随机事件与样本空间 PPT
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1-2节 样本空间和随机事件
(3) 分配律 A ( B C ) ( A B) ( A C ),
A ( B C ) ( A B) ( A C ),
(4)德 摩根律 : A B A B, A B A B.
(对偶律)
A A,
i 1 i i 1 i
样本空间的元素由试验的目的所确定.
二、随机事件
随机事件 在一次试验中可能发生也可能不发
生的结果称为随机事件, 简称事件.事件常用A、
B、C表示. 随机事件是由样本空间的某些样本点构成的. 例如 抛掷一枚骰子, 观察出现的点数. 试验中,骰子“出现1点”, “出现2点”, … ,“出现6 点”, “点数不大于4”, “点数为偶数” 等都为随机事件.
空集 和样本空间S都是样本空间S的子集, 在每次试验中 必不发生,称 为不可能事件; S 必发生,称 S为必然事件. 为叙述方便,把不可能事件和必然事件都包括 在随机事件中.
三、事件间的关系及运算
设试验 E 的样本空间为 S , 而 A, B, Ak (k 1,2,) 是 S 的子集.
个事件,称此事件为事件 A与事件B的积事
件. 记作 A I B或AB 显然 A I B {e | e A且e B}.
A AB
B
S
图示:事件A与B 的积事件.
积事件具有如下性质：
(1)若A B, 则A B A; B A, 则A B B.
(2) A B A; A B B.
3. 和事件
“事件 A与事件B至少有一个发生”也是 一 个事件, 称此事件为事件 A 与事件B的和事件. 记作A B，显然A B {e | e A或e B}.
B A
S
A ( B C ) ( A B) ( A C ),
(4)德 摩根律 : A B A B, A B A B.
(对偶律)
A A,
i 1 i i 1 i
样本空间的元素由试验的目的所确定.
二、随机事件
随机事件 在一次试验中可能发生也可能不发
生的结果称为随机事件, 简称事件.事件常用A、
B、C表示. 随机事件是由样本空间的某些样本点构成的. 例如 抛掷一枚骰子, 观察出现的点数. 试验中,骰子“出现1点”, “出现2点”, … ,“出现6 点”, “点数不大于4”, “点数为偶数” 等都为随机事件.
空集 和样本空间S都是样本空间S的子集, 在每次试验中 必不发生,称 为不可能事件; S 必发生,称 S为必然事件. 为叙述方便,把不可能事件和必然事件都包括 在随机事件中.
三、事件间的关系及运算
设试验 E 的样本空间为 S , 而 A, B, Ak (k 1,2,) 是 S 的子集.
个事件,称此事件为事件 A与事件B的积事
件. 记作 A I B或AB 显然 A I B {e | e A且e B}.
A AB
B
S
图示:事件A与B 的积事件.
积事件具有如下性质：
(1)若A B, 则A B A; B A, 则A B B.
(2) A B A; A B B.
3. 和事件
“事件 A与事件B至少有一个发生”也是 一 个事件, 称此事件为事件 A 与事件B的和事件. 记作A B，显然A B {e | e A或e B}.
B A
S
1.2样本空间、随机事件
二、随机事件的概念
1. 基本概念
随机试验 E 的样本空间 S 的子集称为 E 的随 机事件, 简称事件.
每次实验中, 当且仅当这一子集中的一个样本 点出现时, 称这一事件发生.
由一个样本点组成的单点集, 称为基本事件.
样本空间 S包含所有的样本 , 它点是S自身的 子集, 在每次实验中它总是发生的, S称为必然事 件.
A S
某种产品的合格与否是由该产品的长度与直
径是否合格所决定, 因此 “产品不合格”是“长
不合格”与“直径不度合格”的并.
n
推广 称 A k为 n个事 A 1,A 2 件 , ,A n的和事 k1
件, 称 A k为可列 A 1,A 个 2, 的 事和 件 . 事件 k1
3 . 事 A B x x 件 A 且 x B , 称为事件A
它既可以作为抛掷硬币出现正面或出现反面的模 型, 也可以作为产品检验中合格与不合格的模型, 又能用于排队现象中有人排队与无人排队的模型.
课堂练习
写出下列随机试验的样本空间. 1. 同时掷三颗骰子,记录三颗骰子之和. 2. 生产产品直到得到10件正品,记录生产产品的 总件数.
所以在具体问题的研究 中, 描述随机现象的第一步 就是建立样本空间.
对立事件与互斥事件的区别
A、B 互斥
A、B 对立
A
BS
AB
互斥
A
B A S
A B S 且 A B
对立
事件间的运算规律 设A,B,C为事,件 则有
(1)交换律 AB BA; AB BA.
(2)结合律 A(BC) (AB)C; A(BC) (AB)C.
