圆的知识点概念公式大全
圆的知识点概念公式大全
一．圆的定义
1．在一个平面内,线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周,另一个端点A所形成的图形叫圆．这个固定的端点O叫做圆心,线段OA叫做半径．以O点为圆心的圆记作⊙O,读作圆O．
2．圆是在一个平面内,所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形．
3．确定圆的条件：⑴圆心；⑵半径,其中圆心确定圆的位置,半径长确定圆的大小．
二．同圆、同心圆、等圆
1．圆心相同且半径相等的圆叫做同圆；
2．圆心相同,半径不相等的两个圆叫做同心圆；
3．半径相等的圆叫做等圆．
三．弦和弧
1．连结圆上任意两点的线段叫做弦．经过圆心的弦叫做直径,并且直径是同一圆中最长的弦,直径等于半径的2倍．
2．圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧．以A B
、为端点的弧记作AB,读作弧AB．在同圆或等圆中,能够重合的弧叫做等弧．
3．圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧,每一条弧都叫做半圆．在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧,小于半圆的弧叫做劣弧．
4．从圆心到弦的距离叫做弦心距．
5．由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形．
四．与圆有关的角及相关定理
1．顶点在圆心的角叫做圆心角．将整个圆分为360等份,每一份的弧对应1︒的圆心角,我们也称这样的弧为1︒的弧．圆心角的度数和它所对的弧的度数相等．
2．顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角叫做圆周角．
圆周角定理：在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半．
推论1：在同圆或等圆中,如果两个圆周角相等,它们所对的弧一定相等．
推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角,90 的圆周角所对的弦是直径．
在同圆中,半弧所对的圆心角等于全弧所对的圆周角
3．顶点在圆内,两边与圆相交的角叫圆内角．
圆内角定理：圆内角的度数等于圆内角所对的两条弧的度数和的一半．
4．顶点在圆外,两边与圆相交的角叫圆外角．
圆外角定理：圆外角的度数等于圆外角所对的长弧的度数与短弧的度数的差的一半．
5．圆内接四边形的对角互补,一个外角等于其内对角．
6．如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形．
7．圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理：在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等,所对的弦的弦心距相等．
推论：在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量分别相等．
五．垂径定理
1．垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧．
平分弦不是直径的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧；
2．其它正确结论：
⑴弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧；
⑵平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧．
⑶圆的两条平行弦所夹的弧相等．
3．知二推三：
⑴直径或半径；⑵垂直弦；⑶平分弦；⑷平分劣弧；⑸平分优弧．
以上五个条件知二推三．注意：在由⑴⑶推⑵⑷⑸时,要注意平分的弦非直径． 4．常见辅助线做法：
⑴过圆心,作垂线,连半径,造RT △,用勾股,求长度； ⑵有弧中点,连中点和圆心,得垂直平分．
相关题目：
1．平面内有一点到圆上的最大距离是6,最小距离是2,求该圆的半径
2．08郴州已知在O ⊙中,半径5r =,AB CD ，是两条平行弦,且86AB CD ==，,则弦
AC 的长为__________．
． 六．点与圆的位置关系 1．点与圆的位置有三种：
⑴点在圆外⇔d r >；⑵点在圆上⇔d r =；⑶点在圆内⇔d r <. 如下表所示：
2．过已知点作圆
⑴经过点A 的圆：以点A 以外的任意一点O 为圆心,以OA 的长为半径,即可作出过点A 的圆,这样的圆有无数个．
⑵经过两点A B 、的圆：以线段AB 中垂线上任意一点O 作为圆心,以OA 的长为半径,即可作出过点A B 、的圆,这样的圆也有无数个．
⑶过三点的圆：若这三点A B C 、、共线时,过三点的圆不存在；若A B C 、、三点不共线时,圆心是线段AB 与BC 的中垂线的交点,而这个交点O 是唯一存在的,这样的圆有唯一一个．
⑷过n ()4n ≥个点的圆：只可以作0个或1个,当只可作一个时,其圆心是其中不共线三点确定的圆的圆心．
3．定理：不在同一直线上的三点确定一个圆．
注意：⑴“不在同一直线上”这个条件不可忽视,换句话说,在同一直线上的三点
不能作圆；
⑵“确定”一词的含义是“有且只有”,即“唯一存在”．
4．三角形的外接圆
⑴经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆,外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点,叫做三角形的外心,这个三角形叫做这个圆的内接三角形． ⑵三角形外心的性质：
①三角形的外心是指外接圆的圆心,它是三角形三边垂直平分线的交点,它到三角形各顶点的距离相等；
②三角形的外接圆有且只有一个,即对于给定的三角形,其外心是唯一的,但一个圆的内接三角形却有无数个,这些三角形的外心重合.
