1.1随机事件和样本空间 《概率论与数理统计》课件

7.完备事件组
A1，A2，，An，，是有限或可列个事件，若其满足:
(1)A i
Aj
，i,j=1,2,
，
2 Ai .
则称A1,A2, ，An，，是一个完备事件组.
显然,A与A 构成一个完备事件组.
8.事件的运算法则
在进行运算时，经常要用到下述定律。设A，B，C
为事件，则有
交换律 A B B A , A B B A;
（2）试验的所有可能结果是明确可知道的，并且不止一个； （明确可知性）
（3）每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个， （不确定性）
但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结 果，就称这样的试验是一个随机试验，为方便起见，也 简称为试验．
定义：随机试验的每一个可能的结果, 称为基本事件（样 本点）．一般用 表示．
第一章 随机事件及概率
随机试验、样本空间、随机事件 概率的定义及性质 古典概型与几何概型 有关条件概率的计算公式 独立性及贝努里概型
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§1.1 随机事件和样本空间
一、随机事件和样本空间的概念
1、基本事件和样本空间
定义：一个试验如果满足下述条件：
（1）试验可以在相同的情形下重复进行； （可重复性）
在随机试验中，有时关心的是带有某些
特征的基本事件是否发生，如在例1.1.1中，
1
关心的问题是：A={球的标号是否为5}，
B={球的标号是否偶数}，C={球的标号是否
2
<5}．
5
6 其中A是基本事件，而B和C是由多个基本事
件所组成的，相对于基本事件，称为复杂事件．
9
8 无论是基本事件还是复杂事件，它们在试验
对于这个随机试验来说，基本事件总数为
C
3 10
.
三、事件的关系与运算
以下设 A, B,C
等都是同一样本空间
中的事件.
文氏图 ( Venn diagram )
A
1. 事件的包含关系
定义1.1.1：若A，有B（若事件A发生必然导
致事件B发生），这时称事件B包含事件A，记作 BA
或 AB ，即A是B的子集．
注：对任何事情 A，有A,A.
AB
例1.1.6 设某种动物从出生生 活至20岁记为 A 从出生到25记为 B 则 B A.
2. 事件的相等
定义：A若B AB且 BA则称事件A与B相等，记作
AB.
3、并(和)事件与积（交）事件
定义1.1.2：“事件A、B中至少
有一个发生”,这样的一个事件称作 事件A与B的并（或和）记作 B A (或A+B)．
5．对立事件（逆）
定义1.1.5：若A是一个事件，令 AA
称为事件A的对立事件或逆事件．
A A AA
A
A
对立事件与互不相容事件的关系：
6. 事件的互不相容(互斥)
定义1.1.6：若AB ，则称事件A与事件Biblioteka AB互不相容（互斥）.
B
即表示互不相容的两事件不会同时发生。
对立事件一定是互不相容的，但互不相容事 件不一定是对立的．
结合律 A B C A B C , A B C A B C;
分配律 A B C A B A C ,
A B C A B A C ;
德·摩根律 A B A B ; A B A B。 对于n个事件，甚至对于可列个事件，德·摩根律
也成立。
例1.1.9：设A、B、C是样本空间 的三个随机事件，试将
下列事件用A、B、C表示出来． （1）A发生，但B、C都不发生（A BC或A-B-C或A- (B ）C) （2）A、B发生，而C不发生（AB C 或AB-C或AB-ABC）
（3）三个事件都发生 （ABC） （4）三个事件中至少一个发生 （ABC 或ABC）
（5）三个事件都不发生 （ABC或 ABC）
A
ABB
注：1 .A A , A , A A A ;
2.若 AB 则 A BB; A A B ,B A B
例1.1.7 设某种圆柱形产品，若底面直径和高都合
格，则该产品合格.令A={直径不合格}，B={高度不
合格}，则产品合格可以表示为
A B.
类似的可以推广到n个事件： A1,A2, ,An
（6）不多于一个事件发生
（A B C A B C A B C A B C 或 A BBC C）A
（7）不多于两个事件发生
（ ABC或 A B C A B C A B C A B C A B A B C A C C ）
中至少有一个发生”,这样的一个事件称作事件 A1,A2, ,An
的并（或和），记作
A 1 A 2 A n或 n
Ai
n
或
Ai.
i1
i1
定义1.1.3：“事件A与B同时发 生”, 这样的一个事件称作事件A 与B的交（或积）A记作B （或AB）
A B
AB
注：1. A , A A , A A A , A B A , A B B
因为随机试验的所有结果是明确的，从而所有的基本事件 也是明确的．则基本事件的全体所组成的集合，称为样本 空间．常用 来表示,即 ．
注： （1）定义中的每个可能的结果是指每个不能再分或 不必再细分的可能结果.
（2）对于一个具体的随机试验，我们可以根据试验 的条件和观察的目的来确定样本空间．
二、随机事件
3 中发生与否，都带有随机性，所以都叫做随机
事件或简称为事件，习惯上用A、B、C，…来表示．
7
0
注：1.从集合论的角度来看，一个随机事件不
4
过是样本空间的一个子集而已.
2.说某事件A发生当且仅当它所包含的某一个基本事件出 现，可用 A来表示.
3.基本事件与随机事件是两个不同的概念，基本事件是 一个随机事件，而随机事件不一定是基本事件.
2.若 A B, 则 A BA.
类似的“ A,A, ,同A时发生”称为
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n
A 1,A 的2, 交,A （n 或
积）记作
（A 简A 记 为 或A ）
1
2
n
n
A
i1 i
n
A
i1 i
4. 差事件
定义1.1.4：“事件A发生而 B
A
不发生”，这样一个事件称作事件
B
A与 B的差，记为 AB.
AB
如例1.1.7中 AB={该产品的直径不合格，高度合格}
4.必然事件 , 用符号 来 表示
不可能事件 用符号 来表示
例1.1.5 一批产品共10件，其中2件次品，其余为正品，从中任
取3件则， A恰 有一件正 ,B 品 恰 有 两 件 正 品 ,C至少有两件
D={ 三件中至少有一件次品}.这些都是随机事件，而
三件中有正 为必品 然事件， 3件 都 是 正 品 为不可能事件，