概率及概率空间
高等教育：概率论基础ch1.5
三、概率的公理化定义
在公理化结构中，概率是针对事件定义的，即
对应于事件域F中的每一个元素A有一个实数P(A)与
之对应。
集合函数：从集合到实数的映射。 概率是定义在事件域F 上的集合函数。
在公理化结构中，只规定概率应满足的性质， 而不具体给出它的计算公式或计算方法。
2019/12/17
数科院
Ch1.5-11
=
lim P(
n
i =1
Ai )
n
记Sn = Ai ,则Sn F , n = 1, 2, ,且Sn Sn＋1，即Sn是F i=1
中一个单调不减的集序列，这时上式可一写成
lim
n
P(Sn
)
=
P(lim n
Sn
)
2019/12/17
数科院
Ch1.5-27
下连续的定义
对于F 上的集合函数P，若它对F 中任何一个单
调不减的集序集{Sn}都有
lim
n
P(Sn
)
=
P(lim n
Sn
)成
立，则称集函数P是下连续的.
因此我们有：
2019/12/17
有限可加性 下连续性
数科院
可列可加性
？
Ch1.5-28
定理 若P 是F上满足P()=1的非负集合函数，
则它具有可列可加性的充要条件是 (i) 它是有限可加的 (ii)它是下连续的
•样本点：随机试验的可能结果，用表示； 可以看成是抽象的点
•样本空间：试验的所有可能结果组成的集合，即
样本点的全体，记作 •事件： 样本空间的一个子集，常用大写字母A、
B、C 等表示；事件A发生当且仅当A所包含
概率空间和概率分布的关系
概率空间和概率分布的关系Probability space and probability distribution are closely related concepts in the field of probability theory. A probability space consists of three components: a sample space, a set of events, and a probability measure. The sample space is the set of all possible outcomes of an experiment, the set of events is a collection of subsets of the sample space, and the probability measure assigns probabilities to each event in the set of events. The probability distribution, on the other hand, describes the likelihood of each possible outcome of a random variable. It provides a mathematical model for the randomness inherent in a system or process.概率空间和概率分布在概率论领域密切相关。
概率空间包括三个组成部分：样本空间、事件集和概率度量。
样本空间是实验的所有可能结果的集合，事件集是样本空间的子集的集合，概率度量给事件集中的每个事件分配概率。
另一方面，概率分布描述了随机变量每个可能结果的可能性。
它为系统或过程中固有的随机性提供了数学模型。
In a probability space, the sample space represents all the possible outcomes of an experiment, which is the foundation of the entireprobability theory. It provides a framework for analyzing uncertainty and making predictions based on statistical data. The set of events in a probability space is crucial for determining the probability of various outcomes and understanding the likelihood of different scenarios. The probability measure assigns a numerical value to each event in the set of events, representing the likelihood of that event occurring. It is a fundamental concept that enables us to quantify uncertainty and make informed decisions.在概率空间中，样本空间代表实验的所有可能结果，这是整个概率论的基础。
