山东省沂源县第二中学2024届高一数学第一学期期末联考试题含解析
2023-2024学年山东省高一上册期末数学试题(含解析)
2023-2024学年山东省高一上册期末数学试题一、单选题1．sin390°的值是（）A ．12B ．2C ．D ．12-【正确答案】A【分析】根据终边相同的角，将390-︒化成30-︒，再利用30︒的三角函数值与sin()α-的公式，即可求出答案．【详解】解：根据题意，得()()1sin 390sin 30360sin 302︒=︒+︒=︒=故选：A．2．“函数()sin(2)f x x θ=+为偶函数”是“2πθ=”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【正确答案】B【分析】充分性判断：利用偶函数的性质，结合和差角正弦公式求θ；必要性判断：应用诱导公式化简()f x 并判断奇偶性，最后由充分、必要性定义确定题设条件间的关系.【详解】当()sin(2)f x x θ=+为偶函数时sin(2)sin(2)x x θθ-=+，则2sin 2cos 0x θ=恒成立，即2k πθπ=+，Z k ∈；当,2πθ=时，()sin(2)cos 22f x x x π=+=为偶函数；综上，“函数()sin(2)f x x θ=+为偶函数”是“2πθ=”的必要不充分条件.故选：B3．已知函数()2222()1mm f x m m x--=--是幂函数，且为偶函数，则实数m =（）A ．2或1-B ．1-C ．4D ．2【正确答案】D【分析】利用幂函数的定义及偶函数的概念即得.【详解】由幂函数的定义知211m m --=，解得1m =-或2m =．又因为()f x 为偶函数，所以指数222m m --为偶数，故只有2m =满足．故选：D ．4．已知3sin 7a π=，4cos 7b π=，3tan()7c π=-，则a ，b ，c 的大小关系为A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c b a <<D ．c<a<b【正确答案】C【分析】可以看出0,0,0a b c ><<，直接排除A 、B ，再比较1,1b c >-<-，从而选出正确答案.【详解】可以看出37π是一个锐角，故3sin07a π=>；又4cos cos 72ππ<，故10b -<<；又34tan tan77ππ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，而43274πππ<<，故1c <-；从而得到c b a <<，故选C.比较大小时常用的方法有①单调性法，②图像法，③中间值法；中间值一般选择0、1、-1等常见数值.5．函数()sin ln ||f x x x =⋅的部分图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【正确答案】D先根据函数的奇偶性，可排除A ，C ，根据当01x <<时，()0f x <即可排除B ．得出答案.【详解】因为()sin ln ||(0)f x x x x =⋅≠，所以()sin()ln ||sin ln ||()f x x x x x f x -=-⋅-=-=-，所以()f x 为奇函数，故排除A ，C ．当01x <<时，sin 0x >，ln ||0x <，则()0f x <，故排除B ，故选:D ．思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.6．函数()22sin 2cos f x x x =-+的最大值和最小值分别是（）A ．2,2-B ．52,2-C ．12,2-D ．5,22-【正确答案】B 【分析】，函数可化简为()2152cos 22f x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭,令cos t x =,本题转化为函数215222y t ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭,[]1,1t ∈-的最值求解即可.【详解】根据题意()222152sin 2cos 2cos 2cos 22cos 22f x x x x x x ⎛⎫=-+=+-=+- ⎪⎝⎭,令cos t x =,则[]1,1t ∈-,因为函数的对称轴为12t =-,所以根据二次函数的图像和性质得:当12t =-时,min 52y =-;当1t =时,max 2y =.故选:B.7．要得到函数214y x π⎛⎫++ ⎪⎝⎭的图象，只需将函数22y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象（）A ．先向右平移8π个单位长度，再向下平移1个单位长度B ．先向左平移8π个单位长度，再向上平移1个单位长度C ．先向右平移4π个单位长度，再向下平移1个单位长度D ．先向左平移4π个单位长度，再向上平移1个单位长度【正确答案】B根据212148y x x ππ⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2sin 22y x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭可判断.【详解】21sin 2148y x x ππ⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以222y x x π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭先向左平移8π个单位长度，再向上平移1个单位长度可得到218y x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象.故选：B.8．已知函数24,0,()(0,1)log (1)1,0a x a x f x a a x x ⎧+<=>≠⎨++≥⎩在R 上单调递减，且关于x 的方程()2f x x =-恰好有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是（）A ．10,2⎛⎤⎥⎝⎦B ．11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．119,4216⎡⎤⎧⎫⋃⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭D ．119,4216⎡⎫⎧⎫⋃⎨⎬⎪⎢⎣⎭⎩⎭【正确答案】C【分析】由log (1)1a y x =++在[0，)∞+上单调递减，得01a <<，由()f x 在R 上单调递减，得114a ≤<，作出函数24,0()(0log (1)1,0ax a x f x a x x ⎧+<=>⎨++⎩且1)a ≠在R 上的大致图象，利用数形结合思想能求出a 的取值范围．【详解】解：由log (1)1a y x =++在[0,)+∞上单调递减，得01a <<，又由24,0()(0log (1)1,0ax a x f x a x x ⎧+<=>⎨++⎩且1)a ≠在R 上单调递减，得204(0)1a f +≥=，解得1a 4≥，所以114a ≤<，作出函数24,0()(0log (1)1,0ax a x f x a x x ⎧+<=>⎨++⎩且1)a ≠在R 上的大致图象，由图象可知，在[0,)+∞上，|()|2f x x =-有且仅有一个解，故在(,0)-∞上，|()|2f x x =-同样有且仅有一个解，当42a >，即12a >时，联立2|4|2x a x +=-，即242x a x +=-，则214(42)0a ∆=--=，解得：916a =，当142a ≤≤时，即1142a ≤≤，由图象可知，符合条件．综上：119,4216a ⎡⎤⎧⎫∈⋃⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭．故选：C ．二、多选题9．已知函数：①tan y x =，②sin y x =，③sin y x =，④cos y x =，其中周期为π，且在π02⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递增的是（）A ．①B ．②C ．③D ．④【正确答案】AC【分析】根据正切函数的性质可判断①正确；根据图象变换分别得到sin y x =、sin y x =、cos y x =的图象，观察图象可判断②不正确、③正确、④不正确.【详解】函数tan y x =的周期为π，且在02π⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递增，故①正确；函数sin y x =不是周期函数，故②不正确；函数sin y x =的周期为π，且在02π⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递增，故③正确；函数cos y x =的周期为2π，故④不正确.故选：AC.10．已知1sin cos 5αα-=，且α为锐角，则下列选项中正确的是（）A ．12sin cos 25αα=B ．7sin cos 5αα+=C ．0,4πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭D ．4tan 3α=【正确答案】ABD【分析】根据()2sin cos 12sin cos αααα±=±，并结合α为锐角求解即可.【详解】解：因为1sin cos 5αα-=，所以242sin cos 25αα=，即12sin cos 25αα=所以()249sin cos 12sin cos 25αααα+=+=，因为α为锐角，所以7sin cos 5αα+=，所以43sin ,cos 55αα==，所以4tan 13α=>，所以,42⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ππα故选：ABD11．设函数()ln ,0,cos ,30,2x x f x xx π>⎧⎪=⎨-≤≤⎪⎩则（）A ．()f x 的定义域为[)3,∞-+B ．()f x 的值域为[)1,-+∞C ．()f x 的单调递增区间为[)2,-+∞D ．()12f x =的解集为23⎧-⎨⎩【正确答案】AD【分析】A.根据函数的解析式判断；B.分0x >，30x -≤≤，利用对数函数和余弦函数的性质求解判断；C.利用函数的图象判断；D.分0x >，30x -≤≤，令1()2f x =求解判断.【详解】因为函数ln ,0()πcos ,302x x f x xx >⎧⎪=⎨-≤≤⎪⎩，所以()f x 的定义域为[30](0)[3,)∞-⋃+=-+∞，，，故A 正确；当0x >时，()(),f x ∈-∞+∞，当30x -≤≤时，[]()1,1f x ∈-，所以()f x 的值域为[11]()()-⋃-∞+∞=-∞+∞，，，，故B 错误；如图所示：当0x >时，()f x 的单调递增区间为(0)+∞，，当30x -≤≤时，()f x 的单调递增区间为[20]-，，但在[2)∞-+，上不单调，故C 错误；当0x >时，1()ln 2f x x ==，解得x =当30x -≤≤时，π1()cos 22x f x ==，解得23x =-，D 正确.故选：AD ．12．存在实数a 使得函数2()223x x f x ma a -=+-+-有唯一零点，则实数m 可以取值为（）A ．14-B ．0C ．14D ．12【正确答案】ABC【分析】把问题转化为22x x y -=+与23y ma a =-+有唯一交点，利用换元法求22x x y -=+的最小值，再转化为关于a 的二次函数有根，利用判别式大于等于0求得实数m 的取值范围．【详解】函数2()223x x f x ma a -=+-+-有唯一零点，即方程22230x x ma a -+-+-=有唯一根，也就是22x x y -=+与23y ma a =-+有唯一交点，令2x t =，则112222x x xx y t t-=+=+=+，由“对勾函数”的单调性可知，当1t =，即0x =时，y 有最小值2，可得232ma a -+=，即210ma a -+=，当0m =时，1a =符合题意，当0m ≠时，则2(1)40m ∆=--，解得14m且0m ≠．综上，实数m 的取值范围是(-∞，1]4．故选：ABC三、填空题13．化简：22(1tan )cos αα+=_____.【正确答案】1【详解】()222222cos sin 1tan cos cos 1cos αααααα++=⋅=，故答案为1.14．已知cos 4a π⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝13，0<α<2π，则sin 4a π⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝________.【详解】由已知4π<α＋4π<34π，∴sin 4a π⎛⎫+ ⎪⎝⎭>0，∴sin 4a π⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝3.15．若42log (34)log a b +=a b +的最小值为_____.【正确答案】7+【详解】试题分析：由42log (34)log a b +=34ab a b =+，即304ab a =>-，所以4a >，312477744a ab a a a a +=+=-++≥+=+--4a =+时取等号，所以a b +的最小值为7+1．对数的性质；2．基本不等式．【名师点睛】本题考查对数的性质、基本不等式，属中档题；利用基本不等式求最值时，首先是要注意基本不等式的使用条件，“一正、二定、三相等”；其次在运用基本不等式时，要特别注意适当“拆”、“拼”、“凑”．16．已知函数π()24f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，把()f x 的图象向左平移π3个单位长度，纵坐标不变，可得到()g x 的图象，若()()()122120g x g x x x ⋅=>>，则12x x +的最小值为____________．【正确答案】13π12【分析】根据函数图象的平移可得π5π()2312g x f x x ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，进而根据()g x 的有界性可知()()122g x g x ==，根据最值点即可由三角函数的性质求解.【详解】有题意得π5π()2312g x f x x ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由于对任意的x ∈R ，()g x ,故根据()()()122120g x g x x x ⋅=>>得()()12g x g x ==()()12g x g x ==若()()12g x g x ==，因此12ππ2ππ,,N,5π5π221212x k x m k m +2，2=+2+=∈+且m k >,因此12122ππN ,πN 5π5ππ121212x x n n x x n n 2+2，，+**+++=∈+=∈，故当1n =时，12x x +取最小值，且最小值为13π12，若()()12g x g x ==123π3π2π5π5π12π,,N,2122x k x m k m ++=∈+2，2=+2且m k >,因此121223ππN 5π5π13π1212,πN 12x x n n x x n n **++=∈+=∈+2+2，，+，故当1n =时，12x x +取最小值，且最小值为25π12，故12x x +取最小值，且最小值为13π12，故13π12四、解答题17．已知集合{}2|560A x x x =--<，集合{}2|6510B x x x =-+≥，集合()(){}|90C x x m x m =---<.（1）求A B ⋂；（2）若A C C = ，求实数m 的取值范围.【正确答案】（1）1|13A B x x ⎧⋂=-<≤⎨⎩或162x ⎫≤<⎬⎭；（2）31m -≤≤-.【分析】（1）根据一元二次不等式的解法求出集合A 、B ，即可求出A B ⋂；（2）由A C C = ，可知A C ⊆，得到不等式组，解得.【详解】解：（1）{}2|560A x x x =--< ，{}2|6510B x x x =-+≥，()(){}|90C x x m x m =---<{|16}A x x ∴=-<<，1|3B x x ⎧=≤⎨⎩或12x ⎫≥⎬⎭，{|9}C x m x m =<<+1|13A B x x ⎧∴⋂=-<≤⎨⎩或162x ⎫≤<⎬⎭；（2）由A C C = ，得A C ⊆，961m m +≥⎧∴⎨≤-⎩解得31m -≤≤-.本题考查集合的运算，集合与集合之间的关系，属于基础题.18．在平面直角坐标系xOy 中，角α的顶点在坐标原点O ，始边与x 轴的非负半轴重合，角α的终边经过点(,3)A a ，4cos 5α=-.(1)求a 和tan α的值；(2)求sin()2sin()233sin()sin()2πααπαπα-++++-的值.【正确答案】(1)4a =-，3tan 4α=-；(2)1115-.【分析】（1）根据三角函数的定义求出a ，进而求出tan α；（2）先通过诱导公式对原式化简，进而进行弦化切，然后结合（1）求出答案.【详解】（1）由题意得：4cos 5α==-，解得4a =-，所以3tan 4α=-.（2）原式32sin 2cos tan 211433cos sin 3tan 1534αααααα+-+-+====--+-+--.19．已知函数()2sin(2)6f x x π=+．(1)求()f x 的最小正周期和对称轴；(2)求()f x 在ππ[,]64-上的最大值和最小值．【正确答案】(1)最小正周期为π，对称轴ππZ 62k x k =+∈，(2)最小值为1-，最大值为2【分析】(1)根据周期公式和对称轴公式求解；(2)整体代换，讨论π26x +的取值范围即可求解最值.【详解】（1）()f x 的最小正周期为2ππT ω==，令ππ2π,Z 62x k k +=+∈，可得ππZ 62k x k =+∈，即为对称轴.（2）ππππ2π1π,,2,sin(2)16466326x x x ⎡⎤∈-∴-≤+≤∴-≤+≤⎢⎥⎣⎦,π12sin(2)26x ∴-≤+≤，所以当ππ266x +=-，即π6x =-时()f x 的最小值为1-，当ππ262x +=，即π6x =时()f x 的最大值为2.20．