2010-10-13对数
对数常用公式-资料类
对数常用公式－资料类一、关键信息1、对数的定义及基本概念对数的定义：如果 a 的 x 次方等于 N（a>0，且a≠1），那么数 x 叫做以 a 为底 N 的对数，记作 x ＝logₐN。
常用对数：以 10 为底的对数叫做常用对数，记作 lgN。
自然对数：以无理数 e（e ≈ 271828）为底的对数称为自然对数，记作 lnN。
2、对数的基本性质负数和零没有对数。
logₐ1 ＝ 0（a>0，且a≠1）。
logₐa ＝ 1（a>0，且a≠1）。
3、对数的运算性质logₐ(MN) ＝logₐM ＋logₐN（M>0，N>0，a>0，且a≠1）。
logₐ(M/N) ＝logₐM logₐN（M>0，N>0，a>0，且a≠1）。
logₐ(Mⁿ) ＝n logₐM（M>0，a>0，且a≠1）。
4、换底公式logₐb ＝logₑb ／logₑa（a>0，且a≠1；b>0；e 为自然对数的底数）。
5、对数恒等式a^（logₐN) ＝ N（a>0，且a≠1，N>0）。
二、详细内容11 对数的定义对数是数学中的一个重要概念，它是指数运算的逆运算。
当我们知道底数 a 和幂 N 时，可以通过对数运算求出指数 x。
例如，若 2³＝ 8，则以 2 为底 8 的对数为 3，记作 log₂8 ＝ 3。
111 常用对数和自然对数常用对数在实际计算中经常使用，特别是在科学计数法和一些工程计算中。
自然对数则在微积分、概率论等高等数学领域中有广泛的应用。
12 对数的基本性质负数和零没有对数，这是由对数的定义所决定的。
因为正数的任何次幂都是正数，所以底数大于 0 时，只有正数才有对数。
logₐ1 ＝ 0 意味着任何非零数的 0 次幂都等于 1。
而logₐa ＝ 1 则表示底数的 1 次幂等于底数本身。
121 对数性质的应用这些基本性质在简化对数运算和证明对数相关的等式中起着重要的作用。
2011对数概念111111111
4
记为： ＝16 2
（2）由16，4得到数2的运算是
4
开方运算。 对数运算！
记为： 16 2
4
（3）由2，16得到数4的运算是
记为： log 2 16 4
定 义 ：一 般 地 ，如 果 次 幂 等 于 N, 就 是
a
b
a a 0 , a 1 的
b
N
，那么数 b 叫
做 以 a 为 底 N 的 对 数 ， 作 log a N b ， 记 a 叫做对数的底数，N 叫做真数
为了简便，N的自然对数 log e N 简记作lnN。
讲解范例 例1 将下列指数式写成对数式：
(1 ) 5 625 1 6 ( 2 )2 64 a ( 3 ) 3 27
4
log 5 625 4
log 2 1 64 6
log 3 27 a
1 ( 4 ) 3
1 (1 ) ? 2
x
4
1 ( 2 ) 0 . 125 x ? 2
x
2 .1 8 % 2 x ?
这是已知底数和幂的值，求指数! 你能看得出来吗？怎样求呢？
3 .在式子 2 ＝16中，
有三个数2(底),4(指数）和16（幂） （1）由2，4得到数16的运算是 乘方运算。
对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔 (Napier，1550—1617年)
恩格斯曾把对数的发明、解析几何学的创始 以及微积分学的创始并列为十七世纪数学的 三大成就，给予很高的评价
引入： 1.庄子曰：一尺之棰，日取其半，万世不竭。 问题：（1）取4次，还有多长？ （2）取多少次，还有0.125尺？
2.假设2010年我国国民生产总值为a亿元， 如果每年平均增长8%，那么经过多少年国 民生产总值是2010年的2倍？ 抽象出：1
所有的对数公式
所有的对数公式对数这玩意儿，在数学里可算是个有点特别的存在。
咱先来说说最基本的对数公式，那就是对数的定义：如果 a 的 x 次方等于 N（a>0，且 a 不等于 1），那么数 x 叫做以 a 为底 N 的对数，记作x=logₐN 。
咱就拿一个例子来说吧，比如说 2 的 3 次方等于 8，那么以 2 为底8 的对数就是 3，记作 log₂8 = 3 。
这就像是个密码锁，底数是密码的规则，真数是要解开的数字，而对数就是解开密码的钥匙。
再来说说对数的运算性质。
有个特别重要的公式就是logₐ(M×N) = logₐM + logₐN 。
比如说，计算 log₂(4×8) ，那就等于 log₂4 + log₂8 ，因为 2 的 2 次方是 4 ，2 的 3 次方是 8 ，所以结果就是 2 + 3 = 5 。
还有一个常用的是logₐ(M÷N) = logₐM - logₐN 。
就像咱分水果，一堆水果分成几份，对应的对数就是相减。
然后是logₐMⁿ = n logₐM 。
