题中各个变量之间的关系，建立适当的函数关系，并确定函数的定义域，通过创造在闭区间内求函数取值的情境，即核心问题是建立适当的函数关系。
再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具。
利用导数解决优化问题的基本思路：三．典例分析例1．汽油的使用效率何时最高我们知道，汽油的消耗量w （单位：L ）与汽车的速度v （单位：km/h ）之间有一定的关系，汽油的消耗量w 是汽车速度v 的函数．根据你的生活经验，思考下面两个问题：（1） 是不是汽车的速度越快，汽车的消耗量越大？（2） “汽油的使用率最高”的含义是什么？分析：研究汽油的使用效率（单位：L/m ）就是研究秋游消耗量与汽车行驶路程的比值．如果用G 表示每千米平均的汽油消耗量，那么w G s=，其中，w 表示汽油消耗量（单位：L ），s 表示汽油行驶的路程（单位：km ）．这样，求“每千米路程的汽油消耗量最少”，就是求G 的最小值的问题通过大量的统计数据，并对数据进行分析、研究，人们发现，汽车在行驶过程中，汽油平均消耗率g （即每小时的汽油消耗量，单位：L/h ）与汽车行驶的平均速度v （单位：km/h ）之间有如图所示的函数关系()g f v =。
《1.4生活中的优化问题举例》课件1-优质公开课-人教A版选修2-2精品
第一章 导数及其应用
自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升
解决优化问题的基本思路
数学 选修2-2
第一章 导数及其应用
自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升
解决优化问题的一般步骤： (1) 审题：阅读理解文字表达的题意，分清问题和结论， 找出问题的主要关系． (2) 建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，
建立相应的数学模型，主要是函数模型：引入恰当的变量，把
待求最值的对象表示为该变量的函数．
数学 选修2-2
第一章 导数及其应用
自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升
(3) 解模：把数学问题化归为常规问题，选择合适的数学 方法求解．此处主要是利用导数求函数最值．
(4)结合实际问题的实际意义，对结果进行验证评估，定
性定量分析，作出正确的判断，并确定其答案．
数学 选修2-2
第一章 导数及其应用
自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升
1．已知某生产厂家的年利润 y(单位：万元)与年产量 x(单 1 3 位：万件)的函数关系式为 y＝－3x ＋81x－234，则使该生产厂 家获取最大年利润的年产量为( A．13 万件 C．9 万件 )
1．通过实例体会导数在解决实际问题中的应用．
2．能够利用导数解决简单的实际生活中的优化问题． 3．提高综合运用导数知识解题的能力，培养化归转化的 思想意识．
数学 选修2-2
第一章 导数及其应用
自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升
下面是某品牌饮料的三种规格不同的产品，若它们的价格
v3 5 2 ＝48－2v ＋6 000(0<v≤100)．
高中数学人教A版选修2-2课件：1-4 生活中的优化问题举例
栏目 导引
第一章 典例透析三角函数
题型一 题型二 题型三
解:设矩形广告的高和宽分别为 x cm,y cm,面积为 S cm2. 则每栏的高和宽分别为(x-20) cm, 由两栏面积之和为 2(x-20)· 得 y=
18 000 + 25. x-20 y-25 2 y-25 2
cm,其中 x>20,y>25.
= 18 000,
广告的面积 S=xy=x 所以 S'=
(x-20)
2
18 000 18 000x + 25 = + 25x. x-20 x-20 18 000[(x-20)-x] -360 000
+ 25 =
(x-20)
2
+ 25.
令 S'>0,得 x>140, 令 S'<0,得 20<x<140. 所以函数在(140,+∞)内单调递增,在(20,140)内单调递减.所以当 x=140时,S取得最小值. 当x=140时,y=175,即当x=140,y=175时,S取得最小值24 500. 栏目 故当广告的高为140 cm,宽为175 cm时,可使矩形广告的面积最小导引 .
