圆的基本知识点总结和公式
圆的基本知识点总结和公式圆是平面几何中最基本的几何图形之一。它是由一个平面上距离固定点相等的点构成的集合。本文将概述圆的基本定义、性质和公式，以及它在现实生活中的应用。
一、基本定义
圆被定义为距离中心点固定距离的所有点的集合。距离被称为半径（r），中心点被称为圆心（O）。用符号表示圆。
二、圆的性质
1.直径
直径（d）是连接圆上两个相对点的线段，通过圆心。它是半径的两倍，即d=2r。
2.周长
周长（C）是圆上所有点到圆心的距离之和。圆的周长公式是
C=2πr，其中π（pi）表示一个圆的周长和直径之比，大约为3.14。
3.面积
圆的面积（A）是圆内部的所有点的面积的总和，公式是
A=πr²。
4.弧
弧是圆上两个点之间的一段曲线。圆的周长可以看作是一个完
整的弧的长度。
5.扇形
扇形是由圆心和两个相邻半径之间的弧形区域组成的图形。圆
的面积可以分解为若干个扇形的面积之和。
6.切线
切线是从圆外一点画出的一条直线，它与圆相切于圆上一个点处。切线与半径的长度相等。
7.圆弦
圆弦是连接圆上两个点的线段。如果一条弦穿过圆心，则被称为直径。
三、现实应用
在现实生活中，圆形图案经常出现。圆形的形状使得它非常适合用于实现运动和旋转。以下是一些示例。
1. 轮胎
轮胎是由圆形轮辋和圆形轮胎组成的。轮胎的圆形轮廓使它可以在任何方向上旋转。
2. 模拟器
游戏、飞行和汽车模拟器通常都有一个圆形的控制器。圆形的
形状使其易于操纵，可以随意改变方向。
3. 平盘秤
平盘秤是一种由两个圆形盘组成的手持秤，遵循平衡原则。当
需要测量重量时，将物品放在一个盘子上，然后向另一个盘子上
添加重量，直到两个盘子保持平衡。
4. 平面旋转
圆形的形状也使得它非常适合在一个平面上做旋转运动。这个
概念被广泛应用于机械和电子工程，如发动机和电机。
四、结论
在我们的日常生活中，圆形图案似乎无处不在。可以想象一下，如果没有圆形，我们的许多设备和工具将无法如此有效地运作。
与其他几何形状相比，圆形的形状会导致许多有趣的性质和应用。掌握圆的基础知识对于数学和工程学科的学生非常重要。
圆的基本知识点总结和公式
圆的基本知识点总结和公式圆是平面几何中最基本的几何图形之一。它是由一个平面上距离固定点相等的点构成的集合。本文将概述圆的基本定义、性质和公式，以及它在现实生活中的应用。 一、基本定义 圆被定义为距离中心点固定距离的所有点的集合。距离被称为半径（r），中心点被称为圆心（O）。用符号表示圆。 二、圆的性质 1.直径 直径（d）是连接圆上两个相对点的线段，通过圆心。它是半径的两倍，即d=2r。 2.周长
周长（C）是圆上所有点到圆心的距离之和。圆的周长公式是 C=2πr，其中π（pi）表示一个圆的周长和直径之比，大约为3.14。 3.面积 圆的面积（A）是圆内部的所有点的面积的总和，公式是 A=πr²。 4.弧 弧是圆上两个点之间的一段曲线。圆的周长可以看作是一个完 整的弧的长度。 5.扇形 扇形是由圆心和两个相邻半径之间的弧形区域组成的图形。圆 的面积可以分解为若干个扇形的面积之和。 6.切线
切线是从圆外一点画出的一条直线，它与圆相切于圆上一个点处。切线与半径的长度相等。 7.圆弦 圆弦是连接圆上两个点的线段。如果一条弦穿过圆心，则被称为直径。 三、现实应用 在现实生活中，圆形图案经常出现。圆形的形状使得它非常适合用于实现运动和旋转。以下是一些示例。 1. 轮胎 轮胎是由圆形轮辋和圆形轮胎组成的。轮胎的圆形轮廓使它可以在任何方向上旋转。 2. 模拟器
游戏、飞行和汽车模拟器通常都有一个圆形的控制器。圆形的 形状使其易于操纵，可以随意改变方向。 3. 平盘秤 平盘秤是一种由两个圆形盘组成的手持秤，遵循平衡原则。当 需要测量重量时，将物品放在一个盘子上，然后向另一个盘子上 添加重量，直到两个盘子保持平衡。 4. 平面旋转 圆形的形状也使得它非常适合在一个平面上做旋转运动。这个 概念被广泛应用于机械和电子工程，如发动机和电机。 四、结论 在我们的日常生活中，圆形图案似乎无处不在。可以想象一下，如果没有圆形，我们的许多设备和工具将无法如此有效地运作。 与其他几何形状相比，圆形的形状会导致许多有趣的性质和应用。掌握圆的基础知识对于数学和工程学科的学生非常重要。
(完整版)圆的知识点概念公式大全
圆的知识点概念公式大全 一．圆的定义 1．在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫圆．这个固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以O点为圆心的圆记作⊙O，读作圆O． 2．圆是在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形． 3．确定圆的条件：⑴圆心；⑵半径，其中圆心确定圆的位置，半径长确定圆的大小． 二．同圆、同心圆、等圆 1．圆心相同且半径相等的圆叫做同圆； 2．圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆； 3．半径相等的圆叫做等圆． 三．弦和弧 1．连结圆上任意两点的线段叫做弦．经过圆心的弦叫做直径，并且直径是同一圆中最长的弦，直径等于半径的2倍． 2．圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以A B 、为端点的弧记作»AB，读作弧AB． 在同圆或等圆中，能够重合的弧叫做等弧． 3．圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧． 4．从圆心到弦的距离叫做弦心距． 5．由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形． 四．与圆有关的角及相关定理 1．顶点在圆心的角叫做圆心角．将整个圆分为360等份，每一份的弧对应1︒的圆心角，我们也称这样的弧为1︒的弧．圆心角的度数和它所对的弧的度数相等．