概率和统计的基本概念知识点总结
概率和统计的基本概念知识点总结概率和统计是数学中的两个重要分支，被广泛应用于各个领域，包括自然科学、社会科学和工程学等。
本文将对概率和统计的基本概念进行总结和阐述，并提供一些实际应用案例。
1. 概率的基本概念概率是描述事件发生可能性的数值，通常用一个介于0和1之间的数表示。
概率的计算可以根据事件的性质和概率空间来进行。
1.1 事件与样本空间事件是指在一次试验中可能发生的一种或几种结果。
样本空间是指试验的所有可能结果的集合。
事件是样本空间的子集。
1.2 随机试验与概率空间随机试验是指具有以下特点的实验：可以在相同的条件下重复进行，并且每次试验的结果无法提前确定。
概率空间包括样本空间和概率函数。
1.3 概率函数概率函数是一个将样本空间的事件映射到实数区间[0,1]的函数。
它满足以下条件：对于任意样本空间的事件A，概率函数P(A)具有非负性、规范性和可列可加性。
2. 统计学的基本概念统计学是研究收集、整理、分析和解释数据的方法和技术的学科。
统计学分为描述统计和推断统计两个方面。
2.1 描述统计描述统计是用图表、统计量等方法对数据进行总结和描述的过程。
常用的描述统计方法包括平均数、中位数、众数、方差、标准差等。
2.2 推断统计推断统计是通过对样本数据进行分析，得出关于总体的结论或推断的过程。
推断统计方法包括假设检验、置信区间估计等。
3. 概率与统计的应用案例概率和统计的理论在实际生活和科学研究中有着广泛的应用。
以下是几个典型的案例：3.1 风险评估概率与统计能够用于评估风险和制定保险政策。
根据历史统计数据和概率模型，可以估计某种风险发生的可能性，并制定相应的保险费率。
3.2 质量控制概率与统计可以用于质量控制中的过程监控和产品检验。
通过收集数据并进行统计分析，可以判断生产过程是否处于控制状态，以及产品是否符合质量标准。
3.3 经济预测概率与统计可以应用于经济领域的预测和决策。
通过对历史数据进行分析，可以建立经济模型并做出相应的预测，帮助政府和企业做出合理决策。
概率论的基本概念与公式
概率论的基本概念与公式概率论是数学中的一个重要分支，研究事件发生的可能性和规律。
本文将介绍概率论的基本概念与公式，包括样本空间、事件、概率、概率分布等内容。
一、样本空间在概率论中，样本空间是指一个随机试验中所有可能结果的集合。
用S表示样本空间。
例如，掷一枚硬币的样本空间为S={正面，反面}。
二、事件事件是样本空间的子集，表示某一特定结果或结果的集合。
常用大写字母A、B、C等表示事件。
发生事件A的条件是实验结果属于事件A。
三、概率概率是对随机事件发生可能性的数值度量，用P(A)表示事件A的概率。
概率的取值范围介于0和1之间，即0≤P(A)≤1。
当P(A)=0时，表示事件A不可能发生；当P(A)=1时，表示事件A必然发生。
四、概率公式1.加法公式加法公式用于计算两个事件A和B的并集事件。
若A和B是互不相容的事件，则有：P(A∪B) = P(A) + P(B)2.乘法公式乘法公式用于计算两个事件A和B同时发生的概率。
若A和B是相互独立的事件，则有：P(A∩B) = P(A) * P(B)3.条件概率条件概率是指在已知事件B发生的条件下，事件A发生的概率。
条件概率用P(A|B)表示，读作“在B发生的条件下A发生的概率”。
计算条件概率的公式为：P(A|B) = P(A∩B) / P(B)4.全概率公式全概率公式用于计算一个事件A的概率，通过已知与A有关的多个条件事件的概率来确定。
全概率公式的公式为：P(A) = P(A|Bi) * P(Bi)，其中i表示条件事件的个数，Bi表示条件事件。
五、概率分布概率分布是指随机变量的所有可能取值及其对应的概率。
常见的概率分布包括离散概率分布和连续概率分布。
离散概率分布适用于随机变量的取值为一系列离散值的情况，如二项分布、泊松分布等；连续概率分布适用于随机变量的取值为连续范围内的情况，如正态分布、指数分布等。
六、期望与方差期望是随机变量的预期值，表示随机变量取值的平均水平。
随机过程知识点-概率空间
第一章：预备知识§1.1 概率空间随机试验，样本空间记为Ω。
定义1.1 设Ω是一个集合，F 是Ω的某些子集组成的集合族。
如果 （1）∈ΩF ；（2）∈A 若F ，∈Ω=A A \则F ； （3）若∈n A F ， ，，21=n ，则∞=∈1n nAF ；则称F 为-σ代数(Borel 域)。
(Ω,F )称为可测空间，F 中的元素称为事件。