栏目 导引
第一章 典例透析三角函数
题型一 题型二 题型三
解:设容器底面一条边长为 x m,则另一条边长为(x+0.5) m,高为
14.8-4������-4(������+0.5) 4
= (3.2 − 2������) m.
3.2-2������ > 0, 解得0<x<1.6. ������ > 0, 设容器的容积为 y m3, 则 y=x(x+0.5)(3.2-2x)=-2x3+2.2x2+1.6x, 所以 y'=-6x2+4.ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱx+1.6. 令 y'=0,则 15x2-11x-4=0, 由 解得 x1=1,x2=−
高二数学人教A版选修2-2课件：1.4 生活中的优化问题举例
+x)
=51
840 ������
+120x2-312.
因为 x 表示相邻两增压站之间的距离,则 0<x≤120.
故
y
与
x
之间的函数关系式为
y=51
840 ������
+120x2
-312(0<x≤120).
(2)y=51
840 ������
+120x2
-312(0<x≤120),
则 y'=-51������8240+240x=2���4���20(x3-216).
案例探究
思悟升华
导数在解决实际问题中的应用
某分公司经销某种品牌产品,每件产品的成本为3元,并且每件产品需向总公司交a元(3≤a≤5)的管理费,预 计当每件产品的售价为x元(9≤x≤11)时,一年的销售量为(12-x)2万件.
(1)求分公司一年的利润L(万元)与每件产品的售价x的函数关系式. (2)当每件产品的售价为多少元时,分公司一年的利润L最大,并求出L的最大值Q(a).
Lmax=L
6
+
2 3
������
=4
3-
1 3
������
3
,
Q(a)=
9(6-������),3
≤
������
<
9 2
,
4
3-
1 3
������
3
,
9 2
≤
������
≤
5.
综上,若 3≤a<92,则当每件售价为 9 元时,分公司一年的利润 L 最大,
最大值 Q(a)=9(6-a)(万元);若92≤a≤5,则当每件售价为
高中数学新课标人教A版选修2-2《1.4生活中的优化问题举例》课件
课前探究学习
课堂讲练互动第二页，编辑于活星期页一：规点范十八训分。练
自学导引 1．优化问题
生活中经常遇到求 利润最大 、 用料最省 、 效率最高 等问题， 这些问题通常称为优化问题。 2．用导数解决优化问题的基本思路
课前探究学习
课堂讲练互动第三页，编辑于活星期页一：规点范十八训分。练
想一想：设两正数之和为常数 c，能否借助导数求两数之积的最大 值，并由此证明不等式a＋2 b≥ ab(a，b>0)? 提示 设一个正数为 x，则另一个正数为 c－x，两数之积为 f(x)＝x(c－x)＝cx－x2(0<x<c)，f′(x)＝c－2x. 令 f′(x)＝0，即 c－2x＝0，得 x＝2c.
课前探究学习
课堂讲练互动第十八页，编辑活于星页期一规：范点 十训八分练。
令 S′(R)＝－2RV2＋4πR＝0，解得 R＝ 3 2Vπ，
从而 h＝πVR2＝ π
V＝
3
V
2
3
4πV＝2
3
2Vπ，即 h＝2R.
2π
因为 S(R)只有一个极值，所以它是最小值．
所以，当罐的高与底直径相等时，所用材料最省．
课前探究学习
课堂讲练互动第五页，编辑于活星期页一：规点范十八训分。练
名师点睛 1．利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤
第一步：建立实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间 的函数关系式y＝f(x)； 第二步：求函数的导数f′(x)，令f′(x)＝0，求出极值点； 第三步：比较函数在区 间端点和极值点处的取值大小，确定其 最大值或最小值．
课前探究学习
课堂讲练互动第八页，编辑于活星期页一：规点范十八训分。练
[思路探索] 分析各已知条 件之间的关系 ―→ 适当选取变量 ―→ 构造函数关系 ―→
(人教A版)数学【选修2-2】1-4《生活中的优化问题举例》ppt课件
解 设靠墙的一面长 x m，围成的场地面积为 y m2，此时
40－x 矩形的宽为 2 >0， 40－x 1 2 ∴y＝x· ＝－ x ＋20x.(0<x<40) 2 2 y′＝－x＋20.
