概率论基础(复旦版)李贤平第一章
概率论第一章
第1页
概率论
7 August 2013
第一章 随机事件与概率
第2页
参考书目（侧重于理论）
概率论基础（第二版），李贤平，高等教
育出版社，1997
7 August 2013
第一章 随机事件与概率
第3页
参考书目（侧重于计算）
概率论与数理统计，李贤平、沈崇圣，复
旦大学出版社，2003 概率论与数理统计（第三版），盛骤、谢 式千、潘承毅，高等教育出版社，2001 概率论与数理统计（第二版），王松桂， 科学出版社，2006
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事件的表示
在试验中，A中某个样本点出现了， 就说 A 出现了、发生了，记为A. 维恩图 ( Venn ). 事件的三种表示 用语言、用集合、用随机变量.
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第一章 随机事件与概率
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1.1.5 事件间的关系
包含关系： A B, A 发生必然导致 B 发生.
7 August 2013
第一章 随机事件与概率
第4页
参考书目（通俗读物）
机会的数学，陈希孺，清华大学出版社，
2000
黑天鹅：如何应对不可知的未来，塔勒布
（美），中信出版社，2008
7 August 2013
第一章 随机事件与概率
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概率论起源： 合理分配赌金问题
有一笔赌金， 甲乙两个人竞赌， 输赢的概 率都一样，都是1/2， 谁先能够连赢累计 达到6盘，就获得这笔赌金。 但是一个特 别的原因， 赌博突然终止了， 那个时候 甲赢了5局， 乙赢了2局， 问这笔赌金应 该如何分配？
1.1.1 随机现象：自然界中的有两类现象 1. 确定性现象
概率论基础(第2版)李贤平 全部习题解答
即得 Cn 2Cn 3Cn nCn n2
1 2 3 n
n 1
（2）在上式中令 x=-1 即得 Cn 2Cn 3Cn (1)
1 2 3 n 1 n nCn 0
（3）要原式有意义，必须 0 r a 。由于 Cab Cab , Cb Cb
m
~m
这个公式的证明思路是，把 n 个不同的元素编号为1,2, ,n，再把重复组合的每一组中 数从小到大排列，每个数依次加上 0,1,, m 1 ,则这一组数就变成了从 1,2,, n m 1 共
m
m
3 10 7 6 15 9 207 . 25 25 25 25 25 25 625
14.由盛有号码 1,2, ，N 的球的箱子中有放回地摸了 n 次球，依次记下其号码，试求这些 号码按严格上升次序排列的概率。 解：若取出的号码是按严格上升次序排列，则 n 个号码必然全不相同， n N 。N 个不同号 码可产生 n ! 种不同的排列，其中只有一个是按严格上升次序的排列，也就是说，一种组 合对应一种严格上升排列， 所以共有 C N 种按严格上升次序的排列。 总可能场合数为 N n ， 故题中欲求的概率为 P
解： （1） ABC ={抽到的是男同学，又不爱唱歌，又不是运动员}；
ABC ={抽到的是男同学，又爱唱歌，又是运动员}。
（2） ABC A BC A ，当男同学都不爱唱歌且是运动员时成立。 （3）当不是运动员的学生必是不爱唱歌的时， C B 成立。 （4）A=B 及 A C A B C ，当男学生的全体也就是不爱唱歌的学生全体，也就不是 运动员的学生全体时成立。也可表述为：当男学生不爱唱歌且不爱唱歌的一定是男学生，并 且男学生不是运动员且不是运动员的是男学生时成立。 5．用摸球模型造一例，指出样本空间及各种事件运算。 解： 设袋中有三个球，编号为 1，2，3，每次摸一个球。样本空间共有 3 个样本点（1） ， （ 2） ， 1,2, B 1,3, C 3， （3）设 A 则 A {3}, A B 1,2,3, A B 1 , A B {2},
