圆的概念 公式及推导完整版
圆的直径式方程推导
圆的直径式方程推导【一、圆的直径公式推导背景】在数学中，圆是一个基本的几何图形。
对圆的研究历史悠久，早在古希腊时期，数学家们就开始研究圆的性质。
在众多圆的性质中，直径是一个非常重要的概念。
本文将介绍如何推导圆的直径公式，以及该公式在实际问题中的应用。
【二、圆的直径公式推导过程】1.圆的周长公式推导圆的周长是指圆的边缘一周的长度。
通过观察可以发现，圆的周长与圆的直径和π（pi）有关系。
设圆的直径为d，那么圆的周长C可以表示为：C = πd。
2.圆的面积公式推导圆的面积是指圆内部平面区域的大小。
同样地，通过观察可以发现，圆的面积与圆的直径和π有关系。
设圆的直径为d，那么圆的面积S可以表示为：S = π(d/2)^2。
3.直径与半径的关系推导根据定义，直径是圆的两个相对的端点在圆周上所对应的线段，而半径是圆心到圆上任意一点的线段。
可以发现，直径是半径的两倍，即d = 2r。
4.直径公式推导结合上述推导，我们可以得到直径d与半径r的关系式：d = 2r。
将圆的周长公式C = πd中的d替换为2r，得到：C = 2πr。
此时，我们可以发现，圆的周长公式实际上就是直径的两倍乘以π。
【三、直径公式的应用实例】直径公式在实际问题中具有广泛的应用。
例如，已知一个圆的周长为25.12厘米，求其直径。
根据直径公式，可以得到：d = C/π = 25.12/π ≈ 8厘米。
【四、总结与启示】通过对圆的直径公式的推导，我们可以更好地理解圆的性质，并在实际问题中应用。
直径公式d = 2r以及圆的周长公式C = 2πr为我们提供了一种快速计算圆的直径和周长的方法。
圆的概念和性质
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圆的直径：通过圆心且两端点在圆上的线段即为直径，直径等于半径的两倍
圆的度量单位
圆的周长与直径之比为常数，称为圆周率 圆的直径是从圆的一侧到另一侧的最长距离 圆的半径是从圆心到圆上任一点的线段长度 圆周长的度量单位是周长与直径的比值，即π
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外切圆：两个圆有一个公共点， 称为外切圆
相离圆：两个圆没有任何公共点， 称为相离圆
圆和直线的位置关系
相交：直线与 圆有且仅有一
个交点
相切：直线与 圆有且仅有一
个公共点
相离：直线与 圆没有公共点
相交弦定理： 直线与圆相交 时，过圆心作 弦的垂线，垂 足为弦的中点
圆的周长和面积
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圆上任一点到圆心的距离相等， 这个距离称为圆的半径。
圆心是圆中所有点的中心点，也 是圆的对称中心。
圆的形成
圆上三点确定一个圆
圆上所有点到定点（圆心）的距离相等
圆是平面内到定点（圆心）的距离等于定长（半径）的所有点组成的 图形 圆是平面内所有点与一定点（圆心）的距离之和等于定值（直径） 的点组成的图形
圆的基本性质
圆的对称性
圆关于任何直径对称 圆关于任何经过中心的直线对称 圆关于其本身对称 圆关于其直径的中点对称
圆心和半径的性质
圆心性质：圆心到圆上任一 点的距离相等
半径性质：半径是连接圆心 和圆上任意一点的线段，长 度相等
圆的知识点
圆在一个平面内，一动点以一定点为中心，以一定长度为距离旋转一周所形成的封闭曲线叫做圆。
圆有无数个点。
在同一平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆。
圆可以表示为集合{M||MO|=r},圆的标准方程是(x - a) ² + (y - b) ² = r ²。
其中，o是圆心，r 是半径。
圆形是一种圆锥曲线，由平行于圆锥底面的平面截圆锥得到。
圆是一种几何图形。
根据定义，通常用圆规来画圆。
同圆内圆的直径、半径长度永远相同，圆有无数条半径和无数条直径。
圆是轴对称、中心对称图形。
对称轴是直径所在的直线。
同时，圆又是“正无限多边形”，而“无限”只是一个概念。
当多边形的边数越多时，其形状、周长、面积就都越接近于圆。
所以，世界上没有真正的圆，圆实际上只是概念性的图形。
圆的定义第一定义在同一平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆（circle）。