由定义易知： .216\,,)5)4(111F A A A i F A F B A F B A F i i n i i n i i i ∈=∈∈∈∈∅∞=== ，，则，，，）若（；则若（；定义1.2 设(Ω,F )是可测空间，P(·)是定义在F 上的实值函数。
如果()()()()∑∞=∞==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∅=⋂≠=Ω≤≤∈1121,,,31210,)1(i i i i j i A P A P A A j i A A P A P F A 有时，当）对两两互不相容事件（；）（；任意则称P 是()F ,Ω上的概率，（P F ，，Ω）称为概率空间，P(A)为事件A 的概率。
定义1.3 设（P F ，，Ω）是概率空间，F G ⊂，如果对任意G A A A n ∈,,,21 ，,2,1=n 有： (),11∏===⎪⎪⎭⎫⎝⎛ni i n i i A P A P则称G 为独立事件族。
§1.2 随机变量及其分布随机变量X ，分布函数)(x F ，n 维随机变量或n 维随机向量，联合分布函数，{}T t X t ∈,是独立的。
§1.3随机变量的数字特征定义1.7 设随机变量X 的分布函数为)(x F ，若⎰∞∞-∞<)(||x dF x ，则称)(X E ＝⎰∞∞-)(x xdF为X 的数学期望或均值。
上式右边的积分称为Lebesgue-Stieltjes 积分。
方差，()()[]EY Y EX X E B XY --=为X 、Y 的协方差，而 DYDX B XYXY =ρ为X 、Y 的相关系数。
条件概率 测度论
条件概率测度论
条件概率和测度论是概率论的两个重要概念。
条件概率是指在某个条件或限制下，某一事件发生的概率。
测度论则是概率论的基础，它定义了概率空间和事件集合，并给出了概率测度的性质和运算规则。
在测度论中，概率空间是一个三元组（Ω，F，P），其中Ω是一个样本空间，F是Ω上的一个σ代数，P是一个定义在F上的概率测度。
事件集合是由F中的元素构成的，每个元素都对应一个事件。
概率测度P给出了每个事件发生的概率。
条件概率是在某个已知条件下，某个事件发生的概率。
在测度论中，条件概率可以通过转移测度来定义。
转移测度是将一个概率测度从原来的样本空间Ω映射到另一个样本空间的一个函数。
在条件概率的定义中，转移测度的作用是将原来的概率测度P映射到一个新的概率测度P'上，使得P'满足条件概率的定义。
通过测度论和条件概率的定义，我们可以进一步探讨概率论中的其他概念，例如随机变量、分布函数、期望、方差等。
这些概念在概率论中有着广泛的应用，可以用于解决各种不确定性和风险问题。
时间概率空间概率
时间概率空间概率时间概率与空间概率是概率论中的两个基本概念，分别涉及到事件在时间和空间上的概率分布。
时间概率主要是研究某个事件在一段时间内发生的概率；而空间概率则是研究某个事件在一定范围内出现的概率。
本文将分别介绍时间概率和空间概率的理论基础、常见模型以及应用领域。
一、时间概率时间概率是指在一定时间段内某个事件发生的概率。
概率论中计算时间概率的方法与计算空间概率的方法类似，首先需要确定事件集合和样本空间。
然后，根据概率的定义，事件集合中所有事件的概率之和应该等于1。
在时间概率中，我们通常会用几率（odds）来度量某个事件的概率。
几率是指事件发生的概率与事件不发生的概率的比值，即：几率= P(E)/P(E’) = P(E)/(1-P(E))其中，P(E)和P(E’)分别表示事件发生和事件不发生的概率。
几率的取值范围是从0到正无穷，几率越大表示事件发生的可能性越高，几率越小则表示事件不发生的可能性越高。
常见的时间概率模型包括泊松分布、指数分布和正态分布等。
泊松分布用来描述随机事件的数量或发生次数，如某个时间段内到店顾客的数量、某个时间段内电话的数量等。
指数分布则用来描述连续随机事件发生的时间间隔，如某个人开始等待服务到得到服务之间的时间、某个机器发生故障到被修复之间的时间等。
而正态分布则用来描述连续随机变量的概率分布，如测试得到的血糖值、身高和体重等。
时间概率广泛应用于各种领域，如金融、物流、流量分析、医学等。
在金融领域，时间概率常用于建立股票、债券和货币交易的数学模型，以预测市场变动和制定投资策略。
在物流领域，时间概率则用来规划仓库存货、预测订单到达时间，以确保供应链的高效运转。
在流量分析领域，时间概率可以用来预测网站的流量，并通过分析用户访问模式来设计更好的营销策略。
在医学领域，时间概率则可用来分析药物治疗的效果、疾病治愈率和患病率等。
空间概率是指在一定空间范围内某个事件出现的概率。
与时间概率类似，计算空间概率的前提也是确定事件集合和样本空间，然后计算事件集合中所有事件的概率之和等于1。
概率论与随机过程：1-2,3 事件的概率 概率空间
（1）因k个数字完全不同，实际为不可重复的排列，基本事件个数为：
C
k n
k!
