2021年广东省广州市中考数学试卷(附答案详解)
2020年广东省广州市中考数学试卷(含解析)打印版
2020年广东省广州市中考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（3分）广州市作为国家公交都市建设示范城市，市内公共交通日均客运量已达15233000人次．将15233000用科学记数法表示应为（）A．152.33×105 B．15.233×106C．1.5233×107D．0.15233×1082．（3分）某校饭堂随机抽取了100名学生，对他们最喜欢的套餐种类进行问卷调查后（每人选一种），绘制了如图的条形统计图，根据图中的信息，学生最喜欢的套餐种类是（）A．套餐一B．套餐二C．套餐三D．套餐四3．（3分）下列运算正确的是（）A．+＝B．2×3＝6C．x5•x6＝x30D．（x2）5＝x104．（3分）△ABC中，点D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，连接DE．若∠C＝68°，则∠AED＝（）A．22°B．68°C．96°D．112°5．（3分）如图所示的圆锥，下列说法正确的是（）A．该圆锥的主视图是轴对称图形C．该圆锥的主视图既是轴对称图形，又是中心对称图形B．该圆锥的主视图是中心对称图形D．该圆锥的主视图既不是轴对称图形，又不是中心对称图形6．（3分）一次函数y＝﹣3x+1的图象过点（x1，y1），（x1+1，y2），（x1+2，y3），则（）A．y1＜y2＜y3B．y3＜y2＜y1C．y2＜y1＜y3D．y3＜y1＜y27．（3分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，cos A＝，以点B为圆心，r为半径作⊙B，当r＝3时，⊙B与AC的位置关系是（）A．相离B．相切C．相交D．无法确定8．（3分）往直径为52cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽AB＝48cm，则水的最大深度为（）A．8cm B．10cm C．16cm D．20cm9．（3分）直线y＝x+a不经过第二象限，则关于x的方程ax2+2x+1＝0实数解的个数是（）A．0个B．1个C．2个D．1个或2个10．（3分）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AB＝6，BC＝8，过点O作OE⊥AC，交AD 于点E，过点E作EF⊥BD，垂足为F，则OE+EF的值为（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分.）11．（3分）已知∠A＝100°，则∠A的补角等于°．12．（3分）化简：﹣＝．13．（3分）方程＝的解是．14．（3分）如图，点A的坐标为（1，3），点B在x轴上，把△OAB沿x轴向右平移到△ECD，若四边形ABDC的面积为9，则点C的坐标为．15．（3分）如图，正方形ABCD中，△ABC绕点A逆时针旋转到△AB'C，AB'，AC'分别交对角线BD于点E，F，若AE＝4，则EF•ED的值为．16．（3分）对某条线段的长度进行了3次测量，得到3个结果（单位：mm）9.9，10.1，10.0，若用a作为这条线段长度的近似值，当a＝mm 时，（a﹣9.9）2+（a﹣10.1）2+（a﹣10.0）2最小．对另一条线段的长度进行了n次测量，得到n个结果（单位：mm）x1，x2，…，x n，若用x作为这条线段长度的近似值，当x＝mm时，（x﹣x1）2+（x﹣x2）2+…+（x﹣x n）2最小．三、解答题（本大题共9小题，满分102分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（9分）解不等式组：．18．（9分）如图，AB＝AD，∠BAC＝∠DAC＝25°，∠D＝80°．求∠BCA的度数．19．（10分）已知反比例函数y＝的图象分别位于第二、第四象限，化简：﹣+．20．（10分）为了更好地解决养老问题，某服务中心引入优质社会资源为甲，乙两个社区共30名老人提供居家养老服务，收集得到这30名老人的年龄（单位：岁）如下：甲社区676873757678808283848585909295乙社区666972747578808185858889919698根据以上信息解答下列问题：（1）求甲社区老人年龄的中位数和众数；（2）现从两个社区年龄在70岁以下的4名老人中随机抽取2名了解居家养老服务情况，求这2名老人恰好来自同一个社区的概率．21．（12分）如图，平面直角坐标系xOy中，▱OABC的边OC在x轴上，对角线AC，OB交于点M，函数y＝（x＞0）的图象经过点A（3，4）和点M．（1）求k的值和点M的坐标；（2）求▱OABC的周长．22．（12分）粤港澳大湾区自动驾驶产业联盟积极推进自动驾驶出租车应用落地工作，无人化是自动驾驶的终极目标．某公交集团拟在今明两年共投资9000万元改装260辆无人驾驶出租车投放市场．今年每辆无人驾驶出租车的改装费用是50万元，预计明年每辆无人驾驶出租车的改装费用可下降50%．（1）求明年每辆无人驾驶出租车的预计改装费用是多少万元；（2）求明年改装的无人驾驶出租车是多少辆．23．（12分）如图，△ABD中，∠ABD＝∠ADB．（1）作点A关于BD的对称点C；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）所作的图中，连接BC，DC，连接AC，交BD于点O．①求证：四边形ABCD是菱形；②取BC的中点E，连接OE，若OE＝，BD＝10，求点E到AD的距离．24．（14分）如图，⊙O为等边△ABC的外接圆，半径为2，点D在劣弧上运动（不与点A，B重合），连接DA，DB，DC．（1）求证：DC是∠ADB的平分线；（2）四边形ADBC的面积S是线段DC的长x的函数吗？如果是，求出函数解析式；如果不是，请说明理由；（3）若点M，N分别在线段CA，CB上运动（不含端点），经过探究发现，点D运动到每一个确定的位置，△DMN的周长有最小值t，随着点D的运动，t的值会发生变化，求所有t值中的最大值．25．（14分）平面直角坐标系xOy中，抛物线G：y＝ax2+bx+c（0＜a＜12）过点A（1，c﹣5a），B（x1，3），C（x2，3）．顶点D不在第一象限，线段BC上有一点E，设△OBE的面积为S1，△OCE的面积为S2，S1＝S2+．（1）用含a的式子表示b；（2）求点E的坐标：（3）若直线DE与抛物线G的另一个交点F的横坐标为+3，求y＝ax2+bx+c在1＜x＜6时的取值范围（用含a的式子表示）．2020年广东省广州市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（3分）广州市作为国家公交都市建设示范城市，市内公共交通日均客运量已达15233000人次．将15233000用科学记数法表示应为（）A．152.33×105B．15.233×106C．1.5233×107D．0.15233×108【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n 是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：15233000＝1.5233×107，故选：C．2．（3分）某校饭堂随机抽取了100名学生，对他们最喜欢的套餐种类进行问卷调查后（每人选一种），绘制了如图的条形统计图，根据图中的信息，学生最喜欢的套餐种类是（）A．套餐一B．套餐二C．套餐三D．套餐四【分析】根据条形统计图得出即可．【解答】解：根据条形统计图可知：学生最喜欢的套餐种类是套餐一，故选：A．3．（3分）下列运算正确的是（）A．+＝B．2×3＝6C．x5•x6＝x30D．（x2）5＝x10【分析】各项计算得到结果，即可作出判断．【解答】解：A、原式为最简结果，不符合题意；B、原式＝6a，不符合题意；C、原式＝x11，不符合题意；D、原式＝x10，符合题意．故选：D．4．（3分）△ABC中，点D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，连接DE．若∠C＝68°，则∠AED＝（）A．22°B．68°C．96°D．112°【分析】根据三角形的中位线定理得到DE∥BC，根据平行线的性质即可求得∠AED＝∠C＝68°．【解答】解：∵点D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点，∴DE∥BC，∵∠C＝68°，∴∠AED＝∠C＝68°．故选：B．5．（3分）如图所示的圆锥，下列说法正确的是（）A．该圆锥的主视图是轴对称图形C．该圆锥的主视图既是轴对称图形，又是中心对称图形B．该圆锥的主视图是中心对称图形D．该圆锥的主视图既不是轴对称图形，又不是中心对称图形【分析】圆锥的主视图是等腰三角形，是轴对称图形，但不是中心对称图形，从而得出答案．【解答】解：圆锥的主视图是等腰三角形，是轴对称图形，但不是中心对称图形，故选：A．6．（3分）一次函数y＝﹣3x+1的图象过点（x1，y1），（x1+1，y2），（x1+2，y3），则（）A．y1＜y2＜y3B．y3＜y2＜y1C．y2＜y1＜y3D．y3＜y1＜y2【分析】先根据一次函数的解析式判断出函数的增减性，再根据x1＜x1+1＜x2+2即可得出结论．【解答】解：∵一次函数y＝﹣3x+1中，k＝﹣3＜0，∴y随着x的增大而减小．∵一次函数y＝﹣3x+1的图象过点（x1，y1），（x1+1，y2），（x1+2，y3），且x1＜x1+1＜x2+2，∴y3＜y2＜y1，故选：B．7．（3分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，cos A＝，以点B为圆心，r为半径作⊙B，当r＝3时，⊙B与AC的位置关系是（）A．相离B．相切C．相交D．无法确定【分析】根据三角函数的定义得到AC，根据勾股定理求得BC，和⊙B的半径比较即可．【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，cos A＝，∴＝＝，∴AC＝4，∴BC＝＝3，∵r＝3，∴⊙B与AC的位置关系是相切，故选：B．8．（3分）往直径为52cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽AB＝48cm，则水的最大深度为（）A．8cm B．10cm C．16cm D．20cm【分析】连接OB，过点O作OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，先由垂径定理求出BD的长，再根据勾股定理求出OD的长，进而可得出CD的长．【解答】解：连接OB，过点O作OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，如图所示：∵AB＝48，∴BD＝AB＝×48＝24，∵⊙O的直径为52，∴OB＝OC＝26，在Rt△OBD中，OD＝＝＝10，∴CD＝OC﹣OD＝26﹣10＝16（cm），故选：C．9．（3分）直线y＝x+a不经过第二象限，则关于x的方程ax2+2x+1＝0实数解的个数是（）A．0个B．1个C．2个D．1个或2个【分析】利用一次函数的性质得到a≤0，再判断△＝22﹣4a＞0，从而得到方程根的情况．【解答】解：∵直线y＝x+a不经过第二象限，∴a≤0，当a＝0时，关于x的方程ax2+2x+1＝0是一次方程，解为x＝﹣，当a＜0时，关于x的方程ax2+2x+1＝0是二次方程，∵△＝22﹣4a＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选：D．10．（3分）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AB＝6，BC＝8，过点O作OE⊥AC，交AD 于点E，过点E作EF⊥BD，垂足为F，则OE+EF的值为（）A．B．C．D．【分析】依据矩形的性质即可得到△AOD的面积为12，再根据S△AOD＝S△AOE+S△DOE，即可得到OE+EF 的值．【解答】解：∵AB＝6，BC＝8，∴矩形ABCD的面积为48，AO＝DO＝AC＝5，∵对角线AC，BD交于点O，∴△AOD的面积为12，∵EO⊥AO，EF⊥DO，∴S△AOD＝S△AOE+S△DOE，即12＝AO×EO+DO×EF，∴12＝×5×EO+×5×EF，∴5（EO+EF）＝24，∴EO+EF＝，故选：C．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分.）11．（3分）已知∠A＝100°，则∠A的补角等于80°．【分析】根据补角的概念求解可得．【解答】解：∵∠A＝100°，∴∠A的补角＝180°﹣100°＝80°．故答案为：80．12．（3分）化简：﹣＝．【分析】此题先把二次根式化简，再进行合并即可求出答案．【解答】解：﹣＝2＝．故填：．13．（3分）方程＝的解是x＝．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：方程＝，去分母得：2x＝3，解得：x＝，经检验x＝是分式方程的解．故答案为：x＝．14．（3分）如图，点A的坐标为（1，3），点B在x轴上，把△OAB沿x轴向右平移到△ECD，若四边形ABDC的面积为9，则点C的坐标为（4，3）．【分析】根据平移的性质得出四边形ABDC是平行四边形，从而得A和C的纵坐标相同，根据四边形ABDC的面积求得AC的长，即可求得C的坐标．【解答】解：∵把△OAB沿x轴向右平移到△ECD，∴四边形ABDC是平行四边形，∴AC＝BD，A和C的纵坐标相同，∵四边形ABDC的面积为9，点A的坐标为（1，3），∴3AC＝9，∴AC＝3，∴C（4，3），故答案为（4，3）．15．（3分）如图，正方形ABCD中，△ABC绕点A逆时针旋转到△AB'C，AB'，AC'分别交对角线BD于点E，F，若AE＝4，则EF•ED的值为16．【分析】根据正方形的性质得到∠BAC＝∠ADB＝45°，根据旋转的性质得到∠EAF＝∠BAC＝45°，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAC＝∠ADB＝45°，∵把△ABC绕点A逆时针旋转到△AB'C'，∴∠EAF＝∠BAC＝45°，∵∠AEF＝∠DEA，∴△AEF∽△DEA，∴＝，∴EF•ED＝AE2，∵AE＝4，∴EF•ED的值为16，故答案为：16．16．（3分）对某条线段的长度进行了3次测量，得到3个结果（单位：mm）9.9，10.1，10.0，若用a作为这条线段长度的近似值，当a＝10.0mm时，（a﹣9.9）2+（a﹣10.1）2+（a﹣10.0）2最小．对另一条线段的长度进行了n次测量，得到n个结果（单位：mm）x1，x2，…，x n，若用x作为这条线段长度的近似值，当x＝mm时，（x﹣x1）2+（x﹣x2）2+…+（x﹣x n）2最小．【分析】构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题．【解答】解：设y＝（a﹣9.9）2+（a﹣10.1）2+（a﹣10.0）2＝3a2﹣60.0a+300.02，∵a＝3＞0，∴当x ＝﹣＝10.0时，y有最小值，设w＝（x﹣x1）2+（x﹣x2）2+…+（x﹣x n）2＝nx2﹣2（x1+x2+…+x n）x+（x12+x22+…+x n2），∵n＞0，∴当x ＝﹣＝时，w有最小值．故答案为10.0，．三、解答题（本大题共9小题，满分102分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（9分）解不等式组：．【分析】根据不等式的性质求出两个不等式的解集，进而求出不等式组的解集即可．【解答】解：解不等式①得：x≥3，解不等式②得：x＞2，所以不等式组的解集为：x≥318．（9分）如图，AB＝AD，∠BAC＝∠DAC＝25°，∠D＝80°．求∠BCA的度数．【分析】运用SAS公理，证明△ABC≌△ADC，得到∠D＝∠B＝80°，再根据三角形内角和为180°即可解决问题．【解答】解：在△ABC与△ADC 中，，∴△ABC≌△ADC（SAS），∴∠D＝∠B＝80°，∴∠BCA＝180°﹣25°﹣80°＝75°．19．（10分）已知反比例函数y ＝的图象分别位于第二、第四象限，化简：﹣+．【分析】由反比例函数图象的性质可得k＜0，化简分式和二次根式，可求解．【解答】解：∵反比例函数y ＝的图象分别位于第二、第四象限，∴k＜0，∴k﹣1＜0，∴﹣+＝+＝k +4+＝k+4+|k﹣1|＝k+4﹣k+1＝5．20．（10分）为了更好地解决养老问题，某服务中心引入优质社会资源为甲，乙两个社区共30名老人提供居家养老服务，收集得到这30名老人的年龄（单位：岁）如下：甲社676873757678808283848585909295区乙社666972747578808185858889919698区根据以上信息解答下列问题：（1）求甲社区老人年龄的中位数和众数；（2）现从两个社区年龄在70岁以下的4名老人中随机抽取2名了解居家养老服务情况，求这2名老人恰好来自同一个社区的概率．【分析】（1）根据中位数、众数的意义和计算方法分别求出结果即可；（2）用列表法表示所有可能出现的结果情况，从而求出两人来自同一社区的概率．【解答】解：（1）甲社区：这15位老人年龄出现次数最多的是85岁，因此众数是85岁，从小到大排列处在中间位置的一个数是82岁，因此中位数是82岁；（2）年龄小于79岁甲社区2人，乙社区的有2人，从4人中任取2人，所有可能出现的结果如下：共有12种可能出现的结果，其中“同一个社区”的有4种，∴P（来自同一个社区）＝＝．21．（12分）如图，平面直角坐标系xOy中，▱OABC的边OC在x轴上，对角线AC，OB交于点M，函数y ＝（x＞0）的图象经过点A（3，4）和点M．（1）求k的值和点M的坐标；（2）求▱OABC的周长．【分析】（1）利用待定系数法求出k，再利用平行四边形的性质，推出AM＝CM，推出点M的纵坐标为2．（2）求出点C的坐标，求出OA，OC的长即可解决问题．【解答】解：（1）∵点A（3，4）在y＝上，∴k＝12，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AM＝MC，∴点M的纵坐标为2，∵点M在y＝上，∴M（6，2）．（2）∵AM＝MC，A（3，4），M（6，2）∴C（9，0），∴OC＝9，OA＝＝5，∴平行四边形ABCD的周长为2（5+9）＝28．22．（12分）粤港澳大湾区自动驾驶产业联盟积极推进自动驾驶出租车应用落地工作，无人化是自动驾驶的终极目标．某公交集团拟在今明两年共投资9000万元改装260辆无人驾驶出租车投放市场．今年每辆无人驾驶出租车的改装费用是50万元，预计明年每辆无人驾驶出租车的改装费用可下降50%．（1）求明年每辆无人驾驶出租车的预计改装费用是多少万元；（2）求明年改装的无人驾驶出租车是多少辆．【分析】（1）根据今年每辆无人驾驶出租车的改装费用是50万元，预计明年每辆无人驾驶出租车的改装费用可下降50%，列出算式即可求解；（2）根据“某公交集团拟在今明两年共投资9000万元改装260辆无人驾驶出租车投放市场”列出方程求解即可．【解答】解：（1）50×（1﹣50%）＝25（万元）．故明年每辆无人驾驶出租车的预计改装费用是25万元；（2）设明年改装的无人驾驶出租车是x辆，则今年改装的无人驾驶出租车是（260﹣x）辆，依题意有50（260﹣x）+25x＝9000，解得x＝160．故明年改装的无人驾驶出租车是160辆．23．（12分）如图，△ABD中，∠ABD＝∠ADB．（1）作点A关于BD的对称点C；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）所作的图中，连接BC，DC，连接AC，交BD于点O．①求证：四边形ABCD是菱形；②取BC的中点E，连接OE，若OE＝，BD＝10，求点E到AD的距离．【分析】（1）根据点关于直线的对称点的画法，过点A作BD的垂线段并延长一倍，得对称点C；（2）①根据菱形的判定即可求解；②过B点作BF⊥AD于F，根据菱形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，三角形面积公式即可求解．【解答】解：（1）如图所示：点C即为所求；（2）①证明：∵∠ABD＝∠ADB，∴AB＝AD，∵C是点A关于BD的对称点，∴CB＝AB，CD＝AD，∴AB＝BC＝CD＝AD，∴四边形ABCD是菱形；②过B点作BF⊥AD于F，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OB＝BD＝5，∵E是BC的中点，∴BC＝2OE＝13，∴OC＝＝12，∴OA＝12，∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝13，∴BF＝×12×5×2×2÷13＝，故点E到AD的距离是．24．（14分）如图，⊙O为等边△ABC的外接圆，半径为2，点D在劣弧上运动（不与点A，B重合），连接DA，DB，DC．（1）求证：DC是∠ADB的平分线；（2）四边形ADBC的面积S是线段DC的长x的函数吗？如果是，求出函数解析式；如果不是，请说明理由；（3）若点M，N分别在线段CA，CB上运动（不含端点），经过探究发现，点D运动到每一个确定的位置，△DMN的周长有最小值t，随着点D的运动，t的值会发生变化，求所有t值中的最大值．【分析】（1）由等边三角形的性质可得∠ABC＝∠BAC＝∠ACB＝60°，圆周角定理可得∠ADC＝∠BDC ＝60°，可得结论；（2）将△ADC绕点逆时针旋转60°，得到△BHC，可证△DCH是等边三角形，可得四边形ADBC的面积S＝S△ADC+S△BDC＝S△CDH＝CD2，即可求解；（3）作点D关于直线AC的对称点E，作点D关于直线BC的对称点F，由轴对称的性质可得EM＝DM，DN＝NF，可得△DMN的周长＝DM+DN+MN＝FN+EM+MN，则当点E，点M，点N，点F四点共线时，△DMN的周长有最小值，即最小值为EF＝t，由轴对称的性质可求CD＝CE＝CF，∠ECF＝120°，由等腰三角形的性质和直角三角形的性质可求EF＝2PE＝EC＝CD＝t，则当CD为直径时，t有最大值为4．【解答】证明：（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠BAC＝∠ACB＝60°，∵∠ADC＝∠ABC＝60°，∠BDC＝∠BAC＝60°，∴∠ADC＝∠BDC，∴DC是∠ADB的平分线；（2）四边形ADBC的面积S是线段DC的长x的函数，理由如下：如图1，将△ADC绕点逆时针旋转60°，得到△BHC，∴CD＝CH，∠DAC＝∠HBC，∵四边形ACBD是圆内接四边形，∴∠DAC+∠DBC＝180°，∴∠DBC+∠HBC＝180°，∴点D，点B，点H三点共线，∵DC＝CH，∠CDH＝60°，∴△DCH是等边三角形，∵四边形ADBC的面积S＝S△ADC+S△BDC＝S△CDH＝CD2，∴S＝x2；（3）如图2，作点D关于直线AC的对称点E，作点D关于直线BC的对称点F，∵点D，点E关于直线AC对称，∴EM＝DM，同理DN＝NF，∵△DMN的周长＝DM+DN+MN＝FN+EM+MN，∴当点E，点M，点N，点F四点共线时，△DMN的周长有最小值，则连接EF，交AC于M，交BC于N，连接CE，CF，DE，DF，∴△DMN的周长最小值为EF＝t，∵点D，点E关于直线AC对称，∴CE＝CD，∠ACE＝∠ACD，∵点D，点F关于直线BC对称，∴CF＝CD，∠DCB＝∠FCB，∴CD＝CE＝CF，∠ECF＝∠ACE+∠ACD+∠DCB+∠FCB＝2∠ACB＝120°，∵CP⊥EF，CE＝CF，∠ECF＝120°，∴EP＝PF，∠CEP＝30°，∴PC＝EC，PE＝PC＝EC，∴EF＝2PE＝EC＝CD＝t，∴当CD有最大值时，EF有最大值，即t有最大值，∵CD为⊙O的弦，∴CD为直径时，CD有最大值4，∴t的最大值为4．25．（14分）平面直角坐标系xOy中，抛物线G：y＝ax2+bx+c（0＜a＜12）过点A（1，c﹣5a），B（x1，3），C（x2，3）．顶点D不在第一象限，线段BC上有一点E，设△OBE的面积为S1，△OCE的面积为S2，S1＝S2+．（1）用含a的式子表示b；（2）求点E的坐标：（3）若直线DE与抛物线G的另一个交点F的横坐标为+3，求y＝ax2+bx+c在1＜x＜6时的取值范围（用含a的式子表示）．【分析】（1）将点A坐标代入解析式可求解；（2）由三角形面积关系，可得BE＝CE+1，由对称轴为x＝3，可求BC中点M的坐标（3，3），由线段的数量关系，可求EM＝，可求解；（3）先求出点F坐标，点D坐标可求直线DF解析式，可得点E坐标，可求DE解析式，可得c＝9a，由二次函数的性质可求解．【解答】解：（1）∵抛物线G：y＝ax2+bx+c（0＜a＜12）过点A（1，c﹣5a），∴c﹣5a＝a+b+c，∴b＝﹣6a；（2）如图，设BC的中点为M，∵B（x1，3），C（x2，3），线段BC上有一点E，∴S1＝×BE×3＝BE，S2＝×CE×3＝CE，∵S1＝S2+．∴CE+＝BE，∴BE＝CE+1，∵b＝﹣6a，∴抛物线G：y＝ax2﹣6ax+c，∴对称轴为x＝＝3，∴BC的中点M坐标为（3，3），∵BE＝BM+EM，CE＝CM﹣EM，BM＝CM，BE＝CE+1，∴EM＝，∴点E（，3）或（，3）；（3）∵直线DE与抛物线G：y＝ax2﹣6ax+c的另一个交点F的横坐标为+3，∴y＝a（）2﹣6a×（+3）+c＝﹣9a+c，∴点F（+3，﹣9a+c），∵点D是抛物线的顶点，∴点D（3，﹣9a+c），∴直线DF的解析式为：y＝6x﹣18+c﹣9a，∴点E坐标为（，3），又∵点D（3，﹣9a+c），∴直线DE解析式为：y＝（6﹣18a﹣2c）x+7c﹣63a﹣18，∵直线DE与直线DF是同一直线，∴6＝6﹣18a﹣2c，∴c＝9a，∴抛物线解析式为：y＝ax2﹣6ax+9a，∵1＜x＜6，∴当x＝3时，y min＝0，当x＝6时，y max＝9a，∴0≤y＜9a．。