(3)分配律 A(BC) (A B ) (A C ); A(BC) (A B ) (A C ).
1.2 样本空间、随机事件
S
A=B，则称事件 相等。 若 A ⊂ B 且 B ⊃ A ，即 A=B，则称事件 A 与事件 B 相等。
2°事件 A U B = { x | x ∈ A 或 x ∈ B }称为事件 A 与 B 的 ° 中至少有一个发生。 和事件，它指的是事件 A 与事件 B 中至少有一个发生。 事件，它指的是事件
如何来研究随机现象? 如何来研究随机现象 随机现象是通过随机试验来研究的！ 随机现象是通过随机试验来研究的！ 随机试验来研究的 研究方法？数学方法？ 研究方法？数学方法？ 将E的结果数量化！---用集合：S={e}，A，B… 的结果数量化！---用集合：S={e}， 用集合 引进（随机）变量、函数（概率、分布函数） 引进（随机）变量、函数（概率、分布函数）… 概率论研究的主线？ 概率论研究的主线？ 1、事件表示：---利用事件间关系、运算表示较复 事件表示：---利用事件间关系、 利用事件间关系 杂事件… 杂事件 计算事件的概率：----利用概率的定义 性质、 利用概率的定义、 2、计算事件的概率：----利用概率的定义、性质、 概率运算公式… 概率运算公式
2. 几点说明
由一个样本点组成的单点集，称为基本事件。 由一个样本点组成的单点集，称为基本事件。 基本事件
S 作为自己的一个子集，在每次试验中必然发生，称为 作为自己的一个子集，在每次试验中必然发生， 必然发生 必然事件; 必然事件; 空集∅ 作为 S 的一个子集，在每次试验中都不会发生，称 的一个子集，在每次试验中都不会发生， 都不会发生 为不可能事件 不可能事件. 事件
子集
事件间关系。。。 随机事件→事件间关系。。。 事件间关系
集合→ 集合→集合间关系运算
定义于集合的函数： 定义于集合的函数：函数
《有限样本空间与随机事件》课件
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共有10种可能结果0，1，2，3，4，5，6，7，8，9. 所有可能结果可用集合表示为{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}
学习新知
2.样本点和样本空间
定义
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教案下载：ww特点：
(1)试验可以在相同条件下重复进行；可重复性
(2)试验的所有可能结果是明确可知的，
并且不止一个；
可预知性
(3)每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但
事先不能确定出现哪一个结果．
随机性
学习新知
概率论 样本空间、随机事件
S4 ={1,2,3,4,5,6}； S5 ={0,1,2…}； S6 ={t | t≥0} t为灯泡寿命； S7 ={(x,y)|T0≤x≤y≤T1},这里x表示最低温度，y 表示最高温度，并设这一地区的温度不会小 于T0，也不会大于T1。 S8 ={(x,y)|x2+y2≤100}, 注意：样本空间的元素是由试验的目的所确 定的。例如，在E2和E3种同是将一枚硬币连 抛三次，由于试验的目的不一样，其样本空 间也不一样。
反之，当且仅当“接点a未闭合”与“接点 b、c都未闭合”二事件中至少有一事件发 生时，指示灯不亮；所以有
．
这个等式也可以由等式 D= A（B∪C） 利用De Morgan对偶律得到．事实上，我 们有
例7 设A，B，C，D是四个事件，用A，B，C， D的运算关系表示下列事件。 （1）A1：“A，B，C，D中仅有A发生” （2）A2：“A，B，C，D中恰有一个发生” （3）A3：“A，B，C，D中至少有一个发生” （4）A4：“A，B，C，D中至少有两个发生” （5）A5：“A，B，C，D中至多有一个发生” （6）A6：“A，B，C，D中至多有两个发生” （7）A7：“A，B，C，D都不发生” （8）A8：“A，B，C，D不都发生” （9）A9：“A，B，C，D中至多一个发生，但D 不发生” （10）A10：“A，B，C，D中至多一个不发生”
7. 事件的对立
AB , A B
— A 与B 互相对立 A 每次试验 A、 B中 有且只有一个发生 称B 为A的对立事件 (or 逆事件)， 记为 B A
注意：“A 与B 互相对立”与 “A 与B 互斥”是不同的概念
B A
运算律
事件 运算 对应 集合 运算
吸收律
随机事件与样本空间
问题情境
木柴燃烧,产生热量
明天，地球还会转动
实心铁块丢入水中,铁块浮起
在0 C下，这些雪融化
0
在一定条件下: 必然会发生的事件叫必然事件; 必然不会发生的事件叫不可能事件;
试判断这些事件发生的可能性：
（1）木柴燃烧，产生热量 必然发生 （2）明天,地球仍会转动 必然发生
必然事件
（3）实心铁块丢入水中,铁块浮起 不可能发生 （4）在标准大气压00C以下，雪融化 不可能发生
乙同学
布 剪子 石头
． ． ． ． ． ． ． ． ．
石头 剪子 布
甲同学
• • • •
练习 写出下列随机试验的样本空间： （1）种下一粒种子，观察种子是否发芽； （2）甲乙两队进行一场比赛，观察甲队的 胜负结果； • （3）从含有15件次品的100件产品中任取5 件，观察其中的次品数。
Ω１＝｛发芽，不发芽｝ Ω２＝｛胜，负，平｝ Ω３＝｛０，１，２，３，４，５｝
不可能事件
（5）在刚才的图中转动转盘后，指针指向黄色区域
可能发生也可能不发生 （6）两人各买1张彩票，均中奖 可能发生也可能不发生 随机事件
试分析:“从一堆牌中任意抽一张抽到红牌”这一事 件的发生的可能性?