2．顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角． 圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 推论1：在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等． 推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90 的圆周角所对的弦是直径． （在同圆中，半弧所对的圆心角等于全弧所对的圆周角） 3．顶点在圆内，两边与圆相交的角叫圆内角． 圆内角定理：圆内角的度数等于圆内角所对的两条弧的度数和的一半． 4．顶点在圆外，两边与圆相交的角叫圆外角． 圆外角定理：圆外角的度数等于圆外角所对的长弧的度数与短弧的度数的差的一半． 5．圆内接四边形的对角互补，一个外角等于其内对角． 6．如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形． 7．圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等． 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等． 五．垂径定理 1．垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； 2．其它正确结论： ⑴弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； ⑵平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧． ⑶圆的两条平行弦所夹的弧相等．
六年级《圆》知识点归纳
六年级《圆》知识点归纳 圆是数学中的一个重要概念，它在几何学和代数学中都有广泛 运用。本文将对六年级学生应该掌握的圆的知识点进行归纳总结，以帮助学生更好地理解和应用这些概念。 一、圆的定义和性质 1. 圆的定义：圆是由平面上距离一个固定点的距离相等的点所 组成的图形。 2. 圆心和半径：圆的中心点称为圆心，圆心到圆上任意点的距 离称为半径。 3. 直径和周长：直径是通过圆心的两个点之间的距离，周长是 圆的边界长度。 4. 弧和扇形：圆的一部分称为弧，圆心角对应的弧称为扇形。 5. 弦和切线：弦是圆上两点间的线段，切线是与圆只有一个交 点的直线。 二、圆的计算公式 1. 圆的周长计算：周长等于直径乘以π（pi）或者直径乘以2。 2. 圆的面积计算：面积等于半径的平方乘以π。
三、圆的重要定理 1. 圆的直径是最长的弦，半径是弦中垂线的中线，且直径等于 两倍的半径。 2. 半径垂直于弦，且半径和切线之间的夹角为直角。 3. 圆的内接四边形的对角线相互垂直，且交点在圆心上。 4. 在同一个圆中，圆心角相等的弧相等，弧对应的圆心角相等。 5. 在同一个圆中，圆心角与其所对应的弧的关系为弧度制的定义：圆心角等于弧长与半径的比值。 四、圆的相关练习题 1. 求圆的周长和面积的练习题。 2. 判断给定的图形是不是圆或圆的一部分的练习题。 3. 计算给定圆的直径、半径或者弦的长度的练习题。 4. 根据给定的条件，画出符合要求的圆和弧的练习题。 5. 判断给定的两个圆是相交、相切还是相离的练习题。
通过学习和理解上述圆的知识点，六年级的学生可以更好地掌握圆的定义、性质、计算公式和重要定理，能够灵活运用这些知识解决与圆相关的问题。同时，通过做相关的练习题，能够提高对圆的理解和应用能力。希望本文对学生们的学习有所帮助。
《圆》数学知识点归纳总结
《圆》数学知识点归纳总结 《圆》数学知识点归纳总结 在我们平凡的学生生涯里，是不是经常追着老师要知识点？知识点就是学习的重点。为了帮助大家掌握重要知识点，下面是小编为大家整理的《圆》数学知识点归纳总结，仅供参考，大家一起来看看吧。《圆》数学知识点归纳总结篇1 一、认识圆 1、圆的定义：圆是由曲线围成的一种平面图形。 2、圆心：将一张圆形纸片对折两次，折痕相交于圆中心的一点，这一点叫做圆心。 一般用字母O表示。它到圆上任意一点的距离都相等. 3、半径：连接圆心到圆上任意一点的线段叫做半径。一般用字母r表示。 把圆规两脚分开，两脚之间的距离就是圆的半径。 4、直径：通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。一般用字母d表示。 直径是一个圆内最长的线段。 5、圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。 6、在同圆或等圆内，有无数条半径，有无数条直径。所有的半径都相等，所有的直径都相等。 7.在同圆或等圆内，直径的长度是半径的2倍，半径的长度是直径的。 用字母表示为：d=2r或r= 8、轴对称图形： 如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形是轴对称图形。 折痕所在的这条直线叫做对称轴。(经过圆心的任意一条直线或直径所在的直线) 9、长方形、正方形和圆都是对称图形，都有对称轴。这些图形都