这个定点叫做圆的圆心。
圆形一周的长度，就是圆的周长。
能够重合的两个圆叫等圆。
圆是一个正n边形（n为无限大的正整数），边长无限接近0但永远无法等于0。
第二定义平面内一动点到两定点的距离之比（或距离的平方之比），等于一个不为1的常数，则此动点的轨迹是圆。
证明：点坐标为(x1,y1)与(x2,y2)，动点为(x,y)，距离比为k，由两点距离公式。
满足方程(x-x1)2 + (y-y1)2 = k2×[ (x-x2)2 + (y-y2)2] 当k不为1时，整理得到一个圆的方程。
几何法：假设定点为A，B，动点为P，满足|PA|/|PB| = k（k≠1），过P点作角APB 的内、外角平分线，交AB与AB的延长线于C，D两点由角平分线性质，角CPD=90°。
由角平分线定理：PA/PB = AC/BC = AD/BD =k，注意到唯一k确定了C和D的位置，C 在线段AB内，D在AB延长线上，对于所有的P，P在以CD为直径的圆上。
相关特点径1.连接圆心和圆上的任意一点的线段叫做半径，字母表示为r（radius）2.通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径，字母表示为d（diameter）。
圆形认识圆的基本知识
圆形认识圆的基本知识圆是几何中常见的一种形状，它具有独特的性质和特点。
本文将介绍圆的基本知识，包括定义、性质、公式和应用等方面。
一、圆的定义圆是平面上所有到一个点的距离都相等的点的集合。
这个点称为圆心，到圆心的距离称为半径。
用数学符号表示，圆心为O，半径为r，圆可以记作C(O, r)。
二、圆的性质1. 圆的直径：圆中任意两点之间经过圆心的线段称为直径，它的长度等于圆的半径的两倍。
2. 圆的弦：圆上任意两点之间的线段称为弦。
3. 圆心角：以圆心为顶点的角称为圆心角，它的度数等于所对弧的度数。
4. 弧长：圆上的一段弧所对的圆心角的度数等于这段弧的长度与圆的半径的比值。
5. 弧度制：弧度制是一种角度的单位，用弧长与半径的比值来表示角度。
6. 弦切角性质：圆上的弦所对的弧所对的切角相等。
7. 切线性质：切线与半径所在直线垂直。
三、圆的公式1. 圆的面积公式：圆的面积等于π（圆周率）乘以半径的平方，即S = πr²。
2. 圆的周长公式：圆的周长等于2π乘以半径，即C = 2πr。
四、圆的应用1. 圆是很多几何图形的基础，许多几何问题都可以通过圆来解决。
2. 圆的性质在日常生活中得到广泛应用，例如建筑、交通、制造等领域。
3. 圆的公式在计算和科学研究中具有重要作用，例如在计算机图形学、物理学等领域中都需要用到圆的相关公式。
总结：本文介绍了圆的基本知识，包括定义、性质、公式和应用等方面。
圆作为几何中常见的一种形状，具有独特的性质和特点，应用广泛，对于我们的生活和学习都有一定的影响。
通过学习和认识圆，我们能够更好地理解几何学的知识，提高数学素养，并应用到实际问题中。
圆的周长公式和面积公式推导过程
圆的周长公式和面积公式推导过程在我们的数学世界里，圆这个家伙可真是个特别的存在！圆溜溜，滑溜溜，看着简单，里面的学问可不少。
今天咱们就来好好聊聊圆的周长公式和面积公式的推导过程，这可是相当有趣的哦！还记得我之前教过的一个班级里，有个叫小明的孩子。
那时候，我们正在学习圆的相关知识。
小明一开始对圆的周长和面积的概念那是一头雾水，愁眉苦脸的样子真是让人又心疼又觉得好笑。
咱们先来说说圆的周长公式的推导。
其实啊，圆的周长就是绕圆一周的长度。
那怎么去测量或者计算这个长度呢？最开始，咱们可以用一根绳子绕着圆围一圈，然后再把绳子拉直，用尺子量一量绳子的长度，这就是圆的周长啦。
但这种方法太粗糙，不精确呀！那怎么办呢？这时候，咱们就得发挥聪明才智啦。
我们来做个小实验，准备几个大小不同的圆，然后在圆上标记一个点。
接着，让这些圆沿着一条直线滚动，观察标记的点再次接触直线时，圆滚动的距离。
你会发现，圆滚动的距离刚好是圆的周长。
而且，圆滚动的圈数和直径之间好像有着某种关系。
经过多次的测量和计算，我们发现，圆的周长和直径的比值总是一个固定的数，这个数就是圆周率，用希腊字母π表示。
经过无数数学家的努力和研究，最终得出了圆的周长公式：C = πd或者C = 2πr（其中 C 表示圆的周长，d 表示圆的直径，r 表示圆的半径）。
再来说说圆的面积公式的推导。
这可有意思啦！咱们把圆平均分成若干等份，然后把它剪开，拼成一个近似的长方形。
