概率论与数理统计(随机试验与样本空间)
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概率论与数理统计
第1章 概率论基础 章
1.1 随机试验与样本空间 2.2 随机事件及其概率 3.3 古典概型与几何概型 3.4 条件概率与乘法公式 3.5 全概率公式和贝叶斯公式 3.6 独立性 3.7 Excel数据分析功能简介 数据分析功能简介
第1章 概率论基础 章
概率论是从数量化的角度来研究现实世界中一 类不确定现象（ 随机现象） 类不确定现象 （ 随机现象 ） 规律性的一门数学学 世纪以来， 科 ， 20世纪以来 ， 广泛应用于工业 、 国防 、 国民 世纪以来 广泛应用于工业、 国防、 经济及工程技术等各个领域． 经济及工程技术等各个领域 ． 本章介绍随机事件 与概率、 古典概型与几何概型 、 条件概率与乘法 与概率 、 古典概型与几何概型、 公式等概率论中最基本、 公式等概率论中最基本 、 最重要的概念和概率计 算方法． 算方法．
1.1.1 随机试验
实例4 实例
从一批含有正品
其结果可能为: 其结果可能为 次品. 正品 、次品
和次品的产品中任意抽取 一个产品. 一个产品 实例5 实例 过马路交叉口时, 过马路交叉口时
可能遇上各种颜色的交通 指挥灯. 指挥灯
wenku.baidu.com
1.1.1 随机试验
实例6 实例
出生的婴儿可
能是男 也可能是 也可能是女 能是男,也可能是女. 实例7 实例 明天的天气可
【概率论简史】 概率论简史】
1657年惠更斯 （ 1629-1695） 1657 年惠更斯（ Huygens， 荷 ， 1629-1695 ） 发 年惠更斯 ， 表的《论赌博中的计算》是最早的概率论著作， 表的《论赌博中的计算》是最早的概率论著作，论著 中第一批概率论概念（如数学期望）与定理（ 中第一批概率论概念（如数学期望）与定理（如概率 加法、乘法定理）标志着概率论的诞生． 加法、乘法定理）标志着概率论的诞生． 18世纪初，伯努利（Bernoulli,法,1700-1782）, 1700-1782） 18世纪初，伯努利（ 世纪初 , 棣莫弗（ 1667-1754） 蒲丰（ 棣莫弗（De.Moivre,法,1667-1754）、蒲丰（Buffon, , 17071749法 ,1707-1788 ） 、 拉 普 拉 斯 （ Laplace ， 法 ， 174917771827 ） 、 高 斯 （ Gauss, 德 ,1777-1855 ） 和 泊 松 , 1781-1840） （ Poisson,法 ,1781-1840 ） 等一批数学家对概率论作 , 了奠基性的贡献． 了奠基性的贡献．
第1章 概率论基础 章
1.1 随机试验与样本空间
1.1.1 随机试验
客观世界中存在着两类现象: 客观世界中存在着两类现象 必然现象 随机现象 在一定条件下必然出现的现象， 在一定条件下必然出现的现象， 称为必然现象； 称为必然现象； 必然现象
实例: 实例 “太阳从东边升起” 太阳从东边升起” 太阳从东边升起 水从高处向低处流” “水从高处向低处流” 同性电荷互斥” “同性电荷互斥”
1.1.2 样本空间
说明
(3) 建立样本空间 事实上就是建立随机现 建立样本空间,事实上就是建立随机现 象的数学模型. 象的数学模型 因此 , 一个样本空间可以 概括许多内容大不相同的实际问题. 概括许多内容大不相同的实际问题
例如
只包含两个样本点的样本空间
Ω = {H, T}
它既可以作为抛掷硬币出现正面或出现 反面的 它既可以作为抛掷硬币出现 正面或出现反面 的 正面 或出现反面 也可以作为产品检验中合格与不合格的 模型 , 也可以作为产品检验中合格与不合格的 合格 有人排队与 又能用于排队现象中有人排队 模型 , 又能用于排队现象中有人排队与无人排 队的模型等. 的模型等
【概率论简史】 概率论简史】
概率的概念形成于16世纪 概率的概念形成于16世纪，与用投掷骰子的方法 16世纪， 进行赌博有密切的关系． 进行赌博有密切的关系． 1654年 一个名叫德梅尔（ 1654 年 ， 一个名叫德梅尔 （ De Mere， 法 ） 的赌 ， 徒就“两个赌徒约定赌若干局，且谁先赢c局便算赢 徒就 “ 两个赌徒约定赌若干局 ， 且谁先赢 局便算赢 家，若在一赌徒胜a局（a<c），另一赌徒胜 局（b<c） ） 另一赌徒胜b局 ） 时便终止赌博，问应如何分赌本” 时便终止赌博，问应如何分赌本”为题求教于数学家 帕斯卡（ 1623-1662） 帕斯卡 （ Pascal， 法 ， 1623-1662 ） ， 帕斯卡与费玛 ， 1601-1665）通信讨论了这一问题， （ Fermat，法 ， 1601-1665 ） 通信讨论了这一问题 ， ， 并用组合的方法给出了正确的解答． 并用组合的方法给出了正确的解答．
1 . Ω = { 3 , 4 , 5 , ⋯ , 18 }. 2 . Ω = { 10 , 11 , 12 , ⋯ }.