是轴对称图形。 10、只有1一条对称轴的图形有：角、等腰三角形、等腰梯形、扇形、半圆。 只有2条对称轴的图形是：长方形 只有3条对称轴的图形是：等边三角形 只有4条对称轴的图形是：正方形; 有无数条对称轴的图形是：圆、圆环。 二、圆的周长 1、圆的周长：围成圆的曲线的长度叫做圆的周长。用字母C表示。 2、圆周率实验： 在圆形纸片上做个记号，与直尺0刻度对齐，在直尺上滚动一周，求出圆的周长。 发现一般规律，就是圆周长与它直径的比值是一个固定数(π)。 3.圆周率：任意一个圆的周长与它的直径的比值是一个固定的数，我们把它叫做圆周率。 用字母π(pai)表示。 (1)、一个圆的周长总是它直径的3倍多一些，这个比值是一个固定的数。 圆周率π是一个无限不循环小数。在计算时，一般取π≈3.14。 (2)、在判断时，圆周长与它直径的比值是π倍，而不是3.14倍。 (3)、世界上第一个把圆周率算出来的人是我国的数学家祖冲之。 4、圆的周长公式：C=πdd=C÷π 或C=2πrr=C÷2π 5、在一个正方形里画一个最大的圆，圆的直径等于正方形的边长。 在一个长方形里画一个最大的圆，圆的直径等于长方形的宽。 6、区分周长的一半和半圆的周长： (1)周长的一半：等于圆的周长÷2计算方法：2πr÷2即πr (2)半圆的周长：等于圆的周长的一半加直径。计算方法：πr+2r 《圆》数学知识点归纳总结篇2 集合：
初三数学圆的知识点和公式总结
初三数学圆的知识点和公式总结 初中数学圆知识点总结【一】 1.不在同一直线上的三点确定一个圆 2.垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧 推论1 ①平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 ②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧 ③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 推论2 圆的两条平行弦所夹的弧相等 3.圆是以圆心为对称中心的中心对称图形 4.圆是定点的距离等于定长的点的集合 5.圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合 6.圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合 7.同圆或等圆的半径相等 8.到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆 9.定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等 10.推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等。 11定理圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角 12.①直线L和⊙O相交 d ②直线L和⊙O相切 d=r ③直线L和⊙O相离 d r 13.切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 14.切线的性质定理圆的切线垂直于经过切点的半径 15.推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点 16.推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心
17.切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角 18.圆的外切四边形的两组对边的和相等外角等于内对角 19.如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上 20.①两圆外离d R+r ②两圆外切 d=R+r ③.两圆相交 R-rr) ④.两圆内切 d=R-r(R r) ⑤两圆内含dr) 21.定理相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦 22.定理把圆分成n(n≥3)： ⑴依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形 ⑵经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形 23.定理任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆 24.正n边形的每个内角都等于(n-2)×180°/n 25.定理正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形 26.正n边形的面积Sn=pnrn/2 p表示正n边形的周长 27.正三角形面积√3a/4 a表示边长 28.