必然发生
必然不会发生
可能发生, 也 可能不发生
三人每次都能摸到红球吗？
思考：
1、样本空间本身表示的事件是必然事件吗？ 2、用空集φ表示的事件是不可能事件吗？举例 说明 3、某同学投篮5次，“他投中6次”和“他投 中的次数小于6”分别是什么事件？
你能列举几个随 机现象的例子吗?
二、随机试验
在实际中,一般通过观察试验来研究随机现象.
对随机现象的观察或试验称为随机试验,简称 试验。
概率论课件——样本空间、随机事件
对 立
互
斥
事件间的运算规律 设 A, B, C 为事件, 则有
(1) 交换律
A B B A, AB BA. (Exchange law)
( 2) 结合律 ( A B ) C A ( B C ),
( AB )C A( BC ).
(Combination law)
k 1
n
称 Ak 为可列个事件 A1 , A2 , 的积事件.
k 1
和事件与积事件的运算性质
A A A, A A A, A S S, A S A, A A,
A .
5. 事件 A 与 B 互不相容 (互斥) (Incompatible events) 若事件 A 的出现必然导致事件 B 不出现, B
直径是否合格所决定,因此 “产品不合格”是“长度 不合格”与“直径不合格”的并. 图示事件 A 与 B 的并.
B A B A
S
推广 称 Ak 为 n 个事件 A1 , A2 , , An 的和事件;
k 1
n
称 Ak 为可列个事件 A1 , A2 , 的和事件.
k 1
4. 事件 A 与 B 的交 (积事件) (Product of events)
例如 只包含两个样本点的样本空间
S {H , T }
它既可以作为抛掷硬币出现正面或出现反面的
模型 , 也可以作为产品检验中合格与不合格的模 型 , 又能用于排队现象中有人排队与无人排队的 模型等.
所以在具体问题的研究
中 , 描述随机现象的第一步
就是建立样本空间.
二、随机事件(Random event ) 的概念
第二节 样本空间、随机事件 (Sampling space, Random event )
互
斥
事件间的运算规律 设 A, B, C 为事件, 则有
(1) 交换律
A B B A, AB BA. (Exchange law)
( 2) 结合律 ( A B ) C A ( B C ),
( AB )C A( BC ).
(Combination law)
k 1
n
称 Ak 为可列个事件 A1 , A2 , 的积事件.
k 1
和事件与积事件的运算性质
A A A, A A A, A S S, A S A, A A,
A .
5. 事件 A 与 B 互不相容 (互斥) (Incompatible events) 若事件 A 的出现必然导致事件 B 不出现, B
直径是否合格所决定,因此 “产品不合格”是“长度 不合格”与“直径不合格”的并. 图示事件 A 与 B 的并.
B A B A
S
推广 称 Ak 为 n 个事件 A1 , A2 , , An 的和事件;
k 1
n
称 Ak 为可列个事件 A1 , A2 , 的和事件.
k 1
4. 事件 A 与 B 的交 (积事件) (Product of events)
例如 只包含两个样本点的样本空间
S {H , T }
它既可以作为抛掷硬币出现正面或出现反面的
模型 , 也可以作为产品检验中合格与不合格的模 型 , 又能用于排队现象中有人排队与无人排队的 模型等.
所以在具体问题的研究
中 , 描述随机现象的第一步
就是建立样本空间.
二、随机事件(Random event ) 的概念
第二节 样本空间、随机事件 (Sampling space, Random event )
概率论与数理统计教程_第五版_ppt课件
.
推广：
N元情形
n
称 Ak 为 n 个事件 A1, A2 , , An 的和事件,即 k 1
A1, A2 , , An至少发生一个;
.