2021年广东省广州市九年级中考数学 三轮冲刺复习：三角形(含答案)
2021广州中考三轮冲刺复习：三角形一、选择题1. 下面是小强用三根火柴组成的图形，其中符合三角形概念的是()2. 在一个三角形中，有一个角是55°，则另外的两个角可能是()A．95°，20°B．45°，80°C．55°，60°D．90°，20°3. 如图，在△ABC中，表示AB边上的高的图形是()4. 已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程x2－6x＋8＝0的根，则该三角形的周长为()A. 8B. 10C. 8或10D. 125. 如图，在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC交AC于点D，AE∥BD交CB的延长线于点E，若∠E＝35°，则∠BAC的度数为()A. 40°B. 45°C. 60°D. 70°6. 在△ABC中，若∠B＝3∠A，∠C＝2∠B，则∠B的度数为()A．18°B．36°C．54°D．90°7. (2019•荆门)将一副直角三角板按如图所示的位置摆放，使得它们的直角边互相垂直，则1的度数是A．95︒B．100︒C．105︒D．110︒8. 如图，在△ABC中，∠B＝46°，∠C＝54°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE∥AB交AC 于点E，则∠ADE的度数是()A．54°B．50°C．45°D．40°二、填空题9. 如图，已知AB，CD相交于点O，且∠A＝38°，∠B＝58°，∠C＝44°，则∠D＝________°.10. 若正多边形的一个外角是60°，则这个正多边形的内角和是________．11. 如图，已知∠A＝54°，∠B＝31°，∠C＝21°，则∠1＝________°.12. 如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线相交于点O，OD⊥OC交BC于点D.若∠A ＝80°，则∠BOD＝________°.13. 在△ABC中，AB＝4，AC＝3，AD是△ABC的角平分线，则△ABD与△ACD的面积之比是________．14. 模拟某人为机器人编制了一段程序(如图)，如果机器人以2 cm/s的速度在平地上按照程序中的步骤行走，那么该机器人从开始到停止所需的时间为________s.15. 如图，在△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB.若∠A＝70°，则∠BOC＝________°.16. 如图，若该图案是由8个形状和大小相同的梯形拼成的，则∠1＝________°.三、解答题17. 如图，佳佳和音音住在同一小区(A点)，每天一块去学校(B点)上学.一天，佳佳要先去文具店(C点)买练习本再去学校，音音要先去书店(D点)买书再去学校(B，D，C三点在同一条直线上).这天两人从家到学校谁走的路程远?为什么?18. 如图，已知BE 、CF 分别为ABC ∆中B ∠、C ∠的平分线，AM BE ⊥于M ，AN CF ⊥于N ，求证：MN BC ∥．19. 某单位修建正多边形花台，已知正多边形花台的一个外角的度数比一个内角度数的15多12°.(1)求出这个正多边形的一个内角的度数; (2)求这个正多边形的边数.20. 如图，CE是△ABC 的外角∠ACD 的平分线，且CE 交BA 的延长线于点E ，∠B ＝25°，∠E＝30°，求∠BAC 的度数．21. 如图，在△ABC中，BD 是角平分线，CE 是AB 边上的高，且∠ACB=60°，∠ADB=97°，求∠A 和∠ACE 的度数.NMEFCBA22. 观察与转化思想如图是五角星形，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E的度数．23. 已知:如图1-Z-20，在四边形ABCD中，∠D=90°，∠ABC=∠BCD，点E在直线BC上，点F在直线CD上，且∠AEB=∠CEF.(1)如图①，若AE平分∠BAD，求证:EF⊥AE;(2)如图②，若AE平分四边形ABCD的外角，其余条件不变，则(1)中的结论是否仍然成立?说明理由.24. 如图①所示，在△ABC中，∠1＝∠2，∠C>∠B，E为AD上一点，且EF⊥BC于点F.(1)试探索∠DEF与∠B，∠C之间的数量关系；(2)如图②所示，当点E在AD的延长线上时，其余条件都不变，你在(1)中探索得到的结论是否还成立？2021广州中考三轮冲刺复习：三角形-答案一、选择题1. 【答案】C2. 【答案】B[解析] ∵在一个三角形中，有一个角是55°，∴另外的两个角的和为125°，各选项中只有B选项中的两个角的和为125°.故选B.3. 【答案】D4. 【答案】B【解析】解一元二次方程x2－6x＋8＝0，得x1＝2，x2＝4.当三角形三边为2，2，4时，∵2＋2＝4，∴不符合三边关系，应舍去；当三角形三边为2，4，4时，∵2＋4>4，符合三边关系，∴三角形的周长为10，故选B.5. 【答案】A【解析】由AE∥BD，可得∠DBC＝∠E＝35°，由BD平分∠ABC可得∠ABC＝2∠DBC＝70°，由AB＝AC可得∠ABC＝∠C＝70°，由三角形内角和定理可得∠BAC＝180°－70°－70°＝40°.6. 【答案】C[解析] ∵在△ABC中，∠B＝3∠A，∠C＝2∠B，∴∠C＝6∠A.设∠A＝x，则∠B＝3x，∠C＝6x.由三角形内角和定理可得x＋3x＋6x＝180°，解得x＝18°，∴∠B＝3x＝54°.7. 【答案】C【解析】如图，由题意得，2454903060∠=︒∠=︒︒=︒，-，∴3245∠=∠=︒， 由三角形的外角性质可知，134105∠=∠+∠=︒，故选C ．8. 【答案】D[解析] 由三角形内角和定理可知∠BAC ＝180°－∠B －∠C ＝180°－46°－54°＝80°.因为AD 平分∠BAC ， 所以∠BAD ＝12∠BAC ＝40°. 因为DE ∥AB ，所以∠ADE ＝∠BAD ＝40°.二、填空题9. 【答案】64[解析] 由三角形内角和定理可知∠A ＋∠D ＋∠AOD ＝180°，∠B ＋∠C ＋∠BOC＝180°.∵∠AOD ＝∠BOC ， ∴∠A ＋∠D ＝∠B ＋∠C. ∴∠D ＝64°.10. 【答案】720°[解析] 该正多边形的边数为360°÷60°＝6.该正多边形的内角和为(6－2)×180°＝720°.11. 【答案】106[解析] 由三角形的外角性质可知，∠CDB ＝∠A ＋∠C ＝75°，∴∠1＝∠CDB ＋∠B ＝106°.12. 【答案】4013. 【答案】4∶3【解析】如解图，过D 作DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为E 、F ，∵AD 是∠BAC 的平分线，∴DE ＝DF(角平分线上的点到角两边的距离相等)，设DE ＝DF ＝h ，则S △ABD S △ACD＝12AB·h 12AC·h ＝43.14. 【答案】16[解析] 由题意得，该机器人所经过的路径是一个正多边形，多边形的边数为36045＝8， 则所走的路程是4×8＝32(cm)， 故所用的时间是32÷2＝16(s)．15. 【答案】125[解析] ∵BO 平分∠ABC ，CO 平分∠ACB ，∴∠ABO ＝∠CBO ，∠BCO ＝∠ACO.∴∠CBO ＋∠BCO ＝12(∠ABC ＋∠ACB)＝12(180°－∠A)＝12(180°－70°)＝55°. ∴在△BOC 中，∠BOC ＝180°－55°＝125°.16. 【答案】67.5三、解答题17. 【答案】解:佳佳从家到学校走的路程远.理由:佳佳从家到学校走的路程是AC+CD+BD ，音音从家到学校走的路程是AD+BD.∵在△ACD 中，AC+CD>AD ，∴AC+CD+BD>AD+BD ，即佳佳从家到学校走的路程远.18. 【答案】延长AM 、AN 交BC 于点Q 、R ．由等腰三角形三线合一可得AM QM =、AN RN =再由三角形中位线可得MN BC ∥．19. 【答案】解:(1)设这个多边形的一个内角的度数是x °，则与其相邻的外角度数是15x °+12°.由题意，得x+1x+12=180，解得x=140.5即这个正多边形的一个内角的度数是140°.=9.(2)这个正多边形的每一个外角的度数为180°-140°=40°，所以这个正多边形的边数是36040 20. 【答案】解：∵∠B＝25°，∠E＝30°，∴∠ECD＝∠B＋∠E＝55°.∵CE是∠ACD的平分线，∴∠ACE＝∠ECD＝55°.∴∠BAC＝∠ACE＋∠E＝85°.21. 【答案】解:∵∠ADB=∠DBC+∠ACB，∴∠DBC=∠ADB-∠ACB=97°-60°=37°.∵BD是△ABC的角平分线，∴∠ABC=74°.∴∠A=180°-∠ABC-∠ACB=46°.∵CE是AB边上的高，∴∠AEC=90°.∴∠ACE=90°-∠A=44°.22. 【答案】解：如图，∵∠1是△CEG的外角，∴∠1＝∠C＋∠E.同理可得∠AFB＝∠B＋∠D.∵在△AFG中，∠A＋∠1＋∠AFG＝180°，∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝180°.23. 【答案】解:(1)证明:∵∠BAE=180°-∠ABC-∠AEB，∠EFC=180°-∠BCD-∠CEF，且∠ABC=∠BCD，∠AEB=∠CEF，∴∠BAE=∠EFC.∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠DAE.∴∠EFC=∠DAE.∵∠EFC+∠EFD=180°，∴∠DAE+∠EFD=180°.∴∠AEF+∠D=360°-(∠DAE+∠EFD)=180°.又∵∠D=90°，∴∠AEF=90°.∴EF⊥AE.(2)EF⊥AE仍成立.理由如下:如图.∵∠1=∠ABC-∠AEB，∠F=∠BCD-∠CEF，且∠ABC=∠BCD，∠AEB=∠CEF，∴∠1=∠F.∵AE平分四边形ABCD的外角，∴∠1=∠2.∴∠F=∠2.∵∠2+∠EAD=180°，∴∠F+∠EAD=180°.∴∠AEF+∠D=360°-(∠F+∠EAD)=180°.又∵∠D=90°，∴∠AEF=90°.∴EF⊥AE.24. 【答案】解：(1)∵∠1＝∠2，∴∠1＝12∠BAC.又∵∠BAC ＝180°－(∠B ＋∠C)，∴∠1＝12[180°－(∠B ＋∠C)]＝90°－12(∠B ＋∠C)．∴∠EDF ＝∠B ＋∠1＝∠B ＋90°－12(∠B ＋∠C)＝90°＋12(∠B －∠C)．∵EF ⊥BC ，∴∠EFD ＝90°.∴∠DEF ＝90°－∠EDF ＝90°－[90°＋12(∠B －∠C)]＝12(∠C －∠B)．(2)当点E 在AD 的延长线上时，其余条件都不变，在(1)中探索得到的结论仍成立．。
【中考真题】2021年广东省深圳市中考数学试卷(附答案)
2021年广东省深圳市中考数学试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．如图是一个正方体的展开图，把展开图折叠成小正方体后，和“建”字所在面相对的面上的字是（ ）A ．跟B ．百C ．走D ．年2．12021-的相反数是（ ） A ．2021 B ．2021- C ．12021D ．12021-3．不等式12x ->的解集在数轴上表示为（ ） A ．B ．C ．D ．4．《你好，李焕英》的票房数据是：109，133，120，118，124，那么这组数据的中位数是（ ） A ．124B ．120C ．118D ．1095．下列运算中，正确的是（ ） A ．2322a a a ⋅=B ．()325a a =C ．235a a a +=D ．623a a a ÷=6．计算|1tan 60|-︒的值为（ ）A ．1B ．0C 1D ．1 7．《九章算术》中有问题：1亩好田是300元，7亩坏田是500元，一人买了好田坏田一共是100亩，花费了10000元，问他买了多少亩好田和坏田？设一亩好田为x 元，一亩坏田为y 元，根据题意列方程组得（ ）A ．100730010000500x y x y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩ B ．100500300100007x y x y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩ C ．100730010000500x y x y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩D ．100500300100007x y x y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩8．如图，在点F 处，看建筑物顶端D 的仰角为32°，向前走了15米到达点E 即15EF =米，在点E 处看点D 的仰角为64°，则CD 的长用三角函数表示为（ ）A ．15sin32︒B ．15tan64︒C ．15sin64︒D ．15tan32︒9．二次函数21y ax bx =++的图象与一次函数2y ax b =+在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．10．在正方形ABCD 中，2AB =，点E 是BC 边的中点，连接DE ，延长EC 至点F ，使得EF DE =，过点F 作FG DE ⊥，分别交CD 、AB 于N 、G 两点，连接CM 、EG 、EN，下列正确的是：①1tan 2GFB ∠=；②MN NC =；③12CM EG =；④GBEM S =四边形 ）A ．4B ．3C ．2D ．1二、填空题11．因式分解：2728a -= ________．12．已知方程230x mx +-=的一个根是1，则m 的值为________．13．如图，已知反比例函数过A ，B 两点，A 点坐标(2,3)，直线AB 经过原点，将线段AB 绕点B 顺时针旋转90°得到线段BC ，则C 点坐标为________．14．如图，在ABC 中，D ，E 分别为BC ，AC 上的点，将CDE 沿DE 折叠，得到FDE ，连接BF ，CF ，90BFC ∠=︒，若//EF AB ，AB =10EF =，则AE 的长为__________．三、解答题15．如图，已知60BAC ∠=︒，AD 是角平分线且10AD =，作AD 的垂直平分线交AC 于点F ，作DE AC ⊥，则DEF 周长为________．16．先化简再求值：2169123x xx x++⎛⎫+÷⎪++⎝⎭，其中1x=-．17．如图所示，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1个单位．（1）过直线m作四边形ABCD的对称图形；（2）求四边形ABCD的面积．18．随机调查某城市30天空气质量指数（AQI），绘制成如下扇形统计图．50100AQI<15150AQI<9150>n（1）m=____，n=______；（2）求良的占比； （3）求差的圆心角；（4）统计表是一个月内的空气污染指数统计，然后根据这个一个月内的统计进行估测一年的空气污染指数为中的天数，从折线图可以得到空气污染指数为中的有9天．根据折线统计图，一个月（30天）中有_____天AQI 为中，估测该城市一年（以365天计）中大约有_____天AQI 为中．19．如图，AB 为O 的弦，D ，C 为ACB 的三等分点，//AC BE ．（1）求证：A E ∠=∠；（2）若3BC =，5BE =，求CE 的长．20．某科技公司销售高新科技产品，该产品成本为8万元，销售单价x （万元）与销售量y （件）的关系如下表所示：（1）求y 与x 的函数关系式；（2）当销售单价为多少时，有最大利润，最大利润为多少？21．探究：是否存在一个新矩形，使其周长和面积为原矩形的2倍、12倍、k 倍．（1）若该矩形为正方形，是否存在一个正方形，使其周长和面积都为边长为2的正方形的2倍？_______（填“存在”或“不存在”）．（2）继续探究，是否存在一个矩形，使其周长和面积都为长为3，宽为2的矩形的2倍？同学们有以下思路：设新矩形长和宽为x 、y ，则依题意10x y +=，12xy =，联立1012x y xy +=⎧⎨=⎩得210120x x -+=，再探究根的情况：根据此方法，请你探究是否存在一个矩形，使其周长和面积都为原矩形的12倍；如图也可用反比例函数与一次函数证明1l ：10y x =-+，2l ：12y x=，那么，①是否存在一个新矩形为原矩形周长和面积的2倍？_______．②请探究是否有一新矩形周长和面积为原矩形的12，若存在，用图像表达；③请直接写出当结论成立时k 的取值范围：．22．在正方形ABCD 中，等腰直角AEF ，90AFE ∠=︒，连接CE ，H 为CE 中点，连接BH 、BF 、HF ，发现BFBH和HBF ∠为定值．（1）①BFBH=__________； ②HBF ∠=__________；③小明为了证明①②，连接AC 交BD 于O ，连接OH ，证明了OH AF和BA BO 的关系，请你按他的思路证明①②．（2）小明又用三个相似三角形（两个大三角形全等）摆出如图2，BD EAk AD FA==，BDA EAF θ∠=∠=（090θ︒<<︒）求：①FDHD=__________（用k 的代数式表示） ②FHHD=__________（用k 、θ的代数式表示）参考答案1．B【分析】正方体的平面展开图中，相对面的特点是之间一定相隔一个正方形，据此作答．【详解】∵正方体的平面展开图中，相对面的特点是之间一定相隔一个正方形，∴在此正方体上与“建”字相对的面上的汉字是“百”．故选B．【点睛】本题考查了正方体的展开图形，解题关键是从相对面入手进行分析及解答问题．2．C【分析】根据相反数的定义选择即可.【详解】相反数：只有符号不同的两个数互为相反数，则12021的相反数是12021，故选：C．【点睛】本题考查了相反数，熟记定义是解题关键．3．D【分析】根据不等式性质求出不等式解集，表示在数轴上即可．【详解】解：不等式x-1＞2，解得：x＞3．表示在数轴上为：故选：D ． 【点睛】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，以及解一元一次不等式，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 4．B 【分析】将这组数据从小到大重新排列，再根据中位数的定义求解即可． 【详解】将这组数据从小到大重新排列为109，118，120，124，133 ∴这组数据的中位数为120， 故选B ． 【点睛】本题主要考查中位数，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数． 5．A 【分析】利用同底数幂的乘法运算，幂的乘方，合并同类项，同底数幂的除法依次计算即可． 【详解】A. 2322a a a ⋅=，符合题意；B. ()32236=a a a ⨯=，不符合题意；C. 23a a +，不是同类项，不能合并，不合题意；D. 62624a a a a -÷==，不合题意． 故选A ． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法运算，幂的乘方，合并同类项，同底数幂的除法，解决本题的关键是牢记公式与定义． 6．C 【分析】直接利用特殊角的三角函数值、绝对值的性质分别化简得出答案．【详解】|1tan60||11-︒==故选C．【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值，绝对值的性质等知识，正确化简各数是解题关键．7．