如果在一个顶点周围有k个正n边形的角，由于这些角的和应为360°，因此k×(n-2)180°/n=360°化为(n-2)(k-2)=4 29.弧长计算公式：L=n兀R/180 30.扇形面积公式：S扇形=n兀R^2/360=LR/2 31.内公切线长= d-(R-r) 外公切线长= d-(R+r) 32.定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 33.推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等 34.推论2 半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直径 35.弧长公式 l=a_ a是圆心角的弧度数r 0 扇形面积公式 s=1/2__
圆的概念及公式总结
圆的概念及公式总结 1．圆的定义：平面上的一种曲线图形。 2．将一张圆形纸片对折两次，折痕相交于圆中心的一点,这一点叫做圆心.圆心一般用字母O表示。它到圆上任意一点的距离都相等． 3．半径：连接圆心到圆上任意一点的线段叫做半径。半径一般用字母r表示。把圆规两脚分开，两脚之间的距离就是圆的半径. 4．圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。 5．直径：通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。直径一般用字母d表示。 6．在同一个圆里,所有的半径都相等，所有的直径都相等。 7．在同一个圆里,有无数条半径，有无数条直径。 8．在同一个圆内,直径的长度是半径的2倍，半径的长度是直径的一半。 用字母表示为：d＝２rr ＝1 2 d 用文字表示为：直径=半径×2 半径=直径÷2 9．圆的周长:围成圆的曲线的长度叫做圆的周长。 10．圆的周长总是直径的3倍多一些,圆的周长除以直径的商是一个固定的数，我们它叫做圆周率,用字母表示。圆周率是一个无限不循环小数。在计算时，取3.14。世界上第一个把圆周率算出来的人是我国的数学家祖冲之。 11．圆的周长公式：1.知道直径d：圆周长=×直径：C=d 2。知道半径r ：圆周长=2××半径：C=2r 12.知道圆的周长C求直径：d=C知道圆的周长C求半径:r= C2 13、圆的面积:圆所占面积的大小叫圆的面积。 14．求圆面积的公式：1。已知r时： 2 S r π =2。已知d时:()22 S d π =÷ 3。已知C时：先求出半径(r= C2)，然后 2 S r π= 或者直接用公式: ()22 S C ππ =÷÷ 15．在一个正方形里画一个最大的圆，圆的直径等于正方形的边长。16．在一个长方形里画一个最大的圆，圆的直径等于长方形的宽。17．一个环形，外圆的半径是R,内圆的半径是r 它的面积是 22 S R r ππ =-或S=（R2-r2） 18．半圆的周长等于圆的周长的一半加直径。 半圆的周长与圆周长的一半的区别在于，半圆有直径，而圆周长的一半没有直径. 半圆的周长公式:Ｃ＝d2＋d或Ｃ＝r＋2r＝5.14r 圆周长的一半：Ｃ＝d2 或Ｃ=r 19．半圆面积＝圆的面积2公式为:Ｓ＝ｒ22
圆的认识知识点总结
圆的认识知识点总结 圆的定义： 圆是一种几何图形..当一条线段绕着它的一个端点在平面内旋转一周时;它的另一个端点的轨迹叫做圆.. 在一个个平面内;线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周;另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆;固定的端点O叫做圆心;线段OA叫做半径.. 相关定义: 1 在同一平面内;到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆..这个定点叫做圆的圆心..图形一周的长度;就是圆的周长.. 2 连接圆心和圆上的任意一点的线段叫做半径;字母表示为r.. 3 通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径;字母表示为d..直径所在的直线是圆的对称轴.. 4 连接圆上任意两点的线段叫做弦..最长的弦是直径;直径是过圆心的弦.. 5 圆上任意两点间的部分叫做圆弧;简称弧..大于半圆的弧称为优弧;优弧是用三个字母表示..小于半圆的弧称为劣弧;劣弧用两个字母表示..半圆既不是优弧;也不是劣弧..优弧是大于180度的弧;劣弧是小于180度的弧..
6 由两条半径和一段弧围成的图形叫做扇形.. 7 由弦和它所对的一段弧围成的图形叫做弓形.. 8 顶点在圆心上的角叫做圆心角.. 9 顶点在圆周上;且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角.. 10 圆周长度与圆的直径长度的比值叫做圆周率..它是一个无限不循环小数;通常用π表示;π……在实际应用中;一般取π≈3.14.. 11圆周角等于相同弧所对的圆心角的一半.. 12 圆是一个正n边形n为无限大的正整数;边长无限接近0但不等于0.. 圆的集合定义： 圆是平面内到定点的距离等于定长的点的集合;其中定点是圆心;定长是半径.. 圆的字母表示： 以点O为圆心的圆记作“⊙O”;读作O”.. 圆—⊙； 半径—r或R在环形圆中外环半径表示的字母； 弧—⌒； 直径—d ； 扇形弧长—L ； 周长—C ； 面积—S..