这个就好比把同样的东西多复制几份，对应的对数也要跟着变多。
我记得有一次给学生们讲对数公式的时候，有个小家伙瞪着大眼睛一脸懵，我就问他：“咋啦，这对数把你难住啦？”他愁眉苦脸地说：“老师，这对数感觉就像天上的星星，看得见但抓不着。
”我一听乐了，跟他说：“别着急，咱们慢慢来，就把对数当成你喜欢的游戏，找到其中的规律就能通关啦。
”然后我就带着他一步一步地分析，从最简单的例子开始，慢慢地他好像有点开窍了，眼睛里也有了光。
对数的换底公式也很重要，logₐb = logₓb ÷ logₓa 。
这个公式能让我们在不同底数之间灵活转换，就像是给了我们一把万能钥匙，能打开各种底数的锁。
在解决数学问题的时候，灵活运用这些对数公式就像是拥有了一套超级工具，能让难题变得不再那么可怕。
比如说在求解一些指数方程或者是处理一些复杂的函数问题时，对数公式往往能发挥出巨大的作用。
对数查表方法
查表、内插法1.对数表把一些正整数或有限小数的对数近似值制成一个对照表, 依据这个表再配合对数运算律, 我们就可估计所有正实数的对数值.2.常用对数以10为底数的对数, 我们称它为常用对数, 并且用log 来代替log10.自然对数以无理数e = 2.71828…的对数, 我们称它为自然对数.3.对数查表法则(1)设1x≤<10, 且x含小数点以下二位数字 ( 如：x = 8.72, x = 4.52 ), 则可由对数表查出log x, 其法如下：例：log 8.72 = .解：利用对数表中, 从最左一行( 直行) N底下找出87 ( 代表8.7 ),其次在最上面一列( 横列) N的右侧找到2, 然后在87之横列与2的直行交会处找到一数9405 ( 代表0.9405 ), 则log 8.72 = 0.9405.N0123456789表尾差12345678955 87|||–––––––9405––––––––————————–|||——————3 (2)表尾差：若1≤x <10, x含小数三位数字( 如：x = 8.726, x = 4.237 ), 则如下表之求法.例：log 8.726 = .解：(i) 先查出前三个数字8.72的对数值log8.72 = 0.9405.(ii) 在87的横列与表尾差数字6的直行交会处找到数字3,log 8.726 = 0.9405 + 0.0003 = 0.9408例1.(1) 利用对数表, 求log 8.83的值.(2) 利用对数表, 求( 8.72 )11.2的近似值. 96.5例2.(1) 利用对数表, 求5375.8587.2375.9⨯. 9.856(2) 利用对数表计算( 4.32 )2⨯( 125.2 )2÷32)51.31(之值. 29330类题.请用对数表, 求15346.1的近似值到小数点下二位. ( 四舍五入 ) 1.02乙 .首数与尾数1. 科学记号：每一个正实数a 都可以写成 a = b ‧10n 其中 n ∈ Z, 1≤ b < 10,则称 b ‧10n 为a 的科学记号. 2. 首数、尾数：设 a = b ‧10n ⇒ log a = n + log b, ( n ∈Z, 0≤ log b < 1 ).我们称 ” 整数n ”为log a 的首数, “ log b ”为log a 的尾数. <Notes:>尾数相同的条件： 设x > 0, y > 0,log x 与log y 的尾数相等 ⇔ x = y ‧10n ( n ∈Z).3. 首数性质：(1) 对数 = 首数 + 尾数 ( 首数是整数, 0≤ 尾数 < 1 ).(2) 真数 a ≥ 1,log a 的首数为n ( n ≤ log a < n + 1) ⇔ a 的整数部分为 n + 1位数. (3) 真数 a < 1 ( 0 < a < 1 )log a 的首数为 – n ( - n ≤ log a < - n + 1 )⇔ a 在小数点后第n 位数字始不为0. 例3.利用对数表, 求log 543.7及log 0.000123的值. 2.7354, 4.0899类题.利用对数表, 求log3208000及log 00123.0的值. 4.841,2.5449例4.已知 log x = 4.7835, 求x 的近似值. 60740类题.已知 log x = -2.7073, 求x 的近似值. 0.001962. 例5.已知 log 1965 = 3.2931, 则 (1) log 19.65 = . 1.2931(2) log 0.00001965 = . –4.7069(3) 若log x = 5.2931, 则x = . 196500 (4) log y = -2.7069, 则 y = . 0.001965类题.已知 log 199 = 2.2989, log x = -2 + 0.2989, 求 x = . 0.0199例6. 