某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的剩余污染物数量()/P mg L 与过滤开始后的时间t （小时）的关系为0kt P P e -=.其中0P 为过滤开始时废气的污染物数量，k 为常数.如果过滤开始后经过5个小时消除了10%的污染物，试求：（1）过滤开始后经过10个小时还剩百分之几的污染物？（2）求污染物减少50%所需要的时间.（计算结果参考数据：ln 20.7=，ln 3 1.1=，ln 5 1.6=）【正确答案】（1）81%；（2）35个小时【分析】（1）由当5t =时，()0110%P P =-，可得()500110%k P P e --=，从而可求出参数1ln 0.95k =-，进而可知，当10t =时，081%P P =；（2）当050%P P =时，可求出ln 0.5ln 25351ln 2ln52ln 3ln 0.95t ==⋅+-.【详解】解：（1）由0kt P P e -=可知，当0=t 时，0P P =；当5t =时，()0110%P P=-.于是有()500110%k P P e --=，解得1ln 0.95k =-，那么1ln 0.950P P e ⎛⎫⎪⎝⎭=，所以，当10t =时，1ln 0.910ln 0.81500081%P P e P e P ⎛⎫⨯⎪⎝⎭===，∴过滤开始后经过10个小时还剩81%的污染物.（2）当050%P P =时，有1ln 0.950050%t P P e ⎛⎫⎪⎝⎭=.解得15lnln 0.5ln 2ln 22553519ln 9ln10ln 2ln 52ln 3ln 0.9ln 510t -===⋅=⋅=-+-∴污染物减少50%所需要的时间为35个小时.本题考查了函数模型的应用，考查了指数方程的求解，考查了对数的运算性质.由已知条件求出参数k 的值是本题的关键.本题的易错点是误把()/P mg L 当成了已消除的污染的数量.21．已知函数()2233()log log 3f x x a x =--，x ∈[13，9].(1)当a =0时，求函数f (x )的值域；(2)若函数f (x )的最小值为-6，求实数a 的值.【正确答案】(1)[]3,1-(2)2-【分析】（1）由题意可得()23()log 3f x x =-，结合定义域，逐步可得函数的值域；（2）利用换元法转化为二次函数的值域问题，分类讨论即可得到结果.【详解】（1）当a =0时，()23()log 3f x x =-，x ∈[13，9].∴[]3log 1,2x ∈-，()[]23log 0,4x ∈，∴()[]23()log 33,1f x x =-∈-，∴函数f (x )的值域为[]3,1-；（2）令[]3log 1,2t x =∈-，即函数[]2()23,1,2g t t at t =--∈-的最小值为6-，函数2()23g t t at =--图象的对称轴为t a =，当1a ≤-时，()min ()1226g t g a =-=-=-，解得2a =-；当1a 2-<<时，()2min ()36g t g a a ==--=-，解得a =当2a ≥时，()min ()2146g t g a ==-=-，解得74a =（舍）；综上，实数a 的值为2-22．已知定义域为R 的函数()22x x b n f x b +=--是奇函数，且指数函数x y b =的图象过点(2,4)．（Ⅰ）求()f x 的表达式；（Ⅱ）若方程()23()0f x x f a x ++-+=，(4,)x ∈-+∞恰有2个互异的实数根，求实数a 的取值集合；（Ⅲ）若对任意的[1,1]t ∈-，不等式()22(1)0f t a f at -+-≥恒成立，求实数a 的取值范围．【正确答案】（Ⅰ）121()22x x f x +-+=+；（Ⅱ）{}40a a -<<；（Ⅲ）{}0a a ≥.【分析】（Ⅰ）先利用已知条件得到b 的值，再利用奇函数得到()00f =，进而得到n 的值，经检验即可得出结果；（Ⅱ）先利用指数函数的单调性判断()f x 的单调性，再利用奇偶性和单调性得到23x x a x +=-，把23x x a x +=-在(4,)x ∈-+∞恰有2个互异的实数根转化为()24f x x x a =+-在(4,)x ∈-+∞恰与x 轴有两个交点，求解即可；（Ⅲ）先利用函数()f x 为R 上的减函数且为奇函数，得到221t a at -≤-，把问题转化为2210t at a +--≤对任意的[1,1]t ∈-恒成立，令()221g t t at a =+--，利用二次函数的图像特点求解即可.【详解】（Ⅰ）由指数函数x y b =的图象过点(2,4)，得2b =，所以2()222x x n f x +=-⋅-，又()f x 为R 上的奇函数，所以()00f =，得1n =-，经检验，当1n =-时，符合()()f x f x -=-，所以121()22x x f x +-+=+；（Ⅱ）12111()22221x x x f x +-+==-+++，因为21x y =+在定义域内单调递增，则121xy =+在定义域内单调递减，所以()f x 在定义域内单调递增减，由于()f x 为R 上的奇函数，所以由()23()0f x x f a x ++-+=，可得()()23()f x x f a x f a x +=--+=-，则23x x a x +=-在(4,)x ∈-+∞恰有2个互异的实数根，即()24f x x x a =+-在(4,)x ∈-+∞恰与x 轴有两个交点，则()()4000440204f a a a f a ⎧-><⎧⎪⎪∆>⇒>-⇒-<<⎨⎨⎪⎪-<>-⎩⎩，所以实数a 的取值集合为{}40a a -<<.（Ⅲ）由（Ⅱ）知函数()f x 为R 上的减函数且为奇函数，由()22(1)0f t a f at -+-≥，得()()221f t a f at -≥-，所以221t a at -≤-，即2210t at a +--≤对任意的[1,1]t ∈-恒成立，令()221g t t at a =+--，由题意()()1010g g ⎧-≤⎪⎨≤⎪⎩，得0a ≥，所以实数a 的取值范围为.{}0a a ≥关键点睛：利用函数的奇偶性求解析式，（Ⅱ）把问题转化为()24f x x x a =+-在(4,)x ∈-+∞恰与x 轴有两个交点的问题；（Ⅲ）把问题转化为2210t at a +--≤对任意的[1,1]t ∈-恒成立是解决本题的关键.。
山东高一高中数学期末考试带答案解析
山东高一高中数学期末考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.函数的最小正周期是（）A．4B．C．8D．2.某工厂采用系统抽样方法，从一车间全体300名职工中抽取20名职工进行一项安全生产调查，现将300名职工从1到300进行编号，已知从31到45这15个编号中抽到的编号是36，则在1到15中随机抽到的编号应是（）A．4B．5C．6D．73.已知角的终边上一点，则（）A．B．C．D．4.圆和圆的位置关系是 ( )A．相离B．相交C．内切D．外切5.某中学举行英语演讲比赛，右图是七位评委为某位学生打出分数的茎叶图，去掉一个最高分和一个最低分，所剩数据的中位数和方差分别为（）A．84，4．84B．84，1.6C．85，4D．86，1.66.已知，则的概率为（）A．B．C．D．7.已知向量，则在上的投影为（）A．B．C．1D．-18.已知，且，则（）A．B．C．D．9.袋中有形状、大小都相同的4个球，其中2个红球、2个白球.从中随机一次摸出2个球，则这2个球中至少有1个白球的概率为（）A．B．C．D．10.函数的单调递增区间是（）A．B．C．D．11.过点作圆的两条切线为切点，则（）A．6B．-6C．10D．12.函数的图象向右平移个单位后得到的函数是奇函数，则函数的图象（）A．关于点对称B．关于直线对称C．关于点对称D．关于直线对称二、填空题1.已知扇形的圆心角为120°，弧长为，则这个扇形的面积等于__________．2.下列程序框图输出的的值为__________．3.圆上的点到直线的距离的最小值为__________．4.已知为所在平面内一点，且，现将一粒黄豆随机撒在内，则黄豆落在的概率为__________．三、解答题1.已知向量，且.（1）求的值；（2）求的值.2.下表提供了某厂生产某产品过程中记录的产量（吨）与相应的生产能耗（吨标准煤）的几组对照数据：（1）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程；（2）根据（1）中求出的线性回归方程，预测生产20吨该产品的生产能耗是多少吨标准煤？附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为： .3.已知 .（1）求与的夹角；（2）在中，若，求边的长度.4.随着互联网的发展，移动支付（又称手机支付）越来越普通，某学校兴趣小组为了了解移动支付在大众中的熟知度，对15-65岁的人群随机抽样调查，调查的问题是“你会使用移动支付吗？”其中，回答“会”的共有个人.把这个人按照年龄分成5组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，然后绘制成如图所示的频率分布直方图.其中，第一组的频数为20.（1）求和的值，并根据频率分布直方图估计这组数据的众数；（2）从第1，3，4组中用分层抽样的方法抽取6人，求第1，3，4组抽取的人数；（3）在（2）抽取的6人中再随机抽取2人，求所抽取的2人来自同一个组的概率.5.已知函数（其中）的图象的两条相邻对称轴之间的距离为，且图象上一个最低点为.（1）求函数的解析式；（2）当时，求函数的值域；（3）若方程在上有两个不相等的实数根，求的值.6.已知圆心为的圆过原点，且直线与圆相切于点.（1）求圆的方程；（2）已知过点的直线的斜率为，且直线与圆相交于两点.①若，求弦的长；②若圆上存在点，使得成立，求直线的斜率.山东高一高中数学期末考试答案及解析一、选择题1.函数的最小正周期是（）A．4B．C．8D．【答案】A【解析】函数的最小正周期是：.故选：A.2.某工厂采用系统抽样方法，从一车间全体300名职工中抽取20名职工进行一项安全生产调查，现将300名职工从1到300进行编号，已知从31到45这15个编号中抽到的编号是36，则在1到15中随机抽到的编号应是（）A．4B．5C．6D．7【答案】C【解析】某工厂采用系统抽样方法，从一车间全体300名职工中抽取20名职工进行一项安全生产调查，∴抽样间隔为：，现将300名职工从1到300进行编号，从31到45这15个编号中抽到的编号是36，则在1到15中随机抽到的编号应是：36−15×2=6.故选：C.3.已知角的终边上一点，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】∵角α的终边上一点P(−4,3)，∴x=−4，y=3，r=|OP|=5，则，故选：C.4.圆和圆的位置关系是 ( )A．相离B．相交C．内切D．外切【答案】B【解析】因，且，所以两圆的位置关系是相交，应选答案B。
山东省淄博沂源县联考2024届中考数学模拟试题含解析
山东省淄博沂源县联考2024届中考数学模拟试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。
选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）1．下列计算中正确的是（）A．x2+x2=x4B．x6÷x3=x2C．（x3）2=x6D．x-1=x2．如图，▱ABCD对角线AC与BD交于点O，且AD＝3，AB＝5，在AB延长线上取一点E，使BE＝25AB，连接OE交BC于F，则BF的长为()A．23B．34C．56D．13．不等式4－2x＞0的解集在数轴上表示为（）A．B．C．D．4．一、单选题小明和小张两人练习电脑打字，小明每分钟比小张少打6个字，小明打120个字所用的时间和小张打180个字所用的时间相等．设小明打字速度为x个/分钟，则列方程正确的是（）A．1201806x x=+B．1201806x x=-C．1201806x x=+D．1201806x x=-5．下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是( )A．B．C．D．6．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠1）的图象如图所示，则下列结论：①a、b同号；②当x=1和x=3时，函数值相等；③4a+b=1；④当y=﹣2时，x的值只能取1；⑤当﹣1＜x＜5时，y＜1．其中，正确的有（）A．2个B．3个C．4个D．5个7．如图所示的图形为四位同学画的数轴，其中正确的是（）A．B．C．D．8．如图，菱形ABCD的对角线交于点O，AC=8cm，BD=6cm，则菱形的高为（）A．485cm B．245cm C．125cm D．105cm9．如图是我国南海地区图，图中的点分别代表三亚市，永兴岛，黄岩岛，渚碧礁，弹丸礁和曾母暗沙，该地区图上两个点之间距离最短的是（）A．三亚﹣﹣永兴岛B．永兴岛﹣﹣黄岩岛C．黄岩岛﹣﹣弹丸礁D．渚碧礁﹣﹣曾母暗山10．在⊙O中，已知半径为5，弦AB的长为8，则圆心O到AB的距离为（）A．3 B．4 C．5 D．6二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）11．如图，在四边形ABCD中，点E、F分别是边AB、AD的中点，BC=15，CD=9，EF=6，∠AFE=50°，则∠ADC 的度数为_____．12．已知20n是整数，则正整数n的最小值为___13．关于x的一元二次方程x2+4x﹣k=0有实数根，则k的取值范围是__________．14．一次函数y=kx+b的图像如图所示，则当kx+b>0 时，x的取值范围为___________.15．a（a+b）﹣b（a+b）=_____．16．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10cm，F为AB上一点，AF＝2，点E从点A出发，沿AC方向以2cm/s的速度匀速运动，同时点D由点B出发，沿BA方向以lcm/s的速度运动，设运动时间为t（s）（0＜t＜5），连D交CF于点G．若CG＝2FG，则t的值为_____．17．已知一个圆锥体的底面半径为2，母线长为4，则它的侧面展开图面积是___．（结果保留π）三、解答题（共7小题，满分69分）18．（10分）如图，∠MON的边OM上有两点A、B在∠MON的内部求作一点P，使得点P到∠MON的两边的距离相等，且△PAB的周长最小．（保留作图痕迹，不写作法）19．（5分）如图1，已知∠DAC=90°，△ABC是等边三角形，点P为射线AD上任意一点（点P与点A不重合），连结CP，将线段CP绕点C顺时针旋转60°得到线段CQ，连结QB并延长交直线AD于点E．（1）如图1，猜想∠QEP=°；（2）如图2，3，若当∠DAC是锐角或钝角时，其它条件不变，猜想∠QEP的度数，选取一种情况加以证明；（3）如图3，若∠DAC=135°，∠ACP=15°，且AC=4，求BQ的长．20．（8分）如图，有长为14m的篱笆，现一面利用墙(墙的最大可用长度a为10m)围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为xm，面积为Sm1．求S与x的函数关系式及x值的取值范围；要围成面积为45m1的花圃，AB 的长是多少米？当AB的长是多少米时，围成的花圃的面积最大？21．（10分）有甲、乙两个不透明的布袋，甲袋中有两个完全相同的小球，分别标有数字1和－1；乙袋中有三个完全相同的小球，分别标有数字－1、0和1．小丽先从甲袋中随机取出一个小球，记录下小球上的数字为x；再从乙袋中随机取出一个小球，记录下小球上的数字为y，设点P的坐标为（x，y）．（1）请用表格或树状图列出点P所有可能的坐标；（1）求点P在一次函数y＝x＋1图象上的概率．22．（10分）如图所示，△ABC和△ADE是有公共顶点的等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，EC的延长线交BD 于点P．（1）把△ABC绕点A旋转到图1，BD，CE的关系是（选填“相等”或“不相等”）；简要说明理由；（2）若AB=3，AD=5，把△ABC绕点A旋转，当∠EAC=90°时，在图2中作出旋转后的图形，PD=，简要说明计算过程；（3）在（2）的条件下写出旋转过程中线段PD的最小值为，最大值为．23．（12分） ( 1）计算：9 ﹣4sin31°+（2115﹣π）1﹣（﹣3）2 （2）先化简，再求值：1﹣2222244x y x y x y x xy y--÷+++，其中x 、y 满足|x ﹣2|+（2x ﹣y ﹣3）2=1． 24．（14分）如图，CD 是一高为4米的平台，AB 是与CD 底部相平的一棵树，在平台顶C 点测得树顶A 点的仰角30α=︒，从平台底部向树的方向水平前进3米到达点E ，在点E 处测得树顶A 点的仰角60β=︒，求树高AB (结果保留根号).参考答案一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）1、C【解题分析】根据合并同类项的方法、同底数幂的除法法则、幂的乘方、负整数指数幂的意义逐项求解，利用排除法即可得到答案.【题目详解】A. x 2+x 2=2x 2 ，故不正确；B. x 6÷x 3=x 3 ，故不正确； C. （x 3）2=x 6 ，故正确；D. x ﹣1=1x，故不正确；故选C.【题目点拨】本题考查了合并同类项的方法、同底数幂的除法法则、幂的乘方、负整数指数幂的意义，解答本题的关键是熟练掌握各知识点.2、A【解题分析】首先作辅助线：取AB的中点M，连接OM，由平行四边形的性质与三角形中位线的性质，即可求得：△EFB∽△EOM 与OM的值，利用相似三角形的对应边成比例即可求得BF的值．【题目详解】取AB的中点M，连接OM，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，OB=OD，∴OM∥AD∥BC，OM=12AD=12×3=32，∴△EFB∽△EOM，∴BF BE OM EM，∵AB=5，BE=25 AB，∴BE=2，BM=52，∴EM=52+2=92，∴2 39 22 BF＝，∴BF=23，故选A．