B【分析】设一亩好田为x元，一亩坏田为y元，根据7亩坏田是500元可得每亩坏田的价格，根据好田坏田一共是100亩，花费了10000元列方程组即可得答案．【详解】设一亩好田为x元，一亩坏田为y元，∵7亩坏田是500元，∴每亩坏田5007元，∵买了好田坏田一共是100亩，花费了10000元，∴100500 300100007x yx y+=⎧⎪⎨+=⎪⎩，故选：B．【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，读懂题意，找出等量关系是解题关键．8．C【分析】首先根据题目条件，利用外角的性质，得出△DEF是等腰三角形，在Rt△DEC中，利用∠DEC 的正弦即可表示出CD的长度．【详解】∵∠F=32°，∠DEC=64°，∴∠DEF=32DEC F,∴15DE EF,由题可知，△DCE为直角三角形，在Rt △DEC 中，sin CDDEC DE即：sin 6415CD, ∴15sin64CD,故选：C 【点睛】本题考查三角形的外角，等腰三角形的性质，解直角三角形的运算，解题关键是利用三角形的外角得出等腰三角形． 9．A 【分析】先分析二次函数21y ax bx =++的图像的开口方向即对称轴位置，而一次函数2y ax b =+的图像恒过定点(,0)2ba-，即可得出正确选项． 【详解】二次函数21y ax bx =++的对称轴为2bx a =-，一次函数2y ax b =+的图像恒过定点(,0)2b a-，所以一次函数的图像与二次函数的对称轴的交点为(,0)2ba-，只有A 选项符合题意． 故选A ． 【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质、一次函数的图像与性质，解决本题的关键是能推出一次函数2y ax b =+的图像恒过定点(,0)2ba-，本题蕴含了数形结合的思想方法等． 10．B 【分析】解：①中由FG DE ⊥即可得到GFB EDC ∠=∠，再由正切等于对边比邻边即可求解； ②中先证明DEC FEM △≌△得到EM=EC ，DM=FC ，再证明DMN FCN △≌△即可求解；③中先证明GE //CM ，得到CM CF EG EF =④中由1tan tan 2GB F EDC BF ∠=∠==得到12GB BF ==2GBE GBEM S S △四边形=即可求解． 【详解】解：①∵FG DE ⊥，∴∠DMF =90°=∠NCF ，且对顶角∠MND =∠CNF ，∴∠GFB =∠EDC ，∵ABCD 为正方形，E 是BC 的中点，∴BC =CD ， ∴1tan tan 2EC GFB EDC CD ∠=∠==，①正确； ②由①知MDN CFN ∠=∠，又=90ECD EMF ∠=∠，已知EF ED =，∴DEC FEM △≌△(SAS )，∴EM EC =，∴DM FC =，∵MDN CFN ∠=∠，MND CNF ∠=∠，DM FC =，∴DMN FCN △≌△(AAS )，∴MN NC =，故②正确；③∵BE EC =，ME EC =，∴BE =ME ，且∠B =∠GME =90°，GE 为Rt GBE 和Rt GME 的公共边，∴Rt GBE Rt GME △≌△（HL ），∴BEG MEG ∠=∠，∵ME EC =，∴EMC ECM ∠=∠，由三角形外角定理可知：EMC ECM BED BEG MEG ∠+∠=∠=∠+∠，∴GEB MCE ∠=∠，∴//MC GE ， ∴CM CF EG EF=，∵EF DE =1CF EF EC =-=，∴CM CF EG EF ===③错误；④由上述可知：1BE EC ==，1CF ，∴1BF =， ∵1tan tan 2GB F EDC BF ∠=∠==，∴12GB BF ==∴1222GBE GBEM S S BE BG ==⋅⋅⋅=△四边形④正确． 故选B ．【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，三角函数等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．11．7(2)(2)a a +-【分析】先提取公因式7，然后再使用平方差公式求解即可．【详解】解：原式2=7(4)7(2)(2)a a a -=+-，故答案为：7(2)(2)a a +-．【点睛】本题考查了因式分解的方法，先提公因式，再看能否套平方差公式或完全平方式． 12．2【分析】根据一元二次方程根的定义，即可求解．【详解】解：将1x =代入得：130m +-=，解得2m =．故答案是：2．【点睛】本题主要考查一元二次方程的根，掌握一元二次方程根的定义，是解题的关键．13．(4,7)-【分析】利用“一线三垂直”，证明ABD CBE ≌从而求得C 点坐标．【详解】设AB ：y k x ='，反比例：k y x =将点A 代入可得：32y x =；6y x= 联立可得：(2,3)B --过点B 作y 轴的平行线l过点A ，点C 作l 的垂线，分别交于D ，E 两点则(2,3)D -,AD DE CE DE ∴⊥⊥ADB EBC ∴∠=∠AB BC ⊥ABD CBE ABD BDA ∠+∠=∠+∠CBE BAD ∴∠=∠AB BC =()ABD CBE AAS ∴△≌△4BE AD ∴==，6CE BD ==∴(4,7)C -．故答案为：(4,7)-．【点睛】本题考查一次函数与反比例函数的综合运用、三角形全等，平面内点的坐标，图形的旋转．解题的关键是掌握一次函数与反比例函数的相关性质和数形结合思想．14．10-【分析】延长ED ，交CF 于点G ，由折叠，可知DG CF ⊥，可得//ED BF ，延长EA ，FB ，交于点M ，结合//AB EF ，可得M BFE α∠=∠=，M ABM α∠=∠=，进而即可求解．【详解】解：如图，延长ED ，交CF 于点G ，设BFE α∠=由折叠，可知DG CF ⊥，∵BF CF ⊥，∴//ED BF ，∴FED BFE α∠=∠=，延长EA ，FB ，交于点M ，∵//AB EF ，∴2BAC FEC α∠=∠=，ABM BFE α∠=∠=，∴M BAC ABM α∠=∠-∠=，∵M BFE α∠=∠=，M ABM α∠=∠=，∴10EM EF ==，AM AB ==∴10AE EM AM =-=-【点睛】本题主要考查折叠的性质，三角形外角的性质，平行线的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，添加合适的辅助线，构造等腰三角形，是解题的关键．15．5+【分析】知道60BAC ∠=︒和AD 是角平分线，就可以求出30DAE ∠=︒，AD 的垂直平分线交AC 于点F 可以得到AF =FD ，在直角三角形中30°所对的边等于斜边的一半，再求出DE ，得到DEF C DE EF AF AE DE =++=+△．【详解】 解： AD 的垂直平分线交AC 于点F ，∴ DF AF =（垂直平分线上的点到线段两端点距离相等）∴DEF C DE EF AF AE DE =++=+△∵60BAC ∠=︒，AD 是角平分线∴30DAE ∠=︒∵10AD =∴5DE =，AE =∴5DEF C =+△【点睛】此题考查角平分线的性质、直角三角形的性质、垂直平分线的性质的综合题，掌握运用三者的性质是解题的关键．16．12x +；1 【分析】先把分式化简后，再把x 的值代入求出分式的值即可．【详解】 原式212331122(3)232x x x x x x x x x +++⎛⎫=+⋅=⋅= ⎪++++++⎝⎭当1x =-时，原式1112==-+． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练分解因式是解题的关键．17．（1）见解析；（2）8【分析】（1）先作出四边形ABCD 各个顶点关于直线m 的对称点，再顺次连接起来，即可；（2）四边形对角线的乘积÷2，即可求解． 【详解】（1）如图所示：（2）14482S=⨯⨯=．【点睛】本题主要考查画轴对称图形以及四边形的面积，掌握轴对称图形的性质，是解题的关键．18．（1）4，2；（2）50%；（3）24°；（4）9，110【分析】（1）根据扇形统计图中优的圆心角的度数即可求出m的值，再用总数减去优，良，中的天数即可求出n的值；（2）用良的天数除以总数即可得到答案；（3）用差的占比乘以360度即可；（4）要先算出样本中有9天AQI为中，再估测该城市中一年（以365天计）中大约有110天AQI为中．【详解】解：（1）根据题意得，48304360m︒=⨯=︒所以，3041592n=---=故答案为：4，2；（2）良的占比为：15100%=50% 30⨯（3）差的圆心角=2360=24 30⨯︒︒（4）根据统计表，一个月（30天）中有9天AQI为中，估测该城市中一年（以365天计）中大约有9365=11030⨯（天）故答案为：9，110 【点睛】本题主要考查利用统计表处理数据的能力，和利用样本估计总体的思想，解答这类题目观察图表要细致，对应的图例及其关系不能错位，计算要认真准确．19．（1）见解析；（2）163CE =【分析】（1）根据题意，连接AD ，通过证明//AB CE ，再由//AC BE 可证四边形ACEB 为平行四边形，进而即可得到A E ∠=∠；（2）根据平行四边形ACEB 的性质及D ，C 为ACB 的三等分点可证CBD BED △∽△，得到CD BD BD DE =，进而求得253DE =即可得到CE 的长． 【详解】（1）如图连接AD ，∵A 、D 、C 、B 四点共圆∴180BAD BCD ∠+∠=︒又180BCD BCE ∠+∠=︒∴BAD BCE ∠=∠∵D ，C 为ACB 的三等分点∴BD AC =∴BAD ABC ∠=∠∴ABC BCE ∠=∠∴//AB CE ，又//AC BE∴四边形ACEB 为平行四边形∴BAC E ∠=∠即原题中A E ∠=∠；（2）∵四边形ACEB 为平行四边形，5BE =∴5BE AC ==∵D ，C 为ACB 的三等分点，3BC =∴BC CD AD ==， BD AC =∴3CD BC ==，5BD AC ==，CDB CBD BAC ∠=∠=∠∵BAC E ∠=∠∴CBD BED △∽△∴5BC AD BE === ∴CD BD BD DE=，即355DE = ∴253DE = ∴2516333CE DE DC =-=-=． 【点睛】本题主要考查了圆中综合知识、平行四边形的性质及判定及三角形相似的判定及性质，熟练掌握相关几何综合运用知识是解决本题的关键．20．（1）590y x =-+；（2）单价为13元时，利润最大为125万元【分析】（1）直接利用图表上的点的坐标，利用待定系数法求出一次函数解析式即可；（2）设总销售利润为W ，则列出W 与x 的函数关系式，即可得出函数最值．【详解】解：（1）设y 与x 的函数关系式为：y kx b =+，则40103012k b k b=+⎧⎨=+⎩， 解得：590k b =-⎧⎨=⎩， 故y 与x 的函数关系式为： 590y x =-+；（2）设总销售利润为W ，则有：2(8)(590)=5(13)125W x x x =--+--+，当13x =，销售利润max =125W 万，即单价为13万时，最大获利125万元．【点睛】本题主要考查待定系数法求一次函数解析式，以及根据二次函数的性质求最值，解题的关键是列出总销售利润与销售单价之间的函数关系．21．（1）不存在；（2）①存在；②不存在，见解析；③2425k【分析】（1）直接求出边长为2的正方形周长与面积，再求出周长扩大2倍即边长扩大2倍时正方形的面积，比较是否也为2倍即可；（2）①依题意根据一元二次方程根的情况判断即可；②设新矩形长和宽为x 、y ，则依题意52x y +=，3xy =，联立，求出关于x 、y 的一元二次方程，判断根的情况；③设新矩形长和宽为x 和y ，则由题意5x y k +=，6xy k =，同样列出一元二次方程，利用根的判别式进行求解即可．【详解】（1）边长为2的正方形，周长为8，面积为4；当周长为其2倍时，边长即为4，面积为16，即为原来的4倍，故不存在；（2）①存在；∵210120x x -+=的判别式0∆>，方程有两组正数解，故存在；从图像来看，1l ：10y x =-+，2l ：12y x=在第一象限有两个交点，故存在； ②设新矩形长和宽为x 、y ，则依题意52x y +=，3xy =，联立523x y xy ⎧+=⎪⎨⎪=⎩得25302x x -+=， 因为∆<0，此方程无解，故这样的新矩形不存在；从图像来看，1l ：52y x =-+，2l ：3y x =在第一象限无交点，故不存在；③2425k ； 设新矩形长和宽为x 和y ，则由题意5x y k +=，6xy k =，联立56x y k xy k+=⎧⎨=⎩得2560x kx k -+=，225240k k ∆=-，故2425k ． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根的判别式．需要认真阅读理解题意，根据题干过程模仿解题．22．（1）②45°；③见解析；（2）①2k ；【分析】（1）①通过中位线得出12OH AE =，再通过等腰直角三角形斜边与直角边的关系得出2AE AF ,则22OHAF ，在等腰Rt △OBA 中得出22OB AB，再结合中位线OH 和正方形的性质证明∠BOH =∠BAF ，即可证明出BOH BAF △∽△，即可得出比值；②利用相似三角形的性质，对应角相等，代换角即可求出HBF ∠；（2）①用与（1）相似的方法可以证明出DOH DAF △∽△，即可得出比值；②通过添加辅助线，构造两个直角三角形，用锐角三角函数和勾股定理表示出两边，即可求出比值．【详解】（1；②45°③证明：如图所示：由正方形性质得：AB BO=O 为AC 的中点 又∵H 为CE 的中点，则//OH AE ，12OH AE =∴AEF 是等腰直角三角形∴AE∴AF AB OH BO== ∵//OH AE∴COH CAE ∠=∠，又∵CAE DAF ∠=∠∴COH DAF ∠=∠又90BOC BAD ∠=∠=︒∴BOH BAF ∠=∠，又∵AF AB OH BO==∴BOH BAF △∽△∴BF BH=HBO FBA ∠=∠ ∴45HBF HBO DBF FBA DBF DBA ︒∠=∠+∠=∠+∠=∠=（2）①2k 理由如下：①如图，连接AC ，与BD 交于O 点，连接OH由题可知四边形ABCD 为平行四边形，∴O 为AC 和BD 的中点，又∵H 为CE 中点， ∴12OH AE =，12OD BD = , 又∵BD EA k AD FA==, ∴12OH k FA ,即12OH k FA， 12OD k AD ,即12OD k AD ， ∵OH 是△ACE 的中位线，∴OH ∥AE ，∴COH CAE ∠=∠,又∵DOC ∠是△AOD 的外角， ∴DOCODA OAD OAD , 又∵ODAEAF , ∴CODDAO EAF , ∴BOH DAF , 又∵12OH ODk FA AD ， ∴DOH DAF △∽△∴2FD AD HD DO k== ②：由DOH DAF △∽△得：HDO FDA ∠=∠，则HDF BDA θ∠=∠=在HDF 中，HDF θ∠=，2FD HD k= 不妨令2DF t =，DH kt =，如图作HM DF ⊥则：sin sin HM DH kt θθ==，cos DM kt θ=则(2cos )MF DF DM k t θ=-=-由勾股定理222HF MH MF =+解得：HF =∴FH DH = 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，三角形中位线的性质，等腰直角三角形的性质，正方形的性质，平行四边形的性质，锐角三角函数，涉及知识点较多，难度较大，能够通过已知条件找出判定相似三角形的条件是解题关键．。
广州市华南师大附中2021-2022学年高一下学期期中数学试题含解析
广东省广州市华南师大附中2021-2022学年高一下学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．复数满足(3i)(2i)5i a b ++-=+，则a b +等于（ ） A ．4-B ．7C ．8-D ．52．在四边形ABCD 中，AC AB AD =+，则一定有（ ） A ．四边形ABCD 是矩形 B ．四边形ABCD 是菱形 C ．四边形ABCD 是正方形D ．四边形ABCD 是平行四边形3．若三角形的三边长分别是3，4，6，则这个三角形的形状是（ ） A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形D ．不能确定4．若p 与q 是相反向量，且p =3，则p q ⋅等于（ ） A ．9B ．0C ．-3D ．-95．已知圆锥的表面积等于227cm π，其侧面展开图是一个半圆，则圆锥底面的半径为（ ） A ．1cmB ．2cmC ．3cmD ．3c m 26．已知m ，n 为两条不同的直线，,αβ为两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A ．若//,//,//m n αβαβ，则//m n B ．若//,//,m m n αβαβ⋂=，则//m n C ．若//,//αβn n ，则//αβD ．若//,m n n α⊂，则//m α7．将函数sin2y x x =的图象沿x 轴向左平移(0)ϕϕ>个单位后，得到关于y 轴对称的图象，则ϕ的最小值为（ ） A ．12π B ．6π C ．4π D ．512π 8．意大利画家达·芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”，其中双曲余弦函数.就是一种特殊的悬链线函数.其函数表达式为cosh 2x x e e x -+=，相应的双曲正弦函数的表达式为sinh 2x x e e x --=.设函数()sinh cosh x f x x =，若实数m 满足不等式()20(23)f m f m -++>，则m 的取值范围为（ ） A ．()1,3-B ．()3,1-C ．()3,3-D ．()(),31,-∞-⋃+∞二、多选题9．用一个平面去截一个几何体，截面的形状是三角形，那么这个几何体可能是（ ） A ．圆锥B ．圆柱C ．棱锥D ．正方体10．已知向量a ，b 满足||1a =，||2b =，||3a b +=，则下列结论中正确的是（ ） A ．2a b ⋅=- B ．()a a b ⊥+ C ．||7a b -=D ．a 与b 的夹角为3π 11．对于ABC ，有如下命题，其中正确的有（ ） A ．若ABC 是锐角三角形，则不等式sin cos A B >恒成立 B ．若sin 2sin 2A B =，则ABC 是等腰三角形C ．若222sin sin cos 1A B C ++<，则ABC 为锐角三角形D ．若2||⋅>AC AB AB ，则ABC 为钝角三角形12．筒车是我国古代发明的一种灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用(图1)，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理(图2).现有一个半径为3米的筒车按逆时针方向每分钟旋转1圈，筒车的轴心距离水面的高度为2米，设筒车上的某个盛水筒P 到水面的距离为d (单位：米)(在水面下则d 为负数)，若以盛水筒P 刚浮出水面为初始时刻，经过t 秒后，下列命题正确的是（ ）(参考数据：2cos 483≈) A ．23sin 30d t πθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，其中2sin 3θ=，且0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭B ．23sin 30d t πθ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，其中2sin 3θ=，且0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭C ．当38t ≈时，盛水筒P 再次进入水中D ．当22t ≈时，盛水筒P 到达最高点三、填空题13．已知i 为虚数单位，复数2i z =-，则z z ⋅=____________．14．一水平放置的平面四边形OABC ，用斜二测画法画出它的直观图O ′A ′B ′C ′如图所示，此直观图恰好是一个边长为1的正方形，则原平面四边形OABC 面积为________.15．在ABC 中，π3B =，2AB =，D 为AB 的中点，BCD △AC =______________．16．如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点 E ，F 分别是棱BC ，1CC 的中点，P 是侧面11BCC B 内一点（包含边界），若 1//A P 平面AEF ，则线段1A P 长度的取值范围是 _________ .四、解答题17．已知i 是虚数单位，复数()()221i z m m m =---，m ∈R .(1)当复数z 为实数时，求m 的值； (2)当复数z 纯虚数时，求m 的值. 18．已知向量()1,2a =r，()3,4b =．(1)当实数k 为何值时，向量ka b +与2a b -r r垂直；(2)若23AB a b =-，BC ma b =+，且A 、B 、C 三点共线，求实数m 的值．19．已知函数()3tan 64x f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭．(1)求()f x 的最小正周期和单调递减区间；(2)试比较()f π与112π⎛⎫⎪⎝⎭f 的大小． 20．如图，已知P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，M 、N 分别是AB PC 、的三等分点（M 靠近B ，N 靠近C ）；(1)求证：//MN 平面PAD ．(2)在PB 上确定一点Q ，使平面//MNQ 平面PAD ．21．如图，有一直径为8米的半圆形空地，现计划种植甲、乙两种水果，已知单位面积种植甲水果的经济价值是种植乙水果经济价值的5倍，但种植甲水果需要有辅助光照．半圆周上的C 处恰有一可旋转光源满足甲水果生长的需要，该光源照射范围是6ECF π∠=,点,E F 在直径AB 上，且6ABC π∠=．（1）若CE =AE 的长；（2）设ACE α∠=, 求该空地产生最大经济价值时种植甲种水果的面积．22．已知函数()()2log 21xf x ax x R =++∈，（1）若()f x 时偶函数，求实数a 的值；（2）当0a >时，不等式(sin )(4)0f x x f t -+≥，对任意的233x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，恒成立，求实数t 的取值范围.