3.事件的交（积）
"二事件A, B同时发生"也是一个事件 , 称为 事件A 与事件 B 的积事件,记作A B，显然 A B {e | e A且e B}.
实例 抛掷一枚骰子, 观察出现的点数。 试验中,骰子“出现1点”, “出现2 点”, … ,“出现6点”, “点数不大于4”, “点 数为偶数” 等都为随机事件.
.
五、随机事件的关系及运算
（1）、随机事件间的关系 设试验 E 的样本空间为 , 而 A, B, Ak (k
1,2, )是 的子集. 1、包含关系 若事件 A 出现, 必然导致 B 出现
若事件 A 、B 满足 A B AB .
则称事件 A与B互不相容.
例 抛掷一枚硬币, “出现花面” 与 “出现字面” 是互不相容的两个事件.
说明 当AB= 时,可将AB记为“直和”形 式A+B 任意事件A与不可能事件为互斥.
.
5.事件的差
事件 “A 出现而 B 不出现”，称为事件 A 与 B 的差. 记作 A- B.
一、随机现象 二、随机试验 三、样本空间 样本点 四、随机事件的概念 五、随机事件的关系
.
一、随机试验
1.必然现象（确定） 2.偶然现象（不确定）随机
说明： 1.随机现象揭示了条件和结果之间的非确定性联系 ,
其数量关系无法用函数加以描述. 2.随机现象在一次观察中出现什么结果具有偶然性,
但在大量重复试验或观察中, 这种结果的出现具有 一定的统计规律性 , 概率论就是研究随机现象这 种本质规律的一门数学学科.
推广：
N元情形
n
称 Ak 为 n 个事件 A1, A2 , , An 的和事件,即 k 1
A1, A2 , , An至少发生一个;
.
3.事件的交（积）
"二事件A, B同时发生"也是一个事件 , 称为 事件A 与事件 B 的积事件,记作A B，显然 A B {e | e A且e B}.
实例 抛掷一枚骰子, 观察出现的点数。 试验中,骰子“出现1点”, “出现2 点”, … ,“出现6点”, “点数不大于4”, “点 数为偶数” 等都为随机事件.
.
五、随机事件的关系及运算
（1）、随机事件间的关系 设试验 E 的样本空间为 , 而 A, B, Ak (k
1,2, )是 的子集. 1、包含关系 若事件 A 出现, 必然导致 B 出现
若事件 A 、B 满足 A B AB .
则称事件 A与B互不相容.
例 抛掷一枚硬币, “出现花面” 与 “出现字面” 是互不相容的两个事件.
说明 当AB= 时,可将AB记为“直和”形 式A+B 任意事件A与不可能事件为互斥.
.
5.事件的差
事件 “A 出现而 B 不出现”，称为事件 A 与 B 的差. 记作 A- B.
一、随机现象 二、随机试验 三、样本空间 样本点 四、随机事件的概念 五、随机事件的关系
.
一、随机试验
1.必然现象（确定） 2.偶然现象（不确定）随机
说明： 1.随机现象揭示了条件和结果之间的非确定性联系 ,
其数量关系无法用函数加以描述. 2.随机现象在一次观察中出现什么结果具有偶然性,
但在大量重复试验或观察中, 这种结果的出现具有 一定的统计规律性 , 概率论就是研究随机现象这 种本质规律的一门数学学科.
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《概率论与数理统计》的教学方法： （1）经典概率论部分
大多数学生在系统学习《概率论与数理统计》之前，在中学或多或少对何谓概率有 所了解，因此该门课程的入门较低，但如 何从实际的随机现象中把问题数学化，如 何运用数学符号表示随机现象是学习该部分内容的难点。这部分内容是整个概率论 的基础，要从学生常见的随机想象出发，引导学生如何用数学语言描述随机现象， 而不是仅仅会猜答案，写不出任何接替步骤。具体教学方案分两步：第一步先让学生 初步掌握数学中集合的概念来表述随机事件；熟悉随机事件的运算规律；第二步再学 习概率的定义的发展规律，进而了解概率的公理化体系，掌握条件概率，全概率公式 等内容。
如何来研究随机现象? 随机现象是通过随机试验来研究的.
问题 什么是随机试验?
二、随机试验
定义 在概率论中,把具有以下三个特征的试验称 为随机试验.
1. 可以在相同的条件下重复地进行; 2. 每次试验的可能结果不止一个,并且能事 先明确试验的所有可能结果; 3. 进行一次试验之前不能确定哪一个结果 会出现.
5. 从一批灯泡中任取 一只,测试其寿命.
三、样本空间 样本点
定义1.1 对于随机试验E，它的每一个可 能结果称为样本点，由一个样本点组成的 单点集称为基本事件。所有样本点构成的 集合称为E 的样本空间或必然事件，用或 S表示
我们规定不含任何元素的空集为不可能事件， 用 表示。
实例1 如：掷一枚骰子一次的试验E.