⑶锐角三角形外接圆的圆心在它的内部如图1；直角三角形外接圆的圆心在斜边中点
处即直角三角形外接圆半径等于斜边的一半,如图2；钝角三角形外接圆的圆心在 它的外部如图3.
图3
图2图1
C
B
C
C
五．直线和圆的位置关系的定义、性质及判定
设O
⊙的半径为r,圆心O到直线l的距离为d,则直线和圆的位置关系如下表：
从另一个角度,直线和圆的位置关系还可以如下表示：
四．切线的性质及判定
1. 切线的性质：
定理：圆的切线垂直于过切点的半径．
推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．
推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．
2. 切线的判定
定义法：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线； 距离法：和圆心距离等于半径的直线是圆的切线；
定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 3. 切线长和切线长定理：
⑴ 在经过圆外一点的圆的切线上,这点和切点之间的线段的长,叫做这点到圆的切线长．
⑵ 从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,圆心和这一点的连线平分两条
切线的夹角．
五．三角形内切圆
1. 定义：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆,内切圆的圆心叫做三角形的
内心,
这个三角形叫做圆的外切三角形．
2. 多边形内切圆：和多边形的各边都相切的圆叫做多边形的内切圆,该多边形叫做圆
的外切多边形．
六．圆和圆的位置关系的定义、性质及判定
设12O O 、⊙⊙的半径分别为R r 、其中R r >,两圆圆心距为d ,则两圆位置关系如下表：
位置关
系
图形
定义
性质及判定
外离
两个圆没有公共点,并且每个圆上的点都在另一个圆的外部．
d R r >+⇔两圆外离
外切
两个圆有唯一公共点,并且除了这个公共点之外,每个圆上的点都在另一个圆的外部．
d R r =+⇔两圆外
切
相交
两个圆有两个公共点．
R r d R r -<<+⇔两
圆相交
内切两个圆有唯一公共点,并且
除了这个公共点之外,一个
圆上的点都在另一个圆的内
部．
d R r
=-⇔两圆内
切
内含两个圆没有公共点,并且一
个圆上的点都在另一个圆的
内部,两圆同心是两圆内含
的一种特例．
0d R r
≤<-⇔两圆
内含
说明：圆和圆的位置关系,又可分为三大类：相离、相切、相交,其中相离两圆没有公共点,它包括外离与内含两种情况；相切两圆只有一个公共点,它包括内切与外切两种情况．
七．正多边形与圆
1. 正多边形的定义：各条边相等,并且各个内角也都相等的多边形叫做正多边形．
2. 正多边形的相关概念：
⑴正多边形的中心：正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心．
⑵正多边形的半径：正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径．
⑶正多边形的中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．
⑷正多边形的边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．
3. 正多边形的性质：
⑴正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形；
⑵正多边形都是轴对称图形,正n边形共有n条通过正n边形中心的对称轴；
⑶偶数条边的正多边形既是轴对称图形,也是中心对称图形,其中心就是对称中心．
八、圆中计算的相关公式
设O
⊙的半径为R,n︒圆心角所对弧长为l,
1. 弧长公式：π180
n R
l =
2. 扇形面积公式：21π3602
n S R lR =
=扇形 3. 圆柱体表面积公式：22π2πS R Rh =+ 4. 圆锥体表面积公式：2ππS R Rl =+l 为母线 常见组合图形的周长、面积的几种常见方法： ① 公式法；② 割补法；③ 拼凑法；④ 等积变换法
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圆的知识点概念公式大全 一．圆的定义 1．在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫圆．这个固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以O点为圆心的圆记作⊙O，读作圆O． 2．圆是在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形． 3．确定圆的条件：⑴圆心；⑵半径，其中圆心确定圆的位置，半径长确定圆的大小． 二．同圆、同心圆、等圆 1．圆心相同且半径相等的圆叫做同圆； 2．圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆； 3．半径相等的圆叫做等圆． 三．弦和弧 1．连结圆上任意两点的线段叫做弦．经过圆心的弦叫做直径，并且直径是同一圆中最长的弦，直径等于半径的2倍． 2．圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以A B 、为端点的弧记作?AB，读作弧AB． 在同圆或等圆中，能够重合的弧叫做等弧． 3．圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧． 4．从圆心到弦的距离叫做弦心距． 5．由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形． 四．与圆有关的角及相关定理 1．顶点在圆心的角叫做圆心角．将整个圆分为360等份，每一份的弧对应1?的圆心角，我们也称这样的弧为1?的弧．圆心角的度数和它所对的弧的度数相等．