令 y′＝0 得，x＝20. 当 0<x<20 时，y′>0， 当 20<x<40 时，y′<0. ∴x＝20 时，y 最大＝20×10＝200. 答： 靠墙的一面长 20 m 时， 围成的场地面积最大， 为 200 m2.
4．某种圆柱形的饮料罐的容积一定时，如何确定它的高与 底半径，才使得所用材料最省？
解 设圆柱的高为 h，底半径为 R，则表面积
S(R)＝2πRh＋2πR2， V 又 V＝πR2h，则 h＝πR2，所以 V 2V 2 2 S(R)＝2πR· ＋ 2π R ， 2＋2πR ＝ πR R 2V 由 S′(R)＝－ R2 ＋4πR＝0，
二
用料最省问题
【例2】
要设计一个容积为V的有盖圆柱形储油罐，已知
侧面积的单位面积造价是底面积造价的一半；而储油罐盖的单 位面积造价又是侧面积造价的一半，问储油罐的半径r和高h之 比为何值时造价最省？ 【分析】 把圆柱的高用底面半径r表示出来，然后把造
价表示为r的函数．
V 【解】 由V＝πr h，得h＝πr2，
解析 如图所示，矩形长为 10cosθ，宽为 5sinθ，则矩形的 面积 S＝50sinθcosθ＝25sin2θ≤25， ∴当 θ＝45° 时， 矩形的面积 有最大值 25.
答案
B
2．周长为 20 的矩形，绕一条边旋转成一个圆柱，则圆柱 体积的最大值为________．
解析 设矩形的一边长为 x，则另一边长为 10－x，则 V＝ 20 πx (10－x)＝π(10x －x )．令 V′＝π(20x－3x )＝0，得 x＝ .x 3
40－x 矩形的宽为 2 >0， 40－x 1 2 ∴y＝x· ＝－ x ＋20x.(0<x<40) 2 2 y′＝－x＋20.
令 y′＝0 得，x＝20. 当 0<x<20 时，y′>0， 当 20<x<40 时，y′<0. ∴x＝20 时，y 最大＝20×10＝200. 答： 靠墙的一面长 20 m 时， 围成的场地面积最大， 为 200 m2.
4．某种圆柱形的饮料罐的容积一定时，如何确定它的高与 底半径，才使得所用材料最省？
解 设圆柱的高为 h，底半径为 R，则表面积
S(R)＝2πRh＋2πR2， V 又 V＝πR2h，则 h＝πR2，所以 V 2V 2 2 S(R)＝2πR· ＋ 2π R ， 2＋2πR ＝ πR R 2V 由 S′(R)＝－ R2 ＋4πR＝0，
二
用料最省问题
【例2】
要设计一个容积为V的有盖圆柱形储油罐，已知
侧面积的单位面积造价是底面积造价的一半；而储油罐盖的单 位面积造价又是侧面积造价的一半，问储油罐的半径r和高h之 比为何值时造价最省？ 【分析】 把圆柱的高用底面半径r表示出来，然后把造
价表示为r的函数．
V 【解】 由V＝πr h，得h＝πr2，
解析 如图所示，矩形长为 10cosθ，宽为 5sinθ，则矩形的 面积 S＝50sinθcosθ＝25sin2θ≤25， ∴当 θ＝45° 时， 矩形的面积 有最大值 25.
答案
B
2．周长为 20 的矩形，绕一条边旋转成一个圆柱，则圆柱 体积的最大值为________．
解析 设矩形的一边长为 x，则另一边长为 10－x，则 V＝ 20 πx (10－x)＝π(10x －x )．令 V′＝π(20x－3x )＝0，得 x＝ .x 3
高中数学人教A版选修2-2第一章 1.4 生活中的优化问题举例课件
V′(r)＝S－26πr2， 令 V′(r)＝0 得 S＝6πr2，∴h＝2r，因为 V′(r)只有一个极值 点，故当 h＝2r 时圆柱的容积量大．
又 r＝ 6Sπ，∴h＝2 6Sπ＝ 36ππS.