【题目点拨】此题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质等知识．解此题的关键是准确作出辅助线，合理应用数形结合思想解题．3、D【解题分析】根据解一元一次不等式基本步骤：移项、系数化为1可得．【题目详解】移项，得：-2x＞-4，系数化为1，得：x＜2，故选D．【题目点拨】考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．4、C【解题分析】解：因为设小明打字速度为x个/分钟，所以小张打字速度为（x+6）个/分钟，根据关系：小明打120个字所用的时间和小张打180个字所用的时间相等，可列方程得1201806x x=+，故选C．【题目点拨】本题考查列分式方程解应用题，找准题目中的等量关系，难度不大．5、C【解题分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各个选项进行判断，即可得到答案.【题目详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故A错误；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故B错误；C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故C正确；D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故D错误；故选：C.【题目点拨】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的概念，解题的关键是熟练掌握概念进行分析判断.6、A【解题分析】根据二次函数的性质和图象可以判断题目中各个小题是否成立．【题目详解】由函数图象可得，a ＞1，b ＜1，即a 、b 异号，故①错误，x=-1和x=5时，函数值相等，故②错误，∵-1522b a -+=＝2，得4a+b=1，故③正确， 由图象可得，当y=-2时，x=1或x=4，故④错误，由图象可得，当-1＜x ＜5时，y ＜1，故⑤正确，故选A ．【题目点拨】考查二次函数图象与系数的关系，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答． 7、D【解题分析】根据数轴三要素：原点、正方向、单位长度进行判断.【题目详解】A 选项图中无原点，故错误；B 选项图中单位长度不统一，故错误；C 选项图中无正方向，故错误；D 选项图形包含数轴三要素，故正确；故选D.【题目点拨】本题考查数轴的画法，熟记数轴三要素是解题的关键.8、B【解题分析】试题解析：∵菱形ABCD 的对角线86AC cm BD cm ==，，114322AC BD OA AC cm OB BD cm ∴⊥====，，，根据勾股定理，5AB cm ===，设菱形的高为h ，则菱形的面积12AB h AC BD =⋅=⋅，即15862h=⨯⨯，解得24.5 h=即菱形的高为245cm．故选B．9、A【解题分析】根据两点直线距离最短可在图中看出三亚-永兴岛之间距离最短.【题目详解】由图可得，两个点之间距离最短的是三亚-永兴岛.故答案选A.【题目点拨】本题考查的知识点是两点之间直线距离最短，解题的关键是熟练的掌握两点之间直线距离最短.10、A【解题分析】解：作OC⊥AB于C，连结OA，如图．∵OC⊥AB，∴AC=BC=12AB=12×8=1．在Rt△AOC中，OA=5，∴OC=2222543OA AC-=-=，即圆心O到AB的距离为2．故选A．二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）11、140°【解题分析】如图，连接BD，∵点E、F分别是边AB、AD的中点，∴EF是△ABD的中位线，∴EF∥BD，BD=2EF=12，∴∠ADB=∠AFE=50°，∵BC=15，CD=9，BD=12，∴BC2=225，CD2=81，BD2=144，∴CD2+BD2=BC2，∴∠BDC=90°，∴∠ADC=∠ADB+∠BDC=50°+90°=140°.故答案为：140°.12、1【解题分析】20n20=25n n，则1n是完全平方数，满足条件的最小正整数n为1．【题目详解】20=25n n20n∴25n1n是完全平方数；∴n的最小正整数值为1．故答案为：1．【题目点拨】主要考查了二次根式的定义，关键是根据乘除法法则和二次根式有意义的条件．二次根式有意义的条件是被开方数是非负数进行解答．13、k≥﹣1【解题分析】分析：根据方程的系数结合根的判别式△≥0，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出结论．详解：∵关于x的一元二次方程x2+1x-k=0有实数根，∴△=12-1×1×（-k）=16+1k≥0，解得：k≥-1．故答案为k≥-1．点睛：本题考查了根的判别式，牢记“当△≥0时，方程有实数根”是解题的关键．14、x>1【解题分析】分析：题目要求 kx+b>0，即一次函数的图像在x 轴上方时，观察图象即可得x 的取值范围.详解：∵kx+b>0，∴一次函数的图像在x 轴上方时，∴x 的取值范围为：x>1.故答案为x>1.点睛：本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，主要考查学生的观察视图能力.15、（a+b ）（a ﹣b ）．【解题分析】先确定公因式为（a +b ），然后提取公因式后整理即可．【题目详解】a （a +b ）﹣b （a +b ）=（a +b ）（a ﹣b ）．【题目点拨】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解.因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法. 因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止.16、1【解题分析】过点C 作CH ∥AB 交DE 的延长线于点H ，则1028DF t t ---＝＝，证明DFG HCG ∆∆∽，可求出CH ，再证明ADE CHE ∆∆∽，由比例线段可求出t 的值．【题目详解】如下图，过点C 作CH ∥AB 交DE 的延长线于点H ，则21028BD t AE t DF t t ---＝，＝，＝＝，∵DF ∥CH ，∴DFG HCG ∆∆∽， ∴12DF FC HC GC ==，∴2162CH DF t ＝＝-，同理ADE CHE ∆∆∽， ∴AD AE CH CE =， ∴102162102t t t t -=--，解得t ＝1，t ＝253（舍去）， 故答案为：1．【题目点拨】本题主要考查了三角形中的动点问题，熟练掌握三角形相似的相关方法是解决本题的关键.17、8π【解题分析】根据圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2公式即可求出． 【题目详解】∵圆锥体的底面半径为2，∴底面周长为2πr=4π，∴圆锥的侧面积=4π×4÷2=8π．故答案为：8π．【题目点拨】灵活运用圆的周长公式和扇形面积公式．三、解答题（共7小题，满分69分）18、详见解析【解题分析】作∠MON 的角平分线OT ，在ON 上截取OA ′，使得OA ′＝OA ，连接BA ′交OT 于点P ，点P 即为所求．【题目详解】解：如图，点P 即为所求．【题目点拨】本题主要考查作图-复杂作图，利用了角平分线的性质，难点在于利用轴对称求最短路线的问题．19、（1）∠QEP=60°；（2）∠QEP=60°，证明详见解析；（3）262BQ =【解题分析】（1）如图1，先根据旋转的性质和等边三角形的性质得出∠PCA =∠QCB ，进而可利用SAS 证明△CQB ≌△CPA ，进而得∠CQB =∠CPA ，再在△PEM 和△CQM 中利用三角形的内角和定理即可求得∠QEP =∠QCP ，从而完成猜想； （2）以∠DAC 是锐角为例，如图2，仿（1）的证明思路利用SAS 证明△ACP ≌△BCQ ，可得∠APC =∠Q ，进一步即可证得结论；（3）仿（2）可证明△ACP ≌△BCQ ，于是AP =BQ ，再求出AP 的长即可，作CH ⊥AD 于H ，如图3，易证∠APC =30°，△ACH 为等腰直角三角形，由AC =4可求得CH 、PH 的长，于是AP 可得，问题即得解决.【题目详解】解：(1)∠QEP =60°；证明：连接PQ ，如图1，由题意得：PC =CQ ，且∠PCQ =60°，∵△ABC 是等边三角形，∴∠ACB =60°，∴∠PCA =∠QCB ，则在△CPA 和△CQB 中，PC QC PCA QCB AC BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△CQB ≌△CPA (SAS )，∴∠CQB =∠CPA ，又因为△PEM 和△CQM 中，∠EMP =∠CMQ ，∴∠QEP =∠QCP =60°.故答案为60；(2)∠QEP =60°.以∠DAC 是锐角为例.证明：如图2，∵△ABC 是等边三角形，∴AC =BC ，∠ACB =60°，∵线段CP 绕点C 顺时针旋转60°得到线段CQ ，∴CP =CQ ，∠PCQ =60°，∴∠ACB +∠BCP =∠BCP +∠PCQ ，即∠ACP =∠BCQ ，在△ACP 和△BCQ 中，CA CB ACP BCQ CP CQ =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACP ≌△BCQ (SAS )，∴∠APC =∠Q ，∵∠1=∠2，∴∠QEP =∠PCQ =60°；(3)连结CQ ，作CH ⊥AD 于H ，如图3，与(2)一样可证明△ACP ≌△BCQ ，∴AP =BQ ，∵∠DAC =135°，∠ACP =15°，∴∠APC =30°，∠CAH =45°，∴△ACH 为等腰直角三角形，∴AH =CH =22AC =22×4=22 在Rt △PHC 中，PH 3=26∴PA =PH −AH =262∴BQ =622【题目点拨】本题考查了等边三角形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质和有关计算、30°角的直角三角形的性质等知识，涉及的知识点多、综合性强，灵活应用全等三角形的判定和性质、熟练掌握旋转的性质和相关图形的性质是解题的关键.20、（1）S=﹣3x 1+14x ，143≤x< 8；（1） 5m ；（3）46.67m 1 【解题分析】（1）设花圃宽AB为xm，则长为（14-3x），利用长方形的面积公式，可求出S与x关系式，根据墙的最大长度求出x 的取值范围；（1）根据（1）所求的关系式把S=2代入即可求出x，即AB；（3）根据二次函数的性质及x的取值范围求出即可.【题目详解】解：（1）根据题意，得S＝x（14﹣3x），即所求的函数解析式为：S＝﹣3x1+14x，又∵0＜14﹣3x≤10，∴1483x≤＜；（1）根据题意，设花圃宽AB为xm，则长为（14-3x），∴﹣3x1+14x＝2．整理，得x1﹣8x+15＝0，解得x＝3或5，当x＝3时，长＝14﹣9＝15＞10不成立，当x＝5时，长＝14﹣15＝9＜10成立，∴AB长为5m；（3）S＝14x﹣3x1＝﹣3（x﹣4）1+48∵墙的最大可用长度为10m，0≤14﹣3x≤10，∴1483x≤＜，∵对称轴x＝4，开口向下，∴当x＝143m，有最大面积的花圃．【题目点拨】二次函数在实际生活中的应用是本题的考点，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程是解题的关键.21、（1）见解析；（1）.【解题分析】试题分析：（1）画出树状图（或列表），根据树状图（或表格）列出点P所有可能的坐标即可；（1）根据（1）的所有结果，计算出这些结果中点P在一次函数图像上的个数，即可求得点P在一次函数图像上的概率. 试题解析：（1）画树状图：或列表如下：∴点P所有可能的坐标为（1，-1），（1,0）（1,1）（-1，-1），（-1,0）（-1,1）. ∵只有（1,1）与（-1，-1）这两个点在一次函数图像上，∴P（点P在一次函数图像上）=.考点：用（树状图或列表法）求概率.22、（1）BD，CE的关系是相等；（253417203417（3）1，1【解题分析】分析：（1）依据△ABC和△ADE是有公共顶点的等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，即可BA=CA，∠BAD=∠CAE，DA=EA，进而得到△ABD≌△ACE，可得出BD=CE；（2）分两种情况：依据∠PDA=∠AEC，∠PCD=∠ACE，可得△PCD∽△ACE，即可得到PDAE=CDCE，进而得到534 17；依据∠ABD=∠PBE，∠BAD=∠BPE=90°，可得△BAD∽△BPE，即可得到PB BEAB BD，进而得出634 34，203417（3）以A为圆心，AC长为半径画圆，当CE在⊙A下方与⊙A相切时，PD的值最小；当CE在在⊙A右上方与⊙A 相切时，PD的值最大．在Rt△PED中，PD=DE•sin∠PED，因此锐角∠PED的大小直接决定了PD的大小．分两种情况进行讨论，即可得到旋转过程中线段PD的最小值以及最大值．详解：（1）BD，CE的关系是相等．理由：∵△ABC和△ADE是有公共顶点的等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，∴BA=CA，∠BAD=∠CAE，DA=EA，∴△ABD≌△ACE，∴BD=CE；故答案为相等．（2）作出旋转后的图形，若点C在AD上，如图2所示：∵∠EAC=90°，∴CE=2234AC AE+=，∵∠PDA=∠AEC，∠PCD=∠ACE，∴△PCD∽△ACE，∴PD CD AE CE=，∴PD=534 17；若点B在AE上，如图2所示：∵∠BAD=90°，∴Rt△ABD中，2234AD AB+=BE=AE﹣AB=2，∵∠ABD=∠PBE，∠BAD=∠BPE=90°，∴△BAD∽△BPE，∴PB BEAB BD=，即334PB=，解得634 34，∴3463434203417534 172034 17（3）如图3所示，以A为圆心，AC长为半径画圆，当CE在⊙A下方与⊙A相切时，PD的值最小；当CE在在⊙A 右上方与⊙A相切时，PD的值最大．如图3所示，分两种情况讨论：在Rt△PED中，PD=DE•sin∠PED，因此锐角∠PED的大小直接决定了PD的大小．①当小三角形旋转到图中△ACB的位置时，在Rt△ACE中，2253-，在Rt△DAE中，225552+=∵四边形ACPB是正方形，∴PC=AB=3，∴PE=3+4=1，在Rt△PDE中，2250491DE PE-=-=，即旋转过程中线段PD的最小值为1；②当小三角形旋转到图中△AB'C'时，可得DP'为最大值，此时，DP'=4+3=1，即旋转过程中线段PD的最大值为1．故答案为1，1．点睛：本题属于几何变换综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质、旋转变换、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、圆的有关知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，学会分类讨论的思想思考问题，学会利用图形的特殊位置解决最值问题．23、(1)-7；(2)yx y-+，13-.【解题分析】（1）原式第一项利用算术平方根定义计算，第二项利用特殊角的三角函数值计算，第三项利用零指数幂法则计算，最后一项利用乘方的意义化简，计算即可得到结果；（2）原式第二项利用除法法则变形，约分后两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分得到最简结果，利用非负数的性质求出x 与y 的值，代入计算即可求出值.【题目详解】(1)原式=3−4×12+1−9=−7； (2)原式=1−2x y x y -+ ⋅()()()22x y x y x y ++-=1−2x y x y ++ =2x y x y x y +--+ =−y x y+； ∵|x−2|+(2x−y−3)2=1，∴2023x x y -=⎧⎨-=⎩， 解得：x=2，y=1， 当x=2,y=1时,原式=−13. 故答案为（1）-7；（2）−y x y +；−13. 【题目点拨】本题考查了实数的运算、非负数的性质与分式的化简求值，解题的关键是熟练的掌握实数的运算、非负数的性质与分式的化简求值的运用.24、6+332【解题分析】如下图，过点C 作CF ⊥AB 于点F ，设AB 长为x ，则易得AF=x-4，在Rt △ACF 中利用∠α的正切函数可由AF 把CF 表达出来，在Rt △ABE 中，利用∠β的正切函数可由AB 把BE 表达出来，这样结合BD=CF ，DE=BD-BE 即可列出关于x 的方程，解方程求得x 的值即可得到AB 的长.【题目详解】解：如图，过点C 作CF ⊥AB ，垂足为F ，设AB =x ，则AF =x -4，∵在Rt △ACF 中，tan ∠α=AF CF，∴CF =4tan30x -︒=BD ， 同理，Rt △ABE 中，BE =tan60x ︒， ∵BD -BE =DE ， ∴4tan30x -︒-tan60x ︒=3，解得x答：树高AB 为（ . 【题目点拨】作出如图所示的辅助线，利用三角函数把CF 和BE 分别用含x 的式子表达出来是解答本题的关键.。
2023-2024学年山东省临沂市高一上册期末数学试题(含解析)