2．顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角． 圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 推论1：在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等． 推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90 的圆周角所对的弦是直径． （在同圆中，半弧所对的圆心角等于全弧所对的圆周角） 3．顶点在圆内，两边与圆相交的角叫圆内角． 圆内角定理：圆内角的度数等于圆内角所对的两条弧的度数和的一半． 4．顶点在圆外，两边与圆相交的角叫圆外角． 圆外角定理：圆外角的度数等于圆外角所对的长弧的度数与短弧的度数的差的一半． 5．圆内接四边形的对角互补，一个外角等于其内对角． 6．如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形． 7．圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等． 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等． 五．垂径定理 1．垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； 2．其它正确结论： ⑴弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； ⑵平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧． ⑶圆的两条平行弦所夹的弧相等．
圆的基本知识点总结和公式
圆的基本知识点总结和公式圆是平面几何中最基本的几何图形之一。它是由一个平面上距离固定点相等的点构成的集合。本文将概述圆的基本定义、性质和公式，以及它在现实生活中的应用。 一、基本定义 圆被定义为距离中心点固定距离的所有点的集合。距离被称为半径（r），中心点被称为圆心（O）。用符号表示圆。 二、圆的性质 1.直径 直径（d）是连接圆上两个相对点的线段，通过圆心。它是半径的两倍，即d=2r。 2.周长
周长（C）是圆上所有点到圆心的距离之和。圆的周长公式是 C=2πr，其中π（pi）表示一个圆的周长和直径之比，大约为3.14。 3.面积 圆的面积（A）是圆内部的所有点的面积的总和，公式是 A=πr²。 4.弧 弧是圆上两个点之间的一段曲线。圆的周长可以看作是一个完 整的弧的长度。 5.扇形 扇形是由圆心和两个相邻半径之间的弧形区域组成的图形。圆 的面积可以分解为若干个扇形的面积之和。 6.切线
切线是从圆外一点画出的一条直线，它与圆相切于圆上一个点处。切线与半径的长度相等。 7.圆弦 圆弦是连接圆上两个点的线段。如果一条弦穿过圆心，则被称为直径。 三、现实应用 在现实生活中，圆形图案经常出现。圆形的形状使得它非常适合用于实现运动和旋转。以下是一些示例。 1. 轮胎 轮胎是由圆形轮辋和圆形轮胎组成的。轮胎的圆形轮廓使它可以在任何方向上旋转。 2. 模拟器
游戏、飞行和汽车模拟器通常都有一个圆形的控制器。圆形的 形状使其易于操纵，可以随意改变方向。 3. 平盘秤 平盘秤是一种由两个圆形盘组成的手持秤，遵循平衡原则。当 需要测量重量时，将物品放在一个盘子上，然后向另一个盘子上 添加重量，直到两个盘子保持平衡。 4. 平面旋转 圆形的形状也使得它非常适合在一个平面上做旋转运动。这个 概念被广泛应用于机械和电子工程，如发动机和电机。 四、结论 在我们的日常生活中，圆形图案似乎无处不在。可以想象一下，如果没有圆形，我们的许多设备和工具将无法如此有效地运作。 与其他几何形状相比，圆形的形状会导致许多有趣的性质和应用。掌握圆的基础知识对于数学和工程学科的学生非常重要。
圆的知识点总结(史上最全的)
A 圆的总结 集合： 圆：圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合； 圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合； 圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合 轨迹： 1、到定点的距离等于定长的点的轨迹是：以定点为圆心，定长为半径的圆； 2、到线段两端点距离相等的点的轨迹是：线段的中垂线； 3、到角两边距离相等的点的轨迹是：角的平分线； 4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线； 5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线 点与圆的位置关系: 点在圆内 d