初三圆知识点总结
初三圆知识点总结 初三圆知识点总结1 1、圆的有关概念： （1）确定一个圆的要素是圆心和半径。 （2） ①连结圆上任意两点的线段叫做弦。 ②经过圆心的弦叫做直径。 ③圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。 ④小于半圆周的圆弧叫做劣弧。 ⑤大于半圆周的圆弧叫做优弧。 ⑥在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。 ⑦顶点在圆上，并且两边和圆相交的角叫圆周角。 ⑧经过三角形三个顶点可以画一个圆，并且只能画一个，经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形，外心是三角形各边中垂线的交点;直角三角形外接圆半径等于斜边的一半。 ⑨与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆外切三角形，三角形的内心就是三角形三条内角平分线的交点。 2、圆的有关性质
（1）定理在同圆或等圆中，如果圆心角相等，那么它所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对的其余各组量都分别相等。 （2）垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。 推论1： ①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。 ②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。 ③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。 推论二:一个圆的两条平行弦所夹的圆弧相等。 （3）圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于该弧所对的圆心角的一半。推论1在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，相等的圆周角所对的弧也相等。推论2半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90 。90 的圆周角所对的弦是圆的直径。推论3如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 （4）切线的判定与性质：判定定理：经过半径的外端且垂直与这条半径的直线是圆的切线。性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径;经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点;经过切点切垂直于切线的直线必经过圆心。 (5)定理:不在同一直线上的三点确定一个圆。
圆的知识点总结(史上最全的)
A 图4 图5 圆的总结 集合： 圆：圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合； 圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合； 圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合 轨迹： 1、到定点的距离等于定长的点的轨迹是：以定点为圆心，定长为半径的圆； 2、到线段两端点距离相等的点的轨迹是：线段的中垂线； 3、到角两边距离相等的点的轨迹是：角的平分线； 4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线； 5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线 点与圆的位置关系: 点在圆内 d 高中数学圆的知识点 一、圆的定义和性质 圆是平面上所有到一个固定点距离相等的点的集合。其中，到这个固定点的距离称为半径，固定点称为圆心。圆上的任意一条弧所对的角称为圆心角，而弧所对的弦则是直径的一半。 二、圆的周长和面积 1. 周长：圆的周长是圆的边界上的一条线段的长度，也称为圆周。通过周长公式可以计算出圆的周长：C = 2πr，其中C表示周长，r 表示半径，π是一个常数，约等于3.14159。 2. 面积：圆的面积是圆内部的所有点的集合。通过面积公式可以计算出圆的面积：A = πr²，其中A表示面积，r表示半径，π是一个常数，约等于 3.14159。 三、圆与直线的关系 1. 切线：与圆只有一个交点的直线称为切线。切线与圆的切点处的切线角为直角。 2. 弦：连接圆上两点的线段称为弦。如果一条弦经过圆心，则称为直径，直径是弦的最长一条。 3. 弧与弦的关系：弧所对的弦等于圆周上两点间的距离。 四、圆的相交关系 1. 相离：两个圆没有交点，彼此之间没有任何交集。 2. 外切：两个圆相切于外部的一点，且这个切点是它们两个圆心连线的垂直平分线上。 3. 相交：两个圆相交于两个不同的交点。 4. 内切：两个圆相切于内部的一点，且这个切点是它们两个圆心连线的垂直平分线上。 5. 同心圆：两个圆的圆心重合，但半径不同。 五、圆与三角形的关系 1. 