概率的定义及其确定方法

N 件中任取1件后放回，然后再抽取下一个，…，如此重复，直
至抽出 n 件,求事件Bm=“取出的n 件产品中恰有 m 件次品”的概
率.
N–M
解： 含的样本点数为 N n,
件正 品
事件Bm发生必须从N – M 件正品中有放
次品
回的抽取 n-m 次，从M 件次品中有放回的抽
取m 次，所以共有 ( N M )nm M m 种取法。
排列的总数为 nr
(3)组合
从n个不同元素任取 r 个( r n)并成一组(不考虑先后顺序)，
称其为一个组合.
组合总数为
Cnr
此种组合的总数记为

Pnr r!

(n
n! r)!r!

n r

或
Cnr，由乘法原理，
(4)重复组合 从n个不同元素中每次取1个，放回后再取下一个，
如此连续取r 次(r可以大于n)所得的组合称为重复组合，此种重复
中的样本点总数
称此概率为古典概率. 这种确定概率的方法称为古典方法 . 这样就把求概率问题转化为计数问题 .
例1.2.2 同时掷两枚均匀硬币, 求事件A={出现一个正面一个反
面}的概率.
解 同时掷两枚硬币有4 个等可能的结果，即样本空间为
={(正,正), (正,反), (反,正), (反,反)} 古典概型
品
A 的次品有
C
m M
种取法m NM
种取法，
件次品
正品
故 A 含的样本点数为
C
m M

C
nm NM
,

P( A)
C
m M

C
nm NM
C
n N
,
m 0,1, 2, , min {M , n}.
例1.2.4(放回抽样模型) 设有 N 件产品, 其中有 M 件次品, 现从这
(3) 频率方法的缺点 ——现实中，人们无法把一个实验无 限次地重复下去，因此要精确地得到频率的稳定值是困难的.
但频率方法提供了概率的一个可供想象的具体值，并且 当实验重复次数 n 较大时，可用频率给出概率的一个近似值. 故称频率为概率的估计值. 这正是频率方法最有价值的地方.
1.2.4 确定概率的古典方法
§1.2 概率的定义及其确定方法
研究随机现象不仅关心试验中会出现哪些事件，或者某事 件发生的可能性大不大，即只有一个定性的描述是不够的，准确了 解事件发生的可能性即概率的大小，对人们的生活有重要意义.
例如，了解发生意外人身事故的可能性大小, 确定保险金额.
了解来商场购物的顾客人数的各种可能性 大小，合理配置服务人员.
不过现在的“部分”和“全体”所包含的样本点
是无1.2限.5的确. 定概率的几何方法
定义 若随机现象 E 具有以下两个特征：
.
. .
. ..

(1) E 的样本空间有无穷多个样本点，且可用一个有度量的 几何区域来表示； 有度量的区域
(2) 每个样本点出现的可能性相同。
则事件A的概率为：
P(
A)

A

组合的总数为
Cr nr 1
注意区别有序与无序、重复与不重复.
例：将两个相同的球放入三个不同的盛球数不限的盒子中，有
多少种不同的放法？
C2 321

6
重复组合
例：将两个不同的球放入三个不同的盛球数不限的盒子中，有
多少种不同的放法？ 32 9
重复排列
例：用七种不同颜色中的一种、两种、三种或四种分别涂在 正四面体的各个面上，一个面不能用两种颜色，也没有一个 面不着色，有多少种着色方法？
例 掷两枚骰子出现的点数之和等于3 的概率.
解 掷两枚骰子出现的点数之和的可能数值为 { 2, 3, 4, …, 12 },

P( A)

1 11
.
={(1,1), (1,2), (2,1), (1,3),…, (6,6) }
P(A)=
—62—6

1 18
.
“等可能性”是一种假设，在实际应用中，我们需要根据实 际情况去判断是否可以认为各基本事件或样本点是等可能的.在 实际应用中，往往只能“近似地”出现等可能，“完全地”等 可能是很难见到的. 在许多场合，由对称性和均衡性，我们就可 以认为基本事件是等可能的并在此基础上计算事件的概率.
古典方法的基本思想 ：
(1) 样本空间 只有有限多个样本点，即 {1 , 2 , , n } ;
(2) 每个样本点发生的可能性相等，
等可能性
设事件 A 由 k 个样本点组成 ，即 A {i1, i2 , , ik } ,
则 A 的概率为：
P( A)
k n

A包含的样本点数
又事件A包含 2个样本点，
P( A)