（3）当0a >时，关于x 的方程()4()(1)log 211xf f x a x ⎡⎤-+--=⎣⎦在区间[]12，恰有两个不同的实数解，求实数a 的取值范围.参考答案：1．D【分析】根据复数代数形式的加法及复数相等的充要条件得到方程组，解得即可； 【详解】解：因为(3i)(2i)5i a b ++-=+即(2)2i 5i a b ++=+，所以252a b +=⎧⎨=⎩，解得32a b =⎧⎨=⎩，所以5a b +=； 故选：D 2．D【分析】根据向量的线性运算可得AD BC =，进而可得AD BC =且//AD BC 即可求解. 【详解】因为AC AB AD =+，所以AD AC AB BC =-=， 即AD BC =且//AD BC ，所以四边形ABCD 的一组对边平行且相等， 所以四边形ABCD 是平行四边形， 故选：D. 3．B【分析】根据大边对大角，得到边长为6的边所对的角为最大角，利用余弦定理求出cos 0θ<，得到这个三角形是钝角三角形.【详解】大边对大角，故边长为6的边所对的角为最大角，设为θ， 则91636cos 0234θ+-=<⨯⨯，故θ为钝角，所以这个三角形是钝角三角形. 故选：B 4．D【分析】直接根据向量的数量积公式求解即可. 【详解】由已知得cos18033p q p q ⋅=︒=⨯⨯(-1)=-9 故选：D 5．C【分析】设圆锥的底面圆的半径为r ，母线长为l ，利用侧面展开图是一个半圆，求得l 与r 之间的关系，代入表面积公式即可得解.【详解】设圆锥的底面圆的半径为r ，母线长为l ， 圆锥的侧面展开图是一个半圆，22l r l r ππ∴=⇒=， 圆锥的表面积为27π，22327r rl r ππππ∴+==， 3r ∴=， 故圆锥的底面半径为3cm ， 故选：C.【点睛】关键点点睛：本题考查圆锥的表面积公式及圆锥的侧面展开图，解题的关键是利用侧面展开图时一个半圆，求得母线长与半径的关系，考查学生的计算能力，属于一般题. 6．B【分析】A ：结合两直线的位置关系可判断//m n 或,m n 异面； B ：结合线面平行的性质可判断//m n ； C ：结合线面的位置关系可判断//αβ或,αβ相交； D ：结合线面的位置关系可判断//m α或m α⊂.【详解】A ：若//,//,//m n αβαβ，则//m n 或,m n 异面，故A 错误；B ：因为//m α，所以在平面α内存在不同于n 的直线l ，使得//l m ，则l //β，从而//l n ，故//m n ，故B 正确；C ：若//,//αβn n ，则//αβ或,αβ相交，故C 错误；D ：若//,m n n α⊂，则//m α或m α⊂，故D 错误. 故选：B 7．A【分析】利用两角和与差的三角函数化简函数的解析式为一个角的一个三角函数的形式，通过平移求出平移后的函数的解析式，利用偶函数求出ϕ的值．【详解】函数sin 22sin(2)3y x x x π==+，将函数sin 22y x x =的图象沿x 轴向左平移ϕ个单位后，得到函数2sin(22)3y x πϕ=++，因为函数是偶函数，∴2()()32212k k k Z k Z ππππϕπϕ+=+∈∴=+∈． 当0k =时，12πϕ=．则ϕ的最小值为12π故选：A 8．A【分析】由题可判断()f x 为奇函数，且在R 上为增函数，所以不等式化为()223()f m f m +>，利用单调性即可求解.【详解】由题意可知，()x xx x e e f x e e ---=+的定义域为R ，()()x xx x e e f x f x e e----==-+，()f x \为奇函数，()22212111x x x x x x xe e ef x e e e e ----===-+++，且()221xg x e =+在R 上为减函数， ∴由复合函数的单调性可知()2211x f e x =-+在R 上为增函数.()2()230f m f m -++>，()223()f m f m +∴>，2230m m ∴--<，13m ∴-<<.故选：A . 9．ACD【分析】根据物体特征分析截面可能的情况即可得解.【详解】圆锥的轴截面是三角形，圆柱的任何截面都不可能是三角形， 三棱锥平行于底面的截面是三角形，正方体的截面可能是三角形，如图形成的截面三角形11AC D ,故选：ACD 10．BC【分析】先利用平面向量的数量积运算得到1a b ⋅=-，即可得到()a a b ⋅+的值，再利用平面向量的数量积运算得到|a b -∣，最后求解cos ,a b <>，即可判断选项.【详解】222||21243a b a a b b a b +=+⋅+=+⋅+=， ∴1a b ⋅=-，∴2()0a a b a a b ⋅+=+⋅=， ∴()a a b ⊥+，22|27a b a a b b -=-⋅+=∣， 1cos ,2||||a b a b a b ⋅<>==-，∴a 与b 的夹角为23π， 故BC 正确. 故选：BC. 11．AD【分析】A 选项，利用ABC 是锐角三角形，得到π,0,2A B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭且π2A B +>，结合正弦函数的单调性得到sin cos A B >；B 选项，得到A B =或π2A B +=，判断ABC 是等腰三角形或直角三角形；C 选项，利用正弦定理得到222a b c +<，得到C 为钝角；D 选项，利用平面向量数量积运算法则得到cos AC A AB >，结合余弦定理化简得到222c a b +<，判断出B 为钝角.【详解】若ABC 是锐角三角形，则π,0,2A B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭且π2A B +>，所以π2A B >-，因为sin y x =在π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上单调递增，故π2sin sin A B >-⎛⎫ ⎪⎝⎭，故sin cos A B >，A 正确；sin 2sin 2A B =，则22A B =或22πA B +=，所以A B =或π2A B +=， 所以ABC 是等腰三角形或直角三角形，B 错误；222sin sin cos 1A B C ++<，则2222sin sin 1cos sin A B C C +<-=，由正弦定理得：222a b c +<，所以222cos 02a b c C ab+-=<，所以C 为钝角，ABC 为钝角三角形，C 错误；2||⋅>AC AB AB ，即2cos ||AC AB A AB ⋅>，所以cos AC A AB >，即2222b c a b c bc+-⨯>，整理得：222c a b +<，所以222cos 02a c b B ac+-=<，故B 为钝角，ABC 为钝角三角形，D 正确.故选：AD 12．BD【分析】若O 为筒车的轴心的位置，AC 为水面，P 为筒车经过t 秒后的位置，由题设知筒车的角速度30πω=/s ，令OAC θ∠=易得30t P p q ?-，而sin OB P OP=、2d OB =-，即可求d 的解析式判断A 、B 的正误，38t ≈、22t ≈代入函数解析式求d ，即可判断C 、D 的正误.【详解】由题意知，如上图，若O 为筒车的轴心的位置，AC 为水面，P 为筒车经过t 秒后的位置，筒车的角速度26030ππω==/s ，令2sin sin 3OAC q ?=且0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， ∴sin sin()30t OB P OP p q =-=，故sin()30tOB OP p q =?，而2d OB =-， ∴23sin()23sin()3030t td p p q q =--=+-，故A 错误，B 正确；当38t ≈时，381804830p =??，且5sin 483≈cos θ ∴523sin(48)23(sin 48cos cos 48sin )3d q q q =-?=-??，故盛水筒P 没有进入水中，C错误； 当22t ≈时，22904230p =??，且cos 2sin 42483=≈，即42θ≈︒， ∴23cos(42)23cos05d q =+?=+?，故盛水筒P 到达最高点，D 正确.故选：BD【点睛】关键点点睛：画出筒车与水面的简单平面示意图，利用30tP p q ?-及盛水筒P 到水面的距离d 与相关线段的等量关系2d OB =-，写出函数解析式. 13．5【分析】利用共轭复数概念与复数的乘法运算即可得解. 【详解】因为2i z =-，所以2i z =+，故()()22i 2i 4i 5z z ⋅=-+=-=.故答案为：5.14．【分析】将直观图还原回原图形，即找到直观图中正方形的四个顶点在原图形中对应的点，可得到平行四边形，即可求出面积. 【详解】还原直观图为原图形如图，''1O A =，''O B \还原回原图形后，''1,2''OA O A OB O B ====∴1OABC S =?故答案为：【点睛】本题考查斜二测画法前后图形的关系，属于基础题.15【分析】在三角形BCD 中，利用面积公式求出3BC =，在三角形ABC 中，利用余弦定理求出AC 的长.【详解】在三角形BCD 中，由面积公式得：11sin 22BD BC B BC ⋅⋅=⋅ 解得：3BC =，在三角形ABC 中，由余弦定理得：222π2cos49673AC AB BC AB BC =+-⋅=+-=， 因为0AC >故AC =16．⎣⎦【分析】分别取棱111,BB B C 的中点,M N ，通过证明1//A MN 平面AEF 可得P 必在线段MN 上，进而可求得1A P 长度的取值范围.【详解】如下图所示，分别取棱111,BB B C 的中点,M N ，连接MN ，连接1BC ，因为,,,M N E F 为所在棱的中点，所以11//,//MN BC EF BC ，所以//MN EF ， 又MN ⊄平面,AEF EF ⊂平面AEF ，所以//MN 平面AEF ； 因为11//,AA NE AA NE =，所以四边形1AENA 为平行四边形，所以1//A N AE ，又1A N ⊄平面AEF ，AE ⊂平面AEF ，所以1//A N 平面AEF ， 又1A NMN N =，所以1//A MN 平面AEF ，因为P 是侧面11BCC B 内一点，且1//A P 平面AEF ，则P 必在线段MN 上，在直角11A B M V 中，1A M同理，在直角11A B N 中，求得1A N =AMN 为等腰三角形，当P 在MN 中点O 时，1A P MN ⊥，此时1A P 最短，P 位于,M N 处时1A P 最长，1AO =11A M A N =，所以线段1A P 长度的取值范围是⎣⎦.故答案为：⎣⎦. 【点睛】关键点睛：本题考查空间点的存在性问题，解题的关键是取棱111,BB B C 的中点,M N ，得出点P 必在线段MN 上，从而将问题转化为在AMN 中. 17．(1)1或1-； (2)0.【分析】(1)虚部为零，则为实数； (2)虚部不为零，实部为零，则为纯虚数. 【详解】（1）当210m -=时，得1m =±；（2）当22010m m m ⎧-=⎨-≠⎩时，得0m =.18．(1)3917k =-(2)23m =-【分析】（1）由题，向量ka b +与2a b -r r垂直⇔()()20a ka b b -+⋅=，结合数量积的坐标表示，即可求解；（2）A 、B 、C 三点共线⇔AB BC ∥⇔=AB BC λ，结合a 与b 不共线，即可得到方程组求解. (1)由题()()()1,23,43,24ka b k k k +=+=++，()()()21,223,45,6a b -=-=--，∵ka b +与2a b -r r 垂直，∴()()5362417390k k k -+-+=--=，解得3917k =-.(2)∵A 、B 、C 三点共线，∴AB BC ∥，∴存在实数()0λλ≠，使得()23ma b a b λ+=-，又a 与b 不共线，∴231m λλ=⎧⎨-=⎩，∴23m =-．19．(1)4T π=，单调递减区间为484,433k k ππππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，Z k ∈． (2)()112f f ππ⎛⎫> ⎪⎝⎭【分析】（1）首先利用诱导公式将函数变形，再根据正切函数的性质计算可得； （2）根据函数的周期性及单调性判断即可；【详解】（1）解：函数()3tan()tan()6446xx f x ππ=-=--，所以最小正周期41||4T πππω=== 由2462x k k πππππ-<-<+，Z k ∈， 解得484433k x k ππππ-<<+，Z k ∈ ()3tan()64x f x π∴=-单调递减区间为484,433k k ππππ⎛⎫-+⎪⎝⎭，Z k ∈． （2）解：因为11334222f f f ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，又438323ππππ-<<<，函数()f x 在48,33ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，所以()32f f ππ⎛⎫>⎪⎝⎭，即()112f f ππ⎛⎫> ⎪⎝⎭20．(1)证明见解析 (2)证明见解析【分析】（1）过点N 作//NE CD ，交PD 于点E ，连接AE ，证得证得四边形AMNE 为平行四边形，得到//MN AE ，结合线面平行的判定定理，即可求解；（2）取PB 取一点Q ，使得13BQ BP =，证得//MQ PA ，得到//MQ 平面PAD ，结合（1）中//MN 平面PAD ，利用面面平行的判定定理，证得平面//MNQ 平面PAD ． 【详解】（1）证明：过点N 作//NE CD ，交PD 于点E ，连接AE ， 因为N 为PC 的三等分点，可得23NE CD =，又因为M 为AB 的三等分点，可得23AM AB =， 因为//AB CD 且AB CD =，所以//AM NE 且AM NE =， 所以四边形AMNE 为平行四边形，所以//MN AE ，又由MN ⊄平面PAD ，AE ⊂平面PAD ，所以//MN 平面PAD .（2）证明：取PB 取一点Q ，使得13BQ BP =，即点Q 为PB 上靠近点B 的三等点，在PAB 中，因为,M Q 分别为,AB PB 的三等分点，可得MB BQAB BP=，所以//MQ PA ， 因为MQ ⊄平面PAD ，PA ⊂平面PAD ，所以//MQ 平面PAD ；又由（1）知//MN 平面PAD ，且MN MQ M ⋂=，,MN MQ ⊂平面MNQ ， 所以平面//MNQ 平面PAD ，即当点Q 为PB 上靠近点B 的三等点时，能使得平面//MNQ 平面PAD ．21．（1）1或3（2）【详解】试题分析：（1）在ACE ∆中,因为13CE =，，3BAC π∠=，所以由余弦定理2222cos CE AC AE ACAE A =-+，且13CE =，，所以213164AE AE =+-，解得1AE =或3AE =（2）该空地产生最大经济价值等价于种植甲种水果的面积最大，所以用ACE α∠=表示出1312sin 2sin()cos 2sin(2)333ECF S CE CF ECF ππααα∆=⋅∠==+++，再利用三角函数求最值得试题解析：（1）连结AC ，已知点C 在以AB 为直径的半圆周上，所以ABC ∆为直角三角形， 因为8AB =，6ABC π∠=，所以3BAC π∠=，4AC =，在ACE ∆中由余弦定理2222cos CE AC AE ACAE A =-+，且CE = 所以213164AE AE =+-， 解得1AE =或3AE =，（2）因为2ACB π∠=，6ECF π∠=，所以ACE α∠=[0,]3π∈， 所以362AFC A ACF πππππαα⎛⎫∠=-∠-∠=--+=- ⎪⎝⎭， 在ACF ∆中由正弦定理得：sin sin cos sin()2CF AC AC AC A CFAπαα===∠-所以CF =在ACE ∆中，由正弦定理得：sin sin sin()3CE AC ACA AECπα==∠+所以sin()3CE α=+若产生最大经济效益，则ECF △的面积最大，1312sin 2sin()cos 2sin(2)33ECF S CE CF ECF ππααα∆=⋅∠==++， 因为[0,]3πα∈，所以0sin(2)13πα≤+≤所以当=3πα时，取最大值为43，此时该地块产生的经济价值最大考点：①解三角形及正弦定理的应用②三角函数求最值22．（1）12a =-；（2）(,4⎤-∞⎦；（3）4325,log 23⎛⎤ ⎥⎝⎦【解析】（1）利用偶函数的定义()()f x f x -=，代入解析式，化简即可求解. （2）判断函数为增函数，将不等式转化为sin 4x x t ≥+，只需()minsin 4x xt ≥+即可.（3）根据题意，()01f =，将方程()4()(1)log 211xf f x a x ⎡⎤-+--=⎣⎦转化为()()4()(1)log 210xf f x a x f ⎡⎤-+--=⎣⎦，再利用函数的单调性，转化变形为：()2421log 21x xa +=-，通过()()2421log21xx g x +=-与y a =有2个交点求解即可.【详解】（1）由题意，若()f x 时偶函数，则()()f x f x -=则有()()22log 21log 21x xax ax -+-=++，变形可得()()222log 21log 21x xax x -=+-+=-，解得12a =-.（2）当0a >时，函数()2log 21xy =+与函数y ax =都是增函数，则()()2log 21xf x ax x R =++∈，为增函数，不等式(sin )(4)0f x x f t -+≥，对任意的233x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，恒成立，即sin 4x x t ≥+，对任意的233x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，恒成立，设sin 2sin 3y x x x π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，由233x ππ-≤≤，则2333x πππ-≤+≤，所以 2sin 23x π⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭，所以4t +≤4t ≤，所以实数t 的取值范围为(,4⎤-∞⎦.（3）根据题意，函数()()2log 21xf x ax =++，且()01f =， 则()4()(1)log 211xf f x a x ⎡⎤-+--=⎣⎦， 即()()4()(1)log 210x f f x a x f ⎡⎤-+--=⎣⎦，又由（2），当0a >时，()()2log 21xf x ax x R =++∈，为增函数，则()4()(1)log 210xf x a x -+--=， 即()()42log 21log 21x xa +--=，变形可得：()2421log21x xa +=-，设()()2421log21x xg x +=-，关于x 的方程()4()(1)log 211xf f x a x ⎡⎤-+--=⎣⎦在区间[]12，恰有两个不同的实数解， 则函数()g x 的图像与y a =有2个交点，对于()()2421log21x xg x +=-，设()()22121x xh x +=-，则()()()()22212214214212121x x x x x x h x ⎡⎤-++⎣⎦===-++---， 又由12x ≤≤，则1213x ≤-≤，则()max 9h x =，()min 8h x =，()2523h =， 若函数()g x 的图像与y a =有2个交点， 必有44325log 8log 23a =<≤， 故实数a 的取值范围为4325,log 23⎛⎤ ⎥⎝⎦.【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性与函数单调性的综合应用，考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于难题.。
【中考冲刺】2023年广东省中考数学模拟试卷(附答案)
