1第一章概率论基础知识-6

2020/4/21
设有N 条外线。由题意有 P{XN}0.9
由德莫佛-拉普拉斯定理得
P{XN}P
Xnp np(1p)
Nnp np(1p)
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nN p(1n pp)N 3.0180.
查表 (1得 .2)80.9.0
故 N 应满足条件 N 10 1.28 3.08
即N1.3 9.4 取 N1,4 即至少 1要 条 4 安 外装 线
例1 某人要测量甲、乙两地之间的距离。 限于测量 工具，他分成 1200 段来测量。每段测量误差（单位： 厘米）服从于（-0.5, 0.5)上的均匀分布。求总距离误 差的绝对值超过20厘米的概率。
解 设第k 段的测量误差为 Xk k1,2,,12.00 且 X1,X2,,X120是0 独立同分布的随机变量。且
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例7 利用 ⑴ 契比雪夫不等式 ⑵ 中心极限定理
分别确定投掷一枚均匀硬币的次数，使得出现“正面 向上”的频率在0.4到0.6之间的概率不小于0.9。
解 设 X 表示正面出现的次数（n 次试验）
X~b(n,1/2)
⑴ 利用契比雪夫不等式 E(X)np1n 2
P0.4
X n
0.6 P 0 .4 n X 0 .6 n
（或几乎处X 处 随） 机收 X 变 ， 敛 量 记 X 于 n作 a.sX.
四种收敛关系：
以概率1收敛或r-阶收敛 依概率收敛 依分布收敛
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大数定律
定义 设{Xn}为p 维随机向量序列，数学期望E(Xn)
存在
Xn
1 n
n i1
Xi
■若对于任意的 0，都有
ln iP m X n E X n 0
所以
1 n
lni m Pni1
Xi
1
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定理2（辛钦定律）
设随机变量序列X1 , X2 , … 独立同分布，
且具有相同的数学期望 E (X i),i1 ,2,L
则
1 n
lni m Pnk1Xk
1
辛钦
辛钦大数定律中，随机变量的方差可以不存在，只要 独立同分布就可以了。
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n 1 0 0 ,p 0 .8 ,n p 8 0 , n p q 1 6 4
P7 0X8686 48070 480
1 . 5 2 . 5 1 0 . 9 0 3 . 9 3 1 9 0 . 9 2 3 2 8
P X 8 0 1 P X 8 0 1 00.5
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例5 某单位有200台电话分机，每台分机有5%的时间
要使用外线通话。假定每台分机是否使用外线是相互独
立的，问该单位总机要安装多少条外线，才能以90%以
上的概率保证分机用外线时不等待？
解 设有X 部分机同时使用外线，则有 X~B(n,p),
其中 n 2 0 0 ,p 0 . 0 5 , n p 1 0 ,n p ( 1 - p ) 3 . 0 8 .
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P 0 .4 n1 2nX1 2n0 .6 n1 2n
PX12n
0.1n
0.9
由契比雪夫不等式
P X1 2n0.1n 1(0n .1 /n 4)2 0.9
所以 n250
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⑵ 利用中心极限定理 X~b(n,1/2) 由德莫佛-拉普拉斯定理得 X~N (n/2,n/4)
2.5 1.25
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0 . 9 9 1 8 0 .1 0 5 6 0 . 8 8 6 2
例4 有100台车床彼此独立地工作。每台车床的实
际工作时间占全部工作时间的80％，求下列事件的 概率。
（1）任一时刻有70－86台车床工作。
（2）任一时刻有80台以上车床工作。
解 设任一时刻工作的车床台数为X 。X~bn,p
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定理1 设 X1,X2,L,相X互n,L 独立同分布，
2 D X i 0 , i 1 ,2 , 记 Fnx 为 Xn n 1i n1Xi EXi的分布函数
su F n x p x 0 , n
x
其中 x为标准正态分布函数。
记为
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Xn L N0,1
2
P
Xk
k 1
0
1200 1 12
20
1200
1 12
1 2 2
222
2 0 . 0 2 2 8 0 . 0 4 5 6
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例2根据以往经验，某种电器元件的寿命服从均值为 100小时的指数分布. 现随机地取16只，设它们的寿命 是相互独立的. 求这16只元件的寿命的总和大于1920 小时的概率.