盛骤，谢式千，潘承毅 编 高等教育出版社
牛丽英，陈勇 主编 出 版 社：水利水电出版社
Chapter 1
本章重点： 1.理解随机事件及其概率的概念； 2.理解条件概率及事件独立性的概念； 3.掌握随机事件之间的关系与运算； 4.掌握概率的基本性质及概率加法定理与乘法
定理以及计算概率的全概率公式与贝叶斯公式。 本章难点：
前
言
概率统计是研究随机现象数量规律的 学科, 理论严谨, 应用广泛,发展迅速. 不 仅高等学校各专业都开设了本课程, 而且 在上世纪末，此课程特意被教育部定为本 科生考研的数学课程之一，希望大家能认 真学好这门不易学好的重要课程.
本学科的 ABC
概率(或然率或几率) —— 随机事件出现 的可能性的量度—— 其起源与博弈问题有关.
指挥灯”.
实例6 “一只灯泡的寿命” 可长可 短.
说明
1. 随机现象揭示了条件和结果之间的非确定性联 系 , 其数量关系无法用函数加以描述. 2. 随机现象在一次观察中出现什么结果具有偶然 性（也称随机性). 或者说，出现哪个结果“凭机 会而定”.
3.但在大量重复试验或观察中, 这种结果的出现 具有一定的统计规律性 , 概率论就是研究随机现 象这种本质规律的一门数学学科.
有关古典概率及条件概率的概念的理解及计算
第一节 随机事件的概念
一、 随机现象 二、 随机试验 三、样本空间 样本点 四、随机事件的概念
五、事件的关系与运算
一、随机现象
自然界所观察到的现象:
1.确定性现象
确定性现象 随机现象
在一定条件下必然发生 的现象称为确定性现象.
实确例定性现象的特征
条件完全决定结果
结果: “弹落点会各不相同”.
实例3 “抛掷一枚骰子,观 察出现的点数”.
结果有可能为:
“1”, “2”, “3”, “4”, “5” 或 “6”来自实例4 “从一批含有正
其结果可能为:
品和次品的产品中任意抽
正品 、次品.
取一个产品”.
随机现象的特征
条件不能完全决定结果
实例5 “过马路交叉口时,
可能遇上各种颜色的交通
NDD, DDN , DND, DDD }. 实例3 从一批灯泡中任取
一只, 测试其寿命.
S6 {t t 0}. 其中 t 为灯泡的寿命 .
说明 1. 试验不同, 对应的样本空间也不同.
2. 同一试验 , 若试验目的不同,则对应的样 本空 间也不同.
例如 对于同一试验: “将一枚硬币抛掷三 次若”观.察正面 H、反面 T 出现的情况 ,则样本空间 为 S {HHH , HHT , HTH , THH ,
第二次世界大战军事上的需要以及大工业 与管理的复杂化产生了运筹学、系统论、信息 论、控制论与数理统计学等学科.
数理统计学是一门研究怎样去有效地收集、 整理和分析带有随机性的数据，以对所考察的
问题作出推断或预测，直至为采取一定的决策
和行动提供依据和建议的 数学分支学科.
统计方法的数学理论要用到很多近代数学 知识，如函数论、拓扑学、矩阵代数、组合数 学等等，但关系最密切的是概率论，故可以这 样说：概率论是数理统计学的基础，数理统计
验
3) 进行一次试验之前不能确定哪一个结果会 出现.
(3) 随机试验 E 的所有可能结果组成的集合
称为 E 的样本空间, 记为 S .
课堂练习
写出下列随机试验的样本空间. 1. 同时掷三颗骰子,记录三颗骰子之和. 2. 生产产品直到得到10件正品,记录生产产品
的总件数. 答案 1. S {3, 4, 5,, 18}.
“太阳不会从西边升 “起水”从, 高处流向低处”,
“同性电荷必然互斥”, “函数在间断点处不存在导数” 等.
2. 随机现象
在一定条件下可能出现也可能不出现的现象 称为随机现象. 实例1 “在相同条件下掷一枚均匀的硬币,观 察正反两面出现的情况”.
结果有可能出现正面也可能出现反面.
实例2 “用同一门炮向同 一目标发射同一种炮弹多 发 , 观察弹落点的情况”.
学是概率论的一种应用. 但是它们是两个并列 的数学分支学科，并无从属关系.