图4 图5 直线与圆相离 d>r 无交点 直线与圆相切 d=r 有一个交点 直线与圆相交 d D B （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； （3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即： ①AB 是直径 ②AB ⊥CD ③CE=DE ④ ⑤ 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 即：在⊙O 中，∵AB ∥CD 圆心角定理 圆周角定理 圆周角定理：同一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半 即：∵∠AOB 和∠ACB 是 所对的圆心角和圆周角 ∴∠AOB=2∠ACB BC BD =AC AD = 圆的相关知识点 1、圆心：圆中心一点叫做圆心。用字母“O"来表示。 半径：连接圆心和圆上任意一点的线段叫做半径，用字母“r"来表示.画圆时，圆规两脚间的距离就是半径. 直径：通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径，用字母“d”表示。直径是圆中最长的线段。 2．圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。圆是轴对称图形，直径所在的直线是圆的对称轴。 3．在同一个圆内，所有的半径都相等,所有的直径都相等。在同一个圆内，有无数条半径，有无数条直径。在同一个圆内，直径的长度是半径的2倍，半径的长度是直径的一半。用字母表示为:d＝２r r ＝d÷2 4、正方形中画最大的圆：先画正方形的两条对角线,交点就是圆心,再以边长的一半作半径画圆.边长也就是圆的直径。 5、圆中画最大的正方形：先画两条互相垂直的直径，直径和圆相交的四个点连接起来就成了一个圆。在长方形中画最大的圆，宽就是圆的直径。 6、扇形：由两条半径和一段弧围成的图形就是扇形.顶点在圆心的角是圆心角。圆上两点间的一段叫弧。 7、在同一个圆中,扇形的大小与圆心角的大小有关.在不同的圆中，扇形的大小与圆心角的大小和半径的长短有关。 8．圆的周长：围成圆的曲线的长度叫做圆的周长。圆的周长总是 直径的3倍多一些，这个比值是一个固定的数.我们把圆的周长和直径的比值叫做圆周率，用字母π表示。圆周率是一个无限不循环小数.在计算时，π取3。14。世界上第一个把圆周率算出来的人是我国的数学家祖冲之.周长是直径的π倍，是半径的2π倍。 6．圆的周长公式：C=πd 或C=2πr 周长等于直径乘π，等于半径乘2π。直径等于周长除以π，或等于半径乘2，半径等于周长除以π再除以2，或等于直径除以2。 圆的直径、半径扩大或缩小几倍,周长也扩大或缩小相同的倍数，周长、直径、半径间的变化相同。两个圆的直径、半径和周长之间的倍数关系完全相同。 7、圆的面积：圆所占平面的大小叫圆的面积. 8．把一个圆割拼成一个近似的长方形,割拼成的长方形的长相当于圆周长的一半，宽相当于圆的半径，因为长方形面积=长×宽，所以圆的面积= πr×r＝πｒ²，要求圆的面积必须知道圆的半径（或知道半径的平方）。 9．圆的面积公式：Ｓ＝πｒ²或者S=π（d÷2）²,或者S=π(C÷π÷2)² 两个圆如果直径、半径、周长或面积其中一项相等,则其余几项也都相等. 10．在一个正方形里画一个最大的圆（外方内圆），圆的直径等于正方形的边长。圆的面积是正方形面积的是π/4。 在一个圆里画一个最大正方形(外圆内方),圆的直径的长度等于正 圆的知识点概念公式大全 圆是数学中的一个基本几何图形，是由平面上与一个定点距离相等的 所有点组成的集合。在这里，我们将介绍圆的一些基本概念、公式和性质。 1.圆的定义： 圆是平面上到一个固定点距离相等的所有点的集合。这个固定点叫做 圆心，到圆心的距离叫做半径。 2.圆的元素： 一个完整的圆主要由以下几个元素组成： -圆心：圆心是圆的中心点，通常用大写字母O表示。 -半径：半径是从圆心到圆上的任意一点的距离，通常用小写字母r 表示。 -直径：直径是通过圆心的一条线段，它的两个端点都在圆上，直径 的长度是半径的两倍。 -弦：弦是通过圆上的两点，它的两个端点都在圆上。 -弧：弧是通过圆上的两点，它的两个端点都在圆上，但是弧的长度 小于整个圆的周长。 3.圆的周长和面积： -面积：圆的面积是圆内部的所有点组成的面积，它的公式是A=πr²。 4.圆的弧长和扇形面积： -弧长：弧长是弧上的一段线段的长度。如果圆的半径是r，弧长是s，弧度数是θ，则弧长的公式是s=rθ，其中θ以弧度为单位。 -扇形面积：扇形是圆上的一段弧和两个半径组成的图形。扇形的面 积是扇形所占的圆的面积的比例，它的公式是A=(θ/360°)⋅πr²。 5.圆的性质： -圆的直径是圆的一条最长的弦，它的长度是半径的两倍。 -圆上的任意两条弦的长度之积等于这两条弦所各自对应的两个弧的 长度之积。 -圆的半径垂直于半径所在的弦。 -圆的内接四边形的内角和为360°，而外接四边形的内角和为180°。 这些是一些基本的关于圆的知识点、概念和公式。理解了这些基本概 念和公式，可以帮助我们解决与圆相关的数学问题，并应用于实际的计算 和测量中。当然，关于圆还有更多的深入知识和性质，如切线、余切线、 弧度等。如果想要更深入地学习圆的话，可以进一步研究这些内容。 《圆》数学知识点归纳总结 《圆》数学知识点归纳总结 在我们平凡的学生生涯里，是不是经常追着老师要知识点？知识点就是学习的重点。为了帮助大家掌握重要知识点，下面是小编为大家整理的《圆》数学知识点归纳总结，仅供参考，大家一起来看看吧。《圆》数学知识点归纳总结篇1 一、认识圆 1、圆的定义：圆是由曲线围成的一种平面图形。 2、圆心：将一张圆形纸片对折两次，折痕相交于圆中心的一点，这一点叫做圆心。 一般用字母O表示。