P 0 .4 n 0 .5 n X 0 .5 n 0 .6 n 0 .5 n 0 .9 n /2 n /2 n /2
2 0n.1/n210.9 0n.1/n20.95 0.2n1.645 n 6 7 .6 5 故取n68
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Thank you
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limP n np x x
1
t2
e 2 dt
n np(1 p) 2
x
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推论： 设随机变量
Yn ~B(n, p).
当n充分大时有：
P aY nb C k npkqn k a k b bnpnqpanpnqp
这个公式给出了n 较大时二项分布的概率计算方法。
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则
1
n
n i1
Xi
P
.
即对任意的ε> 0，
1 n lni mPnk1Xk
1
证明
E
1 n
n i 1
Xi
1n ni1
E(Xi)1nin1
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D
1 n
n i 1
X
i
n12 i n1D(Xi)n12 i n1
2
2 n
由切比雪夫不等式得
1
1 n Pnk1Xk
1n22
则称 X n 依概率收敛于a ，记为 Xn Pa.
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依分布收敛
定义F ： n(x)， 设 n1,2,,F(x)分别是随
Xn(n1,2,)及X的分布函数 连， 续若 x
ln i m Fn(x)F(x),
则{X 称 n}依分布 X， 收记 敛 Xn 为 L 于 X.
注：对于分布{收 Xn}敛 并， 不需要定义在共 概率空间。实际 敛上 的， 并收 不 {Xn是 },而是
解 设第i 只元件的寿命为Xi , i=1,2, …,16 则X1,X2,…,Xn相互独立， E( Xi ) =100, D( Xi ) =10000
16
16只元件的寿命的总和为 Y X k
k 1
E(Y )=1600, D(Y )=160000
由中心极限定理, Y 1600 近似服从正态分布N (0,1) 400
例3 报童沿街向行人兜售报纸，假设每位行人买报 的概率为0.2, 且他们是否买报是相互独立的。求报童 向100位行人兜售之后，卖掉15－30份报纸的概率。
解 设报童卖掉报纸的份数为X， X~bn,p
n 1 0 0 ,p 0 .2 ,n p 2 0 , n p q 1 6 4
P15X3030 42015 420
其部分和
X1,X2,K,Xn
n
Xi
i1
在什么条件下趋于什么分布。
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1. 大数定律
■切比雪夫Chebyshev不等式 ■几个常见的大数定律
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依概率收敛
定义1 设随机变量序列 X1,X2,K,Xn，如果存
在常数 a ，使得对于任意 0 有:
ln im P{X |na|}1
定理3（伯努利大数定律） 设nA是n重贝努里试验中事件A发生的次数， P是事件A发生的概率，则对任给的ε> 0，有
lni mPnnA
p
1
即 nA P p . n
证明 引入随机变量
Xi
1, 0，
第 第ii次 次试试验验中中AA发不生发，生，i1， 2， L
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显然
n A X 1 X 2 L X n
X k ~ U 0 .5 ,0 .5 ,k 1 ,2 ,L ,1 2 0 0 .
E(Xk)0, D (X k)1 1 20.5( 0.5 )21 1 2
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由独立同分布的中心极限定理可得
1200
P
1200 k 1
1 P
Xk1Leabharlann 00k 1Xk 10
20
0
更一般 EX 地 nr， ,EX 设 r,其中
r 0为常数，如果ln i m EXnXr 0, 则称 {Xn}r阶收敛 X,记 于X 作 n rX.
1-阶收敛又称为平均收敛，2-阶收敛即为均方收敛。
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以概率1收敛
定 义 若 P{:ln i m Xn()X()} 1， （ 简
P{ln i m XnX}1） ,则称随机{X 变 n}以 量概 序 1
且
E （ X ） i p ， D （ X k ） p （ 1 p ） ， k 1 , 2 , L , n
又由于各次试验相互独立，所以
X1,X2,L,Xn 独立同分布, 则由辛钦大数定律可得
lni mPnnA
p
1
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§5.2 中心极限定理
中心极限定理的客观背景: 在实际问题中，常常需要考虑许多随机 因素所产生的综合影响.
则称{Xn}服从大数定律，其中
n
x
x
2 i