2023年广东省中考数学模拟试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．－2021的绝对值是（ ）A ．2021-B ．12021-C ．2021D ．12020 2．剪纸是我国古老的民间艺术，下列四个剪纸图案为轴对称图形的是（ ） A ． B ．C ．D ．3．某几何体的三视图如图所示，则此几何体是（ ）A ．圆锥B ．圆柱C ．长方体D ．四棱柱 4．下列运算正确的是（ ）A ．235a a a +＝B ．3412a a a ⋅＝C ．32a a a÷＝ D ．()236236a b a b -＝ 5．关于x 的一元一次不等式58x x ≥+的解集在数轴上表示为（ ）A ．B ．C ．D ．6．如图，直线a ，b 被直线c 所截，若//a b ，170∠=︒，则2∠的度数是（ ）A ．70°B ．100°C ．110°D ．120°7．计算22111m m m m ----的结果是（ ） A ．1m + B ．1m - C ．2m - D ．2m -- 8．如图，AB 是O 的直径，点E ，C 在O 上，点A 是EC 的中点，过点A 画O 的切线，交BC 的延长线于点D ，连接EC ．若58.5ADB ∠=︒，则ACE ∠的度数为（ ）A ．29.5︒B ．31.5︒C ．58.5︒D ．63︒9．如图，O 是坐标原点，点B 在x 轴上，在OAB 中，AO ＝AB ＝5，OB ＝6，点A 在反比例函数y ＝k x（k ≠0）图象上，则k 的值（ ）A ．﹣12B ．﹣15C ．﹣20D ．﹣3010．如图，在Rt △ABC 中，△A ＝30°，△C ＝90°，AB ＝6，点P 是线段AC 上一动点，点M 在线段AB 上，当AM ＝13AB 时，PB ＋PM 的最小值为（ ）A．B．C．2D．3二、填空题11．因式分解：2728a-=________．12．解决全人类温饱问题是“世界杂交水稻之父”袁隆平先生的毕生追求．2020年中国粮食总产量达到657 000 000吨，已成为世界粮食第一大国．将657 000 000用科学记数法表示为________．13．不等式组51350xx-<⎧⎨-≥⎩的解集是__________．14．已知甲、乙两队员射击的成绩如图，设甲、乙两队员射击成绩的方差分别为2S甲、2 S 乙，则2S甲___2S乙．（填“>”、“=”、“<”）15．如图，花瓣图案中的正六边形ABCDEF的每个内角的度数是__．16．若实数x满足210x x--=，则3222021x x-+=__．17．如图，把边长为3的正方形OABC绕点O逆时针旋转n°（0＜n＜90）得到正方形ODEF，DE与BC交于点P，ED的延长线交AB于点Q，交OA的延长线于点M．若BQ：AQ＝3：1，则AM＝__________．三、解答题18．计算：（π﹣1）0＋2|﹣（13）﹣1＋tan60°．19．如图，在菱形ABCD中，点M、N分别在AB、CB上，且ADM CDN∠=∠，求证：BM BN=．20．端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．某超市节前购进了甲、乙两种畅销口味的粽子．已知购进甲种粽子的金额是1200元，购进乙种粽子的金额是800元，购进甲种粽子的数量比乙种粽子的数量少50个，甲种粽子的单价是乙种粽子单价的2倍．（1）求甲、乙两种粽子的单价分别是多少元？（2）为满足消费者需求，该超市准备再次购进甲、乙两种粽子共200个，若总金额不超过1150元，问最多购进多少个甲种粽子？21．为庆祝建党100周年，某校开展“学党史•颂党恩”的作品征集活动，征集的作品分为四类：征文、书法、剪纸、绘画．学校随机抽取部分学生的作品进行整理，并根据结果绘制成如下两幅不完整的统计图．请根据以上信息解答下列问题：（1）所抽取的学生作品的样本容量是多少？（2）补全条形统计图．（3）本次活动共征集作品1200件，估计绘画作品有多少件．22．某校数学社团开展“探索生活中的数学”研学活动，准备测量一栋大楼BC的高度．如图所示，其中观景平台斜坡DE的长是20米，坡角为37︒，斜坡DE底部D与大楼底端C的距离CD为74米，与地面CD垂直的路灯AE的高度是3米，从楼顶B测得路灯AE 项端A 处的俯角是42.6︒．试求大楼BC 的高度． （参考数据：3sin 375︒≈，4cos375≈︒，3tan 374︒≈，17sin 42.625︒≈，34cos 42.645︒≈，9tan 42.610︒≈）23．某药店新进一批桶装消毒液，每桶进价35元，原计划以每桶55元的价格销售，为更好地助力疫情防控，现决定降价销售．已知这种消毒液销售量y （桶）与每桶降价x （元）（020x <<）之间满足一次函数关系，其图象如图所示：（1）求y 与x 之间的函数关系式；（2）在这次助力疫情防控活动中，该药店仅获利1760元．这种消毒液每桶实际售价多少元？24．如图，AB 是O 的直径，C 、D 是O 上两点，且BD CD =，过点D 的直线DE AC ⊥交AC 的延长线于点E ，交AB 的延长线于点F ，连接AD 、OE 交于点G ． （1）求证：DE 是O 的切线；（2）若23DG AG =，O 的半径为2，求阴影部分的面积；（3）连结BE ，在（2）的条件下，求BE 的长．25．如图1，二次函数()()34y a x x =+-的图象交坐标轴于点A ，()0,2B -，点P 为x 轴上一动点．（1）求二次函数()()34y a x x =+-的表达式；（2）过点P 作PQ x ⊥轴分别交线段AB ，抛物线于点Q ，C ，连接AC ．当1OP =时，求ACQ 的面积；（3）如图2，将线段PB 绕点P 逆时针旋转90得到线段PD ．△当点D 在抛物线上时，求点D 的坐标；△点52,3E ⎛⎫- ⎪⎝⎭在抛物线上，连接PE ，当PE 平分BPD ∠时，直接写出点P 的坐标．参考答案：1．C【解析】【分析】根据绝对值的定义即可得出正确选项．【详解】解：-2021的绝对值是2021故选：C．【点睛】本题考查求绝对值，掌握正数的绝对值是它本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数是解题的关键．2．C【解析】【分析】过一个图形的一条直线,把这个图形分成可以完全重合的两个部分，这个图形就叫做轴对称图形；根据轴对称图形的概念求解即可．【详解】解：A、不是轴对称图形，本选项不符合题意；B、不是轴对称图形，本选项不符合题意；C、是轴对称图形，本选项符合题意；D、不是轴对称图形，本选项不符合题意．故选：C．【点睛】本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．3．B【解析】【详解】解：圆柱体的主视图、左视图、右视图，都是长方形（或正方形），俯视图是圆，故选：B．【点睛】本题考查三视图．4．C【解析】【分析】根据合并同类项的法则，同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方与积的乘方的性质逐项计算可判断求解．【详解】解：A．2a与3a不是同类项，不能合并，故A选项不符合题意；B．347a a a⋅=，故B选项不符合题意；C．32÷=，故C选项符合题意；a a aD．3262-=，故D选项不符合题意，(3)9a b a b故选：C．【点睛】本题考查了合并同类项的法则，同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方与积的乘方，掌握以上知识是解题的关键．5．B【解析】【分析】求出不等式的解集，并表示出数轴上即可．【详解】≥+x x58x≥解得2x≥表示在数轴上，如图将2故选B【点睛】本题考查了解一元一次不等式，并将不等式的解集表示在数轴上，数形结合是解题的关键．6．C【解析】【分析】由已知条件//a b ，可得1370==︒∠∠，由平角的性质可得23180∠+∠=︒代入计算即可得出答案．【详解】解：如图，//a b ，1370∴∠=∠=︒，23180∠+∠=︒，2180318070110∴∠=︒-∠=︒-︒=︒．故选：C ．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质进行求解是解决本题的关键． 7．B【解析】【分析】根据分式的减法法则可直接进行求解．【详解】 解：()2221212111111m m m m m m m m m m ---+-===-----； 故选B ．【点睛】本题主要考查分式的减法运算，熟练掌握分式的减法运算是解题的关键．8．B【解析】【分析】根据切线的性质得到BA△AD，根据直角三角形的性质求出△B，根据圆周角定理得到△ACB=90°，进而求出△BAC，根据垂径定理得到BA△EC，进而得出答案．【详解】解：△AD是△O的切线，△BA△AD，△△ADB=58.5°，△△B=90°-△ADB=31.5°，△AB是△O的直径，△△ACB=90°，△△BAC=90°-△B=58.5°，△点A是弧EC的中点，△BA△EC，△△ACE=90°-△BAC=31.5°，故选：B．【点睛】本题考查的是切线的性质、圆周角定理、垂径定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．9．A【解析】【分析】过A点作AC△OB，利用等腰三角形的性质求出点A的坐标即可解决问题．【详解】解：过A点作AC△OB，△AO＝AB，AC△OB，OB＝6，△OC＝BC＝3，在Rt△AOC中，OA＝5，△AC4，△A（﹣3，4），把A（﹣3，4）代入y＝kx，可得k＝﹣12故选：A．【点睛】本题考查反比例函数图象上的点的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．10．B【解析】【分析】作B点关于AC的对称点B'，连接B'M交AC于点P，则PB＋PM的最小值为B'M的长，过点B'作B'H△AB交H点，在Rt△BB'H中，B'H＝HB＝3，可求MH＝1，在Rt△MHB'中，B'M＝PB＋PM的最小值为【详解】解：作B点关于AC的对称点B'，连接B'M交AC于点P，△BP＝B'P，BC＝B'C，△PB＋PM＝B'P＋PM≥B'M，△PB＋PM的最小值为B'M的长，过点B'作B'H△AB交H点，△△A ＝30°，△C ＝90°，△△CBA ＝60°，△AB ＝6，△BC ＝3，△BB '＝BC ＋B 'C ＝6，在Rt △BB 'H 中，△B 'BH ＝60°，∴△BB 'H ＝30°，△BH ＝3，由勾股定理可得：'B H =△AH ＝AB －BH ＝3，△AM ＝13AB ， △AM ＝2，△MH ＝AH －AM ＝1，在Rt △MHB '中，'B M =△PB ＋PM 的最小值为故选：B ．【点睛】本题考查轴对称—最短路线问题，涉及到解直角三角形，解题的关键是做辅助线，找出PB ＋PM 的最小值为B 'M 的长．11．7(2)(2)a a +-【解析】【分析】先提取公因式7，然后再使用平方差公式求解即可．【详解】解：原式2=7(4)7(2)(2)a a a -=+-，故答案为：7(2)(2)a a +-．【点睛】本题考查了因式分解的方法，先提公因式，再看能否套平方差公式或完全平方式． 12．6.57×108【解析】【分析】由题意结合科学记数法表示较大的数时，一般形式为a ×10n ，其中1≤|a |＜10，n 为整数，且n 比原来的整数位数少1，据此进行分析即可．【详解】解：将657 000 000用科学记数法表示为6.57×108．故答案为：6.57×108．【点睛】本题主要考查用科学记数法表示较大的数，一般形式为a ×10n ，其中1≤|a |＜10，确定a 与n 的值是解题的关键．13．563x < 【解析】【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．【详解】解：解不等式51x -<，得：6x <，解不等式350x -，得：53x ， 则不等式组的解集为563x <， 故答案为：563x <． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．14．＞【解析】【分析】先计算两组数据的平均数，再计算它们的方差，即可得出答案．【详解】解：甲射击的成绩为：6，7，7，7，8，8，9，9，9，10，乙射击的成绩为：6，7，7，8，8，8，8，9，9，10，则x甲=110×（6+7×3+8×2+9×3+10）=8，x乙=110×（6+7×2+8×4+9×2+10）=8，△S甲2=110×[（6-8）2+3×（7-8）2+2×（8-8）2+3×（9-8）2+（10-8）2]=110×[4+3+3+4]=1.4；S乙2=110×[（6-8）2+2×（7-8）2+4×（8-8）2+2×（9-8）2+（10-8）2]=110×[4+2+2+4]=1.2；△1.4＞1.2，△S甲2＞S乙2，故答案为：＞．【点睛】题主要考查了平均数及方差的知识．方差的定义：一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为，则方差S2=1n[（x1-x）2+（x2-x）2+…+（xn-x）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．15．120°【解析】【分析】多边形的内角和可以表示成(n ﹣2)•180°，因为所给多边形的每个内角均相等，可设这个正六边形的每一个内角的度数为x ，故又可表示成6x ，列方程可求解．【详解】解：设这个正六边形的每一个内角的度数为x ，则6x ＝(6﹣2)•180°，解得x ＝120°．故答案为：120°．【点睛】本题考查根据多边形的内角和计算公式及求正多边形的内角的度数，解答时要会根据公式进行正确运算、变形和数据处理．16．2020【解析】【分析】由等式性质可得21x x =+，21x x -=，再整体代入计算可求解．【详解】解：210--=x x ，21x x ∴=+，21x x -=，3222021x x -+2(1)22021x x x =+-+2222021x x x =+-+22021x x =-+12021=-+2020=．故答案为：2020．【点睛】本题主要考查因式分解的应用，将等式转化为21x x =+，21x x -=是解题的关键．17．25【解析】【分析】连接OQ ，OP ，利用HL 证明Rt △OAQ △Rt △ODQ ，得QA =DQ ，同理可证：CP =DP ，设CP =x ，则BP =3-x ，PQ =x +34，在Rt △BPQ 中，利用勾股定理列出方程求出x =95，再利用△AQM △△BQP 可求解．【详解】解：连接OQ ，OP ，△将正方形OABC 绕点O 逆时针旋转n °（0＜n ＜90）得到正方形ODEF ，△OA =OD ，△OAQ =△ODQ =90°，在Rt △OAQ 和Rt △ODQ 中，OQ OQ OA OD=⎧⎨=⎩， △Rt △OAQ △Rt △ODQ （HL ），△QA =DQ ，同理可证：CP =DP ，△BQ ：AQ =3：1，AB =3，△BQ =94，AQ =34， 设CP =x ，则BP =3-x ，PQ =x +34， 在Rt △BPQ 中，由勾股定理得：(3-x )2+(94)2=(x +34)2， 解得x =95， △BP =65， △△AQM =△BQP ，△BAM =△B ，△△AQM △△BQP ，△13AM AQ BP BQ ==， △1635AM =，△AM =25． 故答案为：25． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质等知识，利用全等证明QA =DQ ，CP =DP 是解题的关键．18．0【解析】【分析】根据011(1)1,()223π--===60°角的正切值解题即可． 【详解】解：原式123=+0=．【点睛】本题考查实数的混合运算，涉及零指数幂、负整指数幂、绝对值、正切等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．19．见解析【解析】【分析】菱形ABCD 中，四边相等，对角相等，结合已知条件ADM CDN ∠=∠，可利用三角形全等进行证明，得到AM CN =，再线段之差相等即可得证．【详解】四边形ABCD 是菱形,,BA BC DA DC A C ∴==∠=∠在AMD 和CND △中A C DA DCADM CDN ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴AMD ≌CND △(ASA)AM CN ∴=BA BC =BA AM BC CN ∴-=-即BM BN =．【点睛】本题考查了三角形全等的证明，菱形的性质，根据题意找准三角形证明的条件，利用角边角进行三角形全等的证明是解题的关键．20．（1）乙种粽子的单价为4元，则甲种粽子的单价为8元；（2）最多购进87个甲种粽子【解析】【分析】（1）设乙种粽子的单价为x 元，则甲种粽子的单价为2x 元，然后根据“购进甲种粽子的金额是1200元，购进乙种粽子的金额是800元，购进甲种粽子的数量比乙种粽子的数量少50个”可列方程求解；（2）设购进m 个甲种粽子，则购进乙种粽子为（200-m ）个，然后根据（1）及题意可列不等式进行求解．【详解】解：（1）设乙种粽子的单价为x 元，则甲种粽子的单价为2x 元，由题意得：1200800502x x+=， 解得：4x =，经检验4x =是原方程的解，答：乙种粽子的单价为4元，则甲种粽子的单价为8元．（2）设购进m 个甲种粽子，则购进乙种粽子为（200-m ）个，由（1）及题意得： ()842001150m m +-≤，解得：87.5m ≤，△m 为正整数，△m 的最大值为87；答：最多购进87个甲种粽子．【点睛】本题主要考查分式及一元一次不等式的应用，熟练掌握分式方程的解法及一元一次不等式的解法是解题的关键．21．（1）120；（2）图形见解析；（3）360件【解析】【分析】（1）根据剪纸的人数除以所占百分比，得到抽取作品的总件数；（2）由总件数减去其他作品数，求出绘画作品的件数，补全条形统计图即可；（3）求出样本中绘画作品的百分比，乘以1200即可得到结果．【详解】解：（1）根据题意得：1210%120÷=（件），所抽取的学生作品的样本容量是120；（2）绘画作品为120(423012)36-++=（件），补全统计图，如图所示：（3）根据题意得：361200360120⨯=（件），则绘画作品约有360件．答：本次活动共征集作品1200件时，绘画作品约有360件．【点睛】本题主要考查了总体、个体、样本、样本容量，用样本估计总体，条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．22．96米【解析】【分析】延长AE 交CD 延长线于M ，过A 作AN△BC 于N ，则四边形AMCN 是矩形，得NC=AM ，AN=MC ，由锐角三角函数定义求出EM 、DM 的长，得出AN 的长，然后由锐角三角函数求出BN 的长，即可求解．【详解】延长AE 交CD 于点M ，过点A 作AN BC ⊥，交BC 于点N ，由题意得，90AMC NCM ANC ∠=∠=∠=︒，△四边形AMCN 为矩形，△NC AM =，NA CM =.在Rt EMD △中，90EMD ∠=︒， △sin EM EDM ED ∠=，cos DM EDM ED ∠=， △sin 3720EM ︒=，cos3720MD ︒=， △320sin 3720125EM =⋅≈⨯=︒， △420cos3720165DM =⋅︒≈⨯=. 在Rt BNA △中，90BNA ∠=︒， △tan BN BAN AN ∠=， △tan 42.67416BN ︒=+， △990tan 42.6908110BN =≈⨯=︒， △8131296BC BN AE EM =++=++=.答：大楼BC 的高度约为96米.【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．23．（1）y =10x +100；（2）这种消毒液每桶实际售价43元【解析】【分析】（1）设y 与x 之间的函数表达式为y kx b =+，将点(1,110)、(3,130)代入一次函数表达式，即可求解；（2）根据利润等于每桶的利润乘以销售量得关于x 的一元二次方程，通过解方程即可求解．【详解】解：（1）设y 与销售单价x 之间的函数关系式为：y kx b =+，将点(1,110)、(3,130)代入一次函数表达式得：1101303k b k b =+⎧⎨=+⎩， 解得：10100k b =⎧⎨=⎩， 故函数的表达式为：10100y x =+；（2）由题意得：(10100)(5535)1760x x +⨯--=，整理，得210240x x --=．解得112x =，22x =-（舍去）．所以5543x -=．答：这种消毒液每桶实际售价43元．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用以及用待定系数法求一次函数解析式等知识，正确利用销量⨯每件的利润=总利润得出一元二次方程是解题关键．24．（1）见解析；（2）23π；（3【解析】【分析】（1）根据同圆中等弧所对的圆周角相等得到△CAD =△DAB ，根据等边对等角得到△DAB =△ODA ，则△CAD =△ODA ，即可判定OD △AE ，进而得到OD △DE ，据此即可得解；（2）连接BD ，根据相似三角形的性质求出AE =3，AD△DAB =30°，则△EAF =60°，△DOB =60°，DFS 阴影=S △DOF -S 扇形DOB 即可得解；（3）过点E 作EM △AB 于点M ，连接BE ，解直角三角形得到AM =32，EM MB =52，再根据勾股定理求解即可． 【详解】解：（1）证明：如图，连接OD ，BD CD =，CAD DAB ∴∠=∠，OA OD =，DAB ODA ∴∠=∠，CAD ODA ∴∠=∠，//OD AE ∴，DE AC ⊥，OD DE ∴⊥， OD 是O 的半径，DE ∴是O 的切线；（2）解：//OD AE ，OGD EGA ∴∆∆∽， ∴DG OD AG AE=， 23DG AG =，O 的半径为2， ∴223AE=， 3AE ∴=，如图，连接BD ，AB 是O 的直径，DE AE ⊥，90AED ADB ∴∠=∠=︒，CAD DAB ∠=∠，AED ADB ∴∆∆∽， ∴AE AD AD AB=， 即34AD AD =，AD ∴=在Rt ADB ∆中，cos AD DAB AB ∠= 30DAB ∴∠=︒，60EAF ∴∠=︒，60DOB ∠=︒，30F ∴∠=︒，2OD =，2tan30DF ∴=︒216022223603DOF DOB S S S ππ∆⨯∴=-=⨯⨯=阴影扇形； （3）如图，过点E 作EM AB ⊥于点M ，连接BE ，在Rt AEM ∆中，13cos60322AM AE =⋅︒=⨯=，sin 60EM AE =⋅︒ 35422MB AB AM ∴=-=-=，BE ∴ 【点睛】此题是圆的综合题，考查了切线的判定与性质、扇形的面积、相似三角形的判定与性质、解直角三角形，熟练掌握切线的判定与性质、相似三角形的判定与性质并证明△OGD △△EGA 求出AE 是解题的关键．25．（1）211266y x x =--；（2）34；（3）△(3,1)D -或(8,10)-；△1(,0)3-或(2,0)． 【解析】【分析】（1）根据B 点的坐标以及已知条件，将B 的坐标代入即可求得a 的值，进而求得抛物线的解析式；（2）依题意根据（1）的解析式求得A 的坐标，进而求得1tan 2OAB ∠=，据此求得PQ ，根据1OP =进而求得C 的坐标，根据12ACQ S QC AP =⋅⋅△即可求得ACQ 的面积；（3）△过D 作DF x ⊥轴，分D 点在x 轴上方和下方两种情况讨论，证明BOP PFD △≌△，设(,0)P a ，(2,)D a a +-将点D 的坐标代入（1）中抛物线解析式中即可求得D 点的坐标情形2，方法同情形1；△分当PE 不平行于y 轴和//PE y 轴两种情况讨论，当当PE 不平行于y 轴时，过点B 作BM BP ⊥交PE 于点M ,过点M 作MH OB ⊥于点H ，证明BOP MHB △≌△进而可得P 的坐标，当//PE y 轴时，结合已知条件即可求得P 的坐标．【详解】（1）二次函数()()34y a x x =+-的图象经过()0,2B -∴122a -=- 解得16a = ∴()()34y a x x =+-1(3)(4)6x x =+- ∴211266y x x =-- （2）由1(3)(4)6y x x =+-，令0y = 解得123,4x x =-=(4,0),4A OA ∴=21tan 42OB OAB OA ∠=== ∴当1OP =时，413PA OA OP =-=-=13tan 322PQ PA OAB =⋅∠=⨯= ∴1C x =,则()()1131426C y =+-=- 111332224ACQ S QC AP ∴=⋅⋅=⨯⨯=△； （3）如图，当点D 在x 轴下方时，过点D 作DF AP ⊥于点F ，由211266y x x =--，令0x =， 解得2y =-(0,2)B ，2OB =90FPD PDF ∴∠+∠=︒，将线段PB 绕点P 逆时针旋转90得到线段PD ，90BPD ∴∠=︒90OPB FPD ∴∠+∠=︒OPB PDF ∴∠=∠90,BOP PFD PB DP ∠=∠=︒=∴BOP PFD △≌△2BO PF ∴==，OP DF =，设(0)OP DF a a ==>，2OF OP PF a ∴=+=+(2,)D a a ∴+-D 点在抛物线上，∴()()123246a a a +++-=- 解得121,10a a ==-（舍）(3,1)D ∴-当点D 在x 轴上方时，如图，过点D 作DF AP ⊥于点F ，设OF a =(0)a >同理可得BOP PFD △≌△2,2BO PF DF OP a ∴====+(,2)D a a ∴-+ D 点在抛物线上， ∴()()13426a a a -+--=+ 解得128,3a a ==-（舍去），(8,10)D ∴-综上所述，(3,1)D -或(8,10)-；△当PE 不平行于y 轴时，过点B 作BM BP ⊥交PE 于点M ,过点M 作MH OB ⊥于点H ，如图，PE 平分BPD ∠，PD PB ⊥，45BPE ∴∠=︒，BP BM ⊥,90HBM PBO ∴∠+∠=︒，90,BOP BHM PB BM ∠=∠=︒=90HBM PBO ∴∠+∠=︒90BPO PBO ∠+∠=︒BPO HBM ∴∠=∠90,BOP BHM PB BM ∴∠=∠=︒=BOP MHB ∴△≌△2HM OB ∴==2M x ∴=∴当PE 不平行于y 轴时，,E M 重合，BOP MHB △≌△，52,3E ⎛⎫- ⎪⎝⎭ ∴51233OP BH OB OH ==-=-=- 1(,0)3P ∴- 当PE //y 轴时，如图，此时P E x x =则(2,0)P综上所述，当PE平方BPD∠时，点P的坐标为1(,0)3-或(2,0)．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数与坐标轴交点，正切的定义，三角形全等的性质与判定，分类讨论是解题的关键．。
