11.2.1随机事件与样本空间汇总
1-2节 样本空间和随机事件
A ( B C ) ( A B) ( A C ),
(4)德 摩根律 : A B A B, A B A B.
(对偶律)
A A,
i 1 i i 1 i
样本空间的元素由试验的目的所确定.
二、随机事件
随机事件 在一次试验中可能发生也可能不发
生的结果称为随机事件, 简称事件.事件常用A、
B、C表示. 随机事件是由样本空间的某些样本点构成的. 例如 抛掷一枚骰子, 观察出现的点数. 试验中,骰子“出现1点”, “出现2点”, … ,“出现6 点”, “点数不大于4”, “点数为偶数” 等都为随机事件.
空集 和样本空间S都是样本空间S的子集, 在每次试验中 必不发生,称 为不可能事件; S 必发生,称 S为必然事件. 为叙述方便,把不可能事件和必然事件都包括 在随机事件中.
三、事件间的关系及运算
设试验 E 的样本空间为 S , 而 A, B, Ak (k 1,2,) 是 S 的子集.
个事件,称此事件为事件 A与事件B的积事
件. 记作 A I B或AB 显然 A I B {e | e A且e B}.
A AB
B
S
图示:事件A与B 的积事件.
积事件具有如下性质：
(1)若A B, 则A B A; B A, 则A B B.
(2) A B A; A B B.
3. 和事件
“事件 A与事件B至少有一个发生”也是 一 个事件, 称此事件为事件 A 与事件B的和事件. 记作A B，显然A B {e | e A或e B}.
B A
S
随机事件与样本空间
随机事件与样本空间“随机事件”和“概率”是概率论中最基本的两个概念，“独立性”和“条件概率”是概率论中特有的概念。
一、随机事件的关系与运算[1]样本空间：由一个特定的随机试验所有可能发生的基本结果构成的一个集合，成为该实验的“样本空间”，以大写字母Ω表示；试验的每一个可能发生的基本结果称为“样本点”，用小写字母ω表示。
由Ω的一个样本点组成的单点集合称为“基本事件”；Ω的一个子集称为一个“随机事件”。
样本空间Ω和空集∅为两个特殊的子集，分别称为“必然事件”和“不可能事件”。
[2]事件的关系运算：[3] 事件的运算法则：❶A ∅⊂⊂Ω❷A B A A B ⋃⊃⊃- A A B ⊃ ❸A A ⋃∅= A ⋂∅=∅ ❹A A ⋃=Ω A A ⋂=∅ ❺A A == -Ω=∅-∅=Ω❻A A A ⋃= A A A = ()A B A A B A -⋃=⋃≠ ❼如果A B ⊃,则A B A ⋃=,A B B ⋂= ❽满足交换律：A B B A ⋃=⋃,AB BA =❾满足结合律：()()A B C A B C ⋃⋃=⋃⋃ ()()A B C A B C= ❶⓿满足分配率：()A B C AB AC ⋃=⋃ ()()()A BC A B B C ⋃=⋃⋃ ❶❶= =二、随机事件的概率：[1]古典概型：设随机事件的样本空间Ω包含有有限个样本点（此模型称为古典概型），则事件A 发生的概率为： #()#A P A E n==Ω有利于事件A 的样本点数m实验的样本空间所含的样本点数 [2]几何定义： 设Ω是n R （n=1、2、3）中任何一个可度量的区域，从Ω中随机的选择一点，即Ω中任何一点都有相同的机会被选到，则相应的随机试验的样本空间就是Ω，假设事件A 是Ω中任何一个可度量的子集，则：()()()A P A μμ=Ω 此式定义的概率称为几何概率，符合上述假定模型的称为几何概型。
[3]统计定义：对一特定的实验，进行多次重复试验，实验的某一结果A ，即随机试验A ，在大量的重复试验中出现的频率的稳定值p 称为A 的概率。
随机事件与样本空间的关系
随机事件与样本空间的关系在概率论中，随机事件与样本空间是密不可分的概念。
理解二者之间的关系对于概率计算和推理至关重要。
本文将介绍随机事件和样本空间的定义、关系以及在概率计算中的应用。
一、随机事件的概念随机事件是指在一次特定的试验中可能发生或不发生的现象。
它是样本空间中的一个子集。
例如，掷一枚硬币，其试验结果可以是正面朝上（事件A）或反面朝上（事件B）。