试问：(1) 340是几位数？ 20 (2) (73)20在小数点后第几位开始出现不为0的数字？ 8( log 3 = 0.4771, log 7 = 0.8451 )类题.(1) 230是几位数？ 10 (2) (21)30在小数点后第几位数始不为0？ 10例7.(1) 设 log a = 4.531, 试求 log a 的首数和尾数, a 的整数部分是几位数？4, 0.531, 5(2) 设 log b = 4.531, 试求 log b 的首数和尾数, b 在小数点后第几位始出现不为0的数字？ -4, 0.531, 4 (3) 求下列对数的首数(a) log 3652.78 (b) log 7.29 (c) log 0.007 3, 0, -3例8.已知 log 2 = 0.3010, log 3 = 0.4771, log 7 = 0.8451：求 3100为 位数,且其最高位( 首位 )数字为 . 48, 5类题.27100÷5200的整数部分为 位数, 且最高位数字为 . 4, 2例9.设47100为168位数时, 则4717为 位数.29类题.若7100为85位数, 11100为105位数, 则7730为 位数. 57 例10.已知 log 2 = 0.3010, log 3 = 0.4771, log 7 =0.8451, 将 (76)50表为纯小数时,从小数点后第n 位起开始出现不为0的数字, 令此数字为α,则(1) n = , (2) α= . 4, 4类题.已知 log 2 = 0.3010, log 3 = 0.4771, log 7 =0.8451, 试问65)108(7的近似值在 小数点后第 位才出现不为0的数字, 且该数字为 . 13, 9 例11.(1) 设10 < x < 100, 又log x 2与 log x 1之尾数相等, 试求x. 1034, 1035(2) A, B 为三位数, 而B > 900, 若B 之常用对数尾数2倍于A 之常用对数之尾数, 则A = . 310类题.(1) 已知 0.1 < x < 1, 若 log x 3与 log x 1之尾数相等, 试求x. 1041-, 1021-, 1043-(2) 设A, B ∈N, 且200 < A < 300, B 为四位数, 若log A 的尾数是log B 尾数的两倍, 则A, B 各为多少？ 225, 1500,256, 1600, 289, 1700例12.已知 log 2 = 0.30103, log 3 = 0.47712, (1) 比较2106与366的大小. 2106 > 366(2) 2106+366为几位数？ 33应用问题例13.假设定期存款的年利率为6 %, 复利计息. 李先生存进10000元言明定期5年, 求期满后的本利和. 13460类题. 设年利率为12.5%, 若依复利计算, 则至少要 年( 取整数年数 ), 本利和才 会超过本金的2倍. 6丙 .内插法原理：实数 x 的微小变量, 跟其所对应的对数 y 的变量近似值成比例. 1. 作法：a b a f b f --)()( = ax a f x f --)()(<Notes:>表尾差查不到时, 再用内插法直接计算.例14.查对数表知：log 1.346 = 0.1290, log 1.347 = 0.1294, 那么log 1.3467该是多少？ 0.12928类题.用内插法 log 7.4142的值. 0.87002例15.(1) 已知 log 728 = 2.8621, log 0.0729 = -1.1373, 则 log 728300 = . 5.8623(2) 设106776.0= 4.76, 106785.2= 477且10x = 4766, 则x 之近似值为 . 3.6781( 用四舍五入求进似值到小数点第四位 ) 类题.(1)由 log 72800 = 4.8621, log 0.000729 = -3.1373, 求出log 7283 = . 3.8623(2)log 1.35 = 0.1303, log 1.34 = 0.1271, 则log 1346 = . 3.1290 (请用内插法计算)。
对数
符号
符号
以a为底N的对数记作。对数符号log出自拉丁文logarithm，最早由意大利数学家卡瓦列里（Cavalieri） 所使用。20世纪初，形成了对数的现代表示。为了使用方便，人们逐渐把以10为底的常用对数及以无理数e为底 的自然对数分别记作lgN和lnN。
的定义
的定义
如果，即a的x次方等于N（a>0，且a≠1），那么数x叫做以a为底N的对数（logarithm），记作。其中，a 叫做对数的底数，N叫做真数，x叫做“以a为底N的对数”。三角函数的积化为三角函数的和或差的方法已很熟悉，而且德国数学家 斯蒂弗尔（M. Stifel，约1487~1567）在《综合算术》（1544年）中阐述了一种如下所示的一种对应关系：
