圆的知识点概念公式大全

圆知识点概念公式大全
一．圆定义
1．在一个平面内，线段OA绕它固定一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成图形叫圆．这个固定端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以O点为圆心圆记作⊙O，读作圆O．
2．圆是在一个平面内，所有到一个定点距离等于定长点组成图形．3．确定圆条件：⑴圆心；⑵半径，其中圆心确定圆位置，半径长确定圆大小．
二．同圆、同心圆、等圆
1．圆心一样且半径相等圆叫做同圆；
2．圆心一样，半径不相等两个圆叫做同心圆；
3．半径相等圆叫做等圆．
三．弦与弧
1．连结圆上任意两点线段叫做弦．经过圆心弦叫做直径，并且直径是同一圆中最长弦，直径等于半径2倍．
2．圆上任意两点间局部叫做圆弧，简称弧．以A B
、为端点弧记作AB，读作弧AB．
在同圆或等圆中，能够重合弧叫做等弧．
3．圆任意一条直径两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．在一个圆中大于半圆弧叫做优弧，小于半圆弧叫做劣弧．4．从圆心到弦距离叫做弦心距．
5．由弦及其所对弧组成图形叫做弓形．
四．与圆有关角及相关定理
1．顶点在圆心角叫做圆心角．将整个圆分为360等份，每一份弧对应1︒圆心角，我们也称这样弧为1︒弧．圆心角度数与它所对弧度数相等．
2．顶点在圆上，并且两边都与圆相交角叫做圆周角．
圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对圆周角相等，都等于这条弧所对圆心角一半．
推论1：在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对弧一定相等．
推论2：半圆〔或直径〕所对圆周角是直角，90︒圆周角所对弦是直径．
〔在同圆中，半弧所对圆心角等于全弧所对圆周角〕
3．顶点在圆内，两边与圆相交角叫圆内角．
圆内角定理：圆内角度数等于圆内角所对两条弧度数与一半．
4．顶点在圆外，两边与圆相交角叫圆外角．
圆外角定理：圆外角度数等于圆外角所对长弧度数与短弧度数差一半．
5．圆内接四边形对角互补，一个外角等于其内对角．
6．如果三角形一边上中线等于这边一半，那么这个三角形是直角三角形．
7．圆心角、弧、弦、弦心距之间关系定理：在同圆或等圆中，相等圆心角所对弧相等，所对弦相等，所对弦弦心距相等．
推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦弦心距中有一组量相等，那么它们所对应其余各组量分别相等．
五．垂径定理
1．垂径定理：垂直于弦直径平分这条弦，并且平分弦所对两条弧．平分弦〔不是直径〕直径垂直于弦，并且平分弦所对两条弧；
2．其它正确结论：
⑴弦垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对两条弧；
⑵平分弦所对一条弧直径，垂直平分弦，并且平分弦所对另一条弧．
⑶圆两条平行弦所夹弧相等．
3．知二推三：
⑴直径或半径；⑵垂直弦；⑶平分弦；⑷平分劣弧；⑸平分优弧．以上五个条件知二推三．注意：在由⑴⑶推⑵⑷⑸时，要注意平分弦非直径．
4．常见辅助线做法：
⑴过圆心，作垂线，连半径，造RT△，用勾股，求长度；
⑵有弧中点，连中点与圆心，得垂直平分．
相关题目：
1．平面内有一点到圆上最大距离是6，最小距离是2，求该圆半径2．〔08郴州〕在O
r=，AB CD
⊙中，半径5
，是两条平行弦，且
，，那么弦AC长为__________．．==
AB CD
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六．点与圆位置关系
1．点与圆位置有三种：
⑴点在圆外⇔d r>；⑵点在圆上⇔d r=；⑶点在圆内⇔d r<.