即当圆柱的容积 V 最大时，圆柱的高 h 为 36ππS.
答案：
6πS 3π
2．将一段长为 100 cm 的铁丝截成两段，一段弯成正方形，一 段弯成圆，问如何截可使正方形与圆面积之和最小？ 解：设弯成圆的一段长为 x(0＜x＜100)，另一段长为 100－x， 记正方形与圆的面积之和为 S，则 S＝π2xπ2＋1004－x2(0＜x ＜100)，则 S′＝2xπ－18(100－x)． 令 S′＝0，则 x＝1π0＋0π4.
谢谢观看！
仅做学习交流，谢谢！
语语文文：：初初一一新新生生使使用用的的是是教教育育部部编编写写的的教教材材，，也也称称““部部编编””教教材材。。““部部编编本本””是是指指由由教教育育部部直直接接组组织织编编写写的的教教材材。。““部部编编本本””除除了了语语文文，，还还有有德德育育和和历历史史。。现现有有的的语语文文教教材材，，小小学学有有1122种种版版本本，，初初中中有有88种种版版本本。。这这些些版版本本现现在在也也都都做做了了修修订订，，和和““部部编编本本””一一同同投投入入使使用用。。““部部编编本本””取取代代原原来来人人教教版版，，覆覆盖盖面面比比较较广广，，小小学学约约占占5500%%，，初初中中约约占占6600%%。。今今秋秋，，小小学学一一年年级级新新生生使使用用的的是是语语文文出出版版社社的的修修订订版版教教材材，，还还是是先先学学拼拼音音，，后后学学识识字字。。政政治治：：小小学学一一年年级级学学生生使使用用的的教教材材有有两两个个版版本本，，小小学学一一年年级级和和初初一一的的政政治治教教材材不不再再叫叫《《思思想想品品德德》》，，改改名名为为《《道道德德与与法法治治》》。。历历史史：：初初一一新新生生使使用用华华师师大大版版教教材材。。历历史史教教材材最最大大的的变变化化是是不不再再按按科科技技、、思思想想、、文文化化等等专专题题进进行行内内容容设设置置，，而而是是以以时时间间为为主主线线，，按按照照历历史史发发展展的的时时间间顺顺序序进进行行设设置置。。关关于于部部编编版版，，你你知知道道多多少少？？为为什什么么要要改改版版？？跟跟小小编编一一起起来来了了解解下下吧吧！！一一新新教教材材的的五五个个变变化化一一、、入入学学以以后后先先学学一一部部分分常常用用字字，，再再开开始始学学拼拼音音。。汉汉字字是是生生活活中中经经常常碰碰到到的的，，但但拼拼音音作作为为一一个个符符号号，，在在孩孩子子们们的的生生活活中中接接触触、、使使用用都都很很少少，，教教学学顺顺序序换换一一换换，，其其实实是是更更关关注注孩孩子子们们的的需需求求了了。。先先学学一一部部分分常常用用常常见见字字，，就就是是把把孩孩子子的的生生活活、、经经历历融融入入到到学学习习中中。。二二、、第第一一册册识识字字量量减减少少，，由由440000字字减减少少到到330000字字。。第第一一单单元元先先学学4400个个常常用用字字，，比比如如““地地””字字，，对对孩孩子子来来说说并并不不陌陌生生，，在在童童话话书书、、绘绘本本里里可可以以看看到到，，电电视视新新闻闻里里也也有有。。而而在在以以前前，，课课文文选选用用的的一一些些结结构构简简单单的的独独体体字字，，比比如如““叉叉””字字，，结结构构比比较较简简单单，，但但日日常常生生活活中中用用得得不不算算多多。。新新教教材材中中，，增增大大了了常常用用常常见见字字的的比比重重，，减减少少了了一一些些和和孩孩子子生生活活联联系系不不太太紧紧密密的的汉汉字字。。