2010年10月青岛三十九中初三月考数学试题

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2023-2024学年山东省青岛市市南区九年级(上)月考数学试卷(10月份)(含解析)

2023-2024学年山东省青岛市市南区九年级（上）月考数学试卷（10月份）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________第I卷（选择题）一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.下列说法中，错误的是( )A. 菱形的对角线互相垂直B. 对角线相等的四边形是矩形C. 平行四边形的对角线互相平分D. 对角线互相垂直平分的四边形是菱形2.要检验一个四边形的桌面是否为矩形，可行的测量方案是( )A. 测量两条对角线是否相等B. 度量两个角是否是90°C. 测量两条对角线的交点到四个顶点的距离是否相等D. 测量两组对边是否分别相等3.一个不透明的袋子中装有仅颜色不同的2个红球和2个白球，两个人依次从袋子中随机摸出一个小球不放回，则第一个人摸到红球且第二个人摸到白球的概率是( )A. 13B. 12C. 14D. 164.如图，已知菱形的两条对角线分别为6cm和8cm，则这个菱形的高DE为( )A. 2.4cmB. 4.8cmC. 5cmD. 9.6cm5.用配方法解一元二次方程3x2−6x−5=0时，下列变形正确的是( )A. (x−1)2=83B. (x−1)2=23C. (x−1)2=8D. (x−1)2=66.如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上.若线段AC=152，则线段AB的长是( )A. 52B. 2C. 32D. 57.如图①所示，平整的地面上有一个不规则图案(图中阴影部分)，小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法：用一个面积为20cm2的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数(球扔在界线上或长方形区域外不计试验结果)，他将若干次有效试验的结果绘制成了②所示的折线统计图，由此他估计不规则图案的面积大约为( )A. 6cm2B. 7cm2C. 8cm2D. 9cm28.三角形两边长分别为7和4，第三边是方程x2−11x+18=0的解，则这个三角形的周长是( )A. 13B. 13或20C. 12D. 209.如图，某景区准备在一块边长为20米的大正方形花园中间修建一个正方形的休闲场所，要求修建四条等宽的矩形小道连接两个正方形的四边如图所示，若小道的长是宽的3倍，且花草种植区域(阴影部分)的面积为192平方米.设小道宽度为x米，根据题意，下列方程正确的是( )A. (20−x)2=192B. 4×3x(20−4x)=192C. (20−4x)2=192D. 202−4×3x2−(20−3x)2=19210.如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，点M是AD边的中点，点N是AB边上一动点，将△AMN沿M N所在的直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则A′C长度的最小值是( )A. 7B. 7−1C. 6D. 6−1第II卷（非选择题）二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）11.已知a6=b5=c4，且a+b−2c=6，则a的值为______．12.某超市一月份的营业额为30万元，三月份的营业额为56万元.设每月的平均增长率为x，则可列方程为______ ．13.如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AB=6，BC=8，过点O作OE⊥AC，交AD于点E，过点E 作EF⊥BD，垂足为F，则OE+EF的值为．14.若x=−1关于x的一元二次方程ax2+bx+23=0的解，则−a+b+2020的值是______ ．15.如图，在矩形ABCD中，AB=12，BC=9，点E，G分别为边AB，AD上的点，若矩形AEFG与矩形ABCD相似，且相似比为23，连接CF，则CF=______．16.如图，在矩形ABCD中，AD=2AB，∠BAD的平分线交BC于点E，DH⊥AE于点H，连接BH并延长交CD于点F，连接DE交BF于点O，下列结论：①AD=AE；②∠AED=∠CED；③OE=OD；④BH=HF．其中正确的有.(项序号)三、解答题（本大题共8小题，共72.0分。

山东省青岛第三十九中学2023-2024学年九年级上学期月考数学试卷(10月份)(有答案)

山东省青岛三十九中2023-2024学年九年级上学期月考数学试卷（10月份）（解析版）一、选择题：（每小题3分，共24分）1．（3分）下列方程中，属于一元二次方程的是（）A．ax2+bx+c＝0B．x2+3＝C．2y﹣x＝1D．x2＝2x﹣1 2．（3分）在复习特殊的平行四边形时．某小组同学画出了如图关系图，组内一名同学在箭头处填写了它们之间转换的条件，其中填写错误的是（）A．①，对角相等B．③，有一组邻边相等C．②，对角线互相垂直D．④，有一个角是直角3．（3分）观察下列表格，估计一元二次方程x2+3x﹣5＝0的正数解在（）x﹣101234x2+3x﹣5﹣7﹣5﹣151323A．﹣1和0之间B．0和1之间C．1和2之间D．2和3之间4．（3分）小明用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具，他先活动学具成为图1所示菱形，并测得∠B＝60°，接着活动学具成为图2所示正方形，则图2中对角线AC 的长为（）A．5B．C．10D．155．（3分）如图，在菱形ABCD中摆放了一副三角板．等腰直角三角板DEF的一条直角边DE 在菱形边AD上，直角顶点E为AD的中点含30°角的直角三角板的斜边GB在菱形ABCD的边AB上．∠CDF的度数等于（）（）A．55°B．65°C．75°D．85°6．（3分）用12m长的铁丝围成一个一边靠墙的长方形场地，使该场地的面积为20m2，并且在垂直于墙的一边开一个1m长的小门（用其它材料），若设垂直于墙的一边长为xm，那么可列方程为（）A．B．C．x（12﹣2x+1）＝20D．x（12﹣2x﹣1）＝207．（3分）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，OH ＝4，若菱形ABCD的面积为32则CD的长为（）A．4B．4C．8D．88．（3分）如图，在边长为2的等边三角形ABC的外侧作正方形ABED，过点D作DF⊥BC，则DF的长为（）A．2+2B．5﹣C．3﹣D．+1二、填空题：（每小题3分，共24分）9．（3分）一元二次方程x2＝5x的解为．10．（3分）顺次连接矩形各边中点，形成的四边形是．11．（3分）一元二次方程x2﹣4x+2＝0配方后得（x﹣2）2＝n，则n的值为．12．（3分）电影《长津湖》于2021年9月30日在中国大陆上映，某地第一天票房约2亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，若把增长率记作x，则方程可以列为．13．（3分）若关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝0有两个实数根，则k的取值范围是．14．（3分）如图所示，在矩形ABCD中，DE⊥AC于E，且AC＝10，则DE的长度是．15．（3分）如图，四边形ABCD是菱形，AB＝10，DH⊥AB于H，则DH等于．16．（3分）如图，正方形ABCD的边长为10，E为AD的中点，过点B作BF⊥CE交CD于点F，垂足为G，下列结论：①BF＝CE；②AG＝CD；④EG＝2；⑤DG＝其中正确结论有（填写序号）．三、解答题：（本题共72分）17．（4分）作图题用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．已知：线段a求作：矩形ABCD，使它的对角线AC、BD相交于O点，且AC＝a18．（20分）解方程：（1）x2﹣1＝4x（公式法）；（2）2x2﹣7x+3＝0（配方法）；（3）3x（x﹣2）＝4﹣x2；（4）4（x+2）2＝（3x﹣1）2．19．（6分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+1）x+2k﹣3＝0．（1）求证：无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根；（2）等腰三角形ABC中，AB＝3，若AC、BC为方程x2﹣（k+1）x+2k﹣3＝0的两个实数根，求k的值．20．（4分）某社区在开展“美化社区，幸福家园”活动中，计划利用如图所示的直角墙角（阴影部分，两边足够长）（篱笆只围AB，AD两边）．若在直角墙角内点P处有一棵桂花树，且与墙BC，30米，要将这棵树围在矩形花园内（含边界，不考虑树的粗细），求出AB的值；若不能请说明理由．21．（8分）平行四边形ABCD的两条对角线交于点O，E，F分别为BO，DO的中点，AF，CE（1）判断四边形AECF的形状并说明理由；（2）当AC与BD满足怎样的数量关系时，四边形AECF是矩形？为什么？22．（10分）某景区5月份的游客人数比4月份增加60%，6月份的游客人数比5月份减少了10%．（1）设该景区4月份的游客人数为a万人，请用含a的代数式填表：月份4月5月6月游客人数/万人a③ ④　（2）求该景区5月份、6月份游客人数的月平均增长率；（3）景区特色商品营销店推出一款成本价为40元的文化衫，如果按每件60元销售，每天可卖出20件．通过市场调查发现，日销售量增加2件．若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品23．（10分）如图所示，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（﹣3，4），点C在x轴正半轴上，AB边交y轴于点H．（1）求直线AC的函数解析式及MH的长；（2）连接BM，动点P从点A出发，沿折线A→B→C方向以每秒1个单位的速度向终点C匀速运动（S≠0），点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式；（3）在（2）的情况下，当点P在线段AB上运动时，直接写出t的值；如不存在参考答案与试题解析一、选择题：（每小题3分，共24分）1．（3分）下列方程中，属于一元二次方程的是（）A．ax2+bx+c＝0B．x2+3＝C．2y﹣x＝1D．x2＝2x﹣1【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可．【解答】解：A．当a＝0时2+bx+c＝7不是一元二次方程，故本选项不符合题意；B．分式方程，故本选项不符合题意；C．是二元一次方程；D．是一元二次方程；故选：D．【点评】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫一元二次方程．2．（3分）在复习特殊的平行四边形时．某小组同学画出了如图关系图，组内一名同学在箭头处填写了它们之间转换的条件，其中填写错误的是（）A．①，对角相等B．③，有一组邻边相等C．②，对角线互相垂直D．④，有一个角是直角【分析】由矩形，菱形，正方形的判定，即可判断．【解答】解：A、对角相等的平行四边形不一定是矩形；B、有一组邻边相等的矩形是正方形，故B不符合题意；C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故C不符合题意；D、有一个角是直角的菱形是正方形，故D不符合题意．故选：A．【点评】本题考查矩形，菱形，正方形的判定，关键是熟练掌握矩形，菱形，正方形的判定方法．3．（3分）观察下列表格，估计一元二次方程x2+3x﹣5＝0的正数解在（）x﹣101234x2+3x﹣5﹣7﹣5﹣151323A．﹣1和0之间B．0和1之间C．1和2之间D．2和3之间【分析】由表格可发现x2+3x﹣5的值﹣1和5最接近0，再看对应的x的值即可得到答案．【解答】解：由表可以看出，当x取1与2之间的某个数时，x2+3x﹣5＝2，即这个数是x2+3x﹣8＝0的一个根．x2+3x﹣5＝0的一个解x的取值范围为8和2之间．故选：C．【点评】本题考查了估算一元二次方程的近似解，正确估算是建立在对二次函数图象和一元二次方程关系正确理解的基础上的．4．（3分）小明用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具，他先活动学具成为图1所示菱形，并测得∠B＝60°，接着活动学具成为图2所示正方形，则图2中对角线AC 的长为（）A．5B．C．10D．15【分析】如图1，图2中，连接AC，在图1中，证△ABC是等边三角形，得出AB＝BC＝AC＝5cm；在图2中，由勾股定理求出AC即可．【解答】解：如图1、图2所示，图7中，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，∵∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC＝5cm在图2中，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠B＝90°，∴△ABC是等腰直角三角形，∴cm；故选：B．【点评】本题考查菱形的性质、正方形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握菱形和正方形的性质，属于中考常考题型．5．（3分）如图，在菱形ABCD中摆放了一副三角板．等腰直角三角板DEF的一条直角边DE 在菱形边AD上，直角顶点E为AD的中点含30°角的直角三角板的斜边GB在菱形ABCD的边AB上．∠CDF的度数等于（）（）A．55°B．65°C．75°D．85°【分析】根据四边形ABCD是菱形，可得AB∥CD，然后根据题意可得∠A＝60°，∠EDF ＝45°，进而可以解决问题．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，根据题意可知：∠A＝60°，∠EDF＝45°，∴∠ADC＝180°﹣60°＝120°，∴∠CDF＝120°﹣45°＝75°．故选：C．【点评】本题考查了菱形的性质，等腰直角三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，解决本题的关键是掌握菱形的性质．6．（3分）用12m长的铁丝围成一个一边靠墙的长方形场地，使该场地的面积为20m2，并且在垂直于墙的一边开一个1m长的小门（用其它材料），若设垂直于墙的一边长为xm，那么可列方程为（）A．B．C．x（12﹣2x+1）＝20D．x（12﹣2x﹣1）＝20【分析】设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为xm可以得出平行于墙的一边的长为（12﹣2x+1）m．根据矩形的面积公式建立方程即可．【解答】解：设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为1m可以得出平行于墙的一边的长为（12﹣2x+5）m，由题意得x（12﹣2x+1）＝20，故选：C．【点评】本题考查了列一元二次方程解实际问题的运用，矩形的面积公式的运用，正确寻找题目的等量关系是解题的关键．7．（3分）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，OH ＝4，若菱形ABCD的面积为32则CD的长为（）A．4B．4C．8D．8【分析】在Rt△BDH中先求得BD的长，根据菱形面积公式求得AC长，再根据勾股定理求得CD长．【解答】解：∵DH⊥AB，∴∠BHD＝90°，∵四边形ABCD是菱形，∴OB＝OD，OC＝OA＝，∴OH＝OB＝OD＝（直角三角形斜边上中线等于斜边的一半），∴OD＝4，BD＝2，由得，＝32，∴AC＝8，∴OC＝＝7，∴CD＝＝8，故选C．【点评】本题考查了菱形性质，直角三角形性质，勾股定理等知识，解决问题的关键是先求得BD的长．8．（3分）如图，在边长为2的等边三角形ABC的外侧作正方形ABED，过点D作DF⊥BC，则DF的长为（）A．2+2B．5﹣C．3﹣D．+1【分析】方法一：如图，延长DA、BC交于点G，利用正方形性质和等边三角形性质可得：∠BAG＝90°，AB＝2，∠ABC＝60°，运用解直角三角形可得AG＝2，DG＝2+2，再求得∠G＝30°，根据直角三角形性质得出答案．方法二：过点E作EG⊥DF于点G，作EH⊥BC于点H，利用解直角三角形可得EH＝1，BH＝，再证明△BEH≌△DEG，可得DG＝BH＝，即可求得答案．【解答】解：方法一：如图，延长DA，∵四边形ABED是正方形，∴∠BAD＝90°，AD＝AB，∴∠BAG＝180°﹣90°＝90°，∵△ABC是边长为2的等边三角形，∴AB＝2，∠ABC＝60°，∴AG＝AB•tan∠ABC＝2×tan60°＝2，∴DG＝AD+AG＝8+2，∵∠G＝90°﹣60°＝30°，DF⊥BC，∴DF＝DG＝）＝1+，故选D．方法二：如图，过点E作EG⊥DF于点G，则∠BHE＝∠DGE＝90°，∵△ABC是边长为2的等边三角形，∴AB＝2，∠ABC＝60°，∵四边形ABED是正方形，∴BE＝DE＝2，∠ABE＝∠BED＝90°，∴∠EBH＝180°﹣∠ABC﹣∠ABE＝180°﹣60°﹣90°＝30°，∴EH＝BE•sin∠EBH＝2•sin30°＝2×＝1，∵EG⊥DF，EH⊥BC，∴∠EGF＝∠EHB＝∠DFH＝90°，∴四边形EGFH是矩形，∴FG＝EH＝1，∠BEH+∠BEG＝∠GEH＝90°，∵∠DEG+∠BEG＝90°，∴∠BEH＝∠DEG，在△BEH和△DEG中，，∴△BEH≌△DEG（AAS），∴DG＝BH＝，∴DF＝DG+FG＝+1，故选：D．【点评】本题考查了正方形的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、解直角三角形，题目的综合性很好，难度不大．二、填空题：（每小题3分，共24分）9．（3分）一元二次方程x2＝5x的解为　x1＝0，x2＝5　．【分析】先移项，再提公因式，是每个因式为0，从而得出答案．【解答】解：移项，得x2﹣5x＝7，提公因式，得x（x﹣5）＝0，x＝7或x﹣5＝0，解得x5＝0，x2＝2，故答案为x1＝0，x7＝5．【点评】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．10．（3分）顺次连接矩形各边中点，形成的四边形是　菱形　．【分析】连接AC、BD，根据矩形的性质得到AC＝BD，根据三角形中位线定理、菱形的判定定理解答即可．【解答】解：连接AC、BD，∵四边形ABCD为矩形，∴AC＝BD，∵AH＝HD，AE＝EB，∴EH是△ABD的中位线，∴EH＝BD，同理，FG＝，HG＝，EF＝，∴EH＝HG＝GF＝FE，∴四边形EFGH为菱形，故答案为：菱形．【点评】本题考查的是矩形的性质、菱形的判定、三角形中位线定理的应用，菱形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理论依据，常用三种方法：①定义，②四边相等，③对角线互相垂直平分．11．（3分）一元二次方程x2﹣4x+2＝0配方后得（x﹣2）2＝n，则n的值为　2　．【分析】根据配方法可以将题目中方程变形，然后即可得到n的值．【解答】解：∵x2﹣4x+5＝0，∴x2﹣7x+4＝2，∴（x﹣8）2＝2＝n，故答案为：6．【点评】本题考查解一元二次方程—配方法，解答本题的关键是明确题意，会用配方法将方程变形．12．（3分）电影《长津湖》于2021年9月30日在中国大陆上映，某地第一天票房约2亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，若把增长率记作x，则方程可以列为　2+2（1+x）+2（1+x）2＝7　．【分析】由该地第一天的票房及以后每天的增长率，可得出第二、三天的票房，根据三天后票房收入累计达7亿元，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．【解答】解：∵某地第一天票房约2亿元，且以后每天票房的增长率为x，∴第二天票房约2（5+x）亿元，第三天票房约2（1+x）4亿元，依题意得：2+2（7+x）+2（1+x）7＝7．故答案为：2+2（1+x）+2（5+x）2＝7．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．13．（3分）若关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝0有两个实数根，则k的取值范围是　k≥﹣1且k≠0　．【分析】先根据一元二次方程的定义及根的判别式列出关于k的不等式组，求出k的取值范围即可．【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣2＝0有两个实数根，∴，解得k≥﹣1且k≠0．故答案为：k≥﹣5且k≠0．【点评】本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac的关系是解答此题的关键．14．（3分）如图所示，在矩形ABCD中，DE⊥AC于E，且AC＝10，则DE的长度是．【分析】由矩形的性质和已知条件∠EDC：∠EDA＝1：3，可得△ODE是等腰直角三角形，再由AC＝10，利用勾股定理解题即可求得DE的长度．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC＝90°，AC＝BD＝10AC＝4BD＝5，∴OC＝OD，∴∠ODC＝∠OCD，∵∠EDC：∠EDA＝1：3，∠EDC+∠EDA＝90°，∴∠EDC＝22.6°，∠EDA＝67.5°，∵DE⊥AC，∴∠DEC＝90°，∴∠DCE＝90°﹣∠EDC＝67.5°，∴∠ODC＝∠OCD＝67.3°，∴∠ODC+∠OCD+∠DOC＝180°，∴∠COD＝45°，∴OE＝DE，∵OE2+DE2＝OD7，∴2DE2＝OD5＝25，∴DE＝．故答案为：．【点评】本题考查了矩形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质和判定，解题的关键在于根据利用勾股定理求线段长．15．（3分）如图，四边形ABCD是菱形，AB＝10，DH⊥AB于H，则DH等于．【分析】设AC和BD交点O，根据菱形的性质可得，从而得到OA：OB＝4：3，再由勾股定理求出OA＝8，OB＝6，进而得到AC＝16，BD＝12，然后根据S菱形ABCD＝•AC•BD＝DH•AB，即可求解．【解答】解：如图，设AC和BD交点O，∵四边形ABCD是菱形，∴，∵AC：BD＝4：3，∴OA：OB＝4：3，∴可设OA＝2k，OB＝3k，∵OA2+OB2＝AB2，AB＝10，∴（3k）7+（4k）2＝106，解得：k＝2，∴OA＝8，OB＝4，∴AC＝16，BD＝12，∵DH⊥AB∴S菱形ABCD＝•AC•BD＝DH•AB，∴，解得：．故答案为：．【点评】本题考查了菱形的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形的面积等于对角线乘积的一半．16．（3分）如图，正方形ABCD的边长为10，E为AD的中点，过点B作BF⊥CE交CD于点F，垂足为G，下列结论：①BF＝CE；②AG＝CD；④EG＝2；⑤DG＝．【分析】利用AAS证明△BFC≌△CED，得BF＝CE，故①正确；延长GE，BA交于点H，过点D作DN⊥EC于N，利用AAS证明△DEC≌△AEH，得CD＝AH，进而判断②正确；利用等积法和勾股定理可判断④和⑤，由∠AGE＝∠H＝∠GCD≠∠GDC，可判断③错误．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝CD＝BC，∠BCD＝∠ADC＝90°，∴∠DCE+∠DEC＝90°，∵BF⊥CE，∴∠DCE+∠CFB＝90°，∴∠BFC＝∠DEC，∴△BFC≌△CED（AAS），如图，延长GE，过点D作DN⊥EC于N，∵点E是AD中点，∴AE＝DE＝5，∵AB∥CD，∴∠H＝∠DCE，又∠AEH＝∠DEC，∴△DEC≌△AEH（AAS），∴CD＝AH，∴AB＝AH，又∵BF⊥CE，∴AD＝AB＝AH，∴AG＝CD，故②正确；∵△BFC≌△CED，∴DE＝CF＝5，CE＝BF，∴＝，∴，∵×CG，∴，∴，∴点G不是EC的中点，∴DG≠CG，∴∠GDC≠∠GCD，∵AG＝AH，∴∠AGE＝∠H，∴∠AGE＝∠H＝∠GCD≠∠GDC，故③错误；∵×DN，∴，∴＝，∴，∴＝故⑤错误，故答案为：①②．【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟记各性质定理是解题的关键．三、解答题：（本题共72分）17．（4分）作图题用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．已知：线段a求作：矩形ABCD，使它的对角线AC、BD相交于O点，且AC＝a【分析】根据矩形的性质：矩形的对角线相等且互相平分，先画对角线即可．【解答】解：①先画一个等边三角形△ABO边长为．②延长AO到C，延长BO到D，OD＝BO．③连接BC，CD．四边形ABCD就是所求作的矩形ABCD．【点评】本题考查作图﹣设计应用、矩形的性质、等边三角形的性质等知识，解题的关键的先画对角线，需要熟练掌握矩形、等边三角形的性质，属于中考常考题型．18．（20分）解方程：（1）x2﹣1＝4x（公式法）；（2）2x2﹣7x+3＝0（配方法）；（3）3x（x﹣2）＝4﹣x2；（4）4（x+2）2＝（3x﹣1）2．【分析】（1）根据公式法解一元二次方程的步骤求解即可；（2）根据配方法的步骤解一元二次方程的步骤求解即可；（3）方程利用因式分解法求解即可；（4）方程利用因式分解法求解即可．【解答】解：（1）（1）x2﹣1＝8x，整理，得x2﹣4x﹣4＝0，这里a＝1，b＝﹣3，∵Δ＝b2﹣4ac＝16+8＝20＞0，∴x＝＝，∴，；（2）5x2﹣7x+8＝0，2x2﹣7x＝﹣3，，，，，x＝，∴x6＝3，；（3）3x（x﹣5）＝4﹣x2；4x（x﹣2）+（x+2）（x﹣4）＝0，（x﹣2）（4x+x+2）＝0，x﹣8＝0或4x+3＝0，∴x1＝5，；（4）4（x+2）8＝（3x﹣1）3．[2（x+2）]2﹣（3x﹣1）5＝0，[2（x+6）+（3x﹣1）][6（x+2）﹣（3x﹣6）]＝0，（5x+5）（﹣x+5）＝0，4x+3＝0或﹣x+7＝0，∴，x2＝3．【点评】本题考查了解一元二次方程，掌握公式法、配方法和因式分解法是解答本题的关键．19．（6分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+1）x+2k﹣3＝0．（1）求证：无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根；（2）等腰三角形ABC中，AB＝3，若AC、BC为方程x2﹣（k+1）x+2k﹣3＝0的两个实数根，求k的值．【分析】（1）证明Δ＞0即可；（2）根据△ABC是等腰三角形分类讨论即可．【解答】（1）证明：∵Δ＝（k+1）2﹣4（2k﹣3）＝k5+2k+1﹣4k+12＝k2﹣6k+13＝（k﹣2）2+4＞5，∴无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根；（2）解：当AB＝3为腰时，则AC或BC有一条边为腰，x2﹣（k+2）x+2k﹣3＝4的解为3，∴9﹣3（k+1）+2k﹣6＝0，解得：k＝3，当AB＝5为底时，则AC，方程x2﹣（k+1）x+2k﹣3＝0有两个相等的实数根，由（1）得无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根；综上所述，k＝8．【点评】本题考查了根的判别式，解一元二次方程，等腰三角形的性质，熟练掌握一元二次方程根的判别式的求法是解题的关键．20．（4分）某社区在开展“美化社区，幸福家园”活动中，计划利用如图所示的直角墙角（阴影部分，两边足够长）（篱笆只围AB，AD两边）．若在直角墙角内点P处有一棵桂花树，且与墙BC，30米，要将这棵树围在矩形花园内（含边界，不考虑树的粗细），求出AB的值；若不能请说明理由．【分析】设AB的长为x米，则AD的长为（50﹣x）米，由矩形的面积公式列出方程，解方程即可得到答案．【解答】解：花园的面积不能为625米2，理由如下：设AB的长为x米，则AD的长为（50﹣x）米，由题意得：x（50﹣x）＝625，解得：x1＝x7＝25，当x＝25时，BC＝50﹣x＝50﹣25＝25，即当AB＝25米，BC＝25米＜30米，∴花园的面积不能为625米2．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．21．（8分）平行四边形ABCD的两条对角线交于点O，E，F分别为BO，DO的中点，AF，CE（1）判断四边形AECF的形状并说明理由；（2）当AC与BD满足怎样的数量关系时，四边形AECF是矩形？为什么？【分析】（1）由平行四边形的性质得OA＝OC，OB＝OD，再证OE＝OF，即可得出结论；（2）由（1）可知，四边形AECF是平行四边形，OB＝2OE＝EF，BD＝2OB，再由BD＝2AC，得EF＝AC，然后由矩形的判定即可得出结论．【解答】解：（1）四边形AECF是平行四边形，理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD，∵E，F分别是OB，∴OE＝OB OD，∴OE＝OF，∴四边形AECF是平行四边形；（2）BD＝2AC时，四边形AECF是矩形由（1）可知，四边形AECF是平行四边形，BD＝4OB，∵BD＝2AC，∴EF＝AC，∴平行四边形AECF是矩形．【点评】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握矩形的判定和平行四边形的判定与性质是解题的关键．22．（10分）某景区5月份的游客人数比4月份增加60%，6月份的游客人数比5月份减少了10%．（1）设该景区4月份的游客人数为a万人，请用含a的代数式填表：月份4月5月6月游客人数/万人a③　1.6a　④　1.44a　（2）求该景区5月份、6月份游客人数的月平均增长率；（3）景区特色商品营销店推出一款成本价为40元的文化衫，如果按每件60元销售，每天可卖出20件．通过市场调查发现，日销售量增加2件．若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品【分析】（1）由该景区4月份、5月份及6月份游客人数间的关系，即可用含a的代数式表示出该景区5月份、6月份的游客人数；（2）设该景区5月份、6月份游客人数的月平均增长率为x，利用该景区6月份的游客人数＝该景区4月份的游客人数×（1+该景区5月份、6月份游客人数的月平均增长率）2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论；（3）设每件的售价定为y元，则每件的销售利润为（y﹣40）元，每天可卖出（140﹣2y）件，利用总利润＝每件的销售利润×日销售量，可列出关于y的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．【解答】解：（1）∵该景区5月份的游客人数比4月份增加60%，3月份的游客人数比5月份减少了10%，∴该景区5月份的游客人数为（8+60%）a＝1.6a万人，2月份的游客人数为（1﹣10%）×（1+60%）a＝7.44a万人．故答案为：③1.6a，④3.44a；（2）该景区5月份、6月份游客人数的月平均增长率为x，根据题意得：a（7+x）2＝1.44a，解得：x7＝0.2＝20%，x6＝﹣2.2（不符合题意，舍去）．答：该景区7月份、6月份游客人数的月平均增长率为20%；（3）设每件的售价定为y元，则每件的销售利润为（y﹣40）元，根据题意得：（y﹣40）（140﹣2y）＝（60﹣40）×20，整理得：y7﹣110y+3000＝0，解得：y1＝50，y2＝60（不符合题意，舍去）．答：每件售价应定为50元．【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及列代数式，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，用含a的代数式表示出该景区5月份、6月份的游客人数；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（3）找准等量关系，正确列出一元二次方程．23．（10分）如图所示，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（﹣3，4），点C在x轴正半轴上，AB边交y轴于点H．（1）求直线AC的函数解析式及MH的长；（2）连接BM，动点P从点A出发，沿折线A→B→C方向以每秒1个单位的速度向终点C匀速运动（S≠0），点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式；（3）在（2）的情况下，当点P在线段AB上运动时，直接写出t的值；如不存在【分析】（1）由A点的坐标，利用勾股定理和菱形的性质易得点C的坐标，由A，C的坐标可得直线AC的解析式；令x＝0，解得y，得OM的长，易得MH；（2）设点M到BC的距离为h，由△ABC的面积易得h，利用分类讨论的思想，三角形的面积公式①当P在直线AB上运动；②当P运动到直线BC上时分别得△PBM的面积；（3）分类讨论：①当MB＝MP时，PH＝BH，解得t；②当BM＝BP时，利用勾股定理可得BM的长，易得t．【解答】解：（1）∵点A的坐标为（﹣3，4），∴OA＝5，即C点的坐标为（5，设直线AC的解析式为y＝kx+b，则，解得：，∴直线AC的解析式为：，令x＝0得：，即，∴；（2）设点M到BC的距离为h，由S△ABC＝S△ABM+S△BCM，即，∴，①当P在直线AB上运动时△PBM的面积为S与P的运动时间为t秒关系为：，即；②当P运动到直线BC上时△PMB的面积为S与P的运动时间为t秒关系为：，即，故；（3）存在①当MB＝MP时，∵点A的坐标为（﹣4，4），MB＝MP，∴PH＝BH，即3﹣t＝8，∴t＝1；②当BM＝BP时，即，解得：．综上所述，当t＝1或时．【点评】本题主要考查了一次函数综合题，正确记忆菱形的性质，动点问题，等腰三角形的性质和三角形的面积公式及待定系数法求解析式，利用分类讨论的思想，数形结合的思想求解是解题关键．。