概率论 32学时
随机事件及其概率 随机变量及其分布 多维随机变量及其分布 随机变量的数字特征与极限定理
数理统计 24学时
样本及其分布 参数估计 假设检验
《概率论与数理统计》的教学内容分为三个模块： （1）经典概率论部分 （2）随机变量的函数及其分布 （3）数理统计初步
A=“第一次出现正面”， B=“两次出现同一面”； （3）在“1,2,3,4”这4个数 中可重复的任取2个数字， A=“一个数是另一个数的2 倍”；
说明 1. 随机试验简称为试验, 是一个广泛的术语.它包 括各种各样的科学实验, 也包括对客观事物进行 的 “调查”、“观察”、或 “测量” 等. 2. 随机试验通常用 E 来表示. 实例 “抛掷一枚硬币,观 察正面,反面出现的情况”.
分析
(1) 试验可以在相同的条件下重复地进行;
(2) 试验的所有可能结果:
反过来，Ｓ的每个子集都对应了该试验的一个随 机事件．
随机事件的定义 随机试验 E 的样本空间 S 的子集称为 E
的随机事件, 简称事件.
当且仅当子集Ａ中某个样本点出现时，称 事件Ａ发生．
特别地： 基本事件 由一个样本点组成的单点集
实例 “出现1点”, “出现2点”, … , “出现6点”. 必然事件 随机试验中必然发生的事件． 实例 上述试验中 “点数不大于6” 就是必然事件. 不可能事件 随机试验中不可能发生的事件. 实例 上述试验中 “点数大于6” 就是不可能事件.
样本空间Ｓ作为自身最大的子集包含所有的样 本点（基本事件），表示必然事件．
空集 不含任何样本点表示不可能事件．
例1.1 写出掷骰子试验的样本点, 样本空间, 基本事件, 事件A—出现偶数, 事件B—出现奇数
解：用 i 表示掷骰子出现的点数为 i,i 1,6;
{1 ,2 ,3 ,4 ,5 ,6 }
HTT , TTH , THT , TTT }.
若观察出现正面的次数 , 则样本空间为
S {0, 1, 2, 3}.
说明
3. 建立样本空间,事实上就是建立随机现 象的数学模型. 因此 , 一个样本空间可以 概括许多内容大不相同的实际问题.
例如 只包含两个样本点的样本空间
S {H,T} 它既可以作为抛掷硬币出现正面或出现反面的
模型 , 也可以作为产品检验中合格与不合格的 模型 , 又能用于排队现象中有人排队与无人排 队的模型等.
在具体问题的 研究中 , 描述随机 现象的第一步就是 建立样本空间.
小结
(1) 概率论是研究随机现象规律性的一门数学学科
.(2) 随机现象是通过随机试验来研究的.
随机 试
1) 可以在相同的条件下重复地进行; 2) 每次试验的可能结果不止一个, 并且能事 先明确试验的所有可能结果;
基本事件 Ai {i }, i, i 1,2,,6;
A {2 ,4 ,6 };
B {1 ,3 ,5 }.
注意:描述随机事件A,B,C,……的方法
例如:将一枚硬币抛掷两次试验,怎样表示至少出现一 次正面这一事件?
设A=“至少出现一次正面” 或者A= {(H,H), (H,T), (T,H)}
并能应用这些概念解决某些实际问题。
《概率论与数理统计》的教学方法： （2）数理统计初步
概率论一般是研究如何来揭示随机现象所隐含的本质规律，反映在课程内容上就是 随机变量分布函数、分布律和概率密度函数的寻求以及研究它们的数字特征；统计 是以概率论为基础，利用实验数 据对分布函数，概率密度函数进行估计和检验，这 部分内容，主要讲授参数的点估计和区间估计，参数的假设检验，尤其要让学生熟 悉正态总体均值和方差的区间估计方法，假设检验方法，关于广义方差分析和回归 分析，由于学时所限，可以一带而过，作为学生自学的内容。
(2) 几点说明
1) 随机事件可简称为事件, 并以大写英文字母
A, B, C, 来表示事件
例如 抛掷一枚骰子, 观察出现的点数. 可设 A = “点数不大于4”,
B = “点数为奇数” 等 等.
2) 随机试验、样本空间与随机事件的关系 每一个随机试验相应地有一个样本空间, 样
大多数学生在系统学习《概率论与数理统计》之前，在中学或多或少对何谓概率有 所了解，因此该门课程的入门较低，但如 何从实际的随机现象中把问题数学化，如 何运用数学符号表示随机现象是学习该部分内容的难点。这部分内容是整个概率论 的基础，要从学生常见的随机想象出发，引导学生如何用数学语言描述随机现象， 而不是仅仅会猜答案，写不出任何接替步骤。具体教学方案分两步：第一步先让学生 初步掌握数学中集合的概念来表述随机事件；熟悉随机事件的运算规律；第二步再学 习概率的定义的发展规律，进而了解概率的公理化体系，掌握条件概率，全概率公式 等内容。
如何来研究随机现象? 随机现象是通过随机试验来研究的.