如下表所示：
2．过点作圆
⑴经过点A圆：以点A以外任意一点O为圆心，以OA长为半径，
即可作出过点A圆，这样圆有无数个．
⑵经过两点A B
、圆：以线段AB中垂线上任意一点O作为圆心，以
、圆，这样圆也有无数个．OA长为半径，即可作出过点A B
⑶过三点圆：假设这三点A B C
、、共线时，过三点圆不存在；假设、、三点不共线时，圆心是线段AB与BC中垂线交点，而这
A B C
个交点O是唯一存在，这样圆有唯一一个．
⑷过n()4
n≥个点圆：只可以作0个或1个，当只可作一个时，其圆心是其中不共线三点确定圆圆心．
3．定理：不在同一直线上三点确定一个圆．
注意：⑴“不在同一直线上〞这个条件不可无视，换句话说，在同一直线上三点不能作圆；
⑵“确定〞一词含义是“有且只有〞，即“唯一存在〞．4．三角形外接圆
⑴经过三角形三个顶点圆叫做三角形外接圆，外接圆圆心是三角形
三条边垂直平分线交点，叫做三角形外心，这个三角形叫做这个圆内接三角形．
⑵三角形外心性质：
①三角形外心是指外接圆圆心，它是三角形三边垂直平分线交
点，它到三角形各顶点距离相等；
②三角形外接圆有且只有一个，即对于给定三角形，其外心是唯
一，但一个圆内接三角形却有无数个，这些三角形外心重合.
⑶锐角三角形外接圆圆心在它内部〔如图1〕；直角三角形外接
圆圆心在斜边中点
处〔即直角三角形外接圆半径等于斜边一半，如图2〕；钝角三
角形外接圆圆心在
它外部〔如图3〕.
五．直线与圆位置关系定义、性质及判定
设O
⊙半径为r，圆心O到直线l距离为d，那么直线与圆位置关系如下表：
从另一个角度，直线与圆位置关系还可以如下表示：
四．切线性质及判定
1. 切线性质：
定理：圆切线垂直于过切点半径．
推论1：经过圆心且垂直于切线直线必经过切点．
推论2：经过切点且垂直于切线直线必经过圆心．
2. 切线判定
定义法：与圆只有一个公共点直线是圆切线；
距离法：与圆心距离等于半径直线是圆切线；
定理：经过半径外端并且垂直于这条半径直线是圆切线．
3. 切线长与切线长定理：
⑴在经过圆外一点圆切线上，这点与切点之间线段长，叫做这点到圆切线长．
⑵从圆外一点引圆两条切线，它们切线长相等，圆心与这一点连
线平分两条切线夹角．
五．三角形内切圆
1. 定义：与三角形各边都相切圆叫做三角形内切圆，内切圆圆心叫
做三角形内心，
这个三角形叫做圆外切三角形．
2. 多边形内切圆：与多边形各边都相切圆叫做多边形内切圆，该多
边形叫做圆外切多边形．
六．圆与圆位置关系定义、性质及判定
设12O O 、⊙⊙半径分别为R r 、〔其中R r >〕，两圆圆心距为d ，那么两
圆位置关系如下表： 位置关
系 图形 定义
性质及判定 外离
两个圆没有公共点，并
且每个圆上点都在另一个圆外部．
d R r >+⇔两圆外离
外切 两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点
之外，每个圆上点都在另一个圆外部． d R r =+⇔两圆外切
相交 两个圆有两个公共点． R r d R r -<<+⇔
两圆相交
内切 两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点
之外，一个圆上点都在另一个圆内部． d R r =-⇔两圆内切
内含 两个圆没有公共点，并
且一个圆上点都在另
0d R r ≤<-⇔两圆内含
相离两圆没有公共点，它包括外离与内含两种情况；相切两圆只有一个公共点，它包括内切与外切两种情况．
七．正多边形与圆
1. 正多边形定义：各条边相等，并且各个内角也都相等多边形叫做正多边形．
2. 正多边形相关概念：
⑴正多边形中心：正多边形外接圆圆心叫做这个正多边形中心．
⑵正多边形半径：正多边形外接圆半径叫做正多边形半径．
⑶正多边形中心角：正多边形每一边所对圆心角叫做正多边形中心角．
⑷正多边形边心距：中心到正多边形一边距离叫做正多边形边心距．
3. 正多边形性质：
⑴正n边形半径与边心距把正n边形分成2n个全等直角三角形；
⑵正多边形都是轴对称图形，正n边形共有n条通过正n边形中心对称轴；
⑶偶数条边正多边形既是轴对称图形，也是中心对称图形，其中心就是对称中心．
八、圆中计算相关公式
第 11 页 设O ⊙半径为R ，n ︒圆心角所对弧长为l ，
1. 弧长公式：π180
n R l = 2. 扇形面积公式：21π3602
n S R lR ==扇形 3. 圆柱体外表积公式：22π2πS R Rh =+
4. 圆锥体外表积公式：2ππS R Rl =+〔l 为母线〕 常见组合图形周长、面积几种常见方法：
① 公式法；② 割补法；③ 拼凑法；④ 等积变换法。