青岛三十九中数学会考练习(有答案)

青岛市三十九中（海大附中）数学会考练习第一卷（选择题共45分）一、选择题（共15小题，每小题3分，共45分）1．已知集合{}{}4,0<=>=x x B x x A ，那么集合B A ⋂= （）.A φ .B {}0>x x .C {}4<x x .D {}40<<x x2．如果函数c y x +=2的图像经过点（2，5），则c = ( ).A 1 .B 0 .C 1- .D 2- 3．下列函数中，在),0(+∞上是减函数的是（）.A xy 1=.B 12+=x y .C x y 2= .D x y 3l o g =4．函数)652cos(π-=x y 的最小正周期是（）.A2π.B π .C π2 .D π45．已知过点)4,(),,2(m B m A -的直线与直线012=-+y x 平行，则m 的值为（）.A 0 .B 8- .C 2 .D 106．函数x y 3=的图像与x y -=3 的图像（）.A 关于x 轴对称 .B 关于y 轴对称 .C 关于直线x y =对称 .D 关于直线x y -=对称7．已知向量),1,2(),4,3(-==b a 如果向量b x a +与b 垂直，则=x （）.A323 .B233 .C 2 .D 52-8．圆012222=+--+y x y x 上的点到直线2=-y x 的距离最大值是（）A. 2B. 1+2C. 221+ D. 1+229．在等差数列中，已知,13,2321=+=a a a 则=++654a a a （）A. 40B. 42C. 43D. 4510．在∆ABC 中，bc c b a ++=222，则角A 为（）A. 30B. 45C. 120D. 15011．从数字1，2，3，4，5中，随机抽取2个数字（不允许重复），则这两个数字之和为奇数的概率为（）A.45B. 35C.25D. 1512．已知角α的终边经过点)3,4(-P ，则)2sin(απ+的值为（）A.53 B. 53-C. 54 D. 54-13．下边程序框图表示的算法是（） .A 输出a b c ,,.B 输出最大值 .C 输出最小值 .D 比较c b a ,,的大小14．右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是（）.A 9π .B 10π .C 11π .D 12π15．为改善生态环境，某城市对排污系统进行了整治。

2010—2011年九年级数学第一学期第一次月考试题青岛版

2010——2011第一学期第一次月考试题九年级数学青岛版一选择题（细心选一选每题3分，共30分）1.如图1，梯形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，则图中面积相等的三角形有（）。

A．1对B．2对C．3对D．4对2.如图2，将矩形ABCD沿对角线BD对折，使点C落在C′处，BC′交AD于F，下列不成立的是（）。

A．AF＝C′F B．BF＝DFC．∠BDA＝∠ADC′ D．∠ABC′＝∠ADC′3.如图3，在菱形ABCD中，∠BAD＝80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，E为垂足，连接DF．则∠CDF等于（）。

Ａ．80°B．70°C．65°D．60°图1 图2 图3 图44.如图4，□ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点E是BC 的中点．若OE=3 cm，则AB的长为 ( )A．3 cm B．6 cm C．9 cm D．12 cm5.如图5，EF是△ABC的中位线，若AE＝4，AF＝5，BC＝12，则△AEF的周长是（）（A）7.5 （B）30 （C）15 （D）246.如图6，在菱形ABCD中，6cm,8cmAC BD==，则菱形AB 边上的高CE的长是（）。

A．245cm B．485cm C．５cm D．１０cm7.如图7，任意四边形ABCD各边中点分别是E、F、G、H，若对角线AC、BD的长都为20cm，则四边形EFGH的周长是（）。

A．80cm B．40cm C．20cm D．10cm图 5 图 6 图7 8、等腰三角形的底和腰是方程2680x x-+=的两个根，则这个三角形的周长是（）A．8 B．10 C．8或10 D．不能确定9.、用配方法解方程2420x x-+=，下列配方正确的是（）A．2(2)2x-=B．2(2)2x+=C．2(2)2x-=-D．2(2)6x-=C120AOD ∠= B C DAP10、某商品原价200元，连续两次降价a ％后售价为148元，下列所列方程正确的是（）A 、200(1+a%)2=148B 、200(1－a%)2=148C 、200(1－2a%)=148D 、200(1－a 2%)=148 二填空题（每空3分，共36分）11．在□ABCD 中，若添加一个条件________，则四边形ABCD 是矩形；若添加一个条件_______，则四边形ABCD 是菱形． 12．菱形的两条对角线分别是6cm ，8cm ，则菱形的边长为_____cm ，面积为______ cm 2．13．在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，•AD=•6cm ，•BC=•8cm ，•∠B=•60•°，•则AB=_______cm ．14、如图，在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O 已知，AB=2.5，则AC 的长为。

山东省青岛市即墨区2024-2025学年九年级上学期10月月考数学试题

山东省青岛市即墨区2024-2025学年九年级上学期10月月考数学试题一、单选题1．下列式子是一元二次方程的是（）A ．253x x --B ．21x y -=C ．510x +=D ．()715x x --= 2．根据表格对应值：判断关于x 的方程20ax bx c ++=的一个解x 的范围是（）A ．1.1 1.2x <<B ．1.2 1.3x <<C ．1.3 1.4x <<D ．无法判定 3．2021年5月11日我国第七次人口普查数据出炉，与第五次、第六次人口普查数据相比较，我国人口总量持续增长．第五次人口普查全国总人口约12.95亿，第七次人口普查全国总人口约14.11亿，设从第五次到第七次人口普查总人口平均增长率为x ，则可列方程为（）A ．()212.95114.11x +=B ．()212.95114.11x -= C ．()212.951214.11x += D ．()12.951211=14.x + 4．如图，在▱ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，下列哪个条件不能判定▱ABCD 是矩形的是( )A ．AC=BDB ．OA=OBC ．∠ABC=90°D ．AB=AD 5．如图，点EFGH ，，，分别是四边形ABCD 边AB BC CD DA ，，，的中点．则下列说法：①若AC BD =，则四边形EFGH 为矩形；②若AC BD ⊥，则四边形EFGH 为菱形；③若四边形EFGH 是平行四边形，则AC 与BD 互相平分；④若四边形EFGH 是正方形，则AC 与BD 互相垂直且相等．其中正确的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．46．如图，将矩形ABCD 折叠，使点C 和点A 重合，折痕为EF ，EF 与AC 交于点.O 若5AE =，3BF =，则AO 的长为（）AB C ．D ．7．如图，菱形ABCD 的边长为2，点P 是对角线AC 上的一个动点，点E 、F 分别为边AD 、DC 的中点，则PE + PF 的最小值是（）A．2 B C ．1.5 D8．如图，在正方形ABCD 外取一点E ，连接AE 、BE 、DE ．过点A 作AE 的垂线交DE 于点P ．若1AE AP ==，PB ①APD AEB ≌△△；②点B 到直线AE 的距离③EB ED ⊥；④1APD APB S S +=△△⑤4ABCD S =正方形其中正确的结论是（）A ．①②③B ．①③⑤C ．①②④⑤D ．①③④⑤二、填空题9．已知关于x的一元二次方程22x=，则a=．(1)210--+-=有一个根为0a x x a10．如图，将一块正方形铁皮的四角各剪去一个边长为6cm的小正方形，做成一个无盖的盒子，已知盒子的容积为600cm3，若设原铁皮的边长为x cm，则根据题意可得关于x的方程是．11．如图，菱形ABCD的面积为224cm，对角线BD长6cm，点O为BD的中点，过点A作⊥交CB的延长线于点E，连接OE，则线段OE的长度是．AE BC12．如图，P是矩形ABCD的边AD上一个动点，矩形的两条边AB、BC的长分别为6和8，那么点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是．13．如图，E，F是正方形ABCD的对角线AC上的两点，8AC=，2==，则四边AE CF形BEDF的周长是．14．如图，已知直线:l y x =，过点1(1,0)A 作x 轴的垂线交直线l 于点1B ，以11A B 为边作正方形1112A B C A ，过点2A 作x 轴的垂线交直线l 于点2B ，以22A B 为边作正方形2223A B C A ，…；则点n C 的坐标为.三、解答题15．已知：线段a ，直线l 及直线外一点A ．求作：矩形ABCD ，使得边BC 在直线l 上AB l ⊥，垂足为B ，对角线的长度为a ．16．解下列方程：(1)2610x x -+=（配方法）；(2)22(1)3(1)x x +=+；(3)(3)(23)2x x +-=；17．若关于x 的一元二次方程()22330k x x -+-=有两个不相等实数根，求k 的取值范围．18．一个不透明的口袋里装有分别标有汉字“美”、“丽”、“扬”、“州”的四个小球，除汉字不同之外，小球没有任何区别，每次摸球前先搅拌均匀再摸球．(1)从中任取一个球，球上的汉字是“扬”的概率为_____．(2)从中任取一个球，不放回，再从中任取一个球，请用树状图或列表法，求取出的两个球上的汉字恰能组成“美丽”或“扬州”的概率．19．如图，在ABCV中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作AF BC∥，交BE 的延长线于点F，连接CF．(1)求证：四边形ADCF是平行四边形；(2)若AB AC=，90BAC∠=︒，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．20．尊老爱幼是中华民族的传统美德，九九重阳节前夕，某商店为老人推出一款特价商品，每件商品的进价为15元，促销前销售单价为25元，平均每天能售出80件；根据市场调查，销售单价每降低0.5元，平均每天可多售出20件．（1）若每件商品降价5元，则商店每天的平均销量是________件（直接填写结果）；（2）不考虑其他因素的影响，若商店销售这款商品的利润要平均每天达到1280元，每件商品的定价应为多少元？（3）在（2）的前提下，若商店平均每天至少要销售200件该商品，求商品的销售单价．21．[问题提出]：如图1，由n×n×n（长×宽×高）个小立方块组成的正方体中，到底有多少个长方体（包括正方体）呢？[问题探究]：我们先从较为简单的情形入手．（1）如图2，由2×1×1个小立方块组成的长方体中，长共有1+2＝232´＝3条线段，宽和高分别只有1条线段，所以图中共有3×1×1＝3个长方体．（2）如图3，由2×2×1个小立方块组成的长方体中，长和宽分别有1+2＝232´＝3条线段，高有1条线段，所以图中共有3×3×1＝9个长方体．（3）如图4，由2×2×2个小立方体组成的正方体中，长、宽、高分别有1+2＝232´＝3条线段，所以图中共有个长方体．（4）由2×3×6个小立方块组成的长方体中，长共有1+2＝322´＝3条线段，宽共有条线段，高共有条线段，所以图中共有个长方体．[问题解决]（5）由n ×n ×n 个小立方块组成的正方体中，长、宽、高各有线段，所以图中共有个长方体．[结论应用]（6）如果由若干个小立方块组成的正方体中共有3375个长方体，那么组成这个正方体的小立方块的个数是多少？请通过计算说明你的结论．22．如图所示，在Rt ABC △中，90B ??，100cm AC =，60A ∠=︒，点D 从点C 出发沿CA 方向以4cm 的速度向点A 匀速运动，同时点E 从点A 出发沿AB 方向以2cm 的速度向点B 匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D 、E 运动的时间是t 秒()025t <≤．过点D 作DF BC ⊥于点F ，连接DE ，EF ．(1)求证：四边形AEFD 是平行四边形；(2)四边形AEFD 能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t 值；如果不能，请说明理由；(3)当t 为何值时，DEF V 为直角三角形？请说明理由．。

