样本空间与随机事件
1-2节 样本空间和随机事件
A ( B C ) ( A B) ( A C ),
(4)德 摩根律 : A B A B, A B A B.
(对偶律)
A A,
i 1 i i 1 i
样本空间的元素由试验的目的所确定.
二、随机事件
随机事件 在一次试验中可能发生也可能不发
生的结果称为随机事件, 简称事件.事件常用A、
B、C表示. 随机事件是由样本空间的某些样本点构成的. 例如 抛掷一枚骰子, 观察出现的点数. 试验中,骰子“出现1点”, “出现2点”, … ,“出现6 点”, “点数不大于4”, “点数为偶数” 等都为随机事件.
空集 和样本空间S都是样本空间S的子集, 在每次试验中 必不发生,称 为不可能事件; S 必发生,称 S为必然事件. 为叙述方便,把不可能事件和必然事件都包括 在随机事件中.
三、事件间的关系及运算
设试验 E 的样本空间为 S , 而 A, B, Ak (k 1,2,) 是 S 的子集.
个事件,称此事件为事件 A与事件B的积事
件. 记作 A I B或AB 显然 A I B {e | e A且e B}.
A AB
B
S
图示:事件A与B 的积事件.
积事件具有如下性质：
(1)若A B, 则A B A; B A, 则A B B.
(2) A B A; A B B.
3. 和事件
“事件 A与事件B至少有一个发生”也是 一 个事件, 称此事件为事件 A 与事件B的和事件. 记作A B，显然A B {e | e A或e B}.
B A
S
1.2样本空间、随机事件
二、随机事件的概念
1. 基本概念
随机试验 E 的样本空间 S 的子集称为 E 的随 机事件, 简称事件.
每次实验中, 当且仅当这一子集中的一个样本 点出现时, 称这一事件发生.
由一个样本点组成的单点集, 称为基本事件.
样本空间 S包含所有的样本 , 它点是S自身的 子集, 在每次实验中它总是发生的, S称为必然事 件.
A S
某种产品的合格与否是由该产品的长度与直
径是否合格所决定, 因此 “产品不合格”是“长
不合格”与“直径不度合格”的并.
n
推广 称 A k为 n个事 A 1,A 2 件 , ,A n的和事 k1
件, 称 A k为可列 A 1,A 个 2, 的 事和 件 . 事件 k1
3 . 事 A B x x 件 A 且 x B , 称为事件A
它既可以作为抛掷硬币出现正面或出现反面的模 型, 也可以作为产品检验中合格与不合格的模型, 又能用于排队现象中有人排队与无人排队的模型.
课堂练习
写出下列随机试验的样本空间. 1. 同时掷三颗骰子,记录三颗骰子之和. 2. 生产产品直到得到10件正品,记录生产产品的 总件数.
所以在具体问题的研究 中, 描述随机现象的第一步 就是建立样本空间.
对立事件与互斥事件的区别
A、B 互斥
A、B 对立
A
BS
AB
互斥
A
B A S
A B S 且 A B
对立
事件间的运算规律 设A,B,C为事,件 则有
(1)交换律 AB BA; AB BA.
(2)结合律 A(BC) (AB)C; A(BC) (AB)C.
(3)分配律 A(BC) (A B ) (A C ); A(BC) (A B ) (A C ).