“110每天接到的报警次数”： 每天接到的报警次数” 每天接到的报警次数
Ω 4 = {0，1，2，…}． ， ， ， ．
“圆心在原点的单位圆内任取一点”： 圆心在原点的单位圆内任取一点”
Ω 5 = {(x，y) | x2 + y2 ≤ 1}． ， ．
1.1.2 样本空间
关于样本空间的几点说明： 关于样本空间的几点说明： (1) 样本空间中的元素可以是数也可以不是数 ； 样本空间中的元素可以是数也可以不是数； (2) 样本空间中的样本点可以是有限多个的 ， 样本空间中的样本点可以是有限多个的， 也可以是无限多个的． 也可以是无限多个的．仅含两个样本点的样本空 间是最简单的样本空间． 间是最简单的样本空间．
Ω 1 = {正面，反面 ． 正面， 正面 反面}．
1.1.2 样本空间
“抛一颗骰子观察朝上一面的点数”： 抛一颗骰子观察朝上一面的点数” 抛一颗骰子观察朝上一面的点数
Ω 2 = {1，2，3，4，5，6}． ， ， ， ， ， ．
“某品牌电视机的寿命”： 某品牌电视机的寿命”
Ω 3 = {t | t ≥ 0}． ．
1.1.1 随机试验
说明 随机试验简称为试验, 是一个广泛的术语.它包 随机试验简称为试验 是一个广泛的术语 它包 括各种各样的科学实验, 括各种各样的科学实验 也包括对客观事物进行 调查” 观察” 测量” 的 “调查”、“观察”或 “测量” 等.
1.1 随机试验与样本空间
1.1.2
样本空间
定义1.1 随机试验的一切可能基本结果组成 定义 的集合称为样本空间 样本空间， 的集合称为样本空间，记为Ω = {ω }，其中ω 表 ， 样本点． 示基本结果，又称为样本点 示基本结果，又称为样本点． 研究随机现象首先要了解它的样本空间． 研究随机现象首先要了解它的样本空间． 【例1.1】下面给出几个随机试验的样本空间． 】下面给出几个随机试验的样本空间． “抛一枚硬币观察哪一面朝上”： 抛一枚硬币观察哪一面朝上”
【概率论简史】 概率论简史】
1812年 拉普拉斯所著《概率的分析理论》 1812年，拉普拉斯所著《概率的分析理论》实现了 从组合技巧向分析方法的过渡， 从组合技巧向分析方法的过渡 ， 开辟了概率论发展的 新时期． 新时期． 19世纪后期， 19世纪后期，极限理论的发展成为概率论研究的中 世纪后期 心课题，是概率论的又一次飞跃 ， 为后来数理统计的 心课题 ， 是概率论的又一次飞跃， 产生和应用奠定了基础．契比谢夫（ 产生和应用奠定了基础． 契比谢夫 （Chebyhev，俄， ， 1821-1894）对此做出了重要贡献． 1821-1894）对此做出了重要贡献．他建立了关于独立 随机变量序列的大数定律，推广了棣莫弗—拉普拉斯 随机变量序列的大数定律 ， 推广了棣莫弗 拉普拉斯 的极限定理．契比谢夫的成果后被其学生马尔可夫发 的极限定理 ． 扬光大，影响了20世纪概率论发展的进程． 扬光大，影响了20世纪概率论发展的进程． 20世纪概率论发展的进程
1.1.2 样本空间
在具体问题的 研究中 , 描述随机 现象的第一步就是 建立样本空间. 建立样本空间
☺课堂练习
写出下列随机试验的样本空间. 写出下列随机试验的样本空间 1. 同时掷三颗骰子 记录三颗骰子之和. 同时掷三颗骰子,记录三颗骰子之和 记录三颗骰子之和 2. 生产产品直到得到 件正品,记录生产产品 生产产品直到得到10件正品 记录生产产品 件正品 的总件数. 的总件数 答案
1.1.1 随机试验
必然现象的特征
条件完全决定结果
在一定条件下可能出现也可能不出现的现象 在一定条件下可能出现也可能不出现的现象 称为随机现象 称为随机现象. 随机现象 实例1 在相同条件下掷一枚均匀的硬币， 实例 在相同条件下掷一枚均匀的硬币，观察 正反两面出现的情况. 正反两面出现的情况 结果有可能出现正面也可能出现反面 结果有可能出现正面也可能出现反面. 出现正面也可能出现反面