2010年青岛市中考数学试题含答案

2010年山东省青岛市初级中学学业水平考试数学试题（考试时间：120分钟；满分：120分）一、选择题（本题满分24分，共有8道小题，每小题3分）下列每小题都给出标号为A 、B 、C 、D 的四个结论，其中只有一个是正确的．每小题选对得分；不选、选错或选出的标号超过一个的不得分．请将1—8各小题所选答案的标号填写在第8小题后面给出表格的相应位置上．（10山东青岛）1．下列各数中，相反数等于5的数是（）．A ．－5B ．5C ．－15D ．15（10山东青岛）2．如图所示的几何体的俯视图是（）． A ．B ．C ．D ．（10山东青岛）3．由四舍五入法得到的近似数8.8×103，下列说法中正确的是（）． A ．精确到十分位，有2个有效数字 B ．精确到个位，有2个有效数字 C ．精确到百位，有2个有效数字 D ．精确到千位，有4个有效数字（10山东青岛）4．下列图形中，中心对称图形有（）．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个（10山东青岛）5．某外贸公司要出口一批规格为150g 的苹果，现有两个厂家提供货源，它们的价格相同，苹果的品质也相近. 质检员分别从甲、乙两厂的产品中随机抽取了50个苹果称重，并将所得数据处理后，制成如下表格. 根据表中信息判断，下列说法错误的是（）．A ．本次的调查方式是抽样调查B ．甲、乙两厂被抽取苹果的平均质量相同C ．被抽取的这100个苹果的质量是本次调查的样本D ．甲厂苹果的质量比乙厂苹果的质量波动大（10山东青岛）6．如图，在Rt△ABC 中，∠C = 90°，∠B = 30°，BC = 4 cm ，以点C 为圆心，以2 cm 的长为半径作圆，则⊙C 与AB 的位置关系是（）． A ．相离 B ．相切 C ．相交 D ．相切或相交个数平均质量（g ）质量的方差甲厂 50 150 2.6 乙厂 50 150 3.1 第2题图7-2 -4 -3 -5 y C -1 6A2 3 451 2 B x3 4 5 B C A 第6题图（10山东青岛）7．如图，△ABC 的顶点坐标分别为A （4，6）、B （5，2）、C （2，1），如果将△ABC 绕点C 按逆时针方向旋转90°，得到△''A B C ，那么点A 的对应点'A 的坐标是（）． A ．（－3，3） B ．（3，－3） C ．（－2，4） D ．（1，4）（10山东青岛）8．函数y ax a =-与ay x=（a ≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（）．A ．B ．C ．D ．二、填空题（本题满分18分，共有6道小题，每小题3分）请将9—14各小题的答案填写在第14小题后面给出表格的相应位置上．（10山东青岛）9-= ．（10山东青岛）10．如图，点A 、B 、C 在⊙O 上，若∠BAC = 24°，则∠BOC = °．（10山东青岛）11．某市为治理污水，需要铺设一段全长为300 m 的污水排放管道．铺设120 m 后，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，后来每天的工效比原计划增加20%，结果共用30天完成这一任务．求原计划每天铺设管道的长度．如果设原计划每天铺设m x 管道，那么根据题意，可得方程．（10山东青岛）12．一个口袋中装有10个红球和若干个黄球．在不允许将球倒出来数的前提下，为估计口袋中黄球的个数，小明采用了如下的方法：每次先从口袋中摸出10个球，求出其中红球数与10的比值，再把球放回口袋中摇匀．不断重复上述过程20次，得到红球数与10的比值的平均数为0.4．根据上述数据，估计口袋中大约有个黄球．（10山东青岛）13．把一张矩形纸片（矩形ABCD ）按如图方式折叠，使顶点B 和点D 重合，折痕为EF ．若AB =3 cm ，BC = 5 cm ，则重叠部分△DEF 的面积是 cm 2．（10山东青岛）14．如图，是用棋子摆成的图案，摆第1个图案需要7枚棋子，摆第2个图案需要19枚棋子，摆第3个图案需要37枚棋子，按照这样的方式摆下去，则摆第6个图案需要枚棋子，摆第n 个图案需要枚棋子．x OABC第10题图·…第14题图A BCFE 'A 第13题图（'B ）D三、作图题（本题满分4分）用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．（10山东青岛）15．如图，有一块三角形材料（△ABC ），请你画出一个圆，使其与△ABC 的各边都相切.解：结论：四、解答题（本题满分74分，共有9道小题）（10山东青岛）16．（本小题满分8分，每题4分）（1）解方程组：34194x y x y +=⎧⎨-=⎩；（2）化简：22142a a a +--．解：解：原式＝（10山东青岛）17．（本小题满分6分）配餐公司为某学校提供A 、B 、C 三类午餐供师生选择，三类午餐每份的价格分别是：A 餐5元，B 餐6元，C 餐8元．为做好下阶段的营销工作，配餐公司根据该校上周A 、B 、C 三类午餐购买情况，将所得的数据处理后，制成统计表（如下左图）；根据以往销售量与平均每份利润之间的关系，制成统计图（如下右图）.请根据以上信息，解答下列问题：（1）该校师生上周购买午餐费用的众数是元；（2）配餐公司上周在该校销售B 餐每份的利润大约是元；（3）请你计算配餐公司上周在该校销售午餐约盈利多少元？解：（3）以往销售量与平均每份利润之间的关系统计图一周销售量（份）300～800 (不含800) 800～1200 (不含1200)1200及 1200以上该校上周购买情况统计表 AB C（10山东青岛）18．（本小题满分6分）“五·一”期间，某书城为了吸引读者，设立了一个可以自由转动的转盘（如图，转盘被平均分成12份），并规定：读者每购买100元的书，就可获得一次转动转盘的机会，如果转盘停止后，指针正好对准红色、黄色、绿色区域，那么读者就可以分别获得45元、30元、25元的购书券，凭购书券可以在书城继续购书．如果读者不愿意转转盘，那么可以直接获得10元的购书券．（1）写出转动一次转盘获得45元购书券的概率；（2）转转盘和直接获得购书券，你认为哪种方式对读者更合算？请说明理由．解：（1）（2）（10山东青岛）19．（本小题满分6分）小明家所在居民楼的对面有一座大厦AB ，AB ＝80米．为测量这座居民楼与大厦之间的距离，小明从自己家的窗户C 处测得大厦顶部A 的仰角为37°，大厦底部B 的俯角为48°．求小明家所在居民楼与大厦的距离CD 的长度．（结果保留整数）（参考数据：o o o o 337sin37tan37sin 48tan485410≈≈≈≈，，，解：（10山东青岛）20．（本小题满分8分）某学校组织八年级学生参加社会实践活动，若单独租用35座客车若干辆，则刚好坐满；若单独租用55座客车，则可以少租一辆，且余45个空座位．（1）求该校八年级学生参加社会实践活动的人数；（2）已知35座客车的租金为每辆320元，55座客车的租金为每辆400元．根据租车资金不超过1500元的预算，学校决定同时租用这两种客车共4辆（可以坐不满）．请你计算本次社会实践活动所需车辆的租金．解：（1）（2）第18题图第19题图（10山东青岛）21．（本小题满分8分）已知：如图，在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 和CD 上，AE = AF ．（1）求证：BE = DF ；（2）连接AC 交EF 于点O ，延长OC 至点M ，使OM = OA ，连接EM 、FM ．判断四边形AEMF 是什么特殊四边形？并证明你的结论．证明：（1）（2）（10山东青岛）22．（本小题满分10分）某市政府大力扶持大学生创业．李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量y （件）与销售单价x （元）之间的关系可近似的看作一次函数：10500y x =-+．（1）设李明每月获得利润为w （元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？（2）如果李明想要每月获得2000元的利润，那么销售单价应定为多少元？（3）根据物价部门规定，这种护眼台灯的销售单价不得高于32元，如果李明想要每月获得的利润不低于2000元，那么他每月的成本最少需要多少元？（成本＝进价×销售量）解：（1）（2）（3）A DB E FO C M第21题图（10山东青岛）23．（本小题满分10分）问题再现现实生活中，镶嵌图案在地面、墙面乃至于服装面料设计中随处可见．在八年级课题学习“平面图形的镶嵌”中，对于单种多边形的镶嵌，主要研究了三角形、四边形、正六边形的镶嵌问题．今天我们把正多边形．．．．的镶嵌作为研究问题的切入点，提出其中几个问题，共同来探究.我们知道，可以单独用正三角形、正方形或正六边形镶嵌平面．如右图中，用正方形镶嵌平面，可以发现在一个顶点O 周围围绕着4个正方形的内角.试想：如果用正六边形来镶嵌平面，在一个顶点周围应该围绕着个正六边形的内角．问题提出如果我们要同时用两种不同的正多边形镶嵌平面，可能设计出几种不同的组合方案？问题解决猜想1：是否可以同时用正方形、正八边形两种正多边形组合进行平面镶嵌？分析：我们可以将此问题转化为数学问题来解决．从平面图形的镶嵌中可以发现，解决问题的关键在于分析能同时用于完整镶嵌平面的两种正多边形的内角特点．具体地说，就是在镶嵌平面时，一个顶点周围围绕的各个正多边形的内角恰好拼成一个周角．验证1：在镶嵌平面时，设围绕某一点有x 个正方形和y 个正八边形的内角可以拼成一个周角．根据题意，可得方程：()82180903608x y -⨯+ =，整理得：238x y +=，我们可以找到惟一一组适合方程的正整数解为12x y =⎧⎨=⎩ ．结论1：镶嵌平面时，在一个顶点周围围绕着1个正方形和2个正八边形的内角可以拼成一个周角，所以同时用正方形和正八边形两种正多边形组合可以进行平面镶嵌．猜想2：是否可以同时用正三角形和正六边形两种正多边形组合进行平面镶嵌？若能，请按照上述方法进行验证，并写出所有可能的方案；若不能，请说明理由．验证2：结论2：．上面，我们探究了同时用两种不同的正多边形组合镶嵌平面的部分情况，仅仅得到了一部分组合方案，相信同学们用同样的方法，一定会找到其它可能的组合方案．问题拓广请你仿照上面的研究方式，探索出一个同时用三种不同的正多边形组合进行平面镶嵌的方案，并写出验证过程．猜想3： .验证3：O结论3：.（10山东青岛）24．（本小题满分12分）已知：把Rt△ABC和Rt△DEF按如图（1）摆放（点C与点E重合），点B、C（E）、F在同一条直线上．∠ACB = ∠EDF = 90°，∠DEF = 45°，AC = 8 cm，BC = 6 cm，EF = 9 cm．如图（2），△DEF从图（1）的位置出发，以1 cm/s的速度沿CB向△ABC匀速移动，在△DEF移动的同时，点P从△ABC的顶点B出发，以2 cm/s的速度沿BA向点A匀速移动.当△DEF的顶点D移动到AC边上时，△DEF 停止移动，点P也随之停止移动．DE与AC相交于点Q，连接PQ，设移动时间为t（s）（0＜t＜4.5）．解答下列问题：（1）当t为何值时，点A在线段PQ的垂直平分线上？（2）连接PE，设四边形APEC的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；是否存在某一时刻t，使面积y最小？若存在，求出y的最小值；若不存在，说明理由．（3）是否存在某一时刻t，使P、Q、F三点在同一条直线上？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由．（图（3）供同学们做题使用）解：（1）（2）（3）ADB C F（E）图（1）图（2）AB C图（3）（用圆珠笔或钢笔画图）二○一○年山东省青岛市初级中学学业水平考试数学试题参考答案及评分标准说明：1．如果考生的解法与本解法不同，可参照本评分标准制定相应评分细则．2．当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分时，如果这一步以后的解答未改变这道题的内容和难度，可视影响程度决定后面部分的给分，但不得超过后面部分应给分数的一半；如果这一步以后的解答有较严重的错误，就不给分．3．为阅卷方便，本解答中的推算步骤写得较为详细，但允许考生在解答过程中，合理省略非关键性的推算步骤．4．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．一、选择题（本题满分24分，共有8道小题，每小题3分）二、填空题（本题满分18分，共有6道小题，每小题3分）三、作图题（本题满分4分）15．正确画出两条角平分线，确定圆心； ······· 2分确定半径； ······· 3分正确画出圆并写出结论． ······· 4分四、解答题（本题满分74分，共有9道小题） 16．（本小题满分8分）（1）34194x y x y +=⎧⎨-=⎩解：②×4得：4416x y -=，③①＋③得：7x = 35，② ①解得：x = 5.把x = 5代入②得，y = 1. ∴原方程组的解为51x y =⎧⎨=⎩.········ 4分（2）解：原式 =()()21222a a a a -+-- ()()()()222222a a a a a a +=-+-+- ()()()()()2222222a a a a a a a -+=+--=+-12a =+. ······· 4分17．（本小题满分6分）解：（1）6元； ······· 2分（2）3元；······· 4分（3）1.5×1000＋3×1700＋3×400 = 1500＋5100＋1200 = 7800（元）.答：配餐公司上周在该校销售午餐约盈利7800元． ······· 6分18．（本小题满分6分）解：（1）P （获得45元购书券） = 112； ······· 2分（2）12345302515121212⨯+⨯+⨯=（元）. ∵15元＞10元，∴转转盘对读者更合算．······· 6分19．（本小题满分6分）解：设CD = x ．在Rt △ACD 中，tan37ADCD ︒=，则34AD x =， ∴34AD x =.在Rt△BCD 中，tan48° = BDCD，则1110BD x=， ∴1110BD x =. ……………………4分第19题图∵AD ＋BD = AB ， ∴31180410x x +=．解得：x ≈43．答：小明家所在居民楼与大厦的距离CD 大约是43米． ………………… 6分 20．（本小题满分8分）解：（1）设单独租用35座客车需x 辆，由题意得：3555(1)45x x =--,解得：5x =.∴35355175x =⨯=（人）.答：该校八年级参加社会实践活动的人数为175人． ········ 3分（2）设租35座客车y 辆，则租55座客车（4y -）辆，由题意得：3555(4)175320400(4)1500y y y y +-⎧⎨+-⎩≥≤， ······· 6分解这个不等式组，得111244y ≤≤．∵y 取正整数， ∴y = 2.∴4－y = 4－2 = 2.∴320×2＋400×2 = 1440（元）.所以本次社会实践活动所需车辆的租金为1440元． ······· 8分21．（本小题满分8分)证明：（1）∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝AD ,∠B = ∠D = 90°． ∵AE = AF ，∴Rt Rt ABE ADF △≌△． ∴BE ＝DF ． ······· 4分（2）四边形AEMF 是菱形．∵四边形ABCD 是正方形，∴∠BCA = ∠DCA = 45°，BC = DC ．∵BE ＝DF ，∴BC －BE = DC －DF . 即CE CF =．∴OE OF =．∵OM = OA ，∴四边形AEMF 是平行四边形． ∵AE = AF ，∴平行四边形AEMF 是菱形． ······· 8分22．（本小题满分10分）解：（1）由题意，得：w = (x －20)·y=(x －20)·(10500x -+) 21070010000x x =-+-352b x a=-=.答：当销售单价定为35元时，每月可获得最大利润． ······· 3分（2）由题意，得：210700100002000x x -+-=解这个方程得：x 1 = 30，x 2 = 40．答：李明想要每月获得2000元的利润，销售单价应定为30元或40元.A DB E F O CM 第21题图····· 6分（3）法一：∵10a =-<0，∴抛物线开口向下. ∴当30≤x ≤40时，w ≥2000． ∵x ≤32， ∴当30≤x ≤32时，w ≥2000．设成本为P （元），由题意，得： 20(10500)P x =-+ 20010000x =-+ ∵200k =-<0，∴P 随x 的增大而减小.∴当x = 32时，P 最小＝3600.答：想要每月获得的利润不低于2000元，每月的成本最少为3600元． ·········· 10分23．（本小题满分10分）解：3个； ······· 1分验证2：在镶嵌平面时，设围绕某一点有a 个正三角形和b 个正六边形的内角可以拼成一个周角．根据题意，可得方程：60120360a b +=．整理得：26a b +=，可以找到两组适合方程的正整数解为22a b =⎧⎨=⎩和41a b =⎧⎨=⎩． ······ 3分结论2：镶嵌平面时，在一个顶点周围围绕着2个正三角形和2个正六边形的内角或者围绕着4个正三角形和1个正六边形的内角可以拼成一个周角，所以同时用正三角形和正六边形两种正多边形组合可以进行平面镶嵌． ··· 5分猜想3：是否可以同时用正三角形、正方形和正六边形三种正多边形组合进行平面镶嵌？ ······· 6分验证3：在镶嵌平面时，设围绕某一点有m 个正三角形、n 个正方形和c 个正六边形的内角可以拼成一个周角. 根据题意，可得方程： 6090120360m n c ++=，整理得：23412m n c ++=，可以找到惟一一组适合方程的正整数解为121m n c =⎧⎪=⎨⎪=⎩. ······· 8分结论3：镶嵌平面时，在一个顶点周围围绕着1个正三角形、2个正方形和1个正六边形的内角可以拼成一个周角，所以同时用正三角形、正方形和正六边形三种正多边形组合可以进行平面镶嵌. （说明：本题答案不惟一，符合要求即可.） ······· 10分 24．（本小题满分12分）解：（1）∵点A 在线段PQ 的垂直平分线上，∴AP = AQ .∵∠DEF = 45°，∠ACB = 90°，∠DEF ＋∠ACB ＋∠EQC = 180°，∴∠EQC = 45°.∴∠DEF =∠EQC . ∴CE = CQ .由题意知：CE = t ，BP =2 t ， ∴CQ = t . ∴AQ = 8－t .在Rt△ABC 中，由勾股定理得：AB = 10 cm .法二：∵10a =-<0， ∴抛物线开口向下. ∴当30≤x ≤40时，w ≥2000． ∵x ≤32，∴30≤x ≤32时，w ≥2000． ∵10500y x =-+，100k =-<， ∴y 随x 的增大而减小. ∴当x = 32时，y 最小＝180. ∵当进价一定时，销售量越小，成本越小，∴201803600⨯=（元）.则AP = 10－2 t . ∴10－2 t = 8－t . 解得：t = 2.答：当t = 2 s 时，点A 在线段PQ 的垂直平分线上. ····· 4分（2）过P 作PM BE ⊥，交BE 于M ，∴90BMP ∠=︒.在Rt△ABC 和Rt△BPM 中，sin AC PMB AB BP==， ∴8210PM t = . ∴PM = 85t .∵BC = 6 cm ，CE = t ， ∴ BE = 6－t .∴y = S △ABC －S △BPE =12BC AC ⋅－12BE PM ⋅= 1682⨯⨯－()186t t 25⨯-⨯=24242455t t -+ = ()2484355t -+. ∵405a =>，∴抛物线开口向上.∴当t = 3时，y 最小=845.答：当t = 3s 时，四边形APEC 的面积最小，最小面积为845cm 2. ··· 8分（3）假设存在某一时刻t ，使点P 、Q 、F 三点在同一条直线上.过P 作PN AC ⊥，交AC 于N ，∴90ANP ACB PNQ ∠=∠=∠=︒.∵PAN BAC ∠=∠，∴△PAN ∽△BAC . ∴PN AP AN BC AB AC ==. ∴1026108PN t AN -==. ∴665PN t =-，885AN t =-.∵NQ = AQ －AN ，∴NQ = 8－t －(885t -) = 35t ．∵∠ACB = 90°，B 、C （E ）、F 在同一条直线上， ∴∠QCF = 90°，∠QCF = ∠PNQ . ∵∠FQC = ∠PQN ， ∴△QCF ∽△QNP .∴PN NQ FC CQ=. ∴636559t tt t -=- . ∵0t <<4.5 ∴663595tt -=- 解得：t = 1.答：当t = 1s ，点P 、Q 、F 三点在同一条直线上. 12分图（2）图（3）。