随机事件与样本空间
随机事件与样本空间“随机事件”和“概率”是概率论中最基本的两个概念，“独立性”和“条件概率”是概率论中特有的概念。
一、随机事件的关系与运算[1]样本空间：由一个特定的随机试验所有可能发生的基本结果构成的一个集合，成为该实验的“样本空间”，以大写字母Ω表示；试验的每一个可能发生的基本结果称为“样本点”，用小写字母ω表示。
由Ω的一个样本点组成的单点集合称为“基本事件”；Ω的一个子集称为一个“随机事件”。
样本空间Ω和空集∅为两个特殊的子集，分别称为“必然事件”和“不可能事件”。
[2]事件的关系运算：[3] 事件的运算法则：❶A ∅⊂⊂Ω❷A B A A B ⋃⊃⊃- A A B ⊃ ❸A A ⋃∅= A ⋂∅=∅ ❹A A ⋃=Ω A A ⋂=∅ ❺A A == -Ω=∅-∅=Ω❻A A A ⋃= A A A = ()A B A A B A -⋃=⋃≠ ❼如果A B ⊃,则A B A ⋃=,A B B ⋂= ❽满足交换律：A B B A ⋃=⋃,AB BA =❾满足结合律：()()A B C A B C ⋃⋃=⋃⋃ ()()A B C A B C= ❶⓿满足分配率：()A B C AB AC ⋃=⋃ ()()()A BC A B B C ⋃=⋃⋃ ❶❶= =二、随机事件的概率：[1]古典概型：设随机事件的样本空间Ω包含有有限个样本点（此模型称为古典概型），则事件A 发生的概率为： #()#A P A E n==Ω有利于事件A 的样本点数m实验的样本空间所含的样本点数 [2]几何定义： 设Ω是n R （n=1、2、3）中任何一个可度量的区域，从Ω中随机的选择一点，即Ω中任何一点都有相同的机会被选到，则相应的随机试验的样本空间就是Ω，假设事件A 是Ω中任何一个可度量的子集，则：()()()A P A μμ=Ω 此式定义的概率称为几何概率，符合上述假定模型的称为几何概型。
[3]统计定义：对一特定的实验，进行多次重复试验，实验的某一结果A ，即随机试验A ，在大量的重复试验中出现的频率的稳定值p 称为A 的概率。
§1.1随机事件与样本空间
§1.1随机事件与样本空间§1.1 随机事件与样本空间随机事件与样本空间是概率论中的两个最基本的概念。
⼀、基本事件与样本空间对于随机试验来说，我们感兴趣的往往是随机试验的所有可能结果。
例如掷⼀枚硬币，我们关⼼的是出现正⾯还是出现反⾯这两个可能结果。
若我们观察的是掷两枚硬币的试验，则可能出现的结果有（正、正）、（正、反）、（反、正）、（反、反）四种，如果掷三枚硬币，其结果还要复杂，但还是可以将它们描述出来的，总之为了研究随机试验，必须知道随机试验的所有可能结果。
1、基本事件通常，据我们研究的⽬的，将随机试验的每⼀个可能的结果，称为基本事件。
因为随机事件的所有可能结果是明确的，从⽽所有的基本事件也是明确的，例如：在抛掷硬币的试验中“出现反⾯”，“出现正⾯”是两个基本事件，⼜如在掷骰⼦试验中“出现⼀点”，“出现两点”，“出现三点”，……，“出现六点”这些都是基本事件。
2、样本空间基本事件的全体，称为样本空间。
也就是试验所有可能结果的全体是样本空间，样本空间通常⽤⼤写的希腊字母Ω表⽰，Ω中的点即是基本事件，也称为样本点，常⽤ω表⽰，有时也⽤A,B,C 等表⽰。
在具体问题中，给定样本空间是研究随机现象的第⼀步。
例1、⼀盒中有⼗个完全相同的球，分别有号码1、2、3……10，从中任取⼀球，观察其标号，令=i {取得球的标号为i }，=i 1,2,3,…,10. 则Ω={1,2,3,…,10},=i ω{标号为i },=i 1,2,3,…,101ω,2ω,…, 10ω为基本事件（样本点）例2 在研究英⽂字母使⽤状况时，通常选⽤这样的样本空间：Ω={空格，A,B,C,…,X,Y,Z}例 1，例 2讨论的样本空间只有有限个样本点，是⽐较简单的样本空间。