三三、、新新增增““快快乐乐阅阅读读吧吧””栏栏目目，，引引导导学学生生开开展展课课外外阅阅读读。。教教材材第第一一单单元元的的入入学学教教育育中中，，有有一一幅幅图图是是孩孩子子们们一一起起讨讨论论《《西西游游记记》》等等故故事事，，看看得得出出来来，，语语文文学学习习越越来来越越重重视视孩孩子子的的阅阅读读表表达达，，通通过过读读 故故事事、、演演故故事事、、看看故故事事等等，，提提升升阅阅读读能能力力。。入入学学教教育育中中第第一一次次提提出出阅阅读读教教育育，，把把阅阅读读习习惯惯提提升升到到和和识识字字、、写写字字同同等等重重要要的的地地位位。。四四、、新新增增““和和大大人人一一起起读读””栏栏目目，，激激发发学学生生的的阅阅读读兴兴趣趣，，拓拓展展课课外外阅阅读读。。有有家家长长担担心心会会不不会会增增加加家家长长负负担担，，其其实实这这个个““大大人人””包包含含很很多多意意思思，，可可以以是是老老师师、、爸爸妈妈、、爷爷爷爷、、奶奶奶奶、、外外公公、、外外婆婆等等，，也也可可以以是是邻邻居居家家的的小小姐姐姐姐等等。。每每个个人人讲讲述述一一个个故故事事，，表表达达是是不不一一样样的的，，有有人人比比较较精精炼炼，，有有人人比比较较口口语语化化，，儿儿童童听听到到的的故故事事不不同同，，就就会会形形成成不不同同的的语语文文素素养养。。五五、、语语文文园园地地里里，，新新增增一一个个““书书写写提提示示””的的栏栏目目。。写写字字是是有有规规律律的的，，一一部部分分字字有有自自己己的的写写法法，，笔笔顺顺都都有有自自己己的的规规则则，，新新教教材材要要求求写写字字的的时时候候，，就就要要了了解解一一些些字字的的写写法法。。现现在在信信息息技技术术发发展展很很快快，，孩孩子子并并不不是是只只会会打打字字就就可可以以，，写写字字也也不不能能弱弱化化。。二二为为什什么么要要先先识识字字后后学学拼拼音音？？一一位位语语文文教教研研员员说说，，孩孩子子学学语语文文是是母母语语教教育育，，他他们们在在生生活活中中已已经经认认了了很很多多字字了了，，一一年年级级的的识识字字课课可可以以和和他他们们之之前前的的生生活活有有机机结结合合起起来来。。原原先先先先拼拼音音后后识识字字，，很很多多孩孩子子觉觉得得枯枯燥燥，，学学的的时时候候感感受受不不到到拼拼音音的的用用处处。。如如果果先先接接触触汉汉字字，，小小朋朋友友在在学学拼拼音音的的过过程程中中会会觉觉得得拼拼音音是是有有用用的的，，学学好好拼拼音音是是为为了了认认识识更更多多的的汉汉字字。。还还有有一一位位小小学学语语文文老老师师说说：：““我我刚刚刚刚教教完完一一年年级级语语文文，，先先学学拼拼音音再再识识字字，，刚刚进进校校门门的的孩孩子子上上来来就就学学，，压压力力会会比比较较大大，，很很多多孩孩子子有有挫挫败败感感，，家家长长甚甚至至很很焦焦急急。。现现在在让让一一年年级级的的孩孩子子们们先先认认简简单单的的字字，，可可以以让让刚刚入入学学的的孩孩子子们们感感受受到到学学习习的的快快乐乐，，消消除除他他们们害害怕怕甚甚至至恐恐惧惧心心理理。。我我看看了了一一下下网网上上的的新新教教材材，，字字都都比比较较简简单单，，很很多多小小朋朋友友都都认认识识。。””
高中数学人教A版选修2-2(同步课件)：1-4 生活中的优化问题举例
第一章 导数及其应用
§1.4 生活中的优化问题举例
学习目标
1.了解导数在解决实际问题中的作用. 2.掌握利用导数解决简单的实际生活中的优化问题.