九年级第三次月考试卷

2010~2011学年九上数学第三次月考试卷说明：考试时间90分钟，全卷满分100分一、选择题（每题3分，共计36分）1．用配方法解方程2420x x -+=，下列配方正确的是（） A ．2(2)2x -= B ．2(2)2x += C ．2(2)2x -=-D ．2(2)6x -= 2．下列函数中，图象经过点(11)-，的反比例函数解析式是（）A ．1y x =B ．1y x -=C ．2y x =D ．2y x-=3．如图，DE 是△ABC 的中位线，且△ADE 的周长为20，则△ABC 的周长为 ( )A ．30B ．40C ．50D ．无法计算4．如图，□ABCD 的周长为16cm ，AC 、BD 相交于点O ，OE ⊥AC 交AD 于E ，则△DCE 的周长为（）A 、4 cmB 、6cmC 、8cmD 、10cm5．如图，这是圆桌正上方的灯泡（看作一个点）发出的光线照射桌面后，在地面上形成阴影（圆形）的示意图. 已知桌面的直径为1.2m ，桌面距离地面1m ，若灯泡距离地面3m ，则地面上阴影部分的面积为（）A 、0.36πm 2B 、0.81πm 2C 、2πm 2D 、3.24πm 26．与如图所示的三视图对应的几何体是( )7．已知在Rt△AB C 中，∠C =90°，，则cos A 的值为( ) A.12B.2C.2D.38．如图，在高楼前D 点测得楼顶的仰角为30︒，向高楼前进又测得仰角为45︒，则该高楼的高度大约为（）第5题 ABCD E 第3题第4题学校______________ 考号：__________ 姓名：____________ 试室号：_________ 座位号……………………………………… 密 …………… 封 …………… 线 ………………………第8题第10题F第14题1.73≈A .82米B .163米C .52米 D70米9．将二次函数2y x =的图象向下平移2个单位，再向右平移1个单位，那么得到的图象对应的函数表达式为（）A ．2(1)2y x =-+ B.2(1)2y x =++ C.2(1)2y x =-- D ．2(1)2y x =+- 10．二次函数221(0)y kx x k =++<的图象可能是（）11.已知抛物线y=x 2－2x+c 的顶点在x轴上，你认为c 的值应为（）A.－1 B.0 C.1 D.212.如图，∠AOB 是一钢架，∠AOB=15°，为使钢架更加牢固，需在其内部添加一些钢管EF 、FG 、GH……添的钢管长度都与OE 相等，则最多能添加这样的钢管（）根. A ：2 B ：4 C ：5 D ：无数二、填空题（每小题3分，共12分）13．为了估计池塘里有多少条鱼，从池塘里捕捞了1000条鱼做上标记，然后放回池塘里，经过一段时间，等有标记的鱼完全混合于鱼群中以后，再捕捞200 条，若其中有标记的鱼有10条，则估计池塘里有鱼____________条．14．如图，以正方形ABCD 的对角线AC 为一边，延长AB 到E ，使AE=AC ，以AE 为一边作菱形AEFC 若菱形的面积为29，则正方形的边长为__________.15．二次函数y=ax 2+bx+c 的图象在x 轴上方的条件是． 16．如图，在△ABC 中,已知AB=32,B=45°，∠C=30°，则AC= 。

2018-2019学年山东省青岛三十九中九年级(下)第一次月考数学试卷解析版

2018-2019学年山东省青岛三十九中九年级（下）第一次月考数学试卷一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）1.圆内接四边形ABCD，∠A，∠B，∠C的度数之比为3：4：6，则∠D的度数为（）A. 60B. 80C. 100D. 1202.⊙O的半径是6，点O到直线a的距离为5，则直线a与⊙O的位置关系为（）A. 相离B. 相切C. 相交D. 内含3.直角三角形的两边长分别为16和12，则此三角形的外接圆半径是（）A. 8或6B. 10或8C. 10D. 84.如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知∠B=60°，则∠CAO的度数是（）A.B.C.D.5.如图，在边长为1的正方形组成的网格中，△ABC的顶点都在格点上，将△ABC绕点C顺时针旋转60°，则顶点A所经过的路径长为（）A.B.C.D.6.下列说法正确的个数（）①；②；③的倒数是-3；④；⑤的平方根是-4．A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个7.下列等式成立的是（）A. B. C. D.8.下列各式正确的有（）①x4+x4=x8；②-x2•（-x）2=x4；③（x2）3=x5；④（x2y）3=x3y6；⑤（-3x3）3=-9x9；⑥2100×（-0.5）99=-2；A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个二、填空题（本大题共12小题，共30.0分）9.（2x）3•（-2y3）÷（16xy2）=______．10.的平方根是______；=______；4-=______．11.××=______；（-）2002•（+）2003=______．12.正六边形的两对边之间的距离是14cm，则边长是______cm．13.如图，点D在以AC为直径的⊙O上，如果∠BDC=15°，那么∠ACB=______．14.如图，AB为⊙O的直径，CD为⊙O的弦，∠ACD=42°，则∠BAD=______度．15.如图，点A、B、C在⊙O上，∠AOC=80°，则∠ABC=______．16.如图，圆内接四边形ABCD中两组对边的延长线分别相交于点E，F，且∠A=45°，∠E=30°，则∠F=______．17. 如图，在△ABC 中，BC =4，以点A 为圆心、2为半径的⊙A 与BC 相切于点D ，交AB 于E ，交AC 于F ，点P 是⊙A 上的一点，且∠EPF =40°，则图中阴影部分的面积是______（结果保留π）．18. 如图，一扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB 和AC 的夹角为120°，AB 长为25cm ，贴纸部分的宽BD 为15cm ，若纸扇两面贴纸，则贴纸的面积为______．（结果保留π） 19. 如图，某数学兴趣小组将边长为3的正方形铁丝框ABCD 变形为以A 为圆心，AB 为半径的扇形（忽略铁丝的粗细），则所得的扇形DAB 的面积为______．20. 如图，把直角三角形ABC 的斜边AB 放在定直线l 上，按顺时针方向在l 上转动两次，使它转到△A ″B ″C ″的位置，设BC =1，AC = ，则顶点A 运动到点A ″的位置时，点A 经过的路线与直线l 所围成的面积是______．（计算结果保留π）三、解答题（本大题共4小题，共56.0分）21. 某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径，下图是水平放置的破裂管道有水部分的截面．请你补全这个输水管道的圆形截面．22. 某新建小区要在一块等边三角形的公共区域内修建一个圆形花坛．（1）若要使花坛面积最大，请你在这块公共区域（如图）内确定圆形花坛的圆心P ；（2）若这个等边三角形的边长为18米，请计算出花坛的面积．23. （1） +（）-1-2sin60°；（2）（3 -2+ ）÷2 ；（3）（2 +3 ）（2 -3 ）；（4）+；（5） - -42；（6） -=（7）÷（-x -2）；（8）•÷．24. 如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠C =90°，BC =32，DC =24，AD =42，动点P 从点O 出发，沿射线DA 的方向以每秒4个单位长的速度运动，动点Q 从点G 出发，在线段CB 上以每秒2个单位长的速度向点B 运动，点P ，Q 分别从点D ，C 同时出发，当点Q 运动到点B 时，点P 随之停止运动．设运动的时间为t （秒）．（1）设△BPQ 的面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式；（2）当t 为何值时，以B ，P ，Q 三点为顶点的三角形是等腰三角形？（3）是否存在时刻t ，使得PQ ⊥BD ？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵内接四边形的对角互补，∴∠A：∠B：∠C：∠D=3：4：6：5设∠A的度数为3x，则∠B，∠C，∠D的度数分别为4x，6x，5x∴3x+4x+6x+5x=360°∴x=20°∴∠D=100°故选：C．根据圆内接四边形的对角互补和四边形的内角和为360度进行分析求解．本题考查圆内接四边形的对角互补和四边形的内角和为360°的理解及运用．2.【答案】C【解析】解：根据点到直线的距离5＜圆的半径6，则直线和圆相交．故选：C．用到的知识点有：若d＜r，则直线与圆相交；若d=r，则直线于圆相切；若d＞r，则直线与圆相离．考查直线和圆的位置关系与数量之间的联系．3.【答案】B【解析】解：由勾股定理可知：①当直角三角形的斜边长为16时，这个三角形的外接圆半径为8；②当两条直角边长分别为16和12，则直角三角形的斜边长==20，因此这个三角形的外接圆半径为10．综上所述：这个三角形的外接圆半径等于8或10．故选：B．分两种情况：①16为斜边长；②16和12为两条直角边长，由勾股定理易求得此直角三角形的斜边长，进而可求得外接圆的半径．本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握直角三角形的外接圆是以斜边中点为圆心，斜边长的一半为半径的圆是解题的关键．4.【答案】B【解析】解：连接OC，由圆周角定理，得∠AOC=2∠B=120°，△OAC中，OA=OC，∴∠CAO=∠ACO=30°．故选：B．连接OA，由圆周角定理，易求得∠COA的度数，在等腰△OAC中，已知顶角∠COA的度数，即可求出底角∠CAO的度数．此题综合考查了圆周角定理和三角形的内角和定理．5.【答案】C【解析】解：如图所示：在Rt△ACD中，AD=3，DC=1，根据勾股定理得：AC==，又将△ABC绕点C顺时针旋转60°，则顶点A所经过的路径长为l==π．故选：C．由题意可知点A所经过的路径为以C为圆心，CA长为半径，圆心角为60°的弧长，故在直角三角形ACD中，由AD及DC的长，利用勾股定理求出AC的长，然后利用弧长公式即可求出．此题考查了弧长公式，以及勾股定理，解本题的关键是根据题意得到点A所经过的路径为以C 为圆心，CA长为半径，圆心角为60°的弧长．6.【答案】C【解析】解：①；②=，被开方数是非负数，故不能写成=的形式；③=-的倒数是-3；④，不能计算；⑤=4，4的平方根是±2．故正确的有①③．故选：C．根据立方根、二次根式的化简等知识点依次计算，从而进行选择．本题考查了实数的有关运算，解题的关键是求一个数的立方根、平方根以及算术平方根．7.【答案】D【解析】解：A、由于分式的分子和分母所乘的不是同一个非0的式子，因此分式的值改变，故A错误；B、分式的分子和分母同时加上一个不为0的式子，分式的值改变，故B错误；C、同B，分式的分子和分母同时减去一个不为0的式子，分式的值改变，故C错误；D、根据分数的基本性质可知：（a≠0）是正确的，故选：D．分式中在分子，分母上同时乘以或除以同一个非0的数或式子，分式的值不变．本题主要考查分式的基本性质的应用．是一个基础题．8.【答案】A【解析】解：①x4+x4=2x4，此计算错误；②-x2•（-x）2=-x4，此计算错误；③（x2）3=x6，此计算错误；④（x2y）3=x6y3，此计算错误；⑤（-3x3）3=-27x9，此计算错误；⑥2100×（-0.5）99=2×299×（-0.5）99=2×（-0.5×2）99=2×（-1）=-2，此计算正确；故选：A．根据合并同类项法则、积的乘方与幂的乘方逐一计算可得．本题主要考查幂的运算，解题的关键是掌握合并同类项法则、积的乘方与幂的乘方的运算法则．9.【答案】x2y，【解析】解：原式=-4x3y3÷16xy2=x2y，故答案为：x2y．根据整式的运算法则即可求出答案．本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型．10.【答案】±2 π-3.14 0【解析】解：由=4，知的平方根是±2，=|3.14-π|=π-3.14，4-=4×-2=2-2=0，故答案为：±2，π-3.14，0．根据平方根和二次根式的性质分别计算可得．本题主要考查算术平方根，解题的关键是掌握平方根的定义和二次根式的性质．11.【答案】1 +【解析】解：××==1；（-）2002•（+）2003=[-）•（-）]2002•（+）=（2-3）2002•（+）= +．故答案为1，．利用二次根式的乘法法则计算××；利用积的乘方得到（-）2002•（+）2003=[-）•（-）]2002•（+），然后利用平方差公式计算即可．本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．12.【答案】【解析】解：连接OA、OB，设MN⊥AB、MN⊥DE，MN过中心O，∵ABCDEF是正六边形，∴∠AOB=60°，∠AOM=30°，∵正六边形的两条对边之间的距离是14，∴OM=ON=7，∴AM=OM×tan∠AOM=，∵OA=OB，OM⊥AB，∴AB=2AM=，故答案为：．画出图形，根据题意求出MN=14，解直角三角形求出AM，即可求出答案．本题考查了正多边形和圆、解直角三角形、等腰三角形的性质等知识点，能综合运用知识点进行计算和推理是解此题的关键．13.【答案】75°【解析】解：∵∠BDC=15°，∴∠A=15°；∵AC为直径，∴∠ABC=90°；∴∠ACB=75°．故答案为：75°根据圆周角定理，可得∠A=∠D=15°，∠ABC=90°；在Rt△ABC中，已知了∠A和∠ABC的度数，可求出∠ACB的度数．本题主要考查了圆周角定理的应用，关键是根据圆周角定理得出∠A=∠D=15°．14.【答案】48【解析】解：连接BD，∵AB为⊙O的直径∴∠ADB=90°∵∠ABD=∠ACD=42°∴∠BAD=48°．连接BD，根据直径所对的圆周角是直角，得∠ADB=90°，根据同弧或等弧所对的圆周角相等，得∠ABD=∠ACD，从而可得到∠BAD的度数．考查了圆周角定理的推论．在圆中，常见的辅助线之一：构造直径所对的圆周角．15.【答案】140°【解析】解：如图，作弧ABC所对的圆周角∠D ，∵∠AOC=80°，∴∠D=∠AOC=×80°=40°，∴∠ABC=180°-∠D=140°，故答案为：140°先求出弧ABC所对的圆周角等于圆心角∠AOC的一半，再根据圆内接四边形对角互补即可求出．此题考查圆周角定理，关键是利用圆周角定理和圆内接四边形的性质，要求对定理和性质熟练掌握并灵活运用．16.【答案】60°【解析】解：∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠BCD=180°-∠A=135°，有三角形的外角性质可知，∠EDC=∠BCD-∠E=105°，∴∠F=∠EDC-∠A=60°，故答案为：60°．根据圆内接四边形的性质求出∠BCD，根据三角形的外角性质计算，得到答案．本题考查的是圆内接四边形的性质、三角形的外角性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．17.【答案】4【解析】解：连接AD，则AD⊥BC；△ABC中，BC=4，AD=2；∴S△ABC =BC•AD=4．∵∠EAF=2∠EPF=80°，AE=AF=2；∴S扇形EAF==；∴S阴影=S△ABC-S扇形EAF=4-．由于BC切⊙A于D，那么连接AD，可得出AD⊥BC，即△ABC的高AD=2；已知了底边BC的长，可求出△ABC的面积．根据圆周角定理，易求得∠EAF=2∠P=80°，已知了圆的半径，可求出扇形AEF的面积．图中阴影部分的面积=△ABC的面积-扇形AEF的面积．由此可求阴影部分的面积．解决本题的关键是利用圆周角与圆心角的关系求出扇形的圆心角的度数．18.【答案】350πcm2【解析】解：∵AB长为25cm，贴纸部分的宽BD为15cm，∴AD=10cm，∴贴纸的面积为S=2×（S扇形ABC -S扇形ADE=-）=350π（cm2），故答案为：350πcm2．求出AD，先分别求出两个扇形的面积，再求出答案即可．本题考查了扇形的面积计算，能熟记扇形的面积公式是解此题的关键．19.【答案】9【解析】解：∵正方形的边长为3，∴弧BD的弧长=6，∴S扇形DAB=lr=×6×3=9．故答案为：9．由正方形的边长为3，可得弧BD的弧长为6，然后利用扇形的面积公式：S扇形DAB=lr，计算即可．此题考查了扇形的面积公式，解题的关键是：熟记扇形的面积公式S扇形DAB=lr．20.【答案】+【解析】解：由题意知：S=++×1×=++=+．故答案为：+．△ABC中，BC=1，AC=，根据勾股定理得到AB的长为2．顶点A运动到点A″的位置时，点A经过的路线与直线l所围成的面积是两个扇形的面积+△A′BC″的面积．根据扇形的面积公式可以进行计算．本题的关键是弄清顶点A运动到点A″的位置时，点A经过的路线与直线l所围成的图形的形状．21.【答案】解：在上找一个点C，连接AC，作出AB与AC的垂直平分线，交于O点，连接OA，以O点为圆心，OA长为半径画圆，将这个输水管道的圆形截面补全，如图所示．【解析】在上找一个点C，连接AC，分别作出弦AB与AC的垂直平分线，两线交于O点，则点O为输水管的圆心，连接OA，即为输水管的半径，补全这个输水管道的圆形截面即可．此题考查了垂径定理的应用，圆中弦的垂直平分线必然过圆心，熟练掌握此性质是解本题的关键．22.【答案】解：（1）要使花坛面积最大，因三角形为等边三角形，在△ABC内作一个内切圆，则此圆面积最大，点P为角平分线的交点．（2）如图，Rt△BOD中，BD=9米，∠OBD=30°∴tan30°=，∴OD=BD•tan30°=9×=3，∴花坛面积为π•（3）2=27π（米2）．【解析】由题意可知三角形为正三角形，设计方案可根据内切圆性质及正三角形的性质，在三角形内作内切圆使圆形花坛面积最大，然后有圆的性质求出内切圆的半径，从而求出面积．此题为设计性问题，其实质是考查正三角形及内切圆的性质，同时也考查了圆的性质和简单的计算．23.【答案】解：（1）原式=2+2-2×=2+2-=+2；（2）原式=（6-+4）÷2=÷2=；（3）原式=12-18=-6；（4）原式=+-=3+4-2=5；（5）原式=-6-7=-；（6）原式=-==；（7）原式=÷=•=-；（8）原式=••（a+1）（a-1）=（a-2）（a+1）=a2-a-2．【解析】（1）根据特殊角的三角函数值和负整数指数幂的意义计算；（2）先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；（3）利用平方差公式计算；（4）根据二次根式的乘除法则运算；（5）先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；（6）先通分，再进行同分母的减法运算，然后约分即可；（7）先把括号内通分，再把除法运算转化为乘法运算，然后把分子分母因式分解后约分即可；（8）把分子分母因式分解后约分即可．本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．也考查了分式的混合运算．24.【答案】解：（1）如图，过点P作PM⊥BC，垂足为M，则四边形PDCM为矩形．∴PM=DC=24．∵QB=32-t，∴S=×24×（32-2t）=384-24t（0≤t＜16）；（2）由图可知：CM=PD=4t，CQ=2t．以B、P、Q三点为顶点的三角形是等腰三角形，可以分三种情况：①若PQ=BQ．在Rt△PMQ中，PQ2=4t2+242，由PQ2=BQ2得4t2+242=（32-2t）2，解得t=；②若BP=BQ．在Rt△PMB中，BP2=（32-4t）2+242．由BP2=BQ2得：（32-4t）2+242=（32-2t）2即3t2-32t+144=0．由于△=-704＜0，∴3t2-32t+144=0无解，∴PB≠BQ．③若PB=PQ．由PB2=PQ2，得4t2+242=（32-4t）2+242整理，得3t2-64t+256=0．解得t1=，t2=16（舍去）综合上面的讨论可知：当t=秒或t=秒时，以B、P、Q三点为顶点的三角形是等腰三角形．如图，过点Q作QE⊥AD于E，垂足为E．∵AD∥BC∴∠BQF=∠EPQ，又∵在△BFQ和△BCD中∠BFQ=∠C=90°，∴∠BQF=∠BDC，∴∠BDC=∠EPQ，又∵∠C=∠PEQ=90°，∴Rt△BDC∽Rt△QPE，∴=，即=，解得t=9．所以，当t=9秒时，PQ⊥BD．【解析】（1）点P作PM⊥BC，垂足为M，则四边形PDCM为矩形，根据梯形的面积公式就可以利用t表示，就得到S与t之间的函数关系式．（2）以B、P、Q三点为顶点的三角形是等腰三角形，可以分三种情况：①若PQ=BQ，②若BP=BQ，③若PB=PQ．在Rt△PMQ中根据勾股定理，就得到一个关于t的方程，就可以求出t．（3）首先假设存在，然后再根据相似三角形对应边成比例求证．本题属于四边形综合题，考查了勾股定理，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．。

青岛第三十九中学九年级数学下册第三单元《锐角三角函数》测试题(包含答案解析)