概率论基础-李贤平-试题+答案-期末复习
第一章 随机事件及其概率一、选择题：1．设A 、B 、C 是三个事件，与事件A 互斥的事件是： （ ）A ．AB AC + B ．()A B C +C ．ABCD ．A B C ++2．设B A ⊂ 则 （ ）A ．()P AB I =1-P （A ） B ．()()()P B A P B A -=-C ． P(B|A) = P(B)D ．(|)()P A B P A =3．设A 、B 是两个事件，P （A ）> 0，P （B ）> 0,当下面的条件（ ）成立时，A 与B 一定独立A ．()()()P AB P A P B =I B ．P （A|B ）=0C ．P （A|B ）= P （B ）D ．P （A|B ）= ()P A4．设P （A ）= a ，P （B ）= b, P （A+B ）= c, 则 ()P AB 为： （ ）A ．a-bB ．c-bC ．a(1-b)D ．b-a5．设事件A 与B 的概率大于零，且A 与B 为对立事件，则不成立的是 （ ）A ．A 与B 互不相容 B ．A 与B 相互独立C ．A 与B 互不独立D ．A 与B 互不相容6．设A 与B 为两个事件，P （A ）≠P （B ）> 0，且A B ⊃，则一定成立的关系式是（ ）A ．P （A|B ）=1 B ．P(B|A)=1C ．(|A)1p B =D ．(A|)1p B =7．设A 、B 为任意两个事件，则下列关系式成立的是 （ ）A ．()AB B A -=U B ．()A B B A -⊃UC ．()A B B A -⊂UD ．()A B B A -=U8．设事件A 与B 互不相容，则有 （ ）A ．P （AB ）=p （A ）P （B ） B ．P （AB ）=0C ．A 与B 互不相容D ．A+B 是必然事件9．设事件A 与B 独立，则有 （ ）A ．P （AB ）=p （A ）P （B ） B ．P （A+B ）=P （A ）+P （B ）C ．P （AB ）=0D ．P （A+B ）=110．对任意两事件A 与B ，一定成立的等式是 （ ）A ．P （AB ）=p （A ）P （B ） B ．P （A+B ）=P （A ）+P （B ）C ．P （A|B ）=P （A ）D ．P （AB ）=P （A ）P （B|A ）11．若A 、B 是两个任意事件，且P （AB ）=0，则 （ ）A ．A 与B 互斥 B ．AB 是不可能事件C ．P （A ）=0或P （B ）=0D ．AB 未必是不可能事件12．若事件A 、B 满足A B ⊂，则 （ ）A ．A 与B 同时发生 B ．A 发生时则B 必发生C ．B 发生时则A 必发生D ．A 不发生则B 总不发生13．设A 、B 为任意两个事件，则P （A-B ）等于 （ ）A ． ()()PB P AB - B ．()()()P A P B P AB -+C ．()()P A P AB -D ．()()()P A P B P AB --14．设A 、B 、C 为三事件，则AB BC AC U U 表示 （ ）A ．A 、B 、C 至少发生一个 B ．A 、B 、C 至少发生两个C ．A 、B 、C 至多发生两个D ．A 、B 、C 至多发生一个15．设0 < P (A) < 1. 0 < P (B) < 1. P(|B)+P(A B A )=1. 则下列各式正确的是（ ）A ．A 与B 互不相容 B ．A 与B 相互独立C ．A 与B 相互对立D ．A 与B 互不独立16．设随机实际A 、B 、C 两两互斥，且P （A ）=，P （B ）=，P （C ）=，则P A B C -=U （）（ ）.A ．B ．C ．D ．17掷两枚均匀硬币，出现一正一反的概率为 （ ）A ．1/2B ．1/3C ．1/4D ．3/418．一种零件的加工由两道工序组成，第一道工序的废品率为 1p ，第二道工序的废品率为2p ，则该零件加工的成品率为 （ ）A ．121p p --B ．121p p -C ．12121p p p p --+D ．122p p --19．每次试验的成功率为)10(<<p p ，则在3次重复试验中至少失败一次概率为（ ）。