2023-2024学年山东省临沂市高一上册期末数学试题一、单选题1．设命题200:,10,p x x ∃∈+=R 则命题p 的否定为（）A ．2,10x x ∀∉+=R B ．2,10x x ∀∈+≠R C ．200,10x x ∃∉+=R D ．200,10x x ∃∈+≠R 【正确答案】B【分析】根据特称命题的否定为全称命题可求解.【详解】根据特称命题的否定为全称命题得，命题p 的否定为2,10x x ∀∈+≠R .故选：B.2．集合{}{}21,2,|430A B x x x ==-+=，则A B ⋃=（）A ．{}1,2,3B ．{}123,,-C ．{}1D ．{}1,1,2,3--【正确答案】A【分析】解方程2430x x -+=得集合B ，再根据并集的定义求解即可.【详解】由()()2430,130x x x x -+=--=，解得1x =或3x ={}1,3B ∴=,{}1,2,3A B ∴⋃=故选：A3．函数()ln 25f x x x =+-的零点所在的区间是（）A ．()1,2B ．()2,3C ．()3,4D ．()4,5【正确答案】B【分析】判断函数的单调性，再利用零点存在定理即可判断答案.【详解】由于ln ,25y x y x ==-在其定义域上都为增函数，故函数()ln 25f x x x =+-在(0,)+∞上为增函数，又()()()130,2ln 210,3ln 310f f f =-<=-<=+>，故()ln 25f x x x =+-在()2,3内有唯一零点，故选：B4．已知30.2a =，0.23b =，0.2log 3c =，则a ，b ，c 的大小关系：（）A ．b a c >>B ．a c b>>C ．c a b>>D ．a b c>>【正确答案】A【分析】根据指数幂和对数计算规则进行估算即可得到答案．【详解】3000.20.21<<=，00.2113333=<<=，0.20.2log 3log 10<=，则a ，b ，c 的大小关系b a c >>故选：A 5．函数()221xf x x =-的图象大致为（）A ．B ．C．D．【正确答案】A【分析】判断函数的奇偶性排除两个选项，再结合特殊的函数值排除一个选项后得正确结论．【详解】由题可得函数()f x 定义域为{}|1x x ≠±，且()()221xf x f x x --==--，故函数为奇函数，故排除BD ，由()4203f =>，1143234f ⎛⎫==-⎪⎝⎭-，故C 错误，故选：A.6．已知函数()e ,11,1x x f x x x ⎧≤=⎨+>⎩，则()ln 2f f ⎡⎤⎣⎦的值为（）A ．1B ．2C ．3D ．e【正确答案】C【分析】根据指数幂运算性质，结合代入法进行求解即可.【详解】()()()ln 2e2213ln 2f f f f ===+=⎡⎤⎣⎦，故选：C7．我们学过度量角有角度制与弧度制，最近，有学者提出用“面度制”度量角，因为在半径不同的同心圆中，同样的圆心角所对扇形的面积与半径平方之比是常数，从而称这个常数为该角的面度数，这种用面度作为单位来度量角的单位制，叫做面度制.在面度制下，角θ的面度数为2π3，则角θ的正弦值为（）A．2B ．12C ．12-D．【正确答案】D【分析】根据面度数的定义，可求得角θ的弧度数，继而求得答案.【详解】设角θ所在的扇形的半径为r ，则2212π23r r θ=，所以4π3θ=，所以4ππsin sin sin 323θ==-=-，故选：D ．8．设函数()f x 的定义域为D ，如果对任意的1x D ∈，存在2x D ∈，使得()()122f x f x c +=（c为常数），则称函数()y f x =在D 上的均值为c ，下列函数中在其定义域上的均值为1的是（）A ．||12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．tan y x =C ．2sin y x=D ．223y x x =+-【正确答案】B【分析】根据题意将问题转化为关于2x 的方程是否存在有解问题，再根据选项中具体函数的定义域和值域，结合特殊值法逐个分析判断即可．【详解】由题意得1c =，则12()()12f x f x +=，即12()()2f x f x +=，将问题转化为关于2x 的方程是否存在有解问题，对于A ，||12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭的定义域为R ，值域为(]0,1，当11x =时，11()2f x =，此时不存在2x ∈R ，使12()()2f x f x +=，所以A 错误；对于B ，tan y x =的定义域为ππ,Ζ2D x x k k ⎧⎫=≠+∈⎨⎬⎩⎭，值域为R ，则对于任意1x D ∈，总存在2x D ∈，使得12tan tan 2x x +=，所以B 正确；对于C ，2sin y x =的定义域为R ，值域为[2,2]-，当1π2x =-时，1()2f x =-，此时不存在2x ∈R ，使12()()2f x f x +=，所以C 错误；对于D ，223y x x =+-，定义域为R ，值域为[)4,-+∞，当13x =时，1()12f x =，此时不存在2x ∈R ，使12()()2f x f x +=，所以D 错误．故选：B ．关键点点睛：解决本题的关键是根据题意将问题转化为关于2x 的方程是否存在有解问题．二、多选题9．若sin cos 0αα⋅<，则α终边可能在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【正确答案】BD【分析】根据角的终边所在限象的三角函数符号，即可得到结果.【详解】因为sin cos 0αα⋅<，若sin 0,cos 0αα><，则α终边在第二象限；若sin 0,cos 0αα<>，则α终边在第四象限；故选：BD.10．已知0a b >>，则（）A ．2ab b <B ．22a b >C ．22a b>D ．1a b<【正确答案】ACD【分析】由0a b >>，则0ab <，20b >，0ab<，从而可判断A ，D ；令1,2a b ==-，从而可判断B ；结合2x y =在R 上单调递增，从而可判断C ．【详解】对于A ，由0a b >>，则0ab <，20b >，所以2ab b <成立，故A 正确；对于B ，由0a b >>，令1a =，2b =-，则22a b <，所以22a b >不成立，故B 错误；对于C ，由0a b >>，且2x y =在R 上单调递增，所以22a b >成立，故C 正确；对于D ，由0a b >>，则0ab <，所以1a b<成立，故D 正确．故选：ACD ．11．设,R,a b ∈定义运算,,a a ba b b a b ≥⎧⊗=⎨<⎩，已知函数()sin cos f x x x =⊗，则（）A ．()f x 是偶函数B ．2π是()f x 的一个周期C ．()f x 在π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减D ．()f x 的最小值为1-【正确答案】BC【分析】画出()f x 的图象，对于A ：举反例即可判断；对于B ：由图可判断；对于C ：根据余弦函数的单调性可判断；对于D ：由图可判断.【详解】因为sin ,sin cos ()sin cos cos ,sin cos x x xf x x x x x x ≥⎧=⊗=⎨<⎩，画出()f x 的图象，如图对于A ：ππ(1,()022f f =-=，即ππ()(),22f f -≠所以()f x 不是偶函数，A 错误；对于B ：由图可知()f x 的一个周期为π7π()2π44--=，B 正确；对于C ：当π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，sin cos x x ≤，则()cos f x x =，而()cos f x x =在π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，C 正确；对于D ：由图可知，()f x 的最小值为2，D 错误.故选：BC12．已知函数()23log ,0211,22x x x f x x -⎧<≤⎪=⎨⎛⎫->⎪ ⎪⎝⎭⎩，令()()g x f x k =-，则（）A ．若()g x 有1个零点，则0k <或1k >B ．若()g x 有2个零点，则1k =或0k =C ．()f x 的值域是()1,-+∞D ．若存在实数a ，b ，c （a b c <<）满足()()()f a f b f c ==，则abc 的取值范围为（2，3）【正确答案】BCD【分析】根据函数图象的翻折变换和平移变换，由函数2log y x =的图象与函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象，可得函数()f x 的图象，利用数形结合，可得答案.【详解】由函数2log y x =的图象，根据函数图象的翻折变换，由函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象，根据函数图象的平移变换，向右平移3个单位，向下平移1个单位，可得函数()f x 的图象，如下图：函数()g x 的图象可由函数()f x 经过平移变换得到，显然当10k -<<或1k >时，函数()g x 的图象与x 轴存在唯一交点，故A 错误；由函数()f x 的图象，本身存在两个交点，向下平移一个单位，符合题意，故B 正确；由图象，易知C 正确；设()()()f a f b f c d ===，则223log log 112c a d b d d -⎧⎪-=⎪⎪=⎨⎪⎛⎫⎪-= ⎪⎪⎝⎭⎩，由前两个方程可得22log log a b -=，则1ab =，由图象可知()0,1d ∈，解得()2,3c ∈，即()2,3abc c =∈，故D 正确；故选：BCD.三、填空题13．已知幂函数()y f x =的图像过点，则(4)f =___________.【正确答案】2【分析】先设幂函数解析式，再将代入即可求出()y f x =的解析式，进而求得(4)f .【详解】设()y f x x α==，幂函数()y f x =的图像过点，(2)2f α∴==，12α∴=，12()f x x ∴=，12(4)42f ∴==故214．已知23,25a b ==，则2log 45=___________.（用,a b 表示）【正确答案】2a b +##2b a+【分析】根据指数式与对数式的互化，求出22log 3,log 5a b ==，结合对数的运算法则化简，即可得答案.【详解】因为23,25a b ==，所以22log 3,log 5a b ==，故2222log 45log 59log 52log 322b a a b =⨯=+=+=+，故2a b+15．一次函数(0,0)y mx n m n =+>>的图象经过函数()()log 11a f x x =-+的定点，则12m n+的最小值为___________.【正确答案】8【分析】求出函数()()log 11a f x x =-+过的定点，可得21m n +=，将12m n+变为12()(2)m n m n++，结合基本不等式即可求得答案.【详解】对于函数()()log 11a f x x =-+，令11,2,1x x y -=∴==，则该函数图象过定点(2,1)，将(2,1)代入(0,0)y mx n m n =+>>，得21m n +=，故12124()448n m m n m n m n m n +=++=++≥+=，当且仅当4n m m n=且21m n +=，即11,42m n ==时取等号，故8四、双空题16．已知函数()y x ϕ=的图象关于点(),P a b 成中心对称图形的充要条件是()y a x b ϕ=+-为奇函数.据此，写出图象关于点()1,0对称的一个函数解析式__________，函数()61f x x x =-+-图象的对称中心是___________.【正确答案】1y x =-（答案不唯一）()1,1-【分析】由题意，根据函数图象平移变换，利用常见奇函数以及奇函数的性质，可得答案.【详解】由题意，根据函数图象的平移变换，函数()y x ϕ=可奇函数()10y x ϕ=+-向右平移1个单位得到，取奇函数y x =，将该函数向右平移1个单位，可得函数1y x =-，；设函数()f x 图象的对称中心为(),a b ，则()61f x a b x a b x a +-=--+-+-，由函数()y f x a b =+-是奇函数，则()()f x a b f x a b -+-=-++，即6611x a b x a b x a x a -+-=+-+-+-+-，解得11a b =⎧⎨=-⎩，故1y x =-（答案不唯一），()1,1-五、解答题17．已知角α的终边经过点(),3P m，且cos10α=-.(1)求m的值；(2)求()()πsin sin2π25πcos cosπ2αααα⎛⎫-+-⎪⎝⎭⎛⎫++-⎪⎝⎭的值.【正确答案】(1)1m=-(2)2-【分析】（1）根据任意角三角函数的定义，建立方程，可得答案；（2）根据三角函数的诱导公式，可得答案.【详解】（1）因为已知角α的终边经过点P（m，3），且cos10α=-，=1m=-.（2）由（1）可得tan 3.α=-原式=()13cos sin1tan2sin cos1tan13αααααα---+-===---+-.18．已知二次函数2()f x ax bx c=++（,,a b c为常数），若不等式()0f x≤的解集为{}|16x x-≤≤且(1)10f=-.(1)求()f x；(2)对于任意的x∈R，不等式()()257f x k x≥--恒成立，求k的取值范围.【正确答案】(1)()256f x x x=--(2)[]1,1-【分析】（1）根据一元二次不等式与一元二次方程的关系，结合不等式的解集，列出不等式组，求得,,a b c，即得答案.（2）根据一元二次不等式在R上恒成立，利用判别式即可求得答案.【详解】（1）由()0f x≤的解集为{}|16x x-≤≤且(1)10f=-，知1,6-为方程20ax bx c ++=的两实数根，故1616100ba ca abc a ⎧-=-+⎪⎪⎪=-⨯⎨⎪++=-⎪⎪>⎩，解得1,5,6a b c ==-=-，所以()256f x x x =--.（2）由（1）知()256f x x x =--，则由x ∈R ，()()257f x k x ≥--恒成立，得2210x kx -+≥恒成立，由题意得2440k ∆=-≤解得11k -≤≤，所以k 的取值范围为[]1,1-.19．已知R a ∈，全集R U =，集合1|284x aA x -⎧⎫=<≤⎨⎬⎩⎭，函数y =B .(1)当2a =时，求()U A B ð；(2)若x B ∈是x A ∈成立的充分不必要条件，求a 的取值范围.【正确答案】(1)(]20,1,53⎛⎤⋃ ⎥⎝⎦(2)82,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】(1)求得集合A 和集合B ，根据补集和交集的定义即可求解；(2)由x B ∈是x A ∈的充分不必要条件，可知集合B 是集合A 的真子集.根据真包含关系建立不等式求解即可.【详解】（1）{}{}231|28|222|234---⎧⎫=<≤=<≤=-<≤+⎨⎬⎩⎭x a x a A x x x a x a ，即](2,3=-+A a a .由12log (32)0,-≥x ，得0321x <-≤，解得213x <≤，即]2(,13=B .当2a =时，(]()20,5,,1,3U A B ∞∞⎛⎤==-⋃+ ⎝⎦ð.∴()(]20,1,53U B A ⎛⎤⋂=⋃ ⎥⎝⎦ð.（2）由x B ∈是x A ∈的充分不必要条件，可知集合B 是集合A 的真子集.所以22,331a a ⎧-≤⎪⎨⎪+≥⎩解得823a -≤≤，经检验符合集合B 是集合A 的真子集，所以a 的取值范围是82,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.20．已知函数()()2sin f x x ωϕ=+（π0,2ωϕ><）的图象关于直线π12x =-对称，且函数()f x 的最小正周期为π.(1)求()f x ；(2)求()f x 在区间7π0,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.【正确答案】(1)()π2sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；(2)最大值为2，最小值为【分析】（1）根据正弦型函数的最小正周期公式，结合正弦型函数的对称性进行求解即可；（2）根据正弦型函数的单调性进行求解即可.【详解】（1）因为函数f （x ）的最小正周期为π，所以2π2T ω==.∵π12x =-为f （x ）的一条对称轴，∴()()ππ2πφπZ φπZ 623k k k k -+=+∈⇒=+∈，又πφ2<，所以πφ3=-，故()π2sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；（2）当70,12x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，ππ52,336x π⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，所以当233x -=-ππ，即0x =时，min ()f x =.当ππ232x -=，即5π12x =时，max ()2f x =.21．2022年11月，国务院发布了简称优化防控二十条的通知后，某药业公司的股票在交易市场过去的一个月内（以30天计，包括第30天），第x 天每股的交易价格()P x （元）满足*()60|20|(130,N )P x x x x =--≤≤∈，第x 天的日交易量()Q x （万股）的部分数据如下表：第x （天）12410()Q x （万股）14121110.4(1)给出以下两种函数模型：①()Q x ax b =+；②()b Q x a x=+.请你根据上表中的数据.从中选择你认为最合适的一种函数模型来描述该股票日交易量()Q x （万股）与时间第x 天的函数关系（简要说明理由），并求出该函数的关系式；(2)根据（1）的结论，求出该股票在过去一个月内第x 天的日交易额()f x 的函数关系式，并求其最小值.【正确答案】(1)选择模型②，理由见解析，()()*410130,N Q x x x x=+≤≤∈(2)**16010404,120,N ()32010796,2030,N x x x x f x x x x x ⎧++≤≤∈⎪⎪=⎨⎪-++<≤∈⎪⎩，最小值484【分析】(1)对于两种模型分别用两点求,a b ，再检验另外两点，从而可以确定；(2)根据()()()f x P x Q x =⋅确定()f x 的解析式，再分段讨论最小值，再比较其中小的为最小值.【详解】（1）对于函数(),=+Q x ax b ，根据题意，把点(1,14),(2,12)代入可得14212a b a b +=⎧⎨+=⎩，解得216a b =-=，，()216.Q x x ∴=-+而点(4,11),(10,10.4)均不在函数()216Q x x =-+的图象上；对于函数()b Q x a x=+，根据题意，把点(1,14),(2,12)代入可得14122a b b a +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得10,4a b ==，此时()410Q x x=+.