一、选择题1．已知，一个小球由桌面沿着斜坡向上前进了10cm，此时小球距离桌面的高度为5cm，则这个斜坡的坡度i为（）A．2 B．1：2 C．1：2D．1：32．如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，延长PO交⊙O于点C，若60APB∠=︒，6PC=，则AC的长为（）A．4 B．22C．23D．333．小明在学完《解直角三角形》一章后，利用测角仪和校园旗杆的拉绳测量校园旗杆的高度，如图，旗杆PA的高度与拉绳PB的长度相等，小明先将PB拉到'PB的位置，测得(''PB C a B C∠=为水平线），测角仪/B D的高度为1米，则旗杆PA的高度为（）A．11sin a+米B．11cos a-米C．11sin a-米D．11cos a+米4．如图，已知第一象限内的点A在反比例函数2yx=的图象上，第二象限的点B在反比例函数kyx=的图象上，且OA⊥OB，tanA=2，则k的值为（）A．4 B．8 C．-4 D．-85．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝62，点E 是边BC 上一动点，B 关于AE 的对称点为B ′，过B ′作B ′F ⊥DC 于F ，连接DB ′，若△DB ′F 为等腰直角三角形，则BE 的长是（）A ．6B ．3C ．32D ．62﹣66．如图，一块矩形木板ABCD 斜靠在墙边，（ OC ⊥OB ，点A 、B 、C 、D 、O 在同一平面内），已知AB a ，AD b ，∠BCO =α．则点A 到OC 的距离等于（）A ．asinα+bsinαB ．acosα+bcosαC ．asinα+bcosαD ．acosα+bsinα7．如图，为一幅重叠放置的三角板，其中∠ABC=∠EDF=90°，BC 与DF 共线，将△DEF 沿CB 方向平移，当EF 经过AC 的中点O 时，直线EF 交AB 于点G ，若BC=3，则此时OG 的长度为（）A 322B 332C ．32D 333228．如图，反比例函数ky x=(0)k ≠第一象限内的图象经过ABC ∆的顶点A ，C ，AB AC =，且BC y ⊥轴，点A ，C ，的横坐标分别为1，3，若120BAC ∠=︒，则k的值为（）A．1 B．2C．3D．29．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，D为BC的中点，点E在AB上，AD，CE交于点F，AE＝EF＝4，FC＝9，则cos∠ACB的值为（）A．35B．59C．512D．4510．点E在射线OA上，点F在射线OB 上，AO⊥BO，EM平分∠AEF，FM平分∠BFE，则tan∠EMF的值为( )A．12B．33C．1 D．311．如图，在△ABC中，∠ACB＝60°，∠CAB＝45°，BC＝4，点D为AB边上一个动点，连接CD，以DA、DC为一组邻边作平行四边形ADCE，则对角线DE的最小值是（）A．2+6B．1+3C．4 D．2+2312．如图，在矩形ABCD中，33AB ，AD＝9，点P是AD边上的一个动点，连接BP，将矩形ABCD沿BP折叠，得到△A1PB，连接A1C，取A1C的三等分点Q（CQ＜A1Q），当点P从点A出发，沿边AD运动到点D时停止运动，点Q的运动路径长为（）A ．πB ．23πC ．433π D ．233π 二、填空题13．已知菱形ABCD 的边长为6，对角线AC 与BD 相交于点O ，OE ⊥AB ，垂足为点E ，AC ＝4，那么sin ∠AOE ＝_____．14．三角板是我们学习数学的好帮手.将一对直角三角板如图放置，点C 在FD 的延长线上，点B 在ED 上，AB ∥CF ，∠F ＝∠ACB ＝90°，∠E ＝45°，∠A ＝60°，AC ＝10，则CD 的长度是_____.15．已知抛物线2y ax bx c =++过点()0,3A ，且抛物线上任意不同两点()11,M x y ，()22,N x y ，都满足：当120x x <<时，()()12120x x y y -->；当120x x <<时，()()12120x x y y --<．以原点O 为圆心，OA 为半径的圆与抛物线的另两个交点为B ，C ，且B 在C 的左侧，ABC ∆有一个内角为60︒，则抛物线的解析式为______．16．如图，在菱形ABCD 中，过点C 作CE BC ⊥交对角线BD 于点E ，且DE CE =，若AB 6=，则DE =_________．17．图1是一个闭合时的夹子，图2是该夹子的主视示意图，夹子两边为AC ，BD （点A 与点B 重合），点O 是夹子转轴位置，O E ⊥AC 于点E ，OF ⊥BD 于点F ，OE=OF=1cm ，AC =BD =6cm ， CE =DF ， CE :AE =2:3.按图示方式用手指按夹子，夹子两边绕点O 转动． (1)当E ，F 两点的距离最大值时，以点A ，B ，C ，D 为顶点的四边形的周长是_____ cm ． (2)当夹子的开口最大（点C 与点D 重合）时，A ，B 两点的距离为_____cm ．18．如图，已知直线l ：y ＝3x ，过点A （0，1）作y 轴的垂线交直线l 于点B ，过点B 作直线l 的垂线交y 轴于点A 1；过点A 1作y 轴的垂线交直线l 于点B 1，过点B 1作直线l 的垂线交y 轴于点A 2；…；按此作法继续下去，则点A 4的坐标为_____．19．如图放置的△OAB 1，△B 1A 1B 2，△B 2A 2B 3，…都是边长为1的等边三角形，点A 在x 轴上，点O ，B 1，B 2，B 3，…都在直线l 上，则点A 2016的坐标是______．20．如图，某建筑物的顶部有一块标识牌CD ，小明在斜坡上B 处测得标识牌顶部C 的仰角为45︒，沿斜坡走下来在地面A 处测得标识牌底部D 的仰角为60°，已知斜坡AB 的坡角为30°，10AB AE ==米．则标识牌CD 的高度是米__________．三、解答题21．已知O 的半径为2r ，弦23AB =B 是CD 的中点，AB 与CD 交于点E ．（1）求圆心O 到弦AB 的距离．（2）求AEC ∠的度数．22．如图，某大楼的顶部竖有一块广告牌CD ，小李在山坡的坡脚A 处测得广告牌底部D 的仰角为60︒，沿坡面AB 向上走到B 处测得广告牌顶部C 的仰角为45︒，已知山坡AB 的坡度1:3i =，6AB =米，广告牌CD 的高度为3米．()1求点B 距水平面AE 的高度BH ；()2求楼房DE 的高度.(测角器的高度忽略不计，结果保留根号)23．有一只拉杆式旅行箱（图1），其侧面示意图如图2所示，已知箱体长50cm AB =，拉杆BC 的伸长距离最大时可达35cm ，点A 、B 、C 在同一条直线上，在箱体底端装有圆形的滚筒A ，A 与水平地面切于点D ，在拉杆伸长至最大的情况下，当点B 距离水平地面38cm 时，点C 到水平面的距离CE 为59cm ，设AF ∥MN ．（1）求A 的半径长；（2）当人的手自然下垂拉旅行箱时，人感觉较为舒服，某人将手自然下垂在C 端拉旅行箱时，CE 为80cm ，64CAF ∠=︒，求此时拉杆BC 的伸长距离．（精确到1cm ，参考数据：sin 640.90︒≈，cos640.39︒≈，tan64 2.1︒≈） 24．先化简，再求值：2311422a a a a -⎛⎫-÷⎪--+⎝⎭，其中10cos302tan 45a ︒=+︒． 25．如图，某乡村有一块菱形空地ABCD ，∠A ＝60°，AB ＝40米，现计划在内部修建一个四个顶点分别落在菱形四条边上的矩形鱼池EFGH ，其余部分种花草，园林公司修建鱼池，设AE 为x 米．(1)填空：ED ＝米，EH ＝米，(用含x 的代数式表示)； (2)若矩形鱼池EFGH 的面积是3003m 2，求EF 的长度；(3)若草坪的造价为每平方米60元，鱼池造价为每平方米50元，EF 的长度为多少时，修建的鱼池和草坪的总造价最低，最低造价为多少元？26．解答下列各题：（1）计算：(1012sin 6032202032-⎛⎫︒+-+ ⎪⎝⎭．（2）解方程：21133x x x-=--．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】过B 作BC ⊥桌面于C ，由题意得AB=10cm,BC=5cm,再由勾股定理得AC=53然后由坡度的定义即可得出答案．【详解】解：如图，过B 作BC ⊥桌面于C ，由题意得：AB ＝10cm ，BC ＝5cm ，∴AC=222210553AB BC -=-=，∴这个斜坡的坡度i ＝BC AC ＝53＝1：3 ，故选：D ．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题以及勾股定理;熟练掌握坡度的定义和勾股定理是解题的关键．2．C解析：C 【分析】如图，设CP 交⊙O 于点D ，连接OA 、AD ．由切线的性质易证△AOP 是含30度角的直角三角形，所以该三角形的性质求得半径=2；然后在等边△AOD 中得到AD=OA=2；最后通过解直角△ACD 来求AC 的长度．【详解】解：如图，设CP 交⊙O 于点D ，连接OA 、AD ．设⊙O 的半径为r ．∵PA 、PB 是⊙O 的切线，∠APB=60°， ∴OA ⊥AP ，∠APO=12∠APB=30°． ∴OP=2OA ，∠AOP=60°， ∴PC=2OA+OC=3r=6，则r=2，易证△AOD 是等边三角形，则AD=OA=2，又∵CD 是直径， ∴∠CAD=90°， ∴∠ACD=30°，∴AC=tan 30?AD3故选：C ．【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．简记作：见切点，连半径，见垂直．3．C解析：C 【分析】设PA=PB=PB′=x，在RT△PCB′中，根据sinαPCPB=＇，列出方程即可解决问题．【详解】解：设PA=PB=PB′=x，在RT△PCB′中，sinαPCPB=＇∴1sinαxx-=∴x1xsinα-=，∴（1-sinα）x=1，∴x=11sinα-．故选C．【点睛】本题考查解直角三角形、三角函数等知识，解题的关键是设未知数列方程，属于中考常考题型．4．D解析：D【分析】过点A、B分别作AC⊥x轴、BD⊥x轴，垂足分别为点C、D，如图，易证△AOC∽△OBD，则根据相似三角形的性质可得214AOCBODS OAS OB⎛⎫==⎪⎝⎭△△，再根据反比例函数系数k的几何意义即可求出k的值．【详解】解：过点A、B分别作AC⊥x轴、BD⊥x轴，垂足分别为点C、D，如图，则∠ACO=∠BDO=90°，∠OAC+∠AOC=90°，∵OA⊥OB，tan∠BAO=2，∴∠AOC+∠BOD=90°，OA：OB=1：2，∴∠OAC=∠BOD，∴△AOC∽△OBD，∴221124AOC BOD S OA S OB ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭△△， ∵1212AOCS⨯==，12BOD S k =△， ∴11142k =，∴8k =，∵k ＜0， ∴k=﹣8．故选：D ．【点睛】本题考查了反比例函数系数k 的几何意义、相似三角形的判定和性质以及三角函数的定义等知识，熟练掌握所学知识、明确解答的方法是解题的关键．5．D解析：D 【分析】根据 B 关于 AE 的对称点为 B′，可得2AB AD '=，1AB D ∴等腰直角三角形，可得D B E '、、三点共线，可求出BE 的长．【详解】解：6,2AB AB AB AD AD ==='∴=', 又△DB′F 为等腰直角三角形，045FDB ∴∠=, 又在矩形 ABCD ，090ADF ∠=,045ADB ∴='∠,又2AB AD '=AB D ∴'等腰直角三角形, 090AB D ∴='∠,090AB E ∠=',D BE ∴'、、三点共线，在等腰直角△RCE ，CE=CD=6,∴BE=BC-CE=6,故选D.. 【点睛】本题考查三角形的性质及解直角三角形，找出D B E '、、三点共线是解题关键．6．D解析：D 【分析】根据题意，做出合适的辅助线，然后利用锐角三角函数即可表示出点A 到OC 的距离即可求解．【详解】解：作AE⊥OC于点E，作AF⊥OB于点F，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°，∵∠ABC=∠AEC，∠BCO=α，∴∠EAB=α，∴∠FBA=α，∵AB=a，AD=b，∴FO=FB+BO=a•cosα+b•sinα，故选：D．【点睛】本题考查解直角三角形、三角函数的定义、矩形的性质，解答本题的关键是明确题意，正确做出辅助线，利用数形结合的思想解答．7．A解析：A【分析】分别过O作OH⊥BC，过G作GI⊥OH，由O是中点，根据平行线等分线段定理，可得H为BC的中点，则可得BH=32，再由三个角都是直角的四边形是矩形，可得GI=BH=32，在等腰直角三角形OGI中，即可求解．【详解】解：过O作OH⊥BC于H，过G作GI⊥OH于I ∵∠ABC=90°，∴AB⊥BC，∴OH∥AB，又O为中点，∴H为BC的中点，∴BH=12BC=32∵GI⊥OH，∴四边形BHIG 为矩形，∴GI ∥BH ，GI=BH=32, 又∠F=45°，∴∠OGI=45°，∴在Rt △OGI 中，32cos 2GI OG OGI ==∠．故选：A【点睛】本题考查了解直角三角形及平行线等分线段定理，构造合适的辅助线是解题关键． 8．C解析：C【分析】先表示出CD ，AD 的长，然后在Rt △ACD 中利用∠ACD 的正切列方程求解即可．【详解】过点A 作AD BC ⊥，∵点A 、点C 的横坐标分别为1，3，且A ，C 均在反比例函数k y x=第一象限内的图象上， ∴(1,)A k ，3,3k C ⎛⎫ ⎪⎝⎭， ∴CD=2，AD=k-3k ， ∵AB AC =，120BAC ∠=︒，AD BC ⊥，∴30ACD ∠=︒，90ADC ∠=︒，∵tan ∠ACD=AD DC，∴3DC AD =，即233k k ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，∴3k =．故选：C ．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，解直角三角形，以及反比例函数图像上点的坐标特征，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．9．D解析：D【分析】如图，延长AD 到M ，使得DM=DF ，连接BM ．利用全等三角形的性质证明BM=CF=9，AB=BM ，利用勾股定理求出BC ，AC 即可解决问题．【详解】解：如图，延长AD 到M ，使得DM=DF ，连接BM ．∵BD=DC ，∠BDM=∠CDF ，DM=DF ，∴△BDM ≌△CDF （SAS ），∴CF=BM=9，∠M=∠CFD ，∵CE ∥BM ，∴∠AFE=∠M ，∵EA=EF ，∴∠EAF=∠EFA ，∴∠BAM=∠M ，∴AB=BM=9，∵AE=4，∴BE=5，∵∠EBC=90°，∴BC=2222135EC BE -=-=12，∴AC=2222912AB BC +=+=15，∴cos ∠ACB=124155BC AC == ，故选：D ．【点睛】此题考查解直角三角形，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 10．C解析：C【分析】根据三角形外角的性质求得∠AEF+∠BFE=270°，由角平分线定义可求得∠MEF+∠MFE=135°，根据三角形内角和定理可求出∠EMF=45°，从而可得出结论．【详解】如图，∵AO ⊥BO∴∠AOB=90°∴∠OEF+∠OFE=90°∵∠AEF 和∠BFE 是△EOF 的外角∴∠AEF=90°+∠OFE ，∠BFE=90°+∠OEF∴∠AEF+∠BFE=90°+90°+∠OFE+∠OEF=270°∵EM 平分∠AEF ，FM 平分∠BFE ，∴∠MEF+∠MFE=12(∠AEF+∠BFE) =135°， ∵∠MEF+∠MFE+∠M=180° ∴∠M=180°-(∠MEF+∠MFE)=180°-135°=45°∴tan ∠EMF=tan45°=1故选：C ．【点睛】此题主要考查了三角形内角和定理、三角形外角的性质及三角函数，求出∠MEF+∠MFE=135°是解答此题的关键．11．A 解析：A 【分析】设DE交AC于O，作BF⊥AC于F，由直角三角形的性质得出CF＝12BC＝2，AF＝BF＝3CF＝23，求出AC＝CF+AF＝2+23，由平行四边形性质得出AO＝CO＝12AC＝1+3，DO＝EO，当OD⊥AB时，DO的值最小，即DE的值最小，则△AOD是等腰直角三角形，即可得出结果．【详解】解：设DE交AC于O，作BF⊥AC于F，如图所示：则∠BFC＝∠BFA＝90°，∵∠ACB＝60°，∠CAB＝45°，∴∠CBF＝30°，∠ABF＝45°＝∠CAB，∴CF＝12BC＝2，AF＝BF3＝3∴AC＝CF+AF＝3∵四边形ADCE是平行四边形，∴AO＝CO＝12AC＝3DO＝EO，∴当OD⊥AB时，DO的值最小，即DE的值最小，则△AOD是等腰直角三角形，∴OD＝22AO＝622，∴DE＝2OD26故选：A．【点睛】本题主要考查解直角三角形，平行四边形的性质，掌握平行四边形的性质和特殊角的三角函数值是解题的关键．12．D解析：D【分析】连接AC ，BD ，相交于点O ，过点Q 作1//QE A B ，交BC 于点E ，即点E 为BC 的三等分点，根据平行线分线段成比例得出113QE A B =为定值，可得出点Q 的运动轨迹是以点E 为圆心，QE 为半径的圆弧，通过对点A 1运动轨迹的分析求出圆心角，最后根据弧长公式进行求解．【详解】连接AC ，BD ，相交于点O ，过点Q 作1//QE A B ，交BC 于点E ，即点E 为BC 的三等分点，∵在矩形ABCD 中，33AB =，AD ＝9，∴3tan 3AB ADB AD ∠==，即30ADB ︒∠=， ∴60ABD ︒∠=，∵将矩形ABCD 沿BP 折叠，得到△A 1PB ，∴133A B AB ==， ∴1133QE A B ==，当点P 运动到点A 时，点A 1与点A 重合，当点P 运动到点D 时，点A 1与A 2重合，此时2120ABA ︒∠=，∴点Q 的运动轨迹是以点E 为圆心，QE 为半径，圆心角为120︒的圆弧，∴点Q 的运动路径长120323ππ⨯==, 故选D ．【点睛】本题考查矩形与轴对称图形的性质，平行线分线段成比例，由三角函数值求锐角，弧长公式，构造平行线得出QE 的长为定值是解题的关键．二、填空题13．【分析】由菱形对角线互相垂直得到AC⊥BD根据∠OAE＝∠BAO∠OEA＝∠AOB可以判定△OAE∽△ABO进而得到∠AOE＝∠BAO再由AO和AB的值即可求得sin∠AOE的值【详解】∵菱形对角线解析：1 3【分析】由菱形对角线互相垂直得到AC⊥BD，根据∠OAE＝∠BAO，∠OEA＝∠AOB可以判定△OAE∽△ABO，进而得到∠AOE＝∠BAO，再由AO和AB的值即可求得sin∠AOE的值．【详解】∵菱形对角线互相垂直，∴∠OEA＝∠AOB，∵∠OAE＝∠BAO，∴△OAE∽△ABO，∴∠AOE＝∠ABO，∵AO＝12AC＝2，AB＝6，∴sin∠AOE＝sin∠ABO＝AOAB＝13．故答案为：13．【点睛】考查了相似三角形判定和性质、三角形中正弦函数的计算，解题关键是证明三角形相似再利用其性质得到∠AOE=∠ABO．14．15﹣5【分析】过点B作BM⊥FD于点M根据题意可求出BC的长度然后在△EFD中可求出∠EDF＝45°进而可得出答案【详解】过点B作BM⊥FD于点M 在△ACB中∠ACB＝90°∠A＝60°AC＝10解析：15﹣53.【分析】过点B作BM⊥FD于点M，根据题意可求出BC的长度，然后在△EFD中可求出∠EDF＝45°，进而可得出答案.【详解】过点B作BM⊥FD于点M，在△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝10，∴∠ABC＝30°，BC＝10×tan60°＝3∵AB ∥CF ，∴∠BCM=∠ABC=30°，∴BM ＝BC×sin30°＝11032⨯＝53， CM ＝BC×cos30°＝15，在△EFD 中，∠F ＝90°，∠E ＝45°，∴∠EDF ＝45°，∴MD ＝BM ＝53，∴CD ＝CM ﹣MD ＝15﹣53，故答案是：15﹣53.【点睛】本题考查了解直角三角形，正确添加辅助线，构建直角三角形是解题的关键. 15．【分析】由A 的坐标确定出c 的值根据已知不等式判断出y1-y2＜0可得出抛物线的增减性确定出抛物线对称轴为y 轴且开口向下求出b 的值如图1所示可得三角形ABC 为等边三角形确定出B 的坐标代入抛物线解析式即解析：2233=-+y x 【分析】由A 的坐标确定出c 的值，根据已知不等式判断出y 1-y 2＜0，可得出抛物线的增减性，确定出抛物线对称轴为y 轴，且开口向下，求出b 的值，如图1所示，可得三角形ABC 为等边三角形，确定出B 的坐标，代入抛物线解析式即可．【详解】解：∵抛物线过点A （0，3），∴c=3，当x 1＜x 2＜0时，x 1-x 2＜0，由（x 1-x 2）（y 1-y 2）＞0，得到y 1-y 2＜0，∴当x ＜0时，y 随x 的增大而增大，同理当x ＞0时，y 随x 的增大而减小，∴抛物线的对称轴为y 轴，且开口向下，即b=0，∵以O 为圆心，OA 为半径的圆与抛物线交于另两点B ，C ，如图所示，∴△ABC 为等腰三角形，∵△ABC 中有一个角为60°，∴△ABC 为等边三角形，且OC=OA=3，设线段BC 与y 轴的交点为点D ，则有BD=CD ，且∠OBD=30°，3cos30sin 302︒︒∴=⋅==⋅=BD OB OD OB ∵B 在C 的左侧，∴B 的坐标为3,22⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭∵B 点在抛物线上，且c=3，b=0，327432∴+=-a 解得：23a =- 则抛物线解析式为2233=-+y x 故答案为: 2233=-+y x ．【点睛】此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象与性质，锐角三角函数定义，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．16．【分析】根据菱形的性质及等腰三角形的性质可知∠BEC=2∠EDC=2∠EBC 从而可求∠EBC=30°在Rt △BCE 中可求EC 值由DE=EC 可求DE 的长【详解】∵四边形ABCD 是菱形∴CD=BC=AB【分析】根据菱形的性质及等腰三角形的性质可知∠BEC=2∠EDC=2∠EBC ，从而可求∠EBC=30°，在Rt △BCE 中可求EC 值，由DE=EC 可求DE 的长．【详解】∵四边形ABCD 是菱形，∴，∴∠EDC=∠EBC ，∵DE=CE ，∴∠EDC=∠ECD ，∴∠BEC=2∠EDC=2∠EBC ，在Rt △BCE 中，∠EBC+∠BEC=90°，∴∠EBC=30°，∴BC tan 30EC =⋅︒==∴DE=EC=2，故答案为：2．【点睛】本题主要考查了菱形的性质、等腰三角形的判定和性质、解直角三角形的应用；熟练掌握菱形的性质，得出∠EBC=30°是解题的关键．17．16【分析】（1）当EOF 三点共线时EF 两点间的距离最大此时四边形ABCD 是矩形可得AB=CD=EF=2cm 根据矩形的性质求出周长即可（2）当夹子的开口最大（点C 与D 重合）时连接OC 并延长交AB 于点解析：166013 【分析】（1）当E 、O 、F 三点共线时，E 、F 两点间的距离最大，此时四边形ABCD 是矩形，可得AB=CD=EF=2cm ，根据矩形的性质求出周长即可．（2）当夹子的开口最大（点C 与D 重合）时，连接OC 并延长交AB 于点H ，可得CH AB ⊥，AH=BH ，利用已知先求出125CE cm =，在Rt △OEF 中利用勾股定理求出CO 的长，由sin OE AH ECO CO AAC∠==，求出AH ，从而求出AB=2AH 的长．【详解】（1）当E 、O 、F 三点共线时，E 、F 两点间的距离最大，此时四边形ABCD 是矩形， ∴AB=CD=EF=2cm ，∴以点A ，B ，C ，D 为顶点的四边形的周长为2+6+2+6=16cm ．（2）当夹子的开口最大（点C 与D 重合）时，连接OC 并延长交AB 于点H ，∴CH AB ⊥，AH=BH ，∵AC=BD=6cm ，CE ∶AE=2∶3，∴125CE cm =，在Rt △OEF 中，22135CO OE CE =+=，∵sin OE AH ECO CO AAC ∠==，3013AH =， ∴AB=2AH=6013．故答案为16，6013．【点睛】本题主要考查了勾股定理与旋转的结合，做题时准确理解题意利用已知的直角三角形进行求解是解题的关键．18．（0256）【分析】利用锐角三角函数分别计算得到的坐标利用规律直接得到答案【详解】解：∵l ：y ＝x ∴l 与x 轴的夹角为30°∵AB ∥x 轴∴∠ABO ＝30°∵OA ＝1∴AB ＝∵A1B ⊥l ∴∠ABA1＝6解析：（0，256）【分析】利用锐角三角函数分别计算得到12,A A 的坐标，利用规律直接得到答案．【详解】解：∵l ：y ＝3x ∴l 与x 轴的夹角为30°∵AB ∥x 轴∴∠ABO ＝30°∵OA ＝1∴AB∵A 1B ⊥l∴∠ABA 1＝60°∴AA 1＝3∴A 1（0，4）同理可得A 2（0，16）…∴A 4纵坐标为44＝256∴A 4（0，256）故答案为：（0，256）．【点睛】本题考查的是一次函数综合题，先根据所给一次函数判断出一次函数与x 轴夹角是解决本题的突破点；根据含30°的直角三角形的特点依次得到123,,A A A …的点的坐标是解决本题的关键．19．（10091008）【分析】根据题意得出直线OB1的解析式为y=x 进而得出OB1B2B3坐标进而得出坐标变化规律进而得出答案【详解】过B1向x 轴作垂线B1C 垂足为C 由题意可得：A （10）AO ∥A1B解析：（1009，10083）【分析】根据题意得出直线OB 1的解析式为y=3x ，进而得出O ，B 1，B 2，B 3坐标，进而得出坐标变化规律，进而得出答案．【详解】过B 1向x 轴作垂线B 1C ，垂足为C ，由题意可得：A （1，0），AO ∥A 1B 1，∠B 1OC ＝30°，∴CB 1＝OB 1cos30°＝3， ∴B 1的横坐标为：12，则B 1的纵坐标为：3， ∴点B 1，B 2，B 3，…都在直线y ＝3x 上，∴B 1（12，3），同理可得出：A 的横坐标为：1，∴y ＝3，∴A 2（2，3），…A n （1+2n ，3n ）． ∴A 2016（1009，10083），故答案为：（1009，10083）【点睛】此题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征以及规律探究，得出A 点横纵坐标变化规律是解题关键．20．【分析】过点B 作BM ⊥EA 的延长线于点M 过点B 作BN ⊥CE 于点N 通过解直角三角形可求出BMAMCNDE 的长再结合CD ＝CN ＋EN−DE 即可求出结论【详解】解：过点B 作BM ⊥EA 的延长线于点M 过点B 作解析：1553-【分析】过点B作BM⊥EA的延长线于点M，过点B作BN⊥CE于点N，通过解直角三角形可求出BM，AM，CN，DE的长，再结合CD＝CN＋EN−DE即可求出结论．【详解】解：过点B作BM⊥EA的延长线于点M，过点B作BN⊥CE于点N，如图所示．在Rt△ABM中，AB＝10米，∠BAM＝30°，∴AM＝AB•cos30°＝3BM＝AB•sin30°＝5（米）．在Rt△ADE中，AE＝10（米），∠DAE＝60°，∴DE＝AE•tan60°＝3在Rt△BCN中，BN＝AE＋AM＝10＋3∠CBN＝45°，∴CN＝BN•tan45°＝10＋3（米），∴CD＝CN＋EN−DE＝10＋33＝3故答案为：3【点睛】此题考查解直角三角形−仰角俯角问题及解直角三角形−坡度坡脚问题，通过解直角三角形求出BM，AM，CN，DE的长是解题的关键．三、解答题21．（1）1；（2）60°【分析】（1）过点O作OF⊥AB，垂足为点F，连接OB，交CD于点H，根据垂径定理可得BF＝AF 3（2）由1sin2OFOBFOB∠==可得∠OBF＝30°，再由点B是CD的中点可得OB⊥CD，进而即可求得AEC∠的度数．【详解】解：（1）过点O作OF⊥AB，垂足为点F，连接OB，交CD于点H，∵OF ⊥AB ，23AB =∴BF ＝AF 3在Rt OBF 中，22OF OB BF -222(3)1=-=，∴圆心O 到弦AB 的距离为1；（2）∵在Rt OBF 中，1sin 2OF OBF OB ∠==， ∴∠OBF ＝30°，∵点B 是CD 的中点，∴OB ⊥CD ，∴∠CHB ＝90°，∴∠AEC ＝∠BEH ＝90°－∠OBF ＝60°，∴AEC ∠的度数为60°．【点睛】本题考查了垂径定理的应用及推论，勾股定理，锐角三角函数的应用，熟练掌握垂径定理的应用及推论是解决本题的关键．22．（1）3米；（2993+）米．【分析】（1）在Rt △ABH 中，通过解直角三角形求出BH ；（2）过B 作BG ⊥DE 于G ，设AE=x 米，用x 表示出BG 、CG 、CE ，然后表示出DE 的长，在△ADE 根据三角函数列出方程，解方程后即可求出楼房DE 的高度．【详解】解：（1）Rt △ABH 中，i=tan ∠333=， ∴∠BAH=30°，∴BH= 12AB=3米；（2）如图，过B 作BG ⊥DE 于G ，设AE=x 米，∵BH ⊥HE ，GE ⊥HE ，BG ⊥DE ，∴四边形BHEG 是矩形．∵由（1）得：BH=3，AH= 33 ∴BG=AH+AE=（33）米，EG= BH=3， Rt △BGC 中，∠CBG=45°， ∴CG=BG=33，∴CE=CG+EG=3+33，∴DE=CE-CD=3+3333， Rt △ADE 中，∠DAE=60°， ∴tan 603DE AE==， ∴333x x =， ∴933x += ∴DE =33933+993+. 答：楼房DE 的高度为（9932+）米．【点睛】此题综合考查了仰角、坡度的定义，能够正确地构建出直角三角形，将实际问题化归为解直角三角形的问题是解答此类题的关键．23．（1）圆形滚轮的半径AD 的长是8cm ；（2）拉杆BC 的伸长距离为30cm ．【分析】（1）作BH ⊥AF 于点K ，交MN 于点H ，则△ABK ∽△ACG ，设圆形滚轮的半径AD 的长是xcm ，根据相似三角形的对应边的比相等，即可列方程求得x 的值；（2）求得CG 的长，然后在直角△ACG 中，求得AC 即可解决问题；【详解】（1）作BH AF ⊥于点K ，交MN 于点H .则BK CG ，ABK ACG ∆∆∽.设圆形滚轮的半径AD 的长是cm x . 则BK AB CG AC =，即3850595035x x -=-+，解得：8x =. 则圆形滚轮的半径AD 的长是8cm ；（2）在Rt ACG ∆中，80872(cm)CG =-=.则sin CG CAF AC ∠=∴AC=72=sin 0.9CG CAF ∠=80(cm) ∴805030(cm)BC AC AB =-=-=.【点睛】本题考查解直角三角形的应用，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数等知识，关键把实际问题转化为数学问题加以计算．24．52a --，3- 【分析】先把小括号内的通分，按照分式的减法和分式除法法则进行化简，再把字母的值代入运算即可．【详解】310cos302tan 451021532a =+=⨯=︒+︒， ()()()()()()23113132522422222222a a a a a a a a a a a a a a a ⎡⎤-----⎛⎫-÷=-⋅+=⋅+=-⎢⎥ ⎪--++--+--⎝⎭⎢⎥⎣⎦当532a =时，原式335322==-+-．【点睛】考查分式的化简求值，关键是化简，掌握运算顺序是化简的关键．25．（1）40x -)340x -；（2）EF 的长度10m 或30m ；（3）EF 的长度为20m 时，修建的鱼池和草坪的总造价最低，最低造价3【分析】（1）根据菱形的性质及锐角三角函数的应用求解可得；（2）连接DB ，知EF ∥DB ，由AE AF AD AB =知AF=AE=x ，证△AEF 是等边三角形得EF=AE=x ，由EF•EH=3003，列方程解之可得；（3）根据菱形的面积计算公式以及二次函数的性质即可解答本题．【详解】（1）∵四边形ABCD 是菱形，且AB=40，∴AD=AB=40，∵AE=x ，则DE=40-x ，如图，过点D 作DP ⊥EH 于点P ，∵∠A=60°，∴∠ADC=120°，则∠DEH=∠DHE=30°，∴EH=2EP=2DEcos30°=2×(40-x)×33=(40-x)；故答案为：40x -，()340x -；（2）如图，连接DB ，则EF ∥DB ，∴AE AF AD AB=， ∵AD=AB ，∴AF=AE=x ，又∠A=60°， ∴△AEF 是等边三角形，∴EF=AE=x ，由（1）可知EH =，∴EF•EH x =•，整理，得：2403000x x -+=，解得121030x x ==，经检验均符合题意，答：EF 的长度10m 或30m ；（3）∵四边形ABCD 是菱形，∠BAD=60°，AB=40m ，∴BD=40，∴菱形ABCD 的面积是：1402⨯⨯=2m )，∵矩形EFGH 的面积是：EF•EH )240x x =-=+，∴草坪的面积是：()22+=-+，∴总造价为：()225060++-+2=-+)220x =-+ ∵0>，∴当20x =时，总造价最小，最小值为答：EF 的长度为20m 时，修建的鱼池和草坪的总造价最低，最低造价【点睛】本题是二次函数的综合问题，主要考查了二次函数的应用，菱形的性质，矩形的性质，锐角三角函数，平行线分线段成比例定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用函数的思想解答．26．（1）1；（2）4x =-【分析】（1）原式利用特殊角的三角函数、绝对值的代数意义、负指数幂法则以及0指数幂的运算法则分别化简，即可得到结果；（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，检验后即可得到分式方程的解的结果．【详解】解：（1）原式＝2221++＝1；（221133x x x-=-- 去分母得：()231x x --=-，去括号得：231x x -+=-，解得：4x =-，x=-是分式方程的解．经检验4【点睛】此题考查了实数的运算和解分式方程，实数运算的关键是掌握各运算类型的法则，解分式方程时把分式方程转化为整式方程求解，且一定注意要验根．。