概率论基础基础(复旦版)李贤平概论
符号 Ω Φ ω∈Ω {ω} A⊂ Ω A ⊂B A=B A∪B A∩B Ā A-B A∩B=φ
测度论含义 全集 空集 集合的元素 单点集 一个集合 A A的元素在B中 B 集合A与B相等 A与B的所有元素 A与B的共同元素 A的补集 在A中而不在B中的元素 A与B无公共元素
概率论含义 样本空间，必然事件 不可能事件 样本点 基本事件 一个事件 A A发生导致B发生 B 事件A与B相等 A与B至少有一个发生 A与B同时发生 A的对立事件 A发生而B不发生 A与B互斥
显然 φ ⊂A⊂Ω ⊂Ω ⊂ 且 ⊂ 相等 A=B : A⊂B且B⊂A
2. 和事件 事件A和 至少有一个发生 A∪B :事件 和B至少有一个发生 ∪ 事件 A 显然, ∪ 显然 A∪φ =A A∪Ω=Ω ∪ Ω B
3. 积事件 事件 与 同时发生 A∩B : 事件A与B同时发生 简写AB 简写 A 显然, 显然 A∩φ=φ A∩Ω=A Ω B
例 抛硬币 试验者 Buffon Pearson Kerrich 掷的次数 4040 24000 10000 正面次数 2048 12012 5067 正面频率 0.5069 0.5005 0.5067
例，高尔顿钉板试验 在相同的条件下，大量重复某一试验时，各可能结果出现的 频率稳定在某各确定值附近，即 随机试验中频率的稳定性 频率稳定性的存在标志着随机现象也由数量规律 概率论是研究随机现象中数量规律的数学学科
四、随机事件的关系及运算
对应集合的关系和运算来定义事 件的关系及运算,并根据 事件发生” 并根据“ 件的关系及运算 并根据“事件发生”的 含义,来理解它们在概率论中的含义 含义 来理解它们在概率论中的含义
1. 子事件 包含 A⊂ B : 事件 发生必有事件B发 事件A发生必有事件 发 发生必有事件 ⊂ 包含A 生, 称B包含 包含 B A
李贤平-概率论基础答案
<M
的数，哪
k2
次取到>M
的数，这共有
C k1 n
×k2 n−k1
种不同的固定方式，因此
k1
次取到<M
的
数，
k2 次取到>M
的数的可能取法有
C k1 n
×k2 n−k1
(M
− 1) k1
(N
−
M
)k2
种。
设 B 表示事件“把取出的 n 个数从小到大重新排列后第 m 个数等于 M“，则 B 出现就
是 k1 次取到<M 的数， k2 次取到>M 的数的数，0 ≤ k1 ≤ m −1,0 ≤ k2 ≤ n − m ，因此 B 包含
（6） E1 中还有这样的点 ω ：12345，它仅属于 E1 ，而不再属于其它 Ei (i ≠ 1,0) 。诸 Ei 之间的
关系用文图表示（如图）。
8、解：（1）因为 (1+ x)n = 1 + Cn1 x + Cn2 x 2 +
+
nC
n n
x
n
，两边对
x
求导得
n(1 + x)n−1 = Cn1 + 2Cn2 x + + nCnn x n−1 ，在其中令 x=1 即得所欲证。
就不是运动员的学生全体时成立。也可表述为：当男学生不爱唱歌且不爱唱歌的一定是男学 生，并且男学生不是运动员且不是运动员的是男学生时成立。
5、解：设袋中有三个球，编号为 1，2，3，每次摸一个球。样本空间共有 3 个样本点（1），
（2），（3）。设 A = {1,2}, B = {1,3}, C = {3}，则 A = {3}, A ∪ B = {1,2,3}, A ∩ B = {1}, A − B = {2},
概率论基础答案李贤平