它到圆上任意一点的距离都相等. 3、半径：连接圆心到圆上任意一点的线段叫做半径。一般用字母r表示。 把圆规两脚分开，两脚之间的距离就是圆的半径。 4、直径：通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。一般用字母d表示。 直径是一个圆内最长的线段。 5、圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。 6、在同圆或等圆内，有无数条半径，有无数条直径。所有的半径都相等，所有的直径都相等。 7.在同圆或等圆内，直径的长度是半径的2倍，半径的长度是直径的。 用字母表示为：d=2r或r= 8、轴对称图形： 如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形是轴对称图形。 折痕所在的这条直线叫做对称轴。(经过圆心的任意一条直线或直径所在的直线) 9、长方形、正方形和圆都是对称图形，都有对称轴。这些图形都 是轴对称图形。 10、只有1一条对称轴的图形有：角、等腰三角形、等腰梯形、扇形、半圆。 只有2条对称轴的图形是：长方形 只有3条对称轴的图形是：等边三角形 只有4条对称轴的图形是：正方形; 有无数条对称轴的图形是：圆、圆环。 二、圆的周长 1、圆的周长：围成圆的曲线的长度叫做圆的周长。用字母C表示。 2、圆周率实验： 在圆形纸片上做个记号，与直尺0刻度对齐，在直尺上滚动一周，求出圆的周长。 发现一般规律，就是圆周长与它直径的比值是一个固定数(π)。 3.圆周率：任意一个圆的周长与它的直径的比值是一个固定的数，我们把它叫做圆周率。 用字母π(pai)表示。 (1)、一个圆的周长总是它直径的3倍多一些，这个比值是一个固定的数。 圆周率π是一个无限不循环小数。在计算时，一般取π≈3.14。 (2)、在判断时，圆周长与它直径的比值是π倍，而不是3.14倍。 (3)、世界上第一个把圆周率算出来的人是我国的数学家祖冲之。 4、圆的周长公式：C=πdd=C÷π 或C=2πrr=C÷2π 5、在一个正方形里画一个最大的圆，圆的直径等于正方形的边长。 在一个长方形里画一个最大的圆，圆的直径等于长方形的宽。 6、区分周长的一半和半圆的周长： (1)周长的一半：等于圆的周长÷2计算方法：2πr÷2即πr (2)半圆的周长：等于圆的周长的一半加直径。计算方法：πr+2r 《圆》数学知识点归纳总结篇2 集合： 小学六年级数学《圆》知识点汇总 圆的认识 概念：圆是平面内封闭曲线围成的平面图形。 圆心：圆的中心点叫做圆心。圆心一般用字母表示。 （圆多次对折之后，折痕的相交于圆的中心即圆心。★圆心确定圆的位置★） 半径r：连接圆心到圆上任意一点的线段叫做半径。 （在同一个圆里，有无数条半径，且所有的半径都相等。★半径确定圆的大小★） 直径d：通过圆心且两端都在圆上的线段叫做直径。 （在同一个圆里，有无数条直径，且所有的直径都相等。★直径是圆内最长的线段★） 公式：d=2r或r=d÷2=d 圆的周长 概念：围成圆的曲线的长度叫做圆的周长。 圆的周长总是直径的三倍多一些。 圆周率：圆的周长与直径的比值是一个固定值，叫做圆周率，用字母π表示。π=周长÷直径≈314，所以，圆的周长=直径×圆周率 注：圆周率π是一个无限不循环小数，314是近似值。 周长公式：半圆周长=圆周长一半+直径=1/2×2πr=πr+d；周长公式：=πd,=2πr 圆的面积 概念：圆所占平面的大小叫圆的面积。 把一个圆沿直径等分成若干份，剪开拼成长方形，份数越多拼成的图像越接近长方形。圆与拼成的长方形有如下关系： 圆的半径=长方形的宽 圆的周长的一半=长方形的长 长方形面积=长×宽 圆的面积公式：圆的面积=圆的周长的一半×圆的半径，S圆=πd×rS圆=πr×r=πr2 如何画圆 用圆规画圆，把圆规的两脚分开，圆规两脚之间的距离是圆的半径。 画圆步骤：先确定半径、找一点作为圆心，旋转一周即可。 常用π的数据 π=3142π=6283π=9424π=126π=176π=1884 7π=21988π=2129π=282612π=31422π=12632π=2826 42π=0242π=7862π=1130472π=138682π=2009692π A 图4 图5 圆的总结 集合： 圆：圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合； 圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合； 圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合 轨迹： 1、到定点的距离等于定长的点的轨迹是：以定点为圆心，定长为半径的圆； 2、到线段两端点距离相等的点的轨迹是：线段的中垂线； 3、到角两边距离相等的点的轨迹是：角的平分线； 4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线； 5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线 点与圆的位置关系: 点在圆内 d 圆知识点汇总（一） 一、圆、垂径定理 1、圆的定义及表示法 （1）圆的定义1：在一个平面内，线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端 点A随之旋转所成的图形叫做圆。固定的端点O叫做圆心。线段OA叫做半径（如 图1-1）。 （2）圆的表示方法：以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”。 （3）圆的定义2：圆心为O，半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r的点组成的图形。（圆是一条闭合曲线，不包含中间的部分） 确定一个圆的要素是圆心和半径。 2、与圆有关的概念 （1）弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦。 （2）直径：经过圆心的弦是直径。注意：圆中有无数条弦，其中直径是圆中最长的弦。 （3）圆弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。 （4）半圆弧：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧叫做半圆。 （画图判断带弦的不叫弧，叫弓形） （5）优弧：大于半圆的弧叫做优弧。优弧CAB，记作“⌒ CAB”，如图1-2。 （6）劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧。劣弧表示时只需两个字母。 （7）弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形。 （8）同心圆：圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆。 （9）等圆：能够重合的两个圆叫做等圆。 （10）等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。 判断：长度相等的弧叫做等弧。（×） 3、圆的轴对称性 圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。 注意：（1）圆的对称轴有无数条。（2）错误说法：圆的对称轴是直径。因为直径是弦，弦是线段，所以直径是线段，而对称轴是直线。应该说“圆的对称轴是直径所在的直线”。 4、垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。 5、垂径定理的推论 （1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦并且平分弦所对的两条弧。 （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。 （3）平分弦所对的一条弧的直径，平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。 （4）在同圆中，圆的两条平行弦所夹的弧相等。如图1-3，⌒ AC= ⌒BD。 6、垂径定理的基本图形（如图1-4） 几何语言表述：①CD为直径 ②CD⊥AB ③AE=BE ④⌒ AC= ⌒ BC ⑤⌒ AD =⌒ BD 图 1-1 图1-2 A 图1-3 图1-4 第四章：《圆》 一、知识回顾 圆的周长： C=2πr或C=πd、圆的面积：S=πr² 圆环面积计算方法：S=πR²-πr²或S=π（R²—r²）(R是大圆半径,r是小圆半径) 二、知识要点 一、圆的概念 集合形式的概念: 1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合； 2、圆的外部:可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合; 3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合 轨迹形式的概念： 1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆； 固定的端点O为圆心.连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫直径.圆上任意两点之间的部分叫做圆弧，简称弧。 2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线； 3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线; 4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线； 5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。 二、点与圆的位置关系 1、点在圆内⇒d r <⇒点C在圆内； 2、点在圆上⇒d r =⇒点B在圆上; 3、点在圆外⇒d r >⇒点A在圆外; 三、直线与圆的位置关系 A 1、直线与圆相离⇒d r >⇒无交点； 2、直线与圆相切⇒d r =⇒有一个交点； 3、直线与圆相交⇒d r <⇒有两个交点; 四、圆与圆的位置关系 外离（图1）⇒无交点⇒d R r >+； 外切（图2)⇒有一个交点⇒d R r =+； 相交（图3)⇒有两个交点⇒R r d R r -<<+； 内切(图4）⇒有一个交点⇒d R r =-； 内含（图5）⇒无交点⇒d R r <-； 五、垂径定理 垂径定理:垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。 图4 图5 圆的所有知识点总结 1. 【高中数学有关圆的学问点、公式、解题方法什么的、拜托了】 （一）圆的标准方程1.圆的定义：平面内到肯定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆.定点叫圆的圆心，定长叫做圆的半径.2.