在这个例子中，事件A和事件B分别是试验的两个随机事件。
二、样本空间的定义样本空间是指一个随机试验中所有可能结果的集合。
它包含了实验中的每一个可能结果。
以掷一枚硬币为例，样本空间为{正面，反面}。
样本空间可以有有限个元素，也可以是一个无穷集合。
三、随机事件与样本空间的关系随机事件是样本空间的子集。
它们之间的关系可以用包含关系来描述。
具体而言，一个事件A发生意味着试验的结果属于A所对应的样本点集合。
相反，如果试验结果属于事件A，那么事件A就发生了。
四、概率计算中的应用概率计算是研究随机事件发生可能性的重要方法。
随机事件和样本空间的关系在概率计算中起着关键作用。
1. 计算概率概率可以通过事件发生的样本点数量与样本空间中样本点总数的比值来计算。
例如，假设在掷一枚硬币的试验中，事件A表示正面朝上，那么事件A发生的概率为P(A) = |A| / |样本空间|，其中|A|表示事件A中的样本点数量，|样本空间|表示样本空间中的样本点数量。
2. 事件间的运算根据随机事件和样本空间的关系，可以进行并、交、差等运算。
例如，事件A和事件B的并集为A∪B，表示A和B中至少有一个发生的样本点的集合。
交集为A∩B，表示A和B同时发生的样本点的集合。
差集为A-B，表示A发生而B不发生的样本点的集合。
3. 条件概率条件概率是指在已知某个事件发生的条件下，另一个事件发生的概率。
条件概率计算中，样本空间会根据已知事件的发生而被限制在一个子集中，从而影响概率的计算。
例如，已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率可以表示为P(B|A) = P(A∩B) / P(A)，其中P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率。
教案1-随机事件及样本空间
教案1-随机事件及样本空间
一、教学目标：
（1）知识目标：1.了解随机事件及样本空间的定义；2.理解事件概率的计算；
（2）能力目标：利用给定的样本空间要求给出事件发生的概率。
二、教学内容：
1、定义随机事件和样本空间
随机事件（random event）：指由一定有限样本空间内随机进行取样所得的结果，即“事件发生（发生成功）”或“事件未发生（发生失败）”的集合。
样本空间（sample space）：是着随机实验的有限样本的总集合，所有随机取样（实验）的可能结果都在样本空间内。
2、概率的计算
概率是几何学中运用数学表示物理和其他实际现象的一种有效工具，指的是某一随机事件发生的可能性。
通常认为概率就是指某一随机事件发生的可能性，只是用来表示事件发生的可能性大小，因此可以用数字来表示。
概率可以用下式来表示：
P（A）=（A所包含样本的个数）/（所有样本的总数）
例题：抛掷一枚硬币，求正面朝上的可能性P（正）？
解：样本空间S={正，反}，正面朝上的样本空间A={正}，故有 P（正）=（A所包含样本的个数）/（所有样本的总数）=1/2
三、教学重点：
了解随机事件及样本空间的定义，理解事件概率的计算。
五、教学方法
推理题、讨论法。
概率与统计中的样本空间与随机事件
概率与统计中的样本空间与随机事件概率与统计是数学中非常重要的一个分支，它研究的是在不确定性条件下，通过样本空间和随机事件的概念，对现实世界中事件的发生进行量化和解释。
在本文中，我们将深入探讨概率与统计中的样本空间与随机事件的概念、性质以及其在实际问题中的应用。
一、样本空间的定义与性质在概率与统计中，样本空间指的是一个随机试验所有可能结果的集合。
举个例子来说，如果我们进行一次抛硬币的实验，那么样本空间可以表示为{正面，反面}。
样本空间中的每个元素称为一个样本点，而样本空间的大小称为样本点的个数。
样本空间可以用数学符号Ω表示。
样本空间具有以下性质：1. 样本空间是一个集合，其中的元素表示所有可能的结果。
2. 样本空间中的元素是互斥的，即一个实验结果只能对应样本空间中的一个元素。