而(4,11),(10,10.4)均在函数()410Q x x =+的图象上.所以()()*410130,N Q x x x x=+≤≤∈.（2）由（1）知()**40120N 2060802030N x x x P x x x x x ⎧+≤≤∈=--+=⎨-+≤≤∈⎩，，，，.所以*4(10)(40),120,N *()()()4(10)(80),2030,N x x x x f x P x Q x x x x x ⎧++≤≤∈⎪⎪=⋅=⎨⎪+-+<≤∈⎪⎩，即**16010404,120,N (),32010796,2030,N x x x x f x x x x x ⎧++≤≤∈⎪⎪=⎨⎪-++<≤∈⎪⎩当*120,N x x ≤≤∈时，()16010404404484f x x x =++≥=当且仅当16010x x =时，即4x =时等号成立，当*2030N x x <≤∈，时，()32010796f x x x=-++为减函数.所以函数的最小值为()()min 32304964843f x f ==+>，综上可得，当4x =时，函数()f x 取得最小值484.22．已知函数12()23x f x a a=-+（0a >且1a ≠）为定义在R 上的奇函数.(1)判断并证明()f x 的单调性；(2)若函数[]2222()log log ,2,4g x x m x m x =-+∈，对干任意[]12,4x ∈，总存在[]21,1x ∈-，使得()12)(g x f x =成立，求m 的取值范围.【正确答案】(1)函数()f x 在R 上单调递增，证明见解析(2)11,2⎡⎢⎣⎦【分析】（1）根据函数奇偶性求得a 的值，利用函数单调性的定义即可证明结论.（2）求出函数()f x 的值域，利用换元法将[]2222()log log ,2,4g x x m x m x =-+∈转化为[]2()2,1,2=-+∈h t t mt m t ，讨论函数图象对称轴与给定区间的位置关系，确定其值域，结合题意可知两函数值域之间的包含关系，列出不等式，求得答案.【详解】（1）由题意函数12()23x f x a a =-+（0a >且1a ≠）为定义在R 上的奇函数,得：()120203f a =-=+，解得3a =.∴()1124223331x x f x +=-=-++，验证：443()223131x x x f x -⋅-=-=-++，则434()()224403131x x x f x f x ⋅-+=--=-=++，即()()f x f x -=-，即()4231x f x =-+为奇函数；任取12,R x x ∈，且12x x <，则121221211244444(33)()()2231313131(31)(31)x x x x x x x x f x f x --=--+=-=++++++，因为12,R x x ∈，且12x x <，所以121233310,0,310+->><+x x x x ，所以1221124(33()()0(31)(31))x x x x f x f x --=<++，故()()12f x f x <，所以函数()f x 在R 上单调递增.（2）由（1）知，()f x 在R 上单调递增，∴[1,1]x ∈-时，()()1(1)f f x f -≤≤，即()11f x -≤≤，即()f x 的值域为[1,1]-，设为A .[]2222222()log log log 2log ,2,4=-+=-+∈g x x m x m x m x m x ，令2log x t =，则[]1,2t ∈，设[]2()2,1,2=-+∈h t t mt m t ，其值域为B ，由题意知B A ⊆.[]2()2,1,2=-+∈h t t mt m t 的图象的对称轴为t m =，当1m <时，()h t 在[]1,2上单调递增，[]1,43=--B m m ，∴112,,1243133m m m m m -≥-≤⎧⎧∴∴≤≤⎨⎨-≤≥⎩⎩，与1m <矛盾，所以舍掉；当312m ≤<时，()h t 在[1,]m 上单调递减，在[],2m 上单调递增，且(1)(2)h h <，∴2,43]B m m m ⎡=-+-⎣，∴21,43133m m m m m ⎧-+≥-≤∴⎨-≤⎩⎪≥⎩，故131122m m +≤≤∴≤<；当322m ≤<时，()h t 在[1,]m 上单调递减，在[],2m 上单调递增，且()()12h h >，∴2,1]B m m m ⎡=-+-⎣，21,110m m m m m ⎧-+≥-≤≤∴∴⎨-≤⎩⎪≥⎩302m m ≤≤∴≤≤，当2m ≥时，()h t 在[1,2]上单调递减，[]43,1B m m =--，431355,,01103m m m m m -≥-≤⎧⎧∴∴∴≤≤⎨⎨-≤≥⎩⎩，与2m ≥矛盾，所以舍掉.综上所述，m的取值范围为⎡⎢⎣⎦.方法点睛：涉及到含有参数的二次函数在给定区间上的值域问题，要注意分类讨论，讨论的标准是考虑函数图象的对称轴与给定区间的位置关系，结合函数单调性，即可确定值域.。
山东高一高中数学期末考试带答案解析
山东高一高中数学期末考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.若集合，则集合的所有子集个数是（）A．1B．2C．3D．42.若函数，则（）A．B．C．-3D．53.已知直线，不论取何值，该直线恒过的定点是（）A．B．C．D．4.函数的图象大致是（）A．B．C．D．5.设，则的大小关系是（）A．B．C．D．6.设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列结论正确的是（）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则7.函数是定义在上的偶函数，且在上是增函数，若，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．8.若实数满足，则的最小值是（）A．B．1C．D．59.如下图所示，在正方体中，下列结论正确的是（）A．直线与直线所成的角是B．直线与平面所成的角是C．二面角的大小是D．直线与平面所成的角是10.设方程的根为，函数的零点为，若，则函数可以是（）A．B．C．D．二、填空题1.若棱长为1的正方体的八个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积为__________．2.若，则__________．3.若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是__________．三、解答题1.已知全集，集合.(Ⅰ)求集合；(Ⅱ)设集合，若，求实数的取值范围.2.在中，点，角的内角平分线所在直线的方程为边上的高所在直线的方程为.(Ⅰ) 求点的坐标；(Ⅱ) 求的面积.3.根据市场调查，某种新产品投放市场的30天内，每件的销售价格(千元)与时间(天)组成有序数对，点落在下图中的两条线段上，且日销售量(件)与时间 (天)之间的关系是.(Ⅰ) 写出该产品每件销售价格〔千元)与时间 (天)之间的函数关系式；(Ⅱ)在这30天内，哪一天的日销售金额最大?(日销售金额每件产品的销售价格日销售量)4.如下图,是长方形，平面平面，且是的中点.(Ⅰ)求证：平面；(Ⅱ)求三棱锥的体积；（Ⅲ）若点是线段上的一点，且平面平面,求线段的长.5.已知函数(且)是定义在上的奇函数.(Ⅰ)求实数的值；(Ⅱ)证明函数在上是增函数；（Ⅲ）当时，恒成立，求实数的取值范围.山东高一高中数学期末考试答案及解析一、选择题1.若集合，则集合的所有子集个数是（）A．1B．2C．3D．4【答案】D【解析】根据题意，集合的所有子集个数，选2.若函数，则（）A．B．C．-3D．5【答案】D【解析】根据分段函数，得，则，故选3.已知直线，不论取何值，该直线恒过的定点是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】直线化简为，因为不论取何值，所以即，故直线恒过定点，选点睛：含参直线恒过定点的求法：（1）分离参数法，把含有参数的直线方程改写成，则它表示的所有直线必过定点；（2）特殊值法，把参数赋两个特殊值，联立方程组，解出、的值，即就为直线过的定点。
2024年山东省淄博市沂源县中考一模数学试题(解析版)
数学试题本试卷共8页，满分150分，考试时间120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．注意事项：1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将学校、姓名、准考证号、考场/座位号填写在答题卡和试卷规定位置，并涂写考试号．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔涂黑答题卡对应题目的答案标号；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．3．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，字体工整、笔迹清晰，写在答题卡各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来答案，然后再写上新答案．严禁使用涂改液、胶带纸、修正带修改．不允许使用计算器．4．保证答题卡清洁、完整，严禁折叠，严禁在答题卡上做任何标记．5．评分以答题卡上的答案为依据．不按以上要求作答的答案无效．一、选择题：本题共10小题，在每小题所给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项选出来．每小题4分，共40分，错选、不选或选出的答案超过一个，均记0分．1. 倒数是（ ）A. 6B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】本题考查了倒数的定义，根据互为倒数的两个数的积等于1解答．【详解】∵，∴的倒数是．故选：B ．2. 我国民间建筑装饰图案中，蕴含着丰富的数学之美．下列图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A. B. C. D.【答案】A的16-6-161-()1616-⨯-=16-6-【解析】【分析】直接根据轴对称图形的定义和中心对称图形的定义逐项判断即可．【详解】解：A ．该图形是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确；B ．该图形不是轴对称图形，但是中心对称图形，故此选项错误；C ．该图形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项错误；D ．该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故此选项错误．故选：A ．【点睛】本题考查了对称图形定义和中心对称图形的定义，在平面内，一个图形绕某点旋转180°后能与原来的图形重合，这个图形叫做中心对称图形；一个图形沿某条直线对折后，直线两旁的部分能重合，这样的图形叫做轴对称图形．理解这两个概念是关键．3. 下列运算正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】本题考查整式的混合运算，涉及积的乘方运算、同底数幂的乘法运算、幂的乘方运算和同底数幂的除法运算，熟记相关运算法则逐项验证是解决问题的关键．【详解】解：A 、，该选项错误，不符合题意；B 、，该选项错误，不符合题意；C 、，该选项正确，符合题意；D 、，该选项错误，不符合题意；故选：C ．4. 下列变形中，不正确的是（ ）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则【答案】D【解析】【分析】根据等式的性质即可求出答案，等式的性质是：等式的两边同时加上或减去同一个数或式，所得结果仍是等式；等式的两边同时乘或除以同一个数（除数不能为0），所得结果仍是等式．的22(3)6a a =3332a a a ⋅=326()a a =44a a a ÷=22222(3)396a a a a =⨯=≠3336332a a a a a +==≠⋅326()a a =444401a a a a -÷===x y =33x y +=+22x y -=-x y =x y m m =x y =x y =x y m m=【详解】解：A 、若，则，故本选项变形正确；B 、若，则，故本选项变形正确；C 、若，则，故本选项变形正确；D 、若，则当时，故本选项变形错误；故选：D ．【点睛】本题考查等式的性质，解题的关键是熟练运用等式的性质，本题属于基础题型．5. 下列调查中，最适合采用普查方式进行的是（ ）A. 对深圳市居民日平均用水量的调查B. 对一批LED 节能灯使用寿命的调查C. 对央视“新闻60分”栏目收视率的调查D. 对某中学教师的身体健康状况的调查【答案】D【解析】【分析】由普查得到的结果数据准确，但不适合基数大的情况，抽样调查适合于基数大的情况，但得到是近似结果，由此判断即可．【详解】解：A ．对深圳市居民日平均用水量的调查，适合抽样调查，故此选项错误；B ．对一批LED 节能灯使用寿命的调查，适合抽样调查，故此选项错误；C ．对央视“新闻60分”栏目收视率的调查，适合抽样调查，故此选项错误；D ．对某中学教师的身体健康状况的调查，适合全面调查，故此选项正确；故选：D ．【点睛】本题考查了普查和抽样调查的区别；在选择调查方式时，要通过观察要考查的对象的特征灵活选用方式来得到可靠的结果．6. 近似数精确到（ ）A. 百分位B. 百位C. 十位D. 个位【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了求近似数，先将科学记数法还原，再看首数的最后一位数字所在的位数，即为精确到的位数，将科学记数法还原是解题的关键．【详解】解：近似数，中的在十位上，x y =33x y +=+22x y -=-x y =x y m m=x y =x y =0m ≠x y m m =33.5010⨯303.5010350⨯= 3.500因此精确到十位上，故选C ．7. 中国古代的“四书”是指《论语》《孟子》《大学》《中庸》，它是儒家思想的核心著作，是中国传统文化的重要组成部分．若从这四部著作中随机抽取两本（先随机抽取一本，不放回，再随机抽取另一本），抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的概率是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】用列表法或画树状图法列举出所有等可能的结果，从中找出抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的可能结果，再利用概率公式求出即可．【详解】解：记《论语》《孟子》《大学》《中庸》分别为A ，B ，C ，D ，画树状图如下：一共有12种等可能的结果，其中抽取的两本恰好是《论语》（即A ）和《大学》（即C ）的可能结果有2种可能，∴P （抽取的两本恰好是《论语》和《大学》），故选：B ．【点睛】本题考查列表法和画树状图法求等可能事件的概率，掌握列表法和画树状图法求等可能事件概率的方法是解题的关键．8. 观察下列分式：，，，，…，按此规律第10个分式是（ ）A. B. C. D. 【答案】D 【解析】1816131221126==2x25x -310x 417x -526x 1099x 1099x -10101x 10101x -【分析】本题考查的是单项式，此题属规律性题目，找到变化规律是解题的关键，根据题中所给的分式找出规律即可．【详解】解：，，，，故第n 个分式为，∴第10个分式是．故选：D ．9. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O 为圆心的圆，如图2，已知圆心O 在水面上方，且被水面截得的弦长为4米，半径长为3米．若点C 为运行轨道的最低点，则点C 到弦所在直线的距离是（ ）A. 1米 B. 米 C. 3米 D. 米【答案】D【解析】【分析】连接交于D ，根据圆的性质和垂径定理可知，，根据勾股定理求得的长，由即可求解．【详解】解：根据题意和圆的性质知点C 为的中点，连接交于D ，则，，2x25x -310x 417x -526x ()21n n x +--10101x -O AB O AB (3+(3OC AB OC AB ⊥2AD BD ==OD CD OC OD =- AB OC AB OC AB ⊥122AD BD AB ===中，，，∴，∴即点C 到弦所在直线的距离是米，故选：D ．【点睛】本题考查圆的性质、垂径定理、勾股定理，熟练掌握垂径定理是解答的关键．10. 已知二次函数的图象的一部分如图所示，其中对称轴为：，下列结论：①；②；③；④；上述结论中正确结论的个数为（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】C【解析】【分析】由抛物线开口向下，可得；结合抛物线的对称轴为直线，可得，；由抛物线与y 轴的交点在x 轴的上方，可得，可判断①不符合题意；由图象的对称性可得函数与x 轴的另一个交点在与之间，可得，可判断②符合题意；③符合题意；由时，y 有最大值，可得当时，，可判断④符合题意．【详解】解：∵抛物线开口向下，∴；∵抛物线的对称轴为直线，∴，；∵抛物线与y 轴的交点在x 轴的上方，∴，∴，所以①不符合题意；由图象的对称性可得函数与x 轴的另一个交点在与之间，在Rt OAD △3OA =2AD =OD ==3CD OC OD =-=AB (3-()20y ax bx c a =++≠1x =0abc >0a c +>230a b +>()21a b am bm m +>+≠a<012b x a=-=>0b 2b a =->0c 2-1->0a b c -+1x =a b c ++1m ≠2>a b c am bm c ++++a<012b x a=-=>0b 2b a =->0c <0abc 2-1-∴，∴，∴，所以②符合题意；∴，所以③符合题意；∵抛物线的对称轴为直线，∴时，y 有最大值，∴当时，，∴，所以④符合题意．