这个长方形的长就相当于圆周长的一半，也就是πr，宽就相当于圆的半径 r。
因为长方形的面积 = 长×宽，所以圆的面积就等于πr×r，也就是πr² 。
回到小明身上，经过这样一步步的讲解和实验，他终于恍然大悟，脸上露出了开心的笑容。
后来，他还主动跟其他同学分享自己的理解，那认真的模样，让我特别欣慰。
总之，圆的周长公式和面积公式的推导，充满了智慧和探索的乐趣。
通过不断地思考、实验和总结，我们才能揭开数学神秘的面纱，发现其中的美妙之处。
初中数学知识点圆：圆的公式汇总
初中数学知识点圆：圆的公式汇总 圆的定义几何说：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。
定点称为圆心，定长称为半径。
轨迹说：平面上一动点以一定点为中心，一定长为距离运动一周的轨迹称为圆周，简称圆。
集合说：到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆。
有关圆的计算公式1.圆的周长C=2πr=πd2.圆的面积S=πr2；3.扇形弧长l=nπr/1804.扇形面积S=nπr2；/360=rl/25.圆锥侧面积S=πrl圆的相关量圆周率：圆周长度与圆的直径长度的比叫做圆周率，值是3.141592653589793238462643383279502884197169399375105820 9749445923078164062862089986280348253421170679……，通常用π表示，计算中常取3.14为它的近似值〔但奥数常取3或3.1416〕。
圆弧和弦：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。
大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧。
连接圆上任意两点的线段叫做弦。
经过圆心的弦叫做直径。
圆心角和圆周角：顶点在圆心上的角叫做圆心角。
顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角。
内心和外心：过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，其圆心叫做三角形的外心。
和三角形三边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆，其圆心称为内心。
扇形：在圆上，由两条半径和一段弧围成的图形叫做扇形。
圆锥侧面展开图是一个扇形。
这个扇形的半径成为圆锥的母线。
圆和圆的相关量字母表示方法圆—⊙；半径—r；弧—⌒；直径—d；扇形弧长／；圆锥母线—l；周长—C；面积—S【圆和其他图形的位置关系】圆和点的位置关系：以点P与圆O的为例〔设P是一点，那么PO是点到圆心的距离〕，P在⊙O外，PO＞r；P在⊙O上，PO＝r；P在⊙O内，PO＜r。
直线与圆有3种位置关系：无公共点为相离；有两个公共点为相交；圆与直线有唯一公共点为相切，这条直线叫做圆的切线，这个唯一的公共点叫做切点。
圆面积微积分推导
圆面积微积分推导
摘要：
一、圆面积公式回顾
1.圆面积公式
2.圆面积公式的推导
二、微积分基本概念
1.导数
2.积分
三、圆面积微积分推导
1.圆的面积与半径的关系
2.圆面积的导数
3.圆面积的积分
4.应用微积分推导圆面积公式
四、结论
1.圆面积公式推导完成
2.微积分在圆面积问题中的应用
正文：
一、圆面积公式回顾
圆是平面内到定点的距离等于定长的所有点的集合，其面积公式为：S = πr，其中r为圆的半径。
二、微积分基本概念
1.导数：导数是描述一条曲线（函数）在某一点处斜率的概念，用f"(x)表示。
2.积分：积分是导数的逆运算，表示求曲线下的面积，用∫表示。
三、圆面积微积分推导
1.圆的面积与半径的关系：圆的面积公式可以改写为S = 2πr * r。
2.圆面积的导数：对圆面积公式求导，得到dS/dr = 4πr。
3.圆面积的积分：对圆面积的导数进行积分，得到S = 2πr/3 + C。
4.应用微积分推导圆面积公式：将圆面积的积分结果与原公式S = πr进行对比，可得C = 0，从而得到圆面积公式S = πr。
四、结论
1.通过微积分的推导方法，我们成功地证明了圆面积公式S = πr的正确性。
与圆相关的公式和推导式字母