圆的标准方程：已知圆心为（a,b），半径为r，则圆的方程为（x-a）2+(y-b)2=r2.说明：（1）上式称为圆的标准方程.（2）假如圆心在坐标原点，这时a=0,b=0，圆的方程就是x2+y2=r2.(3)圆的标准方程显示了圆心为（a,b），半径为r这一几何性质，即（x-a）2+(y-b)2=r2----圆心为（a,b），半径为r.(4)确定圆的条件由圆的标准方程知有三个参数a、b、r，只需求出a、b、r，这时圆的方程就被确定.因而，确定圆的方程，需三个独立的条件，其中圆心是圆的定位条件，半径是圆的定型条件.（5）点与圆的位置关系的判定若点M(x1,y1)在圆外，则点到圆心的距离大于圆的半径，即（x-a）2+(y-b)2>r2；若点M(x1,y1)在圆内，则点到圆心的距离小于圆的半径，即（x-a）2+(y-b)2r直线与圆相离；d=r直线与圆相切；0≤d。 2. 圆的基本性质求归纳 圆的学问重点圆虽然是最熟识的几何图形之一，但它有许多新的学问点，尤其是这里重要的学问点，都与前面的学问紧密联系着，解题时必需用到直线型中的定理、法则.因而，解题时先要由条件对图形有比较好的熟悉，再联想相关学问，分析隐会条件，将做题过程化解为若干小问题，逐一处理. 圆这章学问重点可以归纳为： 1、对 称性： a：圆的对称性，虽然其它一些图形也是有，但圆有很多条对称轴这个特性其它图形所没有的，垂径定理，切线长定理，及正n边形的计算都应用到了这个特性. b：旋转不变性，圆心角、弧、弦、弦心距关系，遇到有关圆习题，要抓住这个特性充分利用，很多问题可以找到解题思路. 2、三个角：圆心角、圆周角，以及圆内接四边形的外角（对角）这是在有关圆的问题中，找角相等必不行少的方法. 3、三个垂直：垂径定理，直径所对的圆周角，切线的性质它可以有效的把很多问题转化到直角三角形中，使问题得以处理. 4、四大关系：点与圆的位置关系，直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系，圆与正多边形的关系，把握切线的判定和性质以及有关计算是重点. 5、有关计算问题：有关线段的计算，正多边形的计算，有关扇形及阴影面积的计算，以及圆柱、圆锥侧面绽开图的计算. 6、圆中添帮助线一般方法：添与垂径定理相关的帮助线，添与切线有关的帮助线（制造直角的帮助线），添与圆内接四边形相关的帮助线；两圆相交时作公共弦，两圆相切时作分切线，总之添帮助线时，要构造和完善基本图形，切忌破坏图形的完整性.。 3. 圆的学问 〖几何中圆的定义〗圆几何说：平面上到定点的距离等于定长的全部点组成的图形叫做圆。 定点称为圆心，定长称为半径。轨迹说：平面上一动点以肯定点为中心，肯定长为距离运动一周的轨迹称为圆周，简称圆。 圆的相关知识点 圆是几何中的一种基本图形，它具有独特的性质和特征。下面将从圆的定义、圆的性质以及圆的应用等方面进行详细介绍和解析。 一、圆的定义 圆是平面上所有到圆心距离都相等的点的集合。其中，距离圆心最远的两个点之间的线段称为直径，直径的一半称为半径。圆的边界线叫做圆周，圆周上的任意两点和圆心之间的线段称为弦。 二、圆的性质 1. 圆的直径是圆周上的最长弦，且它等于两倍的半径。 2. 圆的任意弦都可以划分圆周上的两个弧，其中大弧的长度大于小弧的长度。 3. 圆的半径垂直于弦，且在弦的中点上。 4. 圆的半径相等的两个圆称为同心圆。 5. 圆的内切圆是与圆相切且在圆内部的圆，内切圆的半径小于外切圆的半径。 6. 圆的外切圆是与圆相切且在圆外部的圆，外切圆的半径大于内切圆的半径。 7. 圆的面积公式为πr²，其中π是一个无理数，约等于3.14159，r 是圆的半径。 8. 圆的周长公式为2πr，其中π是一个无理数，约等于3.14159，r 是圆的半径。 三、圆的应用 1. 圆在建筑设计中的应用：圆形的建筑物可以提供更好的空间利用率，例如圆形的剧场、体育馆等。此外，圆形的建筑物也具有良好的结构稳定性和美观性。 2. 圆在工程测量中的应用：测量圆形物体的直径、半径、周长和面积是工程测量中常见的任务，例如测量水管、轮胎等。 3. 圆在艺术设计中的应用：圆形是一种简洁、平衡和和谐的形状，因此在艺术设计中广泛应用，例如圆形的画作、雕塑等。 4. 圆在科学研究中的应用：圆形的运动轨迹在物理学、天文学等领域中有广泛的应用，例如行星公转、电子运动等。 5. 圆在日常生活中的应用：例如圆形的餐桌、饼干、车轮等都是我们日常生活中常见的圆形物体。 圆作为一种基本的几何图形，具有独特的性质和应用。了解圆的定义、性质和应用，有助于我们更好地理解和应用几何知识，提高问题解决能力和创新思维能力。无论是在工程领域、艺术领域还是日常生活中，圆都扮演着重要的角色，给我们的生活和工作带来了便利和美好。因此，熟练掌握圆的相关知识是我们学习和成长的重要一步。 圆的认识知识点总结 圆的定义： 圆是一种几何图形..当一条线段绕着它的一个端点在平面内旋转一周时;它的另一个端点的轨迹叫做圆.. 在一个个平面内;线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周;另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆;固定的端点O叫做圆心;线段OA叫做半径.. 相关定义: 1 在同一平面内;到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆..这个定点叫做圆的圆心..图形一周的长度;就是圆的周长.. 2 连接圆心和圆上的任意一点的线段叫做半径;字母表示为r.. 3 通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径;字母表示为d..