问题 什么是随机试验?
二、随机试验
定义 在概率论中,把具有以下三个特征的试验称 为随机试验.
1. 可以在相同的条件下重复地进行; 2. 每次试验的可能结果不止一个,并且能事 先明确试验的所有可能结果; 3. 进行一次试验之前不能确定哪一个结果 会出现.
5. 从一批灯泡中任取 一只,测试其寿命.
三、样本空间 样本点
定义1.1 对于随机试验E，它的每一个可 能结果称为样本点，由一个样本点组成的 单点集称为基本事件。所有样本点构成的 集合称为E 的样本空间或必然事件，用或 S表示
我们规定不含任何元素的空集为不可能事件， 用 表示。
实例1 如：掷一枚骰子一次的试验E.
盛骤，谢式千，潘承毅 编 高等教育出版社
牛丽英，陈勇 主编 出 版 社：水利水电出版社
Chapter 1
本章重点： 1.理解随机事件及其概率的概念； 2.理解条件概率及事件独立性的概念； 3.掌握随机事件之间的关系与运算； 4.掌握概率的基本性质及概率加法定理与乘法
定理以及计算概率的全概率公式与贝叶斯公式。 本章难点：
前
言
概率统计是研究随机现象数量规律的 学科, 理论严谨, 应用广泛,发展迅速. 不 仅高等学校各专业都开设了本课程, 而且 在上世纪末，此课程特意被教育部定为本 科生考研的数学课程之一，希望大家能认 真学好这门不易学好的重要课程.
本学科的 ABC
概率(或然率或几率) —— 随机事件出现 的可能性的量度—— 其起源与博弈问题有关.
指挥灯”.
实例6 “一只灯泡的寿命” 可长可 短.
说明
1. 随机现象揭示了条件和结果之间的非确定性联 系 , 其数量关系无法用函数加以描述. 2. 随机现象在一次观察中出现什么结果具有偶然 性（也称随机性). 或者说，出现哪个结果“凭机 会而定”.
3.但在大量重复试验或观察中, 这种结果的出现 具有一定的统计规律性 , 概率论就是研究随机现 象这种本质规律的一门数学学科.
有关古典概率及条件概率的概念的理解及计算
第一节 随机事件的概念
一、 随机现象 二、 随机试验 三、样本空间 样本点 四、随机事件的概念
五、事件的关系与运算
一、随机现象
自然界所观察到的现象:
1.确定性现象
确定性现象 随机现象
在一定条件下必然发生 的现象称为确定性现象.
实确例定性现象的特征
条件完全决定结果
结果: “弹落点会各不相同”.
实例3 “抛掷一枚骰子,观 察出现的点数”.
结果有可能为:
“1”, “2”, “3”, “4”, “5” 或 “6”来自实例4 “从一批含有正
其结果可能为:
品和次品的产品中任意抽
正品 、次品.
取一个产品”.
随机现象的特征
条件不能完全决定结果
实例5 “过马路交叉口时,
可能遇上各种颜色的交通
NDD, DDN , DND, DDD }. 实例3 从一批灯泡中任取
一只, 测试其寿命.
S6 {t t 0}. 其中 t 为灯泡的寿命 .
说明 1. 试验不同, 对应的样本空间也不同.
2. 同一试验 , 若试验目的不同,则对应的样 本空 间也不同.
例如 对于同一试验: “将一枚硬币抛掷三 次若”观.察正面 H、反面 T 出现的情况 ,则样本空间 为 S {HHH , HHT , HTH , THH ,
第二次世界大战军事上的需要以及大工业 与管理的复杂化产生了运筹学、系统论、信息 论、控制论与数理统计学等学科.
数理统计学是一门研究怎样去有效地收集、 整理和分析带有随机性的数据，以对所考察的
问题作出推断或预测，直至为采取一定的决策
和行动提供依据和建议的 数学分支学科.
统计方法的数学理论要用到很多近代数学 知识，如函数论、拓扑学、矩阵代数、组合数 学等等，但关系最密切的是概率论，故可以这 样说：概率论是数理统计学的基础，数理统计
验
3) 进行一次试验之前不能确定哪一个结果会 出现.
(3) 随机试验 E 的所有可能结果组成的集合
称为 E 的样本空间, 记为 S .
课堂练习
写出下列随机试验的样本空间. 1. 同时掷三颗骰子,记录三颗骰子之和. 2. 生产产品直到得到10件正品,记录生产产品
的总件数. 答案 1. S {3, 4, 5,, 18}.
“太阳不会从西边升 “起水”从, 高处流向低处”,
“同性电荷必然互斥”, “函数在间断点处不存在导数” 等.