2020年广东广州中考数学试卷(解析版)
2020年广东广州中考数学试卷（解析版）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1.广州市作为国家公交都市建设示范城市，市内公共交通日均客运量已达人次．将用科学记数法表示应为（ ）．A. B. C. D.2.某校饭堂随机抽取了名学生，对他们最喜欢的套餐种类进行问卷调查后（每人选一种），绘制了如图的条形统计图，根据图中的信息，学生最喜欢的套餐种类是（ ）．人数套餐种类一二三四A.套餐一B.套餐二C.套餐三D.套餐四3.下列运算正确的是（ ）．A.B.C.D.4.中，点，分别是的边，的中点，连接，若，则（ ）．A.B.C.D.5.如图所示的圆锥，下列说法正确的是（ ）．正面A.该圆锥的主视图是轴对称图形B.该圆锥的主视图是中心对称图形C.该圆锥的主视图既是轴对称图形，又是中心对称图形D.该圆锥的主视图既不是轴对称图形，也不是中心对称图形6.一次函数的图象过点，，，则（ ）．A.B.C.D.7.如图，中，，，，以点为圆心，为半径作⊙，当时，⊙与的位置关系是（ ）．A.相离B.相切C.相交D.无法确定8.往直径为的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽，则水的最大深度为（ ）．A.B.C.D.9.直线不经过第二象限，则关于的方程实数解的个数是（ ）．A.个B.个C.个D.个或个10.如图，矩形的对角线，交于点，，，过点作，交于点，过点作，垂足为，则的值为（ ）．A.B.C.D.二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11.已知，那么的补角等于 度．12.计算： ．13.方程的解是 ．14.如图，点的坐标为，点在轴上，把沿轴向右平移到，若四边形的面积为，则点的坐标为 ．15.如图，正方形中，绕点逆时针旋转到，，分别交对角线于点，，若，则的值为 ．16.对某条线段的长度进行了次测量，得到个结果（单位：），，，若用作为这条线段长度的近似值，当时， 最小．对另一条线段的长度进行了次测量，得到个结果（单位：），，，，若用作为这条线段长度的近似值，当时，最小．三、解答题（本大题共9小题，共102分）17.解不等式组：．18.如图，，，．求的度数．19.已知反比例函数的图象分别位于第二、第四象限，化简．（1）（2）20.为了更好地解决养老问题，某服务中心引入优质社会资源为甲、乙两个社区共名老人提供居家养老服务，收集得到这名老人的年龄（单位“岁”）如下：甲社区乙社区根据以上信息解答下列问题：求甲社区老人年龄的中位数和众数．现从两个社区年龄在岁以下的名老人中随机抽取名了解居家养老服务情况，求这名老人恰好来自同一个社区的概率．（1）（2）21.如图，平面直角坐标系中，平行四边形的边在轴上，对角线，交于点，函数的图象经过点和点．求的值和点的坐标．求平行四边形的周长．22.粤港澳大湾区自动驾驶产业联盟积极推进自动驾驶出租车应用落地工作，无人化是自动驾驶的终极目标．某公交集团拟在今明两年共投资万元改装辆无人驾驶出租车投放市场．今年每辆无人驾驶出租车的改装费用是万元，预计明年每辆无人驾驶出租车的改装费用可下降．（1）（2）求明年每辆无人驾驶出租车的预计改装费用是多少万元．求明年改装的无人驾驶出租车是多少辆．（1）12（2）23.如图，中，．作点关于的对称点．（要求：尺规作图，不写做法，保留作图痕迹）在（）所作的图中，连接，，连接，交于点．求证：四边形是菱形．取的中点，连接，若，，求点到的距离．（1）（2）（3）24.如图，⊙为等边的外接圆，半径为，点在劣弧上运动（不与点，重合），连接，，．求证：是的平分线．四边形的面积是线段的长的函数吗？如果是，求出函数解析式；如果不是，请说明理由．若点，分别在线段，上运动（不含端点），经过探究发现，点运动到每一个确定的位置，的周长有最小值，随着点的运动，的值会发生变化，求所有值中的最大值．（1）（2）（3）25.平面直角坐标系中，抛物线：过点，，，顶点不在第一象限，线段上有一点，设的面积为，的面积为，．用含的式子表示．求点的坐标．【答案】解析:．解析:喜欢套餐一的学生人数最多．故选．解析:∵点，分别是的边，的中点，∴是的中位线，∴，∴．故选．若直线与抛物线的另一个交点的横坐标为，求在时的取值范围（用含的式子表示）．C1.A2.D3.B4.解析:圆锥的主视图是等腰三角形，等腰三角形是轴对称图形，不是中心对称图形．故选．解析:∵，∴随的增大而减小，∵，∴．故选．解析:∵，，，∴，∴，∵且．∴是⊙的切线．故选．解析:∵圆直径为，∴半径为．过点作，则，A 5.B 6.B 7.C 8.∴，∴最大水深是．故选．解析:∵直线不经过第二象限，∴．当时，方程为一元一次方程，有一个实数解．当时，方程为一元二次方程，，有两个不相等的实数解．解析:由矩形性质可得，∵等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于腰上的高，则等于点到的距离，∵，，∴，∴点到的距离．故选．解析:，则的补角为，故答案为：．D 9.C 10.11.解析:．解析:两边同时乘以，得，代入分母检验，可得是分式方程的解．解析:∵平行四边形的面积为，高为，∴，∴，∵，∴．解析:∵，，∴，∴．解析:解第一个不等式得：；解第二个不等式得：，由同大取大，可得不等式组的解集为：．解析:在和中，12.13.14.15. ; 16.．17.．18.（1）（2），∴≌（），∴，∵，，∴．解析:∵反比例函数图象位于第二、四象限，∴，∴，原式．解析:中位数为按顺序排好后最中间一个数为；出现的次数最多，即为众数．岁以下的名老人分别为甲社区、，乙社区、．分别标记为、、、，树形图如下：由树形图可得，共有种等可能事件，其中有种情况满足要求，分别为，，，，则这名老人恰好来自同一个社区的概率是：．．19.（1）中位数，众数．（2）．20.（1）（2）（1）（2）（1）解析:把代入，可得即，反比例函数解析式为，∵为平行四边形对角线交点，在轴上，∴点纵坐标为，为中点，∴点纵坐标为，当时，，则点坐标为．∵已知、，为中点，∴点为，∴，，∴平行四边形的周长为．解析:（万元），答：明年每辆无人驾驶出租车的预计改装费用是万元．设明年改装的无人驾驶出租车是辆，由题可得，解得，答：明年改装的无人驾驶出租车是辆．解析:如图所示，点为所求．（1）；．（2）．21.（1）万元．（2）辆．22.（1）画图见解析．12（2）证明见解析．．23.12（2）（1）∵点、点关于对称，∴垂直平分，∴，，∵，∴，∴，∴四边形是菱形．由①可知，在菱形中，、互相垂直平分，∵为中点，为中点，∴，，∴，，在中，，∴，∴，过点作于，则，即，，∴点到距离为．解析:∵是等边三角形，∴，菱形菱形（1）证明见解析．（2）．（3）．24.（2）（3）∵、是所对圆周角，∴，同理，，∴，∴是的平分线．四边形的面积是线段的长的函数，理由如下：延长到点使得，连接，∵，，∴是等边三角形，∴，，∵，，∴，∵在和中，，∴≌，∴，∵，是等边三角形，∴，，当、、三点共线时，最长，∴，∴，∴．分别作点关于、的对称点、．连接交、于点、，四边形（1）（2）此时的周长有最小值，由对称的性质可知，，，，，∵，∴，在等腰三角形中，即，∵⊙的半径为，∴当为直径时，取最大值，此时有最大值．解析:把点代入，可得，即．由可得抛物线对称轴为直线，设直线与对称轴直线交于点，根据题意，画出对应的函数图象，①当点在点的左边时，如图：（1）．（2）或．（3）．25.（3），，∵即，∴，，∵、关于对称轴对称，∴，∴，点坐标为．②当点在点的右边时，如图：与①同理，可得，此时点坐标为，综上所述：点坐标为或．∵直线与抛物线的另一个交点的横坐标为，∴，，此时点坐标为，∵，∴，顶点坐标为，设直线的解析式为，过点，有，解得，∴直线的解析式为，∵直线与抛物线交于、两点，∴联立解析式，得，由韦达定理，可得，化简得，∴抛物线解析式为，、∵，对称轴为直线且，∴当时，；当时，，∴的取值范围为．。
2024年广东省广州市中考数学试卷正式版含答案解析
绝密★启用前2024年广东省广州市中考数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。
第I卷（选择题）一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.四个数−10，−1，0，10中，最小的数是( )A. −10B. −1C. 0D. 102.下列图案中，点O为正方形的中心，阴影部分的两个三角形全等，则阴影部分的两个三角形关于点O对称的是( )A. B. C. D.3.若a≠0，则下列运算正确的是( )A. a2+a3=a5B. a3⋅a2=a5C. 2a⋅3a=5aD. a3÷a2=14.若a<b，则( )A. a+3>b+3B. a−2>b−2C. −a<−bD. 2a<2b5.为了解公园用地面积x(单位：公顷)的基本情况，某地随机调查了本地50个公园的用地面积，按照0<x≤4，4<x≤8，8<x≤12，12<x≤16，16<x≤20的分组绘制了如图所示的频数分布直方图，下列说法正确的是( )A. a的值为20B. 用地面积在8<x≤12这一组的公园个数最多C. 用地面积在4<x≤8这一组的公园个数最少D. 这50个公园中有一半以上的公园用地面积超过12公顷6.某新能源车企今年5月交付新车35060辆，且今年5月交付新车的数量比去年5月交付的新车数量的1.2倍还多1100辆.设该车企去年5月交付新车x辆，根据题意，可列方程为( )A. 1.2x+1100=35060B. 1.2x−1100=35060C. 1.2(x+1100)=35060D. x−1100=35060×1.27.如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC=6，D为边BC的中点，点E，F分别在边AB，AC上，AE=CF，则四边形AEDF的面积为( )A. 18B. 9√ 2C. 9D. 6√ 28.函数y1=ax2+bx+c与y2=k的图象如图所示，当()时，y1，y2均随着xx的增大而减小．A. x<−1B. −1<x<0C. 0<x<2D. x>19.如图，⊙O中，弦AB的长为4√ 3，点C在⊙O上，OC⊥AB，∠ABC=30°.⊙O所在的平面内有一点P，若OP=5，则点P与⊙O的位置关系是( )A. 点P在⊙O上B. 点P在⊙O内C. 点P在⊙O外D. 无法确定10.如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为72°的扇形，若扇形的半径l是5，则该圆锥的体积是( )A. 3√ 11π8πB. √ 118C. 2√ 6ππD. 2√ 63第II卷（非选择题）二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
2021年广东省广州市中考数学试卷(附答案详解)
2021年广东省广州市中考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.下列四个选项中，为负整数的是()A. 0B. −0.5C. −√2D. −22.如图，在数轴上，点A、B分别表示a、b，且a+b=0，若AB=6，则点A表示的数为()A. −3B. 0C. 3D. −63.方程1x−3=2x的解为()A. x=−6B. x=−2C. x=2D. x=64.下列运算正确的是()A. |−(−2)|=−2B. 3+√3=3√3C. (a2b3)2=a4b6D. (a−2)2=a2−45.下列命题中，为真命题的是()(1)对角线互相平分的四边形是平行四边形(2)对角线互相垂直的四边形是菱形(3)对角线相等的平行四边形是菱形(4)有一个角是直角的平行四边形是矩形A. (1)(2)B. (1)(4)C. (2)(4)D. (3)(4)6.为了庆祝中国共产党成立100周年，某校举办了党史知识竞赛活动，在获得一等奖的学生中，有3名女学生，1名男学生，则从这4名学生中随机抽取2名学生，恰好抽到2名女学生的概率为()A. 23B. 12C. 13D. 167.一根钢管放在V形架内，其横截面如图所示，钢管的半径是24cm，若∠ACB=60°，则劣弧AB的长是()A. 8πcmB. 16πcmC. 32πcmD. 192πcm8.抛物线y=ax2+bx+c经过点(−1,0)、(3,0)，且与y轴交于点(0,−5)，则当x=2时，y的值为()A. −5B. −3C. −1D. 59.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB′C′，使点C′落在AB边上，连结BB′，则sin∠BB′C′的值为()A. 35B. 45C. √55D. 2√5510.在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的点A在函数y=1x(x>0)的图象上，点C在函数y=−4x (x<0)的图象上，若点B的横坐标为−72，则点A的坐标为()A. (12,2) B. (√22,√2) C. (2,12) D. (√2,√22)二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）11.代数式√x−6在实数范围内有意义时，x应满足的条件是______ ．12.方程x2−4x=0的实数解是______ ．13.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，线段AB的垂直平分线分别交AC、AB于点D、E，连结BD.若CD=1，则AD的长为______ ．14.一元二次方程x2−4x+m=0有两个相等的实数根，点A(x1,y1)、B(x2,y2)是反比例函数y=mx上的两个点，若x1<x2<0，则y1______ y2(填“<”或“>”或“=”)．15.如图，在△ABC中，AC=BC，∠B=38°，点D是边AB上一点，点B关于直线CD的对称点为B′，当B′D//AC时，则∠BCD的度数为______ ．16. 如图，正方形ABCD 的边长为4，点E 是边BC 上一点，且BE =3，以点A 为圆心，3为半径的圆分别交AB 、AD 于点F 、G ，DF 与AE 交于点H.并与⊙A 交于点K ，连结HG 、CH.给出下列四个结论.其中正确的结论有______ (填写所有正确结论的序号)． (1)H 是FK 的中点 (2)△HGD≌△HEC(3)S △AHG ：S △DHC =9：16(4)DK =75 三、解答题（本大题共9小题，共72.0分） 17. 解方程组{y =x −4x +y =6．18. 如图，点E 、F 在线段BC 上，AB//CD ，∠A =∠D ，BE =CF ，证明：AE =DF ．19.已知A=(mn −nm)⋅√3mnm−n．(1)化简A；(2)若m+n−2√3=0，求A的值．20.某中学为了解初三学生参加志愿者活动的次数，随机调查了该年级20名学生，统计得到该20名学生参加志愿者活动的次数如下：3，5，3，6，3，4，4，5，2，4，5，6，1，3，5，5，4，4，2，4根据以上数据，得到如下不完整的频数分布表：(1)表格中的a=______ ，b=______ ；(2)在这次调查中，参加志愿者活动的次数的众数为______ ，中位数为______ ；(3)若该校初三年级共有300名学生，根据调查统计结果，估计该校初三年级学生参加志愿者活动的次数为4次的人数．21.民生无小事，枝叶总关情，广东在“我为群众办实事”实践活动中推出“粤菜师傅”、“广东技工”、“南粤家政”三项培训工程，今年计划新增加培训共100万人次．(1)若“广东技工”今年计划新增加培训31万人次，“粤菜师傅”今年计划新增加培训人次是“南粤家政”的2倍，求“南粤家政”今年计划新增加的培训人次；(2)“粤菜师傅”工程开展以来，已累计带动33.6万人次创业就业，据报道，经过“粤菜师傅”项目培训的人员工资稳定提升，已知李某去年的年工资收入为9.6万元，预计李某今年的年工资收入不低于12.48万元，则李某的年工资收入增长率至少要达到多少？22.如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，点E是AC的中点，且AC=AD．(1)尺规作图：作∠CAD的平分线AF，交CD于点F，连结EF、BF(保留作图痕迹，不写作法)；(2)在(1)所作的图中，若∠BAD=45°，且∠CAD=2∠BAC，证明：△BEF为等边三角形．x+4分别与x轴，y轴相交于A、23.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l：y=12B两点，点P(x,y)为直线l在第二象限的点．(1)求A、B两点的坐标；(2)设△PAO的面积为S，求S关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；(3)作△PAO的外接圆⊙C，延长PC交⊙C于点Q，当△POQ的面积最小时，求⊙C的半径．24.已知抛物线y=x2−(m+1)x+2m+3．(1)当m=0时，请判断点(2,4)是否在该抛物线上；(2)该抛物线的顶点随着m的变化而移动，当顶点移动到最高处时，求该抛物线的顶点坐标；(3)已知点E(−1,−1)、F(3,7)，若该抛物线与线段EF只有一个交点，求该抛物线顶点横坐标的取值范围．25.如图，在菱形ABCD中，∠DAB=60°，AB=2，点E为边AB上一个动点，延长BA到点F，使AF=AE，且CF、DE相交于点G．(1)当点E运动到AB中点时，证明：四边形DFEC是平行四边形；(2)当CG=2时，求AE的长；(3)当点E从点A开始向右运动到点B时，求点G运动路径的长度．答案和解析1.【答案】D【解析】解：A、0是整数，但0既不是负数也不是正数，故此选项不符合题意；B、−0.5是负分数，不是整数，故此选项不符合题意；C、−√2是负无理数，不是整数，故此选项不符合题意；D、−2是负整数，故此选项符合题意．故选：D．根据整数的概念可以解答本题．本题主要考查了实数的分类．明确大于0的整数是正整数，小于0的整数是负整数是解题的关键．2.【答案】A【解析】解：∵a+b=0，∴a=−b，即a与b互为相反数．又∵AB=6，∴b−a=6．∴2b=6．∴b=3．∴a=−3，即点A表示的数为−3．故选：A．根据相反数的性质，由a+b=0，AB=6得a<0，b>0，b=−a，故AB=b+(−a)=6.进而推断出a=−3．本题主要考查相反数的性质，熟练掌握相反数的性质是解决本题的关键．3.【答案】D【解析】解：去分母，得x=2x−6，∴x=6．经检验，x=6是原方程的解．故选：D．求解分式方程，根据方程的解得结论．本题考查了解分式方程，掌握解分式方程的一般步骤是解决本题的关键．4.【答案】C【解析】解：A、|−(−2)|=2，原计算错误，故本选项不符合题意；B、3与√3不是同类二次根式，不能合并，原计算错误，故本选项不符合题意；C、(a2b3)2=a4b6，原计算正确，故本选项符合题意；D、(a−2)2=a2−4a+4，原计算错误，故本选项不符合题意．故选：C．根据绝对值的定义、二次根式的运算法则、幂的乘方和积的乘方的运算法则，完全平方公式等知识进行计算即可．本题考查绝对值、二次根式、幂的乘方和积的乘方、完全平方公式，熟练掌握运算法则和公式是解题的关键．5.【答案】B【解析】解：(1)对角线互相平分的四边形是平行四边形，正确，为真命题，符合题意；(2)对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故原命题错误，是假命题，不符合题意；(3)对角线相等的平行四边形是矩形，故原命题错误，为假命题，不符合题意；(4)有一个角是直角的平行四边形是矩形，正确，是真命题，符合题意，真命题为(1)(4)，故选：B．利用平行四边形、矩形及菱形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项．考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行四边形、矩形及菱形的判定方法，难度不大．6.【答案】B【解析】解：画树状图如图：共有12种等可能的结果，恰好抽到2名女学生的结果有6种，∴恰好抽到2名女学生的概率为612=12，故选：B．画树状图，共有12种等可能的结果，恰好抽到2名女学生的结果有6种，再由概率公式求解即可．此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．7.【答案】B【解析】解：由题意得：CA和CB分别与⊙O分别相切于点A和点B，∴OA⊥CA，OB⊥CB，∴∠OAC=∠OBC=90°，∵∠ACB=60°，∴∠AOB=120°，∴120π×24180=16π(cm)，故选：B．首先利用相切的定义得到∠OAC=∠OBC=90°，然后根据∠ACB=60°求得∠AOB= 120°，从而利用弧长公式求得答案即可．考查了弧长公式和圆周角定理，解题时，熟记弧长公式和圆周角定理即可解答，属于基础题．8.【答案】A【解析】解：如图∵抛物线y=ax2+bx+c经过点(−1,0)、(3,0)，且与y轴交于点(0,−5)，∴可画出上图，∵抛物线对称轴x=−1+32=1，∴点(0,−5)的对称点是(2,−5)，∴当x=2时，y的值为−5．故选：A．根据抛物线于x周两交点，及于y轴交点可画出大致图象，根据抛物线的对称性可求y=−5．