直径所在的直线是圆的对称轴.. 4 连接圆上任意两点的线段叫做弦..最长的弦是直径;直径是过圆心的弦.. 5 圆上任意两点间的部分叫做圆弧;简称弧..大于半圆的弧称为优弧;优弧是用三个字母表示..小于半圆的弧称为劣弧;劣弧用两个字母表示..半圆既不是优弧;也不是劣弧..优弧是大于180度的弧;劣弧是小于180度的弧.. 6 由两条半径和一段弧围成的图形叫做扇形.. 7 由弦和它所对的一段弧围成的图形叫做弓形.. 8 顶点在圆心上的角叫做圆心角.. 9 顶点在圆周上;且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角.. 10 圆周长度与圆的直径长度的比值叫做圆周率..它是一个无限不循环小数;通常用π表示;π……在实际应用中;一般取π≈3.14.. 11圆周角等于相同弧所对的圆心角的一半.. 12 圆是一个正n边形n为无限大的正整数;边长无限接近0但不等于0.. 圆的集合定义： 圆是平面内到定点的距离等于定长的点的集合;其中定点是圆心;定长是半径.. 圆的字母表示： 以点O为圆心的圆记作“⊙O”;读作O”.. 圆—⊙； 半径—r或R在环形圆中外环半径表示的字母； 弧—⌒； 直径—d ； 扇形弧长—L ； 周长—C ； 面积—S.. 初中数学知识点——圆：圆的公式汇总 圆的定义 几何说：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。定点称为圆心，定长称为半径。 轨迹说：平面上一动点以一定点为中心，一定长为距离运动一周的轨迹称为圆周，简称圆。 集合说：到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆。 有关圆的计算公式 1.圆的周长C=2πr=πd 2.圆的面积S=πr2； 3.扇形弧长l=nπr/180 4.扇形面积S=nπr2；/360=rl/2 5.圆锥侧面积S=πrl 圆的相关量 圆周率：圆周长度与圆的直径长度的比叫做圆周率，值是3.1415926535897932384626433832795028841971693993751 058209749445923078164062862089986280348253421170679……， 通常用π表示，计算中常取3.14为它的近似值（但奥数常取3或3.1416）。 圆弧和弦：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧。连接圆上任意 两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径。 圆心角和圆周角：顶点在圆心上的角叫做圆心角。顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角。内心和外心：过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，其圆心叫做三角形的外心。和三角形三边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆，其圆心称为内心。 扇形：在圆上，由两条半径和一段弧围成的图形叫做扇形。圆锥侧面展开图是一个扇形。这个扇形的半径成为圆锥的母线。 圆和圆的相关量字母表示方法 圆—⊙；半径—r；弧—⌒；直径—d；扇形弧长／；圆锥母线—l；周长—C；面积—S 【圆和其他图形的位置关系】 圆和点的位置关系：以点P与圆O的为例（设P是一点，则PO是点到圆心的距离），P在⊙O外，PO＞r；P在⊙O上，PO ＝r；P在⊙O内，PO＜r。 直线与圆有3种位置关系： 无公共点为相离； 有两个公共点为相交； 圆与直线有唯一公共点为相切，这条直线叫做圆的切线，这个唯一的公共点叫做切点。 以直线AB与圆O为例（设OP⊥AB于P，则PO是AB到圆心 圆的总结 集合： 圆：圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合； 圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合； 圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合 轨迹： 1、到定点的距离等于定长的点的轨迹是：以定点为圆心，定长为半径的圆； 2、到线段两端点距离相等的点的轨迹是：线段的中垂线； 3、到角两边距离相等的点的轨迹是：角的平分线； 4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线； 5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线点与圆的位置关系: 点在圆内d 推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； （3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 以上共 4 个定理，简称 2 推3 定理：此定理中共 5 个结论中，只要知道其中 2 个即可推出其它 3 个结论，即： ①AB 是直径②AB ⊥CD ③CE=DE ④⑤ BC BD AC AD 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。即：在⊙O 中，∵AB ∥CD圆的知识点总结
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