故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：当，抛物线的开口向下，当时，函数值最大；抛物线与y 轴的交点坐标为，掌握二次函数的图象与性质是解本题的关键．二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分，只要求填写最后结果．11. 图中有_____条线段．【答案】6【解析】【分析】先数出以A 为端点的线段，再分别数出以C 、D 为端点的线段相加即可．【详解】以A 为端点的线段：AC 、AD 、AB ；以C 为端点的线段CD 、CB ；以D 为端点的线段DB ．共6条．故答案为6．【点睛】本题考查了线段的数法，在线段的计数时，应注重分类讨论的方法计数，做到不遗漏，不重复．12. 分解因式______【答案】【解析】【分析】本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法是关键．利用十字相乘法进行分解因式即可得到结果．>0a b c -+>3c b a a -=->2>0a c a +-23264>0a b a a a +=-=-1x =1x =a b c ++1m ≠2>a b c am bm c ++++()21a b am bm m +>+≠a<02b x a =-()0,c 228a a -++=()()24a a -+-【详解】解：故答案为：．13. 用相同小正方体摆成某种模型，其三视图如图所示，则这个模型是由_____个小正方体摆放而成的．【答案】5【解析】【分析】由主视和左视图可知，由模型有两层，上层有一列，下层有两列；由俯视图可知，该模型上层有1个，下层有4个，即可得出答案．【详解】解：由主视和左视图可知，由模型有两层，上层有一列，下层有两列；由俯视图可知，该模型上层有1个，下层有4个，∴这个模型是由5个小正方体摆放而成，故答案为：5．【点睛】本题主要考查了由三视图还原几何体，解题的关键是掌握三视图的定义，根据三视图还原几何体．14. 在综合实践课上，数学兴趣小组用所学的数学知识来解决实际问题．实践报告如表：活动课题测量两幢楼楼顶之间的距离活动工具测角仪、皮尺等测【步骤一】如图，在楼和楼之间竖直放置测角仪，其中的()()22824a a a a -++=-+-()()24a a -+-AB CD MN量过程测角仪的底端与楼的底部，在同一条水平直线上，图中所有点均在同一平面内；【步骤二】利用测角仪测出楼顶B 的仰角，楼顶D 的仰角；【步骤三】利用皮尺测出米，米．解决问题根据以上数据计算两幢楼楼顶B ，D 之间的距离．参考数据由以上信息可计算出两幢楼楼顶B ，D 之间的距离为______米．【答案】608【解析】【分析】本题考查了解直角三角的应用，勾股定理，过点作于，由等腰三角形的判定及性质得，由正切三角函数可求，由勾股定理得 ，即可求解；掌握解法，能根据题意作出辅助线构造直角三角形求解是解题的关键．【详解】解：过点作于，如图：.M A C 45BNE ∠=︒68.2DNF ∠=︒40AM =20CM =B BG CD ⊥G 40FG BE -=50DF ≈BD =B BG CD ⊥G由测量步骤得：四边形、四边形四边形、四边形均是矩形，米，米，米，米，（米），米，，，米，在中，，，米，（米），在中，由勾股定理得：（米），答：两幢楼楼顶B ，D 之间的距离约为米，故答案为：．15. 如图，把一个等腰直角三角形ACB 放在平面直角坐标系中，∠ACB ＝90°，点C (﹣2,0)，点B 在反比例函数的图象上，且y 轴平分∠BAC ，则k 的值是________．AMNE CMNFACFE BEFG40AM =20CM=40EN AM ∴==20FN CM ==60EF EN FN ∴=+=60BG EF ∴==45EMB ∠=︒ 45EBM EMB ∴∠=∠=︒40BE EM ∴==Rt DFN △tan DF DNF FN∠=68.2DNF ∠=︒020tan .5682DF ∴︒≈=⨯504010DG DF FG ∴=-=-=Rt BGD △60.8BD ===≈60.860.8k y x =【答案】【解析】【分析】过点B 作BD ⊥x 轴于D ，在OA 上截取OE =OC ，连接CE ，由等腰直角三角形的性质可求∠CEO =45°，CE，由角平分线的性质和外角的性质可得∠ECA =∠OAC=22.5°，可证CE =AE，由“AAS”可证△OAC≌△DCB ，可得AO =CD ，OC =BD =2，可得点B 坐标，即可求解．【详解】解：如图，过点B 作BD ⊥x 轴于D ，在OA 上截取OE =OC ，连接CE ，∵点C (-2,0)，∴CO =2，∴CO =EO =2，∴∠CEO =45°，CE ，∵△BAC 为等腰直角三角形，且∠ACB =90°，∴BC =AC ，∠OCA +∠DCB =90°，∠CAB =45°，∵∠OCA +∠OAC =90°，∴∠OAC =∠BCD ，在△OAC 和△DCB 中，∴△OAC ≌△DCB (AAS)，∴AO =CD ，OC =BD =2，∵y 轴平分∠BAC ，∴∠CAO =22.5°，∵∠CEO =∠CEA +∠OAC =45°，∴∠ECA =∠OAC =22.5°，-OAC BDC AOC CDB AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴CE =AE，∴AO=CD ，∴DO ，∴点B 坐标为,-2)，∵点B 在反比例函数y =的图象上，∴k =(-2)×2，故答案为：．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标性质以及全等三角形的判定与性质，求得B 的坐标是解题关键．三、解答题：本大题共8小题，共90分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．16. 化简求值： ，其中．【答案】，【解析】【分析】根据分式的混合运算顺序进行化简求值即可．【详解】解：原式当时，原式．【点睛】本题考查了分式的化简求值，解决本题的关键是正确进行分式的化简．17. 已知于点E ，于点G ，，请判定与的大小关系，并说明理由．k x2344311a a a a a ++⎛⎫++÷ ⎪--⎝⎭2a =2a a +12()()()21311321a a a a a a ++⎡⎤+⎢-=⎥⎣⎦---÷()()22211a a a a a -=⨯+-+2aa =+2a =212222a a ===++BE AC ⊥FG AC ^12∠=∠ADE ∠ABC ∠【答案】，理由见解析【解析】【分析】根据平行线的判定求出，根据平行线的性质得出，求出，根据平行线的性质和判定得出即可．【详解】．理由：∵，，∴，∴，∵，∴ ，∴，∴．【点睛】本题考查了平行线的性质和判定的应用，能正确运用定理进行推理是解题关键．18. 某市联通公司手机话费收费有A 套餐(月租费15元,通话费每分钟0.1元)和B 套餐(月租费0元,通话费每分钟0.15元)两种.设A 套餐每月话费为y 1(元),B 套餐每月话费为y 2(元),月通话时间为x 分钟.(1)分别表示出y 1与x ,y 2与x 的函数关系式.(2)月通话时间为多长时,A ,B 两种套餐收费一样?(3)什么情况下A 套餐更省钱?【答案】(1) y 1=0.1x +15; y 2=0.15x ；(2)300；(3) 当月通话时间多于300分钟时,A 套餐更省钱.【解析】【详解】试题分析：（1）根据A 套餐的收费为月租加上话费，B 套餐的收费为话费列式即可；（2）根据两种收费相同列出方程，求解即可；（3）根据（2）的计算结果，小于收费相同时的时间选择B 套餐，大于收费相同的时间选择A ．试题解析：解：（1）A 套餐的收费方式：y 1=0．1x+15；ADE ABC =∠∠BE FG ∥23∠∠=13∠=∠ADE ABC =∠∠BE AC ⊥FG AC ^BE FG ∥23∠∠=12∠=∠13∠=∠DE BC ∥ADE ABC =∠∠B 套餐的收费方式：y 2=0．15x ；（2）由0．1x+15=0．15x ，得到x=300，答：当月通话时间是300分钟时，A 、B 两种套餐收费一样；（3）当月通话时间多于300分钟时，A 套餐更省钱．考点：一次函数的应用．19. 已知关于x 的一元二次方程 ．（1）求证：无论k 取何值，此方程总有两个不相等的实数根；（2）已知是关于x 的方程的一个根，而这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC 的两条边长．①求k 的值；②求的周长．【答案】（1）证明见解析 （2）①；②【解析】【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式进行证明即可；（2）①直接将代入方程中求解即可；②求方程的另一个根，根据等腰三角形的定义，结合三角形三边关系求解即可．【小问1详解】证明：∵，∴，∴无论k 取何值，此方程总有两个不相等的实数根；【小问2详解】解①：把代入方程，得：，解得；②方程为，解得，，()2210x k x k -++-=12()2210x k x k -++-=ABC 72k =21212x =()121a b k c k ==-+=-，，()()2224241180[]b ac k k k ∆=-=-+-⨯⨯-=+>12x =()2210x k x k -++-=()1121042k k -++-=72k =2115022x x -+=112x =25x =因为这个方程的两个根恰好是等腰三角形的两条边长，又，所以这个等腰三角形三边分别为、5、5，所以的周长为．【点睛】本题考查一元二次方程的解和根的判别式、解一元二次方程、等腰三角形的定义，理解方程解的定义，熟练掌握根的判别式是解答的关键．20. 北京冬奥会的开幕式惊艳了世界，在这背后离不开志愿者们的默默奉献，这些志愿者很多来自高校，在志愿者招募之时，甲、乙两所大学就积极组织了志愿者选拔活动，对报名的志愿者进行现场测试，现从两所大学参加测试的志愿者中分别随机抽取了20名志愿者的测试成绩进行整理和分析（成绩得分用x 表示，满分100分，共分成五组：A ．，B ．，C ．；D ．，E ．），下面给出了部分信息：a ．甲校20名志愿者的成绩在D 组的数据是：90，91，91，92；b ．乙校20名志愿者的成绩是：82，89，80，85，88，89，87，96，96，99，96，92，91，93，96，97，98，92，94，100．c ．甲校抽取志愿者成绩的扇形统计图如图所示：d ．甲、乙两校抽取的志愿者成绩的平均数、中位数、众数、方差如下表所示：学校平均数中位数众数方差甲92a 95乙92b 根据以上信息，解答下列问题：（1）由上表填空：________，_______，________．（2）若甲校有200名志愿者，乙校有300名志愿者参加了此次测试，估计甲乙两校此次参加测试的志愿者中，成绩在90分以上的志愿者共有多少人？ABC 11522+<12ABC 1215522++=080x ≤<8085x ≤<8590x ≤<9095x ≤<95100x ≤≤36.692.529.8=a b =α=︒【答案】（1）；96；90（2）325人【解析】【分析】本题主要考查了求中位数，求众数，求扇形圆心角度数，用样本估计总体，正确读懂统计图是解题的关键．（1）根据中位数和众数的定义求出中位数和众数即可；再用360度乘以甲校C 等级的占比即可得到答案；（2）用甲乙两校的人数分别乘以其样本中得分在90分以上的人数占比，然后求和即可得到答案．【小问1详解】解：E 的人数：（人）,把甲校的成绩从低到高排列，处在第10名和第11名的成绩分别为91分，92分，∴甲校的中位数；∵乙校得分中，得96分的人数最多，∴乙校的众数；，故答案为：；96；90；【小问2详解】解：人，∴估计甲乙两校此次参加测试的志愿者中，成绩在90分以上的志愿者共有325人．21. 反比例函数的图象既是一个轴对称图形，又是一个中心对称图形，我们可以利用这些性质解决问题：如图1，直线与反比例函数的图象分别交于第一、三象限的点、，已知点，90.52045%9⨯=919290.52a +==96b =436015%5%45%100%9020α⎛⎫=︒⨯----⨯=︒ ⎪⎝⎭90.541320045%100%3003252020⎛⎫⨯+⨯+⨯= ⎪⎝⎭k y x=y nx=y =B D (),0A m -(),0C m（1）判断四边形的形状，并证明你的结论；（2）如图2，当点为时，四边形是矩形，试求和的值．【答案】（1）平行四边形，证明见解析（2），【解析】【分析】（1）根据中心对称的性质得出，证明，根据平行线的判定得出答案即可；（2）根据点在的图象上，求出，过点作轴于点，得出，根据勾股定理求出，根据矩形的性质得出，得出．【小问1详解】解：四边形是平行四边形，证明如下：反比例函数是中心对称图形，且与正比例函数交与点、，，，，，四边形是平行四边形；【小问2详解】解：点在的图象上，ABCD B (),1p ABCD p m p =2m =OB OD =OA OC =(),1B p y =p =B BE x ⊥E OE =1BE =2OB ==2OB OC ==2m =ABCD y =y nx =B D OB OD ∴=(),0A m - (),0C m OA OC ∴=∴ABCD (),1B p y =1∴=过点作轴于点，则，在中，由勾股定理得，，∵四边形是矩形， ，∵，．【点睛】本题主要考查了反比例函数的性质，平行四边形的判定，矩形的性质，勾股定理，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握反比例函数的性质．22. 如图，是的直径，是的切线，是上的一点，且．（1）求证：；（2）连接，试说明是的切线；（3）若，，求的长．（结果保留根号）【答案】（1）见解析（2）见解析 （3【解析】【分析】本题主要考查圆周角定理，切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和p ∴=B BE x ⊥E OE =1BE =Rt OBE 2OB ==ABCD 2OB OC ∴==(),0C m 2m ∴=AB O BC O D O AD CO ∥ADB OBC △∽△CD CD O 2AB =BC =AD性质：（1）根据圆周角定理和切线的定义可得，由平行线的性质可得，即可证明；（2）证明，推出，可得是的切线；（3）先利用勾股定理求出，再根据，得出，代入数值即可求解．【小问1详解】解： 是的直径，，是的切线，，，，；【小问2详解】解：是的直径，，，，，在和中，，，，是的切线；【小问3详解】解：，，90ADB OBC ∠=∠=︒A BOC ∠=∠ADB OBC △∽△()SAS ODC OBC ≌90CDO CBO ∠=∠=︒CD O OC ADB OBC △∽△AD AB OB OC=AB O 90ADB ∴∠=︒BC O 90OBC ∴∠=︒AD CO ∥ A BOC ∴∠=∠ADB OBC ∴∽△△AB O 90ADB ∴∠=︒AD CO ∥ 90DFO ∴∠=︒ODB OBD ∠∠= DOF BOF∴∠=∠ODC OBC △OD OB DOF BOF OC OC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()SAS ODC OBC ∴≌△△90CDO CBO ∴∠=∠=︒CD ∴O 2AB = 1OB =∴BC =，，，即23. 如图，已知抛物线经过A(，0)，B(，)两点，与x 轴的另一个交点为C ，顶点为D ，连接CD ．（1）求该抛物线的表达式；（2）点P 为该抛物线上一动点（与点B ，C 不重合），设点P 的横坐标为t ．①当点P 在直线BC 的下方运动时，求的面积的最大值及点P 的坐标；②该抛物线上是否存在点P ，使得∠PBC=∠BCD ？若存在，求出所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）①，P(，)，②存在，P(，)或(0，5)【解析】【分析】（1）将点A 、B 坐标代入二次函数表达式，即可求解；（2）①根据S △PBC =PG （x C -x B ），即可求解；②分点P 在直线BC 下方、上方两种情况，分别求解即可．【详解】解：（1）将点A 、B 坐标代入二次函数表达式得：，解得：，故抛物线的表达式为：y=x 2+6x+5…①，OC ∴==ADB OBC ∽△△AD AB OB OC ∴=1AD =AD ∴=25y ax bx =++5-4-3-PBC 265y x x =++27852-154-32-74-122555016453a b a b -+=⎧⎨-+=-⎩16a b =⎧⎨=⎩令y=0，则x=-1或-5，即点C （-1，0）；（2）①如图1，过点P 作y 轴的平行线交BC 于点G ，将点B 、C 的坐标代入一次函数表达式并解得：直线BC 的表达式为：y=x+1…②，设点G （t ，t+1），则点P （t ，t 2+6t+5），，∵−＜0，∴S △PBC 有最大值，当t=-时，其最大值为；②设直线BP 与CD 交于点H ，当点P 在直线BC 下方时，∵∠PBC=∠BCD ，∴点H 在BC 的中垂线上，()()221331516562222PBC C B S PG x x t t t t t =-=+---=--- 3252278线段BC 的中点坐标为（-，-），过该点与BC 垂直的直线的k 值为-1，设BC 中垂线的表达式为：y=-x+m ，将点（-，-）代入上式并解得：直线BC 中垂线的表达式为：y=-x-4…③，同理直线CD 的表达式为：y=2x+2…④，联立③④并解得：x=-2，即点H （-2，-2），同理可得直线BH 的表达式为：y=x-1…⑤，联立①⑤并解得：x=-或-4（舍去-4），故点P （-，-）；当点P （P′）在直线BC 上方时，∵∠PBC=∠BCD ，∴BP′∥CD ，则直线BP′的表达式为：y=2x+s ，将点B 坐标代入上式并解得：s=5，即直线BP′的表达式为：y=2x+5…⑥，联立①⑥并解得：x=0或-4（舍去-4），故点P （0，5）；故点P 的坐标为P （-，-）或（0，5）．【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、等腰三角形性质、图形的面积计算等，其中（2），要注意分类求解，避免遗漏．52325232123232743274。
2023-2024学年山东省临沂市临沂高一上学期期末数学质量检测模拟试题(含答案)