本题考查了抛物线的图象与性质、二次函数图象上点的坐标特征等知识，画出图象利用对称性是解题的关键．9.【答案】C【解析】解：∵∠C=90°，AC=6，BC=8，∴AB=√AC2+BC2=√36+64=10，∵将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB′C′，∴AC=AC′=6，BC=B′C′=8，∠C=∠AC′B′=90°，∴BC′=4，∴B′B=√C′B′2+B′C′2=√16+64=4√5，∴sin∠BB′C′=BC′BB′=4√5=√55，故选：C．在Rt△ABC中，利用勾股定理可求AB，由旋转的性质可得AC=AC′=6，BC=B′C′=8，本题考查了旋转的性质，勾股定理，锐角三角函数等知识，利用勾股定理求出BB′长是解题的关键．10.【答案】A【解析】解：如图，作AD ⊥x 轴于D ，CE ⊥x 轴于E ，∵四边形OABC 是矩形，∴∠AOC =90°，∴∠AOD +∠COE =90°，∵∠AOD +∠OAD =90°，∴∠COE =∠OAD ，∵∠CEO =∠ODA ，∴△COE∽△OAD ， ∴S △COE S △AOD =(OC OA )2，OE AD =CE OD =OC OA ， ∵S △COE =12×|−4|=2，S △AOD =12×1=12，∴OEAD =CEOD =OC OA =21， ∴OE =2AD ，CE =2OD ，设A(m,1m )(m >0)，∴C(−2m ,2m)，∴OE =0−(−2m )=2m， ∵点B 的横坐标为−72，∴m −(−72)=2m ，整理得2m 2+7m −4=0，∴m 1=12，m 2=−4(舍去)，∴A(12,2)，故选：A ．如图，作AD ⊥x 轴于D ，CE ⊥x 轴于E ，通过证得△COE∽△OAD 得到OE AD =CE OD =OC OA =21，则OE=2AD，CE=2OD，设A(m,1m )(m>0)，则C(−2m,2m)，由OE=0−(−2m)=2m得到m−(−72)=2m，解分式方程即可求得A的坐标．本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质，矩形的性质，反比例函数系数k的几何意义，表示出点的坐标是解题的关键．11.【答案】x≥6【解析】解：代数式√x−6在实数范围内有意义时，x−6≥0，解得x≥6，∴x应满足的条件是x≥6．故答案为：x≥6．二次根式中被开方数的取值范围为被开方数是非负数．本题主要考查了二次根式有意义的条件，如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数．12.【答案】x1=0，x2=4【解析】解：方程x2−4x=0，分解因式得：x(x−4)=0，可得x=0或x−4=0，解得：x1=0，x2=4．故答案为：x1=0，x2=4．方程利用因式分解法求出解即可．此题考查了解一元二次方程−因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．13.【答案】2【解析】解：∵DE垂直平分AB，∴AD=BD，∵∠C=90°，∠A=30°，CD=1，∴BD=2CD=2，∴AD=2．故答案为2．由线段垂直平分线的性质可得AD=BD，利用含30°角的直角三角形的性质可求解BD 的长，进而求解．本题主要考查线段的垂直平分线，含30°角的直角三角形的性质，求得AD=BD是解题的关键．14.【答案】>【解析】解：∵一元二次方程x2−4x+m=0有两个相等的实数根，∴Δ=16−4m=0，解得m=4，∵m>0，∴反比例函数y=m图象在一三象限，在每个象限y随x的增大而减少，x∵x1<x2<0，∴y1>y2，故答案为>．图象经过的象限，然后由一元二次方程根的情况，求得m的值，确定反比例函数y=mx根据反比例函数的性质即可求得结论．本题考查了一元二次方程根的情况，反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．15.【答案】32°【解析】解：∵AC=BC，∴∠A=∠B=38°，∵B′D//AC，∴∠ADB′=∠A=38°，∵点B关于直线CD的对称点为B′，(38°+180°)=109°，∴∠CDB′=∠CDB=12故答案为32°．先根据等腰三角形的性质得到∠A=∠B=38°，再利用平行线的性质得∠ADB′=∠A= 38°，接着根据轴对称的性质得到∠CDB′=∠CDB，则可出∠CDB的度数，然后利用三角形内角和计算出∠BCD的度数．本题考查了轴对称的性质：轴对称的两个图形全等．也考查了平行线的性质和等腰三角形的性质．16.【答案】(1)(3)(4)【解析】解：(1)在△ABE与△DAF中，{AD=AB∠DAF=∠ABE AF=BE，∴△ABE≌△DAF(SAS)，∴∠AFD=∠AEB，∴∠AFD+∠BAE=∠AEB+∠BAE=90°，∴AH⊥FK，由垂径定理，得：FH=HK，即H是FK的中点，故(1)正确；(2)如图，过H分别作HM⊥AD于M，HN⊥BC于N，∵AB=4，BE=3，∴AE=√AB2+BE2=5，∵∠BAE=∠HAF=∠AHM，∴cos∠BAE=cos∠HAF=cos∠AHM，∴AMAH =AHAF=ABAE=45，∴AH =125，HM =4825， ∴HN =4−4825=5225，即HM ≠HN ，∵MN//CD ，∴MD =CN ，∵HD =√HM 2+MD 2，HC =√HN 2+CN 2，∴HC ≠HD ，∴△HGD≌△HEC 是错误的，故(2)不正确；(3)由(2)知，AM =√AH 2−HM 2=3625，∴DM =4−3625=6425，∵MN//CD ，∴MD =HT =6425，∴S △AHGS △HCD =12AG⋅HM 12CD⋅HT =916，故(3)正确；(4)由(2)知，HF =√AF 2−AH 2=95，∴FK =2HF =185，∴DK =DF −FK =75，故(4)正确．(1)先证明△ABE≌△DAF ，得∠AFD +∠BAE =∠AEB +∠BAE =90°，AH ⊥FK ，由垂径定理，得：FH =HK ，即H 是FK 的中点；(2)只要证明题干任意一组对应边不相等即可；(3)分别过H 分别作HM ⊥AD 于M ，HN ⊥BC 于N ，由余弦三角函数和勾股定理算出了HM ，HT ，再算面积，即得S △AHG ：S △DHC =9：16；(4)余弦三角函数和勾股定理算出了FK ，即可得DK ．本题是圆的综合题，考查了全等的性质和垂径定理，勾股定理和三角函数解直角三角形，数学应用三角函数快速计算是本题关键．17.【答案】解：{y =x −4①x +y =6②， 将①代入②得，x +(x −4)=6，将x =5代入①得，y =1，∴方程组的解为{x =5y =1．【解析】用代入消元法解二元一次方程组即可．本题考查二元一次方程组的解，熟练掌握代入消元法、加减消元法解二元一次方程组是解题的关键．18.【答案】证明：∵AB//CD ，∴∠B =∠C ．在△ABE 和△DCF 中，{∠A =∠D,∠B =∠C,BE =CF,∴△ABE≌DCF(AAS)．∴AE =DF ．【解析】欲证AE =DF ，可证△ABE≌DCF.由AB//CD ，得∠B =∠C.又因为∠A =∠D ，BE =CF ，所以△ABE≌△DCF ．本题主要考查平行线的性质以及全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解决本题的关键．19.【答案】解：(1)A =(m n −n m )⋅√3mn m−n=m 2−n 2mn ⋅√3mn m −n=(m +n)(m −n)mn ⋅√3mn m −n=√3(m +n)；(2)∵m +n −2√3=0，∴m +n =2√3，当m +n =2√3时，A =√3×2√3=6．【解析】(1)根据分式的减法和除法可以化简A ；(2)根据m +n −2√3=0，可以得到m +n =2√3，然后代入(1)中化简后的A ，即可求本题主要考查了分式的化简求值，熟练运用分式运算法则化简是解题的关键，注意代入计算要仔细，属于常考题型．20.【答案】4 5 4 4【解析】解：(1)由该20名学生参加志愿者活动的次数得：a=4，b=5，故答案为：4，5；(2)该20名学生参加志愿者活动的次数从小到大排列如下：1，2，2，3，3，3，3，4，4，4，4，4，4，5，5，5，5，5，6，6，∵4出现的最多，由6次，=4，∴众数为4，中位数为第10，第11个数的平均数4+42故答案为：4，4；(3)300×6=90(人)．20答：估计该校初三年级学生参加志愿者活动的次数为4次的人数有90人．(1)由题中的数据即可求解；(2)根据中位数、众数的定义，即可解答；(3)根据样本估计总体，即可解答．此题考查了频数分布表，众数、中位数，样本估计总体，掌握众数、中位数的定义是本题的关键，中位数是将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后，最中间的那个数(最中间两个数的平均数)，众数是一组数据中出现次数最多的数．21.【答案】解：(1)设“南粤家政”今年计划新增加培训x万人次，则“粤菜师傅”今年计划新增加培训2x万人次，依题意得：31+2x+x=100，解得：x=23．答：“南粤家政”今年计划新增加培训23万人次．(2)设李某的年工资收入增长率为m，依题意得：9.6(1+m)≥12.48，解得：m≥0.3=30%．答：李某的年工资收入增长率至少要达到30%．【解析】(1)设“南粤家政”今年计划新增加培训x万人次，则“粤菜师傅”今年计划新增加培训2x万人次，根据今年计划新增加培训共100万人次，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；(2)设李某的年工资收入增长率为m，利用李某今年的年工资收入=李某去年的年工资收入×(1+增长率)，结合预计李某今年的年工资收入不低于12.48万元，即可得出关于m 的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，再取其中的最小值即可得出结论．本题考查了一元一次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出一元一次方程；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．22.【答案】(1)解：如图，图形如图所示．(2)证明：∵AC=AD，AF平分∠CAD，∴∠CAF=∠DAF，AF⊥CD，∵∠CAD=2∠BAC，∠BAC=45°，∴∠BAE=∠EAF=∠FAD=15°，∵∠ABC=∠AFC=90°，AE=EC，∵BE=AE=EC，EF=AE=EC，∴EB=EF，∠EAB=∠EBA=15°，∠EAF=∠EFA=15°，∴∠BEC=∠EAB+∠EBA=30°，∠CEF=∠EAF+∠EFA=30°，∴∠BEF=60°，∴△BEF是等边三角形．【解析】(1)根据要求作出图形即可．(2)想办法证明EB=EF，∠BEF=60°，可得结论．本题考查作图−基本作图，等边三角形的判定，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是证明EB=EF，∠BEF=60°．23.【答案】解：(1)∵直线y=12x+4分别与x轴，y轴相交于A、B两点，∴当x=0时，y=4；当y=0时，x=−8，∴A(−8,0)，B(0,4)；(2)∵点P(x,y)为直线l在第二象限的点，∴P(x,12x+4)，∴S△APO=12OA×(12x+4)=4×(12x+4)=2x+16(−8<x<0)；∴S=2x+16(−8<x<0)；(3)∵A(−8,0)，B(0,4)，∴OA=8，OB=4，在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB=√OA2+OB2=√82+42=4√5，在⊙C中，∵PQ是直径，∴∠PQO=90°，∵∠BAO=∠Q，∴tanQ=tan∠BAO=12，∴POOQ =12，∴OQ=2OP，∴S△POQ=12OP×OQ=12OP×2OP=OP2，∴当S△POQ最小，则OP最小时，∵点P在线段AB上运动，∴当OP⊥AB时，OP最小，∴S△AOB=12×OA×OB=12×AB×OP，∴OP=OA×OBAB =4√5=8√55，∵sinQ=sin∠BAO，∴OPPQ =OBAB，∴8√55PQ=4√5，∴PQ =8， ∴⊙C 半径为4．【解析】(1)根据直线y =12x +4分别与x 轴，y 轴相交于A 、B 两点，令x =0，则y =4；令y =0，则x =−8，即得A ，B 的坐标；(2)设P(x,12x +4)，根据三角形面积公式，表示出S 关于x 的函数解析式，根据P 在线段AB 上得出x 的取值范围；(3)将S △POQ 表示为OP 2，从而当△POQ 的面积最小时，此时OP 最小，而OP ⊥AB 时，OP 最小，借助三角函数求出此时的直径即可解决问题．本题主要考查了一次函数图象上点的坐标的特征、圆的性质、以及三角函数的知识，将S △POQ 表示为OP 2是解决问题的关键．24.【答案】解：(1)当m =0时，抛物线为y =x 2−x +3，将x =2代入得y =4−2+3=5， ∴点(2,4)不在抛物线上；(2)抛物线y =x 2−(m +1)x +2m +3的顶点为(m+12,4(2m+3)−[−(m+1)]24)，化简得(m+12,−m 2+6m+114)，顶点移动到最高处，即是顶点纵坐标最大， 而−m 2+6m+114=−14(m −3)2+5，∴m =3时，纵坐标最大，即是顶点移动到了最高处， 此时顶点坐标为：(2,5)；(3)设直线EF 解析式为y =kx +b ，将E(−1,−1)、F(3,7)代入得： {−1=−k +b 7=3k +b ，解得{k =2b =1， ∴直线EF 的解析式为y =2x +1，由{y =2x +1y =x 2−(m +1)x +2m +3得：{x =2y =5或{x =m +1y =2m +3， ∴直线y =2x +1与抛物线y =x 2−(m +1)x +2m +3的交点为：(2,5)和(m +1,2m +3)，而(2,5)在线段EF 上，∴若该抛物线与线段EF 只有一个交点，则(m +1,2m +3)不在线段EF 上，或(2,5)与(m +1,2m +3)重合，∴m +1<−1或m +1>3或m +1=2(此时2m +3=5)， ∴此时抛物线顶点横坐标x 顶点=m+12<−12或x 顶点=m+12>32或x 顶点=m+12=1+12=1．【解析】(1)当m =0时，抛物线为y =x 2−x +3，将x =2代入得y =5，故点(2,4)不在抛物线上；(2)抛物线y =x 2−(m +1)x +2m +3的顶点为(m+12,−m 2+6m+114)，而−m 2+6m+114=−14(m −3)2+5，即得m =3时，纵坐标最大，此时顶点移动到了最高处，顶点坐标为：(2,5)；(3)求出直线EF 的解析式为y =2x +1，由{y =2x +1y =x 2−(m +1)x +2m +3得直线y =2x +1与抛物线y =x 2−(m +1)x +2m +3的交点为：(2,5)和(m +1,2m +3)，因(2,5)在线段EF 上，由已知可得(m +1,2m +3)不在线段EF 上，即是m +1<−1或m +1>3，或(2,5)与(m +1,2m +3)重合，可得抛物线顶点横坐标x 顶点=m+12<−12或x 顶点=m+12>32或x 顶点=1．本题考查二次函数的综合应用，涉及图象上点坐标特征，顶点坐标，抛物线与线段交点等知识，解题的关键是用m 的代数式表示抛物线与直线交点的坐标．25.【答案】解：(1)连接DF ，CE ，如图所示：，∵E 为AB 中点， ∴AE =AF =12AB ， ∴EF =AB ，∵四边形ABCD 是菱形， ∴EF//AB ，∴四边形DFEC是平行四边形．(2)作CH⊥BH，设AE=FA=m，如图所示，，∵四边形ABCD是菱形，∴CD//EF，∴△CDG∽△FEG，∴CDCG =EFFG，∴FG=2m，在Rt△CBH中，∠CBH=60°，BC=2，sin60°=CHBC，CH=√3，cos60°=BHBC，BC=1，在Rt△CFH中，CF=2+2m，CH=√3，FH=3+m，CF²=CH²+FH²，即(2+2m)²=(√3)²+(3+m)²，整理得：3m²+2m−8=0，解得：m1=43，m2=−2(舍去)，∴AE=43．(3)因H点沿线段AB直线运动，F点沿线段BA的延长线直线运动，并且CD//AB，线段ED与线段CF的交点G点运动轨迹为线段AG，运动刚开始时，A、F、H、G四点重合，当H点与B点重合时，G点运动到极限位置，所以G点轨迹为线段AG，如图所示，作GH⊥AB，∵四边形ABCD 为菱形，∠DAB =60°，AB =2， ∴CD//BF ，BD =2， ∴△CDG∽△FBG ， ∴CD BF=DG BG，即BG =2DG ，∵BG +DG =BD =2， ∴BG =43，在Rt △GHB 中，BG =43，∠DBA =60°， sin60°=GHBG，GH =2√33，cos60°=BHBG，BH =23， 在Rt △AHG 中，AH =2−23=43，GH =2√33， AG²=(43)²+(2√33)²=289，∴AG =2√73． ∴G 点路径长度为2√73．【解析】(1)利用平行四边形的判定定理：两边平行且相等的四边形是平行四边形， (2)利用三角形相似，求出此时FG 的长，再借助直角三角形勾股定理求解， (3)利用图形法，判断G 点轨迹为一条线段，在对应点处求解．本题主要考查平行四边形的判定，菱形的性质，解题关键是借助锐角三角比和勾股定理求解．。
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2021年广东省广州市中考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.下列四个选项中，为负整数的是()A. 0B. −0.5C. −√2D. −22.如图，在数轴上，点A、B分别表示a、b，且a+b=0，若AB=6，则点A表示的数为()A. −3B. 0C. 3D. −63.方程1x−3=2x的解为()A. x=−6B. x=−2C. x=2D. x=64.下列运算正确的是()A. |−(−2)|=−2B. 3+√3=3√3C. (a2b3)2=a4b6D. (a−2)2=a2−45.下列命题中，为真命题的是()(1)对角线互相平分的四边形是平行四边形(2)对角线互相垂直的四边形是菱形(3)对角线相等的平行四边形是菱形(4)有一个角是直角的平行四边形是矩形A. (1)(2)B. (1)(4)C. (2)(4)D. (3)(4)6.为了庆祝中国共产党成立100周年，某校举办了党史知识竞赛活动，在获得一等奖的学生中，有3名女学生，1名男学生，则从这4名学生中随机抽取2名学生，恰好抽到2名女学生的概率为()A. 23B. 12C. 13D. 167.一根钢管放在V形架内，其横截面如图所示，钢管的半径是24cm，若∠ACB=60°，则劣弧AB的长是()A. 8πcmB. 16πcmC. 32πcmD. 192πcm8.抛物线y=ax2+bx+c经过点(−1,0)、(3,0)，且与y轴交于点(0,−5)，则当x=2时，y的值为()A. −5B. −3C. −1D. 59.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB′C′，使点C′落在AB边上，连结BB′，则sin∠BB′C′的值为()A. 35B. 45C. √55D. 2√5510.在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的点A在函数y=1x(x>0)的图象上，点C在函数y=−4x (x<0)的图象上，若点B的横坐标为−72，则点A的坐标为()A. (12,2) B. (√22,√2) C. (2,12) D. (√2,√22)二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）11.代数式√x−6在实数范围内有意义时，x应满足的条件是______ ．12.方程x2−4x=0的实数解是______ ．13.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，线段AB的垂直平分线分别交AC、AB于点D、E，连结BD.若CD=1，则AD的长为______ ．14.一元二次方程x2−4x+m=0有两个相等的实数根，点A(x1,y1)、B(x2,y2)是反比例函数y=mx上的两个点，若x1<x2<0，则y1______ y2(填“<”或“>”或“=”)．15.如图，在△ABC中，AC=BC，∠B=38°，点D是边AB上一点，点B关于直线CD的对称点为B′，当B′D//AC时，则∠BCD的度数为______ ．16. 如图，正方形ABCD 的边长为4，点E 是边BC 上一点，且BE =3，以点A 为圆心，3为半径的圆分别交AB 、AD 于点F 、G ，DF 与AE 交于点H.并与⊙A 交于点K ，连结HG 、CH.给出下列四个结论.其中正确的结论有______ (填写所有正确结论的序号)． (1)H 是FK 的中点 (2)△HGD≌△HEC(3)S △AHG ：S △DHC =9：16(4)DK =75 三、解答题（本大题共9小题，共72.0分） 17. 解方程组{y =x −4x +y =6．18. 如图，点E 、F 在线段BC 上，AB//CD ，∠A =∠D ，BE =CF ，证明：AE =DF ．19.已知A=(mn −nm)⋅√3mnm−n．(1)化简A；(2)若m+n−2√3=0，求A的值．20.某中学为了解初三学生参加志愿者活动的次数，随机调查了该年级20名学生，统计得到该20名学生参加志愿者活动的次数如下：3，5，3，6，3，4，4，5，2，4，5，6，1，3，5，5，4，4，2，4根据以上数据，得到如下不完整的频数分布表：(1)表格中的a=______ ，b=______ ；(2)在这次调查中，参加志愿者活动的次数的众数为______ ，中位数为______ ；(3)若该校初三年级共有300名学生，根据调查统计结果，估计该校初三年级学生参加志愿者活动的次数为4次的人数．21.民生无小事，枝叶总关情，广东在“我为群众办实事”实践活动中推出“粤菜师傅”、“广东技工”、“南粤家政”三项培训工程，今年计划新增加培训共100万人次．(1)若“广东技工”今年计划新增加培训31万人次，“粤菜师傅”今年计划新增加培训人次是“南粤家政”的2倍，求“南粤家政”今年计划新增加的培训人次；(2)“粤菜师傅”工程开展以来，已累计带动33.6万人次创业就业，据报道，经过“粤菜师傅”项目培训的人员工资稳定提升，已知李某去年的年工资收入为9.6万元，预计李某今年的年工资收入不低于12.48万元，则李某的年工资收入增长率至少要达到多少？