1.1.1 随机试验
实例2 用同一门炮向同 实例 一目标发射同一种炮弹多 观察弹落点的情况. 发 , 观察弹落点的情况 结果: 弹落点会各不相同. 结果 弹落点会各不相同 实例3 抛掷一枚骰子 观 抛掷一枚骰子,观 实例 察出现的点数. 察出现的点数 结果有可能为: 结果有可能为
1, 2, 3, 4, 5 或 6.
1.1.1 随机试验
概率论中把满足以下特点的试验称为随机试验： 概率论中把满足以下特点的试验称为随机试验： 随机试验 (1) 可以在相同条件下重复进行； 可以在相同条件下重复进行； (2) 每次试验的可能结果不止一个 ， 并且能事 每次试验的可能结果不止一个， 先明确试验的所有可能结果； 先明确试验的所有可能结果； (3) 进行一次试验之前不能确定哪一个结果会 出现． 出现． 随机试验通常用大写字母E表示． 随机试验通常用大写字母 表示． 表示
能是晴 , 也可能是多云 能是晴 也可能是多云 或雨. 随机现象的特征 条件不能完全决定结果
1.1.1 随机试验
说明 (1) 随机现象揭示了条件和结果之间的非确定性 其数量关系无法用函数加以描述. 联系 , 其数量关系无法用函数加以描述 (2) 随机现象在一次观察中出现什么结果具有偶 随机现象在一次观察中出现什么结果具有偶 然性, 但在大量试验或观察中, 然性 但在大量试验或观察中 这种结果的出现具 有一定的统计规律性 有一定的统计规律性 , 概率论就是研究随机现象 规律性的一门数学学科. 规律性的一门数学学科 如何来研究随机现象? 如何来研究随机现象 随机现象是通过随机试验来研究的. 随机现象是通过随机试验来研究的 什么是随机试验? 问题 什么是随机试验
【概率论简史】 概率论简史】
1933 年 ， 柯 尔 莫 哥 洛 夫 （ Kolmogorov ， 俄 ， 1903-1987） 在他的名著《 概率论基础》 一书中， 1903-1987 ） 在他的名著 《 概率论基础 》 一书中 ， 提 出了概率公理化定义，并得到数学家们的普遍承 认．公理化体系给概率论提供了一个逻辑上的坚实基 使概率论成为一门严格的演绎科学， 础，使概率论成为一门严格的演绎科学，取得了与其 他数学学科同等的地位， 他数学学科同等的地位，并通过集合论与其他数学分 支紧密联系起来． 支紧密联系起来． 在公理化的基础上， 在公理化的基础上，现代概率论不仅在理论上取 得了一系列突破，在应用上也取得了巨大的成就， 得了一系列突破，在应用上也取得了巨大的成就，其 应用几乎遍及所有的科学领域，例如天气预报、 应用几乎遍及所有的科学领域，例如天气预报、地震 预报、工程技术、自动控制、产品的抽样调查、 预报、工程技术、自动控制、产品的抽样调查、经济 研究、金融和管理等领域． 研究、金融和管理等领域．
第1章 概率论基础 章
1.1 随机试验与样本空间 2.2 随机事件及其概率 3.3 古典概型与几何概型 3.4 条件概率与乘法公式 3.5 全概率公式和贝叶斯公式 3.6 独立性 3.7 Excel数据分析功能简介 数据分析功能简介
第1章 概率论基础 章
概率论是从数量化的角度来研究现实世界中一 类不确定现象（ 随机现象） 类不确定现象 （ 随机现象 ） 规律性的一门数学学 世纪以来， 科 ， 20世纪以来 ， 广泛应用于工业 、 国防 、 国民 世纪以来 广泛应用于工业、 国防、 经济及工程技术等各个领域． 经济及工程技术等各个领域 ． 本章介绍随机事件 与概率、 古典概型与几何概型 、 条件概率与乘法 与概率 、 古典概型与几何概型、 公式等概率论中最基本、 公式等概率论中最基本 、 最重要的概念和概率计 算方法． 算方法．
1.1.1 随机试验
实例4 实例
从一批含有正品
其结果可能为: 其结果可能为 次品. 正品 、次品