内切圆：一个三角形内切于一个圆，即这个圆的圆心与三角形的内心重合，且这个圆与三角形的三条边都相切。 2. 外接圆：一个三角形的三个顶点在同一个圆上，称为外接圆。 六、圆的投影 1. 圆锥曲线：当一个圆与一个平面相交时，投影在平面上的图形为圆锥曲线。常见的圆锥曲线有椭圆、双曲线和抛物线。 七、圆的应用 1. 数学上，圆的知识点广泛应用于几何学、三角学、物理学等各个领域中。 2. 工程上，圆的形状在建筑、道路设计、机械制造等方面有广泛应用。例如，圆形的零件更容易制造和安装，圆形的建筑物结构更稳定。 总结： 圆的知识点汇总 一、知识与方法归纳 圆的周长讣算公式的应用： （1）已知圆的半径，求圆的周长：C=2 n ro （2）已知圆的直径，求圆的周长：C=ndo （3）已知圆的周长，求圆的半径：r=C"2. （4）已知圆的周长，求圆的直径：d=Cn o 9.圆周率：圆的周长除以直径的商是一个固龙的数，我们把它叫做圆周率，用字母"表示，讣算时通常取3.14. 7.同一圆内半径与直径的关系：在同一圆内，直径的长度是半径的2倍，可以表示为d=2r 或r=o 3.圆各部分的名称：圆心用0表示；半径通常用字母r表示；直径通常用字母d表示。 1.圆的特征：圆是由一条曲线囤成的封闭图形，圆上任意一点到圆心的距离都相等。 5.圆心和半径的作用：圆心确定圆的位置，半径决宦圆的大小。 2.圆规画圆的方法： （1）把圆规的两脚分开，泄好两脚间的距离： （2）把有针尖的一只脚固泄在一点上； （3）把装有铅笔尖的一只脚绕这个固左点旋转一周，就可以画出一个圆。 4.圆有无数条直径，无数条半径；同（或等）圆内的直径都相等，半径都相等。 6•圆的轴对称性：圆是轴对称图形，直径所在的直线是圆的对称轴，圆有无数条对称轴。 14 •圆的而积讣算公式的应用： （1）已知圆的半径，求圆的面积：S=o （2）已知圆的直径，求圆的面积：尸，S=或。 （3）已知圆的周长，求圆的而积:r=C2 n > S二或。 &圆的周长：圆的周长是指用成圆的曲线的长•直径的长短决左圆周长的大小。 10•圆的周长的计算公式：如果用C表示圆的周长，那么C=xd或02"。 13.圆的而积讣算公式：如果用S表示圆的而积，r表示圆的半径，那么圆的而积计算公式是：S=O 12•圆的而积的含义：圆形物体所占平面的大小或圆形物体表而的大小就是圆的而积。 经典例题 完成下表： 例2•填空: 圆知识点总结归纳 一、圆的定义 圆是由平面内到达与一点距离相等的所有点的集合。这个点称为圆心，到达这个点的距离称为半径。圆由所有到达圆心距离相等的点组成，因此圆是一个闭合曲线。 二、圆的基本性质 1. 圆的直径是圆的边界上任意两点间的最长距离，其长度为圆周长的两倍。 2. 圆的直径平分圆，即将圆沿直径切割成两个相等的半圆。 3. 圆的周长是圆周上的点到圆心的距离之和，通常用字母C表示。 4. 圆的面积是圆内部的所有点到圆心的距离的平方和乘以π（π≈3.14），通常用字母A表示。 5. 圆上任意两点之间的弧长是圆的周长乘以这两点所对的圆心角的比值。 三、圆的相关公式 1. 圆的周长公式：C=2πr，其中r为圆的半径，π为圆周率（π≈3.14）。 2. 圆的面积公式：A=πr²，其中r为圆的半径，π为圆周率（π≈ 3.14）。 3. 圆的弧长公式：L=2πr，其中r为圆的半径，π为圆周率（π≈3.14），L为圆上长为弧的长度。 四、圆的相关定理和性质 1. 圆的切线定理：一个圆的切线与通过切点的圆心连线垂直。 2. 圆的相交定理：两个圆相交于两点时，连接这两个点与两个圆心的连线互相垂直。 3. 圆心角定理：同一个圆的圆心角（或其所对的弧）相等。 4. 圆的弦长定理：在同一个圆上，相等的弧对应到的弦相等。 5. 圆的切线长度定理：一个点A到圆上的切线的切点距离等于该点到圆心的距离。 五、圆的应用 1. 圆在几何图形的构图和测量中有着广泛的应用，例如制图、建筑设计、土地规划等。 2. 在物理学中，圆的运动学和动力学有着重要的应用，例如圆周运动、转矩等。 3. 圆在工程学中也有着广泛的应用，例如电机、轮胎、齿轮等的设计和制造。 圆的所有知识点总结 1. 【高中数学有关圆的学问点、公式、解题方法什么的、拜托了】 （一）圆的标准方程1.圆的定义：平面内到肯定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆.定点叫圆的圆心，定长叫做圆的半径.2.圆的标准方程：已知圆心为（a,b），半径为r，则圆的方程为（x-a）2+(y-b)2=r2.说明：（1）上式称为圆的标准方程.（2）假如圆心在坐标原点，这时a=0,b=0，圆的方程就是x2+y2=r2.(3)圆的标准方程显示了圆心为（a,b），半径为r这一几何性质，即（x-a）2+(y-b)2=r2----圆心为（a,b），半径为r.(4)确定圆的条件由圆的标准方程知有三个参数a、b、r，只需求出a、b、r，这时圆的方程就被确定.因而，确定圆的方程，需三个独立的条件，其中圆心是圆的定位条件，半径是圆的定型条件.（5）点与圆的位置关系的判定若点M(x1,y1)在圆外，则点到圆心的距离大于圆的半径，即（x-a）2+(y-b)2>r2；若点M(x1,y1)在圆内，则点到圆心的距离小于圆的半径，即（x-a）2+(y-b)2r直线与圆相离；d=r直线与圆相切；0≤d。 2. 圆的基本性质求归纳 圆的学问重点圆虽然是最熟识的几何图形之一，但它有许多新的学问点，尤其是这里重要的学问点，都与前面的学问紧密联系着，解题时必需用到直线型中的定理、法则.