22.如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，点E是AC的中点，且AC=AD．(1)尺规作图：作∠CAD的平分线AF，交CD于点F，连结EF、BF(保留作图痕迹，不写作法)；(2)在(1)所作的图中，若∠BAD=45°，且∠CAD=2∠BAC，证明：△BEF为等边三角形．x+4分别与x轴，y轴相交于A、23.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l：y=12B两点，点P(x,y)为直线l在第二象限的点．(1)求A、B两点的坐标；(2)设△PAO的面积为S，求S关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；(3)作△PAO的外接圆⊙C，延长PC交⊙C于点Q，当△POQ的面积最小时，求⊙C的半径．24.已知抛物线y=x2−(m+1)x+2m+3．(1)当m=0时，请判断点(2,4)是否在该抛物线上；(2)该抛物线的顶点随着m的变化而移动，当顶点移动到最高处时，求该抛物线的顶点坐标；(3)已知点E(−1,−1)、F(3,7)，若该抛物线与线段EF只有一个交点，求该抛物线顶点横坐标的取值范围．25.如图，在菱形ABCD中，∠DAB=60°，AB=2，点E为边AB上一个动点，延长BA到点F，使AF=AE，且CF、DE相交于点G．(1)当点E运动到AB中点时，证明：四边形DFEC是平行四边形；(2)当CG=2时，求AE的长；(3)当点E从点A开始向右运动到点B时，求点G运动路径的长度．答案和解析1.【答案】D【解析】解：A、0是整数，但0既不是负数也不是正数，故此选项不符合题意；B、−0.5是负分数，不是整数，故此选项不符合题意；C、−√2是负无理数，不是整数，故此选项不符合题意；D、−2是负整数，故此选项符合题意．故选：D．根据整数的概念可以解答本题．本题主要考查了实数的分类．明确大于0的整数是正整数，小于0的整数是负整数是解题的关键．2.【答案】A【解析】解：∵a+b=0，∴a=−b，即a与b互为相反数．又∵AB=6，∴b−a=6．∴2b=6．∴b=3．∴a=−3，即点A表示的数为−3．故选：A．根据相反数的性质，由a+b=0，AB=6得a<0，b>0，b=−a，故AB=b+(−a)=6.进而推断出a=−3．本题主要考查相反数的性质，熟练掌握相反数的性质是解决本题的关键．3.【答案】D【解析】解：去分母，得x=2x−6，∴x=6．经检验，x=6是原方程的解．故选：D．求解分式方程，根据方程的解得结论．本题考查了解分式方程，掌握解分式方程的一般步骤是解决本题的关键．4.【答案】C【解析】解：A、|−(−2)|=2，原计算错误，故本选项不符合题意；B、3与√3不是同类二次根式，不能合并，原计算错误，故本选项不符合题意；C、(a2b3)2=a4b6，原计算正确，故本选项符合题意；D、(a−2)2=a2−4a+4，原计算错误，故本选项不符合题意．故选：C．根据绝对值的定义、二次根式的运算法则、幂的乘方和积的乘方的运算法则，完全平方公式等知识进行计算即可．本题考查绝对值、二次根式、幂的乘方和积的乘方、完全平方公式，熟练掌握运算法则和公式是解题的关键．5.【答案】B【解析】解：(1)对角线互相平分的四边形是平行四边形，正确，为真命题，符合题意；(2)对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故原命题错误，是假命题，不符合题意；(3)对角线相等的平行四边形是矩形，故原命题错误，为假命题，不符合题意；(4)有一个角是直角的平行四边形是矩形，正确，是真命题，符合题意，真命题为(1)(4)，故选：B．利用平行四边形、矩形及菱形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项．考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行四边形、矩形及菱形的判定方法，难度不大．6.【答案】B【解析】解：画树状图如图：共有12种等可能的结果，恰好抽到2名女学生的结果有6种，∴恰好抽到2名女学生的概率为612=12，故选：B．画树状图，共有12种等可能的结果，恰好抽到2名女学生的结果有6种，再由概率公式求解即可．此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．7.【答案】B【解析】解：由题意得：CA和CB分别与⊙O分别相切于点A和点B，∴OA⊥CA，OB⊥CB，∴∠OAC=∠OBC=90°，∵∠ACB=60°，∴∠AOB=120°，∴120π×24180=16π(cm)，故选：B．首先利用相切的定义得到∠OAC=∠OBC=90°，然后根据∠ACB=60°求得∠AOB= 120°，从而利用弧长公式求得答案即可．考查了弧长公式和圆周角定理，解题时，熟记弧长公式和圆周角定理即可解答，属于基础题．8.【答案】A【解析】解：如图∵抛物线y=ax2+bx+c经过点(−1,0)、(3,0)，且与y轴交于点(0,−5)，∴可画出上图，∵抛物线对称轴x=−1+32=1，∴点(0,−5)的对称点是(2,−5)，∴当x=2时，y的值为−5．故选：A．根据抛物线于x周两交点，及于y轴交点可画出大致图象，根据抛物线的对称性可求y=−5．本题考查了抛物线的图象与性质、二次函数图象上点的坐标特征等知识，画出图象利用对称性是解题的关键．9.【答案】C【解析】解：∵∠C=90°，AC=6，BC=8，∴AB=√AC2+BC2=√36+64=10，∵将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB′C′，∴AC=AC′=6，BC=B′C′=8，∠C=∠AC′B′=90°，∴BC′=4，∴B′B=√C′B′2+B′C′2=√16+64=4√5，∴sin∠BB′C′=BC′BB′=4√5=√55，故选：C．在Rt△ABC中，利用勾股定理可求AB，由旋转的性质可得AC=AC′=6，BC=B′C′=8，本题考查了旋转的性质，勾股定理，锐角三角函数等知识，利用勾股定理求出BB′长是解题的关键．10.【答案】A【解析】解：如图，作AD ⊥x 轴于D ，CE ⊥x 轴于E ，∵四边形OABC 是矩形，∴∠AOC =90°，∴∠AOD +∠COE =90°，∵∠AOD +∠OAD =90°，∴∠COE =∠OAD ，∵∠CEO =∠ODA ，∴△COE∽△OAD ， ∴S △COE S △AOD =(OC OA )2，OE AD =CE OD =OC OA ， ∵S △COE =12×|−4|=2，S △AOD =12×1=12，∴OEAD =CEOD =OC OA =21， ∴OE =2AD ，CE =2OD ，设A(m,1m )(m >0)，∴C(−2m ,2m)，∴OE =0−(−2m )=2m， ∵点B 的横坐标为−72，∴m −(−72)=2m ，整理得2m 2+7m −4=0，∴m 1=12，m 2=−4(舍去)，∴A(12,2)，故选：A ．如图，作AD ⊥x 轴于D ，CE ⊥x 轴于E ，通过证得△COE∽△OAD 得到OE AD =CE OD =OC OA =21，则OE=2AD，CE=2OD，设A(m,1m )(m>0)，则C(−2m,2m)，由OE=0−(−2m)=2m得到m−(−72)=2m，解分式方程即可求得A的坐标．本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质，矩形的性质，反比例函数系数k的几何意义，表示出点的坐标是解题的关键．11.【答案】x≥6【解析】解：代数式√x−6在实数范围内有意义时，x−6≥0，解得x≥6，∴x应满足的条件是x≥6．故答案为：x≥6．二次根式中被开方数的取值范围为被开方数是非负数．本题主要考查了二次根式有意义的条件，如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数．12.【答案】x1=0，x2=4【解析】解：方程x2−4x=0，分解因式得：x(x−4)=0，可得x=0或x−4=0，解得：x1=0，x2=4．故答案为：x1=0，x2=4．方程利用因式分解法求出解即可．此题考查了解一元二次方程−因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．13.【答案】2【解析】解：∵DE垂直平分AB，∴AD=BD，∵∠C=90°，∠A=30°，CD=1，∴BD=2CD=2，∴AD=2．故答案为2．由线段垂直平分线的性质可得AD=BD，利用含30°角的直角三角形的性质可求解BD 的长，进而求解．本题主要考查线段的垂直平分线，含30°角的直角三角形的性质，求得AD=BD是解题的关键．14.【答案】>【解析】解：∵一元二次方程x2−4x+m=0有两个相等的实数根，∴Δ=16−4m=0，解得m=4，∵m>0，∴反比例函数y=m图象在一三象限，在每个象限y随x的增大而减少，x∵x1<x2<0，∴y1>y2，故答案为>．图象经过的象限，然后由一元二次方程根的情况，求得m的值，确定反比例函数y=mx根据反比例函数的性质即可求得结论．本题考查了一元二次方程根的情况，反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．15.【答案】32°【解析】解：∵AC=BC，∴∠A=∠B=38°，∵B′D//AC，∴∠ADB′=∠A=38°，∵点B关于直线CD的对称点为B′，(38°+180°)=109°，∴∠CDB′=∠CDB=12故答案为32°．先根据等腰三角形的性质得到∠A=∠B=38°，再利用平行线的性质得∠ADB′=∠A= 38°，接着根据轴对称的性质得到∠CDB′=∠CDB，则可出∠CDB的度数，然后利用三角形内角和计算出∠BCD的度数．本题考查了轴对称的性质：轴对称的两个图形全等．也考查了平行线的性质和等腰三角形的性质．16.【答案】(1)(3)(4)【解析】解：(1)在△ABE与△DAF中，{AD=AB∠DAF=∠ABE AF=BE，∴△ABE≌△DAF(SAS)，∴∠AFD=∠AEB，∴∠AFD+∠BAE=∠AEB+∠BAE=90°，∴AH⊥FK，由垂径定理，得：FH=HK，即H是FK的中点，故(1)正确；(2)如图，过H分别作HM⊥AD于M，HN⊥BC于N，∵AB=4，BE=3，∴AE=√AB2+BE2=5，∵∠BAE=∠HAF=∠AHM，∴cos∠BAE=cos∠HAF=cos∠AHM，∴AMAH =AHAF=ABAE=45，∴AH =125，HM =4825， ∴HN =4−4825=5225，即HM ≠HN ，∵MN//CD ，∴MD =CN ，∵HD =√HM 2+MD 2，HC =√HN 2+CN 2，∴HC ≠HD ，∴△HGD≌△HEC 是错误的，故(2)不正确；(3)由(2)知，AM =√AH 2−HM 2=3625，∴DM =4−3625=6425，∵MN//CD ，∴MD =HT =6425，∴S △AHGS △HCD =12AG⋅HM 12CD⋅HT =916，故(3)正确；(4)由(2)知，HF =√AF 2−AH 2=95，∴FK =2HF =185，∴DK =DF −FK =75，故(4)正确．(1)先证明△ABE≌△DAF ，得∠AFD +∠BAE =∠AEB +∠BAE =90°，AH ⊥FK ，由垂径定理，得：FH =HK ，即H 是FK 的中点；(2)只要证明题干任意一组对应边不相等即可；(3)分别过H 分别作HM ⊥AD 于M ，HN ⊥BC 于N ，由余弦三角函数和勾股定理算出了HM ，HT ，再算面积，即得S △AHG ：S △DHC =9：16；(4)余弦三角函数和勾股定理算出了FK ，即可得DK ．本题是圆的综合题，考查了全等的性质和垂径定理，勾股定理和三角函数解直角三角形，数学应用三角函数快速计算是本题关键．17.【答案】解：{y =x −4①x +y =6②， 将①代入②得，x +(x −4)=6，将x =5代入①得，y =1，∴方程组的解为{x =5y =1．【解析】用代入消元法解二元一次方程组即可．本题考查二元一次方程组的解，熟练掌握代入消元法、加减消元法解二元一次方程组是解题的关键．18.【答案】证明：∵AB//CD ，∴∠B =∠C ．在△ABE 和△DCF 中，{∠A =∠D,∠B =∠C,BE =CF,∴△ABE≌DCF(AAS)．∴AE =DF ．【解析】欲证AE =DF ，可证△ABE≌DCF.由AB//CD ，得∠B =∠C.又因为∠A =∠D ，BE =CF ，所以△ABE≌△DCF ．本题主要考查平行线的性质以及全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解决本题的关键．19.【答案】解：(1)A =(m n −n m )⋅√3mn m−n=m 2−n 2mn ⋅√3mn m −n=(m +n)(m −n)mn ⋅√3mn m −n=√3(m +n)；(2)∵m +n −2√3=0，∴m +n =2√3，当m +n =2√3时，A =√3×2√3=6．【解析】(1)根据分式的减法和除法可以化简A ；(2)根据m +n −2√3=0，可以得到m +n =2√3，然后代入(1)中化简后的A ，即可求本题主要考查了分式的化简求值，熟练运用分式运算法则化简是解题的关键，注意代入计算要仔细，属于常考题型．20.【答案】4 5 4 4【解析】解：(1)由该20名学生参加志愿者活动的次数得：a=4，b=5，故答案为：4，5；(2)该20名学生参加志愿者活动的次数从小到大排列如下：1，2，2，3，3，3，3，4，4，4，4，4，4，5，5，5，5，5，6，6，∵4出现的最多，由6次，=4，∴众数为4，中位数为第10，第11个数的平均数4+42故答案为：4，4；(3)300×6=90(人)．20答：估计该校初三年级学生参加志愿者活动的次数为4次的人数有90人．(1)由题中的数据即可求解；(2)根据中位数、众数的定义，即可解答；(3)根据样本估计总体，即可解答．此题考查了频数分布表，众数、中位数，样本估计总体，掌握众数、中位数的定义是本题的关键，中位数是将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后，最中间的那个数(最中间两个数的平均数)，众数是一组数据中出现次数最多的数．21.【答案】解：(1)设“南粤家政”今年计划新增加培训x万人次，则“粤菜师傅”今年计划新增加培训2x万人次，依题意得：31+2x+x=100，解得：x=23．答：“南粤家政”今年计划新增加培训23万人次．(2)设李某的年工资收入增长率为m，依题意得：9.6(1+m)≥12.48，解得：m≥0.3=30%．答：李某的年工资收入增长率至少要达到30%．【解析】(1)设“南粤家政”今年计划新增加培训x万人次，则“粤菜师傅”今年计划新增加培训2x万人次，根据今年计划新增加培训共100万人次，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；(2)设李某的年工资收入增长率为m，利用李某今年的年工资收入=李某去年的年工资收入×(1+增长率)，结合预计李某今年的年工资收入不低于12.48万元，即可得出关于m 的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，再取其中的最小值即可得出结论．本题考查了一元一次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出一元一次方程；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．22.【答案】(1)解：如图，图形如图所示．(2)证明：∵AC=AD，AF平分∠CAD，∴∠CAF=∠DAF，AF⊥CD，∵∠CAD=2∠BAC，∠BAC=45°，∴∠BAE=∠EAF=∠FAD=15°，∵∠ABC=∠AFC=90°，AE=EC，∵BE=AE=EC，EF=AE=EC，∴EB=EF，∠EAB=∠EBA=15°，∠EAF=∠EFA=15°，∴∠BEC=∠EAB+∠EBA=30°，∠CEF=∠EAF+∠EFA=30°，∴∠BEF=60°，∴△BEF是等边三角形．【解析】(1)根据要求作出图形即可．(2)想办法证明EB=EF，∠BEF=60°，可得结论．本题考查作图−基本作图，等边三角形的判定，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是证明EB=EF，∠BEF=60°．23.【答案】解：(1)∵直线y=12x+4分别与x轴，y轴相交于A、B两点，∴当x=0时，y=4；当y=0时，x=−8，∴A(−8,0)，B(0,4)；(2)∵点P(x,y)为直线l在第二象限的点，∴P(x,12x+4)，∴S△APO=12OA×(12x+4)=4×(12x+4)=2x+16(−8<x<0)；∴S=2x+16(−8<x<0)；(3)∵A(−8,0)，B(0,4)，∴OA=8，OB=4，在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB=√OA2+OB2=√82+42=4√5，在⊙C中，∵PQ是直径，∴∠PQO=90°，∵∠BAO=∠Q，∴tanQ=tan∠BAO=12，∴POOQ =12，∴OQ=2OP，∴S△POQ=12OP×OQ=12OP×2OP=OP2，∴当S△POQ最小，则OP最小时，∵点P在线段AB上运动，∴当OP⊥AB时，OP最小，∴S△AOB=12×OA×OB=12×AB×OP，∴OP=OA×OBAB =4√5=8√55，∵sinQ=sin∠BAO，∴OPPQ =OBAB，∴8√55PQ=4√5，∴PQ =8， ∴⊙C 半径为4．【解析】(1)根据直线y =12x +4分别与x 轴，y 轴相交于A 、B 两点，令x =0，则y =4；令y =0，则x =−8，即得A ，B 的坐标；(2)设P(x,12x +4)，根据三角形面积公式，表示出S 关于x 的函数解析式，根据P 在线段AB 上得出x 的取值范围；(3)将S △POQ 表示为OP 2，从而当△POQ 的面积最小时，此时OP 最小，而OP ⊥AB 时，OP 最小，借助三角函数求出此时的直径即可解决问题．本题主要考查了一次函数图象上点的坐标的特征、圆的性质、以及三角函数的知识，将S △POQ 表示为OP 2是解决问题的关键．24.【答案】解：(1)当m =0时，抛物线为y =x 2−x +3，将x =2代入得y =4−2+3=5， ∴点(2,4)不在抛物线上；(2)抛物线y =x 2−(m +1)x +2m +3的顶点为(m+12,4(2m+3)−[−(m+1)]24)，化简得(m+12,−m 2+6m+114)，顶点移动到最高处，即是顶点纵坐标最大， 而−m 2+6m+114=−14(m −3)2+5，∴m =3时，纵坐标最大，即是顶点移动到了最高处， 此时顶点坐标为：(2,5)；(3)设直线EF 解析式为y =kx +b ，将E(−1,−1)、F(3,7)代入得： {−1=−k +b 7=3k +b ，解得{k =2b =1， ∴直线EF 的解析式为y =2x +1，由{y =2x +1y =x 2−(m +1)x +2m +3得：{x =2y =5或{x =m +1y =2m +3， ∴直线y =2x +1与抛物线y =x 2−(m +1)x +2m +3的交点为：(2,5)和(m +1,2m +3)，而(2,5)在线段EF 上，∴若该抛物线与线段EF 只有一个交点，则(m +1,2m +3)不在线段EF 上，或(2,5)与(m +1,2m +3)重合，∴m +1<−1或m +1>3或m +1=2(此时2m +3=5)， ∴此时抛物线顶点横坐标x 顶点=m+12<−12或x 顶点=m+12>32或x 顶点=m+12=1+12=1．【解析】(1)当m =0时，抛物线为y =x 2−x +3，将x =2代入得y =5，故点(2,4)不在抛物线上；(2)抛物线y =x 2−(m +1)x +2m +3的顶点为(m+12,−m 2+6m+114)，而−m 2+6m+114=−14(m −3)2+5，即得m =3时，纵坐标最大，此时顶点移动到了最高处，顶点坐标为：(2,5)；(3)求出直线EF 的解析式为y =2x +1，由{y =2x +1y =x 2−(m +1)x +2m +3得直线y =2x +1与抛物线y =x 2−(m +1)x +2m +3的交点为：(2,5)和(m +1,2m +3)，因(2,5)在线段EF 上，由已知可得(m +1,2m +3)不在线段EF 上，即是m +1<−1或m +1>3，或(2,5)与(m +1,2m +3)重合，可得抛物线顶点横坐标x 顶点=m+12<−12或x 顶点=m+12>32或x 顶点=1．本题考查二次函数的综合应用，涉及图象上点坐标特征，顶点坐标，抛物线与线段交点等知识，解题的关键是用m 的代数式表示抛物线与直线交点的坐标．25.【答案】解：(1)连接DF ，CE ，如图所示：，∵E 为AB 中点， ∴AE =AF =12AB ， ∴EF =AB ，∵四边形ABCD 是菱形， ∴EF//AB ，∴四边形DFEC是平行四边形．(2)作CH⊥BH，设AE=FA=m，如图所示，，∵四边形ABCD是菱形，∴CD//EF，∴△CDG∽△FEG，∴CDCG =EFFG，∴FG=2m，在Rt△CBH中，∠CBH=60°，BC=2，sin60°=CHBC，CH=√3，cos60°=BHBC，BC=1，在Rt△CFH中，CF=2+2m，CH=√3，FH=3+m，CF²=CH²+FH²，即(2+2m)²=(√3)²+(3+m)²，整理得：3m²+2m−8=0，解得：m1=43，m2=−2(舍去)，∴AE=43．(3)因H点沿线段AB直线运动，F点沿线段BA的延长线直线运动，并且CD//AB，线段ED与线段CF的交点G点运动轨迹为线段AG，运动刚开始时，A、F、H、G四点重合，当H点与B点重合时，G点运动到极限位置，所以G点轨迹为线段AG，如图所示，作GH⊥AB，∵四边形ABCD 为菱形，∠DAB =60°，AB =2， ∴CD//BF ，BD =2， ∴△CDG∽△FBG ， ∴CD BF=DG BG，即BG =2DG ，∵BG +DG =BD =2， ∴BG =43，在Rt △GHB 中，BG =43，∠DBA =60°， sin60°=GHBG，GH =2√33，cos60°=BHBG，BH =23， 在Rt △AHG 中，AH =2−23=43，GH =2√33， AG²=(43)²+(2√33)²=289，∴AG =2√73． ∴G 点路径长度为2√73．【解析】(1)利用平行四边形的判定定理：两边平行且相等的四边形是平行四边形， (2)利用三角形相似，求出此时FG 的长，再借助直角三角形勾股定理求解， (3)利用图形法，判断G 点轨迹为一条线段，在对应点处求解．本题主要考查平行四边形的判定，菱形的性质，解题关键是借助锐角三角比和勾股定理求解．。