第4章 平面任意力系

的几种形式 3、能熟练计算在平面任意力系作用下物体和物体 系的平衡问题
作
业
4—1 a 、 e， 3，5， 7，11，15
F1 F2
A2 A1
F1
R
O
A3
=
F3
F2
l1
l2
O
l3
F3
=
LO
O
§4–2平面任意力系向一点简化
共点力系F1、 F2、 F3的合成结果为一作用点在
点O 的力R。这个力矢R 称为原平面任意力系的主矢。
R F1 F2 F3 F1 F2 F3
附加力偶系的合成结果是作用在同平面内的力 偶，这力偶的矩用LO 代表，称为原平面任意力系对 简化中心 O 的主矩。
例题 4-6 三铰拱桥如图所示，由左右两段借铰链C 连 接起来，又用铰链A、B 与基础相联结。已知每段重 G=40 kN，重心分别在D、E 处，且桥面受一集中载荷 P=10 kN。设各铰链都是光滑的，试求平衡时，各铰链 中的力。尺寸如图所示，单位是m。
P
D C
3
NCy
D C
NCx
E
NAx
A B
A
NAy
加力偶的矩的大小与正负一般要随指定O点的位 置的不同而不同。 2、力线平移的过程是可逆的，即作用在同一平面内 的一个力和一个力偶，总可以归纳为一个和原力 大小相等的平行力。 3、力线平移定理是把刚体上平面任意力系分解为一
个平面共点力系和一个平面力偶系的依据。
§4–2
平面任意力系向一点简化
一、力系向给定点O 的简化 应用力线平移定理，可将刚体上平面任意力系 中各个力的作用线全部平行移到作用面内某一给定 点O 。从而这力系被分解为平面共点力系和平面力 偶系。这种变换的方法称为力系向给定点O 的简化 。点O 称为简化中心。
结论：
平面任意力系向面内任一点的简化结果，是
一个作用在简化中心的主矢；和一个对简化中心 的主矩。
§4–2
二、几点说明：
平面任意力系向一点简化
1、平面任意力系的主矢的大小和方向与简化 中心的位置无关。 2、平面任意力系的主矩与简化中心O 的位置 有关。因此，在说到力系的主矩时，一定要 指明简化中心。
y
R
2、主矩Lo可由下式计算：
L0 mo F1 mo F2 mo Fn mo F
§4–2 简化结果的讨论
平面任意力系向一点简化
1、R=0，而LO≠0，原力系合成为力偶。这时力系主 矩LO 不随简化中心位置而变。 2、LO=0，而R≠0，原力系合成为一个力。作用于点O 的力R就是原力系的合力。 3、R≠0，LO≠0，原力系简化成一个力偶和一个作用 于点O 的力。这时力系也可合成为一个力。 说明如下：
§4–2
平面任意力系向一点简化
例题 4-1 在长方形平板的O、A、B、C 点上分别作用 着有四个力：F1=1kN，F2=2kN，F3=F4=3kN（如图）， 试求以上四个力构成的力系对点O 的简化结果，以及 该力系的最后的合成结果。
y A
2m
F2 60°
B
F3
F1
F4 C
3m
O
30°
x
y A
2m
§4–2
平面任意力系向一点简化
§4–2平面任意力系向一点简化
三、主矢、主矩的求法：
1、主矢可接力多边形规则作图求得，或用解析 法计算。 2 2 2 2 R Rx Ry Fx Fy 方向余弦：
F cosR, x
x
R
F cosR, y
x
0,
F
y
0,
m F 0
o
平衡方程其他形式：
0 , mA F 0 , mB F 0 A、B 的连线不和x 轴相垂直。
F
A
x
m F 0 , m F 0 , m F 0
B C
A、B、C 三点不共线。
§4–3
2m
M
D
1m
y
B
NAy
A
Q
M
B
NAx
C
D
x
ND
§4–3
平面任意力系的平衡条件
例题 4-4 某飞机的单支机翼重 Q=7.8 kN。飞机水 平匀速直线飞行时，作用在机翼上的升力 T= 27 kN ，力的作用线位置如图示。试求机翼与机身连接处 的约束力。
T
A C
770 2083 2580
B
NAy
NAx
A
F
T FAy
c
C
α