和次品的产品中任意抽取 一个产品. 一个产品 实例5 实例 过马路交叉口时, 过马路交叉口时
可能遇上各种颜色的交通 指挥灯. 指挥灯
wenku.baidu.com
1.1.1 随机试验
实例6 实例
出生的婴儿可
能是男 也可能是 也可能是女 能是男,也可能是女. 实例7 实例 明天的天气可
【概率论简史】 概率论简史】
1657年惠更斯 （ 1629-1695） 1657 年惠更斯（ Huygens， 荷 ， 1629-1695 ） 发 年惠更斯 ， 表的《论赌博中的计算》是最早的概率论著作， 表的《论赌博中的计算》是最早的概率论著作，论著 中第一批概率论概念（如数学期望）与定理（ 中第一批概率论概念（如数学期望）与定理（如概率 加法、乘法定理）标志着概率论的诞生． 加法、乘法定理）标志着概率论的诞生． 18世纪初，伯努利（Bernoulli,法,1700-1782）, 1700-1782） 18世纪初，伯努利（ 世纪初 , 棣莫弗（ 1667-1754） 蒲丰（ 棣莫弗（De.Moivre,法,1667-1754）、蒲丰（Buffon, , 17071749法 ,1707-1788 ） 、 拉 普 拉 斯 （ Laplace ， 法 ， 174917771827 ） 、 高 斯 （ Gauss, 德 ,1777-1855 ） 和 泊 松 , 1781-1840） （ Poisson,法 ,1781-1840 ） 等一批数学家对概率论作 , 了奠基性的贡献． 了奠基性的贡献．
第1章 概率论基础 章
1.1 随机试验与样本空间
1.1.1 随机试验
客观世界中存在着两类现象: 客观世界中存在着两类现象 必然现象 随机现象 在一定条件下必然出现的现象， 在一定条件下必然出现的现象， 称为必然现象； 称为必然现象； 必然现象
实例: 实例 “太阳从东边升起” 太阳从东边升起” 太阳从东边升起 水从高处向低处流” “水从高处向低处流” 同性电荷互斥” “同性电荷互斥”
1.1.2 样本空间
说明
(3) 建立样本空间 事实上就是建立随机现 建立样本空间,事实上就是建立随机现 象的数学模型. 象的数学模型 因此 , 一个样本空间可以 概括许多内容大不相同的实际问题. 概括许多内容大不相同的实际问题
例如
只包含两个样本点的样本空间
Ω = {H, T}
它既可以作为抛掷硬币出现正面或出现 反面的 它既可以作为抛掷硬币出现 正面或出现反面 的 正面 或出现反面 也可以作为产品检验中合格与不合格的 模型 , 也可以作为产品检验中合格与不合格的 合格 有人排队与 又能用于排队现象中有人排队 模型 , 又能用于排队现象中有人排队与无人排 队的模型等. 的模型等
【概率论简史】 概率论简史】
概率的概念形成于16世纪 概率的概念形成于16世纪，与用投掷骰子的方法 16世纪， 进行赌博有密切的关系． 进行赌博有密切的关系． 1654年 一个名叫德梅尔（ 1654 年 ， 一个名叫德梅尔 （ De Mere， 法 ） 的赌 ， 徒就“两个赌徒约定赌若干局，且谁先赢c局便算赢 徒就 “ 两个赌徒约定赌若干局 ， 且谁先赢 局便算赢 家，若在一赌徒胜a局（a<c），另一赌徒胜 局（b<c） ） 另一赌徒胜b局 ） 时便终止赌博，问应如何分赌本” 时便终止赌博，问应如何分赌本”为题求教于数学家 帕斯卡（ 1623-1662） 帕斯卡 （ Pascal， 法 ， 1623-1662 ） ， 帕斯卡与费玛 ， 1601-1665）通信讨论了这一问题， （ Fermat，法 ， 1601-1665 ） 通信讨论了这一问题 ， ， 并用组合的方法给出了正确的解答． 并用组合的方法给出了正确的解答．
1 . Ω = { 3 , 4 , 5 , ⋯ , 18 }. 2 . Ω = { 10 , 11 , 12 , ⋯ }.