问题导学
题型探究
达标检测
问题导学
实
新知探究 点点落
知识点 生活中的优化问题
1.生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题， 这些问题通常称为 优化问题 . 2.利用导数解决优化问题的实质是 . 求函数最值 3.解决优化问题的基本思路是：
数学建模 上述解决优化问题的过程是一个典型的
过程.
答案 返回
题型探究
破
重点难点 个个击
类型一 面积、容积的最值问题 例1 请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60 cm
的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三 角形，再沿虚线折起，使得 ABCD 四个点重合于图中的点 P ，
成圆形，当正方形与圆形面积之和最小时，圆的周长为
________ cm.
解析答案
800 故 x＝5 时，为 f(x)的最小值点，对应的最小值为 f(5)＝6×5＋ ＝70. 15＋5
当隔热层修建5 cm厚时，总费用达到最小值70万元.
解析答案 返回
达标检测
1
2 3 4
1.方底无盖水箱的容积为256，则最省材料时，它的高为 ( A A.4 B.6 C.4.5 D.8
)
解析 设底面边长为x，高为h，
256 则 V(x)＝x · h＝256，∴h＝ x2 ，
2
256 2 4×256 ∴S(x)＝x ＋4xh＝x ＋4x·x2 ＝x ＋ x ，
2 2
4×256 ∴S′(x)＝2x－ x2 .
§1.4 生活中的优化问题举例
学习目标
1.了解导数在解决实际问题中的作用. 2.掌握利用导数解决简单的实际生活中的优化问题.
问题导学
题型探究
达标检测
问题导学
实
新知探究 点点落
知识点 生活中的优化问题
1.生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题， 这些问题通常称为 优化问题 . 2.利用导数解决优化问题的实质是 . 求函数最值 3.解决优化问题的基本思路是：
数学建模 上述解决优化问题的过程是一个典型的
过程.
答案 返回
题型探究
破
重点难点 个个击
类型一 面积、容积的最值问题 例1 请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60 cm
的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三 角形，再沿虚线折起，使得 ABCD 四个点重合于图中的点 P ，
成圆形，当正方形与圆形面积之和最小时，圆的周长为
________ cm.
解析答案
800 故 x＝5 时，为 f(x)的最小值点，对应的最小值为 f(5)＝6×5＋ ＝70. 15＋5
当隔热层修建5 cm厚时，总费用达到最小值70万元.
解析答案 返回
达标检测
1
2 3 4
1.方底无盖水箱的容积为256，则最省材料时，它的高为 ( A A.4 B.6 C.4.5 D.8
)
解析 设底面边长为x，高为h，
256 则 V(x)＝x · h＝256，∴h＝ x2 ，
2
256 2 4×256 ∴S(x)＝x ＋4xh＝x ＋4x·x2 ＝x ＋ x ，
2 2
4×256 ∴S′(x)＝2x－ x2 .
人教A版高中数学选修2-2-1·4-数学：1.4《生活中的优化问题举例》课件(新人教A版-选修2-2
512
S'(x) 2 x2
精品课件
2dm
S (x)2x51 x 28 ， S'(x)25 x 1 2 2 令 S ' ( x ) 0 可 解 得 x 1 （ 6 x - 1 6 舍 去 ）
列表讨论如下：
x S '(x) S (x)
(0，16)
-
减函数↘
16
0
极小值
(16，+∞)
+
增函数↗
现让你设计一张如右图所示的竖向张贴的海报，要求版 心面积为128dm2，上、下两边各空2dm，左、右两边各 空1dm，如何设计海报的尺寸才能使四周空白面积最小？
解：设版心的高为xdm，则版心的
1dm
1dm
宽 1 2 8 dm，此时四周空白面积为 2dm x
S(x)(x4)(1282)128 x
2x5128 (x0) x
耗油量y（升）关于行驶速度x（千米/小时）的函数解析式
可以表示为：
y
1
x33x8 (0x1 2 0 ).