该关系可被归纳为，同时该种关系之间存在的运算性质（即上面一行数字的乘、除、乘方、开方对应于下面 一行数字的加、减、乘、除）也已广为人知。经过对运算体系的多年研究，纳皮尔在1614年出版了《奇妙的对数 定律说明书》，书中借助运动学，用几何术语阐述了对数方法。
对数
数学术语
01 的历史
03 的定义 05 应用
目录
02 符号 04 函数
基本信息
在数学中，对数是对求幂的逆运算，正如除法是乘法的逆运算，反之亦然。这意味着一个数字的对数是必须 产生另一个固定数字（基数）的指数。在简单的情况下，乘数中的对数计数因子。更一般来说，乘幂允许将任何 正实数提高到任何实际功率，总是产生正的结果，因此可以对于b不等于1的任何两个正实数b和x计算对数。
如果a的x次方等于N（a>0，且a≠1），那么数x叫做以a为底N的对数（logarithm），记作x=loga N。其中， a叫做对数的底数，N叫做真数。
的历史
对数公式及对数函数的总结
对数公式及对数函数的总结对数是数学中的一个重要概念。
如果一个数N可以表示为a的x次方（a>0且a≠1），那么x就是以a为底N的对数，记作x=logaN。
其中a称为底数，N称为真数。
负数和零没有对数。
对数式与指数式可以互相转化：x=logaN等价于ax=N （a>0，a≠1，N>0）。
常用的对数有lgN（即以10为底N的对数）和lnN（即以自然常数e为底N的对数）。
自然常数e≈2..对数函数是指函数y=logax（a>1或0<a<1）的图像。
它的定义域为正实数集，值域为实数集。
对数函数的图像经过点（1,0），在（0，+∞）上是增函数，在（0，1）上是减函数。
当x=1时，y=0.对数函数既非奇函数也非偶函数。
对数公式在数学中有广泛的应用。
例如，可以用对数公式计算各种对数值，如log26-log23=2，log212+log25=log=3，等等。
还可以用对数公式来解对数的值，如lg14-2lg7+lg7/lg18-2lg2-(-1)=log0.5，以及2(lg2+lg5)+log3(4/27)的值等。
在第一象限内，a越大图像越靠下，在第四象限内，a越大图像越靠上。
总之，对数及其函数在数学中有着广泛的应用，是不可或缺的数学工具。
4、已知a>b>c，那么a>b>c。
3、设a=log3π，b=log23，c=log32，则a>b>c。
2、如果a>b>logc1，那么B选项___c。
5、如果a>1，且a-x-logaxy。
1、已知函数f(x)=logx，如果f(ab)=1，则f(a)+f(b)=2.6、设函数f(x)={x-1，x<2；2logx-1，x≥2}，那么f(f(2))=2log2-1.7、设函数f(x)满足：当x≥4时，f(x)=1/x；当x<4时，f(x)=f(x+1)，那么f(2+log23)=1/7.参数问题部分无需改写。
对数的性质和运算
对数的性质与运算如果a^n=b，那么log(a)(b)=n。
其中，a叫做“底数”，b叫做“真数”，n叫做“以a为底b的对数”。
log(a)(b)函数叫做对数函数。
对数函数中b的定义域是b>0，零和负数没有对数；a的定义域是a>0且a≠1对数的性质及推导定义：若a^n=b(a>0且a≠1)则n=log(a)(b)基本性质：1、a^(log(a)(b))=b2、log(a)(a^b)=b3、log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N);4、log(a)(M÷N)=log(a)(M)-log(a)(N);5、log(a)(M^n)=nlog(a)(M)6、log(a^n)M=1/nlog(a)(M)推导1、因为n=log(a)(b)，代入则a^n=b，即a^(log(a)(b))=b。
2、因为a^b=a^b令t=a^b所以a^b=t，b=log(a)(t)=log(a)(a^b)3、MN=M×N由基本性质1(换掉M和N)a^[log(a)(MN)] = a^[log(a)(M)]×a^[log(a)(N)] =(M)*(N) 