与圆相关的公式和推导式字母圆的面积公式是：s=πr2，把圆平均分成若干份，可以拼成一个近似的长方形。
长方形的宽就等于圆的半径（r），长方形的长就是圆周长（C）的一半。
长方形的面积是ab，那圆的面积就是：圆的半径（r）乘以二分之一周长C，S=r*C/2=r*πr。
到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆。
这个定点叫做圆的圆心，通常用字母“o”表示。
连接圆心和圆周上任意一点之间的连线叫做半径，通常用字母“r”表示。
通过圆心并且两个端点都在圆周上的线段叫做直径，通常用字母“d”表示。
连接圆上任意两点的线段叫做弦。
在同圆或等圆中，最长的弦是直径。
圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。
大于半圆的弧称为优弧，优弧是用三个字母表示。
小于半圆的弧称为劣弧，劣弧用两个字母表示。
半圆既不是优弧，也不是劣弧。
圆的方程1、圆的标准方程：在平面直角坐标系中，以点O（a，b）为圆心，以r为半径的圆的标准方程是（x-a）^2+（y-b）^2=r^2。
特别地，以原点为圆心，半径为r（r>0）的圆的标准方程为x^2+y^2=r^2。
2、圆的一般方程：方程x^2+y^2+Dx+Ey+F=0可变形为（x+D/2）^2+（y+E/2）^2=（D^2+E^2-4F）/4.故有：（1）、当D^2+E^2-4F>0时，方程表示以(-D/2,-E/2)为圆心，以（√D^2+E^2-4F）/2为半径的圆；（2）、当D^2+E^2-4F=0时，方程表示一个点（-D/2，-E/2）；（3）、当D^2+E^2-4F<0时，方程不表示任何图形。
3、圆的参数方程：以点O（a，b）为圆心，以r为半径的圆的参数方程是x=a+r*cosθ,y=b+r*sinθ,（其中θ为参数）圆的端点式：若已知两点A（a1,b1）,B（a2,b2），则以线段AB为直径的圆的方程为（x-a1）（x-a2）+（y-b1）（y-b2）=0圆的离心率e=0，在圆上任意一点的半径都是r。
圆面积公式的推导过程四种方法
圆面积公式的推导过程四种方法
圆面积公式是一个经典的数学概念，它提供了一种快速有效的方法来计算圆的面积。
圆面积公式的推导过程有四种方法，分别是三角形法、圆柱体法、双曲线法和极限法，本文将对这四种方法进行详细的介绍。
首先，三角形法是最常用的一种推导方法。
在这种方法中，我们假设圆的外形是由无数个很小的三角形组成的，然后计算出每个三角形的面积，最后将这些三角形的面积加起来，就可以得到圆的面积。
其次，圆柱体法也是一种常用的推导方法。
在这种方法中，我们假设圆是由一个无限高的圆柱体构成的，然后计算出圆柱体的表面积，最后再乘以圆柱体的高度，就可以得到圆的面积。
三，双曲线法也是一种常用的推导方法。
在这种方法中，我们假设圆是由一个无限长的双曲线构成的，然后计算出双曲线的长度，最后再乘以双曲线的曲率半径，就可以得到圆的面积。
最后，极限法是一种更为复杂的推导方法。
在这种方法中，我们假设圆是由一个无限高的极限函数构成的，然后计算出极限函数的积分，最后再乘以极限函数的系数，就可以得到圆的面积。
总之，以上就是圆面积公式推导过程的四种方法，它们都可以有效的帮助我们计算出圆的面积。
希望通过本文的介绍，能够对大家有所帮助，让大家更清楚的了解圆面积公式的推导过程。
数学圆的公式大全
数学圆的公式大全圆是平面几何中一个基本的几何形状，它在日常生活中和数学领域中都有广泛的应用。
下面是关于圆的一些基本公式和定理的总结。
一、圆的定义和基本参数1. 圆的定义：平面上一动点以一定点为中心，一定长为半径运动一周的轨迹称为圆。
2. 圆的基本参数：圆心（center）：圆的中心点。
半径（radius）：从圆心到圆上任意一点的距离。
直径（diameter）：穿过圆心，两端都在圆上的线段，等于两倍的半径。
弧（arc）：圆上任意两点间的部分。
扇形（sector）：圆上两点间的部分和这两点对应的圆心角所构成的区域。
二、圆的面积和周长1. 圆的面积公式：面积（Area）A = πr²，其中r是半径。
当需要计算圆环的面积时，可以用大圆的面积减去小圆的面积，即A = πR²πr²，其中R是大圆的半径，r是小圆的半径。
2. 圆的周长公式：周长（Circumference）C = 2πr，其中r是半径。
当需要计算圆环的周长时，可以用大圆的周长减去小圆的周长，即C = 2πR2πr，其中R是大圆的半径，r是小圆的半径。
