2.1-概率及概率空间

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σ－代数的概念
为了保证考察问题的完备性，避免运算、推理过程出现矛 盾，就需要所考察事件的集合的构成必须遵循一定规则， 于是引出了σ－代数的概念。简单来讲，σ－代数就是根 据考察和评价的需要从Ω的子集中挑选出的集合（即事 件），并由这些集合按照一定规则构成的集合簇，具体 定义为： 定义1 设Ω为样本空间，F是由Ω的一些子集（或事件） 组成的集合簇，若F满足下列条件： (i) Ω∈F，即F包含了空间Ω本身； (ii) 若A∈F，则A的逆事件∈F ，即如果事件A（A为Ω 的一个子集）属于F， 则A的补集也属于F； (iii)若Ai∈F，i=1, 2, …, +，则 Ai∈F，即如果Ω的 可列子集属于F，则这些可列子集的并集也属于F。 则称F 为一个σ－代数。
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在初等概率论中，我们已经学过，当事件B发生时 事件A的概率为 P(A/B)= P(A· / P(B), P(B)>0 B) 简称事件B关于事件A的条件概率。其中，A/B表示 条件事件。 然而，上述公式并不全面，因为当事件B已知后，B 的逆 B 也成为已知信息，人们自然也会关心在已知 情况下事件A的概率，即P(A /B )。即使求出P(A / B )， 也仍存在美中不足的地方，因为信息的最完备形式 是σ－代数，所以只有在考察了由B与生成的σ－代 数σ(B B )下事件A的概率后，才可能对B发生以 后事件A发生的可能性有更深刻、更全面的认识和 了解。为此，需定义和计算P(A/σ(B B ))。
Ａ1 A3
A2
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推论3 设A1，A2，…，An 是 n 个随机事件， 则
P( Ai ) P( Ai)
i 1 i 1
n
n
1i j n

n
p( Ai Aj )
1i j k n
P( A A A )
i j k
n
(1) P( A1 A2 An ).
0 P() 1, 故 P() 0.
性质2 若A1，A2，…，An为两两互不相容的事件，则
P ( Ai ) P ( Ai ).
i 1 i 1
n
n
由可列可加性有
P( Ai ) P( A1 An )
i 1
n
p( A1 ) p( An ) p() p( A1 ) p( An ).
p ( p q r) r q
p
． A B= A B ，所以 P( A B ) 1 p( A B) 1 r
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古典概型
概率统计定义的优点：
1.适用的范围广；
2.提供了估算概率的方法；
3.提供了一种检验理论或假设正确与事件的概率，就必须进行大量实验，这 在实际中难以办到； 2.即使有条件大量实验也无法确切的指出何数为濒率 的稳定值。
分配律:
A B C A B A C A B C A B A C
反演律（De Morgan定律）:
A A , A A
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7
2.1.1 频 率
1. 随机事件的发生可能性有大小之分 投一枚均匀的骰子，考察下列事件发生的可能性大 小．令Ａ＝出现点数２，Ｂ＝出现偶数点，则B比A更 容易出现。
Ａ Ω
B
Ω
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性质4 对于任一事件A，有 P( A) 1 P( A).
因 则有 于是有
A A ,
AA ,
1 P() P( A) P( A),
P( A) 1 P( A).
A
A
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性质5 设任意两个事件A、B，则 P(AB)=P(A)+P(B)－P(AB) 证明 由右图可知 A B=A (B - AB)且 Ａ
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样本空间的表示
样本空间是一个必然事件，其逆事件是一个空集φ。 样本空间可以是一个离散的集合；如抛一枚硬币，分别 用{ω1}和{ω2}表示正面和反面的事件，则样本空间 Ω={ω1, ω2}是由有限个离散点组成的集合。 样本空间也可以是一个连续的区间或空间。考察2004年 我国大学生的就业比率，其基本事件为[0, 1]区间中每 一个有理数组成的集合，于是样本空间可用区间[0, 1] 中所有有理数组成的集合表示，是含有无限个样本点的 集合； 考察某三支股票未来价格（分别设为p1，p2，p3）的 变化情况，其基本事件为{(p1，p2，p3)}，其中 p1≥0，p2≥0，p3≥0，于是样本空间Ω={( p1，p2， p3)|0 p1 +，0 p2 +，0 p3 +}是一个含 有无限点的连续三维空间。
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3
事件间的关系与运算
10 包含关系 20 事件的并 30 事件的交
A B
A B
A B
A
B
S
50 互不相容事件 60 逆事件
A B A B = A B =
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4
20 事件的并
A B
30 事件的交
A B
A
B S
A
B S
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5
40 互不相容事件 50 逆事件
20
条件概率
在实际工作中，我们会经常考察有条件的 随机事件，即在一些信息已知的情况下，某 一随机现象的变化。 例如，央行加息后股票价格或债券价格的 涨落情况、国家的税收政策发生变化后投资 回报将如何变动等等，都是典型的条件随机 现象，这就是我们在此拟要考察的条件事件 和条件概率问题。在后面有关鞅的定义和讨 论中，人们会看到条件概率和条件期望更多 的作用。
n1
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例 1 设事件A、B、A∪B的概率分别为p、q、r，求P（AB）, P（A B ）， P（ A B）， P（ A B ） 解 （1）因为P（A∪B）=P（A）+P（B）-P（AB），所以 P（AB）= p+q-r． （2）因为A B =A-AB且ABA，故 P（A B ) P( A) P( AB) 同理可求出P（ A B) r （3）因
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fn(H) 0.5070 0.5016 0.5005
K.皮尔逊 K.皮尔逊 。 n无穷大
事件发生 的频繁程度 频 率 稳 定值
事件发生 的可能性的大小
概率
频率的性质
概率的定义
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4.频率的性质
(1) 0≤fn (A)≤1; (2) fn (Ω) =1；
(3) 若A1，A2，…，An 是两两互不相容的事件，则
f n ( Ak ) f n ( Ak ).
k 1 k 1
n
n
1.1.2 概率的定义
简单说来，随机事件A发生可能性大小的度量（数 值），称为A发生的概率，记作P(A)．
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1. 概率的一般（公理化）定义
定义 设E是随机试验，Ω是它的样本空间，对于E的 每一事件A对应于一个实数P(A)，称P(A)为事件A的概 率，若P(A)满足下列三个条件： (1) 0≤P(A)≤1; (2) P(Ω)=1； (3) 对于两两互不相容的事件A1，A2，…，有
P( Ak ) P( Ak )
k 1 k 1