第一章 事件与概率1、解：(1) P ｛只订购A 的｝=P{A(B ∪C)}＝P(A)-{P(AB)+P(AC)-P(ABC)}=0.45-0.1.-0.08+0.03=0.30.(2) P ｛只订购A 及B 的｝=P{AB}-C ｝=P(AB)-P(ABC)=0.10-0.03=0.07(3) P ｛只订购A 的｝=0.30,P ｛只订购B 的｝=P{B-(A ∪C)}=0.35-(0.10+0.05-0.03)=0.23.P ｛只订购C 的｝=P{C-(A ∪B )}=0.30-(0.05+0.08-0.03)=0.20.∴P ｛只订购一种报纸的｝=P{只订购A}＋P{只订购B}＋P{只订购C}=0.30+0.23+0.20=0.73.(4) P{正好订购两种报纸的}＝P{(AB-C) ∪(AC-B) ∪(BC-A)}=P(AB-ABC)+P(AC-ABC)+P(BC-ABC)=(0.1-0.03)+(0.08-0.03)+.(0.05-0.03)=0.07+0.05+0.02=0.14.(5) P ｛至少订购一种报纸的｝= P ｛只订一种的｝+ P ｛恰订两种的｝+ P ｛恰订三种的｝ =0.73+0.14+0.03=0.90.(6) P ｛不订任何报纸的｝=1-0.90=0.10.A C AB A ABC A BC A ⊃⊃⇒⊂⊃⇒=且显然)(2、解：（1）ABC ，若A 发生，则B 与C 必同时发生。
（2），B 发生或C 发生，均导致A 发生。
A C ⊂⊂⇒⊂⇒=且AB AC B A C B A ∪∪∪（3）与B 同时发生必导致C 发生。
A C AB ⇒⊂C B A BC A ∪⊂⇒⊂，A 发生，则B 与C 至少有一不发生。
（4）n A A A ∪ ∪∪21)()(11121−−−−++−+=n n A A A A A A 3、解：121121−+++n n A A A A A A A ． (或)＝C AB 4、解：（1）={抽到的是男同学，又不爱唱歌，又不是运动员}；C B A ={抽到的是男同学，又爱唱歌，又是运动员}。
李贤平《概率论基础》第三版课后答案
边}= 2 + 2 − 1 = 7 . 5 5 10 10 （4）这里事件是（3）中事件的对立事件，所以 P = 1− 7 /10 = 3/10 （5）第三卷居中，其余四卷在剩下四个位置上可任意排，所以 P = 1× 4 !/ 5 != 1/ 5
1
A + C = {1,2,3}。
6、解：（1）{至少发生一个}= A ∪ B ∪ C ∪ D . （2）{恰发生两个}= ABC D + ACBD + ADBC + BC AD + CD AB + BDAC .
（3）{A，B 都发生而 C，D 都不发生}= ABC D . （4）{都不发生}= ABC D = A ∪ B ∪ C ∪ D .
4、解：（1） ABC ={抽到的是男同学，又不爱唱歌，又不是运动员}；
ABC ={抽到的是男同学，又爱唱歌，又是运动员}。 （2） ABC = A ⇒ BC ⊃ A ，当男同学都不爱唱歌且是运动员时成立。 （3）当不是运动员的学生必是不爱唱歌的时， C ⊂ B 成立。
（4）A=B 及 A = C ⇒ A = B = C ，当男学生的全体也就是不爱唱歌的学生全体，也
（2）在上式中令 x=-1 即得所欲证。
（3）要原式有意义，必须
0
≤
r
≤
a
。由于
C a−r a+b
=
C b+r a+b
,
Cbk
=
C b−k b
，此题即等于
a
∑ 要证
C C k +r b−k ab
=
C b+r a+b
李贤平《概率论与数理统计第一章》规范标准答案
第1章 事件与概率2、若A ，B ，C 是随机事件，说明下列关系式的概率意义：(1)A ABC =；(2)A C B A =Y Y ；(3)C AB ⊂；(4)BC A ⊂.3、试把n A A A Y ΛY Y 21表示成n 个两两互不相容事件的和．6、若A ，B ，C ，D 是四个事件，试用这四个事件表示下列各事件：（1）这四个事件至少发生一个；（2）这四个事件恰好发生两个；（3）A ，B 都发生而C ，D 都不发生；（4）这四个事件都不发生；（5）这四个事件中至多发生一个。
8、证明下列等式：（1）1321232-=++++n n n n n n n nC C C C Λ；（2）0)1(321321=-+-+--n n n n n n nC C C C Λ；（3）∑-=-++=r a k r a b a k b r k a C C C0.9、袋中有白球5只，黑球6只，陆续取出三球，求顺序为黑白黑的概率。