3. 样本空间中的元素是完备的，即包含了实验的所有可能结果。
4. 样本空间是随机试验的基本概念，是进行概率计算的起点。
二、随机事件的定义与性质在样本空间的基础上，我们可以定义随机事件。
随机事件是指样本空间的子集，即由样本空间中的若干个样本点构成的集合。
举个例子来说，如果我们定义事件A为抛硬币的结果是正面朝上，那么事件A 可以表示为{正面}，它是样本空间的一个子集。
随机事件具有以下性质：1. 随机事件是样本空间的一个子集，由样本点构成。
2. 随机事件可以是单个样本点，也可以是多个样本点组成的集合。
3. 随机事件可以是空集，即不包含任何样本点的事件。
4. 样本空间本身以及包含所有样本点和空集的事件也是随机事件。
三、样本空间与随机事件在实际问题中的应用概率与统计作为一门应用广泛的学科，其样本空间与随机事件的概念在实际问题中具有重要的应用价值。
以下是一些典型的应用场景：1. 投资决策：在金融领域中，投资决策往往需要对不同投资方案的风险和回报进行评估。
通过建立样本空间和定义相应的随机事件，可以对不同投资方案进行量化和比较，从而做出更明智的决策。
随机事件和样本空间
由此可知，事件 A B 的含意与集合论中的意义是一致的。 因为不可能事件 不含有任何 ，所以对任一事件 A，我们约定 A
图中的阴影部分是事件“AB”如在例 1.2 中，若 A={球的标号为偶数} B={球的标号≤3}
则 A B={球的标号为 1，2，3，4， ，6，8，10} 4．事件 A 与 B 同时发生“，这样的事件称作事件 A 与 B 的交（或 积） ，记作 A B（或ＡＢ） ，它对应图１．３种的阴影部分： 如在例１．２中，若Ａ、Ｂ同上，则
， 也就是说 A 与 B 互不
A
B
Байду номын сангаас图 1.5
7 . 若 A 是一个事件,令 A =
A 是 A 的对立事件或逆事 — A，称
件。容易知道在一次试验中，若 A 发生，则 A 必不发生（反之亦然） 即A与 有 A A =
A
二者只能发生其中之一，并且也必然发生其中之一。因而
A
A
=
（A B） C=（A C）（ B C） （1.5）
（4）德摩根定理（对偶原则）： ________
n
A =
i
_______ n i 1
Ai A = i 1
i i 1
n
__
（1.6）
A
i 1
n
__ i
（1.7）
证明：（略）.
n
Ai
An ；若“ A1 ，A2 ，…，
同时发生” ，这样的事件称作A1 ， A2 ，…，An 的交，记作
A 1
A2 …
An
或 i 1
n
Ai
11.2.1随机事件与样本空间
二、随机事件的概念
1. 基本概念
随机事件 随机试验每种可能的结果称为 随机事件, 简称事件.也就是样本空间的任一个子集
基本事件 不能再分的最简单的随机事件称为基本事件. 实例 “出现1点”, “出现2点”, … , “出现6点”. 必然事件 随机试验中必然会出现的结果. 实例 上述试验中 “点数不大于6” 就是必然事件. 不可能事件 随机试验中不可能出现的结果. 实例 上述试验中 “点数大于6” 就是不可能事件.
任务二：利用概念学习例1
例1 甲、乙两同学做一次猜拳游戏（石头、 剪子、布）： （1）写出这个随机试验的样本空间 （2）求这个随机试验的基本事件的个数 （3）“出现平局”这一事件的包含哪几个基 本事件
｛(石头，石头),(石头，剪子）,（石头，布）,（剪子，石头）, (剪子，剪子），(剪子,布）,（布，石头）,（布，剪子）,（布,布）｝
例1 甲、乙两同学做一次猜拳游戏（石头、 剪子、布）： （1）写出这个随机试验的样本空间 （2）求这个随机试验的基本事件的个数 （3）“出现平局”这一事件的包含哪几个基 本事件
｛(石头，石头),(石头，剪子）,（石头，布）,（剪子，石头）, (剪子，剪子），(剪子,布）,（布，石头）,（布，剪子）,（布,布）｝
二、随机事件的概念
1. 基本概念
随机事件 随机试验每种可能的结果称为 随机事件, 简称事件.也就是样本空间的任一个子集
实例 抛掷一枚骰子, 观察出现的点数.