三、圆的直径和半径的关系1. 直径与半径的关系：直径d = 2r半径r = 直径d / 2四、圆的弧长和扇形面积1. 弧长（Arc Length）公式：弧长l = (θ/360°) ×2πr，其中θ是圆心角的度数，r是半径。
2. 扇形面积公式：扇形面积A = (θ/360°) ×πr²，其中θ是圆心角的度数，r是半径。
五、圆的弦和切线1. 弦（Chord）：圆上任意两点的连线称为弦。
弦长公式：对于直径，弦长等于两倍的半径；对于非直径弦，弦长可以用勾股定理计算。
2. 切线（Tangent）：与圆相切的直线称为切线。
切线与半径垂直，即切线的斜率是半径的倒数的相反数。
六、圆的方程1. 圆的标准方程：(xh)²+ (yk)²= r²，其中(h, k)是圆心的坐标，r是半径。
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〖圆的定义〗几何说：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。
定点称为圆心，定长称为半径。
轨迹说：平面上一动点以一定点为中心，一定长为距离运动一周的轨迹称为圆周，简称圆。
集合说：到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆。
〖圆的相关量〗圆周率：圆周长度与圆的直径长度的比叫做圆周率，值是3.14159265358979323846…，通常用π表示，计算中常取3.1416为它的近似值。
圆弧和弦：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。
大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧。
连接圆上任意两点的线段叫做弦。
经过圆心的弦叫做直径。
圆心角和圆周角：顶点在圆心上的角叫做圆心角。
顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角。
内心和外心：过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，其圆心叫做三角形的外心。
和三角形三边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆，其圆心称为内心。
扇形：在圆上，由两条半径和一段弧围成的图形叫做扇形。
圆锥侧面展开图是一个扇形。
这个扇形的半径成为圆锥的母线。
〖圆和圆的相关量字母表示方法〗圆—⊙半径—r 弧—⌒直径—d扇形弧长／圆锥母线—l 周长—C 面积—S〖圆和其他图形的位置关系〗圆和点的位置关系：以点P与圆O的为例（设P是一点，则PO是点到圆心的距离），P在⊙O外，PO＞r；P在⊙O上，PO＝r；P在⊙O内，PO＜r。
直线与圆有3种位置关系：无公共点为相离；有两个公共点为相交；圆与直线有唯一公共点为相切，这条直线叫做圆的切线，这个唯一的公共点叫做切点。
以直线AB与圆O为例（设OP⊥AB于P，则PO是AB到圆心的距离）：AB与⊙O相离，PO＞r；AB与⊙O相切，PO＝r；AB与⊙O相交，PO＜r。
两圆之间有5种位置关系：无公共点的，一圆在另一圆之外叫外离，在之内叫内含；有唯一公共点的，一圆在另一圆之外叫外切，在之内叫内切；有两个公共点的叫相交。
两圆圆心之间的距离叫做圆心距。
两圆的半径分别为R和r，且R≥r，圆心距为P：外离P＞R+r；外切P=R+r；相交R-r＜P＜R+r；内切P=R-r；内含P＜R-r。
【圆的平面几何性质和定理】〖有关圆的基本性质与定理〗圆的确定：不在同一直线上的三个点确定一个圆。
圆的对称性质：圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线。
圆也是中心对称图形，其对称中心是圆心。
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。
逆定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧。
〖有关圆周角和圆心角的性质和定理〗在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两个圆周角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那么他们所对应的其余各组量都分别相等。