10、一部五本头的文集，按任意次序放书架上去，试求下列概率：（1）第一卷出现在旁边；（2）第一卷及第五卷出现在旁边；（3）第一卷或第五卷出现在旁边；（4）第一卷及第五卷都不出现在旁边；（5）第三卷正好在正中。
11、把戏，2，3，4，5诸数各写在一小纸片上，任取其三而排成自左向右的次序，求所得数是偶数的概率。
12、在一个装有n 只白球，n 只黑球，n 只红球的袋中，任取m 只球，求其中白、黑、红球分别有)(,,321321m m m m m m m =++只的概率。
13、甲袋中有3只白球，7办红球，15只黑球，乙袋中有10只白球，6只红球，9只黑球。
现从两袋中各取一球，求两球颜色相同的概率。
14、由盛有号码Λ,2,1，N 的球的箱子中有放回地摸了n 次球，依次记下其号码，试求这些号码按严格上升次序排列的概率。
16、任意从数列Λ,2,1，N 中不放回地取出n 个数并按大小排列成：n m x x x x <<<<<ΛΛ21，试求M x m =的概率，这里N M ≤≤118、从6只不同的手套中任取4只，问其中恰有一双配对的概率是多少？19、从n 双不同的鞋子中任取2r(2r<n)只，求下列事件发生的概率：（1）没有成对的鞋子；（2）只有一对鞋子；（3）恰有两对鞋子；（4）有r 对鞋子。
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➢ 样本空间 Def 随机试验基本事件的全体所形成的集合称为该随
机试验的样本空间，一般用字母表示。
样本空间是由所要研究的问题及其该问题所涉及的随 机试验确定的，它是研讨问题的论域。
例如：
例1.1的样本空间 1,2, ,6，其中1表示朝上面
的点数为1，2 表示朝上面的点数为2，其余记号类似。
例1.2的样本空间 (WW ), (WB), (BW ), (BB) ，其中W
700 639 0.893
确定该批小麦种子的发芽率。
解：从表内的资料可看出，随着做试验种子粒数的增加，种
子发芽的频率在0.9附近摆动，参与发芽试验的种子粒数愈大
附近摆动愈小，所以，这批小麦种子的发芽率大概应在0.9这
个数值上。
注意：概率的统计定义只给出了确定事件概率近似方法。
请大家思考概率的统计定义与下列极限过程有何区别？也即
第一章 随机事件与概率
1.1 随机现象与统计规律性 1.2 随机事件关系与运算 1.3 古典概率 1.4 几何概率 1.5 概率空间 1.6 小结与综合练习
1.1 随机现象与统计规律性
➢ 随机现象 Def 在一定条件下，因不可控因素而导致实验或观察结 果不唯一的现象成为随机现象。客观世界存在大量的随 机现象。 ➢ 随机试验 Def 为研究随机现象而进行的观察和实验统称为随机试验。 随机试验必具备以下特点： （1）至少有两个以上可能结果； （2）试验的所有可能结果由试验条件明确已知，但每次 具体试验之前不可预测本次试验将要出现的结果； （3）试验可在相同条件下多次重复。
概率的统计定义能否理解为下式成立：lim n
fn (A)
p
1.2 随机事件关系与运算
显然，样本空间是一基本事件为元素的集合，复合事件 是样本空间的真子集，必然事件就是样本空间，不可能 事件是样本空间的空子集；如果再规定基本事件就是一 个单点集，那么，随机事件就可以用集合来表示，但事 件与集合又有所不同。所谓一个事件发生时指表达该事 件的集合中的一个元素在试验中出现了。
概率的统计确定法
Def 在相同条件下重复进行的n次试验中, 事件A发生的
频率 fn A 稳定地在某一常数 p附近摆动, 且随 n越大摆动
幅度越小, 则称 p为事件A 的概率, 记作 P( A) p。
概率的统计定义对试验没有特殊限制，适用于所有随
机试验。优点是易于理解，在试验次数足够大时能给出概
率的近似值；不足是粗糙、模糊和不便使用。
则fn A B fn ( A) fn (B).