由指数的性质a^[log(a)(MN)] = a^{[log(a)(M)] + [log(a)(N)]}两种方法只是性质不同,采用方法依实际情况而定又因为指数函数是单调函数，所以log(a)(MN) = log(a)(M) + log(a)(N)4、与（3）类似处理MN=M÷N由基本性质1(换掉M和N)a^[log(a)(M÷N)] = a^[log(a)(M)]÷a^[log(a)(N)]由指数的性质a^[log(a)(M÷N)] = a^{[log(a)(M)] - [log(a)(N)]}又因为指数函数是单调函数，所以log(a)(M÷N) = log(a)(M) - log(a)(N)5、与（3）类似处理M^n=M^n由基本性质1(换掉M)a^[log(a)(M^n)] = {a^[log(a)(M)]}^n由指数的性质a^[log(a)(M^n)] = a^{[log(a)(M)]*n}又因为指数函数是单调函数，所以log(a)(M^n)=nlog(a)(M)基本性质4推广log(a^n)(b^m)=m/n*[log(a)(b)]推导如下：由换底公式（换底公式见下面）[lnx是log(e)(x)，e称作自然对数的底]log(a^n)(b^m)=ln(b^m)÷ln(a^n)换底公式的推导：设e^x=b^m,e^y=a^n则log(a^n)(b^m)=log(e^y)(e^x)=x/yx=ln(b^m),y=ln(a^n)得：log(a^n)(b^m)=ln(b^m)÷ln(a^n)由基本性质4可得log(a^n)(b^m) = [m×ln(b)]÷[n×ln(a)] = (m÷n)×{[ln(b)]÷[ln(a)]}再由换底公式log(a^n)(b^m)=m÷n×[log(a)(b)]（性质及推导完）函数图象1.对数函数的图象都过(1,0)点.2.对于y=log(a)(n)函数,①当0<a<1时,图象上函数显示为(0,+∞)单减.随着a 的增大,图象逐渐以(1,0)点为轴顺时针转动,但不超过X=1.②当a>1时,图象上显示函数为(0,+∞)单增,随着a的增大,图象逐渐以(1.0)点为轴逆时针转动,但不超过X=1.3.与其他函数与反函数之间图象关系相同,对数函数和指数函数的图象关于直线y=x对称.其他性质性质一：换底公式log(a)(N)=log(b)(N)÷log(b)(a)推导如下：N = a^[log(a)(N)]a = b^[log(b)(a)]综合两式可得N = {b^[log(b)(a)]}^[log(a)(N)] = b^{[log(a)(N)]*[log(b)(a)]}又因为N=b^[log(b)(N)]所以b^[log(b)(N)] = b^{[log(a)(N)]*[log(b)(a)]}所以log(b)(N) = [log(a)(N)]*[log(b)(a)] {这步不明白或有疑问看上面的}所以log(a)(N)=log(b)(N) / log(b)(a)公式二：log(a)(b)=1/log(b)(a)证明如下：由换底公式log(a)(b)=log(b)(b)/log(b)(a) ----取以b为底的对数log(b)(b)=1 =1/log(b)(a) 还可变形得: log(a)(b)×log(b)(a)=1在Excel中如何求得反对数，即对数的真数？假设以a为底的对数为N，那么其反对数=a^N。
对数的概念及性质
对数的概念及性质一、对数的概念1、对数的定义：一般地，如果 ()1,0≠>a a a 的b 次幂等于N, 就是 N a b=，那么数 b 叫做 以a 为底 N 的对数，记作 b N a =log ，a 叫做对数的底数，N 叫做真数例如：1642= ⇔ 216log 4= ; 100102=⇔2100log 10= 2421= ⇔212log 4= ; 01.0102=-⇔201.0log 10-= 探究：⑴负数与零没有对数（∵在指数式中 N > 0 ）⑵01log =a ，1log =a a∵对任意 0>a 且 1≠a , 都有 10=a ∴01log =a同样易知： 1log =a a⑶对数恒等式如果把 N a b = 中的 b 写成 N a log , 则有 N a N a =log⑷常用对数：我们通常将以10为底的对数叫做常用对数为了简便,N 的常用对数N 10log 简记作lgN 例如：5log 10简记作lg5 ; 5.3log 10简记作lg3.5.⑸自然对数：在科学技术中常常使用以无理数e=2.71828……为底的对数，以e 为底的对数叫自然对数，为了简便，N 的自然对数N e log 简记作lnN 例如：3log e 简记作ln3 ; 10log e 简记作ln10（6）底数的取值范围),1()1,0(+∞ ；真数的取值范围),0(+∞2、例题讲解：例1将下列指数式写成对数式：（1）45=625 （2）62-=641 （3）a 3=27 (4) m ）（31=5.73 例2 将下列对数式写成指数式：（1）416log 21-=； （2）2log 128=7； （3）lg0.01=-2； （4）ln10=2.303例3计算： ⑴27log 9，⑵81log 43，⑶()()32log 32-+，⑷625log 3453、练习：1.把下列指数式写成对数式(1) 32＝８ （２）52＝32 （３）12-＝21（４）312731=- 2.