例3讨论某寻呼台在单位时间内收到的呼叫次数，可能结果⼀定是⾮负整数⽽且很难制定⼀个数为它的上界，这样，可以把样本空间取为Ω={0,1,2,3,…}这样的样本空间含有⽆穷个样本点，但这些样本点可以依照某种顺序排列起来，称它为可列样本空间。
1.2 样本空间、随机事件
S
A=B，则称事件 相等。 若 A ⊂ B 且 B ⊃ A ，即 A=B，则称事件 A 与事件 B 相等。
2°事件 A U B = { x | x ∈ A 或 x ∈ B }称为事件 A 与 B 的 ° 中至少有一个发生。 和事件，它指的是事件 A 与事件 B 中至少有一个发生。 事件，它指的是事件
如何来研究随机现象? 如何来研究随机现象 随机现象是通过随机试验来研究的！ 随机现象是通过随机试验来研究的！ 随机试验来研究的 研究方法？数学方法？ 研究方法？数学方法？ 将E的结果数量化！---用集合：S={e}，A，B… 的结果数量化！---用集合：S={e}， 用集合 引进（随机）变量、函数（概率、分布函数） 引进（随机）变量、函数（概率、分布函数）… 概率论研究的主线？ 概率论研究的主线？ 1、事件表示：---利用事件间关系、运算表示较复 事件表示：---利用事件间关系、 利用事件间关系 杂事件… 杂事件 计算事件的概率：----利用概率的定义 性质、 利用概率的定义、 2、计算事件的概率：----利用概率的定义、性质、 概率运算公式… 概率运算公式
2. 几点说明
由一个样本点组成的单点集，称为基本事件。 由一个样本点组成的单点集，称为基本事件。 基本事件
S 作为自己的一个子集，在每次试验中必然发生，称为 作为自己的一个子集，在每次试验中必然发生， 必然发生 必然事件; 必然事件; 空集∅ 作为 S 的一个子集，在每次试验中都不会发生，称 的一个子集，在每次试验中都不会发生， 都不会发生 为不可能事件 不可能事件. 事件
子集
事件间关系。。。 随机事件→事件间关系。。。 事件间关系
集合→ 集合→集合间关系运算
定义于集合的函数： 定义于集合的函数：函数
1.随机事件与样本空间
6.逆事件(或对立事件)
在一次试验中，事件A与事件B必然有一个发生，且仅 有一个发生，即事件A与B满足条件
A B U, A B 则称事件A与事件B互逆，又称A是B的对立事件或逆事 件(B是A的对立事件或逆事件)，记成A= B (B= ). A 显然， A =U-A. 例如：抛骰子时，A=“出现奇数点” B=“出现偶数点” 则A与B为对立事件.
概率统计的研究内容？
观察自然界的现象 ■ 确定性现象：在一定条件下必然发生的现象。
实例： “上抛的石子必然下落”， “太阳从东方升起”， “水从高处往低处流”， “同性电荷互斥” 等。
随机现象
在一定条件下，可能出现也可能不出现的现象。
E1
“在相同条件下抛一枚硬币，观察哪面朝上”
结果有可能出现正面 也可能出现反面
事件的运算法则
对于任意三个事件 A，B，C，满足下列运算：
1) 若 2) 则
A B, B C ,， A C
3)A B A B A A 交换律
4) 结合律 A ( B C ) ( A B) C
A B B A, A B B A
A ( B C ) ( A B) C
样本空间 样本点
随机试验的每一个可能的结果称为样本点，用w表示. 由全体样本点组成的集合称为样本空间，用U表示.
实例
E1：“抛一枚硬币，观察哪面朝上”. 则样本空间 U={正面朝上，反面朝上}. 若用w_1表示正面朝上，w_2表示反面朝上, 则样本空间也可表示为 U={w_1，w_2}.
E2 “掷一颗均匀骰子，观察出现的点数情况” 则样本空间为 U={1，2，3，4，5，6}.