2023-2024学年山东省临沂市临沂高一上册期末数学试题一、单选题1．设全集U =R ，集合{}39xA x =>，{}24B x x =-≤≤，则()U A B ⋂=ð（）A ．[)1,0-B ．()0,5C ．[]0,5D ．[]22-,【正确答案】D【分析】根据指数不等式化简集合A ,进而根据集合的交并补运算即可求解.【详解】{}{}392xA x x x =>=>，故{}U 2A x x =≤ð，所以(){}[]U 222,2AB x x ⋂=-≤≤=-ð.故选:D2．下列函数中，既是偶函数又在()0,∞+上单调递增的是（）A ．2log y x =B ．1y x =+C ．21y x =-+D ．1y x=【正确答案】B【分析】根据函数的单调性、奇偶性确定正确答案.【详解】2log y x =的定义域是()0,∞+，是非奇非偶函数，A 选项错误.1y x =+是偶函数，且在()0,∞+上单调递增，B 选项正确.21y x =-+是偶函数，在()0,∞+上单调递减，C 选项错误.1y x=是偶函数，在()0,∞+上单调递减，C 选项错误.故选：B3．已知扇形面积为8，扇形的圆心角为2rad ，扇形的周长为（）A ．B ．C ．8D ．2【正确答案】A【分析】设扇形的半径为r ，弧长为l ，利用扇形的弧长和面积公式，求得r =形的周长.【详解】解：设扇形的半径为r ，弧长为l ，已知扇形的圆心角为2rad ，则2l r =，扇形面积112822S lr r r r ==⨯⋅=⇒=所以扇形的周长244C l r r =+==⨯=故选：A.4．函数()()222x f x x =-的部分图象大致是（）A ．B ．C ．D ．【正确答案】B【分析】先求出()()222x f x x =-的奇偶性，排除AC ，再代入特殊值，排除D ，选出正确答案.【详解】()()222x f x x =-定义域为R ，且()()()()()222222xxf x x x f x --=--=-=，故()()222x f x x =-为偶函数，关于y 轴对称，AC 错误；()10f =，121220124f ⎛⎫⎛⎫=⨯-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 正确，D 错误.故选：B.5．已知角α的终边过点(P -，则3πsin 2α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．12-B ．2C ．12D ．【正确答案】C【分析】根据三角函数定义可求得1sin 22αα==-，再利用诱导公式即可求得结果.【详解】由已知可得，sin ,2y r α==1cos 2x r α==-由诱导公式可知，3ππ1sin sin cos 222ααα⎛⎫⎛⎫+=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；故选：C.6．已知函数()131,0ln ,0x x f x x x +⎧-⎪=⎨>⎪⎩若函数()()g x f x a =-有3个零点，则a 的取值范围是（）A ．()0,1B ．(]0,2C ．()2,+∞D ．()1,+∞【正确答案】A【分析】要使函数()()g x f x a =-有三个零点，则()f x a =有三个不相等的实根，即()f x 与y a =的图象有三个交点，结合函数的性质及图象即可得出.【详解】要使函数()()g x f x a =-有三个零点，则()f x a =有三个不相等的实根，即()f x 与y a =的图象有三个交点，当1x ≤-时，()113x f x +=-在(],1-∞-上单调递减，[)()0,1f x Î；当10-<≤x 时，()131x f x +=-在(]1,0-上单调递增，(]()0,2f x Î；当0x >时，()ln f x x =在()0,∞+上单调递增，()f x ∈R ；由()f x 与y a =的图象有三个交点，结合函数图象可得()0,1a ∈，故选：A.7．已知0x >，0y >，且满足20x y xy +-=，则92x y+的最大值为（）A ．9B ．6C ．4D ．1【正确答案】D 【分析】由题可得211x y+=，利用基本不等式可得29x y +≥，进而即得.【详解】因为20x y xy +-=，0x >，0y >，所以211x y+=，所以()212222559y x x y x x y y x y ⎛⎫+=+ ⎪⎝+++≥⎭==，当且仅当22y x x y=，即3x y ==时等号成立，所以912x y ≤+，即92x y+的最大值为1.故选：D.8．血氧饱和度是血液中被氧结合的氧合血红蛋白的容量占全部可结合的血红蛋白容量的百分比，即血液中血氧的浓度，它是呼吸循环的重要生理参数．正常人体的血氧饱和度一般不低于95%，在95%以下为供氧不足．在环境模拟实验室的某段时间内，可以用指数模型：()0e KtS t S =描述血氧饱和度()S t （单位：%）随给氧时间t （单位：时）的变化规律，其中0S 为初始血氧饱和度，K 为参数．已知060S =，给氧1小时后，血氧饱和度为70．若使得血氧饱和度达到正常值，则给氧时间至少还需要（取ln6 1.79=，ln7 1.95=，ln12 2.48=，ln19 2.94=）（）A ．1.525小时B ．1.675小时C ．1.725小时D ．1.875小时【正确答案】D【分析】根据已知条件列方程或不等式，化简求得正确答案.【详解】由题意知：60e 70K =，60e 95Kt ≥，70ln ln 7ln 660K ==-，95ln ln19ln1260Kt ≥=-，则ln19ln12 2.94 2.482.875ln 7ln 6 1.95 1.79t --≥==--，则给氧时间至少还需要1.875小时.故选：D 二、多选题9．下面命题正确的是（）A ．“11a<”是“1a >”的充分不必要条件B ．命题“若∀1x <，则21x <”的否定是“存在1x <，则21x ≥”.C ．设,R x y ∈，则“2x ≥且2y ≥”是“224x y +≥”的必要而不充分条件D ．设,R a b ∈，则“0a ≠”是“0ab ≠”的必要不充分条件【正确答案】BD【分析】对于A ，C ，D ，根据充分条件、必要条件的概念逐项判断可得答案；对于B ，根据全称命题的否定是特称命题可得B 正确.【详解】对于A ，因为11a <0a ⇔<或1a >，所以11a <不能推出1a >；1a >能够推出11a<，所以“11a<”是“1a >”的必要不充分条件.故A 不正确；对于B ，因为命题“若∀1x <，则21x <”的否定是“存在1x <，则21x ≥”.故B 正确；对于C ，因为2x ≥且2y ≥可以推出224x y +≥，而224x y +≥不能推出2x ≥且2y ≥，所以“2x ≥且2y ≥”是“224x y +≥”的充分不必要条件.故C 不正确；对于D ，因为0a ≠不能推出0ab ≠，0ab ≠能够推出0a ≠，所以“0a ≠”是“0ab ≠”的必要不充分条件.故D 正确.故选：BD10．已知函数()πcos 6f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则下列说法正确的是（）A ．()f x 的一个周期是2πB ．()f x 的图像关于7π6x =-对称C ．π3f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的一个零点是π-D ．()f x 在2π,π3⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减【正确答案】ABC【分析】利用余弦函数的周期性、对称性、单调性和三角函数诱导公式求解即可.【详解】解：已知函数()πcos 6f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则1ω=，故周期2π2πT ω==，A 选项正确；由ππ6x k +=，得对称轴方程为ππ6x k =-，k ∈Z ，当1k =-时，7π6x =-，所以()f x 的图像关于7π6x =-对称，B 选项正确；由题意得cos s πin 32πf x x x ⎛⎫⎛⎫+=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令sin 0x -=，得πx k =，k ∈Z ，当1k =-时，πx =-，π3f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的一个零点是π-，C 选项正确；由π2π2ππ6k x k <+<+得π5π2π2π66k x k -<<+，Z k ∈∴函数的减区间为()52πππ6π,26k k k ⎡⎤-+∈⎢⎣⎦Ζ，当1k =时，减区间为π5π,66⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，则在区间2π,π3⎛⎫⎪⎝⎭上不单调，D 选项错误；故选：ABC.11．已知()0,πθ∈，1sin cos 5θθ+=，则下列结论正确的是（）A ．π,π2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭B ．3cos 5θ=-C ．3tan 4θ=-D ．7sin cos 5θθ-=【正确答案】ABD【分析】由题意得()21sin cos 12sin cos 25θθθθ+=+=，可得242sin cos 25θθ=-，根据θ的范围，可得sin θ，cos θ的正负，即可判断A 的正误；求得sin cos θθ-的值，即可判断D 的正误，联立可求得sin θ，cos θ的值，即可判断B 的正误；根据同角三角函数的关系，可判断C 的正误，即可得答案.【详解】因为1sin cos 5θθ+=，所以()21sin cos 12sin cos 25θθθθ+=+=，则242sin cos 25θθ=-，因为()0,πθ∈，所以sin 0θ>，cos 0θ<，所以π,2θπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故A 正确；所以()249sin cos 12sin cos 25θθθθ-=-=，所以7sin cos 5θθ-=，故D 正确；联立1sin cos 57sin cos 5θθθθ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，可得4sin 5θ=，3cos 5θ=-，故B 正确；所以sin 4tan cos 3θθθ==-，故C 错误.故选：ABD.12．设函数()y f x =的定义域为R ，且满足()()11f x f x +=-，()()20f x f x -+-=，当[]1,1x ∈-时，()1f x x =-+，则下列说法正确的是（）A ．()1y f x =+是偶函数B ．()3y f x =+为奇函数C ．函数()lg =-y f x x 有10个不同的零点D ．()202311k f k ==∑【正确答案】ABC【分析】根据函数关系式可推导得到()f x 关于直线1x =和点()1,0-对称，且周期为8；令()()1g x f x =+，()()()31h x f x f x =+=--，由奇偶性定义可得()(),g x h x 的奇偶性，知AB 正确；作出()f x 和lg y x =的图象，根据图象可得两函数交点个数，进而确定函数零点个数，知C 正确；根据周期性可求得()202311k f k ==-∑，知D 错误.【详解】()()11f x f x +=-Q ，()()2f x f x ∴+=-，且()f x 关于直线1x =对称；又()()20f x f x -+-=，()()22f x f x ∴+=--，且()f x 关于()1,0-中心对称；()()4f x f x ∴+=-，()()()84f x f x f x ∴+=-+=，则()f x 是周期为8的周期函数；对于A ，令()()1g x f x =+，则()()()()11g x f x f x g x -=-+=+=，()1f x ∴+为偶函数，A 正确；对于B ，令()()()31h x f x f x =+=--，则()()()()()()1213h x f x f x f x h x -=---=-++=-+=-，()3f x ∴+为奇函数，B 正确；对于C ，作出()f x 和lg y x =的图象如下图所示，当10x >时，lg 1x >，又()[]1,1f x ∈-，由图象可知：()f x 与lg y x =共有10个不同的交点，则()lg =-y f x x 有10个不同的零点，C 正确；对于D ，()()()1280f f f ++⋅⋅⋅+= ，()()()()()()202312531282024081k f k f f f f f =∴=⨯++⋅⋅⋅+-=-=-⎡⎤⎣⎦∑，D 错误.故选：ABC.三、填空题13．计算cos330 的值为__________【正确答案】2【分析】利用诱导公式求得正确答案.【详解】()cos 330cos 36030cos 30︒=︒-︒=︒=14．已知()y f x =是奇函数，且当0x >时，()2log f x x =，则(f -=___________．【正确答案】32-## 1.5-【分析】利用奇函数的性质代入求值即可.【详解】(((23log 2f f -=-=-=-．故答案为.32-15．已知函数()π2sin 6f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭中x 在任意的15个单位长度的距离内能同时取得最大值和最小值，那么正实数ω的取值范围是________.【正确答案】[)10π,+∞【分析】结合()f x 的最小正周期列不等式，由此求得ω的取值范围.【详解】依题意，函数()()π2sin 06f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭中x 在任意的15个单位长度的距离内能同时取得最大值和最小值，所以2π110π5T ωω=≤⇒≥，所以么正实数ω的取值范围是[)10π,+∞.故[)10π,+∞四、双空题16．设函数()2e 1,0,,0,x x f x x x x ⎧-≤=⎨-+>⎩，则(ln 2)f -=____________；当(,]x m ∈-∞时，函数()f x 的值域为11,4⎛⎤- ⎥⎝⎦，则m 的取值范围是______________．【正确答案】12-##0.5-12⎡⎢⎣⎭【分析】代入解析式得(ln 2)f -，由指数函数性质与二次函数性质求解，【详解】由题意得ln 211(ln 2)e1122f --=-=-=-，当0x ≤时，()(1,0]f x ∈-，当0x >时，由二次函数性质得()f x 在12x =时取得最大值14，而(,]x m ∈-∞时，函数()f x 的值域为11,4⎛⎤- ⎥⎝⎦，令21x x -+=-，解得x =，故m 的取值范围是11,22⎡⎢⎣⎭，故12-；12⎡⎢⎣⎭五、解答题17．已知集合{}13A x x =-≤≤，集合{}22,R B x m x m m =-≤≤+∈．(1)若{}03A B x x ⋂=≤≤，求实数m 的值；(2)若:p x A ∈，R :q x B ∈ð，且p 是q 的充分条件，求实数m 的取值范围．【正确答案】(1)2m =(2){5m m >或}3m <-．【分析】（1）结合交集的定义和{}03A B x x ⋂=≤≤,分析求解即可；（2）由题可知{R 2B x x m =<-ð或}2x m >+，再由已知可知R A B ⊆ð，由此得出满足题意的不等式求解即可.【详解】（1）因为{}03A B x x ⋂=≤≤，所以2023m m -=⎧⎨+≥⎩，所以21m m =⎧⎨≥⎩，所以2m =；（2）{R 2B x x m =<-ð或}2x m >+，:p x A ∈，R :q x B ∈ð，且p 是q 的充分条件由已知可得R A B ⊆ð，所以23m ->或21m +<-，所以5m >或3m <-，故实数m 的取值范围为{5m m >或}3m <-．18．已知α为第二象限角，π4sin 25α⎛⎫-=- ⎪⎝⎭．(1)求sin α的值；(2)若cos tan()cos(2)2()tan(19)sin(5)sin()f αααααααπ⎛⎫--π+π- ⎪⎝⎭=--π-π-π+，求()f α的值．【正确答案】(1)35(2)43【分析】（1）由诱导公式以及同角平方和关系即可求解，（2）根据诱导公式化简()sin cos f ααα=，由第一问的结果代入即可求解.【详解】（1）4sin cos 25ααπ⎛⎫-==- ⎪⎝⎭，因为α为第二象限角，∴3sin 5α==．（2）∵()()()()()()()()cos tan cos 2sin tan cos -cos 2=tan 19sin 5sin tan sin sin sin f παπαπααααααπαπαπααααα⎛⎫--+- ⎪⎝⎭==----+-，∴()cos 4sin 3f ααα=-=19．已知函数()π2sin 2,R4f x x x ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭(1)求()f x 的最小值及对应的x 的集合；(2)求()f x 在[]0,π上的单调递减区间；【正确答案】(1)()min 2f x =-，|,Z 8ππx x k k ⎧⎫=-+∈⎨⎬⎩⎭(2)3π7π,88⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】（1）根据正弦函数的最值结合整体思想即可得解；（2）根据正弦函数的单调性结合整体思想即可得出答案.【详解】（1）解：当2ππ22π4x k -=-，即ππ,Z 8x k k =-+∈时，()min 2f x =-，所以()min 2f x =-，此时x 的集合为|,Z 8ππx x k k ⎧⎫=-+∈⎨⎬⎩⎭；（2）解：令ππ3π2π22π,Z 242k x k k +≤-≤+∈，则3π7πππ,Z 88k x k k +≤≤+∈，又因[]0,πx ∈，所以()f x 在[]0,π上的单调递减区间为3π7π,88⎡⎤⎢⎥⎣⎦.20．如函数()()()33log 12log 6f x x x =++-.(1)求()f x 的定义域.(2)从下面①②两个问题中任意选择一个解答，如果两个都解答，按第一个解答计分.