试验中,骰子“出现1点”, “出现2点”, … ,“出现6点” “点数不大于4”, “点数为偶数” 等都为随机事件.
一、概念
随机现象 事先不能确定哪一种结果将会发生的现象 随机ห้องสมุดไป่ตู้验 在实际中，一般通过观察试验来研究随机现象 对随机现象的观察或试验称为随机试验 随机事件 随机试验中每种可能的结果。简称事件 基本事件 不能再分的最简单的随机事件。 样本空间 全体基本事件构成的集合。通常用 表示 实例1 抛掷一枚骰子,观察出现的点数.
随机事件和样本空间知识点(一)
随机事件和样本空间知识点(一)随机事件和样本空间1. 随机事件的定义•随机事件是在某个随机试验中可能发生的一个结果或一组结果。
•随机事件通常用大写字母表示，如A、B、C等。
2. 样本空间的定义•样本空间是一个随机试验中所有可能结果的集合。
•样本空间通常用大写字母Ω表示。
3. 样本点和样本空间的关系•样本点是样本空间中的一个个体元素。
•样本点表示一个具体的试验结果。
•样本空间由所有可能的样本点构成。
4. 事件的分类•必然事件：必然事件是指在任何一次试验中一定发生的事件，它包含样本空间Ω中的所有样本点。
•不可能事件：不可能事件是指在任何一次试验中不可能发生的事件，它不包含样本空间Ω中的任何样本点。
•基本事件：基本事件是指样本空间Ω中的单个样本点。
•复合事件：复合事件是指样本空间Ω中的多个样本点组成的事件。
5. 事件的运算•事件的运算有三种基本操作：并、交和补。
•事件A和事件B的并集，记作A∪B，表示事件A和事件B中至少出现一个的情况。
•事件A和事件B的交集，记作A∩B，表示事件A和事件B同时出现的情况。
•事件A的补集，记作A’或¬A，表示事件A不出现的情况。
6. 事件的性质•事件的互斥性：如果事件A和事件B不可能同时发生，即A∩B=∅，则称事件A和事件B为互斥事件。
•事件的对立性：如果事件A和事件B互斥，并且样本空间Ω中除了事件A和事件B之外的所有事件的概率和为1，则称事件B为事件A的对立事件。
7. 条件概率与独立性•条件概率是指在另一个事件已经发生的前提下，某个事件发生的概率。
•条件概率的计算公式为P(A|B) = P(A∩B) / P(B)。
•事件A和事件B相互独立的充分必要条件是P(A|B) = P(A)，即事件B的发生不影响事件A的概率。
总结：•随机事件是在随机试验中可能发生的一个结果或一组结果。
•样本空间是随机试验中所有可能结果的集合。
•事件的运算有并、交和补三种基本操作。
•条件概率是在另一个事件已经发生的前提下，某个事件发生的概率。
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随机事件
(4)、某人射击一次，中靶。
(5)、抛一枚均匀硬币，出现正面。
概念辩析
对下列各题作出判断，填“必然事件“或“不可能 事件”或“随机事件”。
向平坦的桌面上投掷一枚均匀硬币，那么
必然事件 A＝不是正面朝上，就是反面朝上＿＿＿＿。 不可能事件 B＝既是正面朝上，又是反面朝上＿＿＿＿。 随机事件 随机事件 C＝反面朝上＿＿＿＿。 D＝正面朝上＿＿＿。
例题讲解
• 例1 甲、乙做一次猜拳游戏（石头、剪子、 布）： • （1）写出这一随机试验的样本空间； • （ 2）求这个随机试验的基本事件的个数； 乙同学 • （3）“出现平局”这一事件包含哪几个基本 布 · · · 事件？
剪子
ห้องสมุดไป่ตู้· · ·
石头
· · ·
石头 剪子 布
甲同学
例题讲解
• 解：（1）从图中可以看出这一事件的样本 空间为Ω={ （石头，石头），（石头，剪 子），（石头，布），（剪子，石头）， （剪子，剪子），（剪子，布），（布， 石头），布，剪子），（布，布） }；
布置作业
1.课本课后练习1
2.练习册A组 3.预习古典概率