B
A
FAx
D
C
E
α
B x
A
QD
a l
QE
b
QD
P
QE
§4–3
平面任意力系的平衡条件
例题 4-3 梁AB上受到一个均布载荷和一个力偶作 用，已知载荷集度q = 100N/m，力偶矩大小M = 500 N•m。长度AB = 3m，DB=1m。求活动铰支D 和 固定铰支A 的反力。
q A
§4–2 合力矩定理
平面任意力系向一点简化
平面任意力系的合力对作用面内任一点的 矩，等于这个力系中的各个力对同一点的矩的 代数和。
mo R mo F
y
mo F mo Fx mo Fy
mo Fx yFx
y
O
Fy
A x
B
F
Fx
x
mo Fy xFy
F2 60°
B
F3
F1 O C
3m
F4 30° x y A R O B
C
x
y
A
2m
F2 60°
B
F3
F1 O C
3m
F4
30° x
y
A B
Lo O d
R /
R C x
§4–3
平面任意力系的平衡条件
平面任意力系平衡的充要条件： 力系的主矢等于零 ，又力系对任一点的主矩也 等于零。 平衡方程：
F
NCy
D C
' N Cy
P
E
NCx
' N Cx C
NAx
A
B
N Bx
NAy
N By
物体系的平衡问题
例题 4-7 组合梁AC 和CE 用铰链C 相连，A端为固 定端，E 端为活动铰链支座。受力如图所示。已知： l =8 m，P=5 kN，均布载荷集度q=2.5 kN/m，力偶矩 的大小L= 5kN·m，试求固端A、铰链C 和支座E 的反 力。
R R
R
LO
O
=
O
Lo R
R
A
=
O
Lo R
R
A
L0 m0 F AO R R
§4–2
平面任意力系向一点简化
4、 R=0，而LO=0，原力系平衡。 综上所述，可见： ⑴、平面任意力系若不平衡，则当主矢主矩均不 为零时，则该力系可以合成为一个力。 ⑵、平面任意力系若不平衡，则当主矢为零而主 矩不为零时，则该力系可以合成为一个力偶。
W
G
P
2.5 3.0
A NA
1.8
Q
2.0
B
NB
§4–4
静定与静不定问题的概念
静定与静不定概念： 1、静定问题 —— 当系统中未知量数目等于或少 于独立平衡方程数目时的问题。
2、静不定问题 —— 当系统中未知量数目多于独立 平衡方程数目时，不能求出全部未知量的问题。
静定
静不定
静不定
静不定
物体系的平衡问题
第四章
平面任意力系
平面任意力系
各个力的作用线在同一平面内， 但不汇交于一点，也不都平行的力 系称为平面任意力系
第 四 章 平 面 任 意 力 系
§4–1
力的平移
§4–2
§4–3 §4–4
平面任意力系向一点简化
平面任意力系的平衡条件 静定与静不定问题的概念
专题： 物体系的平衡、平面静力学在工程中的应用举例
T
C
B
任意力系的平衡条件
平面平行力系平衡的充要条件：
力系中各力的代数和等于零 ，以这些力对
任一点的矩的代数和也等于零。
平面平行力系的平衡方程：
一矩式：
二矩式：
F
A
y
0,
m F 0
O
B
m F 0 , m F 0
且A、B 的连线不平行于力系中各力。 由此可见，在一个刚体受平面平行力系作用而平
L0 l1 l2 l3
mo F1 mo F2 mo F3
§4–2 平面任意力系向一点简化
推广： 平面任意力系对简化中心O 的简化结果
主矢：
主矩：
R F1 F2 Fn F
L0 mo F1 mo F2 mo Fn mo F
§4–1 力的平移
一、力线平移定理：
把力F 作用线向某点O 平移时，须附加一个力偶， 此附加力偶的矩等于原力F 对点O 的矩。 证明：
F A
=
F
F
=
F
O
d
O d A
F
O
l
A
F F F
§4–1
l Fd m0 F
§4–1 力的平移
二、几个性质：
1、当力线平移时，力的大小、方向都不改变，但附
Q1 P A H B
l/8 l/8 l/4
q
L
C
l/4
L
E NC
l/4