“110每天接到的报警次数”： 每天接到的报警次数” 每天接到的报警次数
Ω 4 = {0，1，2，…}． ， ， ， ．
“圆心在原点的单位圆内任取一点”： 圆心在原点的单位圆内任取一点”
Ω 5 = {(x，y) | x2 + y2 ≤ 1}． ， ．
1.1.2 样本空间
关于样本空间的几点说明： 关于样本空间的几点说明： (1) 样本空间中的元素可以是数也可以不是数 ； 样本空间中的元素可以是数也可以不是数； (2) 样本空间中的样本点可以是有限多个的 ， 样本空间中的样本点可以是有限多个的， 也可以是无限多个的． 也可以是无限多个的．仅含两个样本点的样本空 间是最简单的样本空间． 间是最简单的样本空间．
Ω 1 = {正面，反面 ． 正面， 正面 反面}．
1.1.2 样本空间
“抛一颗骰子观察朝上一面的点数”： 抛一颗骰子观察朝上一面的点数” 抛一颗骰子观察朝上一面的点数
Ω 2 = {1，2，3，4，5，6}． ， ， ， ， ， ．
“某品牌电视机的寿命”： 某品牌电视机的寿命”
Ω 3 = {t | t ≥ 0}． ．
1.1.1 随机试验
说明 随机试验简称为试验, 是一个广泛的术语.它包 随机试验简称为试验 是一个广泛的术语 它包 括各种各样的科学实验, 括各种各样的科学实验 也包括对客观事物进行 调查” 观察” 测量” 的 “调查”、“观察”或 “测量” 等.
1.1 随机试验与样本空间
1.1.2
样本空间
定义1.1 随机试验的一切可能基本结果组成 定义 的集合称为样本空间 样本空间， 的集合称为样本空间，记为Ω = {ω }，其中ω 表 ， 样本点． 示基本结果，又称为样本点 示基本结果，又称为样本点． 研究随机现象首先要了解它的样本空间． 研究随机现象首先要了解它的样本空间． 【例1.1】下面给出几个随机试验的样本空间． 】下面给出几个随机试验的样本空间． “抛一枚硬币观察哪一面朝上”： 抛一枚硬币观察哪一面朝上”
【概率论简史】 概率论简史】
1812年 拉普拉斯所著《概率的分析理论》 1812年，拉普拉斯所著《概率的分析理论》实现了 从组合技巧向分析方法的过渡， 从组合技巧向分析方法的过渡 ， 开辟了概率论发展的 新时期． 新时期． 19世纪后期， 19世纪后期，极限理论的发展成为概率论研究的中 世纪后期 心课题，是概率论的又一次飞跃 ， 为后来数理统计的 心课题 ， 是概率论的又一次飞跃， 产生和应用奠定了基础．契比谢夫（ 产生和应用奠定了基础． 契比谢夫 （Chebyhev，俄， ， 1821-1894）对此做出了重要贡献． 1821-1894）对此做出了重要贡献．他建立了关于独立 随机变量序列的大数定律，推广了棣莫弗—拉普拉斯 随机变量序列的大数定律 ， 推广了棣莫弗 拉普拉斯 的极限定理．契比谢夫的成果后被其学生马尔可夫发 的极限定理 ． 扬光大，影响了20世纪概率论发展的进程． 扬光大，影响了20世纪概率论发展的进程． 20世纪概率论发展的进程
1.1.2 样本空间
在具体问题的 研究中 , 描述随机 现象的第一步就是 建立样本空间. 建立样本空间
☺课堂练习
写出下列随机试验的样本空间. 写出下列随机试验的样本空间 1. 同时掷三颗骰子 记录三颗骰子之和. 同时掷三颗骰子,记录三颗骰子之和 记录三颗骰子之和 2. 生产产品直到得到 件正品,记录生产产品 生产产品直到得到10件正品 记录生产产品 件正品 的总件数. 的总件数 答案