①求不等式()3log 52f x -<的解集.②求()f x 的最大值.【正确答案】(1){}126x x -<<(2)选①，{36x x <<，或129}x -<<-；选②，4【分析】(1)对数函数要满足真数大于0，列方程组即可求得定义域.(2)若选①，化简不等式，利用对数函数的单调性可求得不等式的解集.若选②，利用对数加法运算法则，求复合函数()f x 的最大值，即求真数所在函数()(12)(6)g x x x =+-的最大值，代入即可求得()f x 的最大值.【详解】（1）由题意，60120x x ->⎧⎨+>⎩，解得126x -<<，所以()f x 的定义域为{}126x x -<<.（2）选①，不等式()3log 52f x -<，即33()log 52log 45f x <+=，所以333log (12)log (6)log 45x x ++-<，即33log (12)(6)log 45x x +-<，则126(12)(6)45x x x -<<⎧⎨+-<⎩，化简为126(9)(3)0x x x -<<⎧⎨+->⎩，解得36x <<，或129x -<<-所以原不等式的解集为{36x x <<，或129}x -<<-.选②，因为函数()f x 的定义域为{}126x x -<<，所以函数3()log (12)(6)f x x x =+-，其中126x -<<，令函数()(12)(6)g x x x =+-，126x -<<，因为31>，要使函数3()log (12)(6)f x x x =+-有最大值，则只需要函数()g x 有最大值，且为正数，2()(12)(6)(3)81g x x x x =+-=-++，因为126x -<<，所以当3x =-时，()g x 有最大值，max ()(3)81g x g =-=，所以()f x 的最大值为3log 814=.21．2022年冬天新冠疫情卷土重来，我国大量城市和地区遭受了奥密克戎新冠病毒的袭击，为了控制疫情，某单位购入了一种新型的空气消毒剂用于环境消毒，已知在一定范围内，每喷洒1个单位的消毒剂，空气中释放的浓度(y 单位：毫克/立方米)随着时间(x 单位：小时)变化的关系如下：当04x 时，1618y x =--；当410x <时，15.2y x =-若多次喷洒，则某一时刻空气中的消毒剂浓度为每次投放的消毒剂在相应时刻所释放的浓度之和.由实验知，当空气中消毒剂的浓度不低于4(毫克/立方米)时，它才能起到杀灭空气中的病毒的作用.(1)若一次喷洒4个单位的消毒剂，则有效杀灭时间可达几小时？(2)若第一次喷洒2个单位的消毒剂，6小时后再喷洒(14)a a 个单位的消毒剂，要使接下来的4小时中能够持续有效消毒，试求a 的最小值.(精确到0.1取1.4)【正确答案】(1)8(2)1.6【分析】（1）根据喷洒4个单位的净化剂后浓度为()644,048202,410x f x x x x ⎧-≤≤⎪=-⎨⎪-<≤⎩，由()4f x ≥求解；（2）得到从第一次喷洒起，经()610x x ≤≤小时后，浓度为()()116251286g x x a x ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，化简利用基本不等式求解.【详解】（1）解：因为一次喷洒4个单位的净化剂，所以其浓度为()644,0448202,410x f x y x x x ⎧-≤≤⎪==-⎨⎪-<≤⎩，当04x ≤≤时，64448x-≥-，解得0x ≥，此时04x ≤≤，当410x <≤时，2024x -≥，解得8x ≤，此时48x <≤，综上08x ≤≤，所以若一次喷洒4个单位的消毒剂，则有效杀灭时间可达8小时；（2）设从第一次喷洒起，经()610x x ≤≤小时后，其浓度为()()116251286g x x a x ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，1616101441414a a x a x a x x=-+-=-+----，因为[][]144,8,1,4x a -∈∈，所以161444414a x a a a x -+--≥--=---，当且仅当161414a x x -=-，即14x =-时，等号成立；所以其最小值为4a --，由44a-≥，解得244a -≤，所以a 的最小值为24 1.6-≈.22．已知()2x xa m f x a +=（其中a 为常数，且1a >）是偶函数.(1)求实数m 的值；(2)证明方程()10x f x a x--+=有且仅有一个实数根，若这个唯一的实数根为0x ，试比较0x 与()0log 2a x -的大小.【正确答案】(1)1m =(2)()00log 2a x x -<【分析】（1）由偶函数的定义得22x x x xa m a m a a --++=对任意的实数x 恒成立，进而整理得()()10x x m a a ---=恒成立，故1m =；（2）设()()11x x g x f x a a x x-=-+=-，进而得唯一实数根01,1x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00g x =，即0010x a x -=，故00log 0a x x +=，再结合0012x x +>得()00001log 2log log a a a x x x x -<=-=得答案.【详解】（1）解：因为()2x xa m f x a +=是偶函数，所以对于任意的实数x ，有()()=f x f x -，所以22x x x xa m a m a a --++=对任意的实数x 恒成立，即()()10x x m a a ---=恒成立，所以10m -=，即1m =，（2）解：设()()11x x g x f x a a x x-=-+=-，因为当(),0x ∈-∞时，()0g x <，所以()0g x =在区间(),0∞-上无实数根，当()0,x ∈+∞时，因为()110g a =-<，110a g a a a ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，所以01,1x a ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，使得()00g x =，又()1x g x a x=-在()0,∞+上单调递减，所以()0g x =存在唯一实数根01,1x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭；因为0010x a x -=，所以00log 0a x x +=，又0012x x +>，所以0012x x -<，所以()00001log 2log log a aa x x x x -<=-=.所以()00log 2a x x -<。
山东高一高中数学期末考试带答案解析
山东高一高中数学期末考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.下列四组中表示相等函数的是 ( )A．B．C．D．2.点从出发，沿单位圆逆时针方向运动弧长到达点，则点的坐标为A．B．C．D．3.下列函数是偶函数，且在上单调递减的是（）A．B．C．D．4.下列式子正确的是（）A．B．C．D．5.三个数，，的大小顺序为（）A．B．C．D．6.为了得到函数的图像，只需把函数的图像( )A．向左平移个长度单位B．向右平移个长度单位C．向左平移个长度单位D．向右平移个长度单位7.方程的根所在区间为（）A．B．C．D．8.函数＋1（a＞0，a≠1）的图象必经过定点（）A．（0，1）B．（2，1）C．（2，2）D．（2，3）9.已知向量、、，且满足＋＋＝，||＝3，||＝4，||＝5，设与的夹角为，与的夹角为，与的夹角为，则它们的大小关系是（）A．B．C．D．10.函数（且）的图象为（）11.若，则＝（）A．B．C．D．12.如下图，在△ABC中，设＝，＝，AP的中点为Q，BQ的中点为R，CR的中点为P，若＝m ＋n，则（）A．B．C．D．二、填空题1.已知，则．2.若幂函数的图象经过点（，），则该函数在（0，上是函数（只填单调性）．3.若集合，，则：A∩B＝．4.已知＝(1,2)，＝(-2,k)，若∥(+)，则实数的值为．5.．6.已知一扇形所在圆的半径为10cm，扇形的周长是45cm，那么这个扇形的圆心角为弧度．7.某商场对顾客实行购物优惠活动，规定一次购物付款总额，①如果不超过200元，则不予优惠，②如果超过200元，但不超过500元，则按标准价给予9折优惠，③如果超过500元，则其500元按第②条给予优惠，超过500元的部分给予7折优惠；某人两次去购物，分别付款168元和423元，假设他只去一次购买上述同样的商品，则应付款是元.8.已知函数，给出下列四个说法：①若，则，②点是的一个对称中心，③在区间上是增函数，④的图象关于直线对称．其中正确说法的序号是 .(只填写序号)三、解答题1.（本小题满分12分）已知||＝1，||＝；(I)若.＝，求与的夹角；(II)若与的夹角为，求|＋|.2.（本小题满分12分）已知函数，（Ⅰ）确定函数的单调增区间；（Ⅱ）当函数取得最大值时，求自变量的集合．3.（本小题满分12分）已知函数在一个周期内的部分函数图象如图所示，（Ｉ）求函数的解析式；（Ⅱ）求函数在区间上的最大值和最小值.4.（本小题满分14分）已知为锐角的三个内角，向量，，且⊥．（Ⅰ）求的大小；（Ⅱ）求下列函数：的值域．山东高一高中数学期末考试答案及解析一、选择题1.下列四组中表示相等函数的是 ( )A．B．C．D．【答案】B【解析】A.的定义域不同；B.是同一函数；C.的定义域不同；D.的值域不同。
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f
2
f
2
2 23
2 2
12
.
【题目点拨】本题主要考查函数的奇偶性，属于基础题型.
13、 3 3
【解题分析】
如图，取 CD 中点 E ， AC 中点 F ，连接 BE, EF, FB ， 由题可知， BCD 边长均为 1，则 BE CD ，
ACD 中， AC 2, AD CD 1 ，则 AD CD ，得 FE CD ，
所以二面角 ACD B 的平面角即 BFE ，
在 BFE 中， BE 3 , EF 1 , FB 2 ，
2
2
2
则 BFE 90 ，
所以 cos BFE FE 3 ． BE 3
点睛：本题采用几何法去找二面角，再进行求解．利用二面角的定义：公共边上任取一点，在两个面内分别作公共边
的垂线，两垂线的夹角就是二面角的平面角，找到二面角的平面角 BFE ，再求出对应三角形的三边，利用余弦定理
2
4
2
28
28
所以函数 y tan(2x ) 的单调递减区间为 ( k , k 3 ), k Z .
4
2 82 8
故答案为： ( k , k 3 ), k Z . 2 82 8
12、12
【解题分析】由函数的奇偶性可知 f 2 f 2 ，代入函数解析式即可求出结果.
【题目详解】函数 f x 是定义在 上的奇函数， f x f x ，则 f x f x ，
④若 ， ，则 / /
其中正确命题的序号是
A.①③
B.①④
C.②③
D.②④
3．已知 (0, ),sin cos 1 ，则下列结论正确的是（） 5
A. cos 4 5
B. sin cos 7 5
sin
C.
cos
4
sin cos
D.
7
tan
15 3sin 2cos
4．已知直线 l 经过 A(1,3), B(2, 4) 两点，则直线 l 的斜率是（）
x
∵f(x)在(0，＋∞)上为减函数且 f（1）＝0， ∴当 x＞1 时，f(x)＜0. ∵奇函数图象关于原点对称，∴在(－∞，0)上 f(x)为减函数且 f(－1)＝0， 即 x＜－1 时，f(x)＞0.
综上使 f (x) f (x) ＜0 的解集为(－∞，－1)∪(1，＋∞) x
故选： C .
A. 0
B.1
C. 2
D. 3
9．设奇函数 f(x)在(0，＋∞)上为减函数，且 f（1）＝0，则不等式 f (x) f (x) ＜0 的解集为（） x
A.(－1，0)∪(1，＋∞)
B.(－∞，－1)∪(0，1)
C.(－∞，－1)∪(1，＋∞)
D.(－1，0)∪(0，1)
10．设全集
，集合
，则
（）
1
A.
B. 1
3
3
C.3
D. 3
5．若 a 1，则 a 1 的最小值是（） a 1
A.1
B.2
C.3
D.4
6．函数
f
x
Asin
x
A
0,
0,
2
的部分图象如图所示，将
f
x 的图象向右平移 t t 0 个单位
长度后得到的函数图象关于 y 轴对称，则 t 的最小值为（）
A. 12
C. 5 12
(2)角 的终边经过点 P( b ，4)且 cos = 3 ,则 sin tan 的值
5
20．已知 0
2
，___________，cos
13 14
.从①
tan
4
3 ，② tan 2
3 ，③ 7 sin 2 8 2
3 cos
中任选一个条件，补充在上面问题中，并完成题目.
（1）求
sin
5
5
故 A 错误；
对于
B： sin
cos
3 5
4 5
7 5
，故
B
正确；
对于
C：
sin cos tan
1 5
3
4 15
，故
C
错误；
4
7
对于
D：
sin 3 sin
cos 2cos
5 1
7
，故
D
错误.
5
故选：B
4、B
【解题分析】直接由斜率公式计算可得.
【题目详解】由题意可得直线 l 的斜率 k 4 3 1 . 2 1 3
【解题分析】根据圆的标准方程写出圆心和半径即可.
【题目详解】因 (x 1)2 ( y 1)2 11，
所以圆心坐标为 (1，1) ，半径为 11 ，
故选：D
8、C 【解题分析】结合函数单调性，由零点存在性定理可得解.
【题目详解】由 f (x) lg x x 3为增函数，且 f (2) lg 2 1 0, f (3) lg 3 0 ，
3
3
为 将 f x的图象向右平移tt 0 个单位长度后得到的函数 g(x) sin(2x 2t )的图象， 3 因为 g(x) 的图象关于直线 y 轴对称，
故 2t k (k Z) ，即 t 1 k (k Z) ，
3
2
2 12
故 t 的最小值为 5 ， 12
故选：C
7、D
【解题分析】由于 f (x) | x | 2是“ (0, ) 上的优越 k 函数”且函数在 (0, ) 上单调递减，由题意得 b a 0 ，
a b
2 2
k a k b
，问题转化为
y
k
与
y
x(2
x)
在
x
0
时有
2
个不同的交点，结合二次函数的性质可求
【题目详解】解：因为 f (x) | x | 2 是“ (0, ) 上的优越 k 函数”且函数在 (0, ) 上单调递减，
命题的序号是②③.
【题目点拨】本题考查空间中平面与直线的位置关系，属于一般题
3、B
【解题分析】先求出 sin 3，cos 4 ，再对四个选项一一验证即可.5 Nhomakorabea5
【题目详解】因为 (0, ),sin cos 1 ，又 sin2 cos2 1， 5
解得： sin 3，cos 4 .
山东省沂源县第二中学 2024 届高一数学第一学期期末联考试题
请考生注意： 1．请用 2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用 0．5 毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答 案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。 2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
故选：D 2、C 【解题分析】由空间中直线与平面的位置关系逐项分析即可
【题目详解】当 m / /, n / /, / / 时，m, n 可能平行，也可能相交或异面，所以①不正确；当 , 时，,
可以平行，也可以相交，所以④不正确；若 / / ， / / ，则 / / ；若 m⊥, n⊥ , / / ，则 m // n ，故正确
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。
11．函数 y tan(2x ) 的单调递减区间为_______________. 4
12．已知函数 f (x) 是定义在 R 上的奇函数，当 x (, 0) 时， f (x) 2x3 x2 ,则 f (2) __________.
【解题分析】由题得 y tan(2x ) ，利用正切函数的单调区间列出不等式，解之即得. 4
【题目详解】由题意可知 y tan(2x ) ，则要求函数的单调递减区间只需求 y tan(2x ) 的单调递增区间，
4
4
由 k 2x k , k Z 得 k x k 3 , k Z ，
时，求函数
f
x
单调区间；
（3）求函数
f
x 在区间
0,
π 2
上的值域
18．已知函数 f (x) 3 sin 2x cos 2x a 的最小值为 0
（1）求 a 的值：
（2）若
f
(x)
在区间
3
,
m
上的最大值为
4，求
m
的最小值
19．(1)一个半径为 r 的扇形，若它的周长等于 r ，那么扇形的圆心角是多少弧度？扇形面积是多少？
围是（）
A. 1,0
B. 1, 0
C. 0,1
D. 0,1
2．设 m ， n 是两条不同的直线， ， ， 是三个不同的平面，给出下列命题：
①若 m / / ， n / / ， / / ，则 m // n ；
②若 / / ， / / ，则 / / ；
③若 m ， n ， / / ，则 m // n ；
13．如图，在四面体 A－BCD 中，已知棱 AC 的长为 2 ，其余各棱长都为 1，则二面角 A－CD－B 的平面角的余弦
值为________.
14．函数 f x Asin x (A 0, 0, ) 一段图象如图所示 .则 f x 的解析式为______
2
的 15．已知长方体的长、宽、高分别是 3，4，5，且它的 8 个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是________.
可得零点所在的区间为 (2, 3) ，所以 a 2 .
故选：C. 9、C 【解题分析】利用函数奇偶性，等价转化目标不等式，再结合已知条件以及函数单调性，即可求得不等式解集.
【题目详解】∵f(x)为奇函数，故可得 f x f x ， 则 f (x) f (x) ＜0 等价于 xf x 0 .
【题目点拨】本题考查利用函数奇偶性和单调性解不等式，属综合基础题. 10、A 【解题分析】根据补集定义计算