P( A)
C
k n
k!
Nk
(2) 同理
P(B) (N r)k Nk
(3) 同理
P(C )
C
m k
(N
1) k m
Nk
(4) 在这k个数字中，最大数不大于M的取法有Mk种。而最
大数不大于M-1的取法有(M-1)k种。
P(D) M k (M 1)k Nk
例：取球，袋中a个白，b个红球，一一取出，不放回，
求事件Ak={第k次取出白球}的概率。 解：试验为将a+b个球编号一一不放回取出，全部取出
解：令B={恰有k件次品}
P(B)=？
P(B)
M k
N n
M k
N n
M件 次品
这是一种无放回抽样.
次品 正品
N-M件 正品
……
例3 n双相异的鞋共2n只，随机地分成n堆， 每堆2只 . 问:“各堆都自成一双鞋”(事件A)的 概率是多少？
解：把2n只鞋分成n堆,每堆2只
的分法总数为 (2n)!
a 1
N
b 2
所以，所求概率为：
P( A)
Ca ab
N
a 1
N
b 2
N ab
(二) 放球问题
n个球，随机的放入N个盒（n≤ N），每盒容量不限， 观察放法：
(1)某指定的n个盒中各有一个球A1,求P(A1)； (2)恰有n个盒中各有一球Ａ2,求P(A2); (3)某指定的盒子中恰有k个球A3,求P(A3).
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fn(A)＝
nA n
.
频率在某种意义反应了事件发生的可能性大小。
频率的缺陷是其取之依赖于具体的试验。
7
3. 频率具有稳定性 大量次的观察，发现事件发生的频率具有稳定性。
例1 抛一枚硬币,观察事件“正面向上”发生的规律。
实验者 蒲丰 K.皮尔逊 K.皮尔逊
N 4040 12000 24000
nH 2048 6019 12012
4
40 互不相容事件 50 逆事件 A B =
A B
A B =
A
B S
A
S
BA
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5
随机事件的运算规律
交换律: 结合律: 分配律:
A B B A, A B B A
A A A, A A A
A B C A B C A B C A B C
A B C A B A C A B C A B A C
Ａ1
A2
P( A1) P( A2 ) P( A3 ) P( A1A2 )
A3
P( A1 A3 ) P( A2 A3 ) P( A1 A2 A3 )
15
推论3 设A1，A2，…，A
P( Ai) P(Ai)
p
(
A i
A
j
)
P(A A A ) i jk
同理可求出P（ AB) r p （3）因 A B= AB ，所以 P( AB ) 1 p(A B) 1 r．
17
古典概型
概率统计定义的优点：
1.适用的范围广； 2.提供了估算概率的方法； 3.提供了一种检验理论或假设正确与否的方法。
概率统计定义的不足： 1.要确定某事件的概率，就必须进行大量实验，这
反演律（De Morgan定律）:
A A , A A
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6
2.1.1 频 率
1. 随机事件的发生可能性有大小之分
投一枚均匀的骰子，考察下列事件发生的可能性大
小．令Ａ＝出现点数２，Ｂ＝出现偶数点，则B比A更
容易出现。
2. 频率的定义 定义 如果在n次重复试验中事件A发生了nA次，则称 nA/n为事件A在n次试验中发生的频率，记为fn(A)，即
证明 由右图可知 A B=A (B - AB)且
A(B - AB)=Φ，ABB
Ａ
Ｂ
由概率可加性及性质３得 P(A B)=P(A)+P(B - AB)=P(A)+P(B) - P(AB）
推论1. P(A∪B )≤ P(A)+P(B).