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
直径所对的圆周角是直角。
90度的圆周角所对的弦是直径。
〖有关外接圆和内切圆的性质和定理〗一个三角形有唯一确定的外接圆和内切圆。
外接圆圆心是三角形各边垂直平分线的交点，到三角形三个顶点距离相等；内切圆的圆心是三角形各内角平分线的交点，到三角形三边距离相等。
〖有关切线的性质和定理〗圆的切线垂直于过切点的直径；经过直径的一端，并且垂直于这条直径的直线，是这个圆的切线。
切线判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
切线的性质：（1）经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线。
（2）经过切点垂直于切线的直线必经过圆心。
（3）圆的切线垂直于经过切点的半径。
切线的长定理：从圆外一点到圆的两条切线的长相等。
〖有关圆的计算公式〗1.圆的周长C=2πr=πd2.圆的面积S=πr23.扇形弧长l=nπr/1804.扇形面积S=nπr2/360=rl/25.圆锥侧面积S=πrl弦切角定义顶点在圆上，一边和圆相交，另图示一边和圆相切的角叫做弦切角。
如右图所示，直线PT切圆O于点C，BC、AC为圆O的弦，则有∠PCA=∠PBC(∠PCA为弦切角）。
弦切角定理弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半. (弦切角就是切线与弦所夹的角）弦切角定理证明：证明一：设圆心为O，连接OC，OB,连接BA并延长交直线T于点P。
∵∠TCB=90-∠OCB∵∠BOC=180-2∠OCB此图证明的是弦切角∠TCB∴,∠BOC=2∠TCA（定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半）∵∠BOC=2∠CAB（圆心角等于圆周角的两倍）∴∠TCA=∠CAB（定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆周角）证明已知：AC是⊙O的弦，AB是⊙O的切线，A为切点，弧是弦切角∠BAC所夹的弧.求证：（弦切角定理）证明：分三种情况：（1）圆心O在∠BAC的一边AC上∵AC为直径，AB切⊙O于A，∴弧CmA=弧CA∵为半圆,∴∠CAB=90=弦CA所对的圆周角B点应在A点左侧（2）圆心O在∠BAC的内部.过A作直径AD交⊙O于D,若在优弧m所对的劣弧上有一点E那么，连接EC、ED、EA则有：∠CED=∠CAD、∠DEA=∠DAB∴∠CEA=∠CAB∴（弦切角定理）（3）圆心O在∠BAC的外部,过A作直径AD交⊙O于D那么∠CDA+∠CAD=∠CAB+∠CAD=90∴∠CDA=∠CAB∴（弦切角定理）弦切角推论:若两弦切角所夹的弧相等，则这两个弦切角也相等举例: 例1：如图，在中，∠C=90，以AB为弦的⊙O与AC相切于点A，∠CBA=60° , AB=a 求BC长.解：连结OA，OB.∵在中, ∠C=90∴∠BAC=30°∴BC=1/2a(ＲＴ△中30°角所对边等于斜边的一半）例1：如图，在中，∠C=90，以AB为弦的⊙O与AC相切于点A，∠CBA=60° , AB=a 求BC长.解：连结OA，OB.∵在中, ∠C=90∴∠BAC=30°∴BC=1/2a(ＲＴ△中30°角所对边等于斜边的一半）例2：如图，AD是ΔABC中∠BAC的平分线，经过点A的⊙O与BC切于点D，与AB，AC分别相交于E，F.求证：EF∥BC.证明：连DF.AD是∠BAC的平分线∠BAD=∠DAC∠EFD=∠BAD∠EFD=∠DAC⊙O切BC于D ∠FDC=∠DAC∠EFD=∠FDCEF∥BC例3：如图，ΔABC内接于⊙O，AB是⊙O直径，CD⊥AB于D，MN切⊙O于C，求证：AC平分∠MCD，BC平分∠NCD.证明：∵AB是⊙O直径∴∠ACB=90∵CD⊥AB∴∠ACD=∠B，∵MN切⊙O于C∴∠MCA=∠B，∴∠MCA=∠ACD，即AC平分∠MCD，同理：BC平分∠NCD.切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角。
如图中，切线长AC=AB。