1 2 8 0 0 0 8 0
若已知甲、乙两地相距100千米。
(III)当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油
最少？最少为多少升？
解：设当汽车以x km/h的速度行驶时，从甲地到乙地 的耗油量为h(x) L，则
说明
1、设出变量找出函数关系式；确定出定义域； 所得结果符合问题的实际意义
2、若函数 f ( x )在定义域内只有一个极值点x0 ， 则不需与端点比较， f ( x0 )即是所求的最大值或 最小值.
(所说区间的也适用于开区间或无穷区间)
精品课件
例2、海报版面尺寸的设计： 学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传，
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r
2p r 2p (r + m ) 2p (R - m ) f (r ) = + +L + n n n p = (R + r - m )(R - r ) mn
理论迁移
例 某汽车制造厂有一条价值为60万元 的汽车生产线，现要通过技术改造来提 高其生产能力，进而提高产品的增加值. 已知投入x万元用于技术改造，所获得的 产品的增加值为(60－x)x2万元，并且技 x (0, 5] .求当技改投入 改投入比率 60 x 多少万元时，所获得的产品的增加值为 最大？ 技改投入40万元
思考1：版心面积为定值128dm2，海报 的面积怎么表示？
128 (x + 4)( + 2) x
128 (x + 4)( + 2) - 128 x
思考2：设版心的高为x，则海报的面积 为多少？海报四周空白的面积为多少？
思考3：设海报四周空白的面积为S(x)， 则S(x)的最简表达式如何？其定义域是 什么？
512 S (x ) = 2x + + 8, x > 0 x
思考4：海报四周空白的面积S(x)是否存 在最值？若存在，如何求其最值？
512 S (x ) = 2x + + 8, x > 0 x
版心高为16dm， 宽为8dm时， 思考5：如何设计海报的尺寸，才能使四 周空白面积最小？
探究（二）：饮料瓶大小对饮料公司利
例1 一艘轮船在航行中每小时的燃料 费和它的速度的立方成正比，已知在速 度为每小时10km时，燃料费是每小时6元， 其它与速度无关的费用是每小时96元， 问此轮船以何种速度航行时，能使每行 驶1km的总费用最小？ 20km/h
例2 用总长为14.8m的钢条制作一个长 方体容器的框架，如果所制作的容器的 底面的一边比另一边长0.5m，那么当容 器的高为多少时，其容积最大？最大容 积为多少？ 高为1.2m，最大容积为1.8m3.
为了保障磁盘的分辨率，磁道之间 的宽度必须大于m，每比特所占用的磁道 长度不得小于n.为了数据检索的方便， 磁盘格式化时要求所有磁道具有相同的 比特数. R
r
思考1：现有一张半径为R的磁盘，它的 存储区是半径介于r与R的环形区域，且 最外面的磁道不存储任何信息，那么这 张磁盘的磁道数最多可达多少？ R
小结作业
1.解决优化问题的基本思路：
优化问题 用函数表示的数学问题
优化问题的答案
用导数解决数学问题
2.解决优化问题的实质是将实际问题 化归为函数的最值问题来处理，其探究 过程是一个典型的数学建模过程.对目标 函数的最值，要根据函数式的特点，用 适当的方法求解，有时用基本不等式或 二次函数图象求最值比用导数更方便. 3.对优化问题中的函数关系，要注意 根据实际背景确定函数的定义域，如果 目标函数在定义域内只有一个极值点， 则这个极值点一般就是最值点.
润的影响
【背景材料】某制造商制造并出售球形 瓶装的某种饮料，瓶子的制造成本是 0.8π r2分，其中r(单位：cm)是瓶子的 半径.已知每出售1mL的饮料，制造商可 获利0.2分，且制造商能制作的瓶子的最 大半径为6cm.