把下列对数式写成指数式(1) 3log ９＝２ （２）5log １２５＝３ （３）2log 41＝－２ （４）3log 811＝－４ 3.求下列各式的值(1) 5log 25 （２）2log 161 （３）lg 100 (2) （４）lg 0.01 （５）lg 10000 （６）lg 0.0001二、对数的运算性质1．对数的定义 b N a =log 其中 a ∈),1()1,0(+∞ 与 N ∈),0(+∞2．指数式与对数式的互化3.重要公式： ⑴负数与零没有对数； ⑵01log =a ，1log =a a ⑶对数恒等式N a N a =log4．指数运算法则 )()(),()(),(R n b a ab R n m a a R n m a a a n n n mn n m n m n m ∈⋅=∈=∈=⋅+5、积、商、幂的对数运算法则：如果 a > 0，a ≠ 1，M > 0， N > 0 有：)()()(3R)M(n nlog M log 2N log M log N M log 1N log M log (MN)log a n a a a a a a a ∈=-=+= 6、对数换底公式：log log log c a c b b a=． 对数换底公式还有如下常用的推论：⑴1log log a b b a =；⑵1log log n a a b b n =；⑶log log log a b a b c c ⋅=． 要特别注意：N M MN a a a log log )(log ⋅≠ ，N M N M a a a log log )(log ±≠±7、例题讲解例1. 判断下列式子是否正确，a ＞0且a ≠1，x ＞0且a ≠1，x ＞0，x ＞y ，则有（1）log log log ()a a a x y x y ⋅=+ （2）log log log ()a a a x y x y -=-（3）log log log a a a xx y y =÷ （4）log log log a a a xy x y =-（5）(log )log n a a x n x = （6）1log log a a x x =- （7）1log log n a a x x n =例2：用log a x ，log a y ，log a z 表示出（1）（2）小题，并求出（3）、（4）小题的值.（1）log a xy z （2）23log 8a x y（3）75log (42)z ⨯ （4）5lg 100例3 计算 （1）5log 25， （2）4.0log 1， （3）2log （74×52）， （4）lg 5100例4计算： (1)lg14-2lg 37+lg7-lg18 (2)9lg 243lg (3)2.1lg 10lg 38lg 27lg -+三、课后作业1.把下列各题的指数式写成对数式（５）x 3＝81 （６）x 10＝25 （７）x 5＝６ （８）x 4＝612.把下列各题的对数式写成指数式(4)ｘ＝7log 31(5)ｘ＝lg 5 (6)ｘ＝lg 0.33.求下列各式的值：（３）5log ３＋5log 31 （４）3log ５－3log １５4. 用lg ｘ，lg ｙ，lg ｚ表示下列各式：(1) lg （xyz ）； （２）lg z xy 2； （３）z xy 3lg ； （４）z y x2lg5.计算：(1) a log ２＋a log 21（ａ＞０，ａ≠１） （５）２5log 25＋３2log 64 (6) 2log （2log 16）6. 3.用a log ｘ，a log ｙ，a log ｚ，a log （ｘ＋ｙ），a l o g （ｘ－ｙ）表示下列各式：(1) a log z y x 23； （２）a log （423y z x ）； (3) a log （3221-z xy ）；（４）a log 22y x xy -； （５）a log （y y x yx⋅-+）； （６）a log ［)(y x x y-］３.。
对数与对数函数
对数与对数函数1.对数的概念(1).对数的定义:如果 那么数b 叫做以a 为底N 的对数，记作 ，其中a 叫做对数的 ，N 叫做对数的 。
即指数式与对数式的互化：log ba a Nb N =⇔= 如22=4 ==> lg 24=2 注意：负数与0没有对数(2).常用对数： 10log N 叫做常用对数，记作lg N 如lg2 ，自然对数：无理数 2.71828e=⋅⋅⋅为底记作ln N 。