∵∠ABO=∠ACO=90°BO=CO=半径AO=AO公共边∴RtΔABO≌RtΔACO（H.L）∴AB=AC∠AOB=∠AOC∠OAB=∠OAC切线长定理推论：圆的外接四边形的两组对边的和相等切线长的概念．如图，P是⊙O外一点，PA，PB是⊙O的两条切线，我们把线段PA，PB叫做点P到⊙O的切线长．引导学生理解：切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量.切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．推广：连接BC，BC⊥AO相交弦定理圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。
（经过圆内一点引两条线，各弦被这点所分成的两段的积相等）相交弦说明几何语言：若弦AB、CD交于点P则PA·PB=PC·PD（相交弦定理）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项几何语言：若AB是直径，CD垂直AB于点P，则PC^2=PA·PB（相交弦定理推论）编辑本段如何证明证明：连结AC，BD，由圆周角定理的推论，得∠A＝∠D，∠C＝∠B。
（圆周角推论2: 同(等)弧所对圆周角相等.）∴△PAC∽△PDB，∴PA∶PD＝PC∶PB，PA·PB ＝PC·PD注：其逆定理可作为证明圆的内接三角形的方法. P点若选在圆内任意一点更具一般性。
切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
是圆幂定理的一种。
几何语言：∵PT切⊙O于点T，PBA是⊙O的割线∴PT的平方=PA·PB（切割线定理）推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等几何语言：∵PBA，PDC是⊙O的割线∴PD·PC=PA·PB（切割线定理推论）(割线定理）由上可知:PT的平方=PA·PB=PC·PD证明切割线定理证明:设ABP是⊙O的一条割线，PT是⊙O的一条切线，切点为T，则PT²=PA·PB 证明：连接AT, BT∵∠PTB=∠PAT(弦切角定理)∠P=∠P(公共角)∴△PBT∽△PTA(两角对应相等,两三角形相似)则PB：PT=PT：AP即：PT²=PB·PA相交弦定理圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。
（经过圆内一点引两条线，各弦被这点所分成的两段的积相等）相交弦说明几何语言：若弦AB、CD交于点P则PA·PB=PC·PD（相交弦定理）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项几何语言：若AB是直径，CD垂直AB于点P，则PC^2=PA·PB（相交弦定理推论）如何证明证明：连结AC，BD，由圆周角定理的推论，得∠A＝∠D，∠C＝∠B。
（圆周角推论2: 同(等)弧所对圆周角相等.）∴△PAC∽△PDB，∴PA∶PD＝PC∶PB，PA·PB ＝PC·PD注：其逆定理可作为证明圆的内接三角形的方法. P点若选在圆内任意一点更具一般性。
从圆外一点P引两条割线证明：如图直线ABP和CDP是自点P引的⊙O的两条割线，则PA·PB=PC·PD 证明:连接AD、BC∵∠A和∠C都对弧BD∴由圆周角定理，得∠A=∠C又∵∠APD=∠CPB∴△ADP∽△CBP∴AP:CP=DP:BP, 也就是AP·BP=CP·DP101圆是定点的距离等于定长的点的集合102圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合103圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合104同圆或等圆的半径相等105到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆106和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是着条线段的垂直平分线107到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线108到两条平行线距离相等的点的轨迹，是和这两条平行线平行且距离相等的一条直线109定理不在同一直线上的三点确定一个圆。