1.1.1 随机试验
必然现象的特征
条件完全决定结果
在一定条件下可能出现也可能不出现的现象 在一定条件下可能出现也可能不出现的现象 称为随机现象 称为随机现象. 随机现象 实例1 在相同条件下掷一枚均匀的硬币， 实例 在相同条件下掷一枚均匀的硬币，观察 正反两面出现的情况. 正反两面出现的情况 结果有可能出现正面也可能出现反面 结果有可能出现正面也可能出现反面. 出现正面也可能出现反面
1.1.1 随机试验
实例2 用同一门炮向同 实例 一目标发射同一种炮弹多 观察弹落点的情况. 发 , 观察弹落点的情况 结果: 弹落点会各不相同. 结果 弹落点会各不相同 实例3 抛掷一枚骰子 观 抛掷一枚骰子,观 实例 察出现的点数. 察出现的点数 结果有可能为: 结果有可能为
1, 2, 3, 4, 5 或 6.
1.1.1 随机试验
概率论中把满足以下特点的试验称为随机试验： 概率论中把满足以下特点的试验称为随机试验： 随机试验 (1) 可以在相同条件下重复进行； 可以在相同条件下重复进行； (2) 每次试验的可能结果不止一个 ， 并且能事 每次试验的可能结果不止一个， 先明确试验的所有可能结果； 先明确试验的所有可能结果； (3) 进行一次试验之前不能确定哪一个结果会 出现． 出现． 随机试验通常用大写字母E表示． 随机试验通常用大写字母 表示． 表示
能是晴 , 也可能是多云 能是晴 也可能是多云 或雨. 随机现象的特征 条件不能完全决定结果
1.1.1 随机试验
说明 (1) 随机现象揭示了条件和结果之间的非确定性 其数量关系无法用函数加以描述. 联系 , 其数量关系无法用函数加以描述 (2) 随机现象在一次观察中出现什么结果具有偶 随机现象在一次观察中出现什么结果具有偶 然性, 但在大量试验或观察中, 然性 但在大量试验或观察中 这种结果的出现具 有一定的统计规律性 有一定的统计规律性 , 概率论就是研究随机现象 规律性的一门数学学科. 规律性的一门数学学科 如何来研究随机现象? 如何来研究随机现象 随机现象是通过随机试验来研究的. 随机现象是通过随机试验来研究的 什么是随机试验? 问题 什么是随机试验
【概率论简史】 概率论简史】
1933 年 ， 柯 尔 莫 哥 洛 夫 （ Kolmogorov ， 俄 ， 1903-1987） 在他的名著《 概率论基础》 一书中， 1903-1987 ） 在他的名著 《 概率论基础 》 一书中 ， 提 出了概率公理化定义，并得到数学家们的普遍承 认．公理化体系给概率论提供了一个逻辑上的坚实基 使概率论成为一门严格的演绎科学， 础，使概率论成为一门严格的演绎科学，取得了与其 他数学学科同等的地位， 他数学学科同等的地位，并通过集合论与其他数学分 支紧密联系起来． 支紧密联系起来． 在公理化的基础上， 在公理化的基础上，现代概率论不仅在理论上取 得了一系列突破，在应用上也取得了巨大的成就， 得了一系列突破，在应用上也取得了巨大的成就，其 应用几乎遍及所有的科学领域，例如天气预报、 应用几乎遍及所有的科学领域，例如天气预报、地震 预报、工程技术、自动控制、产品的抽样调查、 预报、工程技术、自动控制、产品的抽样调查、经济 研究、金融和管理等领域． 研究、金融和管理等领域．