因而，解题时先要由条件对图形有比较好的熟悉，再联想相关学问，分析隐会条件，将做题过程化解为若干小问题，逐一处理. 圆这章学问重点可以归纳为： 1、对 称性： a：圆的对称性，虽然其它一些图形也是有，但圆有很多条对称轴这个特性其它图形所没有的，垂径定理，切线长定理，及正n边形的计算都应用到了这个特性. b：旋转不变性，圆心角、弧、弦、弦心距关系，遇到有关圆习题，要抓住这个特性充分利用，很多问题可以找到解题思路. 2、三个角：圆心角、圆周角，以及圆内接四边形的外角（对角）这是在有关圆的问题中，找角相等必不行少的方法. 3、三个垂直：垂径定理，直径所对的圆周角，切线的性质它可以有效的把很多问题转化到直角三角形中，使问题得以处理. 4、四大关系：点与圆的位置关系，直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系，圆与正多边形的关系，把握切线的判定和性质以及有关计算是重点. 5、有关计算问题：有关线段的计算，正多边形的计算，有关扇形及阴影面积的计算，以及圆柱、圆锥侧面绽开图的计算. 6、圆中添帮助线一般方法：添与垂径定理相关的帮助线，添与切线有关的帮助线（制造直角的帮助线），添与圆内接四边形相关的帮助线；两圆相交时作公共弦，两圆相切时作分切线，总之添帮助线时，要构造和完善基本图形，切忌破坏图形的完整性.。 3. 圆的学问 〖几何中圆的定义〗圆几何说：平面上到定点的距离等于定长的全部点组成的图形叫做圆。 定点称为圆心，定长称为半径。轨迹说：平面上一动点以肯定点为中心，肯定长为距离运动一周的轨迹称为圆周，简称圆。 圆的相关知识点 1、圆心：圆中心一点叫做圆心。用字母“O〞来表示。 半径：连接圆心和圆上任意一点的线段叫做半径，用字母“r〞来表示。画圆时，圆规两脚间的距离就是半径。 直径：通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径，用字母“d〞表示。直径是圆中最长的线段。 2．圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。圆是轴对称图形，直径所在的直线是圆的对称轴。 3．在同一个圆内，所有的半径都相等，所有的直径都相等。在同一个圆内，有无数条半径，有无数条直径。在同一个圆内，直径的长度是半径的2倍，半径的长度是直径的一半。用字母表示为：d＝２r r ＝d÷2 4、正方形中画最大的圆：先画正方形的两条对角线，交点就是圆心，再以边长的一半作半径画圆。边长也就是圆的直径。 5、圆中画最大的正方形：先画两条互相垂直的直径，直径和圆相交的四个点连接起来就成了一个圆。在长方形中画最大的圆，宽就是圆的直径。 6、扇形：由两条半径和一段弧围成的图形就是扇形。顶点在圆心的角是圆心角。圆上两点间的一段叫弧。 7、在同一个圆中，扇形的大小与圆心角的大小有关。在不同的圆中，扇形的大小与圆心角的大小和半径的长短有关。 8．圆的周长：围成圆的曲线的长度叫做圆的周长。圆的周长总是 直径的3倍多一些，这个比值是一个固定的数。我们把圆的周长和直径的比值叫做圆周率，用字母π表示。圆周率是一个无限不循环小数。在计算时，π取。世界上第一个把圆周率算出来的人是我国的数学家祖冲之。周长是直径的π倍，是半径的2π倍。 6．圆的周长公式：C=πd 或C=2πr 周长等于直径乘π，等于半径乘2π。直径等于周长除以π,或等于半径乘2，半径等于周长除以π再除以2，或等于直径除以2. 圆的直径、半径扩大或缩小几倍，周长也扩大或缩小相同的倍数，周长、直径、半径间的变化相同。两个圆的直径、半径和周长之间的倍数关系完全相同。 7、圆的面积：圆所占平面的大小叫圆的面积。 8．把一个圆割拼成一个近似的长方形，割拼成的长方形的长相当于圆周长的一半，宽相当于圆的半径，因为长方形面积=长×宽，所以圆的面积= πr×r＝πｒ²，要求圆的面积必须知道圆的半径〔或知道半径的平方〕。 9．圆的面积公式：Ｓ＝πｒ²或者S=π〔d÷2〕²，或者S=π〔C ÷π÷2〕² 两个圆如果直径、半径、周长或面积其中一项相等，那么其余几项也都相等。 10．在一个正方形里画一个最大的圆(外方内圆)，圆的直径等于正方形的边长。圆的面积是正方形面积的是π/4。 在一个圆里画一个最大正方形〔外圆内方〕，圆的直径的长度等于 《圆》知识点及定理 一、圆的概念 集合形式的概念： 1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合； 2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合； 3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合 轨迹形式的概念： 1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆； （补充）2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）； 3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线； 4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线； 5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。 