青岛第三十九中学九年级上册压轴题数学模拟试卷及答案

青岛第三十九中学九年级上册压轴题数学模拟试卷及答案一、压轴题1．如图，在平面直角坐标系中，函数(0)k y x x=>的图象经过点A （1，4）和点B ，过点A 作AC ⊥x 轴，垂足为点C ，过点B 作BD ⊥y 轴，垂足为点D ，连结AB 、BC 、DC 、DA ，点B 的横坐标为a （a ＞1）（1）求k 的值（2）若△ABD 的面积为4；①求点B 的坐标，②在平面内存在点E ，使得以点A 、B 、C 、E 为顶点的四边形是平行四边形，直接写出符合条件的所有点E 的坐标．2．将一个直角三角形纸片OAB 放置在平面直角坐标系中，点()0,0O ，点()2,0A ，点B 在第一象限，90OAB ∠=︒，30B ∠=︒，点P 在边OB 上（点P 不与点,O B 重合）．（1）如图①，当1OP =时，求点P 的坐标；（2）折叠该纸片，使折痕所在的直线经过点P ，并与x 轴的正半轴相交于点Q ，且OQ OP =，点O 的对应点为O '，设OP t =．①如图②，若折叠后O PQ '与OAB 重叠部分为四边形，,O P O Q ''分别与边AB 相交于点,C D ，试用含有t 的式子表示O D '的长，并直接写出t 的取值范围；②若折叠后O PQ '与OAB 重叠部分的面积为S ，当13t ≤≤时，求S 的取值范围（直接写出结果即可）．3．如图，抛物线214y x bx c =-++经过点()6,0C ，顶点为B ，对称轴2x =与x 轴相交于点A ，D 为线段BC 的中点．（1）求抛物线的解析式；（2）P 为线段BC 上任意一点，M 为x 轴上一动点，连接MP ，以点M 为中心，将MPC 逆时针旋转90︒，记点P 的对应点为E ，点C 的对应点为F ．当直线EF 与抛物线214y x bx c =-++只有一个交点时，求点M 的坐标．（3）MPC 在（2）的旋转变换下，若2PC =（如图）．①求证：EA ED =．②当点E 在（1）所求的抛物线上时，求线段CM 的长．4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线21322y x bx =-++与x 轴正半轴交于点A ，且点A 的坐标为()3,0，过点A 作垂直于x 轴的直线l ．P 是该抛物线上的任意一点，其横坐标为m ，过点P 作PQ l ⊥于点Q ；M 是直线l 上的一点，其纵坐标为32m -+，以PQ ，QM 为边作矩形PQMN ．（1）求b 的值．（2）当点Q 与点M 重合时，求m 的值．（3）当矩形PQMN 是正方形，且抛物线的顶点在该正方形内部时，求m 的值．（4）当抛物线在矩形PQMN 内的部分所对应的函数值y 随x 的增大而减小时，直接写出m 的取值范围．5．如图，过原点的抛物线y=﹣12x 2+bx+c 与x 轴交于点A （4，0），B 为抛物线的顶点，连接OB ，点P 是线段OA 上的一个动点，过点P 作PC ⊥OB ，垂足为点C ．（1）求抛物线的解析式，并确定顶点B 的坐标；（2）设点P 的横坐标为m ，将△POC 绕着点P 按顺利针方向旋转90°，得△PO′C′，当点O′和点C′分别落在抛物线上时，求相应的m 的值；（3）当（2）中的点C′落在抛物线上时，将抛物线向左或向右平移n （0＜n ＜2）个单位，点B 、C′平移后对应的点分别记为B′、C″，是否存在n ，使得四边形OB′C″A 的周长最短？若存在，请直接写出n 的值和抛物线平移的方向，若不存在，请说明理由．6．如图1，在Rt ABC △中，90A ∠=︒，AB AC =，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，AD AE =，连接DC ，点M ，P ，N 分别为DE ，DC ，BC 的中点．（1）观察猜想：图1中，线段PM 与PN 的数量关系是_________，位置关系是_________；（2）探究证明：把ADE 绕点A 逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN ，BD ，CE ，判断PMN 的形状，并说明理由；（3）拓展延伸：把ADE 绕点A 在平面内自由旋转，若4=AD ，10AB =，请直接写出PMN 面积的最大值．7．在平面直角坐标系中，将函数y ＝x 2﹣2mx+m （x≤2m ，m 为常数）的图象记为G ，图象G 的最低点为P(x 0，y 0)．（1）当y 0＝﹣1时，求m 的值．（2）求y 0的最大值．（3）当图象G 与x 轴有两个交点时，设左边交点的横坐标为x 1，则x 1的取值范围是．（4）点A 在图象G 上，且点A 的横坐标为2m ﹣2，点A 关于y 轴的对称点为点B ，当点A 不在坐标轴上时，以点A 、B 为顶点构造矩形ABCD ，使点C 、D 落在x 轴上，当图象G 在矩形ABCD 内的部分所对应的函数值y 随x 的增大而减小时，直接写出m 的取值范围．8．在平面直角坐标系xOy 中，函数1F 和2F 的图象关于y 轴对称，它们与直线(0)x t t =>分别相交于点,P Q ．（1）如图，函数1F 为1y x =+，当2t =时，PQ 的长为_____；（2）函数1F 为3y x =，当6PQ =时，t 的值为______；（3）函数1F 为2(0)y ax bx c a =++≠，①当b t b=时，求OPQ △的面积； ②若0c >，函数1F 和2F 的图象与x 轴正半轴分别交于点(5,0),(1,0)A B ，当1c x c ≤≤+时，设函数1F 的最大值和函数2F 的最小值的差为h ，求h 关于c 的函数解析式，并直接写出自变量c 的取值范围．9．定义：对于已知的两个函数，任取自变量x 的一个值，当0x ≥时，它们对应的函数值相等；当0x <时，它们对应的函数值互为相反数，我们称这样的两个函数互为相关函数.例如：正比例函数y x =，它的相关函数为(0)(0)x x y x x ≥⎧=⎨-<⎩. （1）已知点()5,10A -在一次函数5y ax =-的相关函数的图像上，求a 的值；（2）已知二次函数2142y x x =-+-. ①当点3,2B m ⎛⎫ ⎪⎝⎭在这个函数的相关函数的图像上时，求m 的值； ②当33x -≤≤时，求函数2142y x x =-+-的相关函数的最大值和最小值. （3）在平面直角坐标系中，点M 、N 的坐标分别为1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭、9,12⎛⎫ ⎪⎝⎭，连结MN .直接写出线段MN 与二次函数24y x x n =-++的相关函数的图像有两个公共点时n 的取值范围.10．如图，在平面直角坐标系中，直线y=12x+2与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，抛物线y=12x 2+bx+c 经过A 、C 两点，与x 轴的另一交点为点B ．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点D 为直线AC 上方抛物线上一动点；①连接BC 、CD ，设直线BD 交线段AC 于点E ，△CDE 的面积为S 1， △BCE 的面积为S 2，求12S S 的最大值； ②过点D 作DF⊥AC，垂足为点F ，连接CD ，是否存在点D ，使得△CDF 中的某个角恰好等于∠BAC 的2倍？若存在，求点D 的横坐标；若不存在，请说明理由11．在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝1，记∠ABC ＝α，点D 为射线BC 上的动点，连接AD ，将射线DA 绕点D 顺时针旋转α角后得到射线DE ，过点A 作AD 的垂线，与射线DE 交于点P ，点B 关于点D 的对称点为Q ，连接PQ ．（1）当△ABD 为等边三角形时，①依题意补全图1；②PQ 的长为；（2）如图2，当α＝45°，且BD ＝43时，求证：PD ＝PQ ；（3）设BC ＝t ，当PD ＝PQ 时，直接写出BD 的长．（用含t 的代数式表示）12．如图所示，在Rt ABC ∆中，90B ∠=︒，3BC =30C ∠=︒，点D 从点C 出发沿CA 方向以每秒2个单位长度的速度向点A 匀速运动，同时点E 从点A 出发沿AB 方向以每秒1个单位长度的速度向点B 匀速运动，当其中一点到达终点时，另一个点也随之停止运动.设点D 、E 运动的时间是t 秒(0)t >，过点D 作DF BC ⊥于点F ，连接DE 、EF .（1）求证：AE DF =；（2）四边形AEFD 能够成为菱形吗？若能，求出t 的值；若不能，请说明理由；（3）当t =________时，DEF ∆为直角三角形.13．在直角坐标平面内，O 为原点，点A 的坐标为(10)，，点C 的坐标为(0)4，，直线CM x ∥轴（如图所示）．点B 与点A 关于原点对称，直线y x b =+（b 为常数）经过点B ，且与直线CM 相交于点D ，联结OD ．（1）求b 的值和点D 的坐标；（2）设点P 在x 轴的正半轴上，若POD 是等腰三角形，求点P 的坐标；14．如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝15，BC ＝9，点P ，Q 分别在BC ，AC 上，CP ＝3x ，CQ ＝4x （0＜x ＜3）．把△PCQ 绕点P 旋转，得到△PDE ，点D 落在线段PQ 上．（1）求证：PQ ∥AB ；（2）若点D 在∠BAC 的平分线上，求CP 的长；（3）若△PDE 与△ABC 重叠部分图形的周长为T ，且12≤T ≤16，求x 的取值范围．15．如图，抛物线y ＝mx 2﹣4mx+2m+1与x 轴交于A （x 1，0），B （x 2，0）两点，与y 轴交于点C ，且x 2﹣x 1＝2．（1）求抛物线的解析式；（2）E 是抛物线上一点，∠EAB ＝2∠OCA ，求点E 的坐标；（3）设抛物线的顶点为D ，动点P 从点B 出发，沿抛物线向上运动，连接PD ，过点P 做PQ ⊥PD ，交抛物线的对称轴于点Q ，以QD 为对角线作矩形PQMD ，当点P 运动至点（5，t ）时，求线段DM 扫过的图形面积．16．如图1，抛物线M 1：y ＝﹣x 2+4x 交x 正半轴于点A ，将抛物线M 1先向右平移3个单位，再向上平移3个单位得到抛物线M 2，M 1与M 2交于点B ，直线OB 交M 2于点C ．（1）求抛物线M 2的解析式；（2）点P 是抛物线M 1上AB 间的一点，作PQ ⊥x 轴交抛物线M 2于点Q ，连接CP ，CQ ．设点P 的横坐标为m ，当m 为何值时，使△CPQ 的面积最大，并求出最大值；（3）如图2，将直线OB 向下平移，交抛物线M 1于点E ，F ，交抛物线M 2于点G ，H ，则EG HF的值是否为定值，证明你的结论．17．在平面直角坐标系中，抛物线2y ax bx c =++经过点A 、B 、C ，已知A （-1，0），B （3，0），C （0，-3）.（1）求此抛物线的函数表达式；（2）若P 为线段BC 上一点，过点P 作y 轴的平行线，交抛物线于点D ，当△BCD 面积最大时，求点P 的坐标；（3）若M （m ，0）是x 轴上一个动点，请求出CM+12MB 的最小值以及此时点M 的坐标.18．如图，在直角坐标系中，点C 在第一象限，CB x ⊥轴于B ，CA y ⊥轴于A ，3CB =，6CA =，有一反比例函数图象刚好过点C ．（1）分别求出过点C 的反比例函数和过A ，B 两点的一次函数的函数表达式；（2）直线l x ⊥轴，并从y 轴出发，以每秒1个单位长度的速度向x 轴正方向运动，交反比例函数图象于点D ，交AC 于点E ，交直线AB 于点F ，当直线l 运动到经过点B 时，停止运动．设运动时间为t （秒）．①问：是否存在t 的值，使四边形DFBC 为平行四边形？若存在，求出t 的值；若不存在，说明理由；②若直线l 从y 轴出发的同时，有一动点Q 从点B 出发，沿射线BC 方向，以每秒3个单位长度的速度运动．是否存在t 的值，使以点D ，E ，Q ，C 为顶点的四边形为平行四边形；若存在，求出t 的值，并进一步探究此时的四边形是否为特殊的平行四边形；若不存在，说明理由．19．如图，在平面直角坐标系中，抛物线()20y ax bx c a =++>与x 轴交于点()1,0A -和点()3,0B ，与y 轴交于点C ，且30OBC ∠=︒．点E 在第四象限且在抛物线上．（1）如（图1），当四边形OCEB 面积最大时，在线段BC 上找一点M ，使得12EM BM +最小，并求出此时点E 的坐标及12EM BM +的最小值；（2）如（图2），将AOC △沿x 轴向右平移2单位长度得到111AO C △，再将111AO C △绕点1A 逆时针旋转α度得到122AO C △，且使经过1A 、2C 的直线l 与直线BC 平行（其中0180α︒<<︒），直线l 与抛物线交于K 、H 两点，点N 在抛物线上．在线段KH 上是否存在点P ，使以点B 、C 、P 、N 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．20．⊙O 是四边形ABCD 的外接圆，OB AC ⊥，OB 与AC 相交于点H ，21012BC AC CD ===，．（1）求⊙O 的半径；（2）求AD 的长；（3）若E 为弦CD 上的一个动点，过点E 作EF//AC ，EG//AD ． EF 与AD 相交于点F ，EG 与AC 相交于点G ．试问四边形AGEF 的面积是否存在最大值？若存在，求出最大面积；若不存在，请说明理由．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、压轴题1．（1）4；（2）①（3，43），②（3，163）；（3，83 ）；（3，-83 ）【解析】【分析】（1）由点A 的坐标，利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出k 值；（2）①设AC ，BD 交于点M ，利用反比例函数图象上点的坐标特征可得出点B 的坐标，结合AC ⊥x 轴，BD ⊥y 轴可得出BD ，AM 的长，利用三角形的面积公式结合△ABD 的面积为4可求出a 的值，进而可得出点B 的坐标；②设点E 的坐标为（m ，n ），分AB 为对角线、AC 为对角线以及BC 为对角线三种情况考虑，利用平行四边形的性质（对角线互相平分）可得出关于m ，n 的二元一次方程组，解之即可得出点E 的坐标．【详解】解：（1）∵函数y=kx（x＞0）的图象经过点A（1，4），∴k=1×4=4．（2）①设AC，BD交于点M，如图1所示．∵点B的横坐标为a（a＞1），点B在y=4x的图象上，∴点B的坐标为（a，4a）．∵AC⊥x轴，BD⊥y轴，∴BD=a，AM=AC-CM=4-4a．∵△ABD的面积为4，∴12BD•AM=4，即a（4-4a）=8，∴a=3，∴点B的坐标为（3，43）②存在，设点E的坐标为（m，n）．分三种情况考虑，如图2所示．（i ）当AB 为对角线时，∵A （1，4），B （3，43），C （1，0）， ∴1+134043m n =+⎧⎪⎨+=+⎪⎩ ，解得：3163m n =⎧⎪⎨=⎪⎩， ∴点E 1的坐标为（3，163）；（ii ）当AC 为对角线时，∵A （1，4），B （3，43），C （1，0）， ∴3+114403m n =+⎧⎪⎨+=+⎪⎩ ，解得：-183m n =⎧⎪⎨=⎪⎩， ∴点E 2的坐标为（3，83）；（iii ）当BC 为对角线时，∵A （1，4），B （3，43），C （1，0）， ∴1+314403m n =+⎧⎪⎨+=+⎪⎩ ，解得：38-3m n =⎧⎪⎨=⎪⎩， ∴点E 2的坐标为（3，-83 ）.综上所述：点E 的坐标为（3，163）；（3，83 ）；（3，-83 ）. 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、三角形的面积以及平行四边形的性质，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用反比例函数图象上点的坐标特征求出k 值；（2）①利用三角形的面积公式结合△ABD 的面积为4，求出a 的值；②分AB 为对角线、AC 为对角线以及BC 为对角线三种情况，利用平行四边形的对角线互相平分求出点E 的坐标． 2．（1）点P的坐标为12⎛ ⎝⎭；（2）①34O D t '=-，t 的取值范围是423t <<；S ≤≤ 【解析】【分析】（1）过点P 作PH x ⊥轴，则90OHP ∠=︒，因为90OAB ∠=︒，30B ∠=︒，可得60BOA ∠=︒，进而得30OPH ∠=︒，由30°所对的直角边等于斜边的一半可得1122OH OP ==，进而用勾股定理可得HP ==，点P 的坐标即求出；（2）①由折叠知，O PQ OPQ '≌，所以O P OP '=，O Q OQ '=；再根据OQ OP =，即可根据菱形的定义“四条边相等的四边形是菱形”可证四边形OQO P '为菱形，所以//QO OB '，可得30ADQ B ∠=∠=︒；根据点A 的坐标可知2OA =，加之OP t =，从而有2QA OA OQ t =-=-；而在Rt QAD 中，242QD QA t ==-，又因为O D O Q QD ''=-，所以得34O D t '=-，由34O D t '=-和2QA t =-的取值范围可得t 的范围是423t <<； ②由①知，'POQ 为等边三角形，由（1）四边形OQO P '为菱形，所以'AB PQ ⊥,三角形DCQ 为直角三角形，∠Q=60°，从而11(34)22CQ DQ t ==-，33(34)22CD DQ t ==-,进而可得222''33731243(34)()48877POQ CDQ S S S t t t =-=--=--+，又已知t 的取值范围是13t ≤≤，即可得34387S ≤≤．【详解】解：（1）如图，过点P 作PH x ⊥轴，垂足为H ，则90OHP ∠=︒．90OAB ∠=︒，30B ∠=︒9060BOA B ∴∠=︒-∠=︒．9030OPH POH ∴∠=-∠=︒．在Rt OHP △中，1OP =，1122OH OP =∴=，2232HP OP OH =-=． ∴点P 的坐标为13,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭．（2）①由折叠知，O PQ OPQ '≌，O P OP '∴=，O Q OQ '=．又OQ OP t ==，O P OP OQ O Q t ''∴====．∴四边形OQO P '为菱形．//QO OB '∴．可得30ADQ B ∠=∠=︒．点()2,0A ，2OA ∴=．有2QA OA OQ t =-=-．在Rt QAD 中，242QD QA t ==-．O D O Q QD ''=-，34O D t '∴=-，其中t 的取值范围是423t <<． ②由①知，'POQ 为等边三角形， ∵四边形OQO P '为菱形， ∴'AB PQ ⊥,三角形DCQ 为直角三角形，∠Q=60°，∴11(34)22CQ DQ t ==-，33(34)22CD DQ t ==-, ∴222''33731243(34)()48877POQ CDQ S S S t t t =-=--=--+， ∵13t ≤≤，∴34387S ≤≤．，【点睛】本题主要考查了折叠问题，菱形的判定与性质，求不规则四边形的面积等知识．3．（1）2134y x x =-++；（2）（32，0）；（3）①见解析；②CM =231或CM =123+【解析】【分析】（1）根据点C 在抛物线上和已知对称轴的条件可求出解析式；（2）根据抛物线的解析式求出点B 及已知点C 的坐标，证明△ABC 是等腰直角三角形，根据旋转的性质推出直线EF 与x 轴的夹角为45°，因此设直线EF 的解析式为y=x+b ，设点M 的坐标为（m ，0），推出点F （m ，6-m ），直线EF 与抛物线2134y x x =-++只有一个交点，联立两个解析式，得到关于x 的一元二次方程，根据根的判别式为0得到关于m的方程，解方程得点M 的坐标．注意有两种情况，均需讨论．（3）①过点P 作PG ⊥x 轴于点G ，过点E 作EH ⊥x 轴于点H ，设点M 的坐标为（m ，0），由2PC =及旋转的性质，证明△EHM ≌△MGP ，得到点E 的坐标为（m-1，5-m ），再根据两点距离公式证明EA ED =，注意分两种情况，均需讨论；②把E （m-1，5-m ）代入抛物线解析式，解出m 的值，进而求出CM 的长．【详解】（1）∵点()6,0C 在抛物线上，∴103664b c =-⨯++，得到6=9b c +，又∵对称轴2x =，∴2122()4b b x a =-=-=⨯-，解得1b =，∴3c =，∴二次函数的解析式为2134y x x =-++；（2）当点M 在点C 的左侧时，如下图：∵抛物线的解析式为2134y x x =-++，对称轴为2x =，()6,0C∴点A （2，0），顶点B （2，4），∴AB=AC=4，∴△ABC 是等腰直角三角形，∴∠1=45°；∵将MPC 逆时针旋转90︒得到△MEF ，∴FM=CM ，∠2=∠1=45°，设点M 的坐标为（m ，0），∴点F （m ，6-m ），又∵∠2=45°，∴直线EF 与x 轴的夹角为45°，∴设直线EF 的解析式为y=x+b ，把点F （m ，6-m ）代入得：6-m=m+b ，解得：b=6-2m ，直线EF 的解析式为y=x+6-2m ，∵直线EF 与抛物线2134y x x =-++只有一个交点， ∴262134y x m y x x =+-⎧⎪⎨=-++⎪⎩，整理得：213204x m +-=， ∴Δ=b 2-4ac=0，解得m=32，点M 的坐标为（32，0）．