Def 随机事件在一次试验中是否发生带有偶然性，但当 试验次数不断增大时，它发生的频率就趋于稳定，这种
规律称为随机事件的统计规律性。
在历史上，为了证明随机事件的统计规律性，人们进行
了许多试验。最著名的有掷硬币试验、高尔顿板实验。
掷硬币试验的历史资料表
件 A与 B等价或相等。记为 A B。
例如：
在例1.1中，令 A表示掷得点数能被3整除；B 表示掷得
的点数为3或6，则 A B。
➢ 事件的互斥与对立
Def 设A, B为任意两个事件，若A与B在一次试验中不能同 时发生，则称事件A与B互斥。若 A与 B互斥，且在一次试 验中必有一个发生，则称 A与 B互为对立事件。记A 的对立 事件为 A
1.2 随机事件关系与运算
➢事件的包含与等价（相等）
Def 设 A,B 为任意两个事件，若事件A 发生必导致事件B 发生，则称事件B包含事件 A，记为 A B。
例如：
在例1.1中，令 A表示掷得点数能被3整除；B表示掷得 的点数大于2。则 A B。
如果有 A B成立，也称A 为B的子事件。
Def 设A, B 为任意两个事件，若A B且B A，则称事
表示所抽到学生的身高。
➢ 频率稳定性
Def 设将试验 E进行了 n次，其中mA次发生了事件A，
则称mA / n为事件A发生的频率，记为fn A ，即
fn
( A)
mA n
显然，频率具有下列性质：
(1)0 fn ( A) 1
(2) fn 0, fn () 1
(3)设随机事件A与B不能同时发生，
例1.5 为掌握一批小麦种子的发芽率，从这批小麦种子中抽 取若干种子做发芽试验，统计结果如下表所示。试由此资料
种子粒数 发芽粒数
发芽率
2 5 10
70 1500
130 2000
24 9
60 1339
116 1806
1 0.8 0.9 0.857 0.892 0.910 0.903
310 282 0.913
随机事件在具体一次试验中有可能出现也有可能不出 现，它具有不可预见性。如果随机事件在一次具体试 验中出现了，就称该随机事件发生了。一般用大写的 英文字母来表示随机事件，如A,B,C…。
随
基本事件
随机试验不可再分的结果
机
事
件
复合事件
用随机试验若干个基本事
的
件共同方可表达的结果
分
类
特殊事件
必然事件和不可能事件
试 验 者 抛 掷 次 数 出现正面的次数 出现正面的频率
德.摩根
2048
1061
0.5180
蒲丰
4040
2048
0.5069
皮尔逊 皮尔逊 维尼
12000 240
0.5016 0.5005 0.4998
➢ 随机事件概率
从前面的讨论我们不难看出，同一随机试验的不同事件 由于其内在的差别，在具体的试验过程中，它们各自发 生的机会是不定一样的。为了刻画这种差异需要有一个 指标，这个指标就是概率。所谓概率是用来刻画随机事 件在一次试验中发生机会大小的一个数量指标。
表示白球，B表示黑球。 如果将问题变为“观察白球出现的
个数”，那么，样本空间 0,1,2， 其中“0”表示所抽球中
没有白球， “1”表示所抽球中有1个白球，其余记号类似。
例1.3的样本空间 0,1,2, ,53，其中“0”表示所抽产品
中没有次品，其余记号类似。
例1.4的样本空间 X : X x,1.50 x 1.90，其中 X
下面是一些随机试验的例子 例1.1 某人抛掷一枚骰子，观察朝上面的点数。 例1.2 从装有7个白球和3个黑球的盒子中随意取出两个球， 观察其颜色。 例1.3 从某厂所生产的10000件产品中随意抽取53件产品， 考察其中次品的件数 例1.4 从某校中随意抽选一名学生，测量其身高。
➢ 随机事件
Def 随机试验的结果称为随机事件，简称事件。