随机事件与样本空间的关系
随机事件与样本空间的关系在概率论中，随机事件与样本空间是密不可分的概念。
理解二者之间的关系对于概率计算和推理至关重要。
本文将介绍随机事件和样本空间的定义、关系以及在概率计算中的应用。
一、随机事件的概念随机事件是指在一次特定的试验中可能发生或不发生的现象。
它是样本空间中的一个子集。
例如，掷一枚硬币，其试验结果可以是正面朝上（事件A）或反面朝上（事件B）。
在这个例子中，事件A和事件B分别是试验的两个随机事件。
二、样本空间的定义样本空间是指一个随机试验中所有可能结果的集合。
它包含了实验中的每一个可能结果。
以掷一枚硬币为例，样本空间为{正面，反面}。
样本空间可以有有限个元素，也可以是一个无穷集合。
三、随机事件与样本空间的关系随机事件是样本空间的子集。
它们之间的关系可以用包含关系来描述。
具体而言，一个事件A发生意味着试验的结果属于A所对应的样本点集合。
相反，如果试验结果属于事件A，那么事件A就发生了。
四、概率计算中的应用概率计算是研究随机事件发生可能性的重要方法。
随机事件和样本空间的关系在概率计算中起着关键作用。
1. 计算概率概率可以通过事件发生的样本点数量与样本空间中样本点总数的比值来计算。
例如，假设在掷一枚硬币的试验中，事件A表示正面朝上，那么事件A发生的概率为P(A) = |A| / |样本空间|，其中|A|表示事件A中的样本点数量，|样本空间|表示样本空间中的样本点数量。
2. 事件间的运算根据随机事件和样本空间的关系，可以进行并、交、差等运算。
例如，事件A和事件B的并集为A∪B，表示A和B中至少有一个发生的样本点的集合。
交集为A∩B，表示A和B同时发生的样本点的集合。
差集为A-B，表示A发生而B不发生的样本点的集合。
3. 条件概率条件概率是指在已知某个事件发生的条件下，另一个事件发生的概率。
条件概率计算中，样本空间会根据已知事件的发生而被限制在一个子集中，从而影响概率的计算。
例如，已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率可以表示为P(B|A) = P(A∩B) / P(A)，其中P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率。
概率论 样本空间、随机事件
S4 ={1,2,3,4,5,6}； S5 ={0,1,2…}； S6 ={t | t≥0} t为灯泡寿命； S7 ={(x,y)|T0≤x≤y≤T1},这里x表示最低温度，y 表示最高温度，并设这一地区的温度不会小 于T0，也不会大于T1。 S8 ={(x,y)|x2+y2≤100}, 注意：样本空间的元素是由试验的目的所确 定的。例如，在E2和E3种同是将一枚硬币连 抛三次，由于试验的目的不一样，其样本空 间也不一样。
反之，当且仅当“接点a未闭合”与“接点 b、c都未闭合”二事件中至少有一事件发 生时，指示灯不亮；所以有
．
这个等式也可以由等式 D= A（B∪C） 利用De Morgan对偶律得到．事实上，我 们有
例7 设A，B，C，D是四个事件，用A，B，C， D的运算关系表示下列事件。 （1）A1：“A，B，C，D中仅有A发生” （2）A2：“A，B，C，D中恰有一个发生” （3）A3：“A，B，C，D中至少有一个发生” （4）A4：“A，B，C，D中至少有两个发生” （5）A5：“A，B，C，D中至多有一个发生” （6）A6：“A，B，C，D中至多有两个发生” （7）A7：“A，B，C，D都不发生” （8）A8：“A，B，C，D不都发生” （9）A9：“A，B，C，D中至多一个发生，但D 不发生” （10）A10：“A，B，C，D中至多一个不发生”
7. 事件的对立
AB , A B
— A 与B 互相对立 A 每次试验 A、 B中 有且只有一个发生 称B 为A的对立事件 (or 逆事件)， 记为 B A
注意：“A 与B 互相对立”与 “A 与B 互斥”是不同的概念
B A
运算律
事件 运算 对应 集合 运算
吸收律
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第一讲样本空间与随机事件一研究对象在自然界和社会中存在两类不同的现象，一类是确定性现象确定性现象，另一类是随机现象。
1 确定性现象在一定的条件下，结果唯一确定。
如：水在1p下，在100摄氏度时，必然沸腾。