(3).注意：①log a 1=0 ②log a a=1 ③lg10=1 ④1ne=1 如log a （x-1）=1 则x-1=a 若log a （x-1）=0 则x-1=1 2.对数恒等式、换底公式 (1)对数恒等式：①log Na a = (01,0)a a N>≠>且②log Na a = (01,0)a a N >≠>且(2)换底：log aN =log log b b Na(a ，b>0且a ，b ≠1,N>0) log log log a b c b c d ⋅⋅=log a d (a ，b,c>0且a ，b,c ≠1)3.对数的运算性质:如果01,0,0aa M N >≠>>且，那么（1）log ()a MN = . （2）log a MN= （3）log n a M = （4）log n amM = （5）log log a b b a ⋅= （6）log a b =1log b a例1．指数式34 =81的对数式是 ，对数式41log 2=－2的指数式是 。
log 55= log 39= , (3)49log 77 = , (4) log 575－log 53 = ，(5) lg10 = , (6)log 21 = lne=_________例2.计算 （1）()()222lg 2lg 2lg 5lg 2lg 21+⋅+-+ （2）()()231lg 5lg8lg1000lg 2lg lg 0.066++++(3)22271log log 12log 421482+--(4)()2lg 2lg 2lg 50lg 25+⋅+(5)()()3948log 2log 2log 3log 3+⋅+ 例3．已知lg2=a ，lg3=b ，则15lg 12lg 等于( )A ．b a b a +++12B ．b a b a +++12C ．b a b a +-+12D ．b a ba +-+12例4．已知2 lg(x －2y)=lgx ＋lgy ，则yx 的值为 A ．1 B ．4 C ．1或4 D ．4 或2课堂练习：1、已知log 5X=3，则X =（ ）A 100 B 1000 C 25 D 1252、在对数式N alog =b 中，真数N 的取值范围是（ ）A N ＞0 B N>0且N ≠1 C N ≠1 D N 取任何实数3、式子lg5+lg800－2lg2 =（ ） A 1000 B 100 C 3 D 24、如果a>0且a ≠1，则正确的是（ ）A 5log 3log 2log a a a=+ B 6log 3log 2log a a a =+C 3log 2log 3log 2log a a a a∙=+ D 6log 3log 2log a a a =∙5、ln 3e+lne 3=( ) A 2 B 3 C 4 D 66、如果a>0且a ≠1，则下列式子错误的是（ ） A log a 1= 0 B log a a =1 C log a M n= n DN a N a =log7、式子=3log 9log 28（ ） A.32B.1C.23D. 2 8、式子16log 8=（ ）A43 B4 C34 D 39、下列等式不成立的有（ ） A lne=1 B ln1=0 C ln 2e=2 D e ln2=2 10.计算(1)25log 41log 49log 752∙∙(2)2)18(lg - －125(3)lg25+lg2·lg50+(lg2)2(4)()643log [log log 81](5)23lg 3lg 9lg 27lg 355lg81lg 27++-- (6)()502log 33335322log 2log log 85log 89-+-+11.若234342423log log log log log log log log log 0xy z ===，求x y z ++=的值。
对数计算公式
性质①loga(1)=0；②loga(a)=1；③负数与零无对数.2对数恒等式a^logaN=N (a>0 ，a≠1）3运算法则①loga(MN)=logaM+logaN；②loga(M/N)=logaM－logaN；③对logaM中M的n次方有=nlogaM；如果a=e^m，则m为数a的自然对数，即lna=m，e=2.718281828…为自然对数的底。
定义：若a^n=b(a>0且a≠1) 则n=log(a)(b)基本性质：1、a^(log(a)(b))=b2、log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N);3、log(a)(M÷N)=log(a)(M)-log(a)(N);4、log(a)(M^n)=nlog(a)(M)5、log(a^n)M=1/nlog(a)(M)推导：1、因为n=log(a)(b)，代入则a^n=b，即a^(log(a)(b))=b。