以上三个条件分别称为概率的非负性、规范性及可列 可加性。 利用概率的定义可以推出概率的一些重要性质。
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2. 概率的性质 性质1 P() 0.
因为 , 由可列可加性
P() P() P() P() ,
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条件期望
设(Ω, F,P)为概率空间，AF , BF，且P(B)>0。 利用公式P(A/B)= P(A· / P(B)可知，PB=P(· B) /B)是 由事件B和概率测度P诱导出来的、定义在可测空 间(Ω, F)上的概率测度，于是得到一个新的概率空 间(Ω, F,PB)。对(Ω, F,PB)上的随机变量关于概率 测度PB求积分。若该积分存在，则称此积分为已知 事件B发生条件下的条件期望，记为E(|B)，即 E(/B)= (w)dPB = P(dw/B)
A B = A B =
A B
A
A
B
S S
BA
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随机事件的运算规律 交换律: 结合律:
A B B A, A B B A
A A A, A A A A B C A B C
A B C A B C
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古典概型
概率的一致性问题 当涉及随机变量时，我们必须首先定义概率 空间；也就是说，我们需要设定一个框架来对 偶然性和相应概率进行定义而不用担心一致性 问题。

概率的定义具有一致性，具有两个条件：
（1） P( A) 0(A )
（2）
A
dP( A) 1
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Ｂ
A(B - AB)=Φ，ABB
由概率可加性及性质３得 P(A B)=P(A)+P(B - AB)=P(A)+P(B) - P(AB） 推论1. P(A∪B )≤ P(A)+P(B). 推论2. 设随机事件A1, A2, A3 ,
则
P( A1 A2 A3 ) P( A1 ) P( A2 ) P( A3 ) P( A1 A2 ) P( A1 A3 ) P( A2 A3 ) P( A1 A2 A3 )
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性质3 设A，B是两事件，若AB, 则 P (B－A) = P (B) － P (A).
Ｂ 证明 由于 B =A∪(B－A) 且 A . (B－A) = Φ, P(B) = P(A)+ P(B－A), 于是 P(B－A) = P(B)－P(A).
推论1 Ｐ(B-A)=P(B)-P(AB). 推论2 若AB, 则P(B)≥P(A). A