向上抛一石子，必然下落。
同性电荷相互排斥。
石蕊投入酸性溶液中呈现红色。
这类现象，条件给定后结果明确可知。
2 随机现象给定条件结果不能确定。
如：相同条件下抛掷一枚硬币，结果可能正面朝上也可能正面朝下。
同一枚大炮向同一目标射击，射击之前，无法确定弹着点的位置。
一个电子产品（比如灯泡）不能确定其使用寿命。
这类现象，在给定条件后，结果的发生是不能确定的。
有多于一种的可能结果，但在试验或观察之前不能确定是哪个结果。
此外，购买彩票，可能中奖也可能不中奖，抓阄问题，天气预报问题，某汽车站某天上车人数。
某地的年降雨量，今年的国民经济增长速度等等都是随机现象。
3 随机现象的统计规律性虽然随机现象在一次观察中没什么规律，但是人们在长期实践并深入研究之后，发现这类现象在大量重复试验或观察，其结果确呈现某种规律性。
如多次重复抛掷一枚硬币，得到正面朝上大致有一半，而炮弹弹着点按照一定的规律分布，大量检查电子仪器的寿命，也会呈现某种规律性，比如大部分集中在1000小时附近，寿命很长或很短的占的比例较小。
这种在大量重复观察或试验中所随机现象所呈现的固有规律性称为统计规律性。
概率统计就是研究随机现象统计规律性的数学学科。
因为随机现象广泛存在，随机数学才大有用武之地。
为了对随机现象进行研究，下面我们来建立描述随机现象的一些基本概念。
二样本空间1 随机试验对随机现象进行一次观察或记录就是一次试验。
在这里观察或试验是一个含义广泛的概念，包括物理试验、化学试验、检查记录等一切可能的手段。
下面举一些试验的例子。
E1：抛一枚硬币，观察正面H（Heads）、反面T（Tails）出现的情况。
E2：将一枚硬币抛掷三次，观察正面、反面出现的情况。
E3：将一枚硬币抛掷三次，观察出现正面的次数。
E4：抛一颗骰子，观察出现的点数。
E5：记录寻呼台一分钟内接到的呼唤次数。
E6：在一批灯泡中任意抽取一只，测试它的寿命。
E7：记录某地一昼夜的最高温度和最高温度。
这些实验具有以下特点：（1）进行一次实验之前不能确定哪一个结果会出现。
（2）每次实验的可能结果不止一个，并且能事先明确实验的所有可能结果；（3）可以在相同的条件下重复进行。
在概率论中，我们将具有上述三个特点的试验称为随机试验。
2 样本空间定义：将随机试验E 的所有可能结果组成的集合称为E的样本空间，记为S。
样本空间S的元素，即随机试验的每个结果，称为样本点。
例1 写出以上随机试验的样本空间。
解：S1：{ H , T }；S2：{ HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT }；S3：{ 0, 1, 2, 3 }，S4 : { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }；S5：{0,1,2,3……}，S6 : { t | t≥ 0 }；S7：{ ( x , y ) | T0≤x , y≤T1 }，这里x表示最低温度，y表示最高温度。
并设这一地区的温度不会小于T0，也不会大于T1。
注意：（1）S中元素是由随机试验的目的所确定的。
（2）S是一个集合，元素是每个可能的结果。
（3）S可能是有限集也可能是无限集。
我们正是通过研究随机试验来研究随机现象。
三随机事件在实际中，在进行随机试验时，有一些事件是我们关心的，例如在E6中规定灯泡的寿命大于500小时为合格，{灯泡的寿命大于500小时}这一事件是我们关心的。
检测一个灯泡如果寿命是600小时，称这一事件发生，如果寿命是400小时，称这一事件没有发生，因此这一事件的发生和随机试验的结果有关，具有随机性，故称为随机事件，进行一次随机实验，随机事件可能发生也可能不发生。
进行一次随机试验，也就是测试一个灯泡的寿命，结果为600小时，{灯泡的寿命大于500小时}发生了，再进行一次随机试验，测试一个灯泡的寿命，结果为700小时，{灯泡的寿命大于500小时}发生了，可见{灯泡的寿命大于500小时}包含无穷多个随机试验的结果，可以用集合表示如下，{灯泡的寿命大于500小时}＝}500{>t t ，因此随机事件本质上是一个集合，是样本空间的子集。
同样}500{<t t ，}1000500{<<t t 也是随机事件。
由此给出随机事件的定义。
随机事件的定义：随机试验E 的样本空间S 的子集称为E 的随机事件。
随机事件一般用大写字母A 、B 、C …等表示。