2 4

1 2
;
列举法
排列组合是计算古典概率的重要工具
例1.2.3(不放回抽样模型) 设有 N 件产品, 其中有 M 件次品, 现从 这 N 件中任取 n 件(不放回),求其中恰有 m 件次品的概率.
解: 含的样本点数为 C Nn,
N–M 件正
次品
设 A = { 恰抽到 m 件次品 }
六等奖 中四个基本号码和特殊号码
七等奖 中四个基本号码，或中三个基 本号码和特殊号码
p1

C77
C10 C207 C375
,
p2

C76
C11 C207 C375
,
p3

C76
C10 C217 C375
,
7
P(中奖) pi 0.033485,
i 1
P(不中奖) 1- P(中奖) 0.966515.
有
C
n N
种取法.
n! 第二歩：将n个球放入选中的n个盒子中；共有
种放法.
所以恰好有n个盒子各有一球的概率为
p

n!C
n N

PNn

N! .
N n N n N n (N n)!
许多表面上提法不同的问题实质上属于同一类型
有n个人, 每个人都以相同的概率被分在 N (N≥n)间房的每一间中, 求恰好有n间房中各有一 人的概率.
则完成这件事总共有 n1 + n2 + … + nk 种方法 . 例如，甲城到乙城去旅游有3类交通工具：汽车、火车和飞机， 而汽车有5个班次，火车有3个班次，飞机有2个班次，则从甲城到 乙城去旅游就有 5+3+2= 10 个班次可供选择.
(2)乘法原理（分歩）:设完成一件事有k个步骤，第一个步骤有n1 种方法，第二个步骤有n2种方法， … ；第k个步骤有nk种方法， 必须通过每一步骤,才算完成这件事，
积S=602. 而事件A=“两人能会面”相当于y
柯尔莫哥洛夫提出的公理为数很少且极为简单，但在此 基础上建立起了概率论的宏伟大厦.
由概率的三条公理，我们可推导出概率的若干重 要性质.它们在计算概率时很有用，尤其是加法公式.
1.2.2 排列与组合公式
两个基本计数原理. (1) 加法原理 (分类)：设完成一件事有k 种方式，第一种方式有 n1种方法，第二种方式有n2种方法, … ；第k 种方式有nk种方法， 无论通过哪种方法都可以完成这件事，
了解每年最大洪水超警 戒线可能性大小，合理确定 堤坝高度.
更重要的是对事件出现的可能性的大小有一 个定量的描述. 这就需要有一个度量事件发生可能性大小的数量指 标，事件的概率就是事件发生的可能性大小的一个数值度量.
1.2.1 概率的公理化定义
定义1.2.1 设 是一个样本空间, F 为的某些子集组成的一个 事件域, 若定义在F 上的一个实值函数 P 满足：
则完成这件事共有n1 n2 nk 种不同的方法.
例如，甲城到乙城有3条旅游路线，乙城到丙城有2条旅游路线， 则从甲城经乙城到丙城就有 32= 6 条旅游路线.
排列、组合的定义及其计算公式
(1)排列 从n个不同元素取 r 个(r n)排成一列(考虑先后顺序)， 称其为一个排列. 由乘法原理，此种排列的总数为
解法一：这个问题可归结为从七种不同颜色中取出四种颜 色的重复组合(?)。所以着色方法有：
C4 7 4 1

C140

210
(种).
解法二：取定一种或四种颜色涂在正四面体的四个面上各 有一种涂法；取定两种或三种颜色涂在正四面体的四个面 上各有3种涂法。所以着色方法有：
C71 C74 3C72 3C73 210 (种).
1.2.3 确定概率的频率方法
定义1 如果在 n次重复试验中事件A 发生了n(A)次, 则称n(A)为
事件A 发生的频数,
称比值
n( A) n
为事件
A
在
n
次试验中出现的频率,
记为 f n (A)， 即 基本性质
fn(
A)

n( A) n
A 发生的 频繁程度
(1) 0 fn ( A) 1;
(2) fn ( ) 1;
pnr

n(n 1)(n 2)
(n r
1)

n! (n r)!
r = n时称全排列. 显然
Pnn pn n(n 1)(n 2) 2 1 n!
(2)重复排列 从n个不同元素中每次取1个，放回后再取下一个， 如此连续取r 次(r可以大于n)所得的排列称为重复排列，此种重复
有n个人，设每个人的生日是任一天的概率 相同. 求这n (n ≤365)个人的生日互不相同的 概率.（例1.2.7）
有n 个旅客, 乘火车途经N (N ≥ n)个车站， 设每个人在每站下车的概率相同, 求n 个站 各有一人下车的概率.