二、点与圆的位置关系 1、点在圆内⇒d r <⇒点C在圆内； 2、点在圆上⇒d r =⇒点B在圆上； 3、点在圆外⇒d r >⇒点A在圆外； 三、直线与圆的位置关系 1、直线与圆相离⇒d r >⇒无交点； 2、直线与圆相切⇒d r =⇒有一个交点； 3、直线与圆相交⇒d r <⇒有两个交点； 四、圆与圆的位置关系 外离（图1）⇒无交点⇒d R r >+； 外切（图2）⇒有一个交点⇒d R r =+； 相交（图3）⇒有两个交点⇒R r d R r -<<+； 内切（图4）⇒有一个交点⇒d R r =-； 内含（图5）⇒无交点⇒d R r <-； 五、垂径定理 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。 推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； （3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 以上共4个定理，简称2推3 定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2 个即可推出其它3个结论，即： ①AB是直径②AB CD ⊥③CE DE =④弧BC=弧BD⑤弧AC= 弧AD 中任意2个条件推出其他3个结论。 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 即：在⊙O中，∵AB∥CD ∴弧AC=弧BD A 图4 图5 B D - 1 - 圆知识点汇总（一） 一、圆、垂径定理 1、圆的定义及表示法 （1）圆的定义1：在一个平面内，线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端 点A随之旋转所成的图形叫做圆。固定的端点O叫做圆心。线段OA叫做半径（如 图1-1）。 （2）圆的表示方法：以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”。 （3）圆的定义2：圆心为O，半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r的点组成的图形。（圆是一条闭合曲线，不包含中间的部分） 确定一个圆的要素是圆心和半径。 2、与圆有关的概念 （1）弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦。 （2）直径：经过圆心的弦是直径。注意：圆中有无数条弦，其中直径是圆中最长的弦。 （3）圆弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。 （4）半圆弧：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧叫做半圆。 （画图判断带弦的不叫弧，叫弓形） （5）优弧：大于半圆的弧叫做优弧。优弧CAB，记作“⌒ CAB”，如图1-2。 （6）劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧。劣弧表示时只需两个字母。 （7）弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形。 （8）同心圆：圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆。 （9）等圆：能够重合的两个圆叫做等圆。 （10）等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。 判断：长度相等的弧叫做等弧。（×） 3、圆的轴对称性 圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。 注意：（1）圆的对称轴有无数条。（2）错误说法：圆的对称轴是直径。因为直径是弦，弦是线段，所以直径是线段，而对称轴是直线。应该说“圆的对称轴是直径所在的直线”。 4、垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。 5、垂径定理的推论 （1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦并且平分弦所对的两条弧。 （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。 （3）平分弦所对的一条弧的直径，平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。 （4）在同圆中，圆的两条平行弦所夹的弧相等。如图1-3，⌒ AC= ⌒BD。 6、垂径定理的基本图形（如图1-4） 几何语言表述：①CD为直径 ②CD⊥AB ③AE=BE ④⌒ AC= ⌒ BC ⑤⌒ AD =⌒ BD 图 1-1 图1-2 A 图1-3 图1-4高中数学圆的知识点
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(完整版)初三《圆》知识点及定理
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