推论2. 设随机事件A1, A2, A3 ,
则
P( A1 A2 A3 )
推论2 若AB, 则P(B)≥P(A).
Ａ Ω
B
Ω
13
性质4 对于任一事件A，有 P(A) 1 P( A). 因 A U A , AA ,
则有 1 P() P(A) P(A),
于是有 P(A) 1 P(A).
A
A
14
性质5 设任意两个事件A、B，则 P(AB)=P(A)+P(B)－P(AB)
n
n
U fn ( Ak ) fn (Ak ).
k 1
k 1
1.1.2 概率的定义
简单说来，随机事件A发生可能性大小的度量（数 值），称为A发生的概率，记作P(A)．
10
1. 概率的一般（公理化）定义
定义 设E是随机试验，Ω是它的样本空间，对于E的 每一事件A对应于一个实数P(A)，称P(A)为事件A的概 率，若P(A)满足下列三个条件：
在实际中难以办到； 2.即使有条件大量实验也无法确切的指出何数为濒率
(1) 0≤P(A)≤1; (2) P(Ω)=1； (3) 对于两两互不相容的事件A1，A2，…，有
P( Ak) P(Ak)
k 1
k 1
以上三个条件分别称为概率的非负性、规范性及可列
可加性。
利用概率的定义可以推出概率的一些重要性质。
11
2. 概率的性质
性质1 P() 0. 因为 U UL U UL , 由可列可加性
P() P() P() L P() L ,
0 P() 1, 故 P() 0.
性质2 若A1，A2，…，An为两两互不相容的事件，则
n
n
P(U
i1
Ai
)
i1
P(
Ai
).
由可列可加性有
n
P(U Ai ) P(A1 UL U An U UL ) i1 p(A1) L p(An ) p() L
fn(H) 0.5070 0.5016 0.5005
。 n无穷大
m/n稳定值
8
事件发生 的频繁程度
频率 频率的性质
事件发生 的可能性的大小
稳 定值
概率 概率的定义
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9
4.频率的性质 (1) 0≤fn (A)≤1; (2) fn (Ω) =1；
(3) 若A1，A2，…，An 是两两互不相容的事件，则
p(A1) L p(An ).
12
性质3 设A，B是两事件，若AB,
则 P (B－A) = P (B) － P (A).
Ｂ
证明 由于
B =A∪(B－A) 且 A . (B－A) =
Φ,
P(B) = P(A)+ P(B－A), 于是 P(B－A) = P(B)－P(A).
A
推论1 Ｐ(B-A)=P(B)-P(AB).
含的一个基本事件在试验中出现．
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2
事件间的关系与运算
10 包含关系 A B
A
20 事件的并 A B 30 事件的交 A B 50 互不相容事件 A B 60 逆事件 A B =
A B =
B S
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3
20 事件的并 A B 30 事件的交 A B
A
B
S
A
B
S
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i 1
i 1
1i jn
1i jk n
L (1)n1 P( A1A2 L An ).
16
例 1 设事件A、B、A∪B的概率分别为p、q、r，求P（AB）,
P（A B）， P（ AB）， P（AB ）
解 （1）因为P（A∪B）=P（A）+P（B）-P（AB），所以 P（AB）= p+q-r．
（2）因为A B=A-AB且ABA，故 P（A B ) P(A) P(AB) p ( p q r) r q
2.1 概率的定义 1.频率 2 概率的定义 3 概率的性质
1
1. 概率的概念
随机事件
定义：
•随机事件 : 在一定条件下，对随机现象进行一次实 验的每一个可能结果；
•必然事件 : 在一定条件下必然要发生的事件，记 作；
•不可能事件 : 在一定条件下不可能发生的事件，记 作。
•基本事件 : 在随机实验中，不能分解的事件； 我们称一个随机事件发生当且仅当它所包