1个数学家=10个师
在第二次世界大战中，德国曾经宣布：“潜艇战” 搞得盟军焦头烂额．为此，有位美国海军将领专门去 请教了几位数学家， 数学家们运用概率论分析后发 现，舰队与敌潜艇相遇是一个随机事件，从数学角度 来看这一问题，它具有一定的规律性．一定数量的船 （如100艘）编队规模越小，编次就越多（如每次20 艘，就要有5个编次），编次越多，与敌人相遇的概 率就越大。美国海军接受了数学家的建议，命令舰队 在指定海域集合，再集体通过危险海域，然后各自驶 向预定港口．结果奇迹出现了：盟军舰队遭袭被击沉 的概率由原来的20％降为1％，大大减少了损失，保 证了物资的及时供应 。
概 念 辩 析
它的一个子集A={1,3,5}表示的随机事件是
朝上一面出现的点数为奇数。
3.掷一枚骰子的样本空间Ω ={1,2,3,4,5,6},
4.从一批含有次品的产品中，任取3件产品进 行检验，出现次品数量的样本空间 Ω ={1,2,3} 它的子集B={0,1}表示的随机事件是 3件产品中有1件次品。
课堂小结
(1)必然事件： 在一定条件下必然发生的事件叫做必 然事件。
在一定条件下不可能发生的事件叫做 (2)不可能事件： 不可能事件。
(3)随机事件： 在一定条件下可能发生也可能不发生 的事件叫做随机事件。不能再分的最 简单的随机事件称为基本事件。全体 基本事件构成的集合叫做随机试验的 样本空间。
概念理解
在一定的条件下，具有多种可能的发生结 果，但事先不能确定哪一种结果将会发生 的现象，叫做随机现象． 一般通过观察实验来研究随机现象。对 随机现象的观察或实验称为随机试验，简 称为实验。
概 念 理 解
随机试验中每种可能的结果称为随机事件， 简称事件。
不能再分的最简单的随机事件称为基本事件。
雪融化”
在一定条件下，必然发生的事件，叫必然事件。
在一定条件下，不可能发生的事件，叫不可能事件。
概念理解
看下面的事件，哪些必然发生；哪些不可能发生；哪些 可能发生，也可能不发生。
必然事件
(1)、向空中抛一石块，下落。 (2)、在标准大气压下，纯水加热到
不可能事件
100 摄氏度，沸腾。
(3)、没有空气和水，种子发芽。
地球在一直运动吗？
木柴燃烧能产生热量吗？
一天内，在常温下，这 块石头会被风化吗？
在标准大气压下，且温度 低于0℃时，这里的雪会融 化吗？
这些事件发生与否，各有什么特点呢？ (1)“地球不停地转动” 必然发生 (2)“木柴燃烧，产生能量”
(3)“在常温下，石头风化” 不可能发生 (4)“在标准大气压下且温度低于0℃时，
谢谢指导
•
随机事件与样本空间
情境导入
昨夜西然回首，那人却在灯 火阑珊处 涯路
你是彩民吗？你买的彩票一定能中奖吗？
抛掷一枚质地均匀的硬币，是否是正面（有 币值的一面）向上？
姚 明 投 篮 ， 他 能 投 中 吗 ？
抛掷一枚骰子，朝上一面的点数是多少？
全体基本事件构成的集合叫做随机试验的样 本空间，通常用大写希腊字母Ω表示。
概 念 理 解
1.抛掷一枚硬币的样本空间为Ω ={正，反}，
2.一次抛掷两枚不同的硬币的样本空间Ω ={（正， 正），（正，反），（反，正），（反，反）}
从集合的观点看，样本空间的任意一个子集，就 是事件，常用大写英文字母A，B，C等表示。例 如，抛掷一枚骰子的样本空间的一个子集 A={2,4,6 }表示朝上的一面的是“出现的点数为 偶数”这个事件。
• （2）基本事件的个数是9；
• （3）“出现平局”这一事件包含3个基本 事件：（石头，石头），（剪子，剪子）
巩固练习
做抛掷两枚骰子的实验，用（x,y）表示结果，其中 x表示第一枚骰子朝上一面出现的点数，y表示第二 枚骰子朝上一面出现的点数： （1）求样本空间中所有基本事件的个数；
（2）写出随机事件“点数之和等于10”所包含 的基 本事件； （3）写出随机事件“点数之和大于10”所包含的基 本事件。