2、MN=M×N由基本性质1(换掉M和N)a^[log(a)(MN)] = a^[log(a)(M)]×a^[log(a)(N)]由指数的性质a^[log(a)(MN)] = a^{[log(a)(M)] + [log(a)(N)]}又因为指数函数是单调函数，所以log(a)(MN) = log(a)(M) + log(a)(N)3、与（2）类似处理 M/N=M÷N由基本性质1(换掉M和N)a^[log(a)(M÷N)] = a^[log(a)(M)]÷a^[log(a)(N)]由指数的性质a^[log(a)(M÷N)] = a^{[log(a)(M)] - [log(a)(N)]}又因为指数函数是单调函数，所以log(a)(M÷N) = log(a)(M) - log(a)(N)4、与（2）类似处理M^n=M^n 由基本性质1(换掉M) a^[log(a)(M^n)] = {a^[log(a)(M)]}^n由指数的性质a^[log(a)(M^n)] = a^{[log(a)(M)]*n}又因为指数函数是单调函数，所以log(a)(M^n)=nlog(a)(M)基本性质4推广log(a^n)(b^m)=m/n*[log(a)(b)]推导如下：由换底公式（换底公式见下面）[lnx是log(e)(x)，e称作自然对数的底] log(a^n)(b^m)=ln(b^m)÷ln(a^n)换底公式的推导：设e^x=b^m,e^y=a^n 则log(a^n)(b^m)=log(e^y)(e^x)=x/y x=ln(b^m),y=ln(a^n) 得：log(a^n)(b^m)=ln(b^m)÷ln(a^n)由基本性质4可得 log(a^n)(b^m) = [m×ln(b)]÷[n×ln(a)] = (m÷n)×{[ln(b)]÷[ln(a)]}再由换底公式 log(a^n)(b^m)=m÷n×[log(a)(b)]4换底公式设b=a^m，a=c^n，则b=(c^n)^m=c^(mn)………………………………①对①取以a为底的对数，有：log(a)(b)=m……………………………..②对①取以c为底的对数，有：log(c)(b)=mn……………………………③③/②，得：log(c)(b)/log(a)(b)=n=log(c)(a)∴log(a)(b)=log(c)(b)/log(c)(a)注：log(a)(b)表示以a为底x的对数。
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1 若2x＝ ,则x＝？ 4
若4x＝8， 若2x＝3， 则x＝？ 则x＝？
思考3:满足2x＝3的x的值，我们用log23 表示，即x＝log23，并叫做“以2为底3的 x＝16，2x＝ 1 ，4x＝8 对数”.那么满足2 4 的x的值可分别怎样表示？
思考4:一般地，如果ax＝N（a>0，且 a≠1），那么数x叫做什么？怎样表示？ x＝logaN
2.假设2006年我国国民生产总值为a 亿元，如果每年的平均增长率为8% ，那 么经过多少年我国的国民生产总值是 2006年的2倍？
(1＋8％)x＝2，求x=? 3.上面的实际问题归结为一个什么 数学问题？ 已知底数和幂的值，求指数.
知识探究（一）：对数的概念
思考1:若24＝M，则M＝？ 若2－2＝N，则N＝？ 思考2:若2x＝16，则x＝？
1 (1) 54＝625 ; (2) 2－6＝ ; 64 1 m (3) ( ) ＝5.73 ; (4) log 1 16＝－４;
(5) lg0.01=－２;
3
(6) ln10＝2.303.
2
例2.求下列各式中ｘ的值：
2 (1)log64x＝ ; (2) logx8＝6 ; 3
(3)lg100=x;
(4)－ln:当a>0，且a≠1时，loga（-2）， loga0存在吗？为什么？由此能得到什么 结论？ 思考4:根据对数定义，logal和logaa （a>0，a≠1）的值分别是多少？ 思考5:若ax＝N，则x＝logaN ，二者组 合可得什么等式？
理论迁移
例1.将下列指数式化为对数式，对数式
化为指数式：
2.2.1
对数与对数运算 对 数
第一课时
问题提出
1 5730 p 2
t
1.截止到1999年底，我国人口约13亿. 如果今后能将人口年平均增长率控制在 1%，那么经过20年后，我国人口数最多 为多少（精确到亿）？到哪一年我国的 人口数将达到18亿？ 13× (1＋1％)x＝18，求x=?
18 x 1.01 思考5:前面问题中， ,1.08 2 13
x
中的x的值可分别怎样表示？ 思考6: 满足10 N , e N ， （其中e=2.7182818459045„）的x的值 可分别怎样表示？这样的对数有什么特 殊名称？
x
x
知识探究（二）：对数与指数的关系
思考1:当a>0，且a≠1时，若ax＝N，则x ＝logaN，反之成立吗？ 思考2:在指数式ax＝N和对数式x＝logaN 中，a，x，N各自的地位有什么不同？ a N x 指数式ax＝N 指数的底数 幂 幂指数 对数式x＝ 对数的底数 真数 对数 logaN