2. 随机现象
在一定条件下可能出现也可能不出现的现象 称为随机现象. 实例1 “在相同条件下掷一枚均匀的硬币,观 察正反两面出现的情况”.
结果有可能出现正面也可能出现反面.
实例2 “用同一门炮向同 一目标发射同一种炮弹多 发 , 观察弹落点的情况”.
学是概率论的一种应用. 但是它们是两个并列 的数学分支学科，并无从属关系.
概率论 32学时
随机事件及其概率 随机变量及其分布 多维随机变量及其分布 随机变量的数字特征与极限定理
数理统计 24学时
样本及其分布 参数估计 假设检验
《概率论与数理统计》的教学内容分为三个模块： （1）经典概率论部分 （2）随机变量的函数及其分布 （3）数理统计初步
A=“第一次出现正面”， B=“两次出现同一面”； （3）在“1,2,3,4”这4个数 中可重复的任取2个数字， A=“一个数是另一个数的2 倍”；
说明 1. 随机试验简称为试验, 是一个广泛的术语.它包 括各种各样的科学实验, 也包括对客观事物进行 的 “调查”、“观察”、或 “测量” 等. 2. 随机试验通常用 E 来表示. 实例 “抛掷一枚硬币,观 察正面,反面出现的情况”.
分析
(1) 试验可以在相同的条件下重复地进行;
(2) 试验的所有可能结果:
反过来，Ｓ的每个子集都对应了该试验的一个随 机事件．
随机事件的定义 随机试验 E 的样本空间 S 的子集称为 E
的随机事件, 简称事件.
当且仅当子集Ａ中某个样本点出现时，称 事件Ａ发生．
特别地： 基本事件 由一个样本点组成的单点集
实例 “出现1点”, “出现2点”, … , “出现6点”. 必然事件 随机试验中必然发生的事件． 实例 上述试验中 “点数不大于6” 就是必然事件. 不可能事件 随机试验中不可能发生的事件. 实例 上述试验中 “点数大于6” 就是不可能事件.
样本空间Ｓ作为自身最大的子集包含所有的样 本点（基本事件），表示必然事件．
空集 不含任何样本点表示不可能事件．
例1.1 写出掷骰子试验的样本点, 样本空间, 基本事件, 事件A—出现偶数, 事件B—出现奇数
解：用 i 表示掷骰子出现的点数为 i,i 1,6;
{1 ,2 ,3 ,4 ,5 ,6 }
HTT , TTH , THT , TTT }.
若观察出现正面的次数 , 则样本空间为
S {0, 1, 2, 3}.
说明
3. 建立样本空间,事实上就是建立随机现 象的数学模型. 因此 , 一个样本空间可以 概括许多内容大不相同的实际问题.
例如 只包含两个样本点的样本空间
S {H,T} 它既可以作为抛掷硬币出现正面或出现反面的
模型 , 也可以作为产品检验中合格与不合格的 模型 , 又能用于排队现象中有人排队与无人排 队的模型等.
在具体问题的 研究中 , 描述随机 现象的第一步就是 建立样本空间.
小结
(1) 概率论是研究随机现象规律性的一门数学学科
.(2) 随机现象是通过随机试验来研究的.
随机 试
1) 可以在相同的条件下重复地进行; 2) 每次试验的可能结果不止一个, 并且能事 先明确试验的所有可能结果;
基本事件 Ai {i }, i, i 1,2,,6;
A {2 ,4 ,6 };
B {1 ,3 ,5 }.
注意:描述随机事件A,B,C,……的方法
例如:将一枚硬币抛掷两次试验,怎样表示至少出现一 次正面这一事件?
设A=“至少出现一次正面” 或者A= {(H,H), (H,T), (T,H)}
并能应用这些概念解决某些实际问题。
《概率论与数理统计》的教学方法： （2）数理统计初步
概率论一般是研究如何来揭示随机现象所隐含的本质规律，反映在课程内容上就是 随机变量分布函数、分布律和概率密度函数的寻求以及研究它们的数字特征；统计 是以概率论为基础，利用实验数 据对分布函数，概率密度函数进行估计和检验，这 部分内容，主要讲授参数的点估计和区间估计，参数的假设检验，尤其要让学生熟 悉正态总体均值和方差的区间估计方法，假设检验方法，关于广义方差分析和回归 分析，由于学时所限，可以一带而过，作为学生自学的内容。
(2) 几点说明
1) 随机事件可简称为事件, 并以大写英文字母
A, B, C, 来表示事件
例如 抛掷一枚骰子, 观察出现的点数. 可设 A = “点数不大于4”,
B = “点数为奇数” 等 等.
2) 随机试验、样本空间与随机事件的关系 每一个随机试验相应地有一个样本空间, 样