事件发生：一个随机事件发生当且仅当它所包含的一个样本点在试验中出现。
例２ 用样本点集合表示下列随机事件。
Ｅ2中Ａ＝｛第一次出现正面｝,Ｂ＝｛三次相同｝,Ａ１＝｛三次都是正面｝,Ｅ3中Ｃ＝ ｛正面不少于２次｝,Ｅ7中D ＝｛最高最低不相差１０度｝。
解：Ｅ2中A ＝{ HHH ， HHT ，HTH ，THH ，HTT}，B ＝{ HHH ，TTT}，Ａ１＝｛HHH ｝ Ｅ3中Ｃ＝ ｛正面不少于２次｝＝ ｛2，3｝，Ｅ4中Ｄ＝｛出现偶数点｝＝｛2，4，6｝， Ｅ7中},100),{(10T x y T x y y x F ≤-≤≤-≤=。
特别的，由一个样本点组成的单点集称为基本事件。
样本空间 S 是自身的子集，在每次试验中都发生，称为必然事件。
空集∅不包含任何样本点，它也可以作为样本空间的子集，它在每次试验中都不发生称为不可能事件。
四 事件间的关系与运算一个样本空间可以有许多个随机事件，它们都是S 的子集，我们可以通过简单事件去表示更复杂的事件，为此必须了解事件之间的关系与运算。
因为样本空间是一种集合，可以看成全集，事件是样本空间的子集，也是集合，因此事件之间的关系与运算就是集合之间的关系与运算，关键是根据事件发生的含义理解事件运算的概率意义。
1 子事件 若B A ⊂，称事件B 包含事件A 。
若B A ⊂，则事件Ａ发生事件Ｂ必然发生。
2 相等关系 若B A ⊂且A B ⊂，即 B A =，称事件A 与B 相等。
3 和事件 事件}{B A B A ∈∈=ωωω或 称为事件A 与B 的和事件。
B A 发生 当且仅当A 或B 至少有一个发生。
可以推广到有限个或可列个事件的和事件。
n k k n k k n A A A A A A A A 211211===∞= 4 积事件 事件B A )(AB 或 }{B A ∈∈=ωωω且称为事件A 与事件B 的积事件。
AB 发生当且仅当A 、B 都发生。
可以推广到有限个或可列个事件的积事件。
n k k n k k n A A A A A A A A 211211===∞= 5 差事件 事件B A -}{B A ∉∈=ωωω且称为事件A 事件B的差事件。
B A -发生当且仅当A 发生B 不发生。
6 互不相容 若Φ=AB ，称事件A 与B 互不相容。
这时B A ,不同时发生。
7 对立事件 若 Φ=AB 且S B A = 称B A ,互为对立事件。
由此可见，对立一定互不相容，互不相容不一定对立。
在进行事件运算时经常要用到下述定律，设A ，B ，C 为事件，则有，幂等律：A A A A A A == ,交换律： A B B A A B B A ==,结合律： ()()()()C B A C B A C B A C B A ==分配律： ()()()()()()C A B A C B A C A B A C B A ==De Morgan 定律： ααααααααA A A A ==, 例3 S 2 中事件 A ={HHH,HHT,HTH,HTT}，B ={HHH,TTT}，计算B A ，B A 。
解：}HHH {=B A ，TTT}HTT,HTH,HHT,HHH,{=B A 。
例4 随机试验E 6中 设A ={ t | t <1000}， B ={ t | t ≥ 1000}，C ={ t | t ≥ 1500}，则1500}t 1000{t <≤=-C B ，A ，C 是互斥事件 A ，B 是对立事件。
例5 设A ,B ,C 分别表示甲乙丙某项测试合格，用A ,B ,C 表示下列事件。
（1）D ：三人均合格；（2）E ：三人至少有一人合格；（3）F ：三人中只有一人合格；（4）G ：三人中至多有一人合格；（5）H ：恰有两人合格。
解：(1)ABC D = (2)C B A E = (3)C B A C B A C B A F = (4)F C B A G = (5) BC A C B A C AB H =例6 一射手向目标射击，直到击中目标为止， 设A i ＝{第i 次击中目标}，B ＝{击中目标}，用A i 表示B 。
解：i i A B ∞==1 。
例7 如图所示的电路中，A 表示事件“信号灯亮”，B ，C ，D 分别表示开关Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ闭合，用B ，C ，D 表示A 。
解：)(D C B A =，且显然有A BC ⊂，A BD ⊂，Φ=A B 。