思考1：1mL饮料所占的体积是多少cm3？ 半径为r的瓶子最多能装多少mL的饮料？
例3 如图所示，一条宽为1m的走廊与 另一条走廊垂直相连，要使一条长为8m 的细杆能水平通过拐角，问另一条走廊 的宽度至少为多少m？
细杆 走廊
3 3m
1m
ห้องสมุดไป่ตู้
走廊
2p r (R - r )(0 < r < R ) 磁盘的存储量 f (r ) = mn
如何变化？有何最值？
R
r
R r = 时，存储量最大. 2
思考6：如果每条磁道存储的信息与磁道 的长度成正比，那么如何计算磁盘的存 储量？此时，是不是r越小，磁盘的存储 R 量越大？
m r = 时，存储量最大. 2
1.4
生活中的优化问题举例
问题提出
1.在什么条件下，函数f(x)在闭区间 [a，b]上一定存在最大值和最小值？
函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线
2.如果在闭区间[a，b]上函数y＝f(x) 的图象是一条连续不断的曲线，那么如 何求出函数f(x)在区间[a，b]上的最大 值和最小值？
将函数f(x)在开区间（a，b）上的所有极值 与区间端点函数值进行比较，其中最大者为 最大值，最小者为最小值.
2 3 6 x
思考6：市场上等量的小包装的物品一般 比大包装的要贵些（如半斤装的白酒比 一斤装的白酒平均价格要高），在数学 上有什么道理？ 将包装盒捏成球状，因为小包装的半径 小，其利润低，生产商就提高销售价格 来平衡与大包装的利润.
探究（三）：磁盘的最大存储量问题
【背景材料】计算机把信息存储在磁盘 上，磁盘是带有磁性介质的圆盘，并由 操作系统将其格式化成磁道和扇区.磁道 是指不同半径所构成的同心圆轨道，扇 区是指被圆心角分割成的扇形区域.磁道 上的定长的弧可作为基本存储单元，根 据其磁化与否可分别记录数据0或1，这 个基本单元通常称为比特，磁盘的构造 如图所示.
R- r m
r
思考2：由于每条磁道上的比特数相同， 那么这张磁盘存储量的大小取决于哪条 磁道上的比特数？ 最内一条磁道.
思考3：要使磁盘的存储量达到最大，那 么最内一条磁道上的比特数为多少？
R
2p r n
r
思考4：这张磁盘的存储量最大可达到多 少比特？
R - r 2p r × m n
思考5：若R为定值，r为变量，那么这张
3.生活中经常遇到求利润最高，产量最 大，成本最低，用料最省等实际问题， 这些问题通常称为优化问题.解决优化问 题的本质就是求函数的最值，因此，以 函数为载体导数为工具，解决生活中的 优化问题，是数学应用领域的一个重要 课题.
探究（一）：海报版面尺寸的设计
【背景材料】学校或班级举行活动，通 常需要张贴海报进行宣传.现让你设计一 张如图所示的竖向张贴的海报，要求版 心面积为128dm2，上、下两边各空2dm， 左、右两边各空1dm.如何 设计海报，才能使四周空 白面积最小？
4 3 pr 3
思考2：每瓶满装的饮料的利润(单位： 分)是多少？ 4
0.2 ?
思考3：设每瓶满装饮料的利润为f(r)， 则函数f(r)的定义域是什么？ （0，6]
3
pr
3
0.8p r
2
r 2 思考4：函数 f (r ) = 0.8p( - r )(0 < r ? 6) 3
3
是否存在最值？若存在，如何求其最值？
f (x )min 3.2p = f (2) = 3
f (x )max = f (6) = 28.8p
r 思考5：函数 f (r ) = 0.8p( - r 2 )(0 < r ? 6) 3
3
的大致图象是什么？据图象分析，瓶子 半径的大小对制造商的利润产生什么影 响？ y 当0＜r＜3时，利润为负 值；当r＝3时，利润为 零；当r＞3时，利润为 O 正值，并随着瓶子半径 的增大利润也相应增大.