当点M 在点C 的右侧时，如下图：由图可知，直线EF 与x 轴的夹角仍是45°，因此直线EF 与抛物线2134y x x =-++不可能只有一个交点．综上，点M 的坐标为（32，0）．（3）①当点M 在点C 的左侧时，如下图，过点P 作PG ⊥x 轴于点G ，过点E 作EH ⊥x 轴于点H ，∵2PC =，由（2）知∠BCA=45°，∴PG=GC=1，∴点G （5，0），设点M 的坐标为（m ，0），∵将MPC 逆时针旋转90︒得到△MEF ，∴EM=PM ，∵∠HEM+∠EMH=∠GMP+∠EMH =90°， ∴∠HEM=∠GMP ，在△EHM 和△MGP 中，EHM MGP HEM GMP EM MP ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△EHM ≌△MGP （AAS ），∴EH=MG=5-m ，HM=PG=1，∴点H （m-1，0），∴点E 的坐标为（m-1，5-m ）；∴EA=22(12)(50)m m --+--=221634m m -+，又∵D 为线段BC 的中点，B （2，4），C （6，0），∴点D （4，2），∴ED=22(14)(52)m m --+--=221634m m -+，∴EA= ED ．当点M 在点C 的右侧时，如下图：同理，点E 的坐标仍为（m-1，5-m ），因此EA= ED ．②当点E 在（1）所求的抛物线2134y x x =-++上时，把E （m-1，5-m ）代入，整理得：m 2-10m+13=0，解得：m=523+m=523-，∴CM =1或CM =1+．【点睛】本题是二次函数综合题，熟练掌握二次函数的图象和性质、旋转的性质、分类讨论的思想是解题的关键．4．（1）1b =；（2）120,4m m ；（3）1m =；（4）03m <<或4m >．【解析】【分析】（1）将A 点坐标代入函数解析式即可求得b 的值；（2）分别表示出P 、Q 、M 的坐标，根据Q 、M 的横坐标相同，它们重合时纵坐标也相同，列出方程求解即可；（3）分别表示出PQ 和MQ 的长度，根据矩形PQMN 是正方形时PQ MQ =，即可求得m 的值，再根据顶点在正方形内部，排除不符合条件的m 的值；（4）分1m ，13m <<，3m =，3m >四种情况讨论，结合图形分析即可．【详解】解：（1）将点()3,0A 代入21322y x bx =-++ 得21303322b =-⨯++，解得b=1,；（2）由（1）可得函数的解析式为21322y x x =-++， ∴213,22P m m m ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭, ∵PQ l ⊥于点Q ， ∴233,122m m Q ⎛⎫ ⎪⎝-+⎭+, ∵M 是直线l 上的一点，其纵坐标为32m -+， ∴3(3,)2m M -+，若点Q 与点M 重合，则 2133222m m m -++=-+，解得120,4m m ；（3）由（2）可得|3|PQ m ，223131)2222|(()||2|MQ m m m m m ，当矩形PQMN 是正方形时，PQ MQ =即212|2||3|m m m ，即22123m m m 或22123m m m ，解22123m m m 得1271,71m m ，解22123m m m 得3233,33m m ，又2131(1)2222y x x x =-++=--+， ∴抛物线的顶点为(1，2)，∵抛物线的顶点在该正方形内部，∴P 点在抛物线对称轴左侧，即1m <，且M 点的纵坐标大于抛物线顶点的纵坐标，即322m ，解得12m <-，故m 的值为71；（4）①如下图当1m 时，若抛物线在矩形PQMN 内的部分所对应的函数值y 随x 的增大而减小，则M 点的纵坐标应该小于P 点纵坐标，且P 点应该在x 轴上侧，即2313222mm m 且213022m m -++>，解2313222mm m 得04m <<，解213022m m -++>得13m -<<， ∴01m <≤，②如下图当13m <<时，若抛物线在矩形PQMN 内的部分所对应的函数值y 随x 的增大而减小，则M 点的纵坐标应该小于P 点纵坐标，即2313222m m m ，解得04m <<， ∴13m <<；③当3m =时，P 点和M 点都在直线x=3上不构成矩形，不符合题意；④如下图当3m >时，若抛物线在矩形PQMN 内的部分所对应的函数值y 随x 的增大而减小，则M 点的纵坐标应该大于P 点纵坐标，即2313222m m m ，解得0m <或4m >，故4m >，综上所述03m <<或4m >．【点睛】本题考查二次函数综合，正方形的性质定理，求二次函数解析式．能分别表示出M 、P 、Q 的坐标并结合图形分析是解决此题的关键，注意分类讨论．5．（1）2122y x x =-+，点B （2，2）；（2）m=2或209m =；（3）存在；n=27时，抛物线向左平移．【解析】【分析】（1）将点A 和点O 的坐标代入解析式，利用待定系数法即可求得二次函数的解析式，然后利用配方法可求得点B 的坐标；（2）由点A 、点B 、点C 的坐标以及旋转的性质可知△△PDC 为等腰直角三角形，从而可得到点O′坐标为：（m ，m ），点C′坐标为：（32m ，2m ），然后根据点在抛物线上，列出关于m 的方程，从而可解得m 的值；（3）如图，将AC′沿C′B 平移，使得C′与B 重合，点A 落在A′处，以过点B 的直线y=2为对称轴，作A′的对称点A″，连接OA″，由线段的性质可知当B′为OA″与直线y=2的交点时，四边形OB′C″A 的周长最短，先求得点B′的坐标，根据点B 移动的方向和距离从而可得出点抛物线移动的方向和距离．【详解】解：（1）把原点O （0，0），和点A （4，0）代入y=12-x 2+bx+c ．得040c b b c =⎧⎨-++=⎩， ∴02c b =⎧⎨=⎩． ∴22112(2)222y x x x =-+=--+． ∴点B 的坐标为（2，2）．（2）∵点B 坐标为（2，2）．∴∠BOA=45°．∴△PDC 为等腰直角三角形．如图，过C′作C′D ⊥O′P 于D ．∵O′P=OP=m ．∴C′D=12O′P=12m ． ∴点O′坐标为：（m ，m ），点C′坐标为：（32m ，2m ）．当点O′在y=12-x2+2x上．则−12m2+2m＝m．解得：12m=，20m=（舍去）．∴m=2．当点C′在y=12-x2+2x上，则12-×(32m)2+2×32m＝12m，解得：120 9m=，20m=（舍去）．∴m=20 9（3）存在n=27，抛物线向左平移．当m=209时，点C′的坐标为（103，109）．如图，将AC′沿C′B平移，使得C′与B重合，点A落在A′处．以过点B的直线y=2为对称轴，作A′的对称点A″，连接OA″．当B′为OA″与直线y=2的交点时，四边形OB′C″A的周长最短．∵BA′∥AC′，且BA′=AC′，点A（4，0），点C′（103，109），点B（2，2）．∴点A′（83，89）．∴点A″的坐标为（83，289）．设直线OA″的解析式为y=kx，将点A″代入得：828 39k=，解得：k=76．∴直线OA″的解析式为y=76 x．将y=2代入得：76x=2，解得：x=127， ∴点B′得坐标为（127，2）． ∴n=212277-=． ∴存在n=27，抛物线向左平移．【点睛】本题主要考查的是二次函数、旋转的性质、平移的性质、路径最短等知识点，由旋转的性质和平移的性质求得点点O′坐标为：（m ，m ），点C′坐标为：（32m ，2m ）以及点B′的坐标是解题的关键．6．（1）PM PN =，PM PN ⊥；（2）等腰直角三角形，见解析；（3）492 【解析】【分析】（1）由三角形中位线定理及平行的性质可得PN 与PM 等于DE 或CE 的一半，又△ABC 为等腰直角三角形，AD=AE ，所以得PN=PM ，且互相垂直；（2）由旋转可推出BAD CAE ∆∆≌，再利用PM 与PN 皆为中位线，得到PM=PN ，再利用角度间关系推导出垂直即可；（3）找到面积最大的位置作出图形，由（2）可知PM=PM ，且PM ⊥PN ，利用三角形面积公式求解即可．【详解】（1）PM PN =，PM PN ⊥；已知点M ，P ，N 分别为DE ，DC ，BC 的中点，根据三角形的中位线定理可得 12PM EC =，12PN BD =，//PM EC ，//PN BD 根据平行线性质可得DPM DCE ∠=∠，NPD ADC ∠=∠在Rt ABC ∆中，90A ∠=︒，AB AC =，AD AE =可得BD EC =，90DCE ADC ∠+∠=︒即得PM PN =，PM PN ⊥故答案为：PM PN =；PM PN ⊥．（2）等腰直角三角形，理由如下：由旋转可得BAD CAE ∠=∠，又AB AC =，AD AE =∴BAD CAE ∆∆≌∴BD CE =，ABD ACE ∠=∠，∵点M ，P 分别为DE ，DC 的中点∴PM 是DCE ∆的中位线 ∴12PM CE =，且//PM CE ，同理可证12PN BD =，且//PN BD ∴PM PN =，MPD ECD ∠=∠，PNC DBC ∠=∠，∴MPD ECD ACD ACE ACD ABD ∠=∠=∠+∠=∠+∠，DPN PNC PCN DBC PCN ∠=∠+∠=∠+∠，∴90MPN MPD DPN ACD ABD DBC PCN ABC ACB ∠=∠+∠=∠+∠+∠+∠=∠+∠=︒，即PMN ∆为等腰直角三角形．（3）把ADE ∆绕点A 旋转的如图的位置，此时1()72PN AD AB =+=，1()72PM AE AC =+= 且PN 、PM 的值最长，由（2）可知PM PN =，PM PN ⊥ 所以PMN ∆面积最大值为1497722⨯⨯=．【点睛】本题主要考查三角形中位线的判定及性质、全等三角形的判定及性质、等腰直角三角形的判定及性质、旋转的性质等相关知识，解题关键在于找到图形中各角度之间的数量关系．7．（151+或﹣1；（2）14；（3）0＜x 1＜1；（4）m ＝0或m ＞43或23≤m ＜1 【解析】【分析】（1）分m ＞0，m ＝0，m ＜0三种情形分别求解即可解决问题；（2）分三种情形，利用二次函数的性质分别求解即可；（3）由（1）可知，当图象G 与x 轴有两个交点时，m ＞0，求出当抛物线顶点在x 轴上时m 的值，利用图象法判断即可；（4）分四种情形：①m＜0，②m＝0，③m＞1，④0＜m≤1，分别求解即可解决问题．【详解】解：（1）如图1中，当m＞0时，∵y＝x2﹣2mx+m＝（x﹣m）2﹣m2+m，图象G是抛物线在直线y＝2m的左侧部分（包括点D），此时最底点P（m，﹣m2+m），由题意﹣m2+m＝﹣1，解得m＝512+或512-+（舍弃），当m＝0时，显然不符合题意，当m＜0时，如图2中，图象G是抛物线在直线y＝2m的左侧部分（包括点D），此时最底点P是纵坐标为m，∴m＝﹣1，综上所述，满足条件的m的值为512或﹣1；（2）由（1）可知，当m＞0时，y0＝﹣m2+m＝﹣（m﹣12）2+14，∵﹣1＜0，∴m＝12时，y0的最大值为14，当m＝0时，y0＝0，当m＜0时，y0＜0，综上所述，y0的最大值为14；（3）由（1）可知，当图象G与x轴有两个交点时，m＞0，当抛物线顶点在x轴上时，4m2﹣4m＝0，∴m＝1或0（舍弃），∴观察观察图象可知，当图象G与x轴有两个交点时，设左边交点的横坐标为x1，则x1的取值范围是0＜x1＜1，故答案为0＜x1＜1；（4）当m＜0时，观察图象可知，不存在点A满足条件，当m＝0时，图象G在矩形ABCD内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小，满足条件，如图3中，当m＞1时，如图4中，设抛物线与x轴交于E，F，交y轴于N，观察图象可知当点A在x轴下方或直线x＝﹣m和y轴之间时（可以在直线x＝﹣m上）时，满足条件．则有（2m﹣2）2﹣2m（2m﹣2）+m＜0，解得m＞43，或﹣m≤2m﹣2＜0，解得23≤m ＜1（不合题意舍弃），当0＜m≤1时，如图5中，当点A 在直线x ＝﹣m 和y 轴之间时（可以在直线x ＝﹣m 上）时，满足条件．即或﹣m≤2m ﹣2＜0，解得23≤m ＜1，综上所述，满足条件m 的值为m ＝0或m ＞43或23≤m ＜1．【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，矩形的性质，最值问题，不等式等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．8．（1）4；（2）1；（3）①1OPQS ∆=；②322169(02)5552(2)c c c c h c c c ⎧++<≤⎪=⎨⎪+>⎩．【解析】【分析】（1）由题意，先求出2F 的解析式，再求出P 、Q 两点的坐标，即可求出PQ 的长度；（2）由题意，先求出2F 的解析式，结合PQ 的长度，即可求出t 的值；（3）①根据题意，先求出2F 的解析式，然后求出点P 和点Q 的纵坐标，得到PQ 的长度，利用三角形的面积公式即可求出面积；②根据题意，先求出函数1F 和2F 的解析式，然后求出两个函数的对称轴，利用二次函数的对称性和增减性进行分类讨论：当02c <≤时，以及当2>c 时，分别求出h 与c 的关系式即可．【详解】解：（1）∵函数1F 为1y x =+，函数1F 和2F 的图象关于y 轴对称， ∴函数2F 为1y x =-+，当2x t ==时，有121=3y =+；2211y =-+=-；∴点P 为（2，3），点Q 为（2，1-），∴PQ 的长为3(1)4PQ =--=；故答案为：4；（2）∵函数1F 为3y x =，函数1F 和2F 的图象关于y 轴对称， ∴函数2F 为3y x =-； ∵(0)x t t =>，∴点P 在第一象限，点Q 在第四象限，设点P 为（t ，3t ），点Q 为（t ，3t -）， ∵6PQ =， ∴33()6t t--=，解得：1t =；故答案为：1；（3）①∵函数1F 为2(0)y ax bx c a =++≠，函数1F 和2F 的图象关于y 轴对称，∴函数2F 为：2()()y a x b x c =•-+•-+，即2y ax bx c =-+；∵t =，∴把t =1F，则2a y a b c c b =•+=+；把t b=代入函数2F，则2(a y a b c c b b b =••+=-；∴()a a PQ c c b b=+-=∴112OPQ S ∆==； ②由①可知，函数1F 为2y ax bx c =++，函数2F 为2y ax bx c =-+，∵函数1F 和2F 的图象与x 轴正半轴分别交于点(5,0),(1,0)A B ，∴25500a b c a b c ++=⎧⎨-+=⎩，解得：1545a c b c ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴函数1F 可化为：2455c c y x x c =-++，函数2F 可化为：2455c c y x x c -=-+； ∴函数1F 的对称轴为：4522()5c x c =-=⨯-，函数2F 的对称轴为：4522()5cx c -=-=-⨯-， ∵0c >，则05a c =-<，则函数1F ，函数2F 均是开口向下；∴函数1F 在02x <<上，y 随x 增大而增大，在2x >上是y 随x 增大而减小；函数2F 在2x >-上，y 随x 增大而减小；∵1c x c ≤≤+，0c >，当02c <≤时，则函数1F 在2x =时取到最大值；函数2F 在1x c =+时取到最小值，则 ∴244(42)[(1)(1)]5555c c c c h c c c c =-⨯+⨯+--•+-•++，即32169555h c c c =++（02c <≤）；当2>c 时，则函数1F 在x c =时取到最大值；函数2F 在1x c =+时取到最小值，则2244()[(1)(1)]5555c c c c h c c c c c c =-•+•+--•+-•++，即22h c c =+（2>c ）；综合上述，h 关于c 的函数解析式为：322169(02)5552(2)c c c c h c c c ⎧++<≤⎪=⎨⎪+>⎩．【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，考查了二次函数的对称性、增减性，也考查了一次函数的图像和性质，待定系数法求函数的解析式，以及两点之间的距离，求三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握二次函数和一次函数的性质进行解题，注意运用数形结合、分类讨论的思想进行分析，从而进行解题．9．（1）1；（2）①22-；②max 432y =，min 12y =-；（3）31n -<≤-，514n <≤【解析】【分析】（1）先求出5y ax =-的相关函数，然后代入求解，即可得到答案；（2）先求出二次函数的相关函数，①分为m ＜0和m ≥0两种情况将点B 的坐标代入对应的关系式求解即可；②当-3≤x ＜0时，y=x 2-4x+12，然后可此时的最大值和最小值，当0≤x≤3时，函数y=-x 2+4x-12，求得此时的最大值和最小值，从而可得到当-3≤x≤3时的最大值和最小值；（3）首先确定出二次函数y=-x 2+4x+n 的相关函数与线段MN 恰好有1个交点、2个交点、3个交点时n 的值，然后结合函数图象可确定出n 的取值范围．【详解】解：（1）根据题意，一次函数5y ax =-的相关函数为5,(0)5,(0)ax x y ax x -≥⎧=⎨-+<⎩， ∴把点()5,10A -代入5y ax =-+，则(5)510a -⨯-+=，∴1a =；（2）根据题意，二次函数2142y x x =-+-的相关函数为2214,(0)214,(0)2x x x y x x x ⎧-+-≥⎪⎪=⎨⎪-+<⎪⎩， ①当m ＜0时，将B （m ，32）代入y=x 2-4x+12得m 2-4m+1322=，解得：m=2-当m≥0时，将B （m ，32）代入y=-x 2+4x-12得：-m 2+4m-12=32，解得：m=2综上所述：m=2m=2m=2②当-3≤x ＜0时，y=x 2-4x+12，抛物线的对称轴为x=2，此时y 随x 的增大而减小， ∴当3x =-时，有最大值，即2143(3)4(3)22y =--⨯-+=， ∴此时y 的最大值为432．当0≤x≤3时，函数y=-x 2+4x 12-，抛物线的对称轴为x=2，当x=0有最小值，最小值为12 -，当x=2时，有最大值，最大值y=72．综上所述，当-3≤x≤3时，函数y=-x2+4x12-的相关函数的最大值为432，最小值为12-；（3）如图1所示：线段MN与二次函数y=-x2+4x+n的相关函数的图象恰有1个公共点．∴当x=2时，y=1，即-4+8+n=1，解得n=-3．如图2所示：线段MN与二次函数y=-x2+4x+n的相关函数的图象恰有3个公共点．∵抛物线y=x2-4x-n与y轴交点纵坐标为1，∴-n=1，解得：n=-1．∴当-3＜n≤-1时，线段MN与二次函数y=-x2+4x+n的相关函数的图象恰有2个公共点．如图3所示：线段MN与二次函数y=-x2+4x+n的相关函数的图象恰有3个公共点．∵抛物线y=-x2+4x+n经过点（0，1），∴n=1．如图4所示：线段MN与二次函数y=-x2+4x+n的相关函数的图象恰有2个公共点．∵抛物线y=x 2-4x-n 经过点M （12-，1）， ∴14+2-n=1，解得：n=54． ∴1＜n≤54时，线段MN 与二次函数y=-x 2+4x+n 的相关函数的图象恰有2个公共点．综上所述，n 的取值范围是-3＜n≤-1或1＜n≤54．【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了二次函数的图象和性质、函数图象上点的坐标与函数解析式的关系，求得二次函数y=-x 2+4x+n 的相关函数与线段MN 恰好有1个交点、2个交点、3个交点时n 的值是解题的关键．10．（1）213222y x x =--+（2）①12S S 的最大值是45，②﹣2或﹣2911. 【解析】【分析】【详解】（1）解：根据题意得A （﹣4，0），C （0，2），∵抛物线y=﹣12x 2+bx+c 经过A 、C 两点， ∴ 1016422b c c ⎧=-⨯-+⎪⎨⎪=⎩， ∴ 322b c ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴y=﹣12x 2﹣32x+2；（2）解：①令y=0，即213x x 2022--+=， ∴x 1=﹣4，x 2=1，。

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2010年10月青岛三十九中初三月考数学试题
时间 120分钟满分120分
一、选择题（本题满分24分，共有8道小题，每小题3分）请将1－8各小题所选答案的标号填写在第8小题后面给出表格的相应位置上． 1、下列命题的逆命题是假命题的是（） A. 等腰三角形的两底角相等
B. 线段中垂线上的点到线段两个端点的距离相等
C. 等边三角形的每个角都是60°
D.等边三角形是等腰三角形
2、角平分线的尺规作图，其根据是构造两个全等三角形，由作图可知：判断所构造的两个三角形全等的依据是（）
A.SSS
B.ASA
C.SAS
D.AAS
3、已知在△ABC 中，a,b,c 分别是∠A ，∠B，∠C 的对边，则满足下列条件的三角形不是直角三角形的是（）
4、下列方程中，是一元二次方程的是（） A.13722+=-y x B.02652=--y x
C.x x x +=-2
5372
D.05)3(2=++-+c x b ax
5、如图，折叠直角三角形纸片的直角，使点C 落在 AB 上的点E 处。

已知BC=12， ∠B=30º，则DE 的
长是（） A 6 B 4 C 3 D 2 6、下面是李刚同学在一次测验中解答的填空题，其中答对的是（）． A.若x 2=4，则x ＝2
B.方程x (2x －1)＝2x －1的解为x ＝1
C.若两个连续奇数的积为15，这两个数为 3和5或-3和-5
D.若分式12
32－＋－x x x 的值为零，则x ＝1，2
7、某经济开发区今年一月份工业产值达50亿元，第一季度总产值175亿元，问二、三月份平均每月增长率是多少？设平均每月增长率为百分之x ，则可列方程（）
A.50（1+x ）2=175
B.50+50(1+x )2=175
C.50(1+x )+50(1+x )2=175
D.50+50(1+x )+50(1+x )2=175
B E A D C
(第5题图)
8、有一边长为2的正方形纸片ABCD ，先将正方形ABCD 对折，设折痕为EF （如图（3））；再沿过点D 的折痕将角A 反折，使得点A 落在EF 的H 上（如图（4）），折痕交AE 于点G ，则EG 的长度为（） A
．6 B
．3
C
．8- D
．4-
题所选答案的标号填写在第14小题后面给出表格的相应位置上． 9、方程x x =2的根是____________。

10、、已知关于x 的一元二次方程0162)4(22=-++-m x x m 的一个根为0，那么m ＝_______ 11、等腰三角形的底角等于15o ,腰长为20，则这个三角形的腰上的高是。

12、在直线l 上依次摆放着七个正方形(如图)。

已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方
形的面积依次是S 1、S 2、S 3、S 4，则S 1＋S 2＋S 3＋S 4＝_______。

13、一个两位数，两个数字的和是9，交换这两个数字，所得新数与原数的乘积是2430，则原来的两位数是
14、如图，将正方形折叠一次后再折叠一次，第一次折痕为AC ，
第二次折痕为AE ，且点D 落在点F 处，设正方形的边长为1cm ，则DE 长 .
l
321S 4S 3S 2S 1
E
D
三、解答题： 15．作图题：（本题满分6分，用直尺和圆规作图，保留作图痕迹）
如图，AB AC ，表示两条相交的公路，现要在BAC ∠的内部建一个物流中心．设计时要求该物流中心到两条公路的距离相等，且到公路交叉处A 点的距离为1000米．
（1）若要以1:50000的比例尺画设计图，求物流中心到公路交叉处A 点的图上距离；（2）在图中画出物流中心的位置P ．
解：（1）
16.解方程：（本题满分20分，每小题5分）
（1）2x 2+4x ―3=0（配方法解）（2）02852=+-x x （公式法解）
（3）3(x -5)2=2(5-x ) （4）14)3)(23(+=++x x x
17.证明题：（本题满分6分）
已知：BE 平分ABC ∠，DE ∥BC ，F 为BE 中点求证：BE DF ⊥
A C
B
（2）
1cm
18.（本题满分6分）如图，有长为24米的篱笆，
一面利用墙（墙的最大可用长度a为10米），围成
中间隔有一道篱笆的长方形花圃。

如果要围成面积
为45米2的花圃，AB的长是多少米？
19.（本题满分8分）某市政府大力扶持大学生创业．李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯．一开始单价定为25元时，每月可销售250件，在销售过程中发现，销售单价每上涨1元，每月的销售量减少10件。

根据物价部门规定，这种护眼台灯的销售单价不得高于32元。

如果李明想要每月获得2000元的利润，那么销售单价应定为多少元？他每月的成本需要多少元？（成本＝进价×销售量）
20.（本题满分10分）在△ABC中，AB=AC，CG⊥BA交BA的延长线于点G．一等腰直角三角尺按如图15-1所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为F，一条直角边与AC边在一条直线上，另一条直角边恰好经过点B．
（1）在图1中请你通过观察、测量BF与CG的
长度，猜想并写出BF与CG满足的数量关系，
然后证明你的猜想；
（2）当三角尺沿AC方向平移到图2所示的位置时，
一条直角边仍与AC边在同一直线上，另一条
直角边交BC边于点D，过点D作DE⊥BA于
点E．此时请你通过观察、测量DE、DF与CG 的长度，猜想并写出DE＋DF与CG之间满足
的数量关系，然后证明你的猜想；
（3）当三角尺在（2）的基础上沿AC方向继续平移到图3所示的位置（点F在线段AC上，
且点F与点C不重合）时，（2）中的猜想是否
仍然成立？（不用说明理由）
图3 图1
21.（本题满分10分）我们在解决数学问题时，经常采用“转化”（或“化归”）的思想方法，把待解决的问题，通过某种转化过程，归结到一类已解决或比较容易解决的问题．譬如，在学习了一元一次方程的解法以后，进一步研究二元一次方程组的解法时，我们通常采用“消元”的方法，把二元一次方程组转化为一元一次方程；再譬如，在学习了三角形内角和定理以后，进一步研究多边形的内角和问题时，我们通常借助添加辅助线，把多边形转化为三角形，从而解决问题．问题提出：如何把一个正方形分割成n （n ≥9）个小正方形？为解决上面问题，我们先来研究两种简单的“基本分割法”．
基本分割法1：如图①，把一个正方形分割成4个小正方形，即在原来1个正方形的基础上增加了3个正方形．
基本分割法2：如图②，把一个正方形分割成6个小正方形，即在原来1个正方形的基础上增加了5个正方形．
问题解决：有了上述两种“基本分割法”后，我们就可以把一个正方形分割成n （n ≥9）个小正方形．
（1）把一个正方形分割成9个小正方形．
一种方法：如图③，把图①中的任意1个小正方形按“基本分割法2”进行分割，就可增加5个小正方形，从而分割成459+=（个）小正方形．
另一种方法：如图④，把图②中的任意1个小正方形按“基本分割法1”进行分割，就可增加3个小正方形，从而分割成639+=（个）小正方形．（2）把一个正方形分割成10个小正方形．
方法：如图⑤，把图①中的任意2个小正方形按“基本分割法1”进行分割，就可增加32⨯个小正方形，从而分割成43210+⨯=（个）小正方形．
（3）请你参照上述分割方法，把图⑥给出的正方形分割成11个小正方形（用钢笔或圆珠笔画出草图即可，不用说明分割方法）（4）把一个正方形分割成n （n ≥9）个小正方形．方法：通过“基本分割法1”、“基本分割法2”或其组合把一个正方形分割成9个、10个和11个小正方形，再在此基础上每使用1次“基本分割法1”，就可增加3个小正方形，从而把一个正方形分割成12个、13个、14个小正方形，依次类推，即可把一个正方形分割成n （n ≥9）个小正方形．从上面的分法可以看出，解决问题的关键就是找到两种基本分割法，然后通过这两种基本分割法或其组合把正方形分割成n （n ≥9）个小正方形．
类比应用：仿照上面的方法，我们可以把一个正三角形分割成n （n ≥9
）个
图① 图② 图③ 图④ 图⑤ 图⑥
小正三角形．
（1）基本分割法1：把一个正三角形分割成4个小正三角形（请你在图a 中画出草图）．
（2）基本分割法2：把一个正三角形分割成6个小正三角形（请你在图b 中画出草图）．
（3）分别把图c 、图d 和图e 中的正三角形分割成9个、10个和11个小正三角形（用钢笔或圆珠笔画出草图即可，不用说明分割方法）
（4）请你写出把一个正三角形分割成n （n ≥9）个小正三角形的分割方法（只写出分割方法，不用画图）．
22.（本题满分12分）已知：如图①，在Rt ACB △中，90C ∠= ，4cm AC =，
3cm BC =，点P 由B 出发沿BA 方向向点A 匀速运动，速度为1cm/s ；点Q 由A 出发沿AC 方向向点C 匀速运动，速度为2cm/s ；连接PQ ．若设运动的时
间为(s)t （02t <<），解答下列问题：（1）当t 为何值时，PQ BC ∥？
（2）当t 为何值时，AQP △的面积为2.252cm ；
（3）是否存在某一时刻t ，使线段PQ 恰好把Rt ACB △的周长和面积同时平分？若存在，求出此时t 的值；若不存在，说明理由；
图a
图b
图c
图d
图e
（4）如图②，连接PC，并把PQC
△沿QC翻折，得到四边形PQP C'，那么是否存在某一时刻